공간도형과 공간좌표
람다 $\lambda$의 차례
직선과 평면의 위치 관계
1. 위치관계
(1) 평면의 결정 조건
① 한 직선 위에 있지 않은 세 점
② 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는 두 직선
④ 평행한 두 직선
(2) 두 직선의 위치 관계
① 한 점에서 만난다.
② 평행하다.
③ 꼬인 위치에 있다.
(3) 직선과 평면의 위치 관계
① 포함된다.
② 한 점에서 만난다.
③ 평행하다.
(4) 두 평면의 위치 관계
① 만난다.
② 평행하다.
(5) 직선과 평면의 평행 관계
① 평행한 두 직선 $l$, $m$에 대하여 직선 $l$은 포함하고 직선 $m$은 포함하지 않는 평면 $\alpha$는 직선 $m$과 평행합니다.
② 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 평행할 때, 직선 $l$을 포함하는 평면 $\beta$와 평면 $\alpha$의 교선 $m$은 직선 $l$과 평행합니다.
③ 평행한 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 평면 $\gamma$와 만날 때 생기는 두 교선을 각각 $l$, $m$이라 하면 두 직선은 평행합니다.
④ 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mathrm{P}$를 지나고 평면 $\alpha$에 평행한 서로 다른 두 직선 $l$, $m$에 의하여 결정되는 평면 $\beta$는 평면 $\alpha$와 평행합니다.
⑤ 서로 다른 세 평면 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$에 대하여 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 평행하고, 두 평면 $\beta$, $\gamma$가 평행하면 두 평면 $\alpha$, $\gamma$가 평행합니다.
2. 두 직선이 이루는 각, 직선과 평면의 수직 관계
(1) 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각
두 직선 $l$, $m$이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $m$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $l$과 평행한 직선을 $l’$이라 하면 두 직선 $l’$, $m$이 이루는 각을 두 직선 $l$, $m$이 이루는 각이라 합니다.
(2) 직선과 평면의 수직 관계
그림과 같이 직선 $l$이 평면 $\alpha$와 한 점 $\mathrm{O}$에서 만나고 점 $\mathrm{O}$를 지나는 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직일 때 직선 $l$과 평면 $\alpha$는 서로 수직이라 하고, 기호로 $l \perp \alpha$와 같이 나타냅니다. 이때 직선 $l$은 평면 $\alpha$의 수선이라 하고 점 $\mathrm{O}$를 수선의 발이라고 합니다.
삼수선의 정리
1. 삼수선의 정리
평면
$\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm{O}$를 지나지 않는 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{H}$에 대하여 다음이 각각 성립하고 이것을 삼수선의 정리라 합니다.
① $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$, $\overline{\mathrm{OH}} \perp l\,$이면 $\overline{\mathrm{PH}} \perp l$
② $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$, $\overline{\mathrm{PH}} \perp l\,$이면 $\overline{\mathrm{OH}} \perp l$
③ $\overline{\mathrm{PH}} \perp l$, $\overline{\mathrm{OH}} \perp l$, $\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}\,$이면 $\overline{\mathrm{PO}} \perp \alpha$
2. 평면과 평면이 이루는 각의 크기 (이면각의 크기)
(1) 반평면
평면 위의 한 직선은 그 평면을 두 부분으로 나누는데, 그 각각을 반평면이라 합니다.
(2) 이면각
한 직선에서 만나는 두 개의 반평면으로 이루어진 도형이 이루는 각을 이면각이라 합니다. 이 도형 자체를 이면각이라 하기도 합니다.
(3) 이면각의 크기
두 반평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{O}$를 지나고 $l$에 수직인 두 반직선 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$를 각각 반평면 $\alpha$, $\beta$ 위에 그을 때, $\angle \mathrm{AOB}$의 크기는 점 $\mathrm{O}$의 위치에 관계없이 일정합니다. 이 일정한 각의 크기 $\theta$를 두 평면이 이루는 이면각의 크기라 합니다.
(4) 두 평면이 이루는 각
서로 다른 두 개의 평면이 만날 때, 이 두 평면이 이루는 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각의 크기라 합니다.
정사영
1. 정사영
평면
$\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $\mathrm{P’}$을 점 $\mathrm{P}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이라 합니다. 또 도형 $F$에 속하는 각 점의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 전체로 이루어진 도형 $F’$을 도형 $F$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이라 합니다. 정사영은 평면 위의 수선의 발들의 집합입니다.
2. 직선과 평면이 이루는 각
직선
$l$과 평면 $\alpha$가 한 점에서 만나고 수직이 아닐 때, 직선 $l$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $l’$과 직선 $l$이 이루는 각을 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 이루는 각이라 합니다. 즉, 직선 $l$이 평면 $\alpha$와 점 $\mathrm{O}$에서 만나고 수직이 아닐 때 $l$ 위의 한 점 $\mathrm{A}$ ($\mathrm{A} \ne \mathrm{O}$)에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{AOH}$에서 $\angle \mathrm{AOH}$의 크기가 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기입니다.
3. 정사영의 길이
선분 $\mathrm{AB}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 선분 $\mathrm{A’B’}$이라 하고, 직선 $\mathrm{AB}$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기를 $\theta$ $\bigg( 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\bigg)$라 하면 $$\overline{\mathrm{A’B’}} = \overline{\mathrm{AB}} \cos \theta$$
4. 정사영의 넓이
선분
$\alpha$ 위의 도형 $F$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $F’$이라 하고, $F$, $F’$의 넓이를 각각 $S$, $S’$이라 할 때, 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$ $\bigg( 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\bigg)$라 하면 $$S’ = S \cos \theta$$
공간좌표
1. 공간좌표
(1) 좌표공간
세 개의 수직선을 공간의 한 점 $\mathrm{O}$에서 서로 직교하도록 그릴 때 점 $\mathrm{O}$를 원점, 세 개의 수직선을 각각 $x$축, $y$축, $z$축이라 하고, 세 개의 축을 좌표축이라 합니다. 또 좌표축이 정해진 공간을 좌표공간이라고 합니다.
