23년 9월 평가원
3. $\frac{3}{2}\pi < \theta < 2 \pi$인 $\theta$에 대하여 $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$일 때, $\tan \theta$의 값은? [3점]
① $-\sqrt{2}$
② $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
⑤ $\sqrt{2}$
②
$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$이고 $\frac{3}{2}\pi < \theta < 2 \pi$이므로
$\sin \theta = -\sqrt{1 – \cos^{2}\theta}$
$= -\sqrt{1 – \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
따라서
$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$=\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

$\displaystyle \lim_{x \to -2+}f(x) + \lim_{x \to 1-}f(x)$의 값은? [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
5. 모든 항이 양수인 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$\frac{a_{3}a_{8}}{a_6}=12,\:\, a_{5}+a_{7}=36$$ 일 때, $a_{11}$의 값은? [3점]
① $72$
② $78$
③ $84$
④ $90$
⑤ $96$
⑤
등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 수열 $\{ a_n \}$의 모든 항이 양수이므로 $a > 0$, $r > 0$이다.
$\frac{a_{3}a_{8}}{a_6}=12$에서 $\dfrac{ar^{2} \times ar^{7}}{ar^5}=12$, $ar^{4} = 12$
즉, $a_5 = 12$
$a_{5}+a_{7}=36$에서 $a_{7}=24$이므로
$r^2 = \frac{a_7}{a_5} = \frac{24}{12} = 2$
$\frac{a_{11}}{a_7} = r^4 = (r^{2})^2 = 2^2 = 4$이므로
$a_{11} = a_7 \times 4 = 24 \times 4 = 96$
6. 함수 $f(x)= x^3 + ax^2 + bx +1$은 $x = -1$에서 극대이고, $x = 3$에서 극소이다. 함수 $f(x)$의 극댓값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [3점]
① $0$
② $3$
③ $6$
④ $9$
⑤ $12$
7. 두 실수 $a$, $b$가 $$3a+2b = \log_{3}32,\:\,ab = \log_{9}2$$ 를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{2b}$의 값은? [3점]
① $\frac{5}{12}$
② $\frac{5}{6}$
③ $\frac{5}{4}$
④ $\frac{5}{3}$
⑤ $\frac{25}{12}$
8. 다항함수 $f(x)$가 $$f'(x) = 6x^2 -2f(1)x,\:\, f(0)=4$$ 를 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [3점]
① $5$
② $6$
③ $7$
④ $8$
⑤ $9$
9. $0 \le x \le 2 \pi$일 때, 부등식 $$\cos x \le \sin \frac{\pi}{7}$$ 를 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위는 $\alpha \le x \le \beta$이다. $\beta - \alpha$의 값은? [4점]
① $\frac{8}{7}\pi$
② $\frac{17}{14}\pi$
③ $\frac{9}{7}\pi$
④ $\frac{19}{14}\pi$
⑤ $\frac{10}{7}\pi$
③
$\sin \frac{\pi}{7} = \cos \left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{7} \right) = \cos \frac{5}{14}\pi$그림과 같이 곡선 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2 \pi$)와 직선 $y = \cos \frac{5}{14}\pi$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $x_1$, $x_2$ ($x_1 < x_2$)라 하면
$x_1 = \frac{5}{14}\pi$이고 $\frac{x_1 + x_2}{2} = \pi$이므로
$x_2 = 2 \pi – x_1 = \frac{23}{14}\pi$
따라서 $0 \le x \le 2 \pi$일 때, 부등식 $\cos x \le \sin \frac{\pi}{7}$을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위는 $\frac{5}{14}\pi \le x \le \frac{23}{14}\pi$이므로
$\beta – \alpha = \frac{23}{14}\pi – \frac{5}{14}\pi = \dfrac{9}{7}\pi$
10. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(-2,\, f(-2))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2,\, 3)$에서의 접선이 점 $(1,\, 3)$에서 만날 때, $f(0)$의 값은? [4점]
① $31$
② $33$
③ $35$
④ $37$
⑤ $39$
③
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선이 점 $(1, 3)$을 지나므로
$f(x) -3 = (x-a)(x-2)^2$
$f(x) = (x-a)(x-2)^2 + 3$ (단, $a$는 상수)
이때
$f'(x) = (x-2)^2 + 2(x-a)(x-2)$
이므로 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-2, f(-2))$에서의 접선의 방정식은
$y-f(-2) = f'(-2)(x+2)$
이 접선이 점 $(1, 3)$을 지나므로
$3-f(-2) = f'(-2)(1+2)$
$3-f(-2) = 3f'(-2)$
$3-\{ 16(-2-a) + 3 \} = 3\{ 16- 8(-2-a) \}$
$3-(-29 – 16a) = 3(32 + 8a)$
$32 + 16a = 96 + 24a$, $8a = -64$
즉, $a= -8$이므로
$f(x) = (x+8)(x-2)^2 + 3$
따라서
$f(0) = 8(-2)^2 + 3 = 35$
11. 두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 시각 $t=0$일 때 각각 점 $\mathrm{A}(1)$과 점 $\mathrm{B}(8)$에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도는 각각 $$v_1(t) = 3t^2 +4t -7,\:\, v_2(t) = 2t +4$$ 이다. 출발한 시각부터 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 처음으로 $4$가 될 때까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [4점]
① $10$
② $14$
③ $19$
④ $25$
⑤ $32$
⑤
점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}(1)$에서 출발하고 속도가 $v_1(t) = 3t^2 +4t -7$이므로 시각 $t$에서의 위치를 $s_1(t)$라 하면
$s_1(t) = 1 + \int_{0}^{t}(3t^2 +4t -7)dt = t^3 + 2t^2 -7t +1$ $\cdots\cdots$ ㉠
또, 점 $\mathrm{Q}$가 점 $\mathrm{B}(8)$에서 출발하고 속도가 $v_2(t) = 2t +4$이므로 시각 $t$에서의 위치를 $s_2(t)$라 하면
$s_2(t) = 8 + \int_{0}^{t}(2t +4)dt = t^2 + 4t +8$ $\cdots\cdots$ ㉡
이때, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 $4$가 되는 시각은
$| s_1(t) – s_2(t) | = 4$
㉠, ㉡에서
$| (t^3 + 2t^2 -7t +1) – (t^2 + 4t +8) | = 4$
$| t^3 + t^2 -11t -7 | = 4$
그러므로 $t^3 + t^2 -11t -7 = 4$ 또는 $t^3 + t^2 -11t -7 = -4$
즉, $t^3 + t^2 -11t -11 = 0$ 또는 $t^3 + t^2 -11t -3 = 0$
(ⅰ) $t^3 + t^2 -11t -11 = 0$일 때,
$t^2(t+1) – 11(t+1) = 0$
$(t+1)(t^2 -11) = 0$
$t > 0$이므로 $t = \sqrt{11}$
(ⅱ) $t^3 + t^2 -11t -3 = 0$일 때,
좌변을 인수분해하면
$(t-3)(t^2 + 4t +1) = 0$
$t > 0$이므로 $t = 3$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 사이의 거리가 처음으로 $4$가 되는 시각은 $t=3$
한편, $v_1(t) = 3t^2 +4t -7$ $=(3t+7)(t-1)$
이므로
$0 \le t < 1$일 때, $v_1(t) < 0$
$t \ge 1$일 때, $v_1(t) \ge 0$
따라서 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$에서 시각 $t=3$까지 움직인 거리는
$\int_{0}^{3}| v_1(t) |dt$ $= -\int_{0}^{1}v_1(t) dt + \int_{1}^{3}v_1(t) dt$
$= -\int_{0}^{1}(3t^2 +4t -7) dt + \int_{1}^{3}(3t^2 +4t -7) dt$
$= – [ t^3 +2t^2 -7t]_{0}^{1} + [ t^3 +2t^2 -7t]_{1}^{3}$
