24년 10월 교육청
3. $\dfrac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin^{2}\theta = \dfrac{4}{5}$일 때, $\dfrac{\tan \theta}{\cos \theta}$의 값은? [3점]
① $-3\sqrt{5}$
② $-2\sqrt{5}$
③ $-\sqrt{5}$
④ $\sqrt{5}$
⑤ $2\sqrt{5}$
5. 함수 $$f(x) = \begin{cases} \: (x-a)^{2}-3 & (x < 1) \\ \:2x-1 & (x \ge 1) \end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합은? [3점]
① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $2$
⑤ $4$
6. 공비가 양수인 등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $$4(S_4 - S_2) = S_6 - S_{4}, \: a_3 = 12$$ 일 때, $S_3$의 값은? [3점]
① $18$
② $21$
③ $24$
④ $27$
⑤ $30$
②
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$ ($r > 0$)이라 하면
$S_4 – S_2 = a_3 + a_4 = a_{1}r^{2}(1+r)$
$S_6 – S_4 = a_5 + a_6 = a_{1}r^{4}(1+r)$
$4(S_4 – S_2) = S_6 – S_{4}$이므로 $4a_{1}r^{2}(1+r) = a_{1}r^{4}(1+r)$
$a_{1} \ne 0$이고 $r^2 = 4$이므로 $r=2$
$a_3 = 12$에서 $a_1 \times 2^2 = 12$, $a_1 = 3$
따라서 $S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3 + 3 \times 2 + 3 \times 2^2 = 21$
7. 상수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 -3x^2 -9x +k$의 극솟값이 $-17$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값은? [3점]
① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$
8. 함수 $f(x) = x^2 +1$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=0$, $x=1$로 둘러싸인 부분의 넓이를 점 $(1, \,f(1))$을 지나고 기울기가 $m$ ($m \ge 2$)인 직선이 이등분할 때, 상수 $m$의 값은? [3점]
① $\frac{5}{2}$
② $3$
③ $\frac{7}{2}$
④ $4$
⑤ $\frac{9}{2}$
②
함수 $f(x) = x^2 + 1$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=0$, $x=1$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$라 하면
$A = \int_{0}^{1}(x^2 + 1)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$
점 $(1, f(1))$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은
$y – f(1) = m(x-1)$, $y = mx -m +2$
세 점 $(1, f(1))$, $(1, 0)$, $(1-\frac{2}{m}, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\frac{A}{2}$이므로
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{m} \times 2$
$m = 3$
9. 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A}(4,\, \log_{3}a)$, $\mathrm{B}(\log_{2}2\sqrt{2},\, \log_{3}\frac{3}{2})$이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 1$로 외분하는 점이 직선 $y = 4x$ 위에 있을 때, 양수 $a$의 값은? [4점]
① $\frac{3}{8}$
② $\frac{7}{16}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $\frac{9}{16}$
⑤ $\frac{5}{8}$
①
[선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 1$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.
점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는
$\frac{3 \log_{2}2\sqrt{2} – 4}{3-1} = \frac{1}{2} \times (3 \times \frac{3}{2} – 4) = \frac{1}{4}$
점 $\mathrm{Q}$는 직선 $y = 4x$ 위에 있으므로
점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $4 \times \frac{1}{4} = 1$
$\frac{3 \log_{3}\frac{3}{2} – \log_{3}a}{3-1} = 1$에서 $(\frac{3}{2})^3 \times \frac{1}{a} = 3^2$, $a = \frac{3}{8}$
10. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$(x-1)g(x) = | f(x) |$$ 를 만족시킨다. 함수 $g(x)$가 $x=1$에서 연속이고 $g(3) = 0$일 때, $f(4)$의 값은? [4점]
① $9$
② $12$
③ $15$
④ $18$
⑤ $21$
①
$(x-1)g(x) = | f(x) |$에 $x=1$을 대입하면 $f(1) = 0$
$x=3$을 대입하면 $2g(3) = | f(3) |$
$g(3) = 0$이므로 $f(3) = 0$
$f(x) = (x-1)(x-3)(x-a)$ ($a$는 상수)라 하자.
$g(x) = \frac{| (x-1)(x-3)(x-a) |}{x-1}$ ($x \ne 1$)
함수 $g(x)$가 $x = 1$에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}g(x) = \lim_{x \to 1-}\frac{| (x-1)(x-3)(x-a) |}{x-1}$ $= -2| 1-a |$
$\displaystyle \lim_{x \to 1+}g(x) = \lim_{x \to 1+}\frac{| (x-1)(x-3)(x-a) |}{x-1}$ $= 2| 1-a |$
$-2| 1-a | = 2| 1-a |$, $a = 1$
$f(x) = (x-1)^{2}(x-3)$이므로 $f(4) = 9$
11. 모든 항이 자연수인 두 등차수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$a_5 - b_5 = a_6 - b_7 = 0$$ 이다. $a_7 = 27$이고 $b_7 \le 24$일 때, $b_1 -a_1$의 값은? [4점]
① $4$
② $6$
③ $8$
④ $10$
⑤ $12$
③
등차수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$의 공차를 각각 $d$, $l$이라 하자.
$a_6 – a_5 = b_7 – b_5$이므로 $d = 2l$
$d=0$이면 $a_7 = a_6 =27$이고 $b_7 \le 24$에서 $a_6 \ne b_7$이므로 $d \ne 0$이다.
$l$은 자연수이므로 $d$는 $2$의 배수이다.
$a_7 = a_1 + 6d = 27$에서
$a_1 = 27 – 6d > 0$이므로 $d=2$ 또는 $d=4$
(ⅰ) $d=2$인 경우, $a_1 = 27 – 6 \times 2 = 15$이고
$b_7 = b_5 + 2l = a_5 + d = a_1 + 5d = 25$
(ⅱ) $d=4$인 경우, $a_1 = 27 – 6 \times 4 = 3$이고
$b_7 = b_5 + 2l = a_5 + d = a_1 + 5d = 23$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $b_7 \le 24$이므로 $d = 4$, $l = 2$
$b_1 – a_1 = (b_5 – a_5) + 4(d-l) = 4 \times 2 = 8$
곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수는
방정식 $f(x)=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,
(ⅰ) $0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$ 일 때,
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
(ⅱ) $\frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$ 일 때,
$2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) – \sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 에서 $\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
그러므로 교점의 개수는 구간 $[0,\, 2 \pi]$ 에서 방정식
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
$k=1$, $k=5$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{1}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{1}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=2$, $k=4$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=3$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = 1$ 이므로
$\sin x = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $1$ 이다.
따라서 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ $=2+2+1+2+2=9$
12. 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = -3t^2 +at, \: v_{2}(t) = -t + 1$$ 이다. 출발한 후 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 한 번만 만나도록 하는 양수 $a$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$에서 시각 $t=3$까지 움직인 거리는? [4점]
① $\frac{29}{2}$
② $15$
③ $\frac{31}{2}$
④ $16$
⑤ $\frac{33}{2}$
①
출발한 후 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 만나는 시각을 $t = k$ ($k > 0$)이라 하자.
$\int_{0}^{k}(-3t^2 + at)dt – \int_{0}^{k}(-t+1)dt = 0$
$\int_{0}^{k}\{(-3t^2 + at)-(-t+1)\}dt = 0$
$-k^3 + \frac{a+1}{2}k^2 – k = 0$, $k(k^2 – \frac{a+1}{2}k +1) = 0$
이차방정식 $k^2 – \frac{a+1}{2}k +1 = 0$이 양수인 근을 가지고 근과 계수와의 관계에서 두 근의 곱이 $1$이므로 이차방정식의 판별식 $D$에 대하여 $D = 0$이다.
