24년 9월 평가원
3. 모든 항이 실수인 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$a_{2}a_{3} = 2, \:a_{4} = 4$$ 일 때, $a_6$의 값은? [3점]
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
6. $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ 인 $\theta$에 대하여 $\cos (\pi + \theta) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$일 때, $\sin \theta + \cos \theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
② $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
⑤ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
②
$\cos (\pi + \theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$에서
$\cos (\pi + \theta) = -\cos \theta$이므로
$- \cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, 즉 $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$에서 $\sin \theta > 0$이므로
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta}$
$= \sqrt{1 – \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
따라서 $\sin \theta + \cos \theta$ $= \frac{\sqrt{5}}{5} + \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) = – \frac{\sqrt{5}}{5}$
7. 함수 $$f(x) = \begin{cases} \, (x-a)^2 & (x < 4) \\ \, 2x-4 & (x \ge 4) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 곱은? [3점]
① $6$
② $9$
③ $12$
④ $15$
⑤ $18$
③
함수 $f(x) = \begin{cases} \, (x-a)^2 & (x < 4) \\ \, 2x-4 & (x \ge 4) \end{cases}$가 $x=4$에서 연속이면 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
함수 $f(x)$가 $x=4$에서 연속이면
$\displaystyle \lim_{x \to 4-}f(x) = \lim_{x \to 4+}f(x) = f(4)$
이다. 이때
$\displaystyle \lim_{x \to 4-}f(x) = \lim_{x \to 4-}(x-a)^2$ $= (4-a)^2 = a^2 -8a +16$
$\displaystyle \lim_{x \to 4+}f(x) = \lim_{x \to 4+}(2x-4) = 4$
$f(4) = 4$이므로
$a^2 -8a +16 = 4$
$a^2 -8a +12 = 0$
$(a-2)(a-6) = 0$
$a=2$ 또는 $a=6$
따라서 조건을 만족시키는 모든 상수 $a$의 값의 곱은 $2 \times 6 = 12$
8. $a > 2$인 상수 $a$에 대하여 두 수 $\log_{2}a$, $\log_{a}8$의 합과 곱이 각각 $4$, $k$일 때, $a + k$의 값은? [3점]
① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$
①
두 수 $\log_{2}a$, $\log_{a}8$의 합이 $4$이므로
$\log_{2}a + \log_{a}8 = 4$에서
$\log_{2}a + 3\log_{a}2 = 4$
$\log_{2}a + \frac{3}{\log_{2}a} = 4$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\log_{2}a = X$라 하면 $a > 2$이므로 $X > 1$
㉠에서
$X + \frac{3}{X} = 4$, $X^2 -4X +3 = 0$
$(X-1)(X-3) = 0$
$X > 1$이므로 $X = 3$
즉, $\log_{2}a = 3$에서 $a= 2^3 =8$
한편, 두 수 $\log_{2}a$, $\log_{a}8$의 곱이 $k$이므로
$k = \log_{2}a \times \log_{a}8 = \log_{2}a \times 3\log_{a}2$
$= \log_{2}a \times \frac{3}{\log_{2}a} = 3$
따라서 $a+k = 8 + 3 = 11$
9. 함수 $f(x)=x^2 + x$에 대하여 $$5\int_{0}^{1}f(x) dx - \int_{0}^{1} (5x + f(x))dx$$ 의 값은? [4점]
① $\frac{1}{6}$
② $\frac{1}{3}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $\frac{2}{3}$
⑤ $\frac{5}{6}$
⑤
$f(x)=x^2 + x$이므로
$5\int_{0}^{1}f(x) dx – \int_{0}^{1} (5x + f(x))dx$
$= 5\int_{0}^{1}f(x) dx – \int_{0}^{1}5x dx – \int_{0}^{1}f(x) dx$
$= 4\int_{0}^{1}f(x) dx – \int_{0}^{1}5x dx$
$= 4\int_{0}^{1}(x^2 + x) dx – \int_{0}^{1}5x dx$
