22년 6월 평가원

c_title
1_out_of_5

1. $(-\sqrt{2})^{4} \times 8^{-\frac{2}{3}}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$(-\sqrt{2})^{4} \times 8^{-\frac{2}{3}}$
$= (-1)^{4} \times \left( 2^{\frac{1}{2}}\right)^{4} \times (2^3)^{-\frac{2}{3}}$
$= 1 \times 2^{\frac{1}{2} \times 4} \times 2^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$=2^{2} \times 2^{-2}$
$=2^{2+(-2)}$
$= 2^{0}$
$= 1$

2. 함수 $f(x) = x^{3}+9$에 대하여 $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$

$f(x) = x^{3}+9$에서
$f'(x) = 3x^2$이므로
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = f'(2)$ $= 3 \times 2^2 = 12$

3. $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$인 $\theta$에 대하여 $\cos^{2}\theta = \dfrac{4}{9}$일 때, $\sin^{2}\theta + \cos \theta$의 값은? [3점]

① $-\frac{4}{9}$
② $-\frac{1}{3}$
③ $-\frac{2}{9}$
④ $-\frac{1}{9}$
⑤ $0$

$\cos^{2}\theta = \frac{4}{9}$이고 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$일 때 $\cos \theta < 0$이므로
$\cos \theta = -\frac{2}{3}$
한편, $\sin^{2}\theta + \cos^{2} \theta = 1$이므로
$\sin^{2}\theta = 1 – \cos^{2} \theta$ $= 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

따라서 $\sin^{2}\theta + \cos \theta$ $= \frac{5}{9} + (-\frac{2}{3}) = -\dfrac{1}{9}$

4. 함수 $y = f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

32206_c04_1

$\displaystyle \lim_{x \to 0-}f(x) + \lim_{x \to 1+}f(x)$의 값은? [3점]

① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$

$x \to 0-$일 때 $f(x) \to -2$이고
$x \to 1+$일 때 $f(x) \to 1$이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}f(x) + \lim_{x \to 1+}f(x)$ $= (-2) + 1 = -1$

5. 모든 항이 양수인 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$a_1 = \frac{1}{4}, \: a_{2} + a_{3} = \frac{3}{2}$$ 일 때, $a_{6} + a_{7}$의 값은? [3점]

① $16$
② $20$
③ $24$
④ $28$
⑤ $32$

등비수열 $\{ a_n \}$의 모든 항이 양수이므로 공비를 $r$ ($r > 0$)라 하면
$a_{2} + a_{3} = a_{1}r + a_{1}r^2$
$= \frac{1}{4}r + \frac{1}{4}r^2= \frac{3}{2}$
$r^2 + r -6 = 0$, $(r+3)(r-2) = 0$
$r > 0$이므로 $r=2$
따라서 $a_{6} + a_{7} = a_{1}r^{5} + a_{1}r^6$ $= \frac{1}{4} \times 2^5 + \frac{1}{4} \times 2^6 = 24$

6. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$가 $$f(x) = \begin{cases} x+a & (x < -1) \\ x & (-1 \le x < 3) \\ bx-2 & (x \ge 3) \end{cases}$$ 이다. 함수 $| f(x) |$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b$의 값은? [3점]

① $\frac{7}{3}$
② $\frac{8}{3}$
③ $3$
④ $\frac{10}{3}$
⑤ $\frac{11}{3}$

함수 $| f(x) |$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x= -1$, $x=3$에서 연속이어야 한다.

(ⅰ) 함수 $| f(x) |$가 $x= -1$에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \to -1-}| f(x) | = \lim_{x \to -1+}| f(x) | = | f(-1) |$
이어야 한다. 이때,
$\displaystyle \lim_{x \to -1-}| f(x) | = \lim_{x \to -1-}| x+a | = | -1+a |$,
$\displaystyle \lim_{x \to -1+}| f(x) | = \lim_{x \to -1+}| x | = 1$,
$| f(-1) | = | -1 | = 1$
이므로
$| -1+a | = 1$
$a > 0$이므로 $a=2$

(ⅱ) 함수 $| f(x) |$가 $x=3$에서 연속이므로,
$\displaystyle \lim_{x \to 3-}| f(x) | = \lim_{x \to 3+}| f(x) | = | f(3) |$
이어야 한다. 이때,
$\displaystyle \lim_{x \to 3-}| f(x) | = \lim_{x \to 3-}| x | = 3$,
$\displaystyle \lim_{x \to 3+}| f(x) | = \lim_{x \to 3+}| bx-2 | = | 3b-2 |$.
$| f(3) | = | 3b-2 |$
이므로
$| 3b-2 | = 3$
$b > 0$이므로 $b=\frac{5}{3}$

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
$a+b = 2 + \frac{5}{3} = \dfrac{11}{3}$

7. 닫힌구간 $[0, \,\pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = -\sin 2x$가 $x=a$에서 최댓값을 갖고 $x=b$에서 최솟값을 갖는다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $(a, \,f(a))$, $(b, \,f(b))$를 지나는 직선의 기울기는? [3점]

① $\frac{1}{\pi}$
② $\frac{2}{\pi}$
③ $\frac{3}{\pi}$
④ $\frac{4}{\pi}$
⑤ $\frac{5}{\pi}$

함수 $f(x) = -\sin 2x$의 주기는 $\frac{2\pi}{2} = \pi$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프는 다음과 같다.
함수 $f(x)$는 $x = \frac{\pi}{4}$일 때 최솟값
$f(\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1$
을 갖고, $x=\frac{3\pi}{4}$일 때 최댓값
$f(\frac{3\pi}{4}) = -\sin \frac{3\pi}{2} = 1$
을 갖는다.

따라서 $a=\frac{3\pi}{4}$, $b=\frac{\pi}{4}$이므로 두 점 $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, -1)$을 지나는 직선의 기울기는
$\frac{1 – (-1)}{\frac{3\pi}{4} – \frac{\pi}{4}} = \dfrac{4}{\pi}$

8. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$에 대하여 $f(5)$의 최솟값은? [3점]

(가) $f(1) = 3$
(나) $1 < x < 5$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 5$이다.

① $21$
② $22$
③ $23$
④ $24$
⑤ $25$

함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 5]$에서 연속이고 열린구간 $(1, 5)$에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여
$\dfrac{f(5) – f(1)}{5-1} = f'(c)$ $\cdots\cdots$ ㉠
를 만족하는 상수 $c$가 열린구간 $(1, 5)$에 적어도 하나 존재한다.
이때, 조건 (나)에 의하여
$f'(c) \ge 5$
이므로 ㉠에서
$\frac{f(5) – 3}{4} \ge 5$
$f(5) \ge 23$
따라서 $f(5)$의 최솟값은 $23$이다.

9. 두 함수 $$f(x) = x^3 -x +6, \: g(x)=x^2 +a$$ 가 있다. $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $$f(x) \ge g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$의 최댓값은? [4점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$h(x) = f(x) – g(x)$라 하면
$h(x) = x^3 -x^2 -x -6$
이때 $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $h(x) \ge 0$이 성립하려면 $x \ge 0$에서 함수 $h(x)$의 최솟값이 $0$ 이상이어야 한다.
$h'(x)=3x^2 -2x -1 = (3x+1)(x-1)$
이므로
$h'(x) = 0$
에서
$x = -\frac{1}{3}$ 또는 $x = 1$
$x \ge 0$에서 함수 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉, $x \ge 0$에서 함수 $h(x)$의 최솟값이 $5-a$이므로 주어진 조건을 만족시키려면 $5-a \ge 0$이어야 한다.

따라서 $a \le 5$이므로 구하는 실수 $a$의 최댓값은 $5$이다.

10. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 3$, $\overline{\mathrm{BC}} = 2$, $\overline{\mathrm{AC}} > 3$이고 $\cos (\angle \mathrm{BAC}) = \dfrac{7}{8}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원이 직선 $\mathrm{BM}$과 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 할 때, 선분 $\mathrm{MD}$의 길이는? [4점]

32206_c10_1

① $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
② $\frac{7\sqrt{10}}{10}$
③ $\frac{4\sqrt{10}}{5}$
④ $\frac{9\sqrt{10}}{10}$
⑤ $\sqrt{10}$

$\angle \mathrm{BAC} = \theta$, $\overline{\mathrm{AC}} = a$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{BC}}^{2} = \overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{AC}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \cos \theta$
즉,
$2^2 = 3^2 + a^2 -2 \times 3 \times a \times \frac{7}{8}$
$a^2 – \frac{21}{4}a +5 = 0$, $4a^2 -21a +20 = 0$
$(4a-5)(a-4) = 0$
따라서 조건에서 $a > 3$이므로 $a=4$
$\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{CM}} = \frac{a}{2} = 2$
같은 방법으로 삼각형 $\mathrm{ABM}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{MB}}^{2} = \overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{AM}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AM}} \times \cos \theta$
$= 3^2 + 2^2 -2 \times 3 \times 2 \times \frac{7}{8}$
$=\frac{5}{2}$
이므로
$\overline{\mathrm{MB}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$
이때 두 삼각형 $\mathrm{ABM}$, $\mathrm{DCM}$은 서로 닮은 도형이므로
$\overline{\mathrm{MA}} \times \overline{\mathrm{MC}} = \overline{\mathrm{MB}} \times \overline{\mathrm{MD}}$
에서
$2 \times 2 = \frac{\sqrt{10}}{2} \times \overline{\mathrm{MD}}$
따라서
$\overline{\mathrm{MD}} = \frac{8}{\sqrt{10}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

11. 시각 $t=0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = 2-t, \: v_{2}(t) = 3t$$ 이다. 출발한 시각부터 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아올 때까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는? [4점]

