22년 9월 평가원

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1_out_of_5

1. $\left( \dfrac{2^{\sqrt{3}}}{2} \right)^{\sqrt{3}+1}$의 값은? [2점]

① $\frac{1}{16}$
② $\frac{1}{4}$
③ $1$
④ $4$
⑤ $16$

$\left( \frac{2^{\sqrt{3}}}{2} \right)^{\sqrt{3}+1}$
$=\left( 2^{\sqrt{3}-1} \right)^{\sqrt{3}+1}$
$= 2^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$=2^{3-1} = 2^2 =4$

2. 함수 $f(x) = 2x^2 + 5$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{f(x) -f(2)}{x-2}$의 값은? [2점]

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

$f(x) = 2x^2 + 5$에서
$f'(x) = 4x$이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{f(x) -f(2)}{x-2} = f'(2)$ $= 4 \times 2 = 8$

3. $\sin (\pi - \theta) = \dfrac{5}{13}$이고 $\cos \theta < 0$일 때, $\tan \theta$의 값은? [3점]

① $-\frac{12}{13}$
② $-\frac{5}{12}$
③ $0$
④ $\frac{5}{12}$
⑤ $\frac{12}{13}$

$\sin (\pi – \theta) = \sin \theta$이므로
$\sin \theta = \frac{5}{13}$
이때
$\cos^{2}\theta = 1 – \sin^{2}\theta$
$= 1 – \left( \frac{5}{13} \right)^{2} = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$= \left( \frac{12}{13} \right)^{2}$
이고, 주어진 조건에 의하여 $\cos \theta < 0$이므로
$\cos \theta = -\frac{12}{13}$
따라서
$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$= \dfrac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\dfrac{5}{12}$

4. 함수 $$ f(x) = \begin{cases} -2x+a & (x \le a) \\ \\ \: ax-6 & (x > a) \end{cases} $$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합은? [3점]

① $-1$
② $-2$
③ $-3$
④ $-4$
⑤ $-5$

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x=a$에서 연속이어야 한다.
즉, $f(a) = \displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = \lim_{x \to a+}f(x)$가 성립해야 한다.
$f(a) = -2a + a = -a$
$\displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = \lim_{x \to a-}(-2x + a) = -2a + a = -a$
$\displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = \lim_{x \to a+}(ax-6) = a^2 -6$
이므로 $f(a) = \displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = \lim_{x \to a+}f(x)$에서
$-a = a^2 -6$
$a^2 + a -6 = (a+3)(a-2) = 0$
$a= -3$ 또는 $a=2$

따라서 구하는 모든 상수 $a$의 값의 합은
$(-3) + 2 = -1$

5. 등차수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$a_1 = 2a_5,\: a_8 + a_{12} = -6$$ 일 때, $a_2$의 값은? [3점]

① $17$
② $19$
③ $21$
④ $23$
⑤ $25$

등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$라 하면
$a_1 = 2a_5 = 2(a_1 + 4d)$
$a_1 + 8d = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
$a_8 + a_{12} = (a_1 + 7d) + (a_1 + 11d)= 2a_1 + 18d= -6$
$a_1 + 9d = -3$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $a_1 = 24$, $d = -3$이므로
$a_2 = a_1 + d = 21$

6. 함수 $f(x) = x^3 -3x^2 + k$의 극댓값이 $9$일 때, 함수 $f(x)$의 극솟값은? (단, $k$는 상수이다.) [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$f(x) = x^3 -3x^2 + k$에서
$f'(x) = 3x^2 -6x = 3x(x-2)$
이므로 $f'(x) = 0$에서
$x=0$ 또는 $x=2$
이때 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

주어진 조건에 의하여 함수 $f(x)$의 극댓값이 $9$이므로
$f(0) = k = 9$
따라서
$f(x) = x^3 -3x^2 + 9$
이고 함수 $f(x)$의 극솟값은 $f(2)$이므로 구하는 극솟값은
$f(2) = 2^3 – 3 \times 2^2 + 9 = 5$

7. 수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_n = \dfrac{1}{n(n+1)}$일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(S_k - a_k)$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{5}$
③ $\frac{7}{10}$
④ $\frac{4}{5}$
⑤ $\frac{9}{10}$

$S_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}$이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}S_k = \sum_{k=1}^{10}\left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right)$
$ = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{11} \right)$
$= 1 – \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$

한편,
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k = S_{10}$
$= \frac{1}{10 \times 11} = \frac{1}{110}$
이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(S_k – a_k) = \sum_{k=1}^{10}S_k – \sum_{k=1}^{10}a_k$
$= \frac{10}{11} – \frac{1}{110} = \frac{99}{110} = \dfrac{9}{10}$

$k=1$이면 $S_k – a_k = S_1 – a_1 = 0$
$k \ge 2$이면 $S_k – a_k = S_{k-1} = \frac{1}{(k-1)k}$ $=\frac{1}{k-1} – \frac{1}{k}$
이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(S_k – a_k)$ $=\displaystyle (S_1 – a_1) + \sum_{k=2}^{10}(S_k – a_k )$ $=\displaystyle 0 + \sum_{k=2}^{10}\left(\frac{1}{k-1} – \frac{1}{k} \right)$
$ = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \right)$
$= 1 – \frac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$

8. 곡선 $y=x^3 -4x +5$ 위의 점 $(1, \,2)$에서의 접선이 곡선 $y=x^4 +3x + a$에 접할 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$y=x^3 -4x +5$에서
$y’=3x^2 -4$
이므로 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식은
$y-2 = -(x-1)$
$y= -x + 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
또한, $y = x^4 +3x +a$에서
$y’ = 4x^3 + 3$
이고 곡선 $y = x^4 +3x +a$와 직선 ㉠이 접하므로 접점의 $x$좌표는
$4x^3 + 3 = -1$, $x^3 = -1$
$x = -1$
따라서 접점의 좌표는 $(-1, 4)$이고 이 점은 곡선 $y = x^4 +3x +a$ 위의 점이므로
$4 = 1 – 3 +a$
$a=6$

9. 닫힌구간 $[0, \,12]$에서 정의된 두 함수 $$f(x) = \cos \frac{\pi x}{6},\: g(x) = -3\cos \frac{\pi x}{6} - 1$$ 이 있다. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=k$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 $\alpha_1$, $\alpha_2$라 할 때, $| \alpha_1 - \alpha_2 | = 8$이다. 곡선 $y=g(x)$와 직선 $y = k$가 만나는 두 점의 좌표를 $\beta_1$, $\beta_2$라 할 때, $| \beta_1 - \beta_2 |$의 값은? (단, $k$는 $-1 < k < 1$인 상수이다.) [4점]

① $3$
② $\frac{7}{2}$
③ $4$
④ $\frac{9}{2}$
⑤ $5$

함수 $y=f(x)$의 주기는
$\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

위 그림과 같이 일반성을 잃지 않고
$\alpha_1 < \alpha_2$라 하면
$\alpha_1 + \alpha_2 = 12$
주어진 조건에 의하여
$\alpha_2 – \alpha_1 = 8$이므로
$\alpha_1 = 2$, $\alpha_2 = 10$
그러므로
$k = \cos(\frac{\pi \times 2}{6}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
한편, $- 3\cos \frac{\pi x}{6} – 1 = \frac{1}{2}$
에서 $\cos \frac{\pi x}{6} = -\frac{1}{2}$
$0 \le x \le 12$에서 $0 \le \frac{\pi x}{6} \le 2 \pi$이므로
$\frac{\pi x}{6} = \frac{2}{3}\pi$ 또는 $\frac{\pi x}{6} = \frac{4}{3}\pi$
즉, $x=4$ 또는 $x=8$
따라서 $| \beta_1 – \beta_2 | = | 4 – 8 | = 4$

10. 수직선 위의 점 $\mathrm{A}(6)$과 시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 이 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t)$를 $$v(t) = 3t^2 + at \:\: (a > 0)$$ 이라 하자. 시각 $t=2$에서 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{A}$ 사이의 거리가 $10$일 때, 상수 $a$의 값은? [4점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$t=2$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치는
$\int_{0}^{2}v(t) dt = \int_{0}^{2}(3t^2 + at) dt$
$= \left[ t^3 + \frac{a}{2}t^2 \right]_{0}^{2} = 8 + 2a$
점 $\mathrm{P}(8+2a)$와 점 $\mathrm{A}(6)$ 사이의 거리가 $10$이려면
$| (8+2a)-6 | = 10$, 즉 $2a+2 = \pm 10$
이어야 하므로 양수 $a$의 값은
$2a+2 = 10$에서 $a=4$

11. 함수 $f(x) = -(x-2)^2 +k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 개수가 $2$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점]

$\sqrt{3}^{f(n)}$의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 $-9$이다.

① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$

$\sqrt{3}^{f(n)}$의 네제곱근 중 실수인 것은
$\sqrt[4]{\sqrt{3}^{f(n)}}$, $-\sqrt[4]{\sqrt{3}^{f(n)}}$이므로
$\sqrt[4]{\sqrt{3}^{f(n)}} \times \left(-\sqrt[4]{\sqrt{3}^{f(n)}} \right)$
$= -\sqrt{3}^{\frac{1}{4}f(n)} \times \sqrt{3}^{\frac{1}{4}f(n)}$
$= -3^{\frac{1}{8}f(n)} \times 3^{\frac{1}{8}f(n)}$
$= -3^{\frac{1}{8}f(n)+\frac{1}{8}f(n)}$
$= -3^{\frac{1}{4}f(n)}$
$= -9$

따라서, $3^{\frac{1}{4}f(n)} = 3^2$이므로
$\frac{1}{4}f(n) = 2$, $f(n) = 8$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때, 이차함수 $f(x) = -(x-2)^2 + k$의 그래프의 대칭축은 $x=2$이므로 ㉠을 만족시키는 자연수 $n$의 개수가 $2$이기 위해서는 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 점 $(1, 8)$을 지나야 한다.
$f(1) = -1 + k = 8$
$k = 9$

12. 실수 $t$ ($t > 0$)에 대하여 직선 $y=x+t$와 곡선 $y = x^2$이 만나는 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=x^2$과 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\overline{\mathrm{AH}} - \overline{\mathrm{CH}}}{t}$의 값은? (단, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 양수이다.) [4점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

32209_c12_1

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A}(a, a^2)$, $\mathrm{B}(b, b^2)$이라 하면 $x$에 대한 이차방정식
$x^2 -x -t = 0$
의 두 근이 $a$, $b$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$a+b = 1$, $ab = -t$
그러므로
$\overline{\mathrm{AH}} = a-b$
$=\sqrt{(a-b)^2} =\sqrt{(a+b)^2 -4ab} = \sqrt{1+4t}$
또, 점 $\mathrm{C}$의 좌표가 $\mathrm{C}(-a, a^2)$이므로
$\overline{\mathrm{CH}} = b-(-a) = b+a = 1$
따라서
$\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\overline{\mathrm{AH}} – \overline{\mathrm{CH}}}{t}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\sqrt{1+4t} – 1}{t}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{(\sqrt{1+4t} – 1)(\sqrt{1+4t} +1)}{t(\sqrt{1+4t} +1)}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{(1+4t) -1}{t(\sqrt{1+4t} +1)}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{4t}{t(\sqrt{1+4t} +1)}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{4}{\sqrt{1+4t} +1}$
$=\dfrac{4}{1+1} = 2$

13. 그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm{AB}$ 위에 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{O}$에 대하여 두 선분 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{CO}$가 점 $\mathrm{E}$에서 만나고, $$\overline{\mathrm{CE}} = 4,\: \overline{\mathrm{ED}} = 3\sqrt{2},\: \angle \mathrm{CEA} = \frac{3}{4}\pi$$ 이다. $\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{CD}}$의 값은? [4점]

32209_c13_1

① $6\sqrt{10}$
② $10\sqrt{5}$
③ $16\sqrt{2}$
④ $12\sqrt{5}$
⑤ $20\sqrt{2}$

삼각형 $\mathrm{CDE}$에서 $\angle \mathrm{CED} = \frac{\pi}{4}$이므로 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{CD}}^{2} = \overline{\mathrm{CE}}^{2} + \overline{\mathrm{ED}}^{2} -2 \times \overline{\mathrm{CE}} \times \overline{\mathrm{ED}} \times \cos \frac{\pi}{4}$
$= 4^{2} + (3\sqrt{2})^{2} -2 \times 4 \times 3\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 10$
이므로
$\overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{10}$
$\angle \mathrm{CDE} = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{CDE}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos \theta = \dfrac{\overline{\mathrm{ED}}^{2} + \overline{\mathrm{CD}}^{2} – \overline{\mathrm{CE}}^{2}}{2 \times \overline{\mathrm{ED}} \times \overline{\mathrm{CD}}}$
$= \frac{(3\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{10})^{2} – 4^{2}}{2 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{10}}$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}$
이므로
$\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^{2} \theta}$
$= \sqrt{1 – (\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\overline{\mathrm{AC}} = x$, $\overline{\mathrm{AE}} = y$라 하면 삼각형 $\mathrm{ACE}$에서 코사인법칙에 의하여
$x^2 = y^2 + 4^2 – 2 \times y \times 4 \times \cos \frac{3}{4}\pi$,
$x^2 = y^2 + 16 – 2 \times y \times 4 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$,
$x^2 = y^2 + 4\sqrt{2}y +16$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙에 의하여
$\frac{x}{\sin \theta} = 2R$,  즉 $\dfrac{x}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 2R$에서
$2R = \frac{\sqrt{5}}{2}x$
삼각형 $\mathrm{ABC}$는 직각삼각형이므로 $\angle \mathrm{CAB} = \alpha$라 하면
$\cos \alpha = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \dfrac{x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}= \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\sin \alpha = \sqrt{1 – \cos^{2}\alpha}$
$= \sqrt{1 – (\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
이등변삼각형 $\mathrm{AOC}$에서
$\angle \mathrm{ACO} = \angle \mathrm{CAO} = \alpha$이므로
삼각형 $\mathrm{ACE}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{x}{\sin \frac{3}{4}\pi} = \dfrac{y}{\sin \alpha}$, 즉 $\dfrac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{y}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$에서
$\sqrt{2}x = \sqrt{5}y$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$\frac{5}{2}y^2 = y^2 + 4\sqrt{2}y + 16$,
$\frac{3}{2}y^2 – 4\sqrt{2}y – 16 = 0$,
$3y^2 -8\sqrt{2}y – 32 = 0$
$(3y + 4\sqrt{2})(y – 4\sqrt{2}) = 0$에서
$y = 4\sqrt{2}$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = x = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \times 4\sqrt{2} = 4\sqrt{5}$
따라서
$\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{CD}} = 4\sqrt{5} \times \sqrt{10} = 20\sqrt{2}$

삼각형 $\mathrm{CDE}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{CD}}^{2} = \overline{\mathrm{CE}}^{2} + \overline{\mathrm{ED}}^{2} -2 \times \overline{\mathrm{CE}} \times \overline{\mathrm{ED}} \times \cos \frac{\pi}{4}$
$= 16 + 18 -2 \times 4 \times 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 34 – 24 = 10$
이므로
$\overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{10}$
직선 $\mathrm{OC}$가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{C}$가 아닌 점을 $\mathrm{F}$라 하고, $\overline{\mathrm{OE}} = p$, $\overline{\mathrm{AE}} = q$라 하면
$\overline{\mathrm{EF}} = \overline{\mathrm{EO}} + \overline{\mathrm{OF}} = \overline{\mathrm{EO}}+ \overline{\mathrm{OC}}$
$= p + (p+4) = 2(p+2)$
따라서 원의 성질에 의하여
$\overline{\mathrm{CE}} \times \overline{\mathrm{FE}} = \overline{\mathrm{AE}} \times \overline{\mathrm{DE}}$
이므로
$4 \times 2(p+2) = q \times 3\sqrt{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, $\angle \mathrm{CAD}$는 호 $\mathrm{CD}$의 원주각이고, $\angle \mathrm{COD}$는 호 $\mathrm{CD}$의 중심각이므로 $\angle \mathrm{CAD} = \theta$라 하면
$\angle \mathrm{COD} = 2 \times\angle \mathrm{CAD} = 2\theta$
$\overline{\mathrm{CO}} = \overline{\mathrm{DO}}$이므로 선분 $\mathrm{CD}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면
$\angle \mathrm{COM} = \frac{1}{2} \times \angle \mathrm{COD}$ $= \frac{1}{2} \times 2\theta = \theta$
직각삼각형 $\mathrm{OMC}$에서
$\sin \theta = \dfrac{\overline{\mathrm{CM}}}{\overline{\mathrm{OC}}}$ $= \dfrac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{p+4} = \dfrac{\sqrt{10}}{2(p+4)}$
따라서 삼각형 $\mathrm{AEC}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{CE}}}{\sin \theta} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin \frac{3}{4}\pi}$, 즉
$\dfrac{4}{\frac{\sqrt{10}}{2(p+4)}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \frac{8(p+4)}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4(p+4)}{\sqrt{5}}$ $\cdots\cdots$ ㉡
삼각형 $\mathrm{AEC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{AC}}^{2} = \overline{\mathrm{AE}}^{2} + \overline{\mathrm{CE}}^{2} -2 \times \overline{\mathrm{AE}} \times \overline{\mathrm{CE}} \times \cos \frac{3}{4}\pi$
$= q^2 + 16 -2 \times q \times 4 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$= q^2 + 4\sqrt{2}q + 16$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡, ㉢에서
$\left\{ \frac{4(p+4)}{\sqrt{5}} \right\}^2 = q^2 + 4\sqrt{2}q + 16$
이때 ㉠에서
$4(p+2) = \frac{3\sqrt{2}}{2}q$
이므로
$\left( \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}q + 8}{\sqrt{5}} \right)^2 = q^2 + 4\sqrt{2}q + 16$
$\frac{9}{2}q^2 + 24\sqrt{2}q + 64 = 5(q^2 + 4\sqrt{2}q + 16)$
$9q^2 + 48\sqrt{2}q + 128 = 10q^2 + 40\sqrt{2}q + 160$
$q^2 – 8\sqrt{2}q + 32 = 0$
$(q – 4\sqrt{2})^2 = 0$
$q = 4\sqrt{2}$

그러므로 ㉢에서
$\overline{\mathrm{AC}}^{2} = 32 + 32 + 16 = 80$
이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

따라서 $\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{CD}} = 4\sqrt{5} \times \sqrt{10} = 20\sqrt{2}$

14. 최고차항의 계수가 $1$이고 , $f(0)=0$, $f(1) = 0$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(t)$를 $$g(t) = \int_{t}^{t+1}f(x) dx - \int_{0}^{1} |f(x)| dx$$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. $g(0) = 0$이면 $g(-1) < 0$이다.
ㄴ. $g(-1) > 0$이면 $f(k) = 0$을 만족시키는 $k < -1$인 실수 $k$가 존재한다.
ㄷ. $g(-1) > 1$이면 $g(0) < -1$이다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)= 0$, $f(1) = 0$인 삼차함수 $f(x)$를
$f(x) = x(x-1)(x-a)$ ($a$는 상수) $\cdots\cdots$ ㉠
라 하자.