$= \int_{0}^{1}(4x^2 + 4x) dx – \int_{0}^{1}5x dx$
$= \int_{0}^{1}(4x^2 -x) dx$
$= \left[ \frac{4}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}$ $=\frac{4}{3} – \frac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$
$f(x)=x^2 + x$이므로
$5\int_{0}^{1}f(x) dx – \int_{0}^{1} (5x + f(x))dx$
$= 5\left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} – \left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{1}$
$= 5 \times \frac{5}{6} – \frac{10}{3} = \dfrac{5}{6}$
10. $\angle \mathrm{A} > \dfrac{\pi}{2}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2} : 1, \:\, \overline{\mathrm{AH}} = 2$$ 이고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $50 \pi$ 일 때, 선분 $\mathrm{BH}$의 길이는? [4점]
① $6$
② $\frac{25}{4}$
③ $\frac{26}{4}$
④ $\frac{27}{4}$
⑤ $7$
①
$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2} : 1$이므로 $\overline{\mathrm{AC}} = x$라 하면 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}x$삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 이 외접원의 넓이가 $50\pi$이므로 $\pi R^{2} = 50\pi$에서 $R = 5\sqrt{2}$
직각삼각형 $\mathrm{AHC}$에서
$\sin(\angle \mathrm{ACH}) = \frac{2}{x}$, 즉 $\sin \mathrm{C} = \frac{2}{x}$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = 2R$, 즉 $\overline{\mathrm{AB}} = 2R \sin C$
$\sqrt{2}x = 2 \times 5\sqrt{2} \times \frac{2}{x}$, $x^2 = 20$, $x = 2\sqrt{5}$
따라서 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}x = 2\sqrt{10}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{ABH}$에서
$\overline{\mathrm{BH}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AB}}^2 – \overline{\mathrm{AH}}^2 }$ $= \sqrt{(2\sqrt{10})^2 – 2^2 } = 6$
11. 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치가 각각 $$x_{1} = t^2 +t -6,\: x_{2} = -t^3 +7t^2$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같아지는 순간 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 가속도를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p-q$의 값은? [4점]
① $24$
② $27$
③ $30$
④ $33$
⑤ $36$
①
$x_{1} = t^2 +t -6$, $x_{2} = -t^3 +7t^2$이므로
$x_{1} = x_{2}$에서
$t^2 +t -6 = -t^3 +7t^2$
$t^3 -6t^2 +t -6 = 0$, $t^{2}(t -6) +t -6 = 0$
$(t-6)(t^2 +1) = 0$
$t \ge 0$이므로 $t = 6$
즉, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같아지는 순간의 시각은 $t = 6$이다.
한편, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 속도를 각각 $v_1$, $v_2$라 하면
$v_{1} = \frac{dx_{1}}{dt} = 2t + 1$,
$v_{2} = \frac{dx_{2}}{dt} = -3t^2 + 14t$
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 가속도를 각각 $a_1$, $a_2$라 하면
$a_{1} = \frac{dv_{1}}{dt} = 2$,
$a_{2} = \frac{dv_{2}}{dt} = -6t + 14$
시각 $t=6$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 가속도가 각각 $p$, $q$이므로
$p = 2$, $q = -6 \times 6 + 14 = -22$
따라서 $p – q = 2 – (-22) = 24$
12. 수열 $\{ a_n \}$은 등차수열이고, 수열 $\{ b_n \}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} a_{k}$$ 를 만족시킨다. $b_{2} = -2$, $b_{3} + b_{7} = 0$일 때, 수열 $\{ b_n \}$의 첫째항부터 제$9$항까지의 합은? [4점]