(2) 좌표공간에서의 좌표평면
$x$축과 $y$축을 포함하는 평면을 $xy$평면, $y$축과 $z$축을 포함하는 평면을 $yz$평면, $z$축과 $x$축을 포함하는 평면을 $zx$평면이라 하고,
세 개의 평면을 좌표평면이라 합니다.
(3) 공간좌표
좌표공간의 점 $\mathrm{P}$에 대응하는 세 실수의 순서쌍 $(a, \,b, \,c)$를 점 $\mathrm{P}$의 공간좌표 또는 좌표라 하고, 기호로 $\mathrm{P}(a, \,b, \,c)$와 같이 나타냅니다. 또 $a$, $b$, $c$를 각각 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표, $y$좌표, $z$좌표라 합니다.
2. 좌표공간에서의 점의 좌표
(1) 수선의 발의 좌표
좌표공간의 점 $\mathrm{A}(a, b, c)$에서
① $x$축, $y$축, $z$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하면 $$\mathrm{P}(a, \,0, \,0), \:\mathrm{Q}(0, \,b, \,0), \:\mathrm{R}(0, \,0, \,c)$$
② $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하면 $$\mathrm{P}(a, \,b, \,0), \:\mathrm{Q}(0, \,b, \,c), \:\mathrm{R}(a, \,0, \,c)$$
(2) 대칭이동한 점의 좌표
좌표공간의 점 $\mathrm{A}(a, b, c)$를
① $x$축, $y$축, $z$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하면 $$\mathrm{P}(a, \,-b, \,-c), \:\mathrm{Q}(-a, \,b, \,-c), \:\mathrm{R}(-a, \,-b, \,c)$$
② $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하면 $$\mathrm{P}(a, \,b, \,-c), \:\mathrm{Q}(-a, \,b, \,c), \:\mathrm{R}(a, \,-b, \,c)$$
③ 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}$라 하면 $$\mathrm{P}(-a, \,-b, \,-c)$$
3. 두 점 사이의 거리
(1) 좌표공간에서 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 사이의 거리는 $$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_{2} -\,x_{1})^{2} + (y_{2} -\,y_{1})^{2} + (z_{2} -\,z_{1})^{2}}$$
(2) 좌표공간에서 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(x, y, z)$ 사이의 거리는 $$\overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$
4. 선분의 내분점과 외분점
좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$에 대하여
(1) 선분
$\mathrm{AB}$를 $m : n$ ($m \gt 0$, $n \gt 0$)으로 내분하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $$\bigg( \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \,\frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}, \,\frac{mz_{2} + nz_{1}}{m + n} \bigg)$$① 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\bigg( \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}, \,\dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}, \,\dfrac{z_{1} + z_{2}}{2} \bigg)$
② 좌표공간의 세 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$, $\mathrm{C}(x_{3}, y_{3}, z_{3})$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표는 $\bigg( \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \,\dfrac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}, \,\dfrac{z_{1} + z_{2} + z_{3}}{3} \bigg)$
(2) 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$ ($m \gt 0$, $n \gt 0$, $m \ne n$)으로 외분하는 점의 좌표는 $$\bigg( \frac{mx_{2} -\,nx_{1}}{m -\,n}, \,\frac{my_{2} -\,ny_{1}}{m -\,n}, \,\frac{mz_{2} -\,nz_{1}}{m -\,n} \bigg)$$
구의 방정식
1. 구의 방정식
(1) 구의 방정식
① 중심이
점 $(a, \,b, \,c)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 $$(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = r^{2}$$
② 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$
(2) 중심이 점 $(a, \,b, \,c)$이고 좌표평면 또는 좌표축에 접하는 구의 방정식은 다음과 같습니다.
① $xy$평면: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = c^{2}$
② $yz$평면: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = a^{2}$
③ $zx$평면: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = b^{2}$
④ $x$축: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = b^{2} + c^{2}$
⑤ $y$축: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = c^{2} + a^{2}$
⑥ $z$축: $(x -\,a)^{2} + (y -\,b)^{2} + (z -\,c)^{2} = a^{2} + b^{2}$
2. 이차방정식 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + Ax + By + Cz + D = 0$이 나타내는 도형
(1) $x$, $y$, $z$에 대한 이차방정식 $$x^{2} + y^{2} + z^{2} + Ax + By + Cz + D = 0\:\,(A^{2} + B^{2} + C^{2} -\,4D \gt 0)$$은 중심이 점 $\bigg(-\dfrac{A}{2}, \,-\dfrac{B}{2}, \,-\dfrac{C}{2} \bigg)$이고 반지름의 길이가 $\dfrac{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} -\,4D}}{2}$인 구를 나타냅니다.
(2) $A^{2} + B^{2} + C^{2} -\,4D = 0$이면 주어진 방정식은 한 점 $\bigg(-\dfrac{A}{2}, \,-\dfrac{B}{2}, \,-\dfrac{C}{2} \bigg)$을 나타내고, $A^{2} + B^{2} + C^{2} -\,4D \lt 0$이면 주어진 방정식을 만족시키는 실수 $x$, $y$, $z$은 없으므로 좌표공간에 나타낼 수 없습니다.