ㄱ.
$g(0) = \int_{0}^{1}f(x)dx – \int_{0}^{1}|f(x)|dx = 0$
$\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}|f(x)|dx$
따라서 $0 \le x \le 1$일 때 $f(x) \ge 0$이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.
(ⅰ) $a > 1$일 때

(ⅱ) $a=1$일 때

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
$\int_{-1}^{0}f(x)dx < 0$
이므로
$g(-1) = \int_{-1}^{0}f(x)dx – \int_{0}^{1}|f(x)|dx < 0$
이다. (참)

ㄴ.
$g(-1) > 0$이면 $0 \le x \le 1$일 때 $f(x) \le 0$이므로
$g(-1) = \int_{-1}^{0}f(x)dx – \int_{0}^{1}|f(x)|dx$
$= \int_{-1}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{1}f(x)dx$
$= \int_{-1}^{1}f(x)dx$
$= \int_{-1}^{1}x(x-1)(x-a)dx$
$= \int_{-1}^{1}\{ x^3 – (a+1)x^2 + ax \}dx$
$= 2\int_{0}^{1}\{ – (a+1)x^2 \}dx$
$= 2\left[ -\frac{a+1}{3}x^3 \right]_{0}^{1}$
$= -\frac{2(a+1)}{3} > 0$
즉, $a < -1$이므로 $f(k) = 0$을 만족시키는 $k < -1$인 실수 $k$가 존재한다. (참)

ㄷ.
$g(-1) = -\frac{2(a+1)}{3} > 1$에서 $a < -\frac{5}{2}$
$0 \le x \le 1$일 때 $f(x) \le 0$이므로
$g(0) = \int_{0}^{1}f(x)dx – \int_{0}^{1}|f(x)|dx$
$= \int_{0}^{1}f(x)dx + \int_{0}^{1}f(x)dx$
$= 2\int_{0}^{1}f(x)dx$
$= 2\int_{0}^{1}\{ x^3 – (a+1)x^2 + ax \}dx$
$= 2\left[ \frac{1}{4}x^4 -\frac{a+1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_{0}^{1}$
$= 2(\frac{1}{4} -\frac{a+1}{3} + \frac{a}{2})$
$=\frac{1}{3}a – \frac{1}{6} < -1$ (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

15. 수열 $\{ a_n \}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 $k$에 대하여 $a_{4k}=r^{k}$이다.
(단, $r$는 $0 < | r | < 1$인 상수이다.)
(나) $a_1 < 0$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 3 & (| a_{n} | < 5) \\ \\ -\frac{1}{2}a_n & (| a_{n} | \ge 5) \end{cases}$$ 이다.

$| a_{n} | \ge 5$를 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $m$의 개수를 $p$라 할 때, $p + a_1$의 값은? [4점]

① $8$
② $10$
③ $12$
④ $14$
⑤ $16$

조건 (가)에 의하여 $a_4 = r$, $a_8 = r^2$
조건 (나)에 의하여 $a_4 = r$이고 $0 < | r | < 1$에서 $| a_4 | < 5$이므로
$a_5 = r+3$
$| a_5 | < 5$이므로 $a_6 = a_5 + 3 = r+6$
$| a_6 | \ge 5$이므로 $a_7 = -\frac{1}{2}a_6 = -\frac{r}{2}-3$
$| a_7 | < 5$이므로 $a_8 = a_7 + 3 = -\frac{r}{2}$
그러므로 $r^2 = -\frac{r}{2}$
$r \ne 0$이므로 $r = -\frac{1}{2}$
즉, $a_4 = -\frac{1}{2}$
이때 $| a_3 | < 5$이면 $a_3 = -\frac{1}{2}-3 = -\frac{7}{2}$이고 이것은 조건을 만족시키며, $| a_3 | \ge 5$이면 $a_3 = -2 \times (-\frac{1}{2}) = 1$인데 이것은 조건을 만족시키지 않으므로
$a_3 = -\frac{7}{2}$
또 $| a_2 | < 5$이면 $a_2 = -\frac{7}{2}-3 = -\frac{13}{2}$인데 이것은 조건을 만족시키지 않고, $| a_2 | \ge 5$이면 $a_2 = -2 \times (-\frac{7}{2}) = 7$이고, 이것은 조건을 만족시키므로
$a_2 = 7$
또, $| a_1 | < 5$이면 $a_1 = 7-3 = 4$이고, $| a_1 | \ge 5$이면 $a_1 = -2 \times 7 = -14$인데 조건 (나)에 의하여 $a_1 < 0$이므로
$a_1 = -14$
따라서
$a_1 = -14$, $a_2 = 7$, $a_3 = -\frac{7}{2}$, $a_4 = -\frac{1}{2}$, $a_5 = -\frac{1}{2} + 3$, $a_6 = -\frac{1}{2} + 6$, $a_7 = \frac{1}{4} – 3$, $a_8 = \frac{1}{4}$, $a_9 = \frac{1}{4} + 3$, $a_{10} = \frac{1}{4} + 6$, $a_{11} = -\frac{1}{8} – 3$, $a_{12} = -\frac{1}{8}$, $\cdots$

이와 같은 과정을 계속하면 $| a_1 | \ge 5$이고, 자연수 $k$에 대하여 $| a_{4k-2} | \ge 5$임을 알 수 있다.
그러므로 $| a_m | \ge 5$를 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $m$은
$1$, $2$, $6$, $10$, $\cdots$, $98$
이고, $2 = 4 \times 1 – 2$, $98 = 4 \times 25 – 2$이므로
$p = 1 + 25 = 26$

따라서 $p + a_1 = 26 + (-14) = 12$

1_out_of_999

16. 방정식 $\log_{3}(x-4) = \log_{9}(x+2)$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

$7$

진수 조건에서
$x-4 > 0$이고 $x+2 > 0$이어야 하므로
$x > 4$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\log_{3}(x-4) = \log_{3^2}(x-4)^2 = \log_{9}(x-4)^2$
이므로 주어진 방정식은
$\log_{9}(x-4)^2 = \log_{9}(x+2)$,
$(x-4)^2 = x+2$,
$x^2 -8x + 16 = x+2$
$x^2 -9x + 14 = (x-2)(x-7) = 0$
따라서 $x = 2$ 또는 $x=7$
㉠에서 구하는 실수 $x$의 값은 $7$이다.

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 6x^2 -4x +3$이고 $f(1) = 5$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]

$16$

$f(x) = \int (6x^2 -4x +3) dx$ $= 2x^3 -2x^2 +3x +C$
(단, $C$는 적분상수)
이므로
$f(1) = 2 -2 +3 +C = 3 + C = 5$에서 $C = 2$

따라서 $f(2) = 16 – 8 + 6 + 2 = 16$

18. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k = 10$일 때, $$\sum_{k=1}^{5}c a_k = 65 + \sum_{k=1}^{5}c$$ 를 만족시키는 상수 $c$의 값을 구하시오. [3점]

$13$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}c a_k = c\sum_{k=1}^{5}a_k$ $= c \times 10 = 10c$
이고
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}c = 5c$
이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}c a_k = 65 + \sum_{k=1}^{5}c$
에서
$10c = 65 + 5c$
$5c = 65$
따라서 $c = 13$

19. 방정식 $3x^4 -4x^3 -12x^2 + k = 0$이 서로 다른 $4$개의 실근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오. [3점]

$4$

$f(x) = 3x^4 -4x^3 -12x^2$이라 하면
$f'(x) = 12x^3 -12x^2 -24x$ $= 12x(x^2 -x -2) = 12x(x+1)(x-2)$
이므로 $f'(x) = 0$에서
$x=0$ 또는 $x= -1$ 또는 $x=2$
이때 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 사차함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값 $f(0) = 0$을 갖고 $x= =1$, $x = 2$에서 각각 극솟값 $f(-1) = 3 + 4 -12 = -5$, $f(2) = 48 – 32 -48 = -32$를 갖는다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y = -k$의 교점의 개수와 같으므로 주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가질 조건은 위의 그래프에서
$-5 < -k < 0$, 즉 $0 < k < 5$
이어야 한다.
따라서 구하는 자연수 $k$의 개수는 $4$이다.

20. 상수 $k$ ($k < 0$)에 대하여 두 함수 $$f(x)= x^3 + x^2 -x, \: g(x) = 4| x | + k$$ 의 그래프가 만나는 점의 개수가 $2$일 때, 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하자.
$30 \times S$의 값을 구하시오. [4점]

$80$

$f(x)= x^3 + x^2 -x$에서
$f'(x)= 3x^2 + 2x -1 = (3x-1)(x+1)$
이므로 $f'(x) = 0$에서
$x = -1$ 또는 $x = \frac{1}{3}$
이때 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서, 함수 $f(x)$는 $x= -1$에서 극댓값이 $f(-1) = 1$, $x = \frac{1}{3}$에서 극솟값이 $f(\frac{1}{3}) = -\frac{5}{27}$이므로 두 함수 $f(x)= x^3 + x^2 -x$, $g(x) = 4| x | + k$의 그래프가 만나는 점의 개수가 $2$이기 위해서는 그림과 같이 $x > 0$인 부분에서 두 함수 $f(x)= x^3 + x^2 -x$, $g(x) = 4| x | + k$의 그래프가 접해야 한다.