① $16$
② $18$
③ $20$
④ $22$
⑤ $24$

점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치를 $x_{1}(t)$라 하면
$x_{1}(t) = \int_{0}^{t}(2-t)dt$ $= \left[ 2t – \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{t} = 2t – \frac{1}{2}t^2$
따라서 출발 후 점 $\mathrm{P}$가 다시 원점으로 돌아온 시각은
$2t – \frac{1}{2}t^2 = 0$, $t^2 -4t = 0$
$t(t-4)=0$
$t = 4$
이므로
출발한 시각부터 점 $\mathrm{P}$가 원점으로 돌아올 때까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는
$\int_{0}^{4}| 3t |dt = \int_{0}^{4} 3t dt$ $= \left[ \frac{3}{2}t^2 \right]_{0}^{4} = 24$

12. 공차가 $3$인 등차수열 $\{ a_n \}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? [4점]

(가) $a_{5} \times a_{7} < 0$
(나) $\displaystyle \sum_{k=1}^{6}| a_{k+6} | = 6 + \sum_{k=1}^{6}| a_{2k} |$

① $\frac{21}{2}$
② $11$
③ $\frac{23}{2}$
④ $12$
⑤ $\frac{25}{2}$

등차수열 $\{ a_n \}$의 공차가 양수이고 조건 (가)에서
$a_{5} \times a_{7} < 0$이므로
$a_5 < 0$, $a_7 > 0$
즉, $n \le 5$일 때, $a_n < 0$이고, $n \ge 7$일 때 $a_n > 0$이다.
이때 조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{6}| a_{k+6} | = 6 + \sum_{k=1}^{6}| a_{2k} |$
이므로
$| a_{7} | + | a_{8} | + | a_{9} | + | a_{10} | + | a_{11} | + | a_{12} |$ $= 6 + | a_{2} | + | a_{4} | + | a_{6} | + | a_{8} | + | a_{10} | + | a_{12} |$
$a_{7} + a_{9} + a_{11} = 6 – a_{2} – a_{4} + | a_{6} |$
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차가 $3$이므로
$(a_{1}+ 18) + (a_{1}+ 24) + (a_{1}+ 30) = 6 – (a_{1}+ 3) – (a_{1}+ 9) + | a_{1}+ 15 |$
$| a_{1}+ 15 | = 5a_{1} + 78$ $\cdots\cdots$ ㉠

㉠에서 $a_{1}+ 15 \ge 0$이면
$a_{1}+ 15 = 5a_{1} + 78$
$4a_{1} = -63$
$a_{1} = – \frac{63}{4} < -15$
이므로 조건을 만족시키지 않는다.
즉, $a_{1}+ 15 < 0$이므로 ㉠에서
$-a_{1} – 15 = 5a_{1} + 78$
$6a_{1} = -93$
$a_{1} = – \frac{31}{2}$

따라서 $a_{10} = a_{1} + 9 \times 3 = – \frac{31}{2} + 27 = \dfrac{23}{2}$

13. 두 곡선 $y=16^{x}$, $y=2^{x}$과 한 점 $\mathrm{A}(64,,2^{64})$이 있다. 점 $\mathrm{A}$를 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_1$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_1$을 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_1$이라 하자.
점 $\mathrm{Q}_1$을 지나며 $x$축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{P}_2$라 하고, 점 $\mathrm{P}_2$를 지나며 $y$축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점을 각각 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$이라 하고 점 $\mathrm{Q}_n$의 $x$좌표를 $x_n$이라 할 때, $x_n < \dfrac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이 되도록하는 자연수 $k$의 개수는? [4점]

① $48$
② $51$
③ $54$
④ $57$
⑤ $60$

32206_c13_1

점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $64$이고 점 $\mathrm{Q}_1$의 좌표는 $x_1$이다.
이때 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P}_1$의 $y$좌표가 같으므로
$2^{64}=16^{x_1}$에서 $2^{64}=2^{4x_1}$
$4x_1 = 64$에서 $x_1 =16$
같은 방법으로 모든 자연수 $n$에 대하여 두 점 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$의 $x$좌표는 $x_n$으로 서로 같고, 두 점 $\mathrm{Q}_n$, $\mathrm{P}_{n+1}$의 $y$좌표는 같으므로
$2^{x_n} = 16^{x_{n+1}}$ 즉, $2^{x_n} = 2^{4x_{n+1}}$이므로
$x_{n+1} = \frac{1}{4}x_n$
따라서 수열 $\{ x_n \}$은 첫째항이 $16$, 공비가 $\frac{1}{4}$인 등비수열이므로
$x_n = 16 \times (\frac{1}{4})^{n-1} = 2^4 \times 2^{-2n+2} = 2^{6-2n}$

한편 $x_n < \frac{1}{k}$을 만족시키는 $n$의 최솟값이 $6$이므로
$x_5 \ge \frac{1}{k}$이고 $x_6 < \frac{1}{k}$이어야 한다.
$x_5 \ge \frac{1}{k}$에서 $2^{-4} \ge \frac{1}{k}$,
즉 $\frac{1}{16} \ge \frac{1}{k}$에서 $k \ge 16$ $\cdots\cdots$ ㉠
$x_6 < \frac{1}{k}$에서 $2^{-6} < \frac{1}{k}$,
즉 $\frac{1}{64} < \frac{1}{k}$에서 $k < 64$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 $16 \le k < 64$이므로 자연수 $k$의 개수는 $64 – 16 = 48$이다.

14. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$가 $$g(x) =\begin{cases} -\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt & (x < 0) \\ \\ \: \displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt & (x \ge 0) \end{cases}$$ 을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. $f(0) = 0$
ㄴ. 함수 $f(x)$는 극댓값을 갖는다.
ㄷ. $2 < f(1) < 4$일 때, 방정식 $f(x) = x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.

① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ.
$x < 0$일 때 $g'(x) = -f(x)$
$x > 0$일 때 $g'(x) = f(x)$
그런데, 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 미분가능하고 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0-}\{ -f(x) \} = \lim_{x \to 0+}f(x)$
$-f(0) = f(0)$, $2f(0) = 0$
$f(0) =0$ (참)

ㄴ.
$g(0) = \int_{0}^{0}f(t)dt$이고 함수 $g(x)$는 삼차함수이므로
$g(x) = x^{2}(x-a)$ (단, $a$는 상수)
로 놓으면
$g'(x) = 2x(x-a) + x^2$ $= x(3x-2a)$

(ⅰ) $a > 0$일 때
$f(x) = \begin{cases} -x(3x-2a) & (x < 0) \\ x(3x-2a) & (x \ge 0) \end{cases}$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 그림과 같고 $x=0$에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) $a < 0$일 때
$f(x) = \begin{cases} -x(3x-2a) & (x < 0) \\ x(3x-2a) & (x \ge 0) \end{cases}$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 그림과 같고 $x = \frac{a}{3}$에서 극댓값을 갖는다.

(ⅲ) $a=0$일 때
$f(x) = \begin{cases} -3x^2 & (x < 0) \\ 3x^2 & (x \ge 0) \end{cases}$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 극댓값이 존재하지 않는다.
(거짓)

ㄷ.
(ⅰ) ㄴ.(ⅰ)의 경우
$f(1) = 3-2a$이므로 $2 < 3-2a < 4$에서 $0 < a < \frac{1}{2}$
또한, $x < 0$일 때 $f'(x) = -(3x-2a)-3x = -6x + 2a$이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0-}f'(x) = 2a$
이때 $0 < 2a < 1$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.
따라서 $2 < f(1) < 4$일 때, 방정식 $f(x) = x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.
(ⅱ) ㄴ.(ⅱ)의 경우
$f(1) = 3-2a$이므로 $2 < 3-2a < 4$에서 $-\frac{1}{2} < a < 0$
또한, $x > 0$일 때 $f'(x) = (3x-2a) + 3x = 6x -2a$이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}f'(x) = -2a$
이때, $0 < -2a < 1$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.
따라서 $2 < f(1) < 4$일 때, 방정식 $f(x) = x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.
(ⅲ) ㄴ.(ⅲ)의 경우
$f(1)=3$이고 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.
따라서 $2 < f(1) < 4$일 때, 방정식 $f(x) = x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄷ.
(ⅰ) ㄴ.(ⅰ)의 경우
$0 < a < \frac{1}{2}$이고
① $x < 0$일 때, $-x(3x-2a) = x$
$-3x+2a = 1$, $x = \frac{2a-1}{3}$
② $x \ge 0$일 때, $x(3x-2a) = x$
$x(3x-2a-1) = 0$, $x=0$ 또는 $x = \frac{2a+1}{3}$
따라서 $2 < f(1) < 4$일 때, 방정식 $f(x) = x$은 서로 다른 실근 $\frac{2a-1}{3}$, $0$, $\frac{2a+1}{3}$을 갖는다.

15. 자연수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{ a_n \}$이 있다.

$a_1 = 0$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n + \dfrac{1}{k+1} & (a_n \le 0) \\ \\ a_n - \dfrac{1}{k} & (a_n > 0) \end{cases}$$ 이다.

$a_{22} = 0$이 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합은? [4점]

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

$a_1 = 0$이므로 $a_2 = a_1 + \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k+1}$
$a_2 > 0$이므로 $a_3 = a_2 – \frac{1}{k} = \frac{1}{k+1} – \frac{1}{k}$
$a_3 < 0$이므로 $a_4 = a_3 + \frac{1}{k+1} = \frac{2}{k+1} – \frac{1}{k}$ $= \frac{k-1}{k(k+1)}$

이때 $k=1$이면 $a_4 = 0$이므로 $n=3m-2$ ($m$은 자연수)일 때 $a_n = 0$이다. 즉, $a_{22} = 0$이므로 $k=1$은 조건을 만족시킨다.