$D = (\frac{a+1}{2})^{2} – 4 = 0$, $a = 3$
시각 $t=0$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는
$\int_{0}^{3} | v_{1}(t) | dt = \int_{0}^{3} |-3t^2 + 3t \,| dt$
$= \int_{0}^{1} (-3t^2 + 3t) dt + \int_{1}^{3} (3t^2 – 3t) dt$
$= \frac{29}{2}$
13. 그림과 같이 한 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 $$\overline{\mathrm{AB}}=4, \:\overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{30}, \:\overline{\mathrm{CD}}=8$$ 이다. $\angle \mathrm{BAC} = \alpha$, $\angle \mathrm{ACD} = \beta$라 할 때, $\cos (\alpha + \beta) = -\dfrac{5}{12}$이다. 두 선분 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{E}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AE}$의 길이는? (단, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$) [4점]
① $\sqrt{6}$
② $\frac{\sqrt{26}}{2}$
③ $\sqrt{7}$
④ $\frac{\sqrt{30}}{2}$
⑤ $2\sqrt{2}$
⑤
삼각형 $\mathrm{ABE}$와 삼각형 $\mathrm{DCE}$는 서로 닮음이고 $\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$이므로 $\overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{CE}} = 1 : 2$이다.
삼각형 $\mathrm{BEC}$에서 $\overline{\mathrm{BE}} = k$ ($k > 0$)이라 하면 $\overline{\mathrm{CE}} = 2k$
원주각의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{BDC} = \angle \mathrm{BAC} = \alpha$이므로 $\angle \mathrm{BEC} = \alpha + \beta$
삼각형 $\mathrm{BEC}$에서 코사인법칙에 의하여
$(2\sqrt{30})^2 = k^2 + 4k^2 – 2 \times k \times 2k \times (-\frac{5}{12})$, $k^2 = 18$
$k > 0$이므로 $k = 3 \sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{BE}} = 3 \sqrt{2}$
$\overline{\mathrm{AE}} = t$ ($t > 0$)이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABE}$에서
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$이므로 $t^2 + 4^2 > (3\sqrt{2})^2$, $t > \sqrt{2}$
$\cos (\pi – (\alpha + \beta)) = – \cos (\alpha + \beta) = \frac{5}{12}$
삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 코사인법칙에 의하여
$4^2 = t^2 + (3 \sqrt{2})^2 – 2 \times t \times 3 \sqrt{2} \times \frac{5}{12}$
$2t^2 -5\sqrt{2}t + 4 = 0$
$(2t – \sqrt{2})(t – 2\sqrt{2}) = 0$
$t > \sqrt{2}$이므로 $t = 2\sqrt{2}$
따라서 구하는 선분 $\mathrm{AE}$의 길이는 $2\sqrt{2}$이다.
14. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \le 1) \\ f(x-1)+2 & (x > 1) \end{cases}$$ 은 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(0, \,g(0))$에서의 접선의 방정식이 $y = 2x + 1$이다. $g'(t) = 2$인 서로 다른 모든 실수 $t$의 값의 합은? [4점]
① $4$
② $\frac{9}{2}$
③ $5$
④ $\frac{11}{2}$
⑤ $6$
③
곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(0, \,g(0))$에서의 접선의 방정식이 $y = 2x + 1$이므로
$g(0) = 1$, $g'(0) = 2$이고 $f(0)=1$, $f'(0) = 2$이다.
함수 $g(x)$가 $x=1$에서 미분가능하므로 연속이다.
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}g(x) = \lim_{x \to 1+}g(x) = g(1)$
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}f(x) = \lim_{x \to 1+}\{f(x-1) + 2\} = f(1)$
$f(1) = f(0) + 2$ $\cdots\cdots$ ㉠
함수 $g(x)$가 $x=1$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}\frac{g(x) – g(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+}\frac{g(x) – g(1)}{x-1}$
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}\frac{f(x) – f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+}\frac{f(x-1) +2 – f(1)}{x-1}$
㉠에서 $2 – f(1) = -f(0)$이므로
$f'(1) = f'(0) = 2$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 곡선 $y=f(x)$는 직선 $y=2x+1$과 두 점 $(0, f(0))$, $(1, f(1))$에서 접한다.
$f(x) – (2x+1) = x^{2}(x-1)^2$
$f(x) = x^{2}(x-1)^2 + 2x+1 = x^4 -2x^3 +x^2 +2x +1$
$f'(x) = 4x^3 -6x^2 +2x +2 = 2$
$2x(2x-1)(x-1)=0$
$g(x) = f(x)$ ($x \le 1$)이므로
$x \le 1$에서 $g'(x) = 2$인 $x$의 값은
$x=0$ 또는 $x = \frac{1}{2}$ 또는 $x=1$ $\cdots\cdots$ ㉢
$g(x) = f(x-1)+2$ ($x > 1$)
곡선 $y = f(x-1)+2$는 곡선 $y = f(x)$를 $x$축의 방향으로 $1$, $y$축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 곡선이므로 $x > 1$에서 $g'(x) = 2$인 $x$의 값은
$x = \frac{3}{2}$ 또는 $x=2$ $\cdots\cdots$ ㉣
㉢, ㉣에서 $g'(t)=2$인 모든 실수 $t$의 값의 합은
$0 + \frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 = 5$
15. 모든 항이 자연수인 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{n} & (n \textbf{이 } a_{n}\textbf{의 약수인 경우}) \\ \\ 3a_{n}+1 & (n \textbf{이 } a_{n}\textbf{의 약수가 아닌 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킬 때, $a_6 = 2$가 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합은? [4점]
① $254$
② $264$
③ $274$
④ $284$
⑤ $294$
④
자연수 $k$에 대하여
$a_{n+1} = 3k$ 또는 $a_{n+1} = 3k-1$ ($k$는 자연수)이면
$a_{n+1} \ne 3a_{n} + 1$이므로 $a_{n+1}=\frac{a_n}{n}$, $a_n = na_{n+1}$이다.
$a_6 = 2 = 3 \times 1 – 1$이므로 $a_5 = 5 \times 2 = 10$
$10 = 3 \times 3 + 1$이므로
$a_4 = 3$ 또는 $a_4 = 4 \times 10 = 40$
(ⅰ) $a_4 = 3$인 경우, $3 = 3 \times 1$이므로
$a_3 = 3 \times 3 = 9$, $a_9 = 2 \times 9 = 18$, $a_1 = 18$
(ⅱ) $a_4 = 40$인 경우, $40 = 3 \times 13 + 1$이므로
$a_3 = 13$ 또는 $a_2 = 3 \times 40 = 120$
① $a_3 = 13$인 경우, $13 = 3 \times 4 + 1$이므로
$a_2 = 4$ 또는 $a_2 = 2 \times 13 = 26$
$a_2 = 4$인 경우, $2$는 $4$의 약수이므로 $a_3 = \frac{4}{2} = 2$가 되어 $a_3 \ne 13$이다.
$a_2 = 26$인 경우, $a_1 = 26$
② $a_3 = 120$인 경우, $120 = 3 \times 40$이므로
$a_2 = 2 \times 120 = 240$, $a_1 = 240$
(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 $a_1$의 값의 합은
$18 + 26 + 240 = 284$
18. 수열 $\{ a_n \}$과 상수 $c$에 대하여 $$\displaystyle \sum_{n=1}^{9}ca_n = 16, \:\sum_{n=1}^{9}(a_n + c) = 24$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{9}a_n$의 값을 구하시오. [3점]
$12$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{9}ca_n = c \times \sum_{n=1}^{9}a_n$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{9}(a_n + c) = \sum_{n=1}^{9}a_n + \sum_{n=1}^{9}c$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{9}a_n = A$라 하면
$cA = 16$ $\cdots\cdots$ ㉠
$A + 9C = 24$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$A^2 -24A + 144 = 0$, $A = 12$
따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{9}a_n = 12$
19. 두 상수 $a$, $b$ ($a > 0$)에 대하여 함수 $f(x) = | \sin a \pi x + b |$가 다음 조건을 만족시킬 때, $60(a+b)$의 값을 구하시오. [3점]
(가) $f(x) = 0$이고 $| x | \le \dfrac{1}{a}$인 모든 실수 $x$의 값의 합은 $\dfrac{1}{2}$이다.