$x > 0$일 때 $g(x) = 4x + k$이므로
$f'(x) = 3x^2 +2x -1 = 4$
에서
$3x^2 +2x -5 = 0$, $(3x+5)(x-1) = 0$
즉, $x=1$이므로 접점의 좌표는 $(1, 1)$이고 $g(1) = 4 + k = 1$
따라서 $k = -3$
또한, $x < 0$일 때 $g(x) = -4x -3$이므로 두 함수 $y = f(x)$, $y = g(x)$의 그래프의 교점의 좌표는
$x^3 + x^2 -x = -4x -3$, $x^3 + x^2 +3x +3 = 0$
$(x+1)(x^2 + 3) = 0$
$x = -1$
따라서 구하는 넓이 $S$는
$S = \int_{-1}^{0}(x^3 + x^2 +3x +3)dx + \int_{0}^{1}(x^3 + x^2 -5x +3)dx$
$= \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 3x \right]_{0}^{1}$
$= \frac{19}{12} + \frac{13}{12} = \frac{8}{3}$

$30 \times S = 30 \times \frac{8}{3} = 80$

21. 그림과 같이 곡선 $y = 2^x$ 위에 두 점 $\mathrm{P}(a, 2^a)$, $\mathrm{Q}(b, 2^b)$이 있다. 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기를 $m$이라 할 때, 점 $\mathrm{P}$를 지나며 기울기가 $-m$인 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$를 지나며 기울기가 $-m$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $$\overline{\mathrm{AB}} = 4 \overline{\mathrm{PB}}, \:\overline{\mathrm{CQ}} = 3 \overline{\mathrm{AB}}$$ 일 때, $90 \times (a+b)$의 값을 구하시오. (단, $0 < a < b$) [4점]

32209_c21_1

$220$

위 그림과 같이 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하자.
$\overline{\mathrm{PB}} = k$라 하면
$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AB}} – \overline{\mathrm{PB}}$
$= 4\overline{\mathrm{PB}} – \overline{\mathrm{PB}}$
$= 3\overline{\mathrm{PB}} = 3k$
이고,
$\overline{\mathrm{CQ}} = 3\overline{\mathrm{AB}}$
$= 3 \times 4\overline{\mathrm{PB}} = 12\overline{\mathrm{PB}} = 12k$
이므로 $\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{CQ}} = 3k : 12k = 1 : 4$
이때 $\triangle\mathrm{PDA} \sim \triangle\mathrm{QEC}$이므로
$\overline{\mathrm{PD}} : \overline{\mathrm{QE}} = \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{CQ}} = 1 : 4$
즉, $2^a : 2^b = 1 : 4$이므로
$2^b = 4 \times 2^a = 2^{a+2}$
에서
$b = a + 2$
즉,
$m = \frac{2^b – 2^a}{b-a} = \frac{2^{a+2} – 2^a}{(a+2)-a} = \frac{3 \times 2^a}{2} = 3 \times 2^{a-1}$
이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은
$y – 2^a = -3 \times 2^{a-1}(x-a)$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에 $y=0$을 대입하면
$- 2^a = -3 \times 2^{a-1}(x-a)$
$x – a = \frac{2}{3}$
$x = a + \frac{2}{3}$
즉, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표가 $a + \frac{2}{3}$이다.
이때 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $\triangle\mathrm{APD} \sim \triangle\mathrm{ABO}$이므로 
$\overline{\mathrm{AO}} : \overline{\mathrm{DO}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{PB}} = 4 : 1$
즉, $(a + \frac{2}{3}) : a = 4 : 1$
$a + \frac{2}{3} = 4a$
$a = \frac{2}{9}$
$b = a + 2 = \frac{2}{9} + 2 = \frac{20}{9}$

따라서 $90 \times (a+b)$ $= 90 \times (\frac{2}{9} + \frac{20}{9})$
$= 90 \times \frac{22}{9} = 220$

22. 최고차항의 계수가 $1$이고 $x=3$에서 극댓값 $8$을 갖는 삼차함수 $f(x)$가 있다. 실수 $t$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge t) \\ \\ -f(x)+2f(t) & (x < t) \end{cases}$$ 라 할 때, 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$라 하자. 함수 $h(t)$가 $t = a$에서 불연속인 $a$의 값이 두 개 일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

$58$

$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge t) \\ -f(x)+2f(t) & (x < t) \end{cases}$
에서
$\displaystyle \lim_{x \to t-}g(x) = \lim_{x \to t+}g(x) = g(t) = f(t)$
이므로 함수 $g(t)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
함수 $f(x)$가 $x = k$에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때 함수 $y = -f(x) + 2f(t)$의 그래프는 함수 $y = f(x)$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후, $y$축의 방향으로 $2f(t)$ 만큼 평행이동한 것이다.
방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y=g(x)$의 그래프와 $x$축과의 교점의 개수와 같으므로 $f(k)$의 값에 따라 나누어 생각할 수 있다.
우선, $f(k) < 0$인 경우를 생각해보면 함수 $y=g(x)$가 불연속일 때의 그래프는 다음과 같다.





따라서 함수 $h(t)$는 $x = t_i$ ($i = 1, 2, 3, 4, 5$)에서 불연속이므로 주어진 조건에 위배된다.
위와 같은 방법으로 함수 $y=f(x)$의 그래프에 따라 함수 $y=g(x)$의 그래프를 그려보면 함수 $h(t)$가 $t=a$에서 불연속인 $a$의 값이 두 개인 경우는 다음과 같이 $t=k$일 때 $g(3) = 0$이 되는 경우뿐이다.





$t = k$일 때
$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge k) \\ -f(x)+2f(k) & (x < k) \end{cases}$
이고 이때 $g(3) = 0$에서
$-f(3)+2f(k) = 0$, 즉 $-8 + 2f(k) = 0$
에서
$f(k) = 4$
한편, 최고차항의 계수가 $1$인 함수 $f(x)$가 $x=3$에서 극댓값을 가지므로 $x=k$에서 극솟값을 가지므로 $k > 3$이고
$f'(x) = 3(x-3)(x-k)$ $= 3x^2 -3(3+k)x + 9k$
따라서 $f(x) = x^3 – \frac{3}{2}(3+k)x^2 + 9kx + C$ ($C$는 적분상수)이고
$f(3) = 8$이므로
$27 – \frac{27}{2}(3+k) + 27k + C = 8$
$C = \frac{43}{2} – \frac{27}{2}k$
따라서
$f(x) = x^3 – \frac{3}{2}(3+k)x^2 + 9kx + \frac{43}{2} – \frac{27}{2}k$
이때 $f(k) = 4$이므로
$k^3 – \frac{3}{2}(3+k)k^2 + 9k^2 + \frac{43}{2} – \frac{27}{2}k = 4$,
$- \frac{k^3}{2} + \frac{9}{2}k^2 – \frac{27}{2}k + \frac{35}{2} = 0$,
$k^3 -9k^2 + 27k -35 = 0$
$(k-5)(k^2 -4k + 7) = 0$
모든 실수 $k$에 대하여 $k^2 -4k + 7 > 0$이므로 $k=5$

따라서
$f(x) = x^3 -12x^2 +45x -46$
이므로
$f(8) = 512 -768 +360 -46 = 58$

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. 다항식 $(x^2 + 2)^6$의 전개식에서 $x^4$의 계수는? [2점]

① $240$
② $270$
③ $300$
④ $330$
⑤ $360$

다항식 $(x^2 + 2)^6$의 전개식의 일반항은
${}_{6}\mathrm{C}_{r}(x^2)^{r}2^{6-r}$ $= {}_{6}\mathrm{C}_{r}2^{6-r}x^{2r}$
($r = 0$, $1$, $2$, $\cdots$, $6$)

따라서 $r=2$일 때 $x^4$의 계수는
${}_{6}\mathrm{C}_{2} \times 2^{4}$ $= 15 \times 16 = 240$

24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(A \cup B) = 1, \: \mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}, \: \mathrm{P}(A | B) = \mathrm{P}(B | A)$$ 일 때, $\mathrm{P}(A)$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{9}{16}$
③ $\frac{5}{8}$
④ $\frac{11}{16}$
⑤ $\frac{3}{4}$

$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}$이고,
$\mathrm{P}(A | B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}$, $\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$이므로
$\frac{\frac{1}{4}}{\mathrm{P}(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\mathrm{P}(B)}$에서 $\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)$

따라서 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A \cap B)$에서
$1 = \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\frac{1}{4}$
즉, $\mathrm{P}(A) = \frac{5}{8}$

25. 어느 인스턴트 커피 제조 회사에서 생산하는 $\mathrm{A}$ 제품 $1$개의 중량은 평균이 $9$, 표준편차가 $0.4$인 정규분포를 따르고, $\mathrm{B}$ 제품 $1$개의 중량은 평균이 $20$, 표준편차가 $1$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 $\mathrm{A}$ 제품 중에서 임의로 선택한 $1$개의 중량이 $8.9$ 이상 $9.4$ 이하일 확률과 $\mathrm{B}$ 제품 중에서 임의로 선택한 $1$개의 중량이 $19$ 이상 $k$ 이하일 확률이 서로 같다. 상수 $k$의 값은 (단, 중량의 단위는 $\rm{g}$이다.) [3점]

① $19.5$
② $19.75$
③ $20$
④ $20.25$
⑤ $20.5$

$\mathrm{A}$ 제품 $1$개의 중량을 $X$라 하면 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(9, 0.4^2)$을 따르고, $Z = \frac{X-9}{0.4}$라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다.
또 $\mathrm{B}$ 제품 $1$개의 중량을 $Y$라 하면 확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}(20, 1^2)$을 따르고, $Z = \frac{X-20}{1}$이라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다.

$\mathrm{P}(8.9 \le X \le 9.4) = \mathrm{P}(19 \le Y \le k)$에서
$\mathrm{P}(\frac{8.9-9}{0.4} \le \frac{X-9}{0.4} \le \frac{9.4-9}{0.4}) = \mathrm{P}(\frac{19-20}{1} \le \frac{Y-20}{1} \le \frac{k-20}{1})$
$\mathrm{P}(-0.25 \le Z \le 1) = \mathrm{P}(-1 \le Z \le k-20)$

따라서 $\mathrm{P}(-0.25 \le Z \le 1) = \mathrm{P}(-1 \le Z \le 0.25)$이므로
$k-20 = 0.25$에서 $k = 20.25$

26. 세 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 포함한 $7$명의 학생이 원 모양의 탁자에 일정한 간격을 두고 임의로 모두 둘러앉을 때, $\mathrm{A}$가 $\mathrm{B}$ 또는 $\mathrm{C}$와 이웃하게 될 확률은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{5}$
③ $\frac{7}{10}$
④ $\frac{4}{5}$
⑤ $\frac{9}{10}$

32209_x26_1

$7$명이 원 모양의 탁자에 일정한 간격을 두고 둘러앉는 경우의 수는 $(7-1)! = 6!$

$\mathrm{A}$가 $\mathrm{B}$와 이웃하는 사건을 $E$, $\mathrm{A}$가 $\mathrm{C}$와 이웃하는 사건을 $F$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(E \cup F)$이다.