한편 $k > 1$이면 $a_4 > 0$이므로 $a_5 = a_4 – \frac{1}{k} = \frac{2}{k+1} – \frac{2}{k}$
$a_5 < 0$이므로 $a_6 = a_5 + \frac{1}{k+1} = \frac{3}{k+1} – \frac{2}{k}$ $= \frac{k-2}{k(k+1)}$
이때 $k=2$이면 $a_6 = 0$이므로 $n=5m-4$ ($m$은 자연수)일 때 $a_n = 0$이다. 즉, $a_{22} \ne 0$이므로 $k=2$는 조건을 만족시키지 않는다.

한편 $k > 2$이면 $a_6 > 0$이므로 $a_7 = a_6 – \frac{1}{k} = \frac{3}{k+1} – \frac{3}{k}$
$a_7 < 0$이므로 $a_8 = \frac{4}{k+1} – \frac{3}{k}$ $= \frac{k-3}{k(k+1)}$
마찬가지 방법으로 계속하면
$k=3$이면 $a_8 = 0$이고 이때 $a_{22} = 0$이다.
$k=4$이면 $a_{10} = 0$이고 이때 $a_{22} \ne 0$이다.
$5 \le k \le 9$이면 $a_{22} \ne 0$이다.
$k=10$이면 $a_{22} = 0$이다.
$k \ge 11$이면 $a_{22} \ne 0$이다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 $k$의 값은
$1$, $3$, $10$
이므로 구하는 모든 $k$의 값의 합은
$1 + 3 + 10 = 14$

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16. 방정식 $\log_{2}(x+2) + \log_{2}(x-2) = 5$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

$6$

진수조건에서 $x+2 > 0$이고 $x-2 > 0$이어야 하므로
$x > 2$ $\cdots\cdots$ ㉠

$\log_{2}(x+2) + \log_{2}(x-2)$
$= \log_{2}(x+2)(x-2)$
$= \log_{2}(x^2 – 4) = 5$
에서
$x^2 -4 = 2^5$
$x^2 = 36$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 $x=6$

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 8x^3 + 6x^2$이고 $f(0) = -1$일 때, $f(-2)$의 값을 구하시오. [3점]

$15$

$f(x) = \int (8x^3 + 6x^2)dx$ $= 2x^4 +2x^3 +C$ (단, $C$는 적분상수)
이므로
$f(0) = C = -1$
따라서
$f(x)= 2x^4 +2x^3 -1$
그러므로
$f(-2) = 32 -16 -1 = 15$

18. $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(4k+a) = 250$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

$3$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(4k+a) = 4\sum_{k=1}^{10}k + 10a$
$= 4 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10a$
$= 220 + 10a$
즉, $220 + 10a =250$이므로
$10a = 30$
따라서 $a = 3$

19. 함수 $f(x) = x^4 +ax^2 +b$는 $x=1$에서 극소이다. 함수 $f(x)$의 극댓값이 $4$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 상수이다.) [3점]

$2$

$f(x) = x^4 + ax^2 +b$에서
$f'(x) = 4x^3 +2ax$
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극소이므로
$f'(1) = 4 + 2a = 0$에서 $a = -2$
그러므로
$f'(x) = 4x^3 -4x = 4x(x-1)(x+1)$
이므로 $f'(x) = 0$에서
$x = -1$ 또는 $x=0$ 또는 $x=1$
함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값 $4$를 가지므로
$f(0) = b = 4$

따라서 $a+b = (-2) + 4 = 2$

20. 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = \displaystyle \int_{x}^{x+1}| f(t) |dt$는 $x=1$과 $x=4$에서 극소이다.
$f(0)$의 값을 구하시오. [4점]

$13$

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 0$이면
$g(x) = \int_{x}^{x+1}| f(t) |dt$ $= \int_{x}^{x+1} f(t) dt$
이므로 $g(x)$는 이차함수이고 이때 $g(x)$가 극소인 $x$의 값은 $1$개뿐이다.
따라서 조건을 만족시키지 못한다.

$f(x) = 2(x – \alpha)(x – \beta)$ ($\alpha < \beta$)라 하면 함수 $y = | f(x) |$의 그래프는 그림과 같고 $x=1$, $x=4$에서 함수 가 극소이므로 $g'(1) = 0$, $g'(4) = 0$이다.

(ⅰ) $x < \alpha < x+1$일 때
$g(x) = \int_{x}^{x+1}| f(t) |dt$
$= \int_{x}^{\alpha}f(t) dt + \int_{\alpha}^{x+1}\{ -f(t) \} dt$
$= -\int_{\alpha}^{x}f(t) dt – \int_{\alpha}^{x+1} f(t) dt$
$= -\int_{\alpha}^{x}2(t – \alpha)(t – \beta) dt – \int_{\alpha}^{x+1}2(t – \alpha)(t – \beta) dt$
$= -\int_{\alpha}^{x}2(t – \alpha)(t – \beta) dt – \int_{\alpha -1}^{x}2(t+1 – \alpha)(t+1 – \beta) dt$
이므로
$g'(x) = -2(x – \alpha)(x – \beta) – 2(x+1 – \alpha)(x+1 – \beta)$
$g'(1) = -2(1 – \alpha)(1 – \beta) – 2(2 – \alpha)(2 – \beta)$
$= 6\alpha + 6\beta -4\alpha \beta -10 = 0$
$3\alpha + 3\beta -2\alpha \beta -5 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠

(ⅱ) $x < \beta < x+1$일 때
$g(x) = \int_{x}^{x+1}| f(t) |dt$
$= \int_{x}^{\beta} \{ -f(t) \} dt + \int_{\beta}^{x+1} f(t) dt$
$= \int_{\beta}^{x} f(t) dt + \int_{\beta}^{x+1} f(t) dt$
$= \int_{\beta}^{x} 2(t – \alpha)(t – \beta) dt + \int_{\beta}^{x+1} 2(t – \alpha)(t – \beta) dt$
$= \int_{\beta}^{x} 2(t – \alpha)(t – \beta) dt + \int_{\beta – 1}^{x} 2(t+1 – \alpha)(t+1 – \beta) dt$
이므로
$g'(x) = 2(x – \alpha)(x – \beta) + 2(x+1 – \alpha)(x+1 – \beta)$
$g'(4) = 2(4 – \alpha)(4 – \beta) + 2(5 – \alpha)(5 – \beta)$
$= 82 – 18\alpha – 18\beta +4\alpha \beta = 0$
$9\alpha + 9\beta – 2\alpha \beta – 41 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 $\alpha \beta = \frac{13}{2}$이므로
$f(0) = 2\alpha \beta = 2 \times \frac{13}{2} = 13$

21. 자연수 $n$에 대하여 $4 \log_{64}\left( \dfrac{3}{4n+16} \right)$의 값이 정수가 되도록 하는 $1000$ 이하의 모든 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]

$426$

$4 \log_{64}( \frac{3}{4n+16} ) = \log_{8}( \frac{3}{4n+16} )^{2}$이므로 이 값이 정수가 되려면
$( \frac{3}{4n+16} )^{2} = 8^{m}$ ($m$은 정수) $\cdots\cdots$ ㉠
의 꼴이 되어야 한다.
그러려면 우선 $4n+16$이 $3$의 배수가 되어야 하므로
$n = 3k-1$ ($k$는 $1 \le k \le 333$인 자연수)
이어야 한다. 이때 ㉠에서
$( \frac{1}{4k+4} )^{2} = 2^{3m}$
$16(k+1)^2 = 2^{-3m}$
$(k+1)^2 = 2^{-3m-4}$
이어야 하므로
$(k+1)^2 = 2^{2}, \,2^{8}, \,2^{14}$
$k+1 = 2, \,2^{4}, \,2^{7}$
$k=1$ 또는 $k=15$ 또는 $k=127$
즉, $n=2$ 또는 $n=44$ 또는 $n=380$이므로 조건을 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은
$2 + 44 + 380 = 426$

22. 두 양수 $a$, $b$ ($b > 3$)과 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} (x+3)f(x) & (x < 0) \\ (x+a)f(x-b) & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(4)$의 값을 구하시오. [4점]

$\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{\sqrt{| g(x) | + \{ g(t) \}^{2}} - | g(t) |}{(x+3)^2}$의 값이 존재하지 않는 실수 $t$의 값은 $-3$과 $6$뿐이다.

