22년 10월 교육청
5. $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin \theta = 2 \cos (\pi - \theta)$일 때, $\cos \theta \tan \theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
② $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
③ $\frac{1}{5}$
④ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
⑤ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
⑤
$\cos (\pi – \theta) = – \cos \theta$이므로 $\sin \theta = -2 \cos \theta$이다.
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$이므로 $\sin^{2} \theta = \frac{4}{5}$
$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$이므로 $\sin \theta = \frac{2
\sqrt{5}}{5}$
$\cos \theta \tan \theta = \cos \theta \times \frac{\sin \theta }{\cos \theta }= \sin \theta$ $=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
6. 함수 $f(x) = x^3 -2x^2 +2x +a$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의점 $(1, \,f(1))$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{PQ}} = 6$일 때, 양수 $a$의 값은? [3점]
① $2\sqrt{2}$
② $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
③ $3\sqrt{2}$
④ $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
⑤ $4\sqrt{2}$
③
$f(x) = x^3 -2x^2 + 2x +a$에서 $f'(x) = 3x^2 -4x + 2$
$f(1) = a+1$, $f'(1) = 1$이므로 곡선 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식은
$y = (x-1) + a+1$, 즉 $y = x+a$
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 각각 $(-a, 0)$, $(0, a)$이다.
$\overline{\mathrm{PQ}} = 6$에서 $\sqrt{a^2 + a^2} = 6$, $a^2 = 18$
$a > 0$이므로 $a=3 \sqrt{2}$
7. 두 함수 $$f(x) = x^2 -4x, \:g(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x & (x < 2) \\ -x^2 + 6x -8 & (x \ge 2) \end{cases}$$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① $\frac{40}{3}$
② $14$
③ $\frac{44}{3}$
④ $\frac{46}{3}$
⑤ $16$

8. 첫째항이 $20$인 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = | a_n | - 2$$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{30}a_n$의 값은? [3점]
① $88$
② $90$
③ $92$
④ $94$
⑤ $96$
②
(ⅰ) $1 \le n \le 10$인 경우
$a_1 = 20$, $a_{n+1} = a_n -2$이므로 $a_n = -2n + 22$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n = \sum_{n=1}^{10}(-2n + 22) = 110$
(ⅱ) $11 \le n \le 30$인 경우
$a_{10} = 2$이므로 $a_n = \begin{cases} 0 & (n \text{이 홀수인 경우}) \\ -2 & (n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$
$\displaystyle \sum_{n=11}^{30}a_n = (-2) \times 10 = -20$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{30}a_n = 110 + (-20) = 90$
9. 최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$xf'(x) -3f(x) = 2x^2 - 8x$$ 를 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [4점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
③
주어진 등식의 양변에 $x=0$을 대입하면 $f(0) = 0$
다항함수 $f(x)$의 차수를 $n$이라 하자.
(ⅰ) $n \le 1$일 때, 주어진 등식의 좌변의 차수는 $1$ 이하이고, 우변의 차수는 $2$이므로 등식이 성립하지 않는다.
(ⅱ) $n = 2$일 때, 주어진 등식의 좌변의 이차항의 계수는 $-1$이고, 우변의 이차항의 계수는 $2$이므로 등식이 성립하지 않는다.
(ⅲ) $n \ge 3$일 때, 주어진 등식의 좌변의 $n$차항의 계수가 $n-3$이고 우변의 차수는 $2$이므로 등식이 성립하기 위해서는 $n=3$이어야 한다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f(x)$는 삼차함수이므로 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$이고
$xf'(x) -3f(x) = x(3x^2 + 2ax +b) -3(x^3 + ax^2 + bx) = -ax^2 -2bx$
주어진 등식이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로
$-a = 2$, $-2b = -8$
에서 $a = -2$, $b = 4$이고 $f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x$
따라서 $f(1) = 1 -2 +4 = 3$
10. $a > 1$인 실수 $a$에 대하여 두 곡선 $$y=- \log_{2}(-x), \:y=\log_{2}(x+2a)$$ 가 만나는 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 직선 $4x + 3y + 5 = 0$ 위에 있을 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는? [4점]
① $\frac{3}{2}$
② $\frac{7}{4}$
③ $2$
④ $\frac{9}{4}$
⑤ $\frac{5}{2}$
⑤
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$라 하자.
$- \log_{2}(-x) = \log_{2}(x+2a)$에서 $\log_{2}(x+2a) + \log_{2}(-x) = 0$
$\log_{2}\{-x(x+2a)\} = 0$
$-x(x+2a) = 1$
$x^2 + 2ax + 1 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
이차방정식 ㉠의 두 실근이 $x_1$, $x_2$이므로 근과 계수의 관계에 의하여
$x_1 + x_2 = -2a$, $x_1 x_2 = 1$
이다. 이때
$y_1 + y_2 = – \log_{2}(-x_1) – \log_{2}(-x_2)$
$= – \log_{2}x_{1}x_2$
$= – \log_{2}1 = 0$
이므로 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $(-a, 0)$이다.
선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 직선 $4x + 3y + 5 = 0$ 위에 있으므로 $-4a+ 5 = 0$에서 $a = \frac{5}{4}$
$a = \frac{5}{4}$를 ㉠에 대입하면
$x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0$, $x^2 + 5x + 2 = 0$
$(x+2)(2x+1) = 0$
$x = -2$ 또는 $x = -\frac{1}{2}$
따라서 두 교점의 좌표는 $(-2, -1)$, $(-\frac{1}{2}, 1)$이고
$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2}$ $=\dfrac{5}{2}$
11. 두 정수 $a$, $b$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0 \le x < 4$에서 $f(x) = ax^2 + bx -24$이다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4) = f(x)$이다.
$1 < x < 10$일 때, 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$이다. $a+b$의 값은? [4점]
① $18$
② $19$
③ $20$
④ $21$
⑤ $22$
④
함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 조건 (가)와 (나)에서
$f(4) =\displaystyle \lim_{x \to 4-}f(x) = 16a + 4b -24$이고
$f(0) = f(4)$이므로 $-24 = 16a + 4b -24$에서
$b = -4a$ $\cdots\cdots$ ㉠
$0 \le x < 4$에서 $f(x) = a(x-2)^2 -4a -24$이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 직선 $x=2$ 에 대하여 대칭이다.
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+4) = f(x)$이므로 $1 < x < 2$일 때 방정식 $f(x) = 0$이 실근을 갖지 않으면 $1 < x < 10$일 때 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 이하이다.
$1 < x < 2$일 때 방정식 $f(x) = 0$이 실근을 $1$개 가지면 $1 < x < 10$일 때 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$이다.
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[1, 2]$에서 연속이므로
$f(1)f(2) = (-3a -24)(-4a -24) = 12(a+8)(a+6) < 0$
$-8 < a < -6$이고 $a$는 정수이므로 $a = -7$
㉠에 의하여 $b = 28$
따라서 $a+b = -7 + 28 = 21$
12. 양수 $a$에 대하여 함수 $$f(x) = \left| \,4 \sin \left( ax - \frac{\pi}{3}\right) + 2 \, \right|\:\:\left( 0 \le x < \frac{4\pi}{a}\right)$$ 의 그래프가 직선 $y=2$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $n$이다. 이 $n$개의 점의 $x$좌표의 합이 $39$일 때, $n \times a$의 값은? [4점]
① $\frac{\pi}{2}$
② $\pi$
③ $\frac{3\pi}{2}$
④ $2\pi$
⑤ $\frac{5\pi}{2}$
④
함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 점의 $x$좌표는 $0 \le x < \frac{4 \pi}{a}$일 때 방정식
$| 4\sin \left( ax – \frac{\pi}{3}\right) + 2 | = 2$ $\cdots\cdots$ ㉠
의 실근과 같다.
$ax – \frac{\pi}{3} = t$라 하면 $-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{11\pi}{3}$이고
$| 4\sin t + 2 | = 2$ $\cdots\cdots$ ㉡
에서 $\sin t = 0$ 또는 $\sin t = -1$
$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{11\pi}{3}$일 때, 방정식 ㉡의 실근은
$0$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$, $3\pi$, $\frac{7\pi}{2}$
의 $6$개이고 이 $6$개의 실근의 합은 $11\pi$이다.
따라서 $n = 6$이고 방정식 ㉠의 $6$개의 실근의 합이 $39$이므로
$39a – \frac{\pi}{3} \times 6 = 11 \pi$, $a = \frac{\pi}{3}$
따라서 $n \times a = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2 \pi$
13. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 2$, $\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{3}$, $\overline{\mathrm{CA}} = \sqrt{13}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{B}$가 아닌 점 $\mathrm{D}$를 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 양 끝점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$가 아닌 점 $\mathrm{E}$를 사각형 $\mathrm{ABDE}$가 원에 내접하도록 잡는다.