$= -(-4) + 28$
$= 32$
12. 첫째항이 자연수인 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \: a_{n}+1 & (a_{n}\textbf{이 홀수인 경우}) \\ \\ \: \dfrac{1}{2}a_{n} & (a_{n}\textbf{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킬 때, $a_{2} + a_{4} = 40$이 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합은? [4점]
① $172$
② $175$
③ $178$
④ $181$
⑤ $184$
①
자연수 $k$에 대하여
(ⅰ) $a_1 = 4k$일 때,
$a_{1}$은 짝수이므로 $a_{2} = \frac{a_1}{2}=\frac{4k}{2} = 2k$
$a_{2}$도 짝수이므로 $a_{3} = \frac{a_2}{2}=\frac{2k}{2} = k$
㉠ $k$가 홀수인 경우
$a_{4} = a_{3} + 1 = k + 1$
이때 $a_{2} + a_{4} = 2k + (k+1) = 3k + 1$이므로
$3k+1 = 40$에서 $k = 13$이고,
$a_{1} = 4k = 4 \times 13 = 52$
㉡ $k$가 짝수인 경우
$a_{4} = \frac{a_3}{2} = \frac{k}{2}$
이때 $a_{2} + a_{4} = 2k + \frac{k}{2} = \frac{5}{2}k$이므로
$\frac{5}{2}k = 40$에서 $k = 16$이고,
$a_{1} = 4k = 4 \times 16 = 64$
(ⅱ) $a_{1} = 4k -1$일 때,
$a_{1}$은 홀수이므로 $a_{2} = a_{1} + 1 = 4k$
$a_{2}$는 짝수이므로 $a_{3} = \frac{a_{2}}{2} = \frac{4k}{2} = 2k$
$a_{3}$도 짝수이므로
$a_{4} = \frac{a_{3}}{2} = \frac{2k}{2} = k$
이때 $a_{2} + a_{4} = 4k + k = 5k$이므로
$5k = 40$에서 $k=8$이고,
$a_{1} = 4k -1 = 4 \times 8 -1 = 31$
(ⅲ) $a_{1} = 4k – 2$일 때,
$a_{1}$은 짝수이므로 $a_2 = \frac{a_{1}}{2} = \frac{4k -2}{2} = 2k -1$
$a_{2}$는 홀수이므로 $a_{3} = a_{2} + 1 = (2k-1) + 1 = 2k$
$a_{3}$은 짝수이므로 $a_4 = \frac{a_{3}}{2} = \frac{2k}{2} = k$
이때 $a_{2} + a_{4} = (2k-1) + k = 3k -1$이므로
$3k -1 = 40$
에서 $k = \frac{41}{3}$이고, 이것은 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅳ) $a_{1} = 4k -3$일 때,
$a_{1}$은 홀수이므로 $a_{2} = a_{1} + 1 = (4k-3) + 1 = 4k – 2$
$a_{2}$는 짝수이므로 $a_3 = \frac{a_{2}}{2} = \frac{4k -2}{2} = 2k – 1$
$a_{3}$은 홀수이므로 $a_{4} = a_{3} + 1 = (2k-1) + 1 = 2k$
이때 $a_{2} + a_{4} = (4k-2) + 2k = 6k – 2$이므로
$6k -2 = 40$에서 $k = 7$이고,
$a_{1} = 4k – 3 = 4 \times 7 – 3 = 25$
(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 모든 $a_{1}$의 값의 합은
$52 + 64 + 31 + 25 = 172$
13. 두 실수 $a$, $b$에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^3 - ax^2 - bx & (x < 0) \\ \\ \: \frac{1}{3}x^3 + ax^2 - bx & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이 구간 $(-\infty,\, -1\,]$에서 감소하고 구간 $[-1,\, \infty)$에서 증가할 때, $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M - m$의 값은? [4점]
① $\frac{3}{2}+ 3\sqrt{2}$
② $3 + 3\sqrt{2}$
③ $\frac{9}{2}+ 3\sqrt{2}$
④ $6 + 3\sqrt{2}$
⑤ $\frac{15}{2}+ 3\sqrt{2}$
③
$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^3 – ax^2 – bx & (x < 0) \\ \: \frac{1}{3}x^3 + ax^2 – bx & (x \ge 0) \end{cases}$
에서
$f'(x) = \begin{cases} -x^2 – 2ax – b & (x < 0) \\ \: x^2 + 2ax – b & (x > 0) \end{cases}$
이다.
함수 $f(x)$가 $x = -1$의 좌우에서 감소하다가 증가하고, 함수 $f(x)$가 $x = -1$에서 미분가능하므로 $f'(-1) = 0$
$-1 + 2a -b = 0$, $b = 2a -1$
$x < 0$일 때 $f'(x) = -x^2 – 2ax – 2a + 1$ $= -(x+1)(x+ 2a -1)$
$f'(x) = 0$인 $x$의 값은 $x = -1$ 또는 $x = -2a + 1$이다.
이때 함수 $f(x)$가 구간 $(-\infty, -1\,]$에서 감소하고, 구간 $[-1, 0\,]$에서 증가하므로 $(-\infty, -1)$에서 $f'(x) \le 0$, $(-1, 0)$에서 $f'(x) \ge 0$이어야 한다.
즉, $f'(-2a+1) = 0$에서 $-2a + 1 \ge 0$이이어야 한다.
그러므로 $a \le \frac{1}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, $x > 0$일 때,
$f'(x) = x^2 +2ax -b$ $=x^2 + 2ax -2a + 1 = (x+a)^2 -a^2 -2a + 1$
이고 함수 $f(x)$가 구간 $[\,0, \infty)$에서 증가하므로 $(0, \infty)$에서 $f'(x) \ge 0$이어야 한다.
(ⅰ) $-a < 0$, 즉 $a > 0$인 경우
$(0, \infty)$에서 $f'(x) \ge 0$이려면
$f'(0) = -2a + 1 \ge 0$이면 된다
그러므로 $0 < a \le \frac{1}{2}$
(ⅱ) $-a \ge 0$, 즉 $a \le 0$인 경우
$(0, \infty)$에서 $f'(x) \ge 0$이려면
$f'(-a) = -a^2 -2a + 1 \ge 0$이면 된다.,
$a^2 + 2a -1 \le 0$
$-1 -\sqrt{2} \le a \le -1 +\sqrt{2}$
그러므로 $-1 -\sqrt{2} \le a \le 0$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $-1 -\sqrt{2} \le a \le \frac{1}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
즉, ㉠, ㉡에서 구하는 $a$의 값의 범위는 $-1 -\sqrt{2} \le a \le \frac{1}{2}$이므로 $a+b = 3a -1$의 값의 최댓값은 $a= \frac{1}{2}$일 때 $\frac{1}{2}$, 최솟값은 $a = -1 -\sqrt{2}$일 때 $-4 -3\sqrt{2}$이다.
따라서 $M – m = \frac{1}{2} – (-4 -3\sqrt{2}) = \dfrac{9}{2} + 3\sqrt{2}$
14. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases} \: 2^{x+a}+b & (x \le -8) \\ -3^{x-3}+8 & (x > -8) \end{cases}$$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$의 값은? [4점]
집합 $\{ f(x)\, |\, x \le k \}$의 원소 중 정수인 것의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 범위는 $3 \le x < 4$이다.
① $11$
② $13$
③ $15$
④ $17$
⑤ $19$
②
$x \le -8$과 $x > -8$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프는 각각 그림과 같다.
또한 주어진 조건에서 $3 \le k < 4$이므로 $x > -8$인 경우에 정수 $f(x)$는 $f(x) = 6$ 또는 $f(x) = 7$이다.
따라서 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 $x \le -8$인 경우에 정수 $f(x)$는 $6$뿐이어야 한다.
즉 $b = 5$이고 $6 \le f(-8) < 7$이어야 하므로
$6 \le 2^{-8+a} + 5 < 7$
$1 \le 2^{-8+a} < 2$
$0 \le -8+a < 1$, $8 \le a < 9$
이때 $a$는 자연수이므로 $a=8$
따라서 $a+b = 8 + 5 = 13$
15. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \begin{cases} \,\dfrac{f(x+3) \{ f(x) + 1\} }{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\ \\ \:\:3 & (f(x) = 0) \end{cases}$$ 이라 하자. $\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x) = g(3) -1$일 때, $g(5)$의 값은? [4점]
① $14$
② $16$
③ $18$
④ $20$
⑤ $22$
④
$\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x) = g(3) -1$ $\cdots\cdots$ ㉠
이므로 $x=3$일 때, $f(3)$의 값에 따라 다음 각 경우로 나눌 수 있다.