$19$

함수
$g(x) = \begin{cases} (x+3)f(x) & (x < 0) \\ (x+a)f(x-b) & (x \ge 0) \end{cases}$
이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x=0$에서 연속이어야 한다.
따라서
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}g(x) = \lim_{x \to 0+}g(x) = g(0)$ $\cdots\cdots$ ㉠
이 성립한다.
이때,
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}g(x) = \lim_{x \to 0-}(x+3)f(x) = 3f(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \to 0+}g(x) = \lim_{x \to 0+}(x+a)f(x-b) = af(-b)$,
$g(0) = af(-b)$
이므로 ㉠에서
$3f(0) = af(-b)$ $\cdots\cdots$ ㉡
한편
$\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{\sqrt{| g(x) | + \{ g(t) \}^{2}} – | g(t) |}{(x+3)^2}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | g(x) |}{(x+3)^{2}(\sqrt{| g(x) | + \{ g(t) \}^{2}} + | g(t) |)}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | (x+3)f(x) |}{(x+3)^{2}(\sqrt{0 + \{ g(t) \}^{2}} + | g(t) |)}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | (x+3)f(x) |}{(x+3)^{2} \times 2| g(t) |}$ $\cdots\cdots$ ㉢

이때 $t \ne -3$이고 $t \ne 6$인 모든 실수 $t$에 대하여 ㉢의 값이 존재하므로
$f(x) = (x+3)(x+k)$ ($k$는 상수)
의 꼴이어야 하고 ㉢에서
$\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | (x+3)f(x) |}{(x+3)^{2} \times 2| g(t) |}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | (x+3)^{2}(x+k)) |}{(x+3)^{2} \times 2| g(t) |}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{ | x+k) |}{2| g(t) |}$ $\cdots\cdots$ ㉣
이때 $t= -3$과 $t=6$에서만 ㉣의 값이 존재하지 않으므로 방정식 $g(x) = 0$의 모든 실근은 $x = -3$과 $x = 6$ 뿐이다.
주어진 식에서 $g(-3) = 0$이므로 $g(6) = 0$, 즉 $(6+a)f(6-b) = 0$이어야 한다.
이때 $a > 0$이므로 $f(6-b) = 0$에서
$6-b = -3$ 또는 $6-b = -k$
따라서 $b = 9$ 또는 $k-b = -6$

(ⅰ) $b = 9$인 경우
$x < 0$에서 $g(x) = (x+3)f(x) = (x+3)^{2}(x+k)$
이때 $x < 0$에서 $g(x) = 0$의 해는 $-3$ 뿐이므로
$-k \ge 0$ 또는 $k=3$ $\cdots\cdots$ ㉤
$x \ge 0$에서 $g(x) = (x+a)f(x-9)$ $= (x+a)(x-6)(x-9+k)$
이때 $x \ge 0$에서 $g(x) = 0$의 해는 $6$ 뿐이므로
$9-k < 0$ 또는 $9-k = 6$ $\cdots\cdots$ ㉥
㉤, ㉥에서 $k=3$
따라서 $f(x) = (x+3)^2$이므로 ㉡에서
$3 \times 3^2 = af(-9)$, $27 = 36a$
$a=\frac{3}{4}$
따라서
$g(4) = (4+a)f(4-b)$ $=(4 + \frac{3}{4})f(-5) = \frac{19}{4} \times (-2)^2 = 19$

(ⅱ) $k-b = -6$인 경우
$x < 0$에서 $g(x) = (x+3)f(x) = (x+3)^{2}(x+k)$
이때 $x < 0$에서 $g(x) = 0$의 해는 $-3$ 뿐이므로
$-k \ge 0$ 또는 $k=3$
$x \ge 0$에서 $g(x) = (x+a)f(x-b)$ $= (x+a)(x-b+3)(x-b+k) = (x+a)(x-b+3)(x-6)$
이때 $x \ge 0$에서 $g(x) = 0$의 해는 $6$ 뿐이이고, $b > 3$이므로
$b – 3 = 6$에서 $b = 9$
$k – b = -6$에서 $k = 3$
따라서 (ⅰ)과 같은 결과이므로 $g(4) = 19$이다.

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. $5$개의 문자 $a$, $a$, $a$, $b$, $c$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]

① $16$
② $20$
③ $24$
④ $28$
⑤ $32$

$5$개의 문자 중 $a$의 개수가 $3$이므로 구하는 경우의 수는
$\dfrac{5!}{3!} = 20$

24. 주머니 $\mathrm{A}$에는 $1$부터 $3$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $3$장의 카드가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에는 $1$부터 $5$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $5$장의 카드가 들어 있다. 두 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 각각 카드를 임의로 한 장씩 꺼낼 때, 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수의 차가 $1$일 확률은? [3점]

① $\frac{1}{3}$
② $\frac{2}{5}$
③ $\frac{7}{15}$
④ $\frac{8}{15}$
⑤ $\frac{3}{5}$

32206_x24_1

주머니 $\mathrm{A}$에서 꺼낸 카드에 적혀 있는 수를 $a$, 주머니 $\mathrm{B}$에서 꺼낸 카드에 적혀 있는 수를 $b$라 하면 모든 순서쌍 $(a, b)$의 개수는
$3 \times 5 = 15$
이때 $| a-b | = 1$인 순서쌍 $(a, b)$는
$(1, 2)$, $(2, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(3, 4)$이고, 그 개수는 $5$이다.

따라서 구하는 확률은 $\frac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$

25. 수직선의 원점에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가
$6$의 약수이면 점 $\mathrm{P}$를 양의 방향으로 $1$만큼 이동시키고,
$6$의 약수가 아니면 점 $\mathrm{P}$를 이동시키지 않는다.

이 시행을 $4$번 반복할 때, $4$번째 시행 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $2$ 이상일 확률은? [3점]

① $\frac{13}{18}$
② $\frac{7}{9}$
③ $\frac{5}{6}$
④ $\frac{8}{9}$
⑤ $\frac{17}{18}$

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $6$의 약수일 확률은
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$6$의 약수가 아닐 확률은
$1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$4$번째 시행 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $2$ 이상이려면 $4$번의 시행 중 주사위의 눈의 수가 $6$의 약수인 경우가 $2$번 이상이면 된다.

주사위의 눈의 수가 $6$의 약수인 경우가 $0$번일 확률은
$_{4}\mathrm{C}_{0}(\frac{2}{3})^{0}(\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81}$
주사위의 눈의 수가 $6$의 약수인 경우가 $1$번일 확률은
$_{4}\mathrm{C}_{1}(\frac{2}{3})^{1}(\frac{1}{3})^{3} = \frac{8}{81}$

따라서 구하는 확률은
$1 – (\frac{1}{81} + \frac{8}{81}) = 1 – \frac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

26. 다항식 $(x^2 + 1)^{4}(x^3 + 1)^{n}$의 전개식에서 $x^5$의 계수가 $12$일 때, $x^6$의 계수는? (단, $n$은 자연수이다.) [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$(x^2 + 1)^{4} = (x^4 + 2x^2 +1)^2$ $=x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1$
또 $(x^3 + 1)^{n}$의 일반항은
$_{n}\mathrm{C}_{r}(x^3)^{r} =  {}_{n}\mathrm{C}_{r}x^{3r}$ (단, $r = 0, 1, 2, \cdots, n$)

이때 $x^5$의 계수는 $r=1$일 때,
$4x^2 \times {}_{n}\mathrm{C}_{1}x^3 = 4nx^5$에서 $4n$이므로
$4n = 12$에서 $n = 3$

따라서 $x^6$의 계수는 $r = 0$일 때,
$4x^6 \times {}_{3}\mathrm{C}_{0} = 4x^6$에서 $4$
$r=2$일 때, $1 \times {}_{3}\mathrm{C}_{2}x^6 = 3x^6$에서 $3$
즉, $x^6$의 계수는 $4 + 3 = 7$

27. 네 문자 $a$, $b$, $X$, $Y$ 중에서 중복을 허락하여 $6$개를 택해 일렬로 나열하려고 한다. 다음 조건이 성립하도록 나열하는 경우의 수는? [3점]

(가) 양 끝 모두에 대문자가 나온다.
(나) $a$는 한 번만 나온다.

① $384$
② $408$
③ $432$
④ $456$
⑤ $480$

조건(가)에서 양 끝에 나열되는 문자는 $X$, $Y$ 중에서 중복을 허락하여 정하면 되므로 양끝에 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는
$_{2}\Pi_{2} = 2^2 = 4$
조건 (나)에서 문자 $a$의 위치를 정하는 경우의 수는
$4$
나머지 $3$곳에 나열한 문자는 $b$, $X$, $Y$ 중에서 중복을 허락하여 정하면 되므로 나머지 $3$곳에 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는
$_{3}\Pi_{3} = 3^3 = 27$

따라서 구하는 경우의 수는 $4 \times 4 \times 27 = 432$

28. 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중에서 서로 다른 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 $5$의 배수 또는 $3500$ 이상일 확률은? [4점]

① $\frac{9}{20}$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{11}{20}$
④ $\frac{3}{5}$
⑤ $\frac{13}{20}$

만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수는
$_{5}\mathrm{P}_{4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

$5$의 배수인 네 자리 자연수는 일의 자릿수가 $5$이어야 하므로 $5$의 배수인 네 자리 자연수의 개수는
$_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$
즉, 택한 수가 $5$의 배수일 확률은
$\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

또 천의 자릿수가 $3$이고 $3500$ 이상인 네 자리 자연수의 개수는
$_{3}\mathrm{P}_{2} = 3 \times 2 = 6$
천의 자릿수가 $4$인 네 자리 자연수의 개수는
$_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$
천의 자릿수가 $5$인 네 자리 자연수의 개수는
$_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$
이므로 $3500$ 이상인 네 자리 자연수의 개수는
$6 + 24 + 24 = 54$
즉, 택한 수가 $3500$ 이상일 확률은
$\frac{54}{120} = \frac{9}{20}$
이때 $5$의 배수이고 $3500$ 이상인 네 자리 자연수는 천의 자릿수가 $4$이고 일의 자릿수가 $5$인 경우이므로 그 개수는
$_{3}\mathrm{P}_{2} = 3 \times 2 = 6$
즉, 택한 수가 $5$의 배수이고 $3500$ 이상일 확률은
$\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

따라서 구하는 확률은
$\frac{1}{5} + \frac{9}{20} – \frac{1}{20} = \dfrac{3}{5}$

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29. 집합 $X = \{1, \,2, \,3, \,4, \,5 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하시오. [4점]

(가) $f(f(1)) = 4$
(나) $f(1) \le f(3) \le f(5)$

$115$

$f(1) = 1$이면 조건(가)에서 $f(1) = 4$이므로 모순이다.