(ⅰ) $\mathrm{A}$가 $\mathrm{B}$와 이웃하는 경우
$\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$를 한 명이라 생각하고 $6$명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는
경우의 수는 $5!$
$\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2$
즉, $\mathrm{P}(E) = \frac{5! \times 2}{6!} = \frac{1}{3}$

(ⅱ) $\mathrm{A}$가 $\mathrm{C}$와 이웃하는 경우
$\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$를 한 명이라 생각하고 $6$명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는
경우의 수는 $5!$
$\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2$
즉, $\mathrm{P}(F) = \frac{5! \times 2}{6!} = \frac{1}{3}$

(ⅲ) $\mathrm{A}$가 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$와 모두 이웃하는 경우
$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 한 명이라 생각하고 $5$명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 $4!$
$\mathrm{A}$를 가운데 두고 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2$
즉, $\mathrm{P}(E \cap F) = \frac{4! \times 2}{6!} = \frac{1}{15}$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(E \cup F) = \mathrm{P}(E)+\mathrm{P}(F)-\mathrm{P}(E \cap F)$
$= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{15} = \frac{3}{5}$

27. 이산확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

32209_x27_1

$\sigma(X) = \mathrm{E}(X)$일 때, $\mathrm{E}(X^2)+\mathrm{E}(X)$의 값은? (단, $a > 1$) [3점]

① $29$
② $33$
③ $37$
④ $41$
⑤ $45$

$\mathrm{E}(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{1}{2} + a \times \frac{2}{5}$ $= \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a$
$\mathrm{E}(X^2) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{1}{2} + a^2 \times \frac{2}{5}$ $= \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2$

이때 주어진 조건에서 $\{\sigma(X)\}^{2} = \{\mathrm{E}(X)\}^{2}$이고,
$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^{2}$이므로
$\mathrm{V}(X) = \{\mathrm{E}(X)\}^{2}$에서
$\{\mathrm{E}(X)\}^{2} = \mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^{2}$
$2\{\mathrm{E}(X)\}^{2} = \mathrm{E}(X^2)$
$2 \times (\frac{1}{2} + \frac{2}{5}a)^2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2$
$\frac{2}{25}a(a-10) = 0$
$a > 0$이므로 $a=10$

따라서 $\{\mathrm{E}(X)\}^{2} + \mathrm{E}(X)$
$= \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2 + \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a$
$= \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times 100 + \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times 10 = 45$

28. $1$ 부터 $10$ 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $3$개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 $5$의 배수이고 합은 $3$의 배수일 확률은? [4점]

① $\frac{3}{20}$
② $\frac{1}{6}$
③ $\frac{11}{60}$
④ $\frac{1}{5}$
⑤ $\frac{13}{60}$

$3$의 배수의 집합을 $S_0$, $3$으로 나누었을 때의 나머지가 $1$인 수의 집합을 $S_1$, $3$으로 나누었을 때의 나머지가 $2$인 수의 집합을 $S_2$라 하면
$S_0 = \{ 3, 6, 9 \}$
$S_1 = \{ 1, 4, 7, 10 \}$
$S_0 = \{ 2, 5, 8 \}$
세 수의 곱이 $5$의 배수이어야 하므로 $5$ 또는 $10$이 반드시 포함되어야 한다. 또 세 수의 합이 $3$의 배수이어야 하므로 세 집합 $S_0$, $S_1$, $S_2$에서 각각 한 원소씩을 택하거나, 하나의 집합에서 세 원소를 택해야 한다.

(ⅰ) $5$가 포함되는 경우
두 집합 $S_0$, $S_1$에서 한 원소씩을 택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} = 12$
$S_2$에서 두 원소를 택하는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1$
즉, 경우의 수는 $12 + 1 = 13$

(ⅱ) $10$이 포함되는 경우
두 집합 $S_0$, $S_2$에서 한 원소씩을 택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} = 9$
$S_1$에서 두 원소를 택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
즉, 경우의 수는 $9 + 3 = 12$

(ⅲ) $5$와 $10$이 모두 포함되는 경우
집합 $S_0$에서 한 원소를 택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키도록 세 수를 택하는 경우의 수는
$13 + 12 – 3 = 22$
세 수를 택하는 모든 경우의 수는 ${}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120$이므로
구하는 확률은 $\frac{22}{120} = \dfrac{11}{60}$

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29. $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\mathrm{P}\left(\overline{X} = \dfrac{11}{4}\right) = \dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32209_x29_1

$175$

네 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 $6^4$
네 수를 각각 $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$라 하면
$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 11$
$1 \le X_i \le 6$ ($i = 1, 2, 3, 4$)이므로 음이 아닌 정수 $x_i$에 대하여 $X_i = x_i + 1$로 놓으면
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7$
방정식 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 모든 순서쌍 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$의 개수는
${}_{4}\mathrm{H}_{7} = {}_{10}\mathrm{C}_{7} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120$
이때 $7$, $0$, $0$, $0$으로 이루어진 음이 아닌 정수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 순서쌍 $4$개와 $6$, $1$, $0$, $0$으로 이루어진 음이 아닌 정수 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$의 순서쌍 $12$개는 제외해야 한다.
즉, 조건을 만족시키는 $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$의 모든 순서쌍 $( X_1, X_2, X_3, X_4 )$의 개수는 $120 -(4+12) = 104$

따라서 구하는 확률은 $\frac{104}{6^4} = \frac{13}{162}$
$p = 162$, $q = 13$이므로
$p + q = 162 + 13 = 175$

카드 한 장을 꺼낼 확률은 $\frac{1}{6}$

네 수의 합이 $11$인 경우를 다음과 같이 나누어 생각한다.
(ⅰ) 세 수가 같은 경우
$(3, 3, 3, 2)$, $(2, 2, 2, 5)$의 $2$가지 경우이므로 이 경우 구하는 확률은
$2 \times \frac{4!}{3!} \times (\frac{1}{6})^4 = 8 \times (\frac{1}{6})^4$

(ⅱ) 두 수가 같은 경우
$(4, 4, 2, 1)$, $(3, 3, 4, 1)$, $(2, 2, 6, 1)$, $(2, 2, 4, 3)$, $(1, 1, 6, 3)$, $(1, 1, 5, 4)$의 $6$가지 경우이므로이 경우 구하는 확률은
$6 \times \frac{4!}{2!} \times (\frac{1}{6})^4 = 72 \times (\frac{1}{6})^4$

(ⅲ) 네 수가 모두 다른 경우
$(5, 3, 2, 1)$의 $1$가지 경우이므로이 경우 구하는 확률은
$4! \times (\frac{1}{6})^4 = 24 \times (\frac{1}{6})^4$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서
$\mathrm{P}(\overline{X} = \frac{11}{4}) = (8+72+24) \times (\frac{1}{6})^4$
$= \frac{104}{6^4} = \dfrac{13}{162}$
따라서 $p = 162$, $q = 13$이므로
$p + q = 162 + 13 = 175$

30. 집합 $X = \{ 1, \,2, \,3, \,4, \,5 \}$와 함수 $f : X \to X$에 대하여 함수 $f$의 치역을 $A$, 합성함수 $f \circ f$의 치역을 $B$라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수를 구하시오. [4점]

(가) $n(A) \le 3$
(나) $n(A) = n(B)$
(다) 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \ne x$이다.

$260$

조건 (다)에서 함수 $f$는 상수함수일 수 없으므로
$n(A) = 2$ 또는 $n(A) = 3$

(ⅰ) $n(A) = 2$인 경우
집합 $A$를 정하는 경우의 수는 ${}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10$
$A = \{ 1, 2 \}$인 경우를 생각하면 조건 (다)에서 $f(1)=2$, $f(2)=1$
$f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값은 $1$, $2$ 중 하나이므로 $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{\Pi}_{3} = 2^3 = 8$
즉, $n(A) = 2$인 경우 함수 $f$의 개수는 $10 \times 8 = 80$

(ⅱ) $n(A) = 3$인 경우
집합 $A$를 정하는 경우의 수는 ${}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10$
$A = \{ 1, 2, 3 \}$인 경우를 생각하면 조건 (다)에서순서쌍 $(f(1), f(2), f(3))$은 $(2, 3, 1)$,$(3, 1, 2)$뿐이므로 $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
$f(4)$, $f(5)$의 값은 $1$, $2$, $3$ 중 하나이므로 $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{\Pi}_{2} = 3^2 = 9$
즉, $n(A) = 3$인 경우 함수 $f$의 개수는 $10 \times 2 \times 9 = 180$

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$80 + 180 = 260$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4^x - 2^x}{x}$의 값은? [2점]

① $\ln 2$
② $1$
③ $2\ln 2$
④ $2$
⑤ $3\ln 2$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4^x – 2^x}{x}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(4^x -1)- (2^x -1)}{x}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4^x -1}{x} – \lim_{x \to 0}\frac{2^x -1}{x}$
$=\ln 4 – \ln 2$
$= \ln \frac{4}{2}=\ln 2$

24. $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \cos\left( \frac{\pi}{2} - x\right) dx$의 값은? [3점]

① $\frac{\pi}{2}$
② $\pi$
③ $\frac{3\pi}{2}$
④ $2\pi$
⑤ $\frac{5\pi}{2}$

$\cos ( \frac{\pi}{2} – x) = \sin x$이므로
$\int_{0}^{\pi} x \cos ( \frac{\pi}{2} – x) dx = \int_{0}^{\pi} x \sin x dx$
$= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} – \int_{0}^{\pi} (- \cos x) dx$
$= (\pi – 0) + \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi}$
$= \pi$

25. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n + 2}{2} = 6$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n a_n + 1}{a_n + 2n}$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n + 2}{2} = 6$에서 $\frac{a_n + 2}{2} = b_n$이라 하면
$a_n = 2 b_n -2$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = 6$

따라서,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n a_n + 1}{a_n + 2n}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n (2b_n -2) + 1}{(2b_n -2) + 2n}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2b_n -2 + \frac{1}{n}}{\frac{2b_n}{n} – \frac{2}{n} + 2}$
$=\dfrac{2 \times 6 -2 + 0}{0 – 0 + 2} = 5$

26. 그림과 같이 양수 $k$에 대하여 곡선 $y = \sqrt{\dfrac{kx}{2x^2 +1}}$와 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=2$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피가 $2 \ln 3$일 때, $k$의 값은? [3점]