(ⅰ) $f(3) \ne 0$일 때,
$x=3$에 가까운 $x$의 값에 대하여 $f(x) \ne 0$이므로
$g(x)=\frac{f(x+3) \{ f(x) + 1\} }{f(x)}$
이때 함수 $f(x)$는 다항함수이므로 $f(x)$, $f(x+3)$, $f(x) + 1$은 연속이다.
그러므로 함수 $g(x)$는 $x=3$에서 연속이다.
즉,$\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x) = g(3)$이 식을 ㉠에 대입하면 만족하지 않는다.
(ⅱ) $f(3) = 0$일 때,
함수 $f(x)$가 삼차함수이므로 방정식 $f(x) = 0$은 많아야 서로 다른 세 실근을 갖는다.
그러므로 $x=3$에 가까우며 $x \ne 3$인 $x$의 값에 대하여 $f(x) \ne 0$
이때, $\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x+3) \{ f(x) + 1\} }{f(x)}$ $\cdots\cdots$ ㉡
위에서 $x \to 3$일 때, (분모)$\to 0$이므로(분자)$\to 0$에서
$\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x+3) \{ f(x) + 1\} = 0$
$f(6) \{ f(3) + 1\} = 0$
$f(6) = 0$
그러므로
$f(x) = (x-3)(x-6)(x-k)$ ($k$는 상수)
이 식을 ㉡에 대입하면
$\displaystyle \lim_{x \to 3}g(x)$ $= \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)(x+3-k) \{ (x-3)(x-6)(x-k) + 1\} }{(x-3)(x-6)(x-k)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x(x+3-k) \{ (x-3)(x-6)(x-k) + 1\} }{(x-6)(x-k)}$
$= \displaystyle \frac{3(6-k)}{-3(3-k)} = \frac{6-k}{k-3}$
이 값을 ㉠에 대입하면 $g(3) = 3$이므로
$\frac{6-k}{k-3} = 3-1$
$6-k = 2k – 6$, $3k = 12$
$k = 4$
따라서, $f(x) = (x-3)(x-4)(x-6)$이고 $f(5) \ne 0$이므로
$g(5) = \frac{f(8) \{f(5) + 1 \}}{f(5)}$
$= \frac{ 5 \times 4 \times 2 \times\{ 2 \times 1 \times (-1) +1\}}{2 \times 1 \times (-1)} = 20$

16. 방정식 $\log_{2}(x-1) = \log_{4}(13 + 2x)$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
$6$
로그의 진수 조건에 의하여
$x-1 > 0$에서 $x > 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$13 + 2x > 0$에서 $x > -\frac{13}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $x > 1$
$\log_{2}(x-1) = \log_{4}(13 + 2x)$에서
$\log_{2}(x-1) = \frac{1}{2} \log_{2}(13 + 2x)$
$2\log_{2}(x-1) = \log_{2}(13 + 2x)$
$\log_{2}(x-1)^{2} = \log_{2}(13 + 2x)$
$(x-1)^{2} = 13 + 2x$
$x^2 -4x -12 = 0$
$(x+2)(x-6) = 0$
$x > 1$이므로 $x = 6$
17. 두 수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{10}(2a_k - b_k) = 34, \:\: \sum_{k=1}^{10}a_k = 10$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(a_k - b_k)$의 값을 구하시오. [3점]
19. 두 곡선 $y = 3x^3 -7x^2$과 $y = -x^2$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [3점]
$4$
두 곡선 $y = 3x^3 -7x^2$, $y = -x^2$이 만나는 점의 $x$좌표는
$3x^3 -7x^2 = -x^2$
$3x^{2}(x-2) = 0$
$x=0$ 또는 $x=2$
이때, 두 함수 $y = 3x^3 -7x^2$, $y = -x^2$의 그래프는 다음과 같다.따라서 구하는 넓이는
$\int_{0}^{2}\{ (-x^2) – (3x^3 -7x^2) \}dx$
$=\int_{0}^{2}(-3x^3 +6x^2)dx$
$=\left[ -\frac{3}{4}x^4 + 2x^3 \right]_{0}^{2}$
$=(-12 + 16) – 0$
$= 4$
20. 그림과 같이 $$\overline{\mathrm{AB}} = 2,\: \overline{\mathrm{AD}} = 1,\: \angle \mathrm{DAB} = \frac{2}{3}\pi,\: \angle \mathrm{BCD} = \frac{3}{4}\pi$$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R_1$, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R_2$라 하자.

다음은 $R_1 \times R_2$의 값을 구하는 과정이다.
삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 사인법칙에 의하여
$R_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\mathrm{BD}}$
이고, 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여
$R_2 = \fbox{ ($\textbf{가}$) } \times \overline{\mathrm{BD}}$
이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{BD}}^{2} = 2^2 + 1^2 - (\fbox{ ($\textbf{나}$) })$
이므로
$R_1 \times R_2 = \fbox{ ($\textbf{다}$) }$
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$이라 할 때, $9 \times (p \times q \times r)^2$의 값을 구하시오. [4점]
$98$
삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin \frac{3}{4}\pi} = 2R_1$, $\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R_1$
$R_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\mathrm{BD}}$
이고,
삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin \frac{2}{3}\pi} = 2R_2$, $\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R_2$
$R_2 = \fbox{ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ } \times \overline{\mathrm{BD}}$
이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{BD}}^{2} = 2^2 + 1^2 – 2 \times 2 \times 1 \times \cos \frac{2}{3}\pi$
$= 2^2 + 1 – \fbox{ ($-2$) }$
$= 7$
이므로
$R_1 \times R_2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\mathrm{BD}} \right) \times \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \times \overline{\mathrm{BD}} \right)$
$= \frac{\sqrt{6}}{6} \times \overline{\mathrm{BD}}^2$
$= \fbox{ $\frac{7\sqrt{6}}{6}$ }$
이다.
따라서 $p = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $q = -2$, $r = \frac{7\sqrt{6}}{6}$이므로
$9 \times (p \times q \times r)^2$ $= 9 \times \left\{ \frac{\sqrt{3}}{3} \times (-2) \times \frac{7\sqrt{6}}{6} \right\}^{2}$
$= 9 \times \frac{98}{9}$
$= 98$
21. 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $a_7$이 $13$의 배수이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{7}S_k = 644$일 때, $a_2$의 값을 구하시오. [4점]
$19$
등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하자. 수열 $\{ a_n \}$의 모든 항이 자연수이므로 $a$는 자연수이고 $d$는 $0$ 이상의 정수이다.