(ⅰ) $f(1) = 2$인 경우
조건 (가)에서 $f(2) = 4$
$f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
$_{4}\mathrm{H}_{2} = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10$
$f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$
이 경우 함수 $f$의 개수는 $10 \times 5 = 50$

(ⅱ) $f(1) = 3$인 경우
조건 (가)에서 $f(3) = 4$
$f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5 \times 5 = 25$
이 경우 함수 $f$의 개수는 $2 \times 25 = 50$

(ⅲ) $f(1) = 4$인 경우
조건 (가)에서 $f(4) = 4$
$f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
$_{2}\mathrm{H}_{2} = {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
$f(2)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$
이 경우 함수 $f$의 개수는 $3 \times 5 = 15$

(ⅳ) $f(1) = 5$인 경우
조건 (가)에서 $f(5) = 4$
이 경우는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$50 + 50 + 15 = 115$

30. 주머니에 $1$부터 $12$까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 $12$개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a$, $b$, $c$라 하자. $b - a \ge 5$일 때, $c - a \ge 10$일 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$9$

$b-a \ge 5$인 사건을 $E$, $c-a \ge 10$인 사건을 $F$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(F|E) = \dfrac{\mathrm{P}(E \cap F)}{\mathrm{P}(E)}$이다.
모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
$_{12}\mathrm{C}_{3} = 220$
이때 $b-a \ge 5$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는
$(1, 6)$, $(1, 6)$, $(1, 6)$, $\cdots$, $(1, 6)$
$(1, 6)$, $(1, 6)$, $\cdots$, $(1, 6)$
$\: \: \vdots$
$(6, 11)$
$a=1$일 때 $c$의 개수는 $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$
$a=2$일 때, $c$의 개수는 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$
$a=3$일 때, $c$의 개수는 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$
$a=4$일 때, $c$의 개수는 $3 + 2 + 1 = 6$
$a=5$일 때, $c$의 개수는 $2 + 1 = 3$
$a=6$일 때, $c$의 개수는 $1$
이므로 $b-a \ge 5$를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
$21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56$
즉, $\mathrm{P}(E) = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$
한편, $b-a \ge 5$이고 $c-a \ge 10$인 경우는
$a=1$, $c=11$일 때, $b = 6, 7, 8, 9, 10$
$a=1$, $c=12$일 때, $b = 6, 7, 8, 9, 10, 11$
$a=2$, $c=12$일 때, $b = 7, 8, 9, 10, 11$
이므로 $b-a \ge 5$이고 $c-a \ge 10$인 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
$5 + 6 + 5 = 16$
즉, $\mathrm{P}(E \cap F) = \frac{16}{220} = \frac{4}{55}$
따라서
$\mathrm{P}(F|E) = \dfrac{\mathrm{P}(E \cap F)}{\mathrm{P}(E)}$
$=\dfrac{\frac{4}{55}}{\frac{14}{55}} = \dfrac{2}{7}$
즉, $p=7$, $q=2$이므로
$p + q = 7 + 2 = 9$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2 +3n} - \sqrt{n^2 +n}}$의 값은? [2점]

① $1$
② $\frac{3}{2}$
③ $2$
④ $\frac{5}{2}$
⑤ $3$

주어진 식의 분자와 분모에 $\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 +n}$을 각각 곱하면
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2 +3n} – \sqrt{n^2 +n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 +n}}{(n^2 +3n) – (n^2 +n)}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 +n}}{2n}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{1 +\frac{3}{n}} + \sqrt{1 +\frac{1}{n}}}{2}$
$= \dfrac{1+1}{2}$
$= 1$

24. 곡선 $x^2 -y \ln x + x = e$ 위의 점 $(e, \,e^2)$에서의 접선의 기울기는? [3점]

① $e+1$
② $e+2$
③ $e+3$
④ $2e+1$
⑤ $2e+2$

$x^2 -y \ln x + x = e$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$2x – \frac{dy}{dx} \times \ln x – y \times \frac{1}{x} + 1 = 0$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x – \frac{y}{x} + 1}{\ln x}$
그러므로 점 $(e, e^2)$에서의 접선의 기울기는
$\dfrac{2e – \frac{e^2}{e} + 1}{\ln e} = e+1$

25. 함수 $f(x) = x^3 + 2x + 3$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(3)$의 값은? [3점]

① $1$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{1}{4}$
⑤ $\frac{1}{5}$

함수 $g(x)$는 함수 $f(x) = x^3 + 2x + 3$의 역함수이므로
$x = y^3 + 2y + 3$ $\cdots\cdots$ ㉠

$x=3$일 때,
$3 = y^3 + 2y + 3$
$y(y^2 + 2) = 0$
$y=0$
또, ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$1=(3y^2 + 2)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 2}$

따라서, $g'(3) = \frac{1}{3 \times 0^2 + 2} = \dfrac{1}{2}$

26. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_{1}B_1}} = 2$, $\overline{\mathrm{B_{1}A_{2}}} = 3$이고 $\angle \mathrm{A_{1}B_{1}A_{2}} = \dfrac{\pi}{3}$인 삼각형 $\mathrm{A_{1}A_{2}B_{1}}$과 이 삼각형의 외접원 $\mathrm{O_1}$이 있다.
점 $\mathrm{A_{2}}$를 지나고 직선 $\mathrm{A_{1}B_{1}}$에 평행한 직선이 원 $\mathrm{O_{1}}$과 만나는 점 중 $\mathrm{A_{2}}$가 아닌 점을 $\mathrm{B_{2}}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{A_{1}B_{2}}$, $\mathrm{B_{1}A_{2}}$가 만나는 점을 $\mathrm{C_{1}}$이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{A_{1}A_{2}C_{1}}$, $\mathrm{B_{1}C_{1}B_{2}}$로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 점 $\mathrm{B_{2}}$를 지나고 직선 $\mathrm{B_{1}A_{2}}$에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{A_{1}A_{2}}$와 만나는 점을 $\mathrm{A_{3}}$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A_{2}A_{3}B_{2}}$의 외접원을 $\mathrm{O_2}$라 하자. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 $\mathrm{B_{3}}$, $\mathrm{C_{2}}$를 잡아 원 $\mathrm{O_{2}}$에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$의 값은? [3점]

32206_y26_1

① $\frac{11\sqrt{3}}{9}$
② $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
③ $\frac{13\sqrt{3}}{9}$
④ $\frac{14\sqrt{3}}{9}$
⑤ $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

원 $O_1$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고 점 $\mathrm{O}$에서 두 선분 $\mathrm{A_{1}B_1}$, $\mathrm{A_{2}B_2}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H_{1}}$, $\mathrm{H_{2}}$라 하면 점 $\mathrm{H_{1}}$은 선분 $\mathrm{A_{1}B_1}$의 중점이고 점 $\mathrm{H_{2}}$는 선분 $\mathrm{A_{2}B_2}$의 중점이다.
또, $\mathrm{A_{1}B_1} // \mathrm{A_{2}B_2}$이므로 세 점 $\mathrm{H_{1}}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{H_{2}}$는 한 직선 위에 있다.
이때, $\angle \mathrm{A_{1}B_{1}A_2} = \frac{\pi}{3}$이므로
$\overline{\mathrm{B_{1}C_1}} = \overline{\mathrm{B_{1}H_1}} \times \dfrac{1}{\cos \frac{\pi}{3}}$ $= 1 \times \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
그러므로 삼각형 $\mathrm{A_{1}C_{1}B_1}$은 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이다.
또,
$\angle \mathrm{A_{1}B_{2}A_2} = \angle \mathrm{A_{1}B_{1}A_2} = \frac{\pi}{3}$
$\angle \mathrm{A_{2}C_{1}B_{2}} = \angle \mathrm{A_{1}C_{1}B_{1}} = \frac{\pi}{3}$
이므로 삼각형 $\mathrm{C_{1}A_{2}B_{2}}$는 정삼각형이다.
이때,
$\overline{\mathrm{C_{1}A_2}} = \overline{\mathrm{B_{1}A_2}} – \overline{\mathrm{B_{1}C_1}} = 3 – 2 = 1$
이므로 삼각형 $\mathrm{C_{1}A_{2}B_2}$는 한 변의 길이가 $1$인 정삼각형이다.
그러므로
$S_1 = 2 \times (\triangle \mathrm{A_{1}A_{2}B_{1}} – \triangle \mathrm{A_{1}C_{1}B_{1}})$
$= 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin \frac{\pi}{3} – \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin \frac{\pi}{3})$ $= \sqrt{3}$
또, 두 삼각형 $\mathrm{A_{1}A_{2}B_1}$, $\mathrm{A_{2}A_{3}B_2}$에서
$\mathrm{A_{1}A_2} // \mathrm{A_{2}A_3}$,    $\mathrm{A_{1}B_1} // \mathrm{A_{2}B_2}$,    $\mathrm{A_{2}B_1} // \mathrm{A_{3}B_2}$
이고
$\overline{\mathrm{A_{1}B_1}} = 2$, $\overline{\mathrm{A_{2}B_2}} = 1$
이므로 두 삼각형 $\mathrm{A_{1}A_{2}B_1}$, $\mathrm{A_{2}A_{3}B_2}$의 닮음비는 $2 : 1$이다.
따라서, 넓이의 비는 $4 : 1$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n = \dfrac{S_1}{1 – \frac{1}{4}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

27. 첫째항이 $4$인 등차수열 $\{ a_n \}$에 대하여 급수 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{n} - \frac{3n+7}{n+2}\right)$$ 이 실수 $S$에 수렴할 때, $S$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$