32209_y26_1

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

정사각형의 한 변의 길이가 $\sqrt{\frac{kx}{2x^2 +1}}$이므로 정사각형의 넓이는
$\left(\sqrt{\frac{kx}{2x^2 +1}}\right)^2 = \frac{kx}{2x^2 +1}$
그러므로 구하는 입체도형의 부피는
$\int_{1}^{2}\frac{kx}{2x^2 +1}dx$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때, $2x^2 + 1 = t$로 놓으면
$4x = \frac{dt}{dx}$
또, $x=1$일 때 $t=3$, $x=2$일 때 $t=9$이므로 ㉠은
$\int_{3}^{9}\frac{k}{4} \times \frac{1}{t}dt$
$=\frac{k}{4} \int_{3}^{9}\frac{1}{t}dt$
$=\frac{k}{4} \times \left[ \ln t \right]_{3}^{9}$
$=\frac{k}{4} \times (\ln 9 – \ln 3)$
$=\frac{k}{4} \ln 3$

이 값이 $2 \ln 3$이므로 $\frac{k}{4} \ln 3 = 2 \ln 3$
$k = 8$

27. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_{1}B_1}} = 4$, $\overline{\mathrm{A_{1}D_1}} = 1$인 직사각형 $\mathrm{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$에서 두 대각선의 교점을 $\mathrm{E_1}$이라 하자. $\overline{\mathrm{A_{2}D_1}} = \overline{\mathrm{D_{1}E_1}}$, $\angle \mathrm{A_{2}D_{1}E_1} = \frac{\pi}{2}$이고 선분 $\mathrm{D_{1}C_1}$과 선분 $\mathrm{A_{2}E_1}$이 만나도록 점 $\mathrm{A_2}$를 잡고, $\overline{\mathrm{B_{2}C_1}} = \overline{\mathrm{C_{1}E_1}}$, $\angle \mathrm{B_{2}C_{1}E_1} = \frac{\pi}{2}$이고 선분 $\mathrm{D_{1}C_1}$과 선분 $\mathrm{B_{2}E_1}$이 만나도록 점 $\mathrm{B_2}$를 잡는다. 두 삼각형 $\mathrm{A_{2}D_{1}E_1}$, $\mathrm{B_{2}C_{1}E_1}$을 그린 후 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 $\overline{\mathrm{A_{2}B_2}} : \overline{\mathrm{A_{2}D_2}} = 4 : 1$이고 선분 $\mathrm{D_{2}C_2}$가 두 선분 $\mathrm{A_{2}E_1}$, $\mathrm{B_{2}E_1}$과 만나지 않도록 직사각형 $\mathrm{A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 $\mathrm{E_2}$, $\mathrm{A_3}$, $\mathrm{B_3}$을 잡고 두 삼각형 $\mathrm{A_{3}D_{2}E_2}$, $\mathrm{B_{3}C_{2}E_2}$를 그린 후 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$의 값은? [3점]

32209_y27_1

① $\frac{68}{5}$
② $\frac{34}{3}$
③ $\frac{68}{7}$
④ $\frac{17}{2}$
⑤ $\frac{68}{9}$

직각삼각형 $\mathrm{A_{1}B_{1}D_{1}}$에서
$\overline{\mathrm{B_{1}D_1}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{A_{1}B_1}}^{2}+ \overline{\mathrm{A_{1}D_1}}^{2}}$ $= \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$
이므로
$\overline{\mathrm{D_{1}E_1}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{B_{1}D_1}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$
그러므로
$S_1 = 2 \times (\triangle \mathrm{A_{2}D_{1}E_{1}})$
$= 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{17}}{2} \times \frac{\sqrt{17}}{2}) = \frac{17}{4}$
 
한편, 직각삼각형 $\mathrm{D_{1}B_{1}C_{1}}$에서
$\angle \mathrm{C_{1}D_{1}B_{1}} = \theta$라 하면
$\sin \theta = \frac{\overline{\mathrm{B_{1}C_1}}}{\overline{\mathrm{D_{1}B_1}}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$
또, $\mathrm{A_2}$에서 선분 $\mathrm{D_{1}C_1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H_1}$라 하면
$\angle \mathrm{A_{2}D_{1}H_{1}} = \frac{\pi}{2} – \theta$
이므로
$\overline{\mathrm{D_{1}H_1}} = \overline{\mathrm{A_{2}D_1}} \cos (\frac{\pi}{2} – \theta)$
$= \overline{\mathrm{A_{2}D_1}} \sin \theta$
$= \frac{\sqrt{17}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{1}{2}$
또, 점 $\mathrm{B_2}$에서 선분 $\mathrm{D_{1}C_1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H_2}$라 하면
$\overline{\mathrm{A_{2}B_2}} = \overline{\mathrm{H_{1}H_2}}$
$= 4 – 2 \times \overline{\mathrm{D_{1}H_1}}$
$= 4 – 2 \times \frac{1}{2}  = 3$
 
이때, $\overline{\mathrm{A_{1}B_1}} = 4$, $\overline{\mathrm{A_{2}B_2}} = 3$에서 길이의 비가 $\frac{3}{4}$이므로 넓이의 비는 $\frac{9}{16}$이다.
 
따라서 
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$ $= \dfrac{\frac{17}{4}}{1- \frac{9}{16}}$
$= \frac{17 \times 4}{16 – 9} = \dfrac{68}{7}$

28. 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PC}} = \overline{\mathrm{PD}}$가 되도록 호 $\mathrm{PB}$ 위에 점 $\mathrm{C}$와 선분 $\mathrm{OA}$ 위에 점 $\mathrm{D}$를 잡는다. 점 $\mathrm{D}$를 지나고 선분 $\mathrm{OP}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{PA}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자. $\angle \mathrm{POA} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{CDP}$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{EDA}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^{2} \times f(\theta)}$의 값은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$) [4점]

32209_y28_1

① $\frac{1}{8}$
② $\frac{1}{4}$
③ $\frac{3}{8}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $\frac{5}{8}$

$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{PC}}$이므로 삼각형 $\mathrm{OPC}$에서
$\angle \mathrm{COP} = \angle \mathrm{POA} = \theta$
또, 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_1$이라 하면
$\angle \mathrm{H_{1}OA} = \frac{\theta}{2}$
이므로
$\overline{\mathrm{AP}} = 2\overline{\mathrm{AH_1}}$
$= 2 \times \overline{\mathrm{OA}} \sin\frac{\theta}{2}$
$= 2 \sin\frac{\theta}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{DA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_2$라 하면
$\angle \mathrm{APD} = 2 \angle \mathrm{APH_2}$
$= 2 \times \{ \pi – (\angle \mathrm{PH_{2}A} + \angle \mathrm{H_{2}AP}) \}$
$= 2 \times \left[ \pi – \{\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}) \} \right]$
$= \theta$
또, $\angle \mathrm{APO} = \angle \mathrm{OPC} = \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$
이므로
$\angle \mathrm{DPC} = \angle \mathrm{APO} + \angle \mathrm{OPC} – \angle \mathrm{APD}$
$= (\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}) + (\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}) – \theta$
$= \pi – 2\theta$ $\cdots\cdots$ ㉡
그러므로 ㉠과 ㉡으로부터
$f(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PD}} \times \overline{\mathrm{PC}} \times \sin (\pi – 2\theta)$
$= \frac{1}{2} \times (2 \sin \frac{\theta}{2})^{2} \times \sin 2\theta$
$= 2 \times ( \sin \frac{\theta}{2})^{2} \times \sin 2\theta$
또, ㉠으로부터 삼각형 $\mathrm{APD}$에서
$\overline{\mathrm{DA}} = 2 \overline{\mathrm{AP}} \cos (\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})$
$= 2 \times 2 \sin \frac{\theta}{2} \times \sin \frac{\theta}{2}$
$= 4 (\sin \frac{\theta}{2})^2$
이때, 두 삼각형 $\mathrm{OAP}$, $\mathrm{DAE}$는 닮음 삼각형이고 $\overline{\mathrm{OA}} = 1$, $\overline{\mathrm{DA}} = 4 (\sin \frac{\theta}{2})^2$이므로
$g(\theta) = \triangle \mathrm{DAE}$
$= 4^2 \times (\sin \frac{\theta}{2})^4 \times \triangle \mathrm{OAP}$
$= 16 \times (\sin \frac{\theta}{2})^4 \times \frac{1}{2}\sin \theta$
$= 8 \times (\sin \frac{\theta}{2})^4 \times \sin \theta$

따라서,
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^{2} \times f(\theta)}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\dfrac{8 \times (\sin \frac{\theta}{2})^4 \times \sin \theta}{\theta^{2} \times 2 \times ( \sin \frac{\theta}{2})^{2} \times \sin 2\theta}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\dfrac{4 \times (\sin \frac{\theta}{2})^2 \times \sin \theta}{\theta^{2} \times \sin 2\theta}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\dfrac{4 \times \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^2 \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{1}{4}}{\frac{\sin 2\theta}{2\theta} \times 2}$
$= \dfrac{1}{2}$

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29. 함수 $f(x) = e^{x}+x$가 있다. 양수 $t$에 대하여 점 $(t, \,0)$과 점 $(x, \,f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$에서 최소일 때, 실수 $f(s)$의 값을 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$의 역함수를 $h(t)$라 할 때, $h'(1)$의 값을 구하시오. [4점]

32209_y29_1

$3$

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(s, f(s))$와 점 $\mathrm{Q}(t, 0)$에 대하여 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 직선 $\mathrm{PQ}$는 수직이어야 한다.
이때, $f(x) = e^x +x$에서
$f'(x) = e^x +1$
이므로
$f'(s) = e^s +1$ $\cdots\cdots$ ㉠
또, 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는
$\frac{f(s)-0}{s-t} = \frac{e^s + s}{s-t}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡으로부터
$(e^s + 1) \times \frac{e^s + s}{s-t} = -1$
$(e^s + 1)(e^s + s) = t-s$
$t = (e^s + 1)(e^s + s) + s$ $\cdots\cdots$ ㉢
한편, $f(s)$의 값이 $g(t)$이므로
$g(t) = e^s + s$ $\cdots\cdots$ ㉣