(나) $f(x) = \dfrac{2}{5}$이고 $| x | \le \dfrac{1}{a}$인 모든 실수 $x$의 값의 합은 $\dfrac{3}{4}$이다.
$84$
(가)에서 $f(x) = 0$이고 $-\frac{1}{a} \le x \le \frac{1}{a}$인 모든 실수 $x$의 값의 합이 $\frac{1}{2}$이 되기 위해서는
$\frac{1}{2a} = \frac{1}{2}$ 또는 $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$,
$a=1$ 또는 $a=2$이다.
$a=1$이면 $b = -1$이고 $-\frac{1}{a} \le x \le \frac{1}{a}$에서 $f(x) = \frac{2}{5}$인 모든 실수 $x$의 값의 합이 $1$이 되어 (나)를 만족시키지 않는다.
$a=2$이면 (나)에 의해 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = \frac{2}{5}$가 세 점에서 만나야 하므로
$f(\frac{1}{4}) = \left| \sin \frac{\pi}{2} + b \right| = | 1 + b | = \frac{2}{5}$
$b = – \frac{7}{5}$이면 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $x$축이 만나지 않으므로 $b = – \frac{3}{5}$
따라서 $60(a+b) = 60(2 – \frac{3}{5}) = 60 \times \frac{7}{5} = 84$
20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\{ f(x) \}^2 = 2 \int_{3}^{x}(t^2 + 2t)f(t)dt$$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \int_{-3}^{0}f(x)dx$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M-m$의 값을 구하시오. [4점]
$54$
$\{ f(x) \}^2 = 2 \int_{3}^{x}(t^2 + 2t)f(t)dt$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에 $x=3$을 대입하면 $f(3) = 0$
㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$2f(x)f'(x) = 2(x^2 + 2x)f(x)$
$2f(x) \{ f'(x) – x^2 – 2x \} = 0$
$f(x) = 0$ 또는 $f'(x) = x^2 + 2x$
함수 $f(x)$에 대하여 집합 $A = \{ x | f(x) \ne 0 \}$이라 하자. $A = \varnothing$이면 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
$A \ne \varnothing$이라 하자.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$를
$g(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 +a$ ($a$는 실수)
라 하자. 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 연속이므로 $x \in A$인 모든 $x$에 대하여 $f(x) = g(x)$이다.
(ⅰ) $g(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지는 경우
함수 $g(x)$의 극댓값은 $g(-2)$이고
$g(-2) = \frac{4}{3} + a > 0$
이므로 $g(3) = 18 + a \ne 0$이다.
함수 $f(x)$, $g(x)$가 연속이므로
$f(3) = \displaystyle \lim_{x \to 3}f(x) = \lim_{x \to 3}g(x) = g(3) = 0$
그러므로 $g(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지는 함수 $g(x)$는 존재하지 않는다.
(ⅱ) $g(x) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우
함수 $g(x)$의 극댓값 또는 극솟값이 $0$이다.
$g(-2) = 0$일 때, $g(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 – \frac{4}{3}$
$g(0) = 0$일 때, $g(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2$
$f(3) = 0$이고 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x^3 + x^2 – \frac{4}{3} & (x < -2) \\ 0 & (x \ge -2) \end{cases}$ $\cdots\cdots$ ㉢
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x^3 + x^2 & (x < 0) \\ 0 & (x \ge 0) \end{cases}$
$\cdots\cdots$ ㉣
(ⅲ) $g(x) = 0$이 오직 하나의 실근을 가지는 경우
하나의 실근을 $\alpha$라 하면 함수 $f(x)$, $g(x)$가 연속이므로
$f(\alpha) = \displaystyle \lim_{x \to \alpha}f(x) = \lim_{x \to \alpha}g(x) = g(\alpha) = 0$
이고 $f(3) = 0$이므로 $\alpha = 3$이다.
$g(3) = 18 + a = 0$, $a = -18$
이므로 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 – 18$ $\cdots\cdots$ ㉤
조건을 만족시키는 $f(x)$는 ㉡과 (ⅰ)~(ⅲ)에서 ㉢, ㉣, ㉤이므로 정적분 $\int_{-3}^{0}f(x) dx$의 값이 최대가 되는 $f(x)$는 ㉣, 최소가 되는 $f(x)$는 ㉤이다.
$M – m = \int_{-3}^{0} (\frac{1}{3}x^3 + x^2) dx – \int_{-3}^{0} (\frac{1}{3}x^3 + x^2 -18) dx$
$= \int_{-3}^{0} 18 dx = 54$
21. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{x-3} + a & (x < 2) \\ \\ \vert 5 \log_{2}x - b \vert & (x \ge 2) \end{cases}$$ 이다. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$의 최솟값을 구하시오. [4점]
(가) 함수 $g(t)$의 치역은 $\{ 0, \,1, \,2 \}$이다.
(나) $g(t) = 2$인 자연수 $t$의 개수는 $6$이다.
$15$
$x < 2$에서 함수 $y = \frac{4}{x-3}+a$는 감소한다.
함수 $y = 5\log_{2}x – b$는 증가하고 $f(2) = | 5-b |$이다.
(ⅰ) $5-b < 0$, $b > 5$인 경우
$a – 4 < b – 5$이면 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.
(가)에서 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = t$는 서로 다른 세 점에서 만나지 않아야 하므로 아래 그림과 같이 $a-4 \ge b-5$, $b-a \le 1$을 만족시켜야 한다.
(나)에서 $g(t) = 2$가 되도록 하는 자연수 $t$는 $a-1$, $a-2$, $a-3$과 $b-5$ 이하의 자연수이므로 $t$의 개수가 $6$이면 $b-5 = 3$, $b=8$이다. $b-a \le 1$이므로 $8-a \le 1$에서 $a \ge 7$이다. 그러므로 $a \ge 7$, $b=8$이다.
(ⅱ) $5-b \ge 0$, $b \le 5$인 경우
함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.
$g(t) = 2$이면 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$는 $x < 2$에서 한 점에서 만나고, $x \ge 2$에서 한 점에서 만난다.
그런데 $x < 2$에서 $a-4 < f(x) < a$이고, $a-4$ 보다 크고 $a$ 보다 작은 정수는 $a-3$, $a-2$, $a-1$로 $3$ 개뿐이므로 자연수 $t$의 최대 개수는 $3$이고 (나)를 만족시키지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 $a \ge 7$, $b=8$이므로 $a+b \ge 15$
따라서 $a+b$의 최솟값은 $15$이다.
22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \begin{cases} f(x) + x & (f(x) \ge 0) \\ \\ 2f(x) & (f(x) < 0) \end{cases}$$ 이라 할 때, 함수 $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $g(x)$가 $x=t$에서 불연속인 실수 $t$의 개수는 $1$이다.
(나) 함수 $g(x)$가 $x=t$에서 미분가능하지 않은 실수 $t$의 개수는 $2$이다.
$f(-2) = -2$일 때, $f(6)$의 값을 구하시오. [4점]
$486$
실수 $t$에 대하여 $f(t) > 0$이면 $g(x)=f(x)+x$이므로 함수 $g(x)$는 $x=t$에서 연속이고 미분가능하다. $f(t) < 0$이면 $g(x) = 2f(x)$이므로 함수 $g(x)$는 $x=t$에서 연속이고 미분가능하다. $f(t) = 0$이면 아래와 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.