다음은 선분 $\mathrm{DE}$의 길이를 구하는 과정이다.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos (\angle \mathrm{ABC}) = \fbox{ ($\textbf{가}$) }$
이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\sin (\angle \mathrm{ABD}) = \sqrt{1 - (\fbox{ ($\textbf{가}$) })^{2}}$이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\fbox{ ($\textbf{나}$) }$이다.
삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin (\angle \mathrm{CAD})} = \dfrac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin (\angle \mathrm{ACD})}$
이므로 $\sin (\angle \mathrm{CAD}) = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{AD}}} \times \sin (\angle \mathrm{ACD})$이다.
삼각형 $\mathrm{ADE}$에서 사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{DE}} = \fbox{ ($\textbf{다}$) }$
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때, $p \times q \times r$의 값은? [4점]
① $\frac{6\sqrt{13}}{13}$
② $\frac{7\sqrt{13}}{13}$
③ $\frac{8\sqrt{13}}{13}$
④ $\frac{9\sqrt{13}}{13}$
⑤ $\frac{10\sqrt{13}}{13}$
①
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos (\angle \mathrm{ABC}) = \frac{2^2 + (3\sqrt{3})^2 – (\sqrt{13})^2}{2 \times 2 \times 3\sqrt{3}} = \fbox{$\frac{ \sqrt{3}}{2}$ }$
이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서
$\sin (\angle \mathrm{ABD}) = \sqrt{1 – (\frac{ \sqrt{3}}{2})^{2}} = \frac{1}{2}$
이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\frac{1}{2} \times \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin (\angle \mathrm{ABD})} = \fbox{ $2$ }$이다.
삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin (\angle \mathrm{CAD})} = \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin (\angle \mathrm{ACD})}$
이므로
$\sin (\angle \mathrm{CAD}) = \frac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{AD}}} \times \sin (\angle \mathrm{ACD})$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{\sqrt{39}}{26}$
이다. 삼각형 $\mathrm{ADE}$에서 사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{DE}} = 2 \times 2 \times \sin (\angle \mathrm{CAD}) = \fbox{ $\frac{2\sqrt{39}}{13}$ }$
이다.
따라서 $p = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $q = 2$, $r = \frac{2\sqrt{39}}{13}$이므로
$p \times q \times r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \times \frac{2\sqrt{39}}{13} = \dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
14. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $$\int_{t}^{x}f(s)ds = 0$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $f(x) = x^{2}(x-1)$일 때, $g(1) = 1$이다.
ㄴ. 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이면 $g(a) = 3$인 실수 $a$가 존재한다.
ㄷ. $\displaystyle \lim_{t \to b}g(t) + g(b) = 6$을 만족시키는 실수 $b$의 값이 $0$과 $3$뿐이면 $f(4) = 12$이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
②
함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 주어진방정식은 $\int_{t}^{x}f(s)ds = F(x) – F(t) = 0$이므로 $F(x) = F(t)$이다.
따라서 $g(t)$는 곡선 $y = F(x)$와 직선 $y = F(t)$의 서로 다른 교점의 개수와 같다.
ㄱ.
$F'(x) = f(x) = x^{2}(x-1)$이다. 함수 $F(x)$는 $x < 1$에서 감소, $x > 1$에서 증가하므로 $x=1$에서 극소이면서 최소이다. 따라서 $y = F(x)$와 직선 $y = F(1)$은 오직 한 점에서 만나므로 $g(1) = 1$이다. (참)
ㄴ.
방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$일 때, 함수 $F(x)$의 두 극솟값이 같은 경우와 두 극솟값이 다른 경우가 있다. 각 경우 곡선 $y = F(x)$와 직선 $y = F(a)$가 서로 다른 세 점에서 만나는 실수 $a$가 존재한다.따라서 $g(a) = 3$인 실수 $a$가 존재한다. (참)
ㄷ.
함수 $F(x)$가 극댓값을 갖지 않거나, 극댓값을갖지만 두 극솟값의 크기가 다른 경우에는 $\displaystyle \lim_{t \to b}g(t) + g(b) = 6$인 실수 $b$가 존재하지 않는다. 따라서 곡선 $y=F(x)$의 개형은 다음과 같고, $F(0)=F(3)$이다.$f(0) = F'(0) = 0$이고 $f(3) = F'(3) = 0$이므로
$F(x) – F(0) = \frac{x^{2}(x-3)^{2}}{4} = \frac{x^{4}-6x^{3}+9x^2}{4}$
양변을 $x$에 대하여 미분하면
$f(x) = x^3 – \frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$
이므로 $f(4) = 64 – 72 + 18 = 10$ (거짓)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
15. 수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 두 자연수 $p$, $q$에 대하여 $S_n = pn^2 - 36n + q$일 때, $S_n$이 다음 조건을 만족시키도록 하는 $p$의 최솟값을 $p_1$이라 하자.
임의의 두 자연수 $i$, $j$에 대하여 $i \ne j$이면 $S_i \ne S_j$이다.
$p = p_1$일 때, $| a_k | < a_1$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 $q$의 값의 합은? [4점]
① $372$
② $377$
③ $382$
④ $387$
⑤ $392$
①
$S_n$이 주어진 조건을 만족시키면 $i \ne j$인 임의의 두 자연수 $i$, $j$에 대하여
$S_i – S_j \ne 0$이므로
$S_i – S_j = (pi^2 -36i + q) – (pj^2 -36j + q) = (i-j)(pi + pj -36) \ne 0$
따라서 $i + j \ne \frac{36}{p}$
$p \le 4$이면 $i + j = \frac{36}{p}$인 서로 다른 두 자연수 $i$, $j$가 존재한다.
$p = 5$이면 $i + j = \frac{36}{p}$인 서로 다른 두 자연수 $i$, $j$가 존재하지 않는다.
따라서 $p$의 최솟값은 $5$, 즉 $p_1 = 5$이다.
$p = 5$일 때 $S_n = 5n^2 -36n + q$이므로
$a_1 = S_1 = q-31$,
$n \ge 2$일 때, $a_n = S_n – S_{n-1} = 10n – 41$
이때
$a_2 = -21$, $a_3 = -11$, $a_4 = -1$, $a_5 = 9$, $a_6 = 19$, $a_7 = 29$, $\cdots$
$| a_k | < a_1$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수가 $3$이므로 $k$의 값은 $3$, $4$, $5$이다.
$11 < a_1 \le 19$, $11 < q – 31 \le 19$
$42 < q \le 50$
이다. 따라서 모든 $q$의 값의 합은
$43 + 44 + \cdots + 50 = \frac{8 \times (43 + 50)}{2} = 372$
17. 함수 $f(x) = x^3 -3x^2 + ax + 10$이 $x=3$에서 극소일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오. (단, $a$는 상수이다.) [3점]
18. $\displaystyle \sum_{k = 1}^{6}(k+1)^2 - \sum_{k = 1}^{5}(k-1)^2$의 값을 구하시오. [3점]
$109$
$\displaystyle \sum_{k = 1}^{6}(k+1)^2 – \sum_{k = 1}^{5}(k-1)^2$
$= 7^2 + \displaystyle \sum_{k = 1}^{5}(k+1)^2 – \sum_{k = 1}^{5}(k-1)^2$
$= 49 + \displaystyle \sum_{k = 1}^{5}\{ (k+1)^2 – (k-1)^2 \}$
$= 49 + \displaystyle 4 \sum_{k = 1}^{5}k$
$= 49 + \displaystyle 4 \times \frac{5 \times 6}{2}$
$= 109$
19. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의속도 $v(t)$가 $$v(t) = 4t^3 - 48t$$ 이다. 시각 $t = k$ ($k > 0$)에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도가 $0$일 때, 시각 $t=0$에서 $t=k$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오. (단, $k$는 상수이다.) [3점]
$80$
점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 가속도 $a(t)$는
$a(t) = v'(t) = 12t^2 – 48$
$a(k) = 12(k^2 -4) = 0$에서 $k > 0$이므로 $k = 2$이다.
$0 \le t \le 2$일 때 $v(t) \le 0$이므로 시각 $t = 0$에서 $t = 2$ 까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는
$\int_{0}^{2}| v(t) |dt = \int_{0}^{2}(-4t^3 + 48t)dt$
$= \left[ -t^4 + 24t^2 \right]_{0}^{2} = -16 + 96 = 80$
20. 최고차항의 계수가 $1$이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(5)$의 최댓값을 구하시오. [4점]
(가) $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{| f(x) - 1 |}{x}$의 값이 존재한다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $xf(x) \ge -4x^2 + x$이다.
$226$
조건 (가)에 의하여
$\displaystyle \lim_{x \to 0}| f(x) – 1 | = 0$
이므로 삼차식 $f(x) – 1$은 를 $x$인수로 갖는다.
이차식 $g(x)$에 대하여 $f(x) – 1 = xg(x)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{| f(x) – 1 |}{x} = \lim_{x \to 0+}\frac{| xg(x) |}{x}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{| x || g(x) |}{x} = \lim_{x \to 0+}| g(x) | = | g(0) |$
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}\frac{| f(x) – 1 |}{x} = \lim_{x \to 0-}\frac{| xg(x) |}{x}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0-}\frac{| x || g(x) |}{x} = – \lim_{x \to 0-}| g(x) | = -| g(0) |$
$| g(0) | = -| g(0) |$에서 $g(0) = 0$
이차식 $g(x)$도 $x$를 인수로 가지므로
$f(x) – 1 = x^{2}(x+a)$ ($a$는 실수)
라 하면 $f(x) = x^3 + ax^2 + 1$
$xf(x) \ge -4x^2 + x$에서
$x(x^3 + ax^2 + 1) \ge -4x^2 + x$
$x^4 + ax^3 + 4x^2 \ge 0$
$x^{2}(x^2 + ax + 4) \ge 0$
$x^2 \ge 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2 + ax + 4 \ge 0$이 성립한다.
이차방정식 $x^2 + ax + 4 = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$D = a^2 – 16 \le 0$
$-4 \le a \le 4$
$f(5) = 25a + 126$이므로 구하는 $f(5)$의 최댓값은 $a=4$일 때 $226$이다.
21. 그림과 같이 $a > 1$인 실수 $a$에 대하여 두 곡선 $$y = a^{-2x} - 1, \:y = a^{x} - 1$$ 이 있다. 곡선 $y = a^{-2x} - 1$과 직선 $y = -\sqrt{3}x$가 서로 다른두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$에서 만난다. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OA}$에 수직인 직선이 곡선 $y = a^{x} - 1$과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. $\overline{\mathrm{OA}} : \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{3} : \sqrt{19}$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이를 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]