① $-22$
② $-20$
③ $-18$
④ $-16$
⑤ $-14$
②
$b_{1} =\displaystyle \sum_{k=1}^{1}(-1)^{k+1} a_{k} = a_1$
$b_{2} =\displaystyle \sum_{k=1}^{2}(-1)^{k+1} a_{k} = a_{1}-a_2$
이때 등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$라 하면
$b_{2} = -2$이므로
$a_{1}-a_{2} = -d = -2$
따라서 $d = 2$
또한
$b_{3} =\displaystyle \sum_{k=1}^{3}(-1)^{k+1} a_{k}$
$= a_{1}-a_{2} + a_3 = -d + a_3 = a_{3} -2$
$b_{7} =\displaystyle \sum_{k=1}^{7}(-1)^{k+1} a_{k}$
$= a_{1}-a_{2} + a_{3} -a_{4} + a_{5} -a_{6} + a_{7}= -3d + a_7 = a_{7} -6$
이므로 $b_{3} + b_{7} = 0$에서
$(a_{3} -2) + (a_{7} -6)$
$= a_{3} + a_{7} – 8$
$= (a_{1} + 2 \times 2) + (a_{1} + 6 \times 2) – 8$
$= (a_{1} + 4) + (a_{1} + 12) – 8$
$= 2a_{1} + 8 = 0$
따라서 $a_{1} = -4$
즉 $a_{n} = -4 + (n-1) \times 2 = 2n – 6$이므로
$b_{1} = a_{1} = -4$
$b_{2} = a_{1} – a_{2} = -2$
$b_{3} = a_{1} – a_{2} + a_{3} = -2$
$b_{4} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} = -4$
$b_{5} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + a_{5} = 0$
$b_{6} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + a_{5} – a_{6} = -6$
$b_{7} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + a_{5} – a_{6} + a_{7} = 2$
$b_{8} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + a_{5} – a_{6} + a_{7} – a_{8} = -8$
$b_{9} = a_{1} – a_{2} + a_{3} – a_{4} + a_{5} – a_{6} + a_{7} – a_{8} + a_{9} = 4$
따라서
$b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdots + b_{9}$
$= -4 + (-2) + (-2) + (-4) + 0 + (-6) + 2 + (-8) + 4 = -20$
$b_{2n} = (a_{1} – a_{2}) + (a_{3} – a_{4}) + \cdots + (a_{2n-1} – a_{2n})$
$= -dn = -2n$
$b_{2n-1} = a_{1} + (a_{3} – a_{2}) + (a_{5} – a_{4}) + \cdots + (a_{2n-1} – a_{2n-2})$
$= a_{1} + (n-1)d = -4 + 2(n-1) = 2n – 6$
따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{9}b_{n} = \sum_{n=1}^{5}b_{2n-1} + \sum_{n=1}^{4}b_{2n}$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{5}(2n-6) + \sum_{n=1}^{4}(-2n)$
$= 2 \times \frac{5 \times 6}{2} – 6 \times 5 – 2 \times \frac{4 \times 5}{2}$
$= 30 – 30 -20 = -20$
13. 함수 $$f(x) = \begin{cases} -x^2 -2x +6 & (x \lt 0) \\ -x^2 +2x +6 & (x \ge 0) \end{cases}$$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 두 점을 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하고, 상수 $k$ ($k \gt 4$)에 대하여 직선 $x = k$가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. 곡선 $y = f(x)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $x = k$ 및 선분 $\mathrm{QR}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $A=2B$일 때, $k$의 값은? (단, 점 $\mathrm{P}$의 $x$ 좌표는 음수이다.) [4점]
① $\frac{9}{2}$
② $5$
③ $\frac{11}{2}$
④ $6$
⑤ $\frac{13}{2}$
14. 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = 2^x$ 위의 두 점 $\mathrm{A}_{n}$, $\mathrm{B}_{n}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 $\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}$의 기울기는 $3$이다.
