23년 6월 평가원
수학 영역

1. $\sqrt[3]{27} \times 4^{-\frac{1}{2}}$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{4}$
③ $1$
④ $\frac{5}{4}$
⑤ $\frac{3}{2}$
3. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(2a_k +3) = 60$일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k$의 값은? [3점]
① $10$
② $15$
③ $20$
④ $25$
⑤ $30$
②
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{10}(2a_k +3) &= 2\sum_{k=1}^{10}a_k + \sum_{k=1}^{10}3 \\ &= 2\sum_{k=1}^{10}a_k + 3 \times 10 \\ &= 2\sum_{k=1}^{10}a_k + 30 \end{align}$
따라서
$\displaystyle 2\sum_{k=1}^{10}a_k + 30 = 60$
이므로
$\displaystyle 2\sum_{k=1}^{10}a_k = 30$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k = 15$
4. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $$\lim_{x \to 1}f(x) = 4 - f(1)$$ 을 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
5. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x)=(x^3 +1)f(x)$$ 라 하자. $f(1)=2$, $f'(1)=3$일 때, $g'(1)$의 값은? [3점]
① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$
6. $\cos \theta < 0$이고 $\sin (-\theta)=\frac{1}{7} \cos \theta$일 때, $\sin \theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{3\sqrt{2}}{10}$
② $-\frac{\sqrt{2}}{10}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
⑤ $\frac{3\sqrt{2}}{10}$
④
$\sin (-\theta)=-\sin \theta$이므로
$\sin (-\theta)=\frac{1}{7} \cos \theta$에서
$\cos \theta = -7 \sin \theta$
이때 $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$이므로
$\sin^{2}\theta + 49\sin^{2}\theta = 1$
$\sin^{2}\theta = \frac{1}{50}$
한편, $\cos \theta < 0$이므로 $\sin \theta=-\frac{1}{7} \cos \theta > 0$
따라서
$\sin \theta = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$
7. 상수 $a$ ($a > 2$)에 대하여 함수 $y = \log_{2}(x-a)$의 그래프의 점근선이 두 곡선 $y=\log_{2}\frac{x}{4}$, $y = \log_{\frac{1}{2}}x$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = 4$일 때, $a$의 값은? [3점]
① $4$
② $6$
③ $8$
④ $10$
⑤ $12$
③
함수 $y = \log_{2}(x-a)$의 그래프의 점근선은 직선 $x=a$이다.
곡선 $y=\log_{2}\frac{x}{4}$와 직선 $x=a$가 만나는 점 $\mathrm{A}$의 좌표는
$\left(a, \,\log_{2}\frac{a}{4} \right)$
곡선 $y = \log_{\frac{1}{2}}x$와 직선 $x=a$가 만나는 점 $\mathrm{B}$의 좌표는
$\left(a, \,\log_{\frac{1}{2}}a \right)$
한편, $a > 2$에서
$\log_{2}\frac{a}{4} > \log_{2}\frac{2}{4} = -1$,
$\log_{\frac{1}{2}}a < \log_{\frac{1}{2}}2 = -1$
이므로
$\log_{2}\frac{a}{4} > \log_{\frac{1}{2}}a$
이때,
$\begin{align} \overline{\mathrm{AB}} &=\log_{2}\frac{a}{4} – \log_{\frac{1}{2}}a \\ &=(\log_{2}a -2) + \log_{2}a \\ &= 2\log_{2}a -2\end{align}$
이고,
$\overline{\mathrm{AB}} = 4$이므로 $2\log_{2}a -2 = 4$
$\log_{2}a = 3$
따라서 $a = 2^3 = 8$
8. 두 곡선 $y=2x^2 -1$, $y=x^3 -x^2 +k$가 만나는 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 양수 $k$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
③
두 곡선 $y=2x^2 -1$, $y=x^3 -x^2 +k$가 만나는 점의 개수가 $2$가 되려면 방정식 $2x^2 -1 = x^3 -x^2 +k$,
즉 $-x^3 +3x^2 -1 = k$ $\cdots\cdots$ ㉠
이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 $y= -x^3 +3x^2 -1$과 직선 $y = k$가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
$f(x) = -x^3 +3x^2 -1$이라 하면
$f'(x) = -3x^2 +6x = -3x(x-2)$
$f'(x) = 0$에서 $x=0$ 또는 $x=2$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극솟값 $f(0) = -1$을 갖고, $x=2$에서 극댓값 $f(2) = 3$을 갖는다.
이때 함수 $y=f(x)$의 그래프는 그림과 같다.따라서 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$의 값은 $3$이다.
9. 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)a_k} = n^{2} + 2n$$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n$의 값은? [4점]
① $\frac{10}{21}$
② $\frac{4}{7}$
③ $\frac{2}{3}$
④ $\frac{16}{21}$
⑤ $\frac{6}{7}$
①
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)a_k} = n^{2} + 2n$에서
$n=1$일 때 $\frac{1}{a_1} = 3$이므로
$a_1 = \frac{1}{3}$
$n \ge 2$일 때
$\dfrac{1}{(2n-1)a_n} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)a_k} – \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(2k-1)a_k}$
$= n^{2} + 2n – \{ (n-1)^{2} + 2(n-1) \} = 2n+1$
이므로 $(2n-1)a_n = \frac{1}{2n+1}$에서
$a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
이때 $n=1$일 때 $a_1 = \frac{1}{3}$이므로
$a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ ($n \ge 1$)
따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n = \sum_{n=1}^{10}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
$=\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{10}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)$
$=\frac{1}{2}\left\{ \left(1 – \frac{1}{3} \right)+\left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right)+\cdots+\left(\frac{1}{19} – \frac{1}{21} \right) \right\}$
$=\frac{1}{2}\left(1 – \frac{1}{21} \right)$
$=\frac{1}{2} \times \frac{20}{21}$
$=\dfrac{10}{21}$
10. 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) = kx(x-2)(x-3)$$ 이다. 곡선 $y=f(x)$와 $x$축이 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ ($\overline{\mathrm{OP}} < \overline{\mathrm{OQ}}$)에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{OP}$로 둘러싸인 영역을 $A$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 영역을 $B$라 하자. $$(A\textbf{의 넓이}) - (B\textbf{의 넓이}) = 3$$ 일 때, $k$의 값은? [4점]
① $\frac{7}{6}$
② $\frac{4}{3}$
③ $\frac{3}{2}$
④ $\frac{5}{3}$
⑤ $\frac{11}{6}$

②
$f(x)=0$에서 $x=0$ 또는 $x=2$ 또는 $x=3$이므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 각각 $(2, 0)$, $(3, 0)$이다.
이때
($A$의 넓이) $= \int_{0}^{2}f(x) dx$ ,
($B$의 넓이) $= \int_{2}^{3}\{-f(x) \}dx$
이므로
($A$의 넓이)$-$($B$의 넓이)
$=\int_{0}^{2}f(x) dx – \int_{2}^{3}\{-f(x) \}dx$
$=\int_{0}^{2}f(x) dx + \int_{2}^{3}f(x)dx$
$=\int_{0}^{3}f(x) dx = 3$
이어야 한다.
이때
$\int_{0}^{3}f(x) dx = k\int_{0}^{3}(x^3 -5x^2 +6x) dx$
$=k \left[ \frac{1}{4}x^4 – \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3}$
$=k\left( \frac{81}{4} -45 +27 \right)$
$= \frac{9}{4}k$
이므로
$\frac{9}{4}k = 3$
따라서 $k = \dfrac{4}{3}$
11. 그림과 같이 실수 $t$ ($0 < t < 1$)에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 중에서 직선 $y=2tx-1$과의 거리가 최소인 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 직선 $\mathrm{OP}$가 직선 $y=2tx-1$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $\displaystyle \lim_{t \to 1-}\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{1-t}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]

① $\sqrt{6}$
② $\sqrt{7}$
③ $2\sqrt{2}$
④ $3$
⑤ $\sqrt{10}$
③
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(s,\, s^2)$이라 하면 점 $\mathrm{P}$에서 곡선 $y=x^2$에 접하는 직선의 기울기가 $2t$가 되어야 한다.
$f(x)=x^2$이라 하면
$f'(x)=2x$이므로
$2s = 2t$에서
$s = t$
즉, $\mathrm{P}(t,\, t^2)$
이때 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y=tx$이므로
$tx = 2tx -1$
에서
$x = \frac{1}{t}$
즉, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는
$\mathrm{Q}\left(\frac{1}{t},\, 1\right)$
따라서
$\displaystyle \lim_{t \to 1-}\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{1-t}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 1-}\frac{\sqrt{\left( \frac{1}{t} – t \right)^2 + \left( 1-t^2 \right)^2}}{1-t}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 1-}\frac{(1-t^2) \sqrt{\frac{1}{t^2} +1}}{1-t}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 1-}(1+t)\sqrt{\frac{1}{t^2} +1}$
$= 2\sqrt{2}$
12. $a_2 = -4$이고 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\{ a_n \}$에 대하여 수열 $\{ b_n \}$을 $b_n = a_n + a_{n+1}$ ($n \ge 1$)이라 하고, 두 집합 $A$, $B$를 $$A = \{a_{1},\, a_{2},\, a_{3},\, a_{4},\, a_{5} \},\:\:B = \{b_{1},\, b_{2},\, b_{3},\, b_{4},\, b_{5} \}$$ 라 하자. $n(A \cap B) = 3$이 되도록 하는 모든 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $a_{20}$의 값의 합은? [4점]
① $30$
② $34$
③ $38$
④ $42$
⑤ $46$
⑤
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$ ($d \ne 0$)이라 하자.