$8$
$\overline{\mathrm{OA}} : \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{3} : \sqrt{19}$이므로 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{3}k$ ($k > 0$)이라 하면 $\overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{19}k$이고 $\overline{\mathrm{AB}} = 4k$이다.
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$라 하자. 직선 $\mathrm{OA}$와 $x$축이 이루는 예각의 크기가 $60^{\circ}$이므로
$x_1 = – \frac{\sqrt{3}}{2}k$, $y_1 = \frac{3}{2}k$
따라서 $\mathrm{A}(- \frac{\sqrt{3}}{2}k, \frac{3}{2}k)$
직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 직선 $\mathrm{AB}$와 $x$축이 이루는 예각의 크기가 $30^{\circ}$이다.
$x_2 – x_1 = 4k \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{3}k$에서
$x_2 = x_1 + 2\sqrt{3}k = \frac{3\sqrt{3}}{2}k$
$y_2 – y_1 = 4k \sin 30^{\circ} = 2k$에서
$y_2 = y_1 + 2k = \frac{7}{2}k$
따라서 $\mathrm{B}(\frac{3\sqrt{3}}{2}k, \frac{7}{2}k)$
점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y = a^{-2x}-1$ 위의 점이므로
$\frac{3}{2}k = a^{\sqrt{3}k}-1$에서 $a^{\sqrt{3}k} = \frac{3k+2}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{B}$는 곡선 $y = a^{x}-1$ 위의 점이므로
$\frac{7}{2}k = a^{\frac{3\sqrt{3}}{2}k}-1$에서 $a^{\frac{3\sqrt{3}}{2}k} = \frac{7k+2}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $(\frac{3k+2}{2})^3 = (\frac{7k+2}{2})^2$
$27k^3 -44k^2 -20k = 0$, $k(k-2)(27k+10) = 0$
$k > 0$이므로 $k = 2$
따라서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4k = 8$
22. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 구간 $(-\infty, \,t\,]$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m_1$이라 하고, 구간 $[\,t, \,\infty)$에서 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m_2$라 할 때, $$g(t) = m_1 - m_2$$ 라 하자. $k > 0$인 상수 $k$와 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$g(t) = k$를 만족시키는 모든 실수 $t$의 값의 집합은 $\{\, t \,|\, 0 \le t \le 2 \}$이다.
$g(4) = 0$일 때, $k + g(-1)$의 값을 구하시오. [4점]
$82$
사차함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서만 극솟값을 갖는다고 하면 함수 $g(t)$는
$g(t) = \begin{cases} f(t)-f(\alpha) & (t < \alpha) \\ f(\alpha)-f(t) & (t \ge \alpha) \end{cases}$
구간 $(-\infty, \alpha)$에서 함수 $f(t)$가 감소하므로 함수 $g(t)$도 감소하고, 구간 $[\alpha, \infty)$에서 함수 $f(t)$가 증가하므로 함수 $g(t)$는 감소한다.
실수 전체의 집합에서 함수 $g(t)$가 감소하므로 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다.
그러므로 함수 $f(x)$는 극댓값을 가져야 한다. 함수 $f(x)$가 $x=\alpha$, $x=\beta$ ($\alpha < \beta$)에서 극솟값을가지고, $f(\alpha) = a$, $f(\beta) = b$라 하자.
(ⅰ) $f(\alpha) = f(\beta)$인 경우함수 $f(x)$의 최솟값은 $a$이므로
$g(t) = \begin{cases} f(t) – a & (t < \alpha) \\ \: \:0 & (\alpha \le t \le \beta) \\ a – f(t) & (t > \beta) \end{cases}$
따라서 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다.
(ⅱ) $f(\alpha) < f(\beta)$인 경우 $\alpha < x < \beta$일 때, $f(x) = f(\beta)$의 해를 $\gamma$라 하면
$g(t) = \begin{cases} f(t) – a & (t < \alpha) \\ a-f(t) & (\alpha \le t < \gamma)
\\ a-b & (\gamma \le t \le \beta) \\ a – f(t) & (t > \beta) \end{cases}$
$a-b < 0$이므로 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다.
(ⅲ) $f(\alpha) > f(\beta)$인 경우$\alpha < x < \beta$일 때, $f(x) = f(\alpha)$의 해를 $\gamma$라 하면
$g(t) = \begin{cases} f(t) – b & (t < \alpha) \\ a-b & (\alpha \le t \le \gamma)
\\ f(t)-b & (\gamma < t < \beta) \\ b – f(t) & (t \ge \beta) \end{cases}$
$a-b > 0$이므로 $k = a-b$, $\alpha = 0$, $\gamma = 2$이면 $k$는 주어진 조건을 만족시킨다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f'(0) = 0$, $f(0) = f(2)$이다.
또 $g(4) = 0$이므로 $\beta = 4$이고 $f'(4) = 0$이다.
$f(x) – f(0) = x^{2}(x-2)(x-p)$ ($p$는 상수)라 하자.
$f'(x) = 2x(x-2)(x-p) + x^{2}(2x-p-2)$이므로
$f'(4) = 0$에서 $16(4-p) + 16(6-p) = 0$
$10 – 2p = 0$, $p = 5$
그러므로 $f(x) = x^{2}(x-2)(x-5) + f(0)$
$k = f(\alpha) – f(\beta) = f(0) – f(4)$ $= f(0) – \{ -32 – f(0) \} = 32$
$g(-1) = f(-1) – f(4) = \{ 18 + f(0) \} – \{ -32 + f(0) \} = 50$
따라서 $k + g(-1) = 82$
수학 영역(확률과 통계)
24. 다항식 $(x^2 + 1)(x-2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [3점]
① $-10$
② $-8$
③ $-6$
④ $-4$
⑤ $-2$
①
다항식 $(x^2 + 1)(x-2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는 $(x^2 + 1)$에서 $x^2$의 계수 $1$과 $(x-2)^5$의 전개식에서 $x^4$의 계수를 곱한 것과 같다.
$(x-2)^5$의 전개식에서 일반항은
$_{5}\mathrm{C}_{r}x^{5-r}(-2)^r$ ($r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$)
$r=1$일 때 $x^4$의 계수는 $_{5}\mathrm{C}_{1} \times (-2) = -10$
따라서 $(x^2 + 1)(x-2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는
$1 \times (-10) = -10$
25. 이산확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\mathrm{E}(X) = -1$일 때, $\mathrm{V}(aX)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점]
① $12$
② $15$
③ $18$
④ $21$
⑤ $24$
③
$\mathrm{E}(X) = (-3) \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{4} + a \times \frac{1}{4}= -\frac{3}{2} + \frac{a}{4}$
$-\frac{3}{2} + \frac{a}{4}= -1$에서 $a = 2$
$\mathrm{V}(X) = (-3+1)^2 \times \frac{1}{2} + (0+1)^2 \times \frac{1}{4} + (2+1)^2 \times \frac{1}{4}= \frac{9}{2}$
따라서 $\mathrm{V}(2X) = 2^2 \times \mathrm{V}(X) = 4 \times \frac{9}{2} = 18$
26. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는? [3점]
(가) $a \times b \times c \times d = 8$
(나) $a + b + c + d < 10$
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
④
조건 (가)를 만족시키는 네 자연수는
$1$, $1$, $1$, $8$ 또는 $1$, $1$, $2$, $4$ 또는 $1$, $2$, $2$, $2$
이때 조건 (나)를 만족시키는 경우는
$1$, $1$, $2$, $4$ 또는 $1$, $2$, $2$, $2$
(ⅰ) 네 자연수 $1$, $1$, $2$, $4$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2!} = 12$
(ⅱ) 네 자연수 $1$, $2$, $2$, $2$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{3!} = 4$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 $12 + 4 = 16$
27. $1$부터 $10$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $4$장을 동시에 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$라 하자. $a_1 \times a_2$의 값이 홀수이고, $a_3 + a_4 \ge 16$일 확률은? [3점]
① $\frac{1}{14}$
② $\frac{3}{35}$
③ $\frac{1}{10}$
④ $\frac{4}{35}$
⑤ $\frac{9}{70}$