또, 함수 $g(t)$의 역함수가 $h(t)$이므로
$h(1)=k$라 하면 $g(k) = 1$
㉣에서 $e^s + s = 1$
$s=0$
이 값을 ㉢에 대입하면
$k = 2 \times 1 + 0 = 2$
$g(h(t)) = t$에서 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$g'(h(t)) \times h'(t) = 1$
$h'(t) = \frac{1}{g'(h(t))}$
이때, $t=1$을 대입하면 $h'(1) = \frac{1}{g'(2)}$

한편, ㉣의 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$g'(t) = (e^s + 1)\frac{ds}{dt}$
이때, ㉢의 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$1 = \{ e^{s}(e^{s}+s)+(e^{s}+1)^{2} + 1 \} \dfrac{ds}{dt}$
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{e^{s}(e^{s}+s)+(e^{s}+1)^{2} + 1}$
이므로
$g'(t) = \frac{e^{s}+1}{e^{s}(e^{s}+s)+(e^{s}+1)^{2} + 1}$
이떄, $s=0$일 때, $t=2$이므로
$g'(2) = \frac{2}{1+2^{2} + 1} = \frac{1}{3}$

따라서, $h'(1)= \frac{1}{g'(2)} = 3$

30. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$와 구간 $(0, \, \infty)$에서 $g(x) \ge 0$인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x \le -3$인 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x) \ge f(-3)$이다.
(나) $x > -3$인 모든 실수 $x$에 대하여
$g(x+3)\{ f(x) - f(0) \}^{2} = f'(x)$이다.

$\displaystyle \int_{4}^{5}g(x)dx = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$283$

조건 (가)에서 함수 $f(x)$는 구간 $(-\infty, -3)$에서 감소하는 함수이다.
또, 조건 (나)에서 $x > -3$인 모든 실수 $x$에 대하여
$g(x+3)\{ f(x) – f(0) \}^{2} = f'(x)$ $\cdots\cdots$ ㉠
이고 함수 $g(x)$는 구간 $(0,\, \infty)$에서 $g(x) \ge 0$이므로 ㉠의 좌변은 $0$ 이상인 실수이다.
그러므로 구간 $(-3, \infty)$에서
$f'(x) \ge 0$
또, ㉠에 $x=0$을 대입하면
$f'(0) = 0$
이때, 함수 $f(x)$가 최고차항의 계수가 $1$인 $4$차 함수이므로
$f'(x)=4x^{2}(x+3)$
즉, $f'(x)=4x^3 + 12x^2$
이때, $f(x) = x^4 + 4x^3 + C$ ($C$는 상수)
이 식을 ㉠에 대입하면
$g(x+3) \times (x^4 + 4x^3)^2 = 4x^3 + 12x^2$ $\cdots\cdots$ ㉡
한편,
$\int_{4}^{5}g(x)dx$ $\cdots\cdots$ ㉢
에서 구간 $[4, 5]$에서의 $g(x)$가 가지는 값은 구간 $[1, 2]$에서의 $g(x+3)$가 가지는 값과 같다.
한편 ㉡의 좌변의 식 $x^4 + 4x^3$은 구간 $[1, 2]$에서
$x^4 + 4x^3 \ne 0$
이므로
$g(x+3) = \frac{4x^3 + 12x^2}{(x^4 + 4x^3)^2}$
또, ㉢에서
$x-3 = t$
로 놓으면 $\frac{dx}{dt} = 1$이고 $x=4$일 때 $t=1$, $x=5$일 때 $t=2$이므로
$\int_{4}^{5}g(x)dx = \int_{1}^{2}g(x+3)dx$
$= \int_{1}^{2}\frac{4x^3 + 12x^2}{(x^4 + 4x^3)^2}dx$ $\cdots\cdots$ ㉣
이때, $x^4 + 4x^3 = s$로 놓으면
$4x^3 + 12x^2 = \frac{ds}{dx}$
이고 $x=1$일 때 $s=5$, $x=2$일 때 $s=48$이므로 ㉣은
$\int_{1}^{2}\frac{4x^3 + 12x^2}{(x^4 + 4x^3)^2}dx$
$=\int_{5}^{48}\frac{1}{s^2}ds$
$=\left[ -\frac{1}{s} \right]_{5}^{48}$
$=(-\frac{1}{48})+\frac{1}{5} = \dfrac{43}{240}$

따라서, $p=240$, $q=43$이므로
$p+q = 240+43 = 283$

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, \,1, \,-1)$, $\mathrm{B}(-5, \,b, \,3)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $(8, \,3, \,1)$일 때, $a+b$의 값은? [2점]

① $20$
② $22$
③ $24$
④ $26$
⑤ $28$

두 점 $\mathrm{A}(a, 1, -1)$, $\mathrm{B}(-5, b, 3)$의 중점의 좌표가 $(8, 3, 1)$이므로
$\frac{a+(-5)}{2} = 8$, $\frac{1+b}{2} = 3$

따라서 $a=21$, $b=5$이므로 $a+b=21+5 = 26$

24. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-y^2 = 1$ 위의 점 $(2a, \,\sqrt{3})$에서의 접선이 직선 $y = -\sqrt{3}x+1$과 수직일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – y^2 = 1$ 위의 점 $(2a, \sqrt{3})$에서의 접선의 방정식은
$\frac{2ax}{a^2} – \sqrt{3}y = 1$
즉, $y = \frac{2}{\sqrt{3}a}x – \frac{1}{\sqrt{3}}$
이 접선과 직선 $y= -\sqrt{3}x+1$이 수직이므로
$\frac{2}{\sqrt{3}a} \times (-\sqrt{3}) = -1$
따라서 $a=2$

25. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{5} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F'}$이라 하자. 점 $\mathrm{F}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선 위의 점 $\mathrm{A}$가 $\overline{\mathrm{AF'}} = 5$, $\overline{\mathrm{AF}} = 3$을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AF'}$과 타원이 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{PF'F}$의 둘레의 길이는? (단, $a$는 $a > \sqrt{5}$인 상수이다.) [3점]

① $8$
② $\frac{17}{2}$
③ $9$
④ $\frac{19}{2}$
⑤ $10$

32209_z25_1

직각삼각형 $\mathrm{AF’F}$에서
$\overline{\mathrm{F’F}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AF’}}^{2} – \overline{\mathrm{AF}}^{2}}$ $=\sqrt{5^2 – 3^2} = 4$
이므로 두 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F’}$은 $\mathrm{F}((2, 0)$, $\mathrm{F’}(-2, 0)$이다.
타원의 성질에 의해
$2^2 = a^2 – 5$에서 $a^2 = 9$
$a > \sqrt{5}$이므로 $a=3$

따라서 $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF’}} = 2a = 6$
이므로 삼각형 $\mathrm{PF’F}$의 둘레의 길이는
$\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF’}} + \overline{\mathrm{FF’}} = 6 + 4 = 10$

26. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}(3, \,0)$에 대하여 $$(\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}) = 5$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형과 직선 $y=\dfrac{1}{2}x + k$가 오직 한 점에서 만날 때, 양수 $k$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]

① $\frac{3}{5}$
② $\frac{4}{5}$
③ $1$
④ $\frac{6}{5}$
⑤ $\frac{7}{5}$

$(\overrightarrow{\mathrm{OP}} – \overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}} – \overrightarrow{\mathrm{OA}}) = 5$에서
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 5$
$| \overrightarrow{\mathrm{AP}} |^{2} = 5$
$| \overrightarrow{\mathrm{AP}} | = \sqrt{5}$
즉, 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 점 $\mathrm{A}(3, 0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\sqrt{5}$인 원 이다.
점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형과 직선 $y= \frac{1}{2}x + k$가 오직 한 점에서 만나므로 점 $\mathrm{A}(3, 0)$과 직선 $y= \frac{1}{2}x + k$, 즉 $x -2y +2k = 0$ 사이의 거리는 $\sqrt{5}$이다.
$\frac{| 3 – 2 \times 0 + 2k |}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \sqrt{5}$에서
$| 2k + 3 | = 5$
$2k + 3 = 5$ 또는 $2k + 3 = -5$
$k=1$ 또는 $k= -4$
$k > 0$이므로 $k=1$

27. 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $4$, 높이가 $3$인 원기둥이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다. 네 점$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 선분 $\mathrm{CD}$의 길이는? [3점]

(가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $16$이다.
(나) 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$는 서로 평행하다.