$S_n = \frac{n \{ 2a + (n-1)d \}}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \left( a – \frac{d}{2} \right)n$
이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{7}S_k = \sum_{k=1}^{7} \left\{ \frac{d}{2}k^2 + \left( a – \frac{d}{2} \right)k \right\}$
$=\displaystyle \frac{d}{2} \times \sum_{k=1}^{7}k^2 + \left( a – \frac{d}{2} \right) \times \sum_{k=1}^{7}k$
$= \frac{d}{2} \times \frac{7 \times 8 \times 15}{6} + \left( a – \frac{d}{2} \right) \times \frac{7 \times 8}{2}$
$= 70d + 28\left( a – \frac{d}{2} \right)$
$= 28a + 56d$
$28a + 56d = 644$에서
$a + 2d = 23$ $\cdots\cdots$ ㉠
$a_7$이 $13$의 배수이므로 자연수 $m$에 대하여
$a+6d = 13m$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉡$-$㉠에서 $4d = 13m -23$
$4d + 23 + 13 = 13m + 13$
$4(d+9) = 13(m+1)$
$d+9 = \frac{13(m+1)}{4}$
이 값이 자연수가 되어야 하므로 $m+1$의 값은 $4$의 배수이어야 한다. 즉, $m$이 될 수 있는 값은
$3$, $7$, $11$, $15$, $\cdots$
한편, $d = \frac{13m-23}{4}$이므로 ㉡에서
$a = 13m -6d$
$= 13m – 6 \times \left( \frac{13m – 23}{4} \right)$
$= 13m – \frac{39}{2}m + \frac{69}{2}$
$= – \frac{13}{2}m + \frac{69}{2}$
이고 이 값이 양수이어야 하므로
$- \frac{13}{2}m + \frac{69}{2} > 0$, $m < \frac{69}{13}$
따라서 $m=3$이고 이때 $d=4$이므로
$a=23 – 2d = 15$
이고
$a_2 = a+d = 15 + 4 = 19$
22. 두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하고 $g(x)$의 한 부정적분을 $G(x)$라 할 때, 이 함수들은 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\int_{1}^{x}f(t) dt = xf(x) -2x^2 -1$
(나) $f(x)G(x) + F(x)g(x) = 8x^3 + 3x^2 +1$
$\int_{1}^{3}g(x)dx$의 값을 구하시오. [4점]
$10$
조건 (가)에 $x=1$을 대입하면
$0 = f(1) – 3$
이므로
$f(1) = 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$f(x) = f(x) + xf'(x) – 4x$
이고, $f(x)$는 다항함수이므로
$f'(x) = 4$
즉, $f(x) = 4x + C_1$ ($C_1$은 적분상수)
로 놓을 수 있다. 이때 ㉠에서
$f(1) = 3$
이므로
$f(1) = 4 + C_1 = 3$
$C_1 = -1$
즉, $f(x) = 4x – 1$이므로
$F(x) = 2x^2 – x + C_2$ ($C_2$는 적분상수)
한편, 조건 (나)에서
$f(x)G(x) + F(x)g(x) = \{ F(x)G(x) \}’$
이므로 양변을 $x$에 대하여 적분하면
$F(x)G(x) = 2x^4 + x^3 + x + C_3$ ($C_3$은 적분상수)
로 놓을 수 있다.
이때 $F(x) = 2x^2 – x + C_2$이고 $G(x)$도 다항함수이므로 $G(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이다.
$G(x) = x^2 + ax + b$ (단, $a$, $b$는 상수)
로 놓으면
$(2x^2 – x + C_2)(x^2 + ax + b) = 2x^4 + x^3 + x + C_3$
양변의 $x^3$의 계수를 비교하면
$2a-1 = 1$
즉, $a=1$이므로
$G(x) = x^2 + x + b$
따라서
$\int_{1}^{3}g(x)dx$ $= \left[ G(x) \right]_{1}^{3}$
$= G(3) – G(1) =(3^2 + 3 + b) – (1^2 + 1 + b)$
$= 10$
수학 영역(확률과 통계)
24. 그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{P}$ 지점을 거쳐 $\mathrm{B}$ 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는? [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
25. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $A$와 $B^{c}$은 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}, \:\, \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) = \frac{7}{10}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A^{c} \cap B)$의 값은? (단, $A^c$은 $A$의 여사건이다.) [3점]
① $\frac{1}{10}$
② $\frac{1}{5}$
③ $\frac{3}{10}$
④ $\frac{2}{5}$
⑤ $\frac{1}{2}$
③
두 사건 $A$, $B^{c}$이 서로 배반사건이므로 $A \subset B$
$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) = \frac{1}{5}$
$\mathrm{P}(B) = \frac{7}{10} – \mathrm{P}(A)$
$ = \frac{7}{10} – \frac{1}{5}$ $= \frac{1}{2}$
따라서 $A \subset B$이므로
$\mathrm{P}(A^{c} \cap B)$ $= \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A)$
$ = \frac{1}{2} – \frac{1}{5}$ $= \frac{3}{10}$
26. 어느 고등학교의 수학 시험에 응시한 수험생의 시험 점수는 평균이 $68$ 점, 표준편차가 $10$ 점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 수학 시험에 응시한 수험생 중 임의로 선택한 수험생 한 명의 시험 점수가 $55$ 점 이상이고 $78$ 점 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① $0.7262$
② $0.7445$
③ $0.7492$
④ $0.7675$
⑤ $0.7881$
②
시험 점수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(68, 10^2)$을 따르고 $Z = \dfrac{X-68}{10}$으로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포표 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다.
따라서
$\mathrm{P}(55 \le X \le 78)$
$=\mathrm{P}\left( \frac{55-68}{10} \le Z \le \frac{78-68}{10} \right)$
$=\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 1)$
$=\mathrm{P}(-1.3 \le Z \le 0) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1)$
$=\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.3) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 1)$
$= 0.4032 + 0.3413$
$= 0.7445$
27. 두 집합 $X = \{ 1, 2, 3, 4 \}$, $Y = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 모든 일대일함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은? [3점]
(가) $f(2) = 2$
(나) $f(1) \times f(2) \times f(3) \times f(4)$는 $4$의 배수이다.
① $\frac{1}{14}$
② $\frac{3}{35}$
③ $\frac{1}{10}$
④ $\frac{4}{35}$
⑤ $\frac{9}{70}$
④
$X$에서 $Y$로의 일대일함수 $f$의 개수는
${}_{7}\mathrm{P}_{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4$
(ⅰ) 함수 $f$의 치역에 $4$가 포함되고 $6$이 포함되지 않는 경우
함숫값이 $4$인 정의역의 원소를 정하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3$
함숫값이 $2$, $4$가 아닌 경우, 함숫값이 홀수이어야 하므로 나머지 두 함숫값을 정하는 경우의 수는 ${}_{4}\mathrm{P}_{2} = 4 \times 3 = 12$
즉, 이 경우의 확률은 $\frac{3 \times 12}{7 \times 6 \times 5 \times 4} = \frac{3}{70}$
(ⅱ) 함수 $f$의 치역에 $6$이 포함되고, $4$가 포함되지 않는 경우
(ⅰ)과 같은 방법으로 이 경우의 확률은
$\frac{3 \times 12}{7 \times 6 \times 5 \times 4} = \frac{3}{70}$
(ⅲ) 함수 $f$의 치역에 $4$와 $6$이 모두 포함되는 경우
함숫값이 $4$, $6$인 정의역의 원소와 함숫값을 정하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{P}_{2} = 3 \times 2 = 6$
함숫값이 $2$, $4$, $6$이 아닌 경우, 함숫값이 홀수이어야 하므로나머지 함숫값을 정하는 경우의 수는 $4$
즉, 이 경우의 확률은
$\frac{6 \times 4}{7 \times 6 \times 5 \times 4} = \frac{1}{35}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은
$\frac{3}{70} + \frac{3}{70} + \frac{1}{35} = \dfrac{4}{35}$
28. 주머니 $\mathrm{A}$에는 숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적힌 $3$ 개의 공이 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$ 개의 공이 들어 있다. 두 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$의 배수이면
주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼내고,
나온 눈의 수가 $3$의 배수가 아니면
주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다.
꺼낸 $2$ 개의 공에 적혀 있는 수의 차를 기록한 후,
공을 꺼낸 주머니에 이 $2$ 개의 공을 다시 넣는다.
이 시행을 $2$ 번 반복하여 기록한 두 개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\mathrm{P}(\overline{X} = 2)$의 값은? [4점]
① $\frac{11}{81}$
② $\frac{13}{81}$
③ $\frac{5}{27}$
④ $\frac{17}{81}$
⑤ $\frac{19}{81}$

⑤
주머니 $\mathrm{A}$에서 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $1$일 확률은 $\frac{2}{3}$
주머니 $\mathrm{A}$에서 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $2$일 확률은 $\frac{1}{3}$
주머니 $\mathrm{B}$에서 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $1$일 확률은 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
주머니 $\mathrm{B}$에서 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $2$일 확률은 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
주머니 $\mathrm{B}$에서 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수의 차가 $3$일 확률은 $\frac{1}{6}$
첫 번째 시행에서 기록한 수를 $X_1$, 두 번째 시행에서 기록한 수를 $X_2$라 하면 구하는 확률은 $X_1 + X_2 = 4$일 확률이다.