⑤
$10$장의 카드 중 임의로 카드 $4$장을 뽑는 경우의 수는 $_{10}\mathrm{C}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$이다.
$a_1 \times a_2$의 값이 홀수인 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) 순서쌍 $(a_1, a_2)$가 $(1, 3)$ 또는 $(1, 5)$ 또는 $(3, 5)$인 경우
$a_3 + a_4 \ge 16$을 만족시키는 순서쌍 $(a_3, a_4)$는 $(6, 10)$, $(7, 9)$, $(7, 10)$, $(8, 9)$, $(8, 10)$, $(9, 10)$으로 $6$가지이다.
이때 구하는 경우의 수는 $3 \times 6 = 18$
(ⅱ) 순서쌍 $(a_1, a_2)$가 $(1, 7)$ 또는 $(3, 7)$ 또는 $(5, 7)$인 경우
$a_3 + a_4 \ge 16$을 만족시키는 순서쌍 $(a_3, a_4)$는 $(8, 9)$, $(8, 10)$, $(9, 10)$으로 $3$가지이다.
이때 구하는 경우의 수는 $3 \times 3 = 9$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 $\frac{18}{210} + \frac{9}{210} = \frac{27}{210} = \dfrac{9}{70}$
28. 정규분포를 따르는 두 확률변수 $X$, $Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x)$, $g(x)$라 할 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $$g(x) = f(x+6)$$ 이다. 두 확률변수 $X$, $Y$와 상수 $k$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\mathrm{P}(X \le 11) = \mathrm{P}(Y \ge 23)$
(나) $\mathrm{P}(X \le k) + \mathrm{P}(Y \le k) = 1$
오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 $\mathrm{P}(X \le k) + \mathrm{P}(Y \ge k)$의 값이 $0.1336$일 때, $\mathrm{E}(X) + \sigma(Y)$의 값은? [4점]
① $\frac{41}{2}$
② $21$
③ $\frac{43}{2}$
④ $22$
⑤ $\frac{45}{2}$

④
곡선 $y = g(x)$는 곡선 $y = f(x)$를 $x$축의 방향으로 $-6$만큼 평행이동한 것이므로 두 확률변수 $X$, $Y$의 표준편차는 같다.
확률변수 $X$의 평균을 $m$, 표준편차를 $\sigma$라 하면 확률변수 $Y$의 평균은 $m-6$, 표준편차는 $\sigma$이다.
표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 조건 (가)에서
$\mathrm{P}(X \le 11) = \mathrm{P}(Y \ge 23)$
$\mathrm{P}(Z \le \frac{11-m}{\sigma}) = \mathrm{P}(Z \ge \frac{29-m}{\sigma})$
$\frac{11-m}{\sigma} = \frac{29-m}{\sigma}$에서 $m = 20$
조건 (나)에서
$\mathrm{P}(X \le k) + \mathrm{P}(Y \le k) = 1$
$\mathrm{P}(Z \le \frac{k-20}{\sigma}) + \mathrm{P}(Z \le \frac{k-14}{\sigma}) = 1$
$\frac{k-20}{\sigma} = – \frac{k-14}{\sigma}$에서 $k = 17$
$\mathrm{P}(X \le 17) + \mathrm{P}(Y \ge 17) = \mathrm{P}(Z \le -\frac{3}{\sigma}) + \mathrm{P}(Z \ge \frac{3}{\sigma})$ $= 2 \times \mathrm{P}(Z \ge \frac{3}{\sigma})$
$\mathrm{P}(X \le 17) + \mathrm{P}(Y \ge 17) = 0.1336$에서 $\mathrm{P}(Z \ge \frac{3}{\sigma}) = 0.0668$
표준정규분포표에서
$\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$, 즉 $\mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.0668$
$\frac{3}{\sigma} = 1.5$에서 $\sigma = 2$
따라서 $\mathrm{E}(X) + \sigma(Y) = m + \sigma = 20 + 2 = 22$