$\bullet$ $x=t$의 좌우에서 $f(x)$의 부호가 서로 다른 경우
$g(t)=f(t)+t = t$
$\displaystyle \lim_{x \to t-}g(x) = \lim_{x \to t-}\{ f(x)+x \} = f(t) + t = t$,
$\displaystyle \lim_{x \to t+}g(x) = \lim_{x \to t+}2f(x) = 2f(t) = 0$
또는
$\displaystyle \lim_{x \to t-}g(x) = \lim_{x \to t-}2f(x) = 2f(t) = 0$,
$\displaystyle \lim_{x \to t+}g(x) = \lim_{x \to t+}\{ f(x)+x \} = f(t) + t = t$이므로
함수 $g(x)$는 $t=0$이면 $x=t$에서 연속이고 $t \ne 0$이면 $x=t$에서 불연속이다.
$\bullet$ $x=t$의 좌우에서 $f(x)$의 부호가 모두 양인 경우
$g(t)=f(t)+t = t$,
$\displaystyle \lim_{x \to t}g(x) = \lim_{x \to t}\{ f(x)+x \} = f(t) + t = t$이므로
함수 $g(x)$는 $x=t$에서 연속이다.
$\bullet$ $x=t$의 좌우에서 의 부호가 모두 음인 경우
$g(t)=f(t)+t = t$,
$\displaystyle \lim_{x \to t}g(x) = \lim_{x \to t}2f(x) = 0$이므로
함수 $g(x)$는 $t=0$이면 $x=t$에서 연속, $t \ne 0$이면 $x=t$에서 불연속이다.
$f(x) = 0$을 만족시키는 실근의 개수가 $1$이면 함수 $g(x)$가 $x=t$에서 미분가능하지 않은 $t$의 개수가 $1$ 이하이므로 (나)를 만족시키지 않는다.
$f(x) = 0$을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 $3$이면 $0$이 아닌 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 이상이고 함수 $g(x)$가 $x=t$에서 불연속인 $t$의 개수가 $2$ 이상이므로 (가)를 만족시키지 않는다.
그러므로 $f(x) = 0$을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고 $a < b$인 두 실수 $a$, $b$가 존재하여 $f(x) = (x-a)(x-b)^2$ 또는 $f(x) = (x-a)^{2}(x-b)$
(ⅰ) $f(x) = (x-a)(x-b)^2$인 경우
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(b+h)-g(b)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(b+h-a)h^2 + h}{h} = 1$
$g'(b) = 1$이며 함수 $g(x)$가 $x=t$에서 미분가능하지 않은 실수 $t$의 개수가 $1$ 이하이므로 (나)를 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $f(x) = (x-a)^{2}(x-b)$, $a \ne 0$, $b \ne 0$인 경우
함수 $g(x)$가 $x=a$, $x=b$에서 불연속이므로 (가)를 만족시키지 않는다.
(ⅲ) $f(x) = (x-a)^{2}(x-b)$, $a = 0$, $b \ne 0$인 경우
$x=a$에서 연속이며 $g(a) = f(a) + a = 0$이다.
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2h^{2}(a+h-b)}{h} = 0$
$g'(a) = 0$이므로 (나)를 만족시키지 않는다.
(ⅳ) $f(x) = (x-a)^{2}(x-b)$, $a \ne 0$, $b = 0$인 경우
함수 $g(x)$는 $x=a$에서 불연속이며 미분가능하지 않다. $x=b$에서 연속이며 $g(b) = f(b) + b = 0$
$\displaystyle \lim_{h \to 0-}\frac{g(b+h)-g(b)}{h} = \lim_{h \to 0-}\frac{2h(h-a)^2}{h} = 2a^2$
$\displaystyle \lim_{h \to 0+}\frac{g(b+h)-g(b)}{h} = \lim_{h \to 0+}\frac{(h-a)^{2}h + h}{h} = a^2 + 1$
$2a^2 \ne a^2 + 1$, $a^2 \ne 1$이면 함수 $g(x)$는 $x=b$에서 미분가능하지 않다.
(ⅰ)~(ⅳ)에서 $f(x) = x(x-a)^2$, $a < 0$, $a^2 \ne 1$
$f(-2) = -2(-2-a)^2 = -2$에서 $a = -3$
따라서 $f(x) = x(x+3)^2$이고 $f(6) = 486$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이고 $$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{15}, \:\mathrm{P}(A^{c} \cap B) = \frac{1}{10}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A)$의 값은? [3점]
① $\frac{4}{15}$
② $\frac{1}{3}$
③ $\frac{2}{5}$
④ $\frac{7}{15}$
⑤ $\frac{8}{15}$
③
$\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A^{c} \cap B)$
$= \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{1}{6}$
두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이므로
$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \times \mathrm{P}(B)$ $= \mathrm{P}(A) \times \frac{1}{6}$
$\mathrm{P}(A) = 6 \times \mathrm{P}(A \cap B)= 6 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{5}$
26. 어느 회사에서 생산하는 다회용 컵 $1$개의 무게는 평균이 $m$, 표준편차가 $0.5$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 다회용 컵 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균이 $67.27$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간이 $a \le m \le 67.41$이다. $n+a$의 값은? (단, 무게의 단위는 $\rm{g}$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(| Z | \le 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]
① $92.13$
② $97.63$
③ $103.13$
④ $109.63$
⑤ $116.13$
⑤
다회용 컵 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균이 $67.27$이므로 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간은
$67.27 – 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}} \le m \le 67.27 + 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}}$
$67.41 = 67.27 + 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}}$,
$n = 49$
$a = 67.27 – 1.96 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}} = 67.27 – 1.96 \times \frac{0.5}{7} = 67.13$
따라서 $n+a = 49 + 67.13 = 116.13$
27. $7$개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 각각의 공에는 $1$ 또는 $2$ 또는 $3$ 중 하나의 숫자가 적혀 있다. 이 상자에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내어 확인한 두 개의 수의 곱을 확률변수 $X$라 하자. 확률변수 $X$가 $$\mathrm{P}(X = 4) = \frac{1}{21}, \:2\mathrm{P}(X = 2) = 3\mathrm{P}(X = 6)$$ 을 만족시킬 때, $\mathrm{P}(X \le 3)$의 값은? [4점]
① $\frac{2}{7}$
② $\frac{3}{7}$
③ $\frac{4}{7}$
④ $\frac{5}{7}$
⑤ $\frac{6}{7}$
④
숫자 $1$, $2$, $3$이 적혀 있는 공의 개수를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면
$a + b + c = 7$
$\mathrm{P}(X = 4) = \frac{_{b}\mathrm{C}_{2}}{_{7}\mathrm{C}_{2}} = \frac{b(b-1)}{42} = \frac{1}{21}$에서
$b(b-1) = 2$, $b=2$이므로 $a+c = 5$ $\cdots\cdots$ ㉠
$2\mathrm{P}(X = 2) = 3\mathrm{P}(X = 6)$에서
$2 \times \frac{{}_{a}\mathrm{C}_{1} \times {}_{b}\mathrm{C}_{1}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}} = 3 \times \frac{{}_{b}\mathrm{C}_{1} \times {}_{c}\mathrm{C}_{1}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}$, $2a = 3c$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $a=3$, $c=2$
따라서 $\mathrm{P}(X \le 3) = \mathrm{P}(X = 1) + \mathrm{P}(X = 2) + \mathrm{P}(X = 3)$
$= \dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}} + \dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}} \times \dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}$
$= \dfrac{5}{7}$
28. 정규분포를 따르는 두 확률변수 $X$, $Y$와 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$, $Y$의 확률밀도함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\mathrm{P}(X \ge 2.5)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]
(가) $\mathrm{V}(X) = \mathrm{V}(Y) = 1$
(나) 어떤 양수 $k$에 대하여 직선 $y=k$가 두 함수 $y = f(x)$, $y = g(x)$의 그래프와 만나는 모든 점의 $x$좌표의 집합은 $\{ 1, \,2, \,3, \,4 \}$이다.