수열 $\{ a_n \}$의 첫째항이 $4$이므로 공차를 $d$라 하면
$a_n = 4 + (n-1)d$
이때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{n} – \frac{3n+7}{n+2}\right)$이 수렴하므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$(\frac{a_n}{n} – \frac{3n+7}{n+2})$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$(\frac{4 + (n-1)d}{n} – \frac{3n+7}{n+2})$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$\left(\frac{d + \frac{4-d}{n}}{1} – \frac{3+\frac{7}{n}}{1+\frac{2}{n}}\right)$
$= d – 3 = 0$
그러므로
$d = 3$
이때, $a_n = 3n+1$이므로 주어진 급수에 대입하면
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$$\left(\frac{a_n}{n} – \frac{3n+7}{n+2}\right)$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$$\left(\frac{3n+1}{n} – \frac{3n+7}{n+2}\right)$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$$\{\left(3+\frac{1}{n}\right) – \left(3+\frac{1}{n+2}\right)\}$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}$$\left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right)$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}$$\left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+2}\right)$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$\{\left(\frac{1}{1} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} – \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) \}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}$$\left(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right)$
$= \dfrac{3}{2}$

28. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$가 $$g(x) = \begin{cases} \ln | f(x) | & (f(x) \ne 0) \\ \\ 1 & (f(x) = 0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$의 극솟값은? [4점]

(가) 함수 $g(x)$는 $x \ne 1$인 모든 실수 $x$에서 연속이다.
(나) 함수 $g(x)$는 $x=2$에서 극대이고,
함수 $| g(x) |$는 $x=2$에서 극소이다.
(다) 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.

① $\ln \frac{13}{27}$
② $\ln \frac{16}{27}$
③ $\ln \frac{19}{27}$
④ $\ln \frac{22}{27}$
⑤ $\ln \frac{25}{27}$

함수 $f(x)$는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$축은 적어도 한 점에서 만난다.
조건 (가)에서 함수 $g(x)$가 $x \ne 1$인 모든 실수 $x$에서 연속이므로
$\begin{cases} x=1 \textbf{일 때, } f(1) = 0 \\ x\ne1 \textbf{일 때, } f(1) \ne 0 \end{cases}$ $\cdots\cdots$ ㉠

한편, $g(x) = \begin{cases} \ln | f(x) | & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x) = 0) \end{cases}$
이므로
$g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ ($f(x) \ne 0$)
이때, 조건 (나)에서 함수 $g(x)$가 $x=2$에서 극값을 가지고 ㉠을 만족해야 하므로
$f'(2) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡

한편, 조건 (다)에서 주어진 방정식 $g(x) = 0$은
$\ln | f(x) | = 0$, $| f(x) | = 1$
$f(x) = -1$ 또는 $f(x) = 1$
이때, 이 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖고 ㉠을 만족하려면 함수 $y=f(x)$는 극값을 가져야 한다. 한편, ㉡으로부터 함수 $f(x)$는 $x=2$에서 극값을 가지므로 $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$ ($1 < \alpha < \beta$)로 놓을 수 있다. 이때, $\alpha = 2$이거나 $\beta = 2$이다. 이때, 조건 (다)를 만족시키는 함수 $f(x)$의 그래프와 $g(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.
(ⅰ)


(ⅱ)

이때, 조건 (나)로부터 $g(x)$가 $x=2$에서 극대이고 $| g(x) |$가 $x=2$에서 극소이기 위해서는 그림 (ⅰ)과 같아야 하고 $\alpha = 2$
이때, 함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$이므로
$f(x) – 1 = \frac{1}{2}(x-2)^{2}(x-k)$ ($k$는 상수)
즉, $f(x) = \frac{1}{2}(x-2)^{2}(x-k) + 1$
이고 ㉠에서 $f(1) = 0$이므로 $f(1) = \frac{1}{2}(1-k) + 1 = 0$
$1-k = -2$
$k = 3$
이때, $f(x) = \frac{1}{2}(x-2)^{2}(x-3) + 1$이므로
$f'(x) = (x-2)(x-3) + \frac{1}{2}(x-2)^{2}$
$=\frac{1}{2}(x-2)\{(2x-6) + (x-2)\}$
$=\frac{1}{2}(x-2)(3x-8)$
이때, $f'(x) = 0$에서 $x=2$ 또는 $x = \frac{8}{3}$
그러므로 $\beta = \frac{8}{3}$
따라서 함수 $g(x)$는 $x = \frac{8}{3}$에서 극솟값을 갖고 그 값은
$\ln | f(\frac{8}{3}) | = \ln | \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^{2} \times (-\frac{1}{3}) + 1 |$
$= \ln \dfrac{25}{27}$

1_out_of_999

29. 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{OA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, $\angle \mathrm{OAP}$를 이등분하는 직선과 세 선분 $\mathrm{HP}$, $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OB}$의 교점을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ $\mathrm{S}$라 하자. $\angle \mathrm{APH}$일 때, 삼각형 $\mathrm{AQH}$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{PSR}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{\theta^{3} \times g(\theta)}{f(\theta)} = k$일 때, $100k$의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$) [4점]

32206_y29_1

$50$

직각삼각형 $\mathrm{AHP}$에서 $\angle \mathrm{APH} = \theta$이므로
$\angle \mathrm{HAP} = \frac{\pi}{2} – \theta$
한편, 삼각형 $\mathrm{OPA}$는 $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OA}} = 1$인 이등변삼각형이므로
$\angle \mathrm{AOP} = \pi – 2 \times \angle \mathrm{HAP}$
$= \pi – 2 \times (\frac{\pi}{2} – \theta)$
$= 2 \theta$
그러므로
$\overline{\mathrm{AH}} = 1-\overline{\mathrm{OH}}$
$= 1 – \overline{\mathrm{OP}} \cos 2\theta$
$= 1 – \cos 2\theta$ $\cdots\cdots$ ㉠
또,
$\angle \mathrm{HAQ} = \frac{1}{2} \times \angle \mathrm{HAP}$
$= \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} – \theta)$
$= \frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2}$
이므로
$\overline{\mathrm{HQ}} = \overline{\mathrm{AH}} \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$
$= (1 – \cos 2\theta) \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡에서
$f(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AH}} \times \overline{\mathrm{HQ}}$
$= \frac{1}{2} \times (1 – \cos 2\theta)^{2} \times \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$
$= \frac{1}{2} \times \frac{\sin^{4}2\theta}{(1 + \cos 2\theta)^{2}} \times \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$
그러므로
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{f(\theta)}{\theta^{4}}$
$=\frac{1}{2} \times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$(\frac{\sin 2\theta}{2\theta})^{4}$$\times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$\frac{1}{(1 + \cos 2\theta)^{2}}$$\times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$\tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$
$= \frac{1}{2} \times 16 \times 1^2 \times \frac{1}{4} \times 1 = 2$ $\cdots\cdots$ ㉢
한편, 이등변삼각형 $\mathrm{OPA}$에서 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{PA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H’}$이라 하면 ㉠에서 $\angle \mathrm{H’OP} = \theta$이므로
$\overline{\mathrm{AP}} = 2 \overline{\mathrm{PH’}}$
$= 2 \times \overline{\mathrm{OP}} \times \sin \theta$
$= 2 \sin \theta$
삼각형 $\mathrm{AOP}$에서 각의 이등분선이 선분 $\mathrm{OP}$와 만나는 점이 $\mathrm{R}$이므로
$\overline{\mathrm{AO}} : \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{OR}} : \overline{\mathrm{RP}}$
$1 : 2\sin \theta = \overline{\mathrm{OR}} : 1-\overline{\mathrm{OR}}$
$2\sin \theta \times \overline{\mathrm{OR}} = 1-\overline{\mathrm{OR}}$
$\overline{\mathrm{OR}} = \frac{1}{1 + 2 \sin \theta}$ $\cdots\cdots$ ㉣
또,
$\overline{\mathrm{OS}} = \overline{\mathrm{OA}} \tan (\angle \mathrm{SAO})$
$= 1 \times \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$
$= \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$ $\cdots\cdots$ ㉤
㉣과 ㉤에서
$g(\theta) = \triangle \mathrm{OSP} – \triangle \mathrm{OSR}$
$= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OS}} \times \overline{\mathrm{OP}} \times \sin (\angle \mathrm{POS}) – \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OS}} \times \overline{\mathrm{OR}} \times \sin (\angle \mathrm{POS})$
$= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OS}} \times \sin (\angle \mathrm{POS}) \times (\overline{\mathrm{OP}} – \overline{\mathrm{OR}})$
$= \frac{1}{2} \times \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2}) \times \sin (\frac{\pi}{2} – 2\theta) \times (1 – \frac{1}{2\sin \theta + 1})$
$= \frac{1}{2} \times \tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2}) \times \sin (\frac{\pi}{2} – 2\theta) \times \frac{2\sin \theta}{2\sin \theta + 1}$

그러므로
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{g(\theta)}{\theta}$
$=\frac{1}{2} \times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$\tan (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2})$$\times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$\sin (\frac{\pi}{2} – 2 \theta)$$\times \displaystyle 2\lim_{\theta \to 0+}$$\frac{\sin \theta}{\theta}$$\times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}$$\frac{1}{2\sin\theta + 1}$
$= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 1$ $\cdots\cdots$ ㉥

따라서, ㉢과 ㉥을 이용하면
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{\theta^{3} \times g(\theta)}{f(\theta)}$
$=\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{\frac{g(\theta)}{\theta}}{\frac{f(\theta)}{\theta^{4}}}$
$= \dfrac{1}{2}$
이므로
$100k = 100 \times \frac{1}{2} = 50$