29. 두 집합 $X = \{ 1, 2, 3, 4 \}$, $Y = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to Y$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) 집합 $X$의 임의의 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여
$x_1 < x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$이다.
(나) $f(1) \le 3$
(다) $f(3) \le f(1) + 4$
$105$
조건 (가)를 만족시키는 함수 $f$의 개수는
$_{6}\mathrm{H}_{4} = {}_{9}\mathrm{C}_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$
(ⅰ) 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우
$f(1) \ge 4$인 함수 $f$의 개수는 $_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = 15$
(ⅱ) 조건 (다)를 만족시키지 않는 경우
$f(3) – f(1) > 4$에서 $f(1) = 1$, $f(3) = 6$이어야 하므로
$f(4) = 6$, $1 \le f(2) \le 6$
이때 함수 $f$의 개수는 $6$
(ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족하는 경우는 없다.
따라서 구하는 함수의 개수는 $126 – (15 + 6) = 105$
30. 주머니 $\mathrm{A}$에 흰 공 $3$개, 검은 공 $1$개가 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$에도 흰 공 $3$개, 검은 공 $1$개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1]과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다.
[실행 1] 한 개의 동전을 던져
앞면이 나오면 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 $2$개의 공을 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣고,
뒷면이 나오면 주머니 $\mathrm{A}$에서 임의로 $3$개의 공을 꺼내어 주머니 $\mathrm{B}$에 넣는다.
[실행 2]주머니 $\mathrm{B}$에서 임의로 $5$개의 공을 꺼내어 주머니 $\mathrm{A}$에 넣는다.
[실행 2]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공 중 흰 공이 $2$개이었을 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$17$
[실행 2]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 사건을 $X$, [실행 1]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공 중 흰 공이 $2$개인 사건을 $Y$라 하자.
(ⅰ) [실행 1]에서 동전의 앞면이 나오고, [실행 2]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 1]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $2$개이고, [실행 2]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $5$개이거나
[실행 1]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개이고, [실행 2]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $4$개와 검은 공 $1$개일 확률은
$\frac{1}{2} \times \frac{_{3}\mathrm{C}_{2}}{_{4}\mathrm{C}_{2}} \times \frac{_{5}\mathrm{C}_{5}}{_{6}\mathrm{C}_{5}} + \frac{1}{2} \times \frac{_{3}\mathrm{C}_{1} \times _{1}\mathrm{C}_{1}}{_{4}\mathrm{C}_{2}} \times \frac{_{4}\mathrm{C}_{4} \times _{2}\mathrm{C}_{1}}{_{6}\mathrm{C}_{5}}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{8}$
(ⅱ)[실행 1]에서 동전의 뒷면이 나오고, [실행 2]가 끝난 후 주머니 $\mathrm{B}$에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 1]에서 주머니 $\mathrm{B}$에 넣은 공이 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개이고, [실행 2]에서 주머니 $\mathrm{A}$에 넣은 공이 흰 공 $5$개일 확률은
$\frac{1}{2} \times \frac{_{3}\mathrm{C}_{2} \times _{1}\mathrm{C}_{1}}{_{4}\mathrm{C}_{3}} \times \frac{_{5}\mathrm{C}_{5}}{_{7}\mathrm{C}_{5}}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{21} = \frac{1}{56}$
(ⅰ), (ⅱ)에서
$\mathrm{P}(X) = \frac{1}{8} + \frac{1}{56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$
$\mathrm{P}(X \cap Y) = \frac{1}{24} + \frac{1}{56} = \frac{10}{168} = \frac{5}{84}$
그러므로 구하는 확률은
$\mathrm{P}(Y | X) = \dfrac{\mathrm{P}(X \cap Y)}{\mathrm{P}(X)} = \dfrac{\frac{5}{84}}{\frac{1}{7}} = \dfrac{5}{12}$
따라서 $p = 12$, $q=5$이므로 $p + q = 17$
수학 영역(미적분)

23. 첫째항이 $1$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{3n+1}$ 의 값은? [2점]
① $\frac{2}{3}$
② $1$
③ $\frac{4}{3}$
④ $\frac{5}{3}$
⑤ $2$
24. 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{\ln (1 + 3x)} = 2$$ 일 때, $f'(0)$의 값은? [3점]
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
25. 매개변수 $t$ ($0 < t < \pi$)로 나타내어진 곡선 $$y= \sin t - \cos t, \:y=3 \cos t + \sin t$$ 위의 점 $(a, \,b)$에서의 접선의 기울기가 $3$일 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $0$
② $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
③ $-\frac{\sqrt{10}}{5}$
④ $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
⑤ $-\frac{2\sqrt{10}}{5}$
⑤
$\frac{dx}{dt} = \cos t + \sin t$, $\frac{dy}{dt} = -3\sin t + \cos t$이므로
$\frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{-3\sin t + \cos t}{\cos t + \sin t}$ (단, $\cos t + \sin t \ne 0$)
$\frac{dy}{dx} = 3$인 $t$의 값을 $\alpha$ ($0 < \alpha < \pi$)라 하면
$\cos \alpha = -3 \sin \alpha$
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$이므로 $\sin^{2} \alpha + 9 \sin^{2} \alpha = 1$
$\sin \alpha > 0$이므로 $\sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$a = \sin \alpha – \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{5}$,
$b = 3\cos \alpha + \sin \alpha = -\frac{4\sqrt{10}}{5}$
따라서 $a + b =$ $= -\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
26. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(2n-k)^2}$의 값은? [3점]
① $\frac{3}{2} – 2 \ln 2$
② $1 – \ln 2$
③ $\frac{3}{2} – \ln 3$
④ $\ln 2$
⑤ $2 – \ln 3$
②
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(2n-k)^2}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\frac{k}{n}}{(\frac{k}{n}-2)^2} \times \frac{1}{n}$ $= \int_{-2}^{-1}\frac{x+2}{x^2}dx$
$= \int_{-2}^{-1}(\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2})dx = \left[ \ln | x | – \frac{2}{x} \right]_{-2}^{-1}$ $= 1 – \ln 2$
27. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_{1}B_1}} = 1$, $\overline{\mathrm{B_{1}C_1}} = 2\sqrt{6}$인 직사각형 $\mathrm{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$이 있다. 중심이 $\mathrm{B_{1}}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원이 선분 $\mathrm{B_{1}C_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{E_{1}}$이라 하고, 중심이 $\mathrm{D_{1}}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원이 선분 $\mathrm{A_{1}D_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{F_{1}}$이라 하자. 선분 $\mathrm{B_{1}D_1}$이 호 $\mathrm{A_{1}E_1}$, 호 $\mathrm{C_{1}F_1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B_{2}}$, $\mathrm{D_{2}}$라 하고, 두 선분 $\mathrm{B_{1}B_2}$, $\mathrm{D_{1}D_2}$의 중점을 각각 $\mathrm{G_{1}}$, $\mathrm{H_{1}}$이라 하자.
두 선분 $\mathrm{A_{1}G_1}$, $\mathrm{G_{1}B_2}$와 호 $\mathrm{B_{2}A_1}$로 둘러싸인 부분인
모양의 도형과 두 선분 $\mathrm{D_{2}H_1}$, $\mathrm{H_{1}F_1}$과 호 $\mathrm{F_{1}D_2}$로 둘러싸인 부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{B_{2}D_2}$가 대각선이고 모든 변이 선분 $\mathrm{A_{1}B_1}$ 또는 선분 $\mathrm{B_{1}C_1}$에 평행한 직사각형 $\mathrm{A_{2}B_{2}C_{2}D_2}$를 그린다. 직사각형 $\mathrm{A_{2}B_{2}C_{2}D_2}$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로
모양의 도형과
모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$의 값은? [3점]