(다) $\mathrm{P}(X \le 2) - \mathrm{P}(Y \le 2) > 0.5$
① $0.3085$
② $0.1587$
③ $0.0668$
④ $0.0228$
⑤ $0.0062$
②
$\mathrm{E}(X) = m_1$, $\mathrm{E}(Y) = m_2$라 하면 두 확률변수 $X$, $Y$는 각각 정규분포 $\mathrm{N}(m_{1}, 1^2)$, $\mathrm{N}(m_{2}, 1^2)$을 따른다. $m_1 = m_2$이면 조건 (나)를 만족시키지 못한다.
$m_1 \ne m_2$일 때, $f(x) = g(x)$를 만족시키는 $x$를 $a$라 하자. $k = f(a)$이면 조건 (나)를 만족시키지 못한다.
$m_1 > m_2$이면 $k < f(a)$, $k > f(a)$인 두 가지 경우 모두 $\mathrm{P}(X \le 2) – \mathrm{P}(Y \le 2)$의 값은 음수이므로 조건 (다)를 만족시키지 못한다.
$m_1 < m_2$이면
$k < f(a)$일 때, 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 개형은 [그림 1]과 같다.
$f(1) = f(3) = k$이므로 $m_1 = 2$
$\mathrm{P}(X \le 2) = 0.5$
$\mathrm{P}(X \le 2) – \mathrm{P}(Y \le 2) < 0.5$이므로 조건 (다)를 만족시키지 못한다.
$k > f(a)$일 때, 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 개형은 [그림 2]와 같다.
$f(1) = f(2) = k$이므로 $m_1 = 1.5$
$g(3) = g(4) = k$이므로 $m_2 = 3.5$
$\mathrm{V}(X) = \mathrm{V}(Y) = 1^2$이므로
$\mathrm{P}(X \le 2) – \mathrm{P}(Y \le 2)$
$= \mathrm{P}(Z \le \frac{2 – 1.5}{1}) – \mathrm{P}(Z \le \frac{2 – 3.5}{1})$
$= \{ 0.5 + \mathrm{P}(0 \le Z \le 0.5) \} – \{ 0.5 – \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) \}$
$= 0.6247$
이므로 조건 (가), (나), (다)를 만족시킨다.
따라서 $\mathrm{P}(X \ge 2.5)$ $= \mathrm{P}(Z \ge \frac{2.5 – 1.5}{1}) = \mathrm{P}(Z \ge 1)$
$= 0.5 – \mathrm{P}(0 \le Z \le 1) = 0.1587$
29. 두 집합 $X = \{ 1, \,2, \,3, \,4 \}$, $Y = \{ 0, \,1, \,2, \,3, \,4, \,5 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to Y$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $x=1$, $2$, $3$일 때, $f(x) \le f(x+1)$이다.
(나) $f(a) = a$인 $X$의 원소 $a$의 개수는 $1$이다.
$48$
조건 (가)에 의하여 $f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4)$
조건 (나)에 의하여 $f(a) = a$인 $X$의 원소 $a$의 값에 따라 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다.
(ⅰ) $f(1) = 1$인 경우
$f(2) = 1$일 때, $f(3)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{5}\mathrm{H}_{2} – ({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{4}\mathrm{C}_{1} – 1) = 9$
$f(2) = 3$일 때, $f(3)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{3}\mathrm{H}_{2} – ({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{2}\mathrm{C}_{1} – 1) = 2$
$f(2) = 4$일 때, $f(3)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{2}\mathrm{H}_{2} – 1 = 2$
$f(2) = 5$일 때, $f(3)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$
이 경우 함수 $f$의 개수는 $9 + 2 + 2 + 1 = 14$
(ⅱ) $f(2) = 2$인 경우
$f(3)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는
$_{4}\mathrm{H}_{2} – ({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{1} – 1) = 5$
각 경우에 $f(1)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
따라서 이 경우 함수 $f$의 개수는 $5 \times 2 = 10$
$f(3) = 3$인 경우 (ⅱ)와 같고, $f(4) = 4$인 경우 (ⅰ)과 같다.
따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $2 \times (14 + 10) = 48$
30. 수직선의 원점에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 주머니에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$장의 카드가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
확인한 수 $k$가
홀수이면 점 $\mathrm{P}$를 양의 방향으로 $k$만큼 이동시키고,
짝수이면 점 $\mathrm{P}$를 음의 방향으로 $k$만큼 이동시킨다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $0$ 이상일 때, 확인한 네 개의 수의 곱이 홀수일 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$61$
시행을 $4$번 반복한 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $0$ 이상인 사건을 $A$, 확인한 $4$개의 수의 곱이 홀수인 사건을 $B$라 하자.
(ⅰ) 확인한 $4$개의 수의 곱이 홀수인 경우
확인한 $4$개의 수가 모두 홀수이고, 이때 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 항상 $0$ 이상이므로
$\mathrm{P}(A \cap B) = {}_{4}\mathrm{C}_{4} \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$
(ⅱ) 확인한 $4$개의 수의 곱이 짝수인 경우
확인한 $4$개의 수 중 짝수의 개수가 $3$ 또는 $4$인 경우에는 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $0$ 미만이다.
① 확인한 짝수의 개수가 $2$인 경우
확인한 $4$개의 수가 $2$, $2$, $1$, $3$ 또는 $2$, $2$, $3$, $3$ 또는 $2$, $4$, $3$, $3$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $0$ 이상이므로 확인한 $4$개의 수가
$2$, $2$, $1$, $3$일 확률은 $\frac{4!}{2!} \times (\frac{1}{4})^4$
$2$, $2$, $3$, $3$일 확률은 $\frac{4!}{2! \times 2!} \times (\frac{1}{4})^4$
$2$, $4$, $3$, $3$일 확률은 $\frac{4!}{2!} \times (\frac{1}{4})^4$
따라서 구하는 확률은
$\frac{4!}{2!} \times (\frac{1}{4})^4 + \frac{4!}{2! \times 2!} \times (\frac{1}{4})^4 + \frac{4!}{2!} \times (\frac{1}{4})^4$
$= (12 + 6 + 12) \times (\frac{1}{4})^4 = \frac{15}{128}$
② 확인한 짝수의 개수가 $1$인 경우
확인한 $4$개의 수가 짝수 $1$개와 홀수 $3$개인 경우에서 $4$, $1$, $1$, $1$인 경우만 제외하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $0$ 이상이므로 구하는 확률은
${}_{4}\mathrm{C}_{1} \times (\frac{1}{2})^4 – {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times (\frac{1}{4})^4 = \frac{15}{64}$
①, ②에서 $\mathrm{P}(A \cap B^c) = \frac{15}{128} + \frac{15}{64} = \frac{45}{128}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B | A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
$= \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap B^c)}$
$= \dfrac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{45}{128}} = \dfrac{8}{53}$
따라서 $p = 53$, $q=8$이므로 $p+q = 61$
수학 영역(미적분)
23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+2x)}$의 값은? [2점]
① $1$
② $\frac{3}{2}$
③ $2$
④ $\frac{5}{2}$
⑤ $3$
24. $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) dx$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{3}$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
④ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
⑤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
⑤
$\frac{\pi}{3} – x = t$로 놓으면, $-\frac{dx}{dt} = 1$이고
$x=0$일 때 $t = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{3}$일 때 $t=0$이므로
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos ( \frac{\pi}{3} – x ) dx$
$= -\int_{\frac{\pi}{3}}^{0}\cos t dt$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos t dt$
$= \left[ \sin t\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
25. 수열 $a_{n} = \left(\dfrac{k}{2} \right)^{n}$이 수렴하도록 하는 모든 자연수 $k$에 대하여 $$\lim_{n \to \infty}\frac{a \times a_{n} + (\frac{1}{2})^{n}}{a_n + b \times (\frac{1}{2})^{n}} = \frac{k}{2}$$ 일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$와 $b$는 상수이다.) [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
④
수열 $a_{n}$이 수렴하도록 하는 자연수 $k$의 값은 $1$ 또는 $2$이다.