(나) $\overline{\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}} = n \times \sqrt{10}$
중심이 직선 $y = x$ 위에 있고 두 점 $\mathrm{A}_{n}$, $\mathrm{B}_{n}$을 지나는 원이 곡선 $y = \log_{2}x$와 만나는 두 점의 $x$ 좌표 중 큰 값을 $x_n$이라 하자. $x_{1} + x_{2} + x_{3}$의 값은? [4점]
① $\frac{150}{7}$
② $\frac{155}{7}$
③ $\frac{160}{7}$
④ $\frac{165}{7}$
⑤ $\frac{170}{7}$
⑤
두 점 $\mathrm{A}_{n}$, $\mathrm{B}_{n}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A}_{n}(a_{n},\, 2^{a_n})$, $\mathrm{B}_{n}(b_{n},\, 2^{b_n})$ ($a_{n} < b_n$)
이라 하면 조건 (가)에 의하여
$\dfrac{2^{b_n} – 2^{a_n}}{b_{n} – a_{n}} = 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (나)에 의하여
$(b_{n} – a_{n})^{2} + (2^{b_n} – 2^{a_n})^{2} = 10n^2$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠에서 $2^{b_n} – 2^{a_n}=3(b_{n} – a_{n})$이므로 이것을 ㉡에 대입하여 정리하면
$(b_{n} – a_{n})^{2} = n^2$
$a_{n} < b_{n}$이므로 $b_{n} – a_{n} = n$, 즉 $a_{n} = b_{n} – n$
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
$2^{b_n} – 2^{b_{n} – n} = 3n$이므로
$2^{b_n}\left( 1-\frac{1}{2^n} \right) = 3n$
$2^{b_n} = 3n \times \frac{2^{n}}{2^{n}-1}$
한편, 곡선 $y=2^x$과 곡선 $y=\log_{2}x$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이므로 $x_n$은 점 $\mathrm{B}_{n}$의 $y$ 좌표와 같다.
따라서
$x_{n} = 2^{b_n} = 3n \times \frac{2^{n}}{2^{n}-1}$
이므로
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6 + 8 + \frac{72}{7} = \dfrac{170}{7}$
15. 두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle \int_{1}^{x}tf(t) dt + \int_{-1}^{x}tg(t) dt$ $= 3x^4 +8x^3 -3x^2$
(나) $f(x) = xg'(x)$
$\displaystyle \int_{0}^{3}g(x)dx$의 값은? [4점]
① $72$
② $76$
③ $80$
④ $84$
⑤ $88$
①
조건 (가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$xf(x) + xg(x) = 12x^3 +24x^2 -6x$
$f(x)+g(x) = 12x^2 +24x -6$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때 조건 (나)에서 $f(x) = xg'(x)$이므로 ㉠에 대입하면
$xg'(x)+g(x) = 12x^2 +24x -6$
$\left\{xg(x)\right\}’ = 12x^2 +24x -6$
$xg(x) = \int (12x^2 +24x -6) dx$
$= 4x^3 +12x^2 -6x +C$ (단, $C$는 적분상수)
이때 $g(x)$는 다항함수이므로 $C=0$
즉 $xg(x) = 4x^3 +12x^2 -6x$이므로
$g(x) = 4x^2 +12x -6$
따라서 $\int_{0}^{3}g(x)dx$ $= \int_{0}^{3}(4x^2 +12x -6)dx$
$= \left[ \frac{4}{3}x^3 +6x^2 -6x \right]_{0}^{3}$ $= 36 + 54 – 18 = 72$

16. 방정식 $$\log_{3}(x+2) - \log_{\frac{1}{3}}(x-4) = 3$$ 을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
18. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{10}ka_k = 36, \:\sum_{k=1}^{9}ka_{k+1} = 7$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k$의 값을 구하시오. [3점]
$29$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}ka_k = 36$에서
$a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \cdots + 10a_{10} = 36$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}ka_{k+1} = 7$에서
$a_{2} + 2a_{3} + 3a_{4} + \cdots + 9a_{10} = 7$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠ $-$ ㉡을 하면
$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{10} = \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k$
$= 36 – 7 = 29$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}ka_{k+1} = 7$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}ka_{k+1}$ $=\displaystyle \sum_{k=1}^{9}\{(k+1)a_{k+1} -a_{k+1} \}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{9}(k+1)a_{k+1} – \displaystyle \sum_{k=1}^{9}a_{k+1}$
$=\displaystyle \sum_{k=2}^{10}ka_{k} – \displaystyle \sum_{k=2}^{10}a_{k} = 7$
즉, $\displaystyle \sum_{k=2}^{10}ka_{k} = \displaystyle \sum_{k=2}^{10}a_{k} + 7$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}ka_k = 36$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}ka_k$ $= a_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{10}ka_k$
$= a_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{10}a_{k} + 7$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_{k} + 7 = 36$
따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_{k} = 36 – 7 = 29$
19. 함수 $f(x) = x^3 +ax^2 -9x +b$는 $x=1$에서 극소이다. 함수 $f(x)$의 극댓값이 $28$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 상수이다.) [3점]
$4$
함수 $f(x) = x^3 +ax^2 -9x +b$가 $x=1$에서 극소이므로
$f'(1) = 0$
$f'(x) = 3x^2 +2ax -9$이므로
$f'(1) = 3 +2a -9 = 0$에서 $a=3$
한편, $f'(x) = 0$에서
$3x^2 +6x -9 = 0$, $3(x+3)(x-1)=0$
$x= -3$ 또는 $x=1$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 함수 $f(x)$는 $x= -3$에서 극대이고, 극댓값이 $28$이다.