(ⅰ) $(X_1, X_2) = (1, 3)$인 경우
첫 번째 시행에서 $3$의 배수의 눈이 나온 경우의 확률은
$\left( \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \right) \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} \right) = \frac{2}{81}$
첫 번째 시행에서 $3$의 배수가 아닌 눈이 나온 경우의 확률은
$\left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{27}$
이 경우의 확률은 $\frac{2}{81} + \frac{1}{27} = \frac{5}{81}$
(ⅱ) $(X_1, X_2) = (3, 1)$인 경우
(ⅰ)과 같은 방법으로 이 경우의 확률은 $\frac{2}{81} + \frac{1}{27} = \frac{5}{81}$
(ⅲ) $(X_1, X_2) = (2, 2)$인 경우
① 주머니 $\mathrm{A}$에서만 공을 꺼내는 경우이 경우의 확률은
$\left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{81}$
② 주머니 $\mathrm{B}$에서만 공을 꺼내는 경우이 경우의 확률은
$\left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{81}$
③ 주머니 $\mathrm{A}$와 주머니 $\mathrm{B}$에서 한 번씩 공을 꺼내는 경우이 경우의 확률은
$2 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{81}$
이 경우의 확률은 $\frac{1}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81} = \frac{1}{9}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은
$\frac{5}{81} + \frac{5}{81} + \frac{1}{9} = \dfrac{19}{81}$

29. 앞면에는 문자 $\mathrm{A}$, 뒷면에는 문자 $\mathrm{B}$가 적힌 한 장의 카드가 있다. 이 카드와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.
동전을 두 번 던져
앞면이 나온 횟수가 $2$이면 카드를 한 번 뒤집고,
앞면이 나온 횟수가 $0$ 또는 $1$이면 카드를 그대로 둔다.
처음에 문자 $\mathrm{A}$가 보이도록 카드가 놓여 있을 때, 이 시행을 $5$번 반복한 후 문자 $\mathrm{B}$가 보이도록 카드가 놓일 확률은 $p$이다. $128 \times p$의 값을 구하시오. [4점]

$62$
동전을 두 번 던져 앞면이 나온 횟수가 $2$일 확률은 $\frac{1}{4}$
앞면이 나온 횟수가 $0$ 또는 $1$일 확률은 $1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
문자 $\mathrm{B}$가 보이도록 카드가 놓이려면 뒤집는 횟수가 홀수이어야 한다.
따라서 구하는 확률은 $5$번의 시행 중 앞면이 나온 횟수가 $2$번인 횟수가 $1$ 또는 $3$ 또는 $5$인 확률이므로
$p = {}_{5}\mathrm{C}_{1}\left( \frac{1}{4} \right)^{1}\left( \frac{3}{4} \right)^{4} + {}_{5}\mathrm{C}_{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + {}_{5}\mathrm{C}_{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{0}$
$= \frac{405 + 90 + 1}{4^5} = \frac{31}{64}$
즉, $128 \times p = 128 \times \frac{31}{64} = 62$
30. 다음 조건을 만족시키는 $13$ 이하의 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $a \le b \le c \le d$
(나) $a \times d$는 홀수이고, $b+c$는 짝수이다.
$336$
조건 (나)에서 $a \times d$가 홀수이므로 $a$와 $d$는 모두 홀수이고, $b+c$가 짝수이므로
$b$와 $c$가 모두 홀수이거나 $b$와 $c$가 모두 짝수이다.
(ⅰ) $b$와 $c$가 모두 홀수인 경우
$a$, $b$, $c$, $d$가 모두 $13$ 이하의 홀수이다. $13$ 이하의 홀수의 개수는 $7$이고, 조건 (가)에서 $a \le b \le c \le d$이므로 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 서로 다른 $7$개에서 중복을 허락하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{7}\mathrm{H}_{4}$와 같다.
${}_{7}\mathrm{H}_{4} = {}_{10}\mathrm{C}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$
(ⅱ) $b$와 $c$가 모두 짝수인 경우
$a$와 $d$가 모두 홀수, $b$와 $c$가 모두 짝수, $a \le b \le c \le d$이므로 $d-a$의 값은 $12$ 이하의 자연수이다.
① $d-a = 12$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $1$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 서로 다른 짝수 $6$개에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{6}\mathrm{H}_{2}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는
$1 \times {}_{6}\mathrm{H}_{2} = 1 \times {}_{7}\mathrm{C}_{2} = 1 \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$
② $d-a = 10$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $2$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 서로 다른 짝수 $5$개에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{5}\mathrm{H}_{2}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는
$2 \times {}_{5}\mathrm{H}_{2} = 2 \times {}_{6}\mathrm{C}_{2} = 2 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 30$
③ $d-a = 8$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $3$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 서로 다른 짝수 $4$개에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{4}\mathrm{H}_{2}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는
$3 \times {}_{4}\mathrm{H}_{2} = 3 \times {}_{5}\mathrm{C}_{2} = 3 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 30$
④ $d-a = 6$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $4$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 서로 다른 짝수 $3$개에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{3}\mathrm{H}_{2}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는
$4 \times {}_{3}\mathrm{H}_{2} = 4 \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 4 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 24$
⑤ $d-a = 4$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $5$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 서로 다른 짝수 $2$개에서 중복을 허락하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{2}\mathrm{H}_{2}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는
$5 \times {}_{2}\mathrm{H}_{2} = 5 \times {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 5 \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 15$
⑥ $d-a = 2$인 경우 순서쌍 $(a, d)$의 개수는 $6$이고, 순서쌍 $(b, c)$의 개수는 $a+1 = b = c$에서 $1$이므로 순서쌍의 개수는
$6 \times 1 = 6$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍의 개수는
$210 + 21 + 30 + 30 + 24 + 15 + 6 = 336$
조건 (나)에서 $a \times d$가 홀수이므로 $a$와 $d$는 모두 홀수이고, $b+c$가 짝수이므로
$b$와 $c$가 모두 홀수이거나 $b$와 $c$가 모두 짝수이다.
(ⅰ) $b$와 $c$가 모두 홀수인 경우
$a$, $b$, $c$, $d$가 모두 $13$ 이하의 홀수이다. $13$ 이하의 홀수의 개수는 $7$이고, 조건 (가)에서 $a \le b \le c \le d$이므로 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 서로 다른 $7$개에서 중복을 허락하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수 ${}_{7}\mathrm{H}_{4}$와 같다.
${}_{7}\mathrm{H}_{4} = {}_{10}\mathrm{C}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$
(ⅱ) $b$와 $c$가 모두 짝수인 경우
홀수 $a$, $d$와 짝수 $b$, $c$에 대하여
$1 \le a \le b \le c \le d \le 13$
이므로
$a = a’$, $b-a = b’$, $c-b = c’$, $d-c = d’$, $14 – d = e’$
이라 하면
$a’$, $b’$, $d’$, $e’$은 홀수이고, $c’$은 $0$ 또는 짝수이다.