(ⅰ) $k=1$인 경우
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{ (a+1) \times (\frac{1}{2})^{n}}{(1 + b) \times (\frac{1}{2})^{n}} = \frac{a+1}{1+b} = \frac{1}{2}$, $2a = b-1$
(ⅱ) $k = 2$인 경우
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{ a+ (\frac{1}{2})^{n}}{1 + b \times (\frac{1}{2})^{n}} = a = 1$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $a=1$, $b=3$
따라서 $a+b = 4$
26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{(5-x) \ln x}$ ($2 \le x \le 4$)와 $x$축 및 두 직선 $x=2$, $x=4$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
① $14 \ln 2 – 7$
② $14 \ln 2 – 6$
③ $16 \ln 2 – 7$
④ $16 \ln 2 – 6$
⑤ $16 \ln 2 – 5$
③
$x$좌표가 $t$ ($2 \le t \le 4$)인 점을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 $S(t)$라 하면 $S(t) = (\sqrt{(5-t) \ln t})^2 = (5-t) \ln t$
따라서 구하는 부피는
$\int_{2}^{4}S(t) dt$
$= \int_{2}^{4}\ln t \times (5-t) dt$
$= [ \ln t \times (5t – \frac{1}{2}t^{2})]_{2}^{4} – \int_{2}^{4}(5-\frac{1}{2}t) dt$
$= (12 \ln 4 – 8 \ln 2) – [ 5t – \frac{1}{4}t^{2}]_{2}^{4}$
$= 16 \ln 2 – 7$
27. 함수 $f(x) = e^{3x}-ax$ ($a$는 상수)와 상수 $k$에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge k) \\ \\ -f(x) & (x < k) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 가질 때, $a \times k$의 값은? [3점]
① $e$
② $e^{\frac{3}{2}}$
③ $e^{2}$
④ $e^{\frac{5}{2}}$
⑤ $e^{3}$
①
$g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 가지려면 $g(x)$는 일대일대응이어야 한다.
$f'(x) = 3e^{3x} – a$, $g'(x) = \begin{cases} f'(x) & (x > k) \\ -f'(x) & (x < k) \end{cases}$에서
$a \le 0$이면 모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) > 0$이다.
$x > k$일 때 $g'(x) > 0$이고 $x < k$일 때 $g'(x) < 0$이므로 $g(x)$는 역함수를 갖지 않는다.
$a > 0$이면 $f'(x) = 0$에서 $x = \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이고
$x < \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이면 $f'(x) < 0$,
$x > \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$이면 $f'(x) > 0$이므로 $k = \frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}$
$g(x)$가 $x=k$에서 연속이므로
$f(k) = -f(k)$, $f(k) = 0$
$f(k) = f(\frac{1}{3} \ln \frac{a}{3}) = \frac{a}{3} – \frac{a}{3} \ln \frac{a}{3} = 0$, $a=3e$, $k = \frac{1}{3}$
따라서 $a \times k = e$
28. 함수 $y = \dfrac{2\pi}{x}$의 그래프와 함수 $y = \cos x$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $m$번째 수를 $a_{m}$이라 하자.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\{ n \times \cos^{2}(a_{n+k}) \}$의 값은? [4점]
① $\frac{3}{2}$
② $2$
③ $\frac{5}{2}$
④ $3$
⑤ $\frac{7}{2}$
②
$a_{m}$은 두 곡선 $y = \frac{2\pi}{x}$와 $y = \cos x$의 교점의 $x$좌표이므로
$\frac{2\pi}{a_{m}} = \cos (a_{m})$
$n \times \cos^{2}(a_{n+k}) = n \times \frac{4\pi^{2}}{(a_{n+k})^2}$
$a_{1} = 2\pi$, $m > 1$에서 $m\pi< a_{m} < (m+1)\pi$이므로
$\frac{4n}{(n+k+1)^2} < n \times \cos^{2}(a_{n+k}) < \frac{4n}{(n+k)^2}$이다.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{4n}{(n+k)^2}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{4}{(1+\frac{k}{n})^2} \times \frac{1}{n}$
$= \int_{0}^{1}\frac{4}{(1+x)^2} dx = \left[ – \frac{4}{1+x} \right]_{0}^{1} = 2$
이고
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\{ \frac{4n}{(n+k+1)^2} – \frac{4n}{(n+k)^2} \}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \frac{4n}{(2n+1)^2} – \frac{4n}{(n+1)^2} \right\} = 0$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{4n}{(n+k+1)^2} = 2$
수열의 극한의 대소 관계의 성질에 의하여
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\{ n \times \cos^{2}(a_{n+k}) \} = 2$
29. 점 $(0, \,1)$을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$과 곡선 $y = e^{\frac{x}{a}}-1$ ($a > 0$)이 있다. 직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$일 때, 직선 $l$이 곡선 $y = e^{\frac{x}{a}}-1$ ($a > 0$)과 제$1$사분면에서 만나는 점의 $x$좌표를 $f(\theta)$라 하자. $f(\frac{\pi}{4})=a$일 때, $\sqrt{f'(\frac{\pi}{4})} = pe + q$이다. $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수이고 $p$, $q$는 정수이다.) [4점]
$5$
직선 $l$의 기울기는 $\tan \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = (\tan \theta)x + 1$
직선 $y = (\tan \theta)x + 1$이 곡선 $y = e^{\frac{x}{a}}-1$과 만나는 점의 $x$좌표가 $f(\theta)$이므로
$\tan \theta \times f(\theta) + 1 = e^{\frac{f(\theta)}{a}} – 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $a+1 = e-1$, $a = e – 2$
㉠의 양변을 $\theta$에 대하여 미분하면
$\sec^{2} \theta \times f(\theta) + \tan \theta \times f'(\theta) = \frac{f'(\theta)}{a} e^{\frac{f(\theta)}{a}}$
에서
$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $2(e-2)+f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{f'(\frac{\pi}{4})}{e-2} \times e$
$f'(\frac{\pi}{4}) = (e-2)^2$이므로 $\sqrt{f'(\frac{\pi}{4})} = e-2$
따라서 $p=1$, $q = -2$이므로 $p^2 + q^2 = 5$
30. 두 상수 $a$ ($a > 0$), $b$에 대하여 함수 $f(x) = (ax^2 + bx)e^{-x}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $60 \times (a+b)$의 값을 구하시오. [4점]
(가) $\{ x \vert f(x) = f'(t) \times x \} = \{ 0 \}$을 만족시키는 실수 $t$의 개수가 $1$이다.
(나) $f(2) = 2e^{-2}$
$40$
$f^{‘}(x) = \{ -ax^2 + (2a-b)x + b \}e^{-x}$
$f^{”}(x) = \{ ax^2 – (4a-b)x + 2a -2b \}e^{-x}$
점 $(0, 0)$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프에 그은 접선 중 기울기가 $f^{‘}(0)$이 아닌 접선이 존재할 때 그 접선을 $l$이라 하자. 접선 $l$의 접점을 $(k, f(k))$라 하면 $k \ne 0$이다.
$\frac{f(k)}{k} = f^{‘}(k)$
$(ak+b)e^{-k} = (-ak^2 + (2a-b)k + b)e^{-k}$
$k = -\frac{b}{a}+1$이고, $f^{‘}(k)=ae^{-k}$, $f^{”}(k)= -ake^{-k}$
$\frac{b}{a} < 0$일 때, 직선 $l$과 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같고 $f^{‘}(t) > f^{‘}(k)$인 $t$가 존재하면 방정식 $f(x) = f^{‘}(t) \times x$의 실근은 $0$ 뿐이다.