$b_n = a_n + a_{n+1}$이므로
$b_{n+1}-b_n = (a_{n+1} + a_{n+2}) – (a_n + a_{n+1})$
$=a_{n+2} – a_{n}) = 2d$
수열 $\{ b_n \}$은 공차가 $2d$인 등차수열이다.
(ⅰ) $d > 0$일 때,
$a_1 = a_2 – d = -4 -d < 0$
$a_2 = -4 < 0$이므로
$b_1 = a_1 + a_2 = -8-d < a_1$
$n(A \cap B)=3$이려면
$b_2 = a_1$ 또는 $b_3 = a_1$이어야 한다.
① $b_2 = a_1$일 때,
$b_3 = a_3$, $b_4 = a_5$이므로
$n(A \cap B)=3$이다.
한편, $b_2 = b_1 + 2d = -8+d$이므로
$b_2 = a_1$에서
$-8+d = -4-d$, $2d=4$
$d=2$
따라서 $a_{20} = a_2 + 18d = -4 + 18 \times 2 = 32$
② $b_3 = a_1$일 때,
$b_4 = a_3$, $b_5 = a_5$이므로
$n(A \cap B)=3$이다.
한편, $b_3 = b_1 + 4d = -8+3d$이므로
$b_3 = a_1$에서
$-8+3d = -4-d$, $4d=4$
$d=1$
따라서 $a_{20} = a_2 + 18d = -4 + 18 \times 1 = 14$
(ⅱ) $d < 0$일 때,
③ $a_1 > 0$이면 $a_2 < b_1 < a_1$이므로 $n(A \cap B)=0$
④ $a_1 = 0$이면 $b_1 = a_2$, $b_2 = a_4$이므로 $n(A \cap B) = 2$
⑤ $a_1 < 0$이면 $b_1 < a_2$이므로 $n(A \cap B) \le 2$
③, ④, ⑤에서 $d < 0$이면 주어진 조건을 만족하지 못한다.
(ⅰ), (ⅱ)에서
$a_{20} = 32$ 또는 $a_{20} = 14$
따라서 $a_{20}$의 값의 합은 $32 + 14 = 46$
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$ ($d \ne 0$)이라 하자.
$b_n = a_n + a_{n+1}$이므로
$b_{n+1}-b_n = (a_{n+1} + a_{n+2}) – (a_n + a_{n+1})$
$=a_{n+2} – a_{n}) = 2d$
수열 $\{ b_n \}$은 공차가 $2d$인 등차수열이다.
$n(A \cap B) = 3$이려면
$A \cap B = \{a_1,\, a_3,\, a_5 \} = \{b_i,\, b_{i+1},\, b_{i+2} \}$ (단, $i =1, 2, 3$ )
이어야 한다.
(ⅰ) $\{a_1,\, a_3,\, a_5 \} = \{b_1,\, b_{2},\, b_{3} \}$인 경우
$a_1 = b_1$이어야 한다.
이때, $b_1 = a_1 + a_2 = a_1 -4$이므로 $a_1 = a_1 -4$
즉, $a_1$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅱ) $\{a_1,\, a_3,\, a_5 \} = \{b_2,\, b_{3},\, b_{4} \}$인 경우
$a_1 = b_2$이어야 한다.
이때, $b_2 = b_1 + 2d = -8 + d$이므로
$a_1 = b_2$에서
$-4-d = -8+d$, $2d = 4$
$d=2$
따라서 $a_{20} = a_2 + 18d = -4 + 18 \times 2 = 32$
(ⅲ) $\{a_1,\, a_3,\, a_5 \} = \{b_3,\, b_{4},\, b_{5} \}$인 경우
$a_1 = b_3$이어야 한다.
이때, $b_3 = b_1 + 4d = -8 + 3d$이므로
$a_1 = b_3$에서
$-4-d = -8+3d$, $4d = 4$
$d=1$
따라서 $a_{20} = a_2 + 18d = -4 + 18 \times 1 = 14$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서
$a_{20} = 32$ 또는 $a_{20} = 14$
따라서 $a_{20}$의 값의 합은 $32 + 14 = 46$
13. 그림과 같이 $$\overline{\mathrm{BC}} = 3,\, \overline{\mathrm{CD}} = 2,\, \cos(\angle \mathrm{BCD}) = -\frac{1}{3}, \,\angle \mathrm{DAB} > \frac{\pi}{2} $$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{ACD}$는 모두 예각삼각형이다. 선분 $\mathrm{AC}$를 $1 : 2$로 내분하는 점 $\mathrm{E}$에 대하여 선분 $\mathrm{AE}$를 지름으로 하는 원이 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AD}$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 각각 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$라 하고, 선분 $\mathrm{CE}$를 지름으로 하는 원이 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$와 만나는 점 중 $\mathrm{C}$가 아닌 점을 각각 $\mathrm{Q}_1$, $\mathrm{Q}_2$라 하자. $\overline{\mathrm{P_1P_2}} : \overline{\mathrm{Q_1Q_2}} = 3 : 5\sqrt{2}$이고 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 $2$일 때, $\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AD}}$의 값은? (단, $\overline{\mathrm{AB}} > \overline{\mathrm{AD}}$) [4점]

① $\sqrt{21}$
② $\sqrt{22}$
③ $\sqrt{23}$
④ $2\sqrt{6}$
⑤ $5$
①
$\angle \mathrm{BCD} = \alpha$, $\angle \mathrm{DAB} = \beta$ $\left( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \right)$,
$\overline{\mathrm{AB}} = a$, $\overline{\mathrm{AD}} = b$라 하자.
삼각형 $\mathrm{BCD}$에서
$\overline{\mathrm{BC}} = 3$, $\overline{\mathrm{CD}} = 2$, $\cos(\angle \mathrm{BCD}) = -\frac{1}{3}$
이므로 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{BD}}^2 = 9 + 4 -2 \times 3 \times 2 \times \left( -\frac{1}{3} \right) = 17$
그러므로 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여
$a^2 + b^2 -2ab\cos\beta = 17$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, 점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{AC}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이므로
두 삼각형 $\mathrm{AP_1P_2}$, $\mathrm{CQ_1Q_2}$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r$, $2r$로 놓을 수 있다.
이때 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{P_1P_2}}}{\sin \beta} = r$, $\dfrac{\overline{\mathrm{Q_1Q_2}}}{\sin \alpha} = 2r$
이므로
$\sin \alpha : \sin \beta = \dfrac{\overline{\mathrm{Q_1Q_2}}}{2r} : \dfrac{\overline{\mathrm{P_1P_2}}}{r}$ $= \frac{5\sqrt{2}}{2} : 3$
즉, $\sin \beta = \frac{6 \sin \alpha}{5\sqrt{2}}$
이때
$\sin \alpha = \sqrt{1- \cos^{2}\alpha}$ $= \sqrt{1 – \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
이므로
$\sin \beta = \frac{6}{5\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{5}$
$\cos \beta < 0$이므로
$\cos \beta = -\sqrt{1- \sin^{2}\beta}$ $= -\sqrt{1 – \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}}= -\frac{3}{5}$
삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 $2$이므로
$\frac{1}{2}ab\sin \beta = 2$
에서
$\frac{1}{2}ab \times \frac{4}{5} = 2$
$ab = 5$
㉠에서
$a^2 + b^2 -2 \times 5 \times (-\frac{3}{5}) = 17$
$a^2 + b^2 = 11$
따라서
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 +2ab = 11 + 2 \times 5 = 21$
이므로
$a+b = \sqrt{21}$
14. 실수 $a$ ($a \ge 0$)에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도 $v(t)$를 $$v(t) = -t(t-1)(t-a)(t-2a)$$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 $a$에 대하여, 시각 $t=0$에서 $t=2$ 까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량의 최댓값은? [4점]
① $\frac{1}{5}$
② $\frac{7}{30}$
③ $\frac{4}{15}$
④ $\frac{3}{10}$
⑤ $\frac{1}{3}$
③
$a \ne 0$, $a \ne \frac{1}{2}$, $a \ne 1$이면 점 $\mathrm{P}$는 출발 후 운동 방향을 세 번 바꾼다.
그러므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다.
(ⅰ) $a = 0$일 때
$v(t) = -t^{3}(t-1)$
이때 점 $\mathrm{P}$는 출발 후 운동 방향을 $t=1$에서 한 번만바꾸므로 조건을 만족시킨다.그러므로 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은
$\int_{0}^{2}-t^{3}(t-1)dt = \int_{0}^{2}(-t^4 +t^3)dt$
$=\left[ -\frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{4}t^4 \right]_{0}^{2} = -\frac{32}{5} + 4 = -\frac{12}{5}$
(ⅱ) $a = \frac{1}{2}$일 때
$v(t) = -t(t-\frac{1}{2})(t-1)^{2}$
이때 점 $\mathrm{P}$는 출발 후 운동 방향을 $t=\frac{1}{2}$에서 한 번만 바꾸므로 조건을 만족시킨다.그러므로 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은
$\int_{0}^{2}-t(t-\frac{1}{2})(t-1)^{2}dt = \int_{0}^{2}-(t^2 -\frac{1}{2}t)(t^2 -2t +1)dt$
$= \int_{0}^{2}(-t^4 +\frac{5}{2}t^3 -2t^2 -2t +\frac{1}{2}t)dt$
$=\left[ -\frac{1}{5}t^5 + \frac{5}{8}t^4 – \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{4}t^2\right]_{0}^{2}$
$= -\frac{32}{5} + 10 -\frac{16}{3} + 1 = \frac{(-96) + (-80) + 165}{15} = – \frac{11}{15}$
(ⅲ) $a = 1$일 때
$v(t) = -t(t-1)^{2}(t-2)$
이때 점 $\mathrm{P}$는 출발 후 운동 방향을 $t=2$에서 한 번만 바꾸므로 조건을 만족시킨다.그러므로 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은
$\int_{0}^{2}-t(t-1)^{2}(t-2)dt = \int_{0}^{2}-t(t^2 -2t +1)(t-2)dt$
$= \int_{0}^{2}(-t^4 +4t^3 -5t^2 +2t)dt$
$=\left[ -\frac{1}{5}t^5 + t^4 -\frac{5}{3}t^3 +t^2\right]_{0}^{2} = -\frac{32}{5} + 16 -\frac{40}{3} + 4 = \frac{(-96) + (-200) + 300}{15} = \frac{4}{15}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량의 최댓값은 $\dfrac{4}{15}$이다.