32209_z27_1

① $5$
② $\frac{11}{2}$
③ $6$
④ $\frac{13}{2}$
⑤ $7$

두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C’}$, $\mathrm{D’}$이라 하고, 두 점 $\mathrm{C’}$, $\mathrm{D’}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자.
$\overline{\mathrm{CC’}} \perp$ (평면 $\mathrm{ABD’C’}$), $\overline{\mathrm{C’E}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$
이므로 삼수선의 정리에 의해
$\overline{\mathrm{CE}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$
이다.
조건 (가)에서
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $16$이므로
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{CE}} = 16$
$\frac{1}{2} \times 8 \times \overline{\mathrm{CE}} = 16$
$\overline{\mathrm{CE}} = 4$
직각삼각형 $\mathrm{CC’E}$에서
$\overline{\mathrm{CC’}} = 3$
이므로
$\overline{\mathrm{C’E}} = \sqrt{\overline{\mathrm{CE}}^{2} – \overline{\mathrm{CC’}}^{2}} = \sqrt{4^2 – 3^2} = \sqrt{7}$
선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하면
직각삼각형 $\mathrm{OC’E}$에서
$\overline{\mathrm{OE}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OC’}}^{2} – \overline{\mathrm{C’E}}^{2}} = \sqrt{4^2 – (\sqrt{7})^2} = 3$
마찬가지 방법으로
$\overline{\mathrm{OF}} = 3$
조건 (나)에서
두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$가 서로 평행하므로
$\overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{EF}} = \overline{\mathrm{OE}} + \overline{\mathrm{OF}}$ $= 3 + 3 = 6$

28. 실수 $p$ ($p \ge 1$)과 함수 $f(x) = (x+a)^2$에 대하여 두 포물선 $$C_1 : y^2 = 4x, \: C_2 : (y-3)^2 = 4p\{ x - f(p) \}$$ 가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$라 하자. 두 포물선 $C_1$, $C_2$의 초점을 각각 $\mathrm{F_1}$, $\mathrm{F_2}$라 할 때, $\overline{\mathrm{AF_1}} = \overline{\mathrm{AF_2}}$를 만족시키는 $p$가 오직 하나가 되도록 하는 상수 $a$의 값은? [4점]

① $-\frac{3}{4}$
② $-\frac{5}{8}$
③ $-\frac{1}{2}$
④ $-\frac{3}{8}$
⑤ $-\frac{1}{4}$

32209_z28_1

포물선 $C_1 : y^2 = 4x$의 초점의 좌표는 $\mathrm{F_1}(1, 0)$이고 준선의 방정식은 $x = -1$이다.
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $x_1$이라 하자.
점 $\mathrm{A}$에서 포물선 $C_1$의 준선 $x = -1$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H_1}$이라 하면 포물선의 성질에 의해
$\overline{\mathrm{AF_1}} = \overline{\mathrm{AH_1}} = x_1 +1$ $\cdots\cdots$ ㉠

포물선 $C_2 : (y-3)^2 = 4p\{ x – f(p) \}$의 초점의 좌표는 $\mathrm{F_2}(p+f(p), 3)$이고 준선의 방정식은 $x = -p + f(p)$이다.
점 $\mathrm{A}$에서 포물선 $C_2$의 준선 $x = -p + f(p)$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H_2}$라 하면
포물선의 성질에 의해
$\overline{\mathrm{AF_2}} = \overline{\mathrm{AH_2}} = x_1 +p – f(p)$ $\cdots\cdots$ ㉡
이때, $\overline{\mathrm{AF_1}} = \overline{\mathrm{AF_2}}$이므로
㉠, ㉡에서 $x_1 +1 = x_1 +p – f(p)$
$f(p) – p + 1 = 0$
$f(x) = (x+a)^2$이므로
$(p+a)^2 – p + 1 = 0$
$p^2 + (2a-1)p + (a^2 +1) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉢
$p$에 대한 이차방정식 ㉢의 판별식을 $D$라 하자.
(ⅰ) $D < 0$일 때
㉢을 만족시키는 실수 $p$의 값은 존재하지 않는다.

(ⅱ) $D = 0$일 때,
$D = (2a-1)^2 -4(a^2 + 1) = 0$에서 $a = -\frac{3}{4}$
$a = -\frac{3}{4}$을 ㉢에 대입하면
$p^2 -\frac{5}{2}p + \frac{25}{16} = 0$
$(p -\frac{5}{4})^2 = 0$
$p = \frac{5}{4} \ge 1$

(ⅲ) $D > 0$일 때,
$D = (2a-1)^2 -4(a^2 + 1) > 0$에서 $a < -\frac{3}{4}$
$g(p) = p^2 + (2a-1)p + (a^2 +1)$이라 하면 $g(1) = (a+1)^2 \ge 0$
$p$에 대한 이차방정식 ㉢의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)라 하면
$\alpha + \beta = 1 – 2a > 0$
$\alpha \beta = a^2 + 1 \ge 1$
이때, $1 \le \alpha < \beta$이므로 $p \ge 1$인 $p$가 두 개 존재한다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 $a = -\dfrac{3}{4}$

1_out_of_999

29. 좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4, \: S_2 : x^2 + y^2 + (z+7)^2 = 49$$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}(\sqrt{5}, \,0, \,0)$을 지나고 $zx$평면에 수직이며, 구 $S_1$과 $z$좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$라 하자. 구 $S_2$가 평면 $\alpha$와 만나서 생기는 원을 $C$라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$좌표가 최소인 점을 $\mathrm{B}$라 하고 구 $S_2$와 점 $\mathrm{B}$에서 접하는 평면을 $\beta$라 하자.
원 $C$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32209_z29_1

$127$

두 구 $S_1$, $S_2$의 중심을 각각 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$라 하면
$\mathrm{O_1}(0, 0, 2)$, $\mathrm{O_2}(0, 0, -7)$이고, 두 구 $S_1$, $S_2$의 반지름의 길이는 각각 $2$, $7$ 이다.
두 점 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}_1$, $\mathrm{H}_2$라 하고, 평면 $\alpha$와 $z$축이 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자.
직각삼각형 $\mathrm{O_{1}CH_1}$에서 $\overline{\mathrm{O_{1}C}} = k$ ($k > 0$)이라 하면
$\overline{\mathrm{CH_1}} = \sqrt{\overline{\mathrm{O_{1}C}}^{2} – \overline{\mathrm{O_{1}H_1}}^{2}}$ $= \sqrt{k^2 – 2^2} = \sqrt{k^2 – 4}$
원점을 $\mathrm{O}$라 하면
$\triangle \mathrm{O_{1}CH_1} \sim \triangle \mathrm{ACO}$
이고, $\overline{\mathrm{OC}} = 2 + k$이므로
$(k+2) : \sqrt{k^2 – 4} = \sqrt{5} : 2$에서
$k^2 -16k -36 = 0$
$(k-18)(k+2) = 0$
$k > 0$이므로 $k = 18$
$\triangle \mathrm{O_{1}CH_1} \sim \triangle \mathrm{O_{2}CH_2}$
이고, $\overline{\mathrm{O_{1}C}} = 18$, $\overline{\mathrm{O_{2}C}} = 27$이므로
$18 : 2 = 27 : \overline{\mathrm{O_{2}H_2}}$에서
$\overline{\mathrm{O_{2}H_2}} = 3$

평면 $\alpha$와 구 $S_2$가 만나서 생기는 원 $C$의 중심은 $\mathrm{H_2}$이고 반지름의 길이는 $\overline{\mathrm{BH_2}}$이다. 이때,
$\overline{\mathrm{BH_2}} = \sqrt{\overline{\mathrm{O_{2}B}}^{2} – \overline{\mathrm{O_{2}H_2}}^{2}}$ $= \sqrt{7^2 – 3^2} = 2\sqrt{10}$
이므로 원 $C$의 넓이는
$\pi \times (2\sqrt{10})^2 = 40 \pi$
한편, 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면
$\theta = \angle \mathrm{BO_{2}H_2}$이므로
$\cos \theta = \frac{3}{7}$
원 $C$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이는
$40 \pi \times \frac{3}{7} = \frac{120}{7}\pi$

따라서 $p=7$, $q = 120$이므로
$p+q = 7 + 120 = 127$

30. 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A}(-2, \, 2)$, $\mathrm{B}(2, \, 2)$가 있다. $$(| \overrightarrow{\mathrm{AX}} | - 2)(| \overrightarrow{\mathrm{BX}} | - 2) = 0, \: | \overrightarrow{\mathrm{OX}} | \ge 2$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overrightarrow{u} = (1, 0)$에 대하여 $(\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{u})(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{u}) \ge 0$이다.
(나) $| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} | = 2$

$\overrightarrow{\mathrm{OY}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$를 만족시키는 점 $\mathrm{Y}$의 집합이 나타내는 도형의 길이가 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}\pi$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$17$

$(| \overrightarrow{\mathrm{AX}} | – 2)(| \overrightarrow{\mathrm{BX}} | – 2) = 0$에서
$| \overrightarrow{\mathrm{AX}} | = 2$ 또는 $| \overrightarrow{\mathrm{BX}} | = 2$
점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{A}(-2, 2)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 또는 점 $\mathrm{B}(2, 2)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 위를 움직인다.
이때, $| \overrightarrow{\mathrm{OX}} | \ge 2$이므로 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형은 다음 [그림 1]과 같다.
두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{u}$가 이루는 각의 크기를 $\theta_1$, 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$, $\overrightarrow{u}$가 이루는 각의 크기를 $\theta_2$라 하면
조건 (가)에서
$(\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{u})(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{u}) \ge 0$
즉 $| \overrightarrow{\mathrm{OP}} | | \overrightarrow{\mathrm{OQ}} | \cos \theta_1 \cos \theta_2 \ge 0$이므로
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 [그림 1]에서 제$1$사분면, $x$축, $y$축에 있거나 제$2$사분면, $x$축, $y$축에 있어야 한다.

(ⅰ) 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 [그림 1]에서 제$1$사분면 또는 $x$축 또는 $y$축 위에 있을 때,선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{OY}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ $=2\overrightarrow{\mathrm{OM}} =2\overrightarrow{\mathrm{OB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BM}}$
이때,
$| \overrightarrow{\mathrm{BM}} | = \sqrt{| \overrightarrow{\mathrm{BP}} |^{2} – | \overrightarrow{\mathrm{PM}} |^{2}}$ $= \sqrt{2^2 -1^2} = \sqrt{3}$
이므로
점 $\mathrm{Y}$의 집합이 나타내는 도형은 중심이 $(4, 4)$이고 반지름의 길이가 $2\sqrt{3}$, 중심각의 크기가 $\frac{7}{6}\pi$인 부채꼴의 호이다.
따라서 점 $\mathrm{Y}$가 나타내는 도형의 길이는
$2\sqrt{3} \times \frac{7}{6}\pi = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$

(ⅱ) 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 [그림 1]에서 제$2$사분면 또는 $x$축 또는 $y$축 위에 있을 때, ( i )과 마찬가지 방법으로 점 $\mathrm{Y}$가 나타내는 도형의 길이는
$2\sqrt{3} \times \frac{7}{6}\pi = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$

(ⅰ), (ⅱ)에서 점 $\mathrm{Y}$가 나타내는 도형의 길이는
$2 \times \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi = \dfrac{14}{3}\sqrt{3}\pi$

따라서 $p = 3$, $q = 14$이므로
$p+q = 3 + 14 = 17$

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