$f^{”}(0) = 2a – 2b$에서 $f^{”}(0) \times f^{”}(k) < 0$이므로 $0 < \alpha < k$이고 $f^{”}(\alpha) = 0$인 $\alpha$가 존재하고, $\alpha < t < k$인 임의의 $t$에 대하여 $f^{”}(t) < 0$이다. 이때, $\alpha < t_1 < k$, $\alpha < t_2 < k$인 두 실수 $t_1$, $t_1$ ($t_1 < t_2$)가 존재하고 $f^{‘}(t_1) > f^{‘}(k)$, $f^{‘}(t_2) > f^{‘}(k)$이다.
$t$가 $t_1$ 또는 $t_2$일 때, $\{ x \vert f(x) = f^{‘}(t) \times x \} = \{ 0 \}$이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
$\frac{b}{a} \ge 0$, $\frac{b}{a} \ne 1$일 때, 직선 $l$과 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같고 $f^{‘}(t) > f^{‘}(k)$인 $t$가 존재하면 방정식 $f(x) = f^{‘}(t) \times x$의 실근은 $0$뿐이다.
$f^{”}(0) \times f^{”}(k) < 0$이므로 $\frac{b}{a} < 0$일 때와 마찬가지로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
$\frac{b}{a} = 1$일 때, 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 $(0, 0)$에서의 접선을 $l’$이라 하면 직선 $l’$과 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.
$t = 0$일 때, 방정식 $f(x) = f^{‘}(t) \times x$에서
$a = b$이므로 $a(x^2 + x)e^{-x} = f^{‘}(0)x$
$f^{‘}(0) = a$이므로 $a(x^2 + x)e^{-x} = ax$
$ax\{(x+1)e^{-x}-1 \} = 0$
$x=0$ 또는 $(x+1)e^{-x}-1 = 0$이므로
방정식 $f(x) = f^{‘}(t) \times x$의 실근은 $0$뿐이다.
$f^{”}(0) = 0$이고 $0$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 $f^{‘}(t) < f^{‘}(0)$이다. 따라서 $0$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 $\{ x \vert f(x) = f'(t) \times x \} \ne \{ 0 \}$을이므로 조건 (가)를 만족시킨다.
조건 (나)에서 $f(2) = (4a+2b)e^{-2} = 2e^{-2}$
$2a+b = 1$이다. $a=b$이므로 $a=b = \frac{1}{3}$
따라서 $60 \times (a+b) = 60 \times \frac{2}{3} = 40$
수학 영역(기하)
24. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(3, -1, \,a)$를 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{C}(-3, \,b, \,4)$에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이 $x$축 위에 있을 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
25. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$\vert \, 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \, \vert = \sqrt{13}, \:\vert \, \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \, \vert = 1, \:\vert \, \overrightarrow{a} \, \vert = \sqrt{2}$$ 일 때, $\vert \, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \, \vert$의 값은? [3점]
① $\sqrt{3}$
② $2$
③ $\sqrt{5}$
④ $\sqrt{6}$
⑤ $\sqrt{7}$
③
$(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = 4|\overrightarrow{a}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+ |\overrightarrow{b}|^2$
$= 8 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+ |\overrightarrow{b}|^2 = 13$ $\cdots\cdots$ ㉠
$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 – 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+ |\overrightarrow{b}|^2$
$= 2 – 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+ |\overrightarrow{b}|^2 = 1$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = 1$, $|\overrightarrow{b}| = 1$
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+ |\overrightarrow{b}|^2$
$= (\sqrt{2})^2 + 2 \times 1 + 1^2 = 5$
따라서 $| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} | = \sqrt{5}$
26. 포물선 $y^2 = 12x$의 초점 $\mathrm{F}$를 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. $\overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 3 : 1$일 때, 이 포물선 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 $y$절편은? [점]
① $\sqrt{15}$
② $3\sqrt{2}$
③ $\sqrt{21}$
④ $2\sqrt{6}$
⑤ $3\sqrt{3}$
⑤
$y^2 = 12x$의 초점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(3, 0)$이고
$\overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 3 : 1$이므로 두 양수 $a$, $b$에 대하여 $\mathrm{B}(3-a, -b)$라 하면 $\mathrm{A}(3+3a, 3b)$
이 포물선의 준선은 $x= -3$이므로 포물선의 정의에 의해
$\overline{\mathrm{AF}} = 6+3a$, $\overline{\mathrm{BF}} = 6-a$이다.
$(6+3a) : (6-a) = 3 : 1$, $18 – 3a = 6 + 3a$, $a = 2$
점 $\mathrm{B}$는 $y^2 = 12x$ 위의 점이므로, $b^2 = 12$, $b = 2\sqrt{3}$
이 포물선 위의 점 $\mathrm{A}(9, 6\sqrt{3})$에서의 접선의 방정식은
$6\sqrt{3}y = 6(x+9)$, $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3\sqrt{3}$
따라서 접선의 $y$절편은 $3\sqrt{3}$
27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$인 정육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$에서 모서리 $\mathrm{DH}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 모서리 $\mathrm{GH}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 하자. 선분 $\mathrm{FM}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{NP}$의 길이가 최소일 때, 선분 $\mathrm{NP}$의 평면 $\mathrm{FHM}$ 위로의 정사영의 길이는? [3점]
① $\frac{\sqrt{2}}{8}$
② $\frac{\sqrt{2}}{4}$
③ $\frac{3\sqrt{2}}{8}$
④ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
⑤ $\frac{5\sqrt{2}}{8}$
④
$\overline{\mathrm{FH}} = 2\sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{HM}} = 1$이므로 $\overline{\mathrm{FM}} = 3$
선분 $\mathrm{NP}$의 길이가 최소이려면 $\overline{\mathrm{NP}} \perp \overline{\mathrm{FM}}$이어야 한다.
점 $\mathrm{N}$에서 평면 $\mathrm{FHM}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하면, 평면 $\mathrm{FHM}$과 평면 $\mathrm{FGH}$가 수직이므로 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{FH}$ 위에 있다.
삼각형 $\mathrm{HNQ}$는 직각이등변삼각형이고 $\overline{\mathrm{HN}} = 1$이므로
$\overline{\mathrm{HQ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\overline{\mathrm{FQ}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
$\overline{\mathrm{NP}} \perp \overline{\mathrm{FM}}$, $\overline{\mathrm{NQ}} \perp$ (평면 $\mathrm{FHM}$)이므로 삼수선의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{FM}} \perp \overline{\mathrm{PQ}}$
삼각형 $\mathrm{FHM}$에서 $\sin (\angle \mathrm{MFH}) = \frac{1}{3}$
선분 $\mathrm{NP}$의 평면 $\mathrm{FHM}$ 위로의 정사영은 선분 $\mathrm{PQ}$이므로
$\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{FQ}} \times \sin (\angle \mathrm{MFH}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
28. 좌표평면의 두 점 $\mathrm{A}(9, \,0)$, $\mathrm{B}(8, \,1)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $\mathrm{X}$의 집합을 $S$라 하자.
(가) $\vert \overrightarrow{\mathrm{AX}} \vert = 2$
(나) $\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} + k \overrightarrow{\mathrm{BX}} \vert = 4$를 만족시키는 실수 $k$가 존재한다.
집합 $S$에 속하는 점 중에서 $x$좌표가 최대인 점을 $\mathrm{P}$라 하자. 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BP}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
① $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
② $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
③ $\frac{\sqrt{10}}{5}$
④ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
⑤ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
①
조건 (가)에서 점 $\mathrm{X}$는 중심이 $\mathrm{A}(9, 0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C_1$ 위의 점이다. 원 $C_1$ 위의 점 $x$ 중에서 $x$좌표가 최대인 점의 좌표는 $(11, 0)$이다.