15. 자연수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{ a_n \}$이 있다.
$a_1 = k$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_{n}+2n-k & (a_{n} \le 0) \\ a_{n}-2n-k & (a_{n} > 0) \end{cases}$$ 이다.
$a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} < 0$이 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합은? [4점]
① $10$
② $14$
③ $18$
④ $22$
⑤ $26$
②
$a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} < 0$이므로 $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$은 어느 것도 $0$이 될 수 없다.
$a_1 = k > 0$이므로
$a_{2} = a_{1} -2-k = -2 < 0$
$a_{3} = a_{2} +4-k = 2-k$
(ⅰ) $a_{3} = 2-k > 0$인 경우
$2-k > 0$에서 $k < 2$ 즉 $k = 1$이므로 $a_{4} = a_{3} -6-k = -6 < 0$
$a_{5} = a_{4} +8-k = 1 > 0$
$a_{6} = a_{5} -10-k = -10 < 0$
따라서 $a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} > 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.
(ⅱ) $a_{3} = 2-k < 0$인 경우
즉 $k > 2$이므로
$a_{4} = a_{3} +6-k = 8-2k$
① $a_{4} = 8-2k > 0$인 경우
즉 $k < 4$이므로 $2 < k < 4$에서 $k = 3$일 때
$a_{4} = 8-6 = 2$
$a_{5} = a_{4} -8-k = -9 < 0$
$a_{6} = a_{5} +10-k = -2 < 0$
따라서 $a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} < 0$이므로 주어진 조건을 만족시킨다.
② $a_{4} = 8-2k < 0$인 경우
즉 $k > 4$이므로 $a_{5} = a_{4} +8-k = 16-3k$
㉠ $a_{5} = 16-3k > 0$인 경우
즉 $k < \frac{16}{3}$에서 $4 < k < \frac{16}{3}$이므로 $k = 5$
$a_{5} = 16 – 15 = 1$
$a_{6} = a_{5} -10-k = -14 < 0$
따라서 $a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} < 0$이므로 조건을 만족시킨다.
㉡ $a_{5} = 16-3k < 0$인 경우
즉 $k > \frac{16}{3}$이므로 $k \ge 6$인 경우이다.
이때 $a_{6} = a_{5} +10-k = 26 – 4k$이고 $a_{3} \times a_{4} \times a_{5} \times a_{6} < 0$이기 위해서는 $a_6 > 0$이어야 하므로
$a_{6} = 26 – 4k > 0$
$k < \frac{13}{2}$
즉 $6 \le k < \frac{13}{2}$에서 $k = 6$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 모든 $k$의 값의 합은
$3 + 5 + 6 = 14$
18. 두 상수 $a$, $b$에 대하여 삼차함수 $f(x) = ax^3 +bx +a$는 $x=1$에서 극소이다. 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오. [3점]
$6$
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극솟값 $-2$를 가지므로
$f(1) = -2$
에서
$a+b+a= -2$
$2a + b = -2$ $\cdots\cdots$ ㉠
또, $f'(x)=3ax^2 +b$이고 $f'(1) = 0$이어야 하므로
$3a + b = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡을 연립하면
$a=2$, $b= -6$
그러므로
$f(x) = 2x^3 -6x +2$
이고
$f'(x) = 6x^2 -6 = 6(x+1)(x-1)$
이때 $f'(x) = 0$에서
$x= -1$ 또는 $x=1$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 $f(x)$는 $x= -1$에서 극댓값 $6$을 갖는다.
19. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $$f(x) = a \sin bx + 8 -a$$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$의 값을 구하시오. [3점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 0$이다.
(나) $0 \le x < 2\pi$일 때, $x$에 대한 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다.
$8$
함수 $f(x)$의 최솟값이
$-a+8-a = 8-2a$
이므로 조건 (가)를 만족시키려면
$8-2a \ge 0$
즉, $a \le 4$이어야 한다.
그런데, $a=1$ 또는 $a=2$ 또는 $a=3$일 때는 함수 $f(x)$의 최솟값이 $0$보다 크므로 조건 (나)를 만족시킬 수 없다.
그러므로 $a=4$
이때 $f(x) = 4 \sin bx + 4$이고 이 함수의 주기는 $\frac{2\pi}{b}$이므로 $0 \le x \le \frac{2\pi}{b}$일 때 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$이다.
그러므로 $0 \le x < 2\pi$일 때, 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되려면
$\frac{15\pi}{2b} < 2\pi \le \frac{19\pi}{2b}$
이어야 한다.
즉, $\frac{15}{4} < b \le \frac{19}{4}$이고 $b$는 자연수이므로 $b=4$
따라서 $a+b = 4 + 4 = 8$
20. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$의 값을 구하시오. [4점]
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여
$g(x) \ge g(4)$이고 $| g(x) | \ge | g(3) |$이다.
$39$
최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$의 부정적분 중 하나를 $F(x)$라 하면
$F'(x) = f(x)$
이고
$g(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt$ $=F(x) – F(0)$
이므로
$g'(x)=f(x)$
그러므로 함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $\frac{1}{3}$인 삼차함수이다.
조건에서 $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4)$이므로 삼차함수 $g(x)$는 구간 $[1,\, \infty)$에서 $x=4$일 때 최소이자 극소이다. $\cdots\cdots$ ㉠
즉, $g'(4)=f(4)=0$이므로
$f(x)=(x-4)(x-a)$ ($a$는 상수) $\cdots\cdots$ ㉡
로 놓을 수 있다.
(ⅰ) $g(4) \ge 0$인 경우
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4) \ge 0$이므로 이 범위에서 $| g(x) | = g(x)$이다.
조건에서 $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g(x) | \ge | g(3) |$, 즉 $g(x) \ge g(3)$이어야 한다. $\cdots\cdots$ ㉢
그런데 ㉠에서 $g(3) > g(4)$이므로 ㉢을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $g(4) < 0$인 경우
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g(x) | \ge | g(3) |$이려면
$g(3) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉣
이어야 한다.
㉡에서 $f(x) = x^2 -(a+4)x +4a$이므로
$F(x)=\frac{1}{3}x^3 -\frac{a+4}{2}x^2 +4ax +C$ (단, $C$는 적분상수)
그러므로 $g(x)=F(x) – F(0) = \frac{1}{3}x^3 -\frac{a+4}{2}x^2 +4ax$
㉣에서
$g(3)=9-\frac{9}{2}(a+4)+12a = 0$
$\frac{15}{2}a = 9$
$a = \frac{6}{5}$
따라서 $f(x)=(x-4)\left( x-\frac{6}{5} \right)$이므로
$f(9) = (9-4)\left( 9-\frac{6}{5} \right)$ $= 5 \times \frac{39}{5} =39$
최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수
$g(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt$ $\cdots\cdots$ ㉠
는 최고차항의 계수가 $\frac{1}{3}$인 삼차함수이다.
㉠에서
$g(0) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
조건에서 $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4)$이므로 삼차함수 $g(x)$는 구간 $[1,\, \infty)$에서 $x=4$일 때 최소이자 극소이다. $\cdots\cdots$ ㉢
그러므로 $g'(4) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉣
(ⅰ) $g(4) \ge 0$인 경우
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4) \ge 0$이므로 이 범위에서 $| g(x) | = g(x)$이다.
조건에서 $x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g(x) | \ge | g(3) |$, 즉 $g(x) \ge g(3)$이어야 하므로 $g(3) = g(4)$이어야 한다.
이는 ㉢에 모순이다.
(ⅱ) $g(4) < 0$인 경우
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g(x) | \ge | g(3) |$이려면
$g(3) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉤
이어야 한다.
㉡, ㉤에서
$g(x) = \frac{1}{3}x(x-3)(x+a)$ $=\frac{1}{3}x^3 + \frac{a-3}{3}x^2 -ax$ ($a$는 상수)
로 놓을 수 있다.
$g'(x) = x^2 + \frac{2(a-3)}{3}x -a$
㉣에서
$g'(4) = 16 + \frac{8}{3}(a-3) -a = 8 + \frac{5}{3}a = 0$,
$a= -\frac{24}{5}$
㉠에서
$f(x) = g'(x) = x^2 – \frac{26}{5}x +\frac{24}{5}$
이므로
$f(9) = 81 – \frac{234}{5} +\frac{24}{5}$ $=81 – \frac{210}{5} = 39$
21. 실수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=t- \log_{2}x$와 $y=2^{x-t}$이 만나는 점의 $x$좌표를 $f(t)$라 하자.
의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 $A$, $B$, $C$의 값을 정할 때, $A+B+C$의 값을 구하시오. (단, $A+B+C \ne 0$) [4점]
$\bullet$ 명제 ㄱ이 참이면 $A=100$, 거짓이면 $A=0$이다.
$\bullet$ 명제 ㄴ이 참이면 $B=10$, 거짓이면 $B=0$이다.