30. 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) = \frac{x^2 -ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $$f(x) = f'(t)(x-t) + f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자.
$g(5) + \displaystyle \lim_{t \to 5}g(t) = 5$일 때, $\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) \ne \lim_{t \to k+}g(t)$를 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$16$

$f(x) = \frac{x^2 -ax}{e^x} = (x^2 -ax)e^{-x}$이므로
$f'(x) = (2x -a)e^{-x} + (x^2 -ax)e^{-x} \times (-1)$
$= e^{-x}\{-x^2 +(a+2)x -a\}$
$= -e^{-x}\{x^2 -(a+2)x +a\}$
이때, $f'(x) = 0$에서
$x^2 -(a+2)x +a = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면
$D = (a+2)^2 -4a = a^2 + 4 > 0$
또, ㉠의 서로 다른 두 근은
$x = \frac{(a+2) \pm \sqrt{a^2 +4}}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
이때, $a > 0$이므로
$a+2 = \sqrt{(a+2)^2} > \sqrt{a^2 + 4}$
그러므로 두 양의 실근을 갖는다.
㉡의 두 근을 $\alpha$, $\beta$ ($0 < \alpha < \beta$)라 하면 함수 $y=f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

이때, $f(0) = 0$, $f(a) = 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = \lim_{x \to \infty}\frac{x^2 -ax}{e^x} = 0$이므로 함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
또,
$f^{”}(x) = e^{-x}\{x^2 -(a+2)x +a\} -e^{-x}\{2x -(a+2)\}$
$= e^{-x}\{x^2 -(a+4)x +2a + 2\}$
이때, $f^{”}(x) = 0$에서
$x^2 -(a+4)x +2a + 2 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면
$D = (a+4)^2 -4 \times 1 \times (2a+2)$ $= a^2 + 8 > 0$
그러므로 함수 $f(x)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값의 개수는 $2$이다.

한편, 방정식 $f(x) = f'(t)(x-t) + f(t)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수
$y=f(x)$, $y = f'(t)(x-t) + f(t)$
의 그래프의 교점의 개수이다.
이때, 직선 $y = f'(t)(x-t) + f(t)$는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선이다.
한편, 함수 $g(t)$가 $t = a$에서 연속이면 $g(a) = \displaystyle \lim_{t \to a}g(t)$이므로 $g(a) + \displaystyle \lim_{t \to a}g(t)$의 값은 짝수이어야 한다.
그런데
$g(5) + \displaystyle \lim_{t \to 5}g(t) = 5$ $\cdots\cdots$ ㉢
이므로 함수 $g(t)$는 $t=5$에서 불연속이다.
함수 $g(t)$가 불연속이 되는 $t$의 값은 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 $x$의 값이거나 변곡점을 갖는 $x$의 값이다.
한편, 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 $x$의 값을 $m$이라 하면 함수 $g(t)$는 $t=m$에서 극한값을 갖지 않는다.
또, 함수 $f(x)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값을 $n$이라 하면 함수 $g(t)$는 $t=n$에서 극한값을 갖는다.
그러므로 ㉢을 만족시키는 $t$의 값은 함수 $f(x)$가 변곡점을 갖는 $x$의 값 중 큰 값이다.
즉, 함수 $f(x)$는 $x=5$에서 변곡점을 갖고 이때
$\displaystyle \lim_{t \to 5}g(t) = 3$, $g(5) = 2$
이므로 조건을 만족시킨다.
따라서, $x=5$가 방정식 ㉡의 근이므로 대입하면
$5^2 – (a+4) \times 5 + 2a + 2 = 0$
$-3a + 7 = 0$
$a = \frac{7}{3}$ $\cdots\cdots$ ㉢
한편,
$\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) \ne \lim_{t \to k+}g(t)$
를 만족시키는 $k$의 값은 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 $x$의 값이다.
㉠에 ㉢을 대입하면
$x^2 – (\frac{7}{3} + 2)x + \frac{7}{3} = 0$
$x^2 – \frac{13}{3}x + \frac{7}{3} = 0$
따라서, 구하는 모든 실수 $k$의 값의 합은 근과 계수의 관계를 이용하면 $\dfrac{13}{3}$이므로
$p + q = 3 + 13 = 16$

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 서로 평행하지 않은 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 두 벡터 $$\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}, \: 3\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$$ 가 서로 평행하도록 하는 실수 $k$의 값은? (단, $\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b} \ne \overrightarrow{0}$) [2점]

① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$

두 벡터 $\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}$, $3\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b}$가 서로 평행하므로
$3\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b} = l(\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$
를 만족하는 실수 $l$이 존재한다.
$3\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b} = l(\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$에서
$3\overrightarrow{a} + k \overrightarrow{b} = l \overrightarrow{a} + 2l \overrightarrow{b}$
$3 = l$, $k = 2l$
따라서 $k = 6$

24. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 주축의 길이가 $6$이고 한 점근선의 방정식이 $y = 2x$일 때, 두 초점 사이의 거리는?(단, $a$와 $b$는 양수이다.) [3점]

① $4\sqrt{5}$
② $6\sqrt{5}$
③ $8\sqrt{5}$
④ $10\sqrt{5}$
⑤ $12\sqrt{5}$

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$의 주축의 길이가 $6$이므로
$2a = 6$
$a = 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선은
$y = \frac{b}{a}x$, $y = -\frac{b}{a}x$
이때, $a > 0$, $b > 0$이므로
$\frac{b}{a} = 2$
$b = 2a$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
$b = 2 \times 3 = 6$
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F’}(-c, 0)$ ($c > 0$)이라 하면
$c^2 = a^2 + b^2$ $= 3^2 + 6^2 = 45$
$c = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

따라서 두 초점 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{FF’}} = 2c = 6\sqrt{5}$

25. 좌표평면에서 두 직선 $$\frac{x-3}{4} = \frac{y-5}{3}, \:x-1 = \frac{2-y}{3}$$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]

① $\frac{\sqrt{11}}{11}$
② $\frac{\sqrt{10}}{10}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
⑤ $\frac{\sqrt{7}}{7}$

두 직선 $\frac{x-3}{4} = \frac{y-5}{3}$, $x-1 = \frac{2-y}{3}$
즉, $\frac{x-3}{4} = \frac{y-5}{3}$, $x-1 = \frac{y-2}{-3}$
의 방향벡터를 각각 $\overrightarrow{d_1}$, $\overrightarrow{d_2}$라 하면 $\overrightarrow{d_1} = (4, 3)$, $\overrightarrow{d_2} = (1, -3)$
따라서
$\cos \theta = \dfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_1} |}{| \overrightarrow{d_1} | | \overrightarrow{d_2} |}$
$= \frac{| 4 \times 1 + 3 \times (-3) |}{\sqrt{4^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + (-3)^2}} =
\frac{5}{5\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$

26. 좌표평면에서 타원 $\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1$과 직선 $y = x-1$이 만나는 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$라 하자. 선분 $\mathrm{AC}$가 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선이 되도록 타원 위에 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$를 잡을 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이의 최댓값은? [3점]

① $2$
② $\frac{9}{4}$
③ $\frac{5}{2}$
④ $\frac{11}{4}$
⑤ $3$

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타원 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$에 접하고 기울기가 $1$인 직선의 방정식은
$y = x \pm \sqrt{3 \times 1 + 1}$
즉, $y = x \pm 2$
직선 $y = x + 2$와 타원 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$이 접하는 점이 $\mathrm{B}$이고 직선 $y = x-2$와 타원 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$이 접하는 점이 $\mathrm{D}$일 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 최대이다.
두 직선 $y = x + 2$, $y = x – 1$ 사이의 거리를 구해 보자.
직선 $y = x + 2$ 위의 점 $(0, 2)$에서 직선 $y = x – 1$ 즉 $x – y – 1 = 0$ 사이의 거리를 $d_1$이라 하면
$d_1 = \frac{| 0 -2 -1 |}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
두 직선 $y = x – 2$, $y = x – 1$ 사이의 거리를 구해 보자.
직선 $y = x – 2$ 위의 점 $(0, -2)$에서 직선 $y = x – 1$ 즉 $x – y – 1 = 0$ 사이의 거리를 $d_2$라 하면
$d_2 = \frac{| 0 -(-2) -1 |}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
한편, 타원 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$와 직선 $y = x – 1$이 만나는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$의 좌표를 구해 보자.
$\frac{x^2}{3} + (x-1)^2 = 1$에서 $2x(2x-3) = 0$
$x=0$ 또는 $x = \frac{3}{2}$
$x=0$일 때, $y = -1$
$x = \frac{3}{2}$일 때, $y = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$가
$\mathrm{A}(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, $\mathrm{C}(0, -1)$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{(0 – \frac{3}{2})^2 + (-1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

따라서 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AC}} \times d_1 + \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AC}} \times d_2$
$= \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$

27. $\overline{\mathrm{AD}} = 2$, $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{2}$, $\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{BCD} = 45^{\circ}$인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 대각선 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{E}$, 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{AH}$와 선분 $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{F}$라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$의 값은? [3점]

① $-\frac{1}{9}$
② $-\frac{2}{9}$
③ $-\frac{1}{3}$
④ $-\frac{4}{9}$
⑤ $-\frac{5}{9}$