조건 (나)에서 $0$이 아닌 실수 $k$에 대하여 $k \overrightarrow{\mathrm{BX}}$의 종점을 $\mathrm{X}’$이라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{OB}} + k \overrightarrow{\mathrm{BX}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{BX}’} = \overrightarrow{\mathrm{OX}’}$이므로 $\mathrm{X}’$은 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $4$인 원 $C_2$ 위의 점이다. 즉, 집합 $S$에 속하는 점 $\mathrm{X}$에 대해 직선 $\mathrm{BX}’$는 원 $C_2$와 만난다.
점 $\mathrm{B}$에서 원 $C_2$에 그은 접선의 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은
$y = m(x-8)+1$, $mx – y + (1-8m) = 0$
원점과 직선 $mx – y + (1-8m) = 0$ 사이의 거리가 $4$이므로 $\frac{| 1-8m |}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$
$(1-8m)^2 = 16(m^2 + 1)$, $(4m-3)(12m+5)=0$
$m = -\frac{5}{12}$ 또는 $m = \frac{3}{4}$
집합 $S$에 속한 모든 점 $\mathrm{X}$에 대하여 직선 $\mathrm{BX}$의 기울기는 $-\frac{5}{12}$ 이상 $\frac{3}{4}$ 이하이다.
두 점 $\mathrm{B}(8, 1)$과 $(11, 0)$을 지나는 직선의 기울기가 $\frac{0-1}{11-8} = -\frac{1}{3} > -\frac{5}{12}$이므로 점 $(11, 0)$은 집합 $S$에 속하고 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(11, 0)$이다.
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (11, 0)$, $\overrightarrow{\mathrm{BP}} = (3, -1)$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}} = |\overrightarrow{\mathrm{OP}}| |\overrightarrow{\mathrm{BP}}| \cos \theta$
$11 \times 3 + 0 \times (-1) = 11 \times \sqrt{3^2 + (-1)^2} \times \cos \theta$
$\cos \theta = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
29. 장축의 길이가 $8$이고 두 초점이 $\mathrm{F}(2, \,0)$, $\mathrm{F}'(-2, \,0)$인 타원을 $C_1$이라 하자. 장축의 길이가 $12$이고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}(a, \,0)$ ($a > 2$)인 타원을 $C_2$라 하자. 두 타원 $C_1$과 $C_2$가 만나는 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}}$, $\overline{\mathrm{FQ}}$, $\overline{\mathrm{PQ}}$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a = p + q\sqrt{10}$이다. $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 정수이다.) [4점]
$8$
두 타원의 장축의 길이가 각각 $8$, $12$이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} = t$라 하면 $\overline{\mathrm{F’Q}} = 8-t$, $\overline{\mathrm{PQ}} = 12 – t$
$\overline{\mathrm{F’Q}}$, $\overline{\mathrm{FQ}}$, $\overline{\mathrm{PQ}}$가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
$2\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{F’Q}} + \overline{\mathrm{PQ}}$,
$2t = (8-t) + (12-t)$, $t = 5$
$\overline{\mathrm{F’Q}} = 3$, $\overline{\mathrm{FQ}} = 5$, $\overline{\mathrm{PQ}} = 7$
$\overline{\mathrm{F’Q}} = 3$, $\overline{\mathrm{FF’}} = 4$, $\overline{\mathrm{FQ}} = 5$이므로
삼각형 $\mathrm{QFF’}$은 $\angle \mathrm{QF’F} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다.
직각삼각형 $\mathrm{PQF’}$에서
$\overline{\mathrm{F’P}}^{2} = \overline{\mathrm{PQ}}^{2} – \overline{\mathrm{F’Q}}^{2}$ $= 7^2 -3^2 = 40$, $\overline{\mathrm{F’P}} = 2\sqrt{10}$
원점을 $\mathrm{O}$라 하면 $a = \overline{\mathrm{F’P}} – \overline{\mathrm{F’O}} = -2 + 2\sqrt{10}$
따라서 $p = -2$, $q = 2$이므로 $p^2 + q^2 = 8$
30. 그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형을 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AE}} = 4$인 정사각뿔 $\mathrm{A-BCDE}$가 있다. 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$의 중점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하고, 선분 $\mathrm{CA}$를 $1 : 7$로 내분하는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. 네 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$을 모두 지나는 구 위의 점 중에서 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 최소인 점을 $\mathrm{S}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이가 $p + q\sqrt{2}$일 때, $60 \times (p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 유리수이다.) [4점]
$20$
$\angle \mathrm{RCP} = \angle \mathrm{ACP}$이므로 $\cos (\angle \mathrm{RCP}) = \frac{1}{4}$
$\overline{\mathrm{RC}} = \frac{1}{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{RCP}$에서 코사인법칙에 의해
$\overline{\mathrm{RP}}^2 = \overline{\mathrm{RC}}^2 + \overline{\mathrm{PC}}^2 – 2 \times \overline{\mathrm{RC}} \times \overline{\mathrm{PC}} \times \cos (\angle \mathrm{RCP})$
$= (\frac{1}{2})^2 + 1^2 – 2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$
이므로 $\overline{\mathrm{RP}} = 1$, 마찬가지로 $\overline{\mathrm{QR}} = 1$
두 삼각형 $\mathrm{PQC}$, $\mathrm{PQR}$은 서로 합동이므로 $\angle \mathrm{PCQ} = \angle \mathrm{PRQ} = \frac{\pi}{2}$이고, 네 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$을 모두 지나는 구를 $S$라 하면 구 $S$의 중심은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이고 구 $S$의 반지름의 길이는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
구 $S$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자.
구 $S$ 위의 점 중 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 최소인 점 $\mathrm{S}$에 대하여 점 $\mathrm{O}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times (\overline{\mathrm{OM}} – \frac{\sqrt{2}}{2})$이다.
점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{BD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{N}$이라 하면 $\mathrm{N}$은 선분 $\mathrm{BD}$의 중점이다.
$\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{BN}} = \sqrt{2}$이므로
$\overline{\mathrm{AN}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AB}}^{2} – \overline{\mathrm{BN}}^{2}}$ $=\sqrt{4^2 – (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{14}$
$\overline{\mathrm{ON}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로
$\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AN}}^{2} + \overline{\mathrm{ON}}^{2}}$ $=\sqrt{(\sqrt{14})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{29}{2}}$
$\overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{\overline{\mathrm{BN}}^{2} + \overline{\mathrm{ON}}^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
삼각형 $\mathrm{OAB}$에서 코사인법칙에 의해
$\cos (\angle \mathrm{OBA}) = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{OB}}^{2} – \overline{\mathrm{OA}}^{2}}{2 \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{OB}}}$
$= \dfrac{4^{2} + \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{2} – \left(\sqrt{\frac{29}{2}}\right)^{2}}{2 \times 4 \times \sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$
이므로
$\sin (\angle \mathrm{OBA}) = \frac{3}{\sqrt{10}}$
$\overline{\mathrm{OM}} = \overline{\mathrm{OB}} \times \sin (\angle \mathrm{OBA}) = \sqrt{\frac{5}{2}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3}{2}$
따라서 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times (\overline{\mathrm{OM}} – \frac{\sqrt{2}}{2})$ $= \frac{1}{2} \times 4 \times (\frac{3}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2})$ $= 3 – \sqrt{2}$
삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{OM}}$ $= \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3}{2}= 3$
삼각형 $\mathrm{OBN}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BN}} \times \overline{\mathrm{ON}}$ $= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{1}{2}$
두 평면 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영은 삼각형 $\mathrm{OBN}$이므로
$3 \times \cos \theta = \frac{1}{2}$, $\cos \theta = \frac{1}{6}$
두 평면 $\mathrm{ABS}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기는 두 평면 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기와 같으므로 삼각형 $\mathrm{ABS}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는
$(3 – \sqrt{2}) \times \cos \theta = (3 – \sqrt{2}) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{6}$
따라서 $p = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{6}$이므로
$60 \times (p+q) = 60 \times (\frac{1}{2} – \frac{1}{6}) = 60 \times \frac{1}{3} = 20$