① $\frac{25\pi – 12\sqrt{6} – 5}{64}$
② $\frac{25\pi – 12\sqrt{6} – 4}{64}$
③ $\frac{25\pi – 10\sqrt{6} – 6}{64}$
④ $\frac{25\pi – 10\sqrt{6} – 5}{64}$
⑤ $\frac{25\pi – 10\sqrt{6} – 4}{64}$
④
그림 $R_n$에서 새로 색칠한 부분의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\angle \mathrm{A_{n}B_{n}D_{n}} = \theta$라 하면
$\overline{\mathrm{B_{1}D_1}} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{6})^2} = 5$이므로
$\sin \theta = \frac{\overline{\mathrm{A_{n}D_n}}}{\overline{\mathrm{B_{n}D_n}}} = \frac{\overline{\mathrm{A_{1}D_1}}}{\overline{\mathrm{B_{1}D_1}}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$, $\cos \theta = \frac{1}{5}$
두 선분 $\mathrm{A_{1}G_1}$, $\mathrm{G_{1}B_2}$와 호 $\mathrm{B_{2}A_1}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 $\mathrm{B_{1}B_{2}A_1}$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{A_{1}B_{1}G_1}$의 넓이를 뺀 것과 같으므로
$\frac{1}{2} \times 1^2 \times \theta – \frac{1}{2} \times 1 \times \sin \theta = \frac{\theta}{2} – \frac{\sqrt{6}}{10}$
두 선분 $\mathrm{D_{2}H_1}$, $\mathrm{H_{1}F_1}$과 호 $\mathrm{F_{1}D_2}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 $\mathrm{D_{1}F_{1}D_2}$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{D_{1}F_{1}H_1}$의 넓이를 뺀 것과 같으므로
$\frac{1}{2} \times 1^2 \times (\frac{\pi}{2} – \theta) – \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \times \sin (\frac{\pi}{2} – \theta) = \frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2} – \frac{1}{20}$
그러므로
$a_1 = (\frac{\theta}{2} – \frac{\sqrt{6}}{10}) + (\frac{\pi}{4} – \frac{\theta}{2} – \frac{1}{20}) = \frac{\pi}{4} – \frac{\sqrt{6}}{10} – \frac{1}{20}$
$\frac{\overline{\mathrm{B_{n+1}D_{n+1}}}}{\overline{\mathrm{B_{n}D_{n}}}} = \frac{\overline{\mathrm{B_{2}D_{2}}}}{\overline{\mathrm{B_{1}D_{1}}}}$ $= \frac{\overline{\mathrm{B_{1}D_{1}}} – (\overline{\mathrm{B_{1}B_{2}}} + \overline{\mathrm{D_{1}D_{2}}})}{\overline{\mathrm{B_{1}D_{1}}}} = \frac{3}{5}$
두 직사각형 $\mathrm{A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}}$과 $\mathrm{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}D_{n+1}}$의 닮음비는 $5 : 3$이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$
수열 $\{ a_n \}$은 첫째항이 $a_1$이고 공비가 $\frac{9}{25}$인 등비수열이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n = \frac{a_1}{1 – \frac{9}{25}}$ $= \dfrac{25\pi – 10\sqrt{6} – 5}{64}$
28. 닫힌구간 $[0, \,4\pi]$에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle \int_{0}^{4\pi}| f(x) | dx$의 최솟값은? [4점]
(가) $0 \le x \le \pi$일 때, $f(x) = 1 - \cos x$이다.
(나) $1 \le n \le 3$인 각각의 자연수 $n$에 대하여
$f(n \pi + t) = f(n \pi) + f(t)$ ($0 < t \le \pi$)
또는
$f(n \pi + t) = f(n \pi) - f(t)$ ($0 < t \le \pi$)
이다.
(다) $0 < x < 4 \pi$에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점의 개수는 $6$이다.
① $4 \pi$
② $6 \pi$
③ $8 \pi$
④ $10 \pi$
⑤ $12 \pi$
②
조건 (가)에서 곡선 $y = f(x)$는 구간 $(0, \frac{\pi}{2})$에서 아래로 볼록이고, 구간 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$에서 위로 볼록이므로 점 $(\frac{\pi}{2}, f(\frac{\pi}{2}))$는 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이다.조건 (나)에 의하여 $n \pi < x \le (n+1) \pi$에서 곡선의 모양은 다음 두 가지 중 하나이다.
$0 < x < 4 \pi$에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점의 개수가 $6$인 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) 함수 $y = f(x)$가 $x = \pi$에서 극대일 때위 그림에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점은좌표가 $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3}{2}\pi$, $2\pi$, $\frac{5}{2}\pi$, $3\pi$, $\frac{7}{2}\pi$인 점이다.
$\int_{0}^{4 \pi}| f(x) | dx = 4 \int_{0}^{\pi} f(x) dx + \pi \times 2$ $= 4 \int_{0}^{\pi} (1 – \cos x) dx + 2 \pi = \left[ x – \sin x \right]_{0}^{\pi} + 2 \pi = 6 \pi$
(ⅱ) 함수 $y = f(x)$가 $x = 2 \pi$에서 극대일 때위 그림에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점은좌표가 $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, $\frac{5}{2}\pi$, $3\pi$, $\frac{7}{2}\pi$인 점이다.
$\int_{0}^{4 \pi}| f(x) | dx = 4 \int_{0}^{\pi} f(x) dx + 2 \pi \times 2 = 8 \pi$
(ⅲ) 함수 $y = f(x)$가 $x = 3 \pi$에서 극대일 때위 그림에서 곡선 $y = f(x)$의 변곡점은좌표가 $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, $2\pi$, $\frac{5}{2}\pi$, $\frac{7}{2}\pi$인 점이다.
$\int_{0}^{4 \pi}| f(x) | dx = 4 \int_{0}^{\pi} f(x) dx + 2 \pi \times 5 = 14 \pi$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 최솟값은 $6 \pi$이다.

29. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하고 호 $\mathrm{AB}$ 위에 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를
$$\angle \mathrm{BOP} = \theta, \:\angle \mathrm{BOQ} = 2 \theta$$
가 되도록 잡는다. 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 호 $\mathrm{AB}$와 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$가 아닌 점을 $\mathrm{R}$라 하고, 선분 $\mathrm{BR}$가 두 선분 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$라 하자.
세 선분 $\mathrm{AO}$, $\mathrm{OT}$, $\mathrm{TR}$와 호 $\mathrm{RA}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$라 하고, 세 선분 $\mathrm{QT}$, $\mathrm{TS}$, $\mathrm{SP}$와 호 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta)$라 하자. $\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{g(\theta)}{f(\theta)} = a$일 때, $80a$의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) [4점]

$20$
$\angle \mathrm{RBO} = \angle \mathrm{BRQ} = \frac{1}{2} \angle \mathrm{BOQ} = \theta$이므로
$\angle \mathrm{OST} = 2\theta$, $\angle \mathrm{OTS} = \pi – 3 \theta$
삼각형 $\mathrm{OBS}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{\overline{\mathrm{OS}}}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\pi – 2 \theta)}$, $\overline{\mathrm{OS}} = \frac{\sin \theta}{\sin 2\theta}$
삼각형 $\mathrm{OBT}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{\overline{\mathrm{OT}}}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\pi – 3 \theta)}$, $\overline{\mathrm{OT}} = \frac{\sin \theta}{\sin 3\theta}$
$\angle \mathrm{ROA} = 2 \times \angle \mathrm{RBA} = 2 \theta$, $\angle \mathrm{TOR} = \pi = 4 \theta$
$f(\theta) =$ (부채꼴 $\mathrm{ORA}$의 넓이) $+$ (삼각형 $\mathrm{O
TR}$의 넓이)
$= \frac{1}{2} \times 1^2 \times 2 \theta + \frac{1}{2} \times 1 \times \overline{\mathrm{OT}} \times \sin (\pi – 4\theta)$
$= \theta + \frac{\sin \theta \sin 4 \theta}{2 \sin 3 \theta}$
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{f(\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \to 0+} \left( 1 + \frac{4 \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\sin 4 \theta}{4 \theta}}{6 \times \frac{\sin 3 \theta}{3 \theta}} \right)$
$= 1 + \frac{4 \times 1 \times 1}{6 \times 1} =
\frac{5}{3}$
$g(\theta) =$ (부채꼴 $\mathrm{OPQ}$의 넓이) $-$ (삼각형 $\mathrm{OST}$의 넓이)
$= \frac{1}{2} \times 1^2 \times \theta – \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OS}} \times \overline{\mathrm{OT}} \times \sin \theta$
$= \frac{\theta}{2} + \frac{\sin^{3} \theta}{2 \sin 2 \theta \sin 3 \theta}$
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{g(\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \to 0+} \left\{ \frac{1}{2} – \frac{(\frac{\sin \theta}{\theta})^3}{12 \times \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times \frac{\sin 3 \theta}{3 \theta}} \right\}$
$= \frac{1}{2} – \frac{1^3}{12 \times 1 \times 1} = \frac{5}{12}$
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}\frac{\frac{g(\theta)}{\theta}}{\frac{f(\theta)}{\theta}} = \dfrac{1}{4}$
따라서 $a = \frac{1}{4}$이므로 $80a = 80 \times \frac{1}{4} = 20$
30. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x) = \ln \{ f(x) + f'(x) + 1 \}$$ 이 있다. 상수 $a$와 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) > 0$이고
$\displaystyle \int_{2a}^{3a+x}g(t) dt = \int_{3a-x}^{2a+2}g(t) dt$
이다.
(나) $g(4) = \ln 5$
$\displaystyle \int_{3}^{5}\{ f'(x) + 2a \}g(x) dx = m + n \ln 2$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m$, $n$은 정수이고, $\ln 2$는 무리수이다.) [4점]
$12$
함수 $g(x)$의 한 부정적분을 $G(x)$라 하자.
조건 (가)에서
$\int_{2a}^{3a+x}g(t) dt = \int_{3a-x}^{2a+2}g(t) dt$
$G(3a+x) – G(2a) = G(2a+2) – G(3a-x)$
위 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$g(3a+x) = g(3a-x)$ $\cdots\cdots$ ㉠
모든 실수 $x$에 대하여 ㉠이 성립하므로 함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=3a$에 대하여 대칭이다.
$\int_{2a}^{3a+x}g(t) dt = \int_{3a-x}^{2a+2}g(t) dt$
$= \int_{3a-x}^{4a}g(t) dt + \int_{4a}^{2a+2}g(t) dt$
$\int_{2a}^{3a+x}g(t) dt = \int_{3a-x}^{4a}g(t) dt$에서 $\int_{4a}^{2a+2}g(t) dt = 0$
조건 (가)에서 $g(x) > 0$이므로 $2a+2 = 4a$, $a=1$
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로
$h(x) = f(x) + f'(x) + 1 = x^2 + px + q$ ($p$, $q$는 상수)
라 하자.
함수 $y = g(x)$의 그래프는 직선 $x=3$에 대하여 대칭이므로 $g(4)=g(2)$, 즉 $h(4)=h(2)$
$16 + 4p + q = 4 + 2p + q$에서 $p = -6$
조건 (나)에서 $h(4) = 5$이므로
$16 – 24 + q = 5$에서 $q = 13$
$h(x) = x^2 -6x +13$에서
$h^{‘}(x) = f^{‘}(x) + f^{”}(x) = f^{‘}(x) + 2$
$\int_{3}^{5}\{ f'(x) + 2a \}g(x) dx$
$= \int_{3}^{5}\{ f'(x) + 2 \}g(x) dx = \int_{3}^{5}h'(x) \ln h(x) dx$
$= \left[ h(x) \ln h(x) \right]_{3}^{5} – \int_{3}^{5} \{ h(x) \times \frac{h'(x)}{h(x)} \} dx$
$= h(5) \ln h(5) – h(3) \ln h(3) – \{ h(5) – h(3) \}$
$= 8 \ln 8 – 4 \ln 4 – (8 – 4) = -4 + 16 \ln 2$
따라서 $m = -4$, $n = 16$이므로
$m+n = 12$
수학 영역(기하)
24. 타원 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{8} = 1$에 접하고 기울기가 $2$인 두 직선이 $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는? [3점]
① $8\sqrt{2}$
② $12$
③ $10\sqrt{2}$
④ $15$
⑤ $12\sqrt{2}$
25. 평면 위의 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $| \overrightarrow{\mathrm{AD}} |$의 값은? [3점]
(가) $| \overrightarrow{\mathrm{AB}} | = 2$, $\,\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{CD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}}$
(나) $| \overrightarrow{\mathrm{BD}} | = | \overrightarrow{\mathrm{BA}} - \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = 6$
① $2\sqrt{5}$
② $2\sqrt{6}$
③ $2\sqrt{7}$
④ $4\sqrt{2}$
⑤ $6$
④
조건 (가)에서 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = -\overrightarrow{\mathrm{CD}} = \overrightarrow{\mathrm{DC}}$
조건 (나)에서 $| \overrightarrow{\mathrm{BA}} – \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = | \overrightarrow{\mathrm{CA}} | = 6$
사각형 $\mathrm{ABCD}$는 평행사변형이면서 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$의 길이가 같으므로 직사각형이다.
따라서 $| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | = \sqrt{\overline{\mathrm{BD}}^{2} – \overline{\mathrm{AB}}^{2}} = \sqrt{6^2 – 2^2} = 4\sqrt{2}$
26. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}} = 3$이고 $\angle \mathrm{BCD} = 90^{\circ}$인 사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{BD}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $6$일 때, 삼각형 $\mathrm{AHC}$의 넓이는? [3점]