$\bullet$ 명제 ㄷ이 참이면 $C=1$, 거짓이면 $C=0$이다.
ㄱ. $f(1)=1$이고, $f(2)=2$이다.
ㄴ. 실수 $t$의 값이 증가하면 $f(t)$의 값도 증가한다.
ㄷ. 모든 양의 실수 $t$에 대하여 $f(t) \ge t$이다.
$110$
ㄱ.
곡선 $y=t-\log_{2}x$는 곡선 $y=\log_{2}x$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소한다.
또, 곡선 $y=2^{x-t}$은 곡선 $y=2^{x}$을 $x$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
그러므로 두 곡선 $y=t-\log_{2}x$, $y=2^{x-t}$은 한 점에서 만난다.
$t=1$일 때, 곡선 $y=1-\log_{2}x$은 $x=1$일 때 $y=1$이므로 점 $(1, 1)$을 지난다. 또, 곡선 $y=2^{x-1}$은 $x=1$일 때 $y=1$이므로 점 $(1, 1)$을 지난다. 그러므로 $f(1)=1$
$t=2$일 때, 곡선 $y=2-\log_{2}x$는 $x=2$일 때, $y=1$이므로 점 $(2, 1)$을 지난다. 또, 곡선 $y=2^{x-2}$은 $x=2$일 때, $y=1$이므로 점 $(2, 1)$을 지난다. 그러므로 $f(2)=2$
이 명제가 참이므로 $A=100$
ㄴ.
곡선 $y=t-\log_{2}x$는 곡선 $y=-\log_{2}x$를 $y$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이다. 이때 $t$의 값이 증가하면 두 곡선 $y=t-\log_{2}x$, $y=2^{x}$의 교점의 $x$좌표는 증가한다. 이때 곡선 $y=2^{x-t}$은 곡선 $y=2^{x}$을 $x$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $t$의 값이 증가하면 두 곡선 $y=t-\log_{2}x$, $y=2^{x-t}$의 교점의 $x$좌표는 두 곡선 $y=t-\log_{2}x$, $y=2^{x}$의 교점의 좌표보다 커진다.그러므로 $t$의 값이 증가하면 $f(t)$의 값도 증가한다.
이 명제가 참이므로 $B=10$
ㄷ.
$g(x)=t-\log_{2}x$, $h(x)=2^{x-t}$이라 하면 함수 $y=g(x)$는 감소함수이고, 함수 $y=h(x)$는 증가함수이므로 $f(t) \ge t$이기 위해서는 $g(t) \ge h(t)$이어야 한다. 즉,
$t-\log_{2}t \ge 2^{t-t}$
$t-1 \ge \log_{2}t$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때 두 함수 $y = \log_{2}t$, $y=t-1$의 그래프는 두 점 $(1, 0)$, $(2, 1)$에서 만나고 다음 그림과 같다.위에서 $1 < t < 2$일 때는 함수 $y = \log_{2}t$의 그래프가 직선 $y = t-1$ 보다 위쪽에 있으므로 ㉠을 만족시키지 못한다. 즉, $1 < t < 2$일 때는 부등식 $f(t) \ge t$를 만족시키지 못한다. 이 명제가 거짓이므로 $C=0$
이상에서 $A=100$, $B=10$, $C=0$이므로
$A+B+C = 100 + 10 + 0 = 110$
22. 정수 $a$ ($a \ne 0$)에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = x^3 -2ax^2$$ 이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되도록 하는 $a$에 대하여 $f'(10)$의 값을 구하시오. [4점]
함수 $f(x)$에 대하여 $$\left\{ \frac{ f(x_{1}) - f(x_{2}) }{x_{1} - x_{2}} \right\} \times \left\{ \frac{ f(x_{2}) - f(x_{3}) }{x_{2} - x_{3}} \right\} < 0$$ 을 만족시키는 세 실수 $x_1$, $x_2$, $x_3$이 열린구간 $\left( k, \,k+\dfrac{3}{2} \right)$에 존재한다.
$380$
주어진 조건을 만족시키려면 열린구간 $\left( k, \,k+\frac{3}{2} \right)$에 두 점 $(x_{1}, f(x_{1}))$, $(x_{2}, f(x_{2}))$를 지나는 직선의 기울기와 두 점 $(x_{2}, f(x_{2}))$, $(x_{3}, f(x_{3}))$을 지나는 직선의 기울기의 부호가 다른 세 실수 $x_1$, $x_2$, $x_3$이 존재해야 하는데, 그러려면 극대 또는 극소가 되는 점이 구간 $\left( k, \,k+\frac{3}{2} \right)$에 존재해야 한다.
이때 $f(x)=x^3 -2ax^2$에서
$f'(x)=3x^2 -4ax$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프의 개형을 $a$의 값의 범위에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) $a > 0$일 때$k = -1$일 때 $x=0$이 구간 $\left( -1, \,\frac{1}{2} \right)$에 존재하므로 조건을 만족시킨다. 또, $x=\frac{4}{3}a$가 구간 $\left( k, \,k+\frac{3}{2} \right)$에 존재하려면
$k < \frac{4}{3}a < k+\frac{3}{2}$
이므로
$\frac{4}{3}a – \frac{3}{2} < k < \frac{4}{3}a$이어야 한다.
이때 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되려면 이 구간에 $k=3$, $k=4$가 존재해야 하므로
$\frac{4}{3}a – \frac{3}{2} < 3$, $\frac{4}{3}a > 4$
$3 < a < \frac{27}{8}$
그런데 이 부등식을 만족시키는 정수 $a$는 존재하지 않는다.
(ⅱ) $a < 0$일 때$k = -1$일 때 $x=0$이 구간 $\left( -1, \,\frac{1}{2} \right)$에 존재하므로 조건을 만족시킨다. 또, $x=\frac{4}{3}a$가 구간 $\left( k, \,k+\frac{3}{2} \right)$에 존재하려면
$k < \frac{4}{3}a < k+\frac{3}{2}$
이므로
$\frac{4}{3}a – \frac{3}{2} < k < \frac{4}{3}a$이어야 한다.
이때 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되려면 이 구간에 $k = -4$, $k = -3$이 존재해야 하므로
$\frac{4}{3}a – \frac{3}{2} < -4$, $\frac{4}{3}a > -3$
$-\frac{9}{4} < a < -\frac{15}{8}$
즉, $a = -2$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $a = -2$이므로
$f(x)=x^3 +4x^2$
$f'(x)=3x^2 +8x$
따라서 $f'(10) = 3 \times 10^2 +8 \times 10 = 380$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(A \cap B^{c}) = \frac{1}{9}, \: \mathrm{P}(B^{c}) = \frac{7}{18}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$의 값은? (단, $B^{c}$은 $B$의 여사건이다.) [3점]
① $\frac{5}{9}$
② $\frac{11}{18}$
③ $\frac{2}{3}$
④ $\frac{13}{18}$
⑤ $\frac{7}{9}$
25. 흰색 손수건 $4$ 장, 검은색 손수건 $5$ 장이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 $4$ 장의 손수건을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $4$ 장의 손수건 중에서 흰색 손수건이 $2$ 장 이상일 확률은? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{4}{7}$
③ $\frac{9}{14}$
④ $\frac{5}{7}$
⑤ $\frac{11}{14}$
③
흰색 손수건이 $2$장 이상인 사건을 $A$라 하면 $A^{c}$는 흰색 손수건이 없거나 $1$장인 사건이다.
$\mathrm{P}(A^{c}) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{0} \times {}_{5}\mathrm{C}_{4}}{{}_{9}\mathrm{C}_{4}} + \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{5}\mathrm{C}_{3}}{{}_{9}\mathrm{C}_{4}}$
$= \frac{1 \times 5}{126} + \frac{4 \times 10}{126} = \frac{5}{14}$
따라서 $\mathrm{P}(A) = 1 – \mathrm{P}(A^{c})$ $= 1 – \frac{5}{14} = \dfrac{9}{14}$
26. 다항식 $(x-1)^{6}(2x+1)^7$의 전개식에서 $x^2$의 계수는? [3점]
① $15$
② $20$
③ $25$
④ $30$
⑤ $35$
①
$(x-1)^{6}(2x+1)^7$의 전개식에서 $x^2$의 계수는 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
(ⅰ) $(x-1)^{6}$의 전개식에서 $x^2$항은 $_{6}\mathrm{C}_{2}x^{2}(-1)^4 = 15x^2$
$(2x+1)^7$의 전개식에서 상수항은 $1^{7} = 1$
(ⅱ) $(x-1)^{6}$의 전개식에서 $x$항은 $_{6}\mathrm{C}_{1}x^{1}(-1)^5 = -6x$
$(2x+1)^7$의 전개식에서 $x$항은 $_{7}\mathrm{C}_{1}{2x}1^6 = 14x$
(ⅲ) $(x-1)^{6}$의 전개식에서 상수항은 $(-1)^6 = 1$
$(2x+1)^7$의 전개식에서 $x^2$항은 $_{7}\mathrm{C}_{2}(2x)^{2}1^5 = 21 \times 4x^2 =84x^2$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $(x-1)^{6}(2x+1)^7$의 전개식에서 $x^2$의 계수는
$15x^{2} \times 1 + (-6x) \times 14x + 1 \times 84x^2$
$= 15x^{2} -84x^2 + 84x^2 = 15x^{2}$
이므로 $x^{2}$의 계수는 $15$이다.
27. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 $a$, $b$라 하자. $a \times b$가 $4$의 배수일 때, $a+b \le 7$일 확률은? [3점]
① $\frac{2}{5}$
② $\frac{7}{15}$
③ $\frac{8}{15}$
④ $\frac{3}{5}$
⑤ $\frac{2}{3}$
②
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 $a \times b$가 $4$의 배수인 사건을 $A$, $a+b \le 7$인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B\,| A)$이다.
(ⅰ) $a$, $b$가 모두 짝수일 확률은
$_{2}\mathrm{C}_{2}\left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$
(ⅱ) $a$, $b$ 중 하나는 $4$이고 다른 하나는 홀수일 확률은
$_{2}\mathrm{C}_{1}\left( \frac{1}{6} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$
한편, 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수의 모든 순서쌍 $(a, b)$의 개수는 $6 \times 6 = 36$이다.
(ⅲ) $a$, $b$가 모두 짝수인 동시에 $A$, $a+b \le 7$인 순서쌍 $(a, b)$는 $(2, 2)$, $(2, 4)$, $(4, 2)$의 $3$개이다.
(ⅳ) $a$, $b$ 중 하나는 $4$이고 다른 하나는 홀수인 동시에 $a+b \le 7$인 순서쌍 $(a, b)$는 $(4, 1)$, $(4, 3)$, $(1, 4)$, $(3, 4)$의 $4$개이다.
(ⅲ), (ⅳ)에서 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{3+4}{36} = \frac{7}{36}$
따라서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B\,| A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A )}$ $=\dfrac{\frac{7}{36}}{\frac{5}{12}} = \dfrac{7}{15}$
28. 집합 $X = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수는? [4점]
(가) $f(1) \times f(3) \times f(5)$는 홀수이다.
(나) $f(2) < f(4)$
(다) 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 $3$이다.
① $128$
② $132$
③ $136$
④ $140$
⑤ $144$
⑤
조건 (가)에서 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값은 모두 홀수이다.
(ⅰ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $1$개 포함된 경우
홀수를 정하는 경우의 수는
$_{3}\mathrm{C}_{1} = 3$
이때 $f(2) = 2$, $f(4) = 4$이므로 구하는 함수 $f$의 개수는 $3$
(ⅱ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $2$개 포함된 경우
홀수를 정하는 경우의 수는
$_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
① 집합 $\{f(1), f(3), f(5) \}$의 원소의 개수가 $1$이면 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
② 집합 $\{f(1), f(3), f(5) \}$의 원소의 개수가 $2$이면 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{2}\mathrm{\Pi}_{3} -2 = 6$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2 \times 2 = 4$
이상에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$3 \times (2 \times 2 + 6 \times 4) = 84$
(ⅲ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $3$개 포함된 경우
홀수를 정하는 경우의 수는 $_{3}\mathrm{C}_{3} = 1$
① 집합 $\{f(1), f(3), f(5) \}$의 원소의 개수가 $1$이면 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$
② 집합 $\{f(1), f(3), f(5) \}$의 원소의 개수가 $2$이면 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{3}\mathrm{C}_{2} \times (_{2}\mathrm{\Pi}_{3} – 2) = 18$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$
③ 집합 $\{f(1), f(3), f(5) \}$의 원소의 개수가 $3$이면 $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3! = 6$
$f(2)$, $f(4)$의 값을 정하는 경우의 수는 $_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
이상에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$1 \times (3 \times 1 + 18 \times 2 + 6 \times 3) = 57$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$3 + 84 + 57 = 144$

29. 그림과 같이 $2$장의 검은색 카드와 $1$ 부터 $8$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $8$장의 흰색 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 검은색 카드는 서로 구별하지 않는다.) [4점]
(가) 흰색 카드에 적힌 수가 작은 수부터 크기순으로 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 카드가 놓여 있다.
(나) 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 $2$장 이상 놓여 있다.
(다) 검은색 카드 사이에는 $3$의 배수가 적힌 흰색 카드가 $1$장 이상 놓여 있다.

$25$
검은색 카드의 왼쪽에 있는 흰색 카드의 장수를 $a$, 두 검은색 카드의 사이에 있는 흰색 카드의 장수를 $b$, 검은색 카드의 오른쪽에 있는 흰색 카드의 장수를 $c$라 하면 $a+b+c = 8$
조건 (나)와 조건 (다)에서 $b \ge 2$이고, 검은색 카드 사이의 흰색 카드에 적힌 수가 모두 $3$의 배수가 아닌 경우를 제외해야 한다.
음이 아닌 정수 $b’$에 대하여 $b = b’ + 2$으로 놓으면
$a + (b’ + 2) + c = 8$
$a + b’ + c = 6$
방정식 $a + b’ + c = 6$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b’$, $c$의 모든 순서쌍 $(a,\, b’, c)$의 개수는 서로 다른 $3$개에서 중복을 허락하여 $6$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
$_{3}\mathrm{H}_{6} = _{8}\mathrm{C}_{6} = _{8}\mathrm{C}_{2} = 28$
이때 검은색 카드 사이의 흰색 카드에 적힌 수가
$1$, $2$인 경우, $4$, $5$인 경우, $7$, $8$인 경우를 제외해야 한다.
따라서 구하는 경우의 수는
$28 – 3 = 25$
(ⅰ) 왼쪽의 검은색 카드가 $1$이 적힌 카드의 왼쪽에 있는 경우
오른쪽의 검은색 카드가 놓이는 위치는 $3$이 적힌 카드의 오른쪽이므로 경우의 수는 $6$
(ⅱ) 왼쪽의 검은색 카드가 $1$이 적힌 카드와 $2$가 적힌 카드의 사이에 있는 경우
오른쪽 검은색 카드가 놓이는 위치는 $3$이 적힌 카드의 오른쪽이므로경우의 수는 $6$
(ⅲ) 왼쪽의 검은색 카드가 $2$가 적힌 카드와 $3$이 적힌 카드의 사이에 있는 경우
오른쪽의 검은색 카드가 놓이는 위치는 $4$가 적힌 카드의 오른쪽이므로 경우의 수는 $5$
(ⅳ) 왼쪽의 검은색 카드가 $3$이 적힌 카드와 $4$가 적힌 카드의 사이에 있는 경우
오른쪽의 검은색 카드가 놓이는 위치는 $6$이 적힌 카드의 오른쪽이므로경우의 수는 $3$
(ⅴ) 왼쪽의 검은색 카드가 $4$가 적힌 카드와 $5$가 적힌 카드의 사이에 있는 경우
오른쪽의 검은색 카드가 놓이는 위치는 $6$이 적힌 카드의 오른쪽이므로경우의 수는 $3$
(ⅵ) 왼쪽의 검은색 카드가 $5$가 적힌 카드와 $6$이 적힌 카드의 사이에 있는 경우
오른쪽의 검은색 카드가 놓이는 위치는 $7$이 적힌 카드의 오른쪽이므로경우의 수는 $2$
(ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 경우의 수는
$6 + 6 + 5 + 3 + 3 + 2 = 25$
30. 주머니에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $4$개와 숫자 $4$, $5$, $6$, $7$이 하나씩 적혀 있는 검은 공 $4$개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내어
꺼낸 공이 서로 다른 색이면 $12$를 점수로 얻고,
꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을 점수로 얻는다.
이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 $24$ 이하의 짝수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$51$
(ⅰ) 꺼낸 두 공이 서로 다른 색인 경우
얻는 점수가 $12$이므로 조건을 만족시킨다.
이 경우의 확률은
$\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{2}} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$
(ⅱ) 꺼낸 두 공이 서로 같은 색인 경우
$8$개의 공 중에서 $2$개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는
${}_{8}\mathrm{C}_{2} = 28$
(ⅱ-1) 꺼낸 두 공의 색이 모두 흰 색인 경우
두 공에 적힌 수의 곱이 짝수이면 조건을 만족시키므로 이 경우의 수는
${}_{4}\mathrm{C}_{2} – {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 6 – 1 = 5$
(ⅱ-2) 꺼낸 두 공이 모두 검은 색인 경우
두 공에 적힌 수의 집합이 $\{ 4, 5 \}$, $\{ 4, 6 \}$이어야 하므로 이 경우의 수는 $2$이다.
그러므로 꺼낸 두 공이 서로 같은 색이고 얻은 점수가 $24$ 이하의 짝수일 확률은
$\frac{5 + 2}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
$\frac{4}{7} + \frac{1}{4} = \frac{23}{28}$
이므로
$p+q = 28 + 23 = 51$
수학 영역(미적분)

23. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2 + 9n} - \sqrt{n^2 + 4n}\right)$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$
24. 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $$x = \frac{5t}{t^2 + 1},\:\, y=3 \ln (t^2 + 1)$$ 에서 $t=2$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]
① $-1$
② $-2$
③ $-3$
④ $-4$
⑤ $-5$
④
$\frac{dx}{dt} = \frac{5(t^2 + 1) – 5t \times 2t}{(t^2 + 1)^2}$ $= \frac{-5t^2 + 5}{(t^2 + 1)^2}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{t^2 + 1} \times 2t$ $= \frac{6t}{t^2 + 1}$
$\frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ $=\dfrac{\frac{6t}{t^2 + 1}}{\frac{-5t^2 + 5}{(t^2 + 1)^2}} = \frac{6t(t^2 + 1)}{-5t^2 + 5}$
따라서 $t=2$일 때 $\frac{dy}{dx}$의 값은
$\frac{6 \times 2 \times (2^2 + 1)}{-5 \times 2^2 + 5} = \frac{60}{-15} = -4$
25. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{ax+b}-8}{2^{bx}-1} = 16$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$와 $b$는 $0$이 아닌 상수이다.) [3점]
① $9$
② $10$
③ $11$
④ $12$
⑤ $13$
①
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{ax+b}-8}{2^{bx}-1} = 16$에서
$x \to 0$일 때, (분모)$\to 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\to 0$이어야 한다.