32206_z27_1

직각삼각형 $\mathrm{ABH}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$, $\angle \mathrm{ABC} = 45^{\circ}$이므로
$\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{BH}} = 1$
점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면
$\overline{\mathrm{BI}} = 3$, $\overline{\mathrm{DI}} = 1$이고
$\triangle \mathrm{BID} \sim \triangle \mathrm{BHF}$이므로
$\overline{\mathrm{BI}} : \overline{\mathrm{DI}} = \overline{\mathrm{BH}} : \overline{\mathrm{FH}}$ 즉, $3 : 1 = 1 : \overline{\mathrm{FH}}$
$\overline{\mathrm{FH}} = \frac{1}{3}$
$\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AH}} – \overline{\mathrm{FH}} = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
한편 점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하면
$\overline{\mathrm{BJ}} = \overline{\mathrm{CJ}} = 2$, $\overline{\mathrm{BH}} = \overline{\mathrm{HJ}} = 1$
이므로
$\overline{\mathrm{EJ}} = 2\overline{\mathrm{FH}} = \frac{2}{3}$
직각삼각형 $\mathrm{JCE}$에서 $\angle \mathrm{JCE} = \theta$라 하면
$\sin \theta = \frac{| \overrightarrow{\mathrm{EJ}} |}{| \overrightarrow{\mathrm{CE}} |}$
이고, 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{EJ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$가 이루는 각의 크기는 $\frac{\pi}{2} + \theta$이다.
그리고 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} = \overrightarrow{\mathrm{EJ}}$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}} = \overrightarrow{\mathrm{EJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$
$= | \overrightarrow{\mathrm{EJ}} | | \overrightarrow{\mathrm{CE}} | \cos (\frac{\pi}{2} + \theta)$
$= | \overrightarrow{\mathrm{EJ}} | | \overrightarrow{\mathrm{CE}} | \times (-\sin \theta)$
$= | \overrightarrow{\mathrm{EJ}} | | \overrightarrow{\mathrm{CE}} | \times \left(-\frac{| \overrightarrow{\mathrm{EJ}} |}{| \overrightarrow{\mathrm{CE}} |}\right)$
$= – | \overrightarrow{\mathrm{EJ}} |^{2}$
$= -(\frac{2}{3})^2$
$= – \dfrac{4}{9}$

28. 좌표평면에서 직선 $y = 2x - 3$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 두 점 $\mathrm{A}(c, \,0)$, $\mathrm{B}(-c, \,0)$ ($c > 0$)에 대하여 $\overline{\mathrm{PB}} - \overline{\mathrm{PA}}$의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $(3, \,3)$일 때, 상수 $c$의 값은? [4점]

① $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
② $\frac{3\sqrt{7}}{2}$
③ $3\sqrt{2}$
④ $\frac{9}{2}$
⑤ $\frac{3\sqrt{10}}{2}$

두 양수 $a$, $b$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 초점으로 하는 쌍곡선의 방정식을 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$이라 하자.
이 쌍곡선이 점 $(3, 3)$을 지나고 점 $(3, 3)$에서 직선 $y = 2x -3$에 접할 때, $\overline{\mathrm{PB}} – \overline{\mathrm{PA}}$는 최대이다.
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(3, 3)$에서의 접선의 방정식은
$\frac{3x}{a^2} – \frac{3y}{b^2} = 1$ 즉, $y = \frac{b^2}{a^2}x – \frac{b^2}{3}$
이 직선이 $y = 2x – 3$이므로
$\frac{b^2}{a^2} = 2$, $-\frac{b^2}{3} = -3$에서 $a^2 = \frac{9}{2}$, $b^2 = 9$
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 쌍곡선의 초점이므로
$c^2 = a^2 + b^2 = \frac{9}{2} + 9 = \frac{27}{2}$
따라서 $c = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

1_out_of_999

29. 초점이 $\mathrm{F}$인 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축과 평행한 직선이 포물선 $y^2 = 8x$의 준선과 만나는 점을 $\mathrm{F'}$이라 하자. 점 $\mathrm{F'}$을 초점, 점 $\mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하는 포물선이 포물선 $y^2 = 8x$와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 사각형 $\mathrm{PF'QF}$의 둘레의 길이가 $12$일 때, 삼각형 $\mathrm{PF'Q}$의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{2}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $2$보다 작고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32206_z29_1

$23$

포물선 $y^2 = 8x$의 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$이고 준선의 방정식은 $x = -2$이다.
점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $a$ ($0 < a < 2$)라 하면
$\mathrm{P}(a, 2\sqrt{2}a)$, $\mathrm{F’}(-2, 2\sqrt{2}a)$
포물선의 성질에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF’}} = 2+a$
한편, 점 $\mathrm{F’}$을 초점, 점 $\mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은
$(y – 2\sqrt{2}a)^2 = -4(2+a)(x-a)$
이 포물선의 준선의 방정식은
$x = 2a+2$
점 $\mathrm{Q}$에서 두 직선 $x = -2$, $x = 2a+2$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하면 포물선의 성질에 의해
$\overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{QR}}$, $\overline{\mathrm{QF’}} = \overline{\mathrm{QS}}$이므로
$\overline{\mathrm{QF}} + \overline{\mathrm{QF’}} = \overline{\mathrm{QR}} + \overline{\mathrm{QS}} = \overline{\mathrm{RS}} = 2a+4$
사각형 $\mathrm{PF’QF}$의 둘레의 길이가 $12$이므로
$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}} + \overline{\mathrm{QF}} + \overline{\mathrm{QF’}} = 12$에서
$2\overline{\mathrm{PF’}} + \overline{\mathrm{RS}} = 12$
$2(2+a) + (2a+4) = 12$
$4a = 4$
$a = 1$
이때, $\mathrm{P}$의 좌표는 $(1, 2\sqrt{2})$이고 점 $\mathrm{F’}$을 초점, 점 $\mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은 $(y – 2\sqrt{2})^2 = -12(x-1)$이다.
두 포물선
$y^2 = 8x$ $\cdots\cdots$ ㉠
$(y – 2\sqrt{2})^2 = -12(x-1)$ $\cdots\cdots$ ㉡
이 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구해 보자.
㉠에서 $x = \frac{y^2}{8}$
$x = \frac{y^2}{8}$을 ㉡에 대입하면 $(y – 2\sqrt{2})^2 = -12(\frac{y^2}{8}-1)$
$5y^2 – 8\sqrt{2}y -8 = 0$
$(y – 2\sqrt{2})(5y +2\sqrt{2}) = 0$
$y = 2\sqrt{2}$ 또는 $y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}$
점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $-\frac{2\sqrt{2}}{5}$이다.
점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{PF’}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{PF’}} = 2 – (-1) = 3$
$\overline{\mathrm{QH}} = 2\sqrt{2} – (-\frac{2\sqrt{2}}{5}) = \frac{12}{5}\sqrt{2}$
삼각형 $\mathrm{PF’Q}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PF’}} \times \overline{\mathrm{QH}}$
$=\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{12}{5}\sqrt{2}$
$=\frac{18}{5}\sqrt{2}$

따라서 $p=5$, $q=18$이므로
$p+q = 5 + 18 = 23$

30. 좌표평면에서 한 변의 길이가 $4$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있고, 점 $\mathrm{C}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$가 있다.
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$와 실수 $k$에 대하여 점 $\mathrm{X}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $| \overrightarrow{\mathrm{CX}} |$의 값이 최소가 되도록 하는 $k$의 값을 $\alpha$, $| \overrightarrow{\mathrm{CX}} |$의 값이 최대가 되도록 하는 $k$의 값을 $\beta$라 하자.

(가) $\overrightarrow{\mathrm{CX}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CP}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XC}} + 2\overrightarrow{\mathrm{XD}} = k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

$\alpha^2 + \beta^2$의 값을 구하시오. [4점]

32206_z30_1

$8$

조건 (가)에서 $\overrightarrow{\mathrm{CX}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CP}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$이므로 선분 $\mathrm{CA}$, $\mathrm{CB}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{CE}$, $\mathrm{CF}$의 중점을
각각 $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$, $\mathrm{D’}$, $\mathrm{E’}$, $\mathrm{F’}$이라 하면
점 $\mathrm{X}$는 정육각형 $\mathrm{A’B’CD’E’F’}$ 위의 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위를 움직인다.
조건 (나)에서 $\overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XC}} + 2\overrightarrow{\mathrm{XD}} = k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이므로
$(\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CX}}) – \overrightarrow{\mathrm{CX}} + 2(\overrightarrow{\mathrm{CD}} – \overrightarrow{\mathrm{CX}}) = k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
$\overrightarrow{\mathrm{CX}} = \frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{2-k}{4}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

$\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{CA}} = \overrightarrow{\mathrm{CG}}$라 하면
점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{G}$를 지나고 직선 $\mathrm{CD}$에 평행한 직선 위를 움직인다. 직선 $\mathrm{GE’}$ 위의 점 $\mathrm{H}$가
$\overline{\mathrm{E’H}} = 1$, $\overline{\mathrm{GH}} > \overline{\mathrm{GE’}}$
를 만족시키도록 점 $\mathrm{H}$를 잡는다.
$\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{G}$일 때, $| \overrightarrow{\mathrm{CX}} |$의 값은 최소이다.

$\overrightarrow{\mathrm{CG}} = \overrightarrow{\mathrm{CG}} + \frac{2-k}{4} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$에서 $\frac{2-k}{4} = 0$ 즉, $k = 2$  즉, $\alpha = 2$
점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{H}$일 때, $| \overrightarrow{\mathrm{CX}} |$의 값은 최대이다.
$| \overrightarrow{\mathrm{GH}} | = 4$에서
$| \frac{2-k}{4} \overrightarrow{\mathrm{CD}} | = 4$, 즉 $\frac{2-k}{4}| \overrightarrow{\mathrm{CD}} | = 4$이므로
$\frac{2-k}{4} \times 4 = 4$
$k = -2$ 즉, $\beta = -2$

따라서 $\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$

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