$a’ + b’ + c’ + d’ + e’ = 14$
음이 아닌 정수 $a^{”}$, $b^{”}$, $c^{”}$, $d^{”}$, $e^{”}$에 대하여,
$a’ = 2a^{”}+1$, $b’ = 2b^{”}+1$, $c’ = 2c^{”}$, $d’ = 2d^{”}+1$, $e’ = 2e^{”}+1$이라 하면
$a^{”} + b^{”} + c^{”} + d^{”} + e^{”} = 5$
그러므로 구하는 순서쌍의 개수는
${}_{5}\mathrm{H}_{5} = {}_{9}\mathrm{C}_{5} = {}_{9}\mathrm{C}_{4} = \frac{9 \times
8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍의 개수는
$210 + 126 = 336$
수학 영역(미적분)

23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{7x}-1}{e^{2x}-1}$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{2}$
③ $\frac{5}{2}$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $\frac{9}{2}$
④
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{7x}-1}{e^{2x}-1}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\left( \frac{e^{7x}-1}{7x} \times \frac{2x}{e^{2x}-1} \times \frac{7}{2} \right)$
$=\displaystyle \frac{7}{2} \times \lim_{x \to 0}\frac{e^{7x}-1}{7x} \times \lim_{x \to 0}\frac{2x}{e^{2x}-1}$
$=\displaystyle \frac{7}{2} \times 1 \times 1$ $=\dfrac{7}{2}$
24. 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $$x = t + \cos 2t,\:\, y= \sin^{2}t$$ 에서 $t = \dfrac{\pi}{4}$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
②
$\frac{dx}{dt} = 1 – 2 \sin 2t$, $\frac{dy}{dt} = 2 \sin t \cos t$이므로
$\frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ $=\frac{2 \sin t \cos t}{1 – 2 \sin 2t}$ $\cdots\cdots$ ㉠
(단, $1 – 2 \sin 2t \ne 0$)
㉠의 우변에 $t = \frac{\pi}{4}$를 대입하면
$\dfrac{2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}}{1 – 2 \sin \frac{\pi}{2}}$
$=\dfrac{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 – 2 \times 1}$
$= \dfrac{1}{1-2} = -1$
25. 함수 $f(x) = x + \ln x$에 대하여 $\displaystyle \int_{1}^{e}\left( 1 + \frac{1}{x} \right) f(x) dx$의 값은? [3점]
① $\frac{e^2}{2} + \frac{e}{2}$
② $\frac{e^2}{2} + e$
③ $\frac{e^2}{2} + 2e$
④ $e^2 + e$
⑤ $e^2 + 2e$
26. 공차가 양수인 등차수열 $\{ a_n \}$과 등비수열 $\{ b_n \}$에 대하여 $a_1 = b_1 = 1$, $a_{2}b_2 = 1$이고 $$\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{a_{n}a_{n+1}} + b_n \right) = 2$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$의 값은? [3점]
① $\frac{7}{6}$
② $\frac{6}{5}$
③ $\frac{5}{4}$
④ $\frac{4}{3}$
⑤ $\frac{3}{2}$
⑤
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$ ($d > 0$)이라 하면
$\frac{1}{a_{n}a_{n+1}} = \frac{1}{a_{n+1} – a_{n}}\left( \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}} \right)$
$=\frac{1}{d}\left( \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}} \right)$
이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \displaystyle \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k+1}} \right)$
$= \frac{1}{d} \left\{ \left( \frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}} \right) + \left( \frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}} \right) \right\}$
$= \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{n+1}} \right)$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때
$a_{n} = a_1 + (n-1)d = dn + 1 – d$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}(dn + 1 – d) = \infty$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n+1} = \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \infty$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_{n+1}} = 0$
㉠에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{n+1}} \right)$
$= \frac{1}{d}(1-0) = \frac{1}{d}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{a_{n}a_{n+1}} + b_n \right) = 2$에서
$\dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}} + b_n = c_n$이라 하면
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_n = 2$
$b_n = c_n – \dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}$이므로 급수의 성질에 의하여
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\left( c_n – \dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}} \right)$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_n – \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}$
$= 2 – \dfrac{1}{d}$ $\cdots\cdots$ ㉡
따라서 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴하므로 등비수열 $\{ b_n \}$의 공비를 $r$라 하면
$-1 < r < 1$이고 $a_{2}b_2 = (1+d)r = 1$에서
$r = \dfrac{1}{1+d}$
이때 $d > 0$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n = \frac{b_1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{d+1}}$
$= \dfrac{1+d}{d}$ $\cdots\cdots$ ㉢
이므로 ㉡, ㉢에서
$2 – \frac{1}{d} = \frac{d+1}{d}$,
$\frac{2d-1}{d} = \frac{d+1}{d}$
$d=2$
㉡ 또는 ㉢에서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n = \dfrac{3}{2}$
27. $x = -\ln 4$에서 $x=1$ 까지의 곡선 $y = \dfrac{1}{2} \left( | e^{x}-1 | - e^{|x|}+1 \right)$의 길이는? [3점]
① $\frac{23}{8}$
② $\frac{13}{4}$
③ $\frac{29}{8}$
④ $4$
⑤ $\frac{35}{8}$
①
$y = \begin{cases} -\frac{e^{x}+ e^{-x}}{2} + 1 & (x < 0) \\ \:\: 0 & (x \ge 0) \end{cases}$
$\dfrac{dy}{dx} = \begin{cases} -\frac{e^{x}- e^{-x}}{2} & (x < 0) \\ \:\: 0 & (x \ge 0) \end{cases}$
이므로 $x < 0$일 때
$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \left( \frac{e^{x}- e^{-x}}{2} \right)^2$ $=\left( \frac{e^{x}+ e^{-x}}{2} \right)^2$
에서
$\sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \sqrt{ \left( \frac{e^{x}+ e^{-x}}{2} \right)^2}$
$= \left \vert \frac{e^{x}+ e^{-x}}{2} \right \vert = \frac{e^{x}+ e^{-x}}{2}$
이고, $x \ge 0$일 때
$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + 0 = 1$
따라서 $-\ln 4 \le x \le 1$에서의 곡선의 길이는
$\int_{-\ln 4}^{1}\sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx$
$= \int_{-\ln 4}^{0}\frac{e^{x}+ e^{-x}}{2} dx + \int_{0}^{1}1 dx$
$= \left[ \frac{e^{x} – e^{-x}}{2} \right]_{-\ln 4}^{0} + \left[ x \right]_{0}^{1}$
$= \left( \frac{e^{0} – e^{0}}{2} – \frac{e^{-\ln 4} – e^{\ln 4}}{2} \right) + (1 – 0)$
$= \left( 0 – \frac{\frac{1}{4} – 4}{2} \right) + 1$
$= \frac{15}{8} + 1 = \dfrac{23}{8}$
28. 실수 $a$ ($0 < a < 2$)에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \begin{cases} 2| \sin 4x| & (x < 0) \\ -\sin ax & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이라 하자. 함수 $$g(x) = \left\vert \int_{-a \pi}^{x}f(t) dt \right\vert$$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $a$의 최솟값은? [4점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{4}$
③ $1$
④ $\frac{5}{4}$
⑤ $\frac{3}{2}$
②
함수 $y = f(x)$의 그래프는 다음과 같다.$F(x) = \int_{-a \pi}^{x}f(t) dt$라 하자.
함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $F(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
이때 정적분의 성질에 의하여 $F'(x) = f(x)$이고,
$g(x) = \begin{cases} -F(x) & (F(x) < 0) \\ F(x) & (F(x) \ge 0) \end{cases}$
이므로
$g'(x) = \begin{cases} -f(x) & (F(x) < 0) \\ f(x) & (F(x) > 0) \end{cases}$
따라서 함수 $g(x) = |F(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $F(k) = 0$인 실수 $k$가 존재하지 않거나 $F(k) = 0$인 모든 실수 $k$에 대하여 $F'(k) = f(k) = 0$이어야 한다.
(ⅰ) 함수 $g(x)$가 구간 $(-\infty, 0)$에서 미분가능할 조건
$-a \pi < 0$이고 모든 음의 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 0$이므로$F(k) = \int_{-a \pi}^{k}f(t) dt = 0$인 음의 실수 $k$의 값은 $-a \pi$ 뿐이다.
이때 $f(k) = f(-a \pi) = 2 | \sin(-4a \pi) | = 0$이어야 하므로 $-4a \pi = -n \pi$,
즉 $a=\frac{n}{4}$ ($n$은 자연수) $\cdots\cdots$ ㉠
(ⅱ) 함수 $g(x)$가 구간 $[0, \infty)$에서 미분가능할 조건
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}f(t)dt = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}(-2\sin 4t)dt$
$= \left[ \frac{1}{2}\cos 4t \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{0}$
$= \frac{1}{2}\cos 0 – \frac{1}{2}\cos (-\pi)$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
이고
모든 음의 실수 $x$에 대하여 $f\left(x-\frac{\pi}{4} \right) = f(x)$가 성립하므로 ㉠에서
$\int_{-a\pi}^{0}f(t)dt = \int_{-\frac{n}{4}\pi}^{0}f(t)dt$
$= n\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}f(t)dt = n$
따라서 양의 실수 $x$에 대하여
$F(x) = \int_{-a\pi}^{x}f(t)dt$
$= \int_{-\frac{n}{4}\pi}^{0}f(t)dt + \int_{0}^{x}f(t)dt$
$= n + \int_{0}^{x}(-\sin at)dt$
$= n + \left[ \frac{1}{a} \cos at \right]_{0}^{x}$
$= n + \left( \frac{1}{a} \cos ax – \frac{1}{a} \cos 0 \right)$
$= n + \frac{1}{a} \cos ax – \frac{1}{a}$
$= n + \frac{4}{n} \cos \frac{n}{4}x – \frac{4}{n}$
이때 $F(k) = 0$인 양수 $k$가 존재하면
$n = \frac{4}{n}\left( 1-\cos \frac{n}{4}k \right)$
에서
$\cos \frac{n}{4}k = 1 – \frac{n^2}{4}$ $\cdots\cdots$ ㉡
이때 $f(k) = -\sin ak = -\sin \frac{n}{4}k = 0$이어야 하므로
$\frac{n}{4}k = m \pi$ ($m$은 자연수)이고
㉡에서
$\cos m\pi = 1 – \frac{n^2}{4}$
이때 $m$, $n$은 자연수이므로 $\cos m\pi = 1 – \frac{n^2}{4} = -1$,
즉 $n^2 = 8$을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다.