① $2\sqrt{3}$
② $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
③ $3\sqrt{3}$
④ $\frac{7\sqrt{3}}{2}$
⑤ $4\sqrt{3}$
②
점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H’}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $6$이므로
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AH’}} \times \overline{\mathrm{BC}} = 6$에서 $\overline{\mathrm{AH’}} = 4$
$\overline{\mathrm{AH}} \perp$ (평면 $\mathrm{BCD}$), $\overline{\mathrm{AH’}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$
이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{\mathrm{HH’}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$
두 직각삼각형 $\mathrm{BH’H}$, $\mathrm{BCD}$의 닮음비는 $1 : 3$이므로
$\overline{\mathrm{HH’}} = 1$, $\overline{\mathrm{H’C}} = 2$
$\overline{\mathrm{HC}} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$, $\overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{4^2 – 1^2} = \sqrt{15}$
따라서 삼각형 $\mathrm{AHC}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AH}} \times \overline{\mathrm{HC}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{5}$ $= \dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
27. 양수 $p$에 대하여 두 포물선 $x^2 = 8(y+2)$, $\,y^2 = 4px$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$에서 포물선 $x^2 = 8(y+2)$의 준선에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$와 포물선 $x^2 = 8(y+2)$의 초점 $\mathrm{F}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PH}} + \overline{\mathrm{PF}} = 40$일 때, $p$의 값은? [3점]
① $\frac{16}{3}$
② $6$
③ $\frac{20}{3}$
④ $\frac{22}{3}$
⑤ $8$
①
포물선 $x^2 = 8(y+2)$에서 초점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(0, 0)$, 준선의 방정식은 $y = -4$
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(a, b)$ ($a > 0$, $b > 0$)이라 하자.
점 $\mathrm{P}$는 포물선 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PH}}$
$\overline{\mathrm{PH}} + \overline{\mathrm{PF}} = 40$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PH}} = 20$
$\overline{\mathrm{PH}} = | b – (-4) | =20$에서 $b = 16$
$\overline{\mathrm{PF}} = \sqrt{a^2 + 16^2} = 20$에서 $a = 12$
점 $\mathrm{P}(12, 16)$은 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점이므로 $16^2 = 48p$이다.
따라서 $p = \dfrac{16}{3}$
28. 그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 $4$이고 중심각의 크기가 $120^{\circ}$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$와 중심이 $\mathrm{C}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있고, 세 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 24, \:\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$$ 을 만족시킨다. 호 $\mathrm{AB}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M + m$의 값은? [4점]

① $12\sqrt{3} – 34$
② $12\sqrt{3} – 32$
③ $16\sqrt{3} – 36$
④ $16\sqrt{3} – 34$
⑤ $16\sqrt{3} – 32$
⑤
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$에서 $\angle \mathrm{COB} = 90^{\circ}$, $\angle \mathrm{AOC} = 30^{\circ}$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = | \overrightarrow{\mathrm{OA}} | \times | \overrightarrow{\mathrm{OC}} | \times \cos 30^{\circ}$ $= 2\sqrt{3} \times | \overrightarrow{\mathrm{OC}} |$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 24$에서 $| \overrightarrow{\mathrm{OC}} | = 4\sqrt{3}$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OQ}} – \overrightarrow{\mathrm{OP}})$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} – | \overrightarrow{\mathrm{OP}} |^2$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} – 16$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면
$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$이고
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}})$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
$= 16\sqrt{3} \cos \theta + \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$
$\theta = 0^{\circ}$이고 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$의 방향이 같을 때, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$의 값이 최대이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \le 16\sqrt{3} + 4$ $\cdots\cdots$ ㉡
$\theta = 90^{\circ}$이고 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$의 방향이 반대일 때, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$의 값이 최소이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \ge -4$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
$-4-16 \le \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \le 16\sqrt{3} + 4 -16$
$M = 16\sqrt{3} -12$, $m = -20$
따라서 $M+m = 16\sqrt{3} – 32$

29. 두 점 $\mathrm{F_1}(4, \,0)$, $\mathrm{F_2}(-6, \,0)$에 대하여 포물선 $y^2 = 16x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$가 $\overline{\mathrm{PF_2}} - \overline{\mathrm{PF_1}} = 6$을 만족시킨다. 포물선 $y^2 = 16x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{F_3}$이라 하면 두 점 $\mathrm{F_1}$, $\mathrm{F_3}$을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 $\mathrm{PF_3}$ 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$일 때, $a^2$의 값을 구하시오. [4점]

$54$
$\overline{\mathrm{PF_2}} – \overline{\mathrm{PF_1}} = 6$에서 점 $\mathrm{P}$는 두 초점이 $\mathrm{F_1}(4, 0)$, $\mathrm{F_2}(-6, 0)$이고 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선 위의 점이다. 쌍곡선의 중심의 좌표는 $(-1, 0)$이므로 쌍곡선의 방정식은
$\frac{(x+1)^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{P}$는 포물선 $y^2 = 16x$와 쌍곡선 ㉠의 교점이므로
$\frac{(x+1)^2}{9} – \frac{16x}{16} = 1$, $x^2 -7x -8 = 0$,
$(x-8)(x+1) = 0$, $x=8$ 또는 $x = -1$
제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(8, 8\sqrt{2})$이다.
포물선 $y^2 = 16x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식이
$8\sqrt{2}y = 8(x+8)$, 즉 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x+8)$ $\cdots\cdots$ ㉡
이므로 점 $\mathrm{F_3}$의 좌표는 $(-8, 0)$이다.
두 점 $\mathrm{F_1}(4, 0)$, $\mathrm{F_3}(-8, 0)$을 초점으로 하는 타원의 꼭짓점은 $x$축 또는 직선 $x = -2$ 위에 있다.
이때 선분 $\mathrm{PF_3}$ 위에 있는 꼭짓점은 직선 $x = -2$ 위에 있으므로 ㉡에 $x = -2$를 대입하면 $y = 3\sqrt{2}$
이 타원의 단축의 길이는 $6\sqrt{2}$이고 두 초점 사이의 거리는 $12$이다.
따라서 $a^2 = 6^2 + (3\sqrt{2})^2 = 54$
30. 그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$인 정삼각기둥 $\mathrm{ABC-DEF}$와 $\overline{\mathrm{DG}} = 4$인 선분 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{G}$가 있다. 점 $\mathrm{H}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{ADEB}$ 위로의 정사영은 정삼각형이다.
(나) 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{DEF}$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 내부의 공통부분의 넓이는 $2\sqrt{3}$이다.
삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{ADFC}$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$라 할 때, $S^2$의 값을 구하시오. [4점]

$48$
그림은 정삼각기둥 $\mathrm{ABC-DEF}$를 좌표공간에 나타낸 것이다.두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{ADEB}$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{C_1}$, $\mathrm{H_1}$이라 하자.
$\overline{\mathrm{AC_1}} = 2$, $\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{3}$이므로
$\overline{\mathrm{GC_1}} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = 4$, $\angle \mathrm{AGC_1} = 30^{\circ}$
조건 (가)에서 삼각형 $\mathrm{GH_{1}C_1}$은 정삼각형이므로
$\angle \mathrm{C_{1}GH_{1}} = 60^{\circ}$, $\overline{\mathrm{GH_{1}}} = 4$
조건 (나)를 만족시키려면 점 $\mathrm{H_{1}}$은 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{BE}$에 내린 수선의 발과 일치해야 한다.
점 $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{DEF}$ 위로의 정사영을 $\mathrm{H_{2}}$라 하자.
조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{DEF}$ 위로의 정사영인 삼각형 $\mathrm{FDH_{2}}$의 내부와 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 내부의 공통부분의 넓이가 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이의 $\frac{1}{2}$인 $2\sqrt{3}$이므로 직선 $\mathrm{DH_{2}}$는 선분 $\mathrm{EF}$의 중점을 지난다.
그러므로 두 삼각형 $\mathrm{DEH_{2}}$, $\mathrm{DFH_{2}}$가 합동이고 $\angle \mathrm{DEH_{2}} = 90^{\circ}$이므로 $\angle \mathrm{DFH_{2}} = 90^{\circ}$이다.
점 $\mathrm{H}$의 평면 $\mathrm{ADFC}$ 위로의 정사영을 $\mathrm{H_{3}}$이라 하면 점 $\mathrm{H_{3}}$은 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{CF}$에 내린 수선의 발과 일치한다.
그러므로 삼각형 $\mathrm{CGH}$의 평면 $\mathrm{ADFC}$ 위로의 정사영인 삼각형 $\mathrm{CGH_{3}}$의 넓이 $S$는
$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
따라서 $S^2 = 48$