이때 함수 $2^{ax+b}-8$은 실수 전체의 집합에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(2^{ax+b}-8) = 2^b -8 =0$
$2^b = 8$
$b=3$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{ax+3}-8}{2^{3x}-1} = \lim_{x \to 0}\frac{8(2^{ax}-1)}{2^{3x}-1}$
$=\displaystyle \frac{8a}{3} \times \lim_{x \to 0}\frac{\frac{2^{ax}-1}{ax}}{\frac{2^{3x}-1}{3x}}$
$=\frac{8a}{3} \times \frac{\ln2}{\ln2} = \frac{8a}{3}$
이므로
$\frac{8a}{3} = 16$에서
$a=6$
따라서 $a+b = 6+3 = 9$
26. $x$에 대한 방정식 $x^2 -5x + 2 \ln x = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $t$의 값의 합은? [3점]
① $-\frac{17}{2}$
② $-\frac{33}{4}$
③ $-8$
④ $-\frac{31}{4}$
⑤ $-\frac{15}{2}$
②
$x^2 -5x + 2 \ln x = t$에서
$f(x) = x^2 -5x + 2 \ln x$라 하면
$f'(x) = 2x -5 + \frac{2}{x}$ $=\frac{2x^2 -5x +2}{x} = \frac{(2x-1)(x-2)}{x}$
따라서 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
이때 함수 $f(x)$의 극댓값은
$f\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 -5 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 2 \ln \frac{1}{2}$
$= -\frac{9}{4} -2 \ln 2$
극솟값은
$f(2) = 2^2 -5 \times 2 + 2 \ln 2 = -6 + 2 \ln 2$
이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 다음과 같다.이때 $x$에 대한 방정식 $x^2 -5x + 2 \ln x = t$이 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되기 위해서는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$의 교점의 개수가 $2$가 되어야 하므로
$t = -\frac{9}{4} – 2 \ln 2$ 또는 $t = -6 + 2 \ln 2$
따라서 모든 실수 의 값의 합은
$\left( -\frac{9}{4} – 2 \ln 2 \right) + \left( -6 + 2 \ln 2 \right) = -\dfrac{33}{4}$
27. 실수 $t$ ($0 < t < \pi$)에 대하여 곡선 $y=\sin x$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, \,\sin t)$에서의 접선과 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\tan \theta}{(\pi - t)^2}$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{16}$
② $\frac{1}{8}$
③ $\frac{1}{4}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $1$
③
$y = \sin x$에서 $y’ = \cos x$이므로
곡선 $y = \sin x$ 위의 점 $\mathrm{P}(t, \,\sin t)$에서의 접선의 기울기는 $\cos t$이다.
따라서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로
$\tan \theta = \vert \frac{\cos t – (-1)}{1 + \cos t \times (-1)} \vert$ $= \vert \frac{\cos t + 1}{1 – \cos t} \vert$
그런데 $0 < t < \pi$이므로
$\tan \theta = \frac{\cos t + 1}{1 – \cos t}$
따라서
$\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\tan \theta}{(\pi – t)^2}$
$=\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\frac{\cos t + 1}{1 – \cos t}}{(\pi – t)^2}$
$=\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\cos t + 1}{(\pi – t)^{2}(1 – \cos t)}$
이므로
$\pi – t = x$라 하면 $t \to \pi-$일 때 $x \to 0+$이고
$\cos t = \cos (\pi – x) = – \cos x$
이므로
$\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\tan \theta}{(\pi – t)^2}$
$=\displaystyle \lim_{t \to \pi-}\frac{\cos t + 1}{(\pi – t)^{2}(1 – \cos t)}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{1 – \cos x}{x^{2}(1 + \cos x)}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{1 – \cos^{2} x}{x^{2}(1 + \cos x)^2}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{\sin^{2} x}{x^{2}(1 + \cos x)^2}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0+}\left\{ \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{2} \times \frac{1}{(1 + \cos x)^2} \right\}$
$= 1^2 \times \frac{1}{2^2}$
$= \dfrac{1}{4}$
28. 두 상수 $a$ ($a > 0$), $b$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times b$의 값은? [4점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$\{ f(x) \}^{2} + 2f(x) = a \cos^{3} \pi x \times e^{\sin^{2} \pi x} + b$
이다.
(나) $f(0) = f(2) + 1$
① $-\frac{1}{16}$
② $-\frac{7}{64}$
③ $-\frac{5}{32}$
④ $-\frac{13}{64}$
⑤ $-\frac{1}{4}$
②
조건 (가)에서
양변에 $x=0$을 대입하면
$\{ f(0) \}^{2} + 2f(0) = a + b$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (가)에서
양변에 $x = 2$를 대입하면
$\{ f(2) \}^{2} + 2f(2) = a + b$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$\{ f(0) \}^{2} + 2f(0) = \{ f(2) \}^{2} + 2f(2)$
$\{ f(2) – f(0) \} \{ f(2) + f(0) + 2 \} = 0$
$f(2) = f(0)$ 또는 $f(2) + f(0) + 2 = 0$
$f(2) = f(0)$이면 조건 (나)를 만족시키지 못하므로
$f(2) + f(0) + 2 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉢
조건 (나)에서
$f(0) = f(2) + 1$
을 ㉢에 대입하면
$2f(2) + 3 = 0$
$f(2) = -\frac{3}{2}$
조건 (나)에서
$f(0) = f(2) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$
$f(0) = -\frac{1}{2}$을 ㉠에 대입하면
$\left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + 2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) = a + b$
$a+b = -\frac{3}{4}$ $\cdots\cdots$ ㉣
한편, 조건 (가)에서 양변에 $1$을 더하면
$\{ f(x) \}^{2} + 2f(x) + 1 = a \cos^{3} \pi x \times e^{\sin^{2} \pi x} + b + 1$
$\{ f(x) + 1\}^{2} = a \cos^{3} \pi x \times e^{\sin^{2} \pi x} + b + 1$
이때 $g(x) = a \cos^{3} \pi x \times e^{\sin^{2} \pi x} + b + 1$이라 하면
$g(2-x) = a \cos^{3} \pi (2-x) \times e^{\sin^{2} \pi (2-x)} + b + 1$
$= a \cos^{3} \pi x \times e^{\sin^{2} \pi x} + b + 1$
이므로 모든 실수 $x$에 대하여
$g(x) = g(2-x)$
이다.
즉, 모든 실수 $x$ 에 대하여
$\{ f(x) + 1\}^{2} = \{ f(2-x) + 1\}^{2}$
이다. 이때
$\{ f(x) – f(2-x)\}\{ f(x) + f(2-x) + 2\} = 0$
에서
$f(x) = f(2-x)$ 또는 $f(x) + f(2-x) = -2$
조건 (나)에서
$f(0) = f(2) + 1$
이므로
$f(x) \ne f(2-x)$
이다.
즉, $f(x) + f(2-x) = -2$이므로
$x=1$을 대입하면
$f(1) + f(1) = -2$
$f(1) = -1$
조건 (가)에서
양변에 $x=1$을 대입하면
$\{ f(1) \}^{2}+2f(1) = -a + b$
$(-1)^{2}+2 \times (-1) = -a + b$
$-a+b = -1$ $\cdots\cdots$ ㉤
㉣, ㉤을 연립하면
$a= \frac{1}{8}$, $b= -\frac{7}{8}$
따라서 $a \times b = \frac{1}{8} \times \left( -\frac{7}{8} \right) = -\dfrac{7}{64}$

29. 세 실수 $a$, $b$, $k$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(a, \,a+k)$, $\mathrm{B}(b, \,b+k)$가 곡선 $C : x^2 -2xy +2y^2 = 15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{B}$에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$의 값을 구하시오. (단, $a+2k \ne 0$, $b+2k \ne 0$) [4점]
$5$
곡선 $x^2 -2xy +2y^2 = 15$에서
양변을 $x$에 대하여 미분하면
$2x -2y -2x\frac{dy}{dx} +4y\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x-2y}$ (단, $x \ne 2y$)
점 $\mathrm{A}(a, \,a+k)$에서의 접선의 기울기는
$\frac{a-(a+k)}{a-2(a+k)} = \frac{k}{a+2k}$
점 $\mathrm{B}(b, \,b+k)$에서의 접선의 기울기는
$\frac{b-(b+k)}{b-2(b+k)} = \frac{k}{b+2k}$
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서의 접선이 서로 수직이므로
$\frac{k}{a+2k} \times \frac{k}{b+2k} = -1$
$ab + 2(a+b)k + 5k^2 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{A}$가 곡선 $x^2 -2xy +2y^2 = 15$
즉, $(x-y)^2 + y^2 = 15$ 위의 점이므로
$k^2 + (a+k)^2 = 15$ $\cdots\cdots$ ㉡
점 $\mathrm{B}$가 곡선 $x^2 -2xy +2y^2 = 15$
즉, $(x-y)^2 + y^2 = 15$ 위의 점이므로
$k^2 + (b+k)^2 = 15$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡, ㉢에서
$(a+k)^2 = (b+k)^2$
$(a-b)(a+b + 2k) = 0$
$a \ne b$이므로
$a+b = -2k$ $\cdots\cdots$ ㉣
㉣을 ㉠에 대입하면
$ab -4k^2 + 5k^2 = 0$
$k^2 = -ab$ $\cdots\cdots$ ㉤
㉡에서
$2k^2 +2ak + a^2 = 15$
㉣, ㉤을 위 식에 대입하면
$-2ab +a(-a-b) + a^2 = 15$
$ab = -5$
따라서 $k^2 = -ab = -(-5) = 5$
30. 수열 $\{ a_n \}$은 등비수열이고, 수열 $\{ b_n \}$을 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_{n} = \begin{cases} -1 & (a_{n} \le -1) \\ \, a_{n} & (a_{n} > -1) \end{cases}$$ 이라 할 때, 수열 $\{ b_n \}$은 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}$은 수렴하고 그 합은 $-3$이다.