그러므로 함수 $g(x)$가 구간 $[0, \infty)$에서 미분가능하려면 모든 양의 실수 $x$에 대하여
$F(x) = n + \frac{4}{n} \cos \frac{n}{4}x – \frac{4}{n} > 0$
즉, $\cos \frac{n}{4}x > 1 – \frac{n^2}{4}$이어야 한다.
따라서 $1 – \frac{n^2}{4} < -1$이어야 하므로
$n^2 > 8$
따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $3$이므로 ㉠에서 $a$의 최솟값은 $\dfrac{3}{4}$이다.

29. 두 실수 $a$, $b$ ($a > 1$, $b > 1$)이 $$\lim_{n \to \infty}\frac{3^{n} + a^{n+1}}{3^{n+1} + a^{n}} = a,\: \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n} + b^{n+1}}{a^{n+1} + b^{n}} = \frac{9}{a}$$ 를 만족시킬 때, $a+b$의 값을 구하시오. [4점]
$18$
(ⅰ) $1 < a < 3$인 경우
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{a}{3} \right)^n = 0$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3^{n} + a^{n+1}}{3^{n+1} + a^{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{1 + a\left( \frac{a}{3} \right)^{n}}{3 + \left( \frac{a}{3} \right)^{n}}$
$= \frac{1 + a \times 0}{3 + 0} = \frac{1}{3} = a$
$a = \frac{1}{3} < 1$이므로 모순이다.
(ⅱ) $a=3$인 경우
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3^{n} + a^{n+1}}{3^{n+1} + a^{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{3^{n} + 3^{n+1}}{3^{n+1} + 3^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}1 = 1 = a$
이므로 모순이다.
(ⅲ) $a > 3$인 경우
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{3}{a} \right)^n = 0$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3^{n} + a^{n+1}}{3^{n+1} + a^{n}} =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( \frac{3}{a} \right)^{n} + a}{3\left( \frac{3}{a} \right)^{n} + 1}$
$= \frac{0 + a}{3 \times 0 + 1} = a$
이므로 등식을 만족시킨다.
(1) $3 < a < b$일 때
같은 방법으로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n} + b^{n+1}}{a^{n+1} + b^{n}} = b > 3$ $= \frac{9}{3} > \frac{9}{a}$
이므로 등식을 만족시키지 않는다.
(2) $3 < b < a$일 때
같은 방법으로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n} + b^{n+1}}{a^{n+1} + b^{n}}$ $= \frac{1}{a} \ne \frac{9}{a}$
이므로 등식을 만족시키지 않는다.
(3) $3 < a = b$일 때
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n} + b^{n+1}}{a^{n+1} + b^{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{a^{n} + a^{n+1}}{a^{n+1} + a^{n}} = 1 = \frac{9}{a}$
에서
$a = 9$, $b = 9$
이상에서 $a = 9$, $b = 9$이므로 $a+b = 18$
30. 길이가 $10$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원과 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AC}} = 4$인 점 $\mathrm{C}$가 있다. 이 원 위의 점 $\mathrm{P}$를 $\angle \mathrm{PCB} = \theta$가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선이 이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{PCQ}$의 넓이를 $S(\theta)$라 할 때, $-7 \times S'\left(\dfrac{\pi}{4} \right)$의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$) [4점]

$32$
선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하면
$\overline{\mathrm{OP}} = 5$
$\overline{\mathrm{OC}} = \overline{\mathrm{AO}} – \overline{\mathrm{AC}} = 5 – 4 = 1$
삼각형 $\mathrm{PCO}$에서 코사인법칙을 이용하면
$\overline{\mathrm{OP}}^{2} = \overline{\mathrm{CP}}^{2} + \overline{\mathrm{OC}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{CP}} \times \overline{\mathrm{OC}} \times \cos \theta$
$\overline{\mathrm{CP}} = x$라 하면
$5^{2} = x^{2} + 1^{2} – 2 \times x \times 1 \times \cos \theta$
$x^2 – 2x \cos \theta -24 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\theta = \frac{\pi}{4}$를 ㉠에 대입하면
$x^2 – \sqrt{2}x -24 = 0$
$x > 0$이므로 $x = 4 \sqrt{2}$
㉠을 $\theta$에 대하여 미분하면
$2x\frac{dx}{d\theta} – 2\cos \theta \frac{dx}{d\theta} + 2x \sin \theta = 0$
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{x \sin \theta}{\cos\theta – x}$
$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $\frac{dx}{d\theta}$의 값은
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{4\sqrt{2} \times \sin \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4} – 4\sqrt{2}} = -\frac{4\sqrt{2}}{7}$
선분 $\mathrm{PQ}$의 중심을 $\mathrm{M}$이라 하면
$S(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{CM}}$
$= \frac{1}{2} \times 2x \sin \theta \times x \cos \theta$
$= x^2 \sin \theta \cos \theta$
이 식의 양변을 $\theta$에 대하여 미분하면
$\frac{dS(\theta)}{d\theta} = 2x \frac{dx}{d\theta} \sin \theta \cos \theta + x^2 \cos^{2} \theta – x^2 \sin^{2} \theta$
이 식에 $\theta = \frac{\pi}{4}$를 대입하면
$S'(\frac{\pi}{4})$
$= 2 \times 4\sqrt{2} \times (-\frac{4\sqrt{2}}{7}) \times \cos \frac{\pi}{4} \times \sin \frac{\pi}{4} + (4\sqrt{2})^2 \cos^{2} \frac{\pi}{4} – (4\sqrt{2})^2 \sin^{2} \frac{\pi}{4}$
$= – \frac{32}{7}$
따라서 $-7 \times S'(\frac{\pi}{4}) = -7 \times (- \frac{32}{7}) = 32$
수학 영역(기하)

23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(8,\, 6,\, 2)$를 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
25. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}(4, \,3)$에 대하여 $$ | \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = | \overrightarrow{\mathrm{OA}} | $$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 길이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]
① $2\pi$
② $4\pi$
③ $6\pi$
④ $8\pi$
⑤ $10\pi$
⑤
$\mathrm{A}(4, 3)$이므로 $| \overrightarrow{\mathrm{OA}} | = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$
$| \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = | \overrightarrow{\mathrm{OA}} |$이므로 $| \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = 5$
점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $5$인 원이다.
따라서 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 길이는
$2 \pi \times 5 = 10 \pi$
26. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 3$, $\overline{\mathrm{AD}} = 3$, $\overline{\mathrm{AE}} = 6$인 직육면체 $\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$가 있다. 삼각형 $\mathrm{BEG}$의 무게중심을 $\mathrm{P}$라 할 때, 선분 $\mathrm{DP}$의 길이는? [3점]

① $2\sqrt{5}$
② $2\sqrt{6}$
③ $2\sqrt{7}$
④ $4\sqrt{2}$
⑤ $6$
②
점 $\mathrm{H}$를 원점이라 하고,
반직선 $\mathrm{HE}$가 $x$축의 양의 방향, 반직선 $\mathrm{HG}$가 $y$축의 양의 방향, 반직선 $\mathrm{HD}$가 $z$축의 양의 방향이 되도록 직육면체 $\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$를 놓으면 그림과 같다.$\overline{\mathrm{HE}} = \overline{\mathrm{AD}} = 3$,
$\overline{\mathrm{HG}} = \overline{\mathrm{AB}} = 3$,
$\overline{\mathrm{HD}} = \overline{\mathrm{AE}} = 6$
이므로
$\mathrm{B}(3, 3, 6)$, $\mathrm{E}(3, 0, 0)$, $\mathrm{G}(0, 3, 0)$
이다.