$f(-3) = (-3)^3 + 3 \times (-3)^2 -9 \times (-3) + b = 27 + b$
이므로
$27 + b = 28$에서 $b = 1$
따라서 $a+b = 3+1 = 4$
20. 닫힌구간 $[0, \,2 \pi ]$에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} \sin x -1 & (0 \le x < \pi) \\ -\sqrt{2} \sin x -1 & (\pi \le x \le 2 \pi) \end{cases}$$ 가 있다. $0 \le t \le 2 \pi$인 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = f(t)$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 모든 $t$의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$15$
$0 \le x < \pi$에서 함수 $y = \sin x -1$의 그래프는 이 구간에서 함수 $y=\sin x$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동시킨 것이다. 이때, 이 구간에서 함수 $y = \sin x -1$의 최댓값은 $0$이고, 최솟값은 $-1$이다.
$\pi \le x \le 2 \pi$에서 함수 $y=-\sqrt{2} \sin x -1$의 그래프는 이 구간에서 함수 $y=-\sqrt{2} \sin x$의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동시킨 것이다. 이때, 이 구간에서 함수 $y=-\sqrt{2} \sin x -1$의 최댓값은 $\sqrt{2}-1$, 최솟값은 $-1$이다.
그러므로 닫힌구간 $[0, \,2 \pi ]$에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} \sin x -1 & (0 \le x < \pi) \\ -\sqrt{2} \sin x -1 & (\pi \le x \le 2 \pi) \end{cases}$의 그래프는 그림과 같다.방정식 $f(x) = f(t)$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y = f(t)$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이다.
그러므로 $f(t) = -1$ 또는 $f(t) = 0$이다.
(i) $f(t) = -1$일 때,
$t=0$ 또는 $t=\pi$ 또는 $t=2\pi$
(ii) $f(t) = 0$일 때,
$t=\frac{\pi}{2}$ 또는 $-\sqrt{2} \sin t -1 = 0$ ($\pi \le t \le 2 \pi$)
$-\sqrt{2} \sin t -1 = 0$에서 $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\pi \le t \le 2 \pi$이므로
$t=\frac{5}{4}\pi$ 또는 $t=\frac{7}{4}\pi$
(i), (ii)에서 모든 $t$의 값의 합은
$0 + \pi + 2\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{5}{4}\pi + \frac{7}{4}\pi$ $= \frac{13}{2}\pi$
따라서 $p=2$, $q = 13$이므로
$p+q = 15$
21. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 정수 $k$에 대하여 $$2k-8 \le \frac{f(k+2)-f(k)}{2} \le 4k^{2} +14k$$ 를 만족시킬 때, $f'(3)$의 값을 구하시오. [4점]
$31$
$2k-8 \le \frac{f(k+2)-f(k)}{2} \le 4k^{2} +14k$ $\cdots\cdots$ ㉠
에서
$2k-8 = 4k^{2} +14k$, $k^2 +3k +2 = 0$
$(k+1)(k+2) = 0$
$k = -1$ 또는 $k = -2$
즉, ㉠에 $k = -1$을 대입하면
$-10 \le \frac{f(1)-f(-1)}{2} \le -10$
이므로 $f(1) – f(-1) = -20$ $\cdots\cdots$ ㉡
또, ㉠에 $k = -2$를 대입하면
$-12 \le \frac{f(0)-f(-2)}{2} \le -12$
이므로$f(0) – f(-2) = -24$ $\cdots\cdots$ ㉢
삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여