(나) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}$은 수렴하고 그 합은 $8$이다.
$b_3 = -1$일 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}| a_n |$의 값을 구하시오. [4점]
$24$
등비수열 $\{ a_n \}$의 일반항을
$a_{n} = a_{1}r^{n-1}$
이라 하자. 이때 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 $a_1 \ne 0$이다.
(ⅰ) $r > 1$인 경우
$a_n$의 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
(ⅱ) $r=1$인 경우
$a_n$의 값이 일정한 값을 가지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
(ⅲ) $r = -1$인 경우
$a_n$의 값이 $a_1$, $-a_1$, $a_1$, $-a_1$, $a_1$, $\cdots$이 반복되므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
(ⅳ) $r < -1$인 경우
$a_n$의 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
(ⅴ) $r = 0$인 경우
$a_n$의 값이 첫째항을 제외하고 모두 $0$이므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
따라서 $-1 < r < 0$ 또는 $0 < r < 1$이다.그런데 $b_3 = -1$이므로 $a_3 \le -1$이다.즉, $a_{1}r^2 \le -1$이다. 그런데 $0 < r^2 < 1$이므로 $a_1 \le -1$
따라서 $b_1 = -1$이다.
또한 $a_1 \le -1$이므로 $0 < r < 1$이면 $a_n$의 모든 항은 음수이므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다.
따라서 $-1 < r < 0$이다.
① $a_2 = a_{1}r \le -1$일 때 $r \ge – \frac{1}{a_1} > 0$이므로 모순이다. 따라서 $a_2 = a_{1}r > -1$이므로 $b_2 = a_2 = a_{1}r$
② $b_3 = -1$이므로 $a_3 = a_{1}r^2 \le -1$
③ $a_4 = a_{1}r^3 \le -1$일 때 $a_4 = a_{1}r^3 = a_{1}r^2 \times r \ge -r > 0$이므로 모순이다. 즉 $a_4 > -1$이므로 $b_4 = a_4 = a_{1}r^3$
④ $a_5 = a_{1}r^4 \le -1$일 때 $b_5 = -1$인데 $b_1 + b_3 + b_5 = -3$이므로 조건 (가)에 의하여 모순이다.
⑤ $a_6 = a_{4}r^2$이고 $a_4 > -1$이므로 $a_6 > -r^2 > -1$ 따라서 $b_6 = a_6 = a_{1}r^5$
같은 방법으로 생각하면 $b_7 =a_7$, $b_8 =a_8$, $b_9 =a_9$, $\cdots$이므로
$b_{n} = \begin{cases} -1 & (n=1, n=3) \\ a_{1}r^{n-1} & (n=2, n \ge 4) \end{cases}$
이다.
조건 (가)에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}$ $= -1 + (-1) + a_{1}r^4 + a_{1}r^6 + a_{1}r^8 + \cdots$
$= -2 + \frac{a_{1}r^4}{1-r^2} = -3$
$\frac{a_{1}r^4}{1-r^2} = -1$
$a_{1}r^4 = r^2 -1$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}$ $= a_{1}r + a_{1}r^3 + a_{1}r^5 + \cdots$
$= \frac{a_{1}r}{1-r^2} = 8$
$a_{1}r = 8 – 8r^2 = 8(1-r^2)$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$a_{1}r = -8a_{1}r^4$
이므로
$r^3 = -\frac{1}{8}$
즉 $r = -\frac{1}{2}$이므로 ㉡에 대입하면
$-\frac{1}{2}a_1 = 6$, $a_1 = -12$
따라서 $a_{n}= -12 \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}| a_n |$ $= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left\vert -12\left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\vert$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}12 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$
$= \frac{12}{1-\frac{1}{2}} = 24$
$b_2$, $b_3$, $\cdots$의 값을 조사하면 다음과 같다.
(1) $b_2$의 값
$a_1 \le -1$이고 $-1 < r < 0$이므로 $a_2 > 0$
(2) $b_3$의 값
주어진 조건으로부터 $b_3 = -1$
(3) $b_4$의 값
$a_3 \le -1$이고 $-1 < r < 0$이므로 $a_4 > 0$
그러므로 $b_4 = a_4$
그러므로 $a_{2n} > 0$이므로 $b_{2n} = a_{2n}$
조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} = 8$이므로
$ar + ar^3 + ar^5 + \cdots = 8$
한편, 조건 (가)에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1} = -3$ $\cdots\cdots$ ㉡
이고 $b_1 = b_3 = -1$이고 $b_5 = ar^4$, $b_7 = ar^6$, $\cdots$
라 하면 ㉡은
$\displaystyle (-1) + (-1) + r^{3}\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} = -3$
$r^{3} \times 8 = -1$
$r = -\frac{1}{2}$
수학 영역(기하)
24. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 대하여 $$2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} + p \overrightarrow{\mathrm{BC}} = q \overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ 일 때, $p - q$의 값은? (단, $p$와 $q$는 실수이다.) [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
④
$2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + p\overrightarrow{\mathrm{BC}} = q\overrightarrow{\mathrm{CA}}$에서
$\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} – \overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CA}} = – \overrightarrow{\mathrm{AC}}$이므로
$2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + p(\overrightarrow{\mathrm{AC}} – \overrightarrow{\mathrm{AB}}) = -q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$(2-p)\overrightarrow{\mathrm{AB}} = -(p+q)\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 서로 다른 세 점이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ne \overrightarrow{\mathrm{0}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ne \overrightarrow{\mathrm{0}}$
이때 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 한 직선 위에 있지 않으므로
$2-p = -(p+q) = 0$
이어야 한다.
따라서 $p=2$, $q= -2$이므로
$p-q = 2 – (-2) = 4$
25. 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $$(\overrightarrow{\mathrm{AB}} +k \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}} + 3k \overrightarrow{\mathrm{CD}}) = 0$$ 일 때, 실수 $k$의 값은? [3점]

① $1$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{1}{4}$
⑤ $\frac{1}{5}$
②
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}$이고 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overrightarrow{\mathrm{CD}} = -\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} + 3k \overrightarrow{\mathrm{CD}} = (\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}) + 3k(-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$
$=(1-3k)\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
이다.
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}} +k \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}} + 3k \overrightarrow{\mathrm{CD}})$
$= (\overrightarrow{\mathrm{AB}} +k \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot\{ (1-3k)\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}\}$
$= (1-3k) | \overrightarrow{\mathrm{AB}} |^{2} + \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} + (k-3k^2)\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + k | \overrightarrow{\mathrm{BC}} |^{2}$
$| \overrightarrow{\mathrm{AB}} | = | \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = 1$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$이므로
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}} +k \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}} + 3k \overrightarrow{\mathrm{CD}})$ $= (1-3k)+0+0+k = 1-2k$
따라서 $1-2k = 0$이므로 $k = \dfrac{1}{2}$
26. 두 초점이 $\mathrm{F}(12, \,0)$, $\mathrm{F'}(-4, \,0)$이고, 장축의 길이가 $24$인 타원 $C$가 있다. $\overline{\mathrm{F'F}} = \overline{\mathrm{F'P}}$인 타원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$의 중점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 한 초점이 $\mathrm{F'}$인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이 점 $\mathrm{Q}$를 지날 때, $\overline{\mathrm{PF}} + a^2 +b^2$의 값은?
(단, $a$와 $b$는 양수이다.) [3점]
① $46$
② $52$
③ $58$
④ $64$
⑤ $70$
④
타원 $C$의 장축의 길이가 $24$이고 $\overline{\mathrm{F’P}} = \overline{\mathrm{F’F}} = 12 – (-4) = 16$이므로 타원의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{FP}} + \overline{\mathrm{F’P}} = \overline{\mathrm{FP}} + 16 = 24$
$\overline{\mathrm{FP}} = 8$
점 $\mathrm{F’}(-4, 0)$이 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$의 한 초점이고 이 타원의 중심은 원점이므로 나머지 한 초점은 $\mathrm{A}(4, 0)$이다. 또한, 타원의 방정식에서
$a^2 – b^2 = 4^2 = 16$ $\cdots\cdots$ ㉠
이다.
점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F’P}$의 중점이므로
$\overline{\mathrm{F’Q}} = 8$
이때
$\overline{\mathrm{AF’}} : \overline{\mathrm{FF’}} = \overline{\mathrm{QF’}} : \overline{\mathrm{PF’}}$이므로 삼각형 $\mathrm{QF’A}$와 삼각형 $\mathrm{PF’F}$는 닮음비가 $1 : 2$인 닮은 도형이다.
즉, $\overline{\mathrm{QA}} : \overline{\mathrm{PF}} = 1 : 2$이고 $\overline{\mathrm{PF}} = 8$이므로
$\overline{\mathrm{QA}} = 4$
즉, $\overline{\mathrm{F’Q}} + \overline{\mathrm{QA}}= 8 + 4 = 12$이므로
타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$의 장축의 길이는 $12$이다.
$2a = 12$에서 $a=6$이므로 $a^2 = 36$
㉠에 대입하면 $b^2 = 20$
따라서 $\overline{\mathrm{PF}} + a^2 + b^2 = 8 + 36 + 20 = 64$
[참고 ] 점 $\mathrm{P}$가 제$1$사분면에 있다고 가정하면 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있다.