삼각형 $\mathrm{BEG}$의 무게중심 $\mathrm{P}$의 좌표는
$\left(\frac{3+3+0}{3}, \frac{3+0+3}{3}, \frac{6+0+0}{3} \right)$
즉, $(2, 2, 2)$
이다.
따라서 $\mathrm{D}(0, 0, 6)$이므로
$\overline{\mathrm{DP}} = \sqrt{(2-0)^{2} + (2-0)^{2} + (2-6)^{2}}$
$= \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
27. 양수 $p$에 대하여 좌표평면 위에 초점이 $\mathrm{F}$인 포물선 $y^{2} = 4px$가 있다. 이 포물선이 세 직선 $x=p$, $x=2p$, $x=3p$와 만나는 제 $1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$이라 하자. $\overline{\mathrm{FP_1}} + \overline{\mathrm{FP_2}} + \overline{\mathrm{FP_3}} = 27$일 때, $p$의 값은? [3점]
① $2$
② $\frac{5}{2}$
③ $3$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $4$
③
포물선 $y^{2} = 4px$에서
초점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(p, 0)$이고,
준선의 방정식은 $x = -p$이다.
포물선 위의 세 점 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}_1$, $\mathrm{H}_2$, $\mathrm{H}_3$이라 하자.세 점 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$의 $x$좌표가 각각 $p$, $2p$, $3p$이므로 포물선의 성질에 의해
$\overline{\mathrm{FP_1}} = \overline{\mathrm{H_1P_1}} = p+p = 2p$,
$\overline{\mathrm{FP_2}} = \overline{\mathrm{H_2P_2}} = p+2p = 3p$,
$\overline{\mathrm{FP_3}} = \overline{\mathrm{H_3P_3}} = p+3p = 4p$
이다.
$\overline{\mathrm{FP_1}} + \overline{\mathrm{FP_2}} + \overline{\mathrm{FP_3}} = 27$에서
$2p + 3p + 4p = 27$, $9p = 27$
따라서 $p = 3$
28. 좌표공간에 중심이 $\mathrm{A}(0, 0, 1)$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S$가 있다. 구 $S$가 $xy$평면과 만나서 생기는 원을 $C$라 하고, 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{PQ}$ 까지의 거리가 $2$가 되도록 원 $C$ 위에 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 잡는다. 구 $S$가 선분 $\mathrm{PQ}$를 지름으로 하는 구 $T$와 만나서 생기는 원 위에서 점 $\mathrm{B}$가 움직일 때, 삼각형 $\mathrm{BPQ}$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? (단, 점 $\mathrm{B}$의 $z$좌표는 양수이다.) [4점]
① $6$
② $3\sqrt{6}$
③ $6\sqrt{2}$
④ $3\sqrt{10}$
⑤ $6\sqrt{3}$

$6$


29. 한 초점이 $\mathrm{F}(c, \,0)$ ($c > 0$)인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$과 중심의 좌표가 $(2, \,3)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원이 있다. 타원 위의 점 $\mathrm{P}$와 원 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$의 최솟값이 $6$일 때, $r$의 값을 구하시오. [4점]
$17$
타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$의 한 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$ ($c > 0$)이므로 타원의 성질에 의해
$c^2 = 9-5 = 4$
$c > 0$이므로 $c=2$이다.
타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$의 다른 한 초점을 $\mathrm{F}’$이라 하면
$\mathrm{F}'(-2, 0)$이다.
점 $\mathrm{P}$가 타원 위의 점이므로
타원의 성질에 의해
$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}’} = 6$ $\cdots\cdots$ ㉠
이다.
이때,
$\overline{\mathrm{PQ}} – \overline{\mathrm{PF}} \ge 6$ $\cdots\cdots$ ㉡
이므로
㉠, ㉡에서
$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF}’} \ge 12$ $\cdots\cdots$ ㉢
이다.
한편, 원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면
$\mathrm{C}(2, 3)$
이므로
$\overline{\mathrm{CF}’} = \sqrt{(-2-2)^{2} + (0-3)^{2}} = 5$
이다.
이때, 주어진 조건을 만족시키는 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$과 중심이 $\mathrm{C}(2, 3)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원은 다음 그림과 같다.㉢에서 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{F}’$이 일직선 위에 있을 때 $\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF}’}$의 값이 최소이고, $\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF}’}$의 값의 최솟값은 $12$이다.
따라서 $\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF}’}$의 값이 최소일 때 원의 반지름의 길이 $r$의 값은
$r = \overline{\mathrm{CF}’} + \overline{\mathrm{F’P}} + \overline{\mathrm{PQ}}$
$= 5+12 = 17$
30. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$이고 $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 삼각형 $\mathrm{APQ}$는 정삼각형이고,
$9 | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 4 | \overrightarrow{\mathrm{AB}} | \overrightarrow{\mathrm{AB}}$이다.
(나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}} < 0$
(다) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} = 24$
선분 $\mathrm{AQ}$ 위의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $| \overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XB}} |$의 최솟값을 $m$이라 할 때, $m^2$의 값을 구하시오. [4점]
$27$
조건 (가)에서
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$는 방향이 같다. $\cdots\cdots$ ㉠
$9|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 9|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2} \times \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}$,
$4|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 4|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2} \times \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}$
㉠에서 $\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|} = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}$이므로
$9|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2} = 4|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}$
$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = \frac{2}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ $\cdots\cdots$ ㉡
조건 (나)에서
$\frac{\pi}{2} < \angle \mathrm{CAQ} < \pi$
조건 (다)와 ㉠에서
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} = | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} | | \overrightarrow{\mathrm{CB}} | \cos (\angle \mathrm{ABC})$
$| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} | | \overrightarrow{\mathrm{CB}} | \cos \frac{\pi}{4}$
$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} = \left(\frac{2}{3} \times | \overrightarrow{\mathrm{AB}}| \right) \times (\sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|) \cos \frac{\pi}{4}$
$= \frac{2}{3} | \overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2} = 24$
$| \overrightarrow{\mathrm{AB}}| = 6$
㉡에서
$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = \frac{2}{3} \times 6 = 4$
삼각형 $\mathrm{APQ}$가 정삼각형이므로
$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AQ}}| = 4$
$\angle \mathrm{BAQ} = \frac{\pi}{3}$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 점 $\mathrm{M}$에서 선분 $\mathrm{AQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$|\overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XB}}| = |2 \overrightarrow{\mathrm{XM}}|$
$\ge 2|\overrightarrow{\mathrm{HM}}|$
$= 2 \times |\overrightarrow{\mathrm{AM}}| \times \sin \frac{\pi}{3}$
$= 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= 3\sqrt{3}$
따라서$m = 3\sqrt{3}$이므로 $m^2 = 27$
세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A}(0, 0)$, $\mathrm{B}(6, 0)$, $\mathrm{C}(0, 6)$이라 하면 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$의 좌표는
$\mathrm{P}(-2, -2\sqrt{3})$, $\mathrm{Q}(2, 2\sqrt{3})$
점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{AQ}$ 위의 점이므로 $\mathrm{X}$의 좌표는
$\mathrm{X}(t, -\sqrt{3}t)$ ($0 \le t \le 2$)
$|\overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XB}}|$ $= |(-t, \sqrt{3}t) + (6-t, \sqrt{3}t)|$
$= |(6-2t, 2\sqrt{3}t)| = \sqrt{4t^2 -12t +36}$ $= \sqrt{4(t – \frac{3}{2})^2 + 27}$
$|\overrightarrow{\mathrm{XA}} + \overrightarrow{\mathrm{XB}}|$의 최솟값은 $t=\frac{3}{2}$일 때, $\sqrt{27}$이다.
따라서 $m = \sqrt{27}$이므로 $m^2 = 27$