27. 포물선 $(y-2)^2 = 8(x+2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{A}(0, \,2)$에 대하여 $\overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PA}}$의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$를 $\mathrm{P}_0$이라 하자. $\overline{\mathrm{OQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{OP}_0} + \overline{\mathrm{P_0A}}$를 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M^2 + m^2$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]
① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$
③
포물선 $(y-2)^2 = 8(x+2)$는 포물선 $y^2 = 8x$를 $x$축의 방향으로 $-2$ 만큼, $y$축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 $y^2 = 8x$의 초점이 점 $(2, 0)$, 준선이 직선 $x = -2$이므로 포물선 $(y-2)^2 = 8(x+2)$의 초점은 점 $\mathrm{A}(0, 2)$, 준선은 직선 $x= -4$이다.
점 $\mathrm{P}$에서 준선 $x = -4$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 준선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하면
$\overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PA}}$
$=\overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PH}} \ge \overline{\mathrm{OB}}$
이 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}_0$은 포물선 $(y-2)^2 = 8(x+2)$와 $x$축이 만나는 점이다.이때
$\overline{\mathrm{OQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{OP}_0} + \overline{\mathrm{P_0A}}$ $\cdots\cdots$ ㉠
에서
$\overline{\mathrm{OP}_0} + \overline{\mathrm{P_0A}} = \overline{\mathrm{OB}} = 4$
이므로 ㉠은
$\overline{\mathrm{OQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = 4$
그러므로 점 $\mathrm{Q}$는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{O}$를 초점으로 하고 거리의 합이 $4$인 타원 위의 점이다.
점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 가장 큰 점은 이 타원이 $y$축의 양의 방향과 만나는 점이므로 이 점을 $\mathrm{Q}_{1}(0, a)$라 하면
$\overline{\mathrm{OQ}_1} + \overline{\mathrm{Q_1A}} = 4$
에서
$a + (a-2) = 4$
$a = 3$
또, 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 가장 작은 점은 이 타원이 $y$축의 음의 방향과 만나는 점이므로 이 점을 $\mathrm{Q}_2(0, b)$라 하면
$\overline{\mathrm{OQ}_2} + \overline{\mathrm{Q_2A}} = 4$
에서
$(0-b) + (2-b) = 4$
$b = -1$
따라서 $M = 3$, $m = -1$이므로
$M^2 + m^2 = 3^2 + (-1)^2 = 10$
28. 좌표평면의 네 점 $\mathrm{A}(2,\, 6)$, $\mathrm{B}(6,\, 2)$, $\mathrm{C}(4,\, 4)$, $\mathrm{D}(8,\, 6)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $\mathrm{X}$의 집합을 $S$라 하자.
(가) $\{ (\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OD}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} \} \times \{ | \overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OC}} | - 3 \} = 0$
(나) 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 서로 평행하도록 하는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$가 존재한다.
집합 $S$에 속하는 점 중에서 $y$좌표가 최대인 점을 $\mathrm{Q}$, $y$좌표가 최소인 점을 $\mathrm{R}$이라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
① $25$
② $26$
③ $27$
④ $28$
⑤ $29$
⑤
점 $\mathrm{X}$의 좌표를 $(x, y)$라 하자.
조건 (가)에서
$(\overrightarrow{\mathrm{OX}} – \overrightarrow{\mathrm{OD}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$ $\cdots$ ㉠
또는
$| \overrightarrow{\mathrm{OX}} – \overrightarrow{\mathrm{OC}} | – 3 = 0$ $\cdots$ ㉡
㉠에서 $\overrightarrow{\mathrm{DX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$에서 $\overrightarrow{\mathrm{DX}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$이므로 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{D}(8, 6)$을 지나고 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = (4, 4)$에 수직인 직선 위의 점이다.
즉, 점 $\mathrm{X}$는 직선 $l : y = -x + 14$ 위의 점이다.
㉡에서 $| \overrightarrow{\mathrm{CX}} | = 3$이므로 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{C}(4, 4)$를 지나고 반지름의 길이가 $3$인 원, 즉
$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$
위의 점이다.
조건 (나)를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$를 다음과 같이 경우를 나누어 생각하자.
(ⅰ) 점 $\mathrm{X}$가 직선 $l$ 위에 있는 경우
점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $\mathrm{E}$, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하자.선분 $\mathrm{EF}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 점 $\mathrm{X}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{X’}$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{X’}$과 일치할 때 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PX}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$는 평행하므로 조건 (나)를 만족시킨다. 직선 $l$ 위의 점 중에서 선분 $\mathrm{EF}$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{X}$에 대하여는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PX}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 평행할 수 없으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 즉, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최대인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{E}(5, 9)$와 일치하는 경우이고, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최소인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{F}(9, 5)$와 일치하는 경우이다.
(ⅱ) 점 $\mathrm{X}$가 원 $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$ 위에 있는 경우그림과 같이 원이 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선과 만나는 두 점을 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$라 하고, 원이 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선과 만나는 두 점을 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자.호 $\mathrm{JH}$ 또는 호 $\mathrm{GI}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 점 $\mathrm{X}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{X’}$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{X’}$과 일치할 때 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PX}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$는 평행하므로 조건 (나)를 만족시킨다. 원 위의 점 중에서 호 $\mathrm{JH}$ 위에도 있지 않고 호 $\mathrm{GI}$ 위에도 있지 않은 점 $\mathrm{X}$에 대하여는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PX}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 평행할 수 없으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 즉, 원 $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$ 위의 점 중에서 $y$좌표가 가장 큰 점을 $\mathrm{K}$, $y$좌표가 가장 작은 점을 $\mathrm{L}$이라 하면 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최대인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{K}(4, 7)$과 일치하는 경우이고, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최소인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{L}(4, 1)$과 일치하는 경우이다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$는 각각 $\mathrm{Q}(5, 9)$, $\mathrm{R}(4, 1)$이다. 따라서
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}$
$=(5, 9)\cdot(4, 1) = 5 \times 4 + 9 \times 1 = 29$

29. 두 점 $\mathrm{F}(c, \,0)$, $\mathrm{F'}(-c, \,0)$ ($c > 0$)을 초점으로 하는 두 쌍곡선
$$C_{1} : x^{2} - \frac{y^2}{24} = 1,\:\, C_{2} : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^2}{21} = 1$$
이 있다. 쌍곡선 $C_1$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{PF'}$이 쌍곡선 $C_2$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.
$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF}}$, $2\overline{\mathrm{PF'}}$, $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF'}}$이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $m$이다. $60m$의 값을 구하시오. [4점]

$80$
쌍곡선 $C_{1} : x^{2} – \frac{y^2}{24} = 1$의 주축의 길이는 $2$, 쌍곡선 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} – \frac{y^2}{21} = 1$의 주축의 길이는 $4$, 두 쌍곡선 $C_1$, $C_2$의 초점은 모두 $\mathrm{F}(5, \,0)$, $\mathrm{F’}(-5, \,0)$이다.
점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $C_1$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점이므로
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF’}} + 2$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{Q}$는 쌍곡선 $C_2$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점이므로
$\overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{QF’}} + 4$ $\cdots\cdots$ ㉡
$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF}}$, $2\overline{\mathrm{PF’}}$, $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}}$이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의하여
$4\overline{\mathrm{PF’}} = (\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF}}) + (\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}})$
이때 ㉡에 의하여
$\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF’}} + 4$ $= \overline{\mathrm{PF’}} + 4$
이므로
$4\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{PF’}} + 4 + \overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}}$
$2\overline{\mathrm{PF’}} = 4 + \overline{\mathrm{PF}}$
㉠을 대입하면
$2\overline{\mathrm{PF’}} = 4 + (\overline{\mathrm{PF’}} + 2)$
즉, $\overline{\mathrm{PF’}} = 6$
삼각형 $\mathrm{PF’F}$는 $\overline{\mathrm{PF’}} = 6$, $\overline{\mathrm{FF’}} = 10$, $\overline{\mathrm{PF}} = 8$인 직각삼각형이므로
$\tan(\angle \mathrm{PF’F}) = \frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PF’}}} = \frac{4}{3}$
따라서 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기 $m$도 $\frac{4}{3}$이다.
$60m = 60 \times \frac{4}{3} = 80$
30. 직선 $2x+y=0$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 타원 $2x^2 + y^2 = 3$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$
를 만족시키고, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 영역의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$13$
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \overrightarrow{\mathrm{PQ’}}$이 되는 점을 잡으면 점 $\mathrm{Q’}$은 타원 $2x^2 + y^2 =3$을 중심이 $\mathrm{P}$가 되도록 평행이동시킨 타원 위의 점이다.
이때,
$\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
$= \overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ’}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ’}}$한편, 타원 $2x^2 + y^2 = 3$에 접하고 직선 $2x + y = 0$에 평행한 접선의 방정식은
$y = -2x \pm \sqrt{\frac{3}{2} \times (-2)^2 + 3}$
$y = -2x \pm 3$
그러므로 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 점은 직선 $y = -2x + 3$ 또는 이 직선의 아래쪽 부분과 직선 $y = -2x – 3$ 또는 이 직선의 위쪽 부분의 공통부분이다.
그러므로 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 영역은 직선 $y = -2x + 3$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분이다.
이때 직선 $y = -2x + 3$이 $x$축과 만나는 점의 좌표는 $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$, $y$축과 만나는 점의 좌표는 $(0, 3)$이므로 구하는 영역의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times3 = \frac{9}{4}$
따라서 $p=4$, $q=9$이므로
$p+q = 4 + 9 = 13$