$f(x) = x^3 + ax^2 +bx +c$로 놓으면 ㉡에서
$f(1) – f(-1) = (1+a+b+c) – (-1+a-b+c) = 2+2b = -20$
$b = -11$
㉢에서
$f(0) – f(-2) = c – (-8+4a-2b+c)$ $= 8 -4a + 2 \times (-11) \:\:\:(\because\: b= -11)$
$= -4a-14 = -24$
$a = \frac{5}{2}$
즉, $f(x) = x^3 + \frac{5}{2}x^2 -11x +c$에서
$f'(x) = 3x^2 + 5x -11$
이므로
$f'(3) = 3 \times 3^2 + 5 \times 3 – 11 = 31$
삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수이다. 상수 $a$, $b$에 대하여
$f'(x) = 3x^2 + ax + b$
로 놓으면 ㉡에서
$f(1) – f(-1) = \int_{-1}^{1}f'(x)dx$
$= \int_{-1}^{1}(3x^2 + ax + b)dx$
$= \left[ x^3 + \frac{a}{2}x^2 + bx\right]_{-1}^{1}$ $=2+2b = -20$
$b = -11$
㉢에서
$f(0) – f(-2) = \int_{-2}^{0}f'(x)dx$
$= \int_{-2}^{0}(3x^2 + ax – 11)dx$
$= \left[ x^3 + \frac{a}{2}x^2 – 11x\right]_{-2}^{0}$ $=8 – 2a -22 = -24$
$a = 5$
즉, $f'(x) = 3x^2 + 5x – 11$이므로
$f'(3) = 3 \times 3^2 + 5 \times 3 – 11 = 31$
22. 양수 $k$에 대하여 $a_{1} = k$인 수열 $\{ a_n \}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_{2} \times a_{3} < 0$
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여
$\left(a_{n+1} - a_{n} + \dfrac{2}{3}k \right)(a_{n+1} + ka_{n}) = 0$이다.
$a_{5} = 0$이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 $k$에 대하여 $k^2$의 값의 합을 구하시오. [4점]
$8$
조건 (나)에서
$\left(a_{n+1} – a_{n} + \dfrac{2}{3}k \right)(a_{n+1} + ka_{n}) = 0$
이므로
$a_{n+1} – a_{n} + \frac{2}{3}k = 0$ 또는 $a_{n+1} + ka_{n} = 0$
즉, $a_{n+1} = a_{n} – \frac{2}{3}k$ 또는 $a_{n+1} = -ka_{n}$
$a_{1} = k$이므로
$a_{2} = a_{1} – \frac{2}{3}k = k – \frac{2}{3}k = \frac{k}{3}$
또는
$a_{2} = -ka_{1} = -k \times k = -k^2$
(ⅰ) $a_2 = \frac{k}{3}$일 때,
$a_{3} = a_{2} – \frac{2}{3}k = \frac{k}{3} – \frac{2}{3}k = -\frac{k}{3}$
또는
$a_{3} = -ka_{2} = -k \times \frac{k}{3} = -\frac{k^2}{3}$
(ⅰ-ⓐ) $a_{3} = -\frac{k}{3}$일 때
$a_{2} \times a_{3} = \frac{k}{3} \times \left( -\frac{k}{3} \right) = -\frac{k^2}{9} < 0$
이므로 조건 (가)를 만족시킨다.
$a_{4} = a_{3} – \frac{2}{3}k = -\frac{k}{3} – \frac{2}{3}k = -k$
또는
$a_{4} = -ka_{3} = -k \times \left(-\frac{k}{3}\right) = \frac{k^2}{3}$
(ⅰ-ⓐ-①) $a_{4} = -k$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = -k – \frac{2}{3}k = – \frac{5}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \left(-k \right) = k^2$
$a_{5} = – \frac{5}{3}k$일 때,
$a_{5} < 0$이고,
$a_{5} = k^2$일 때,
$a_{5} > 0$
이므로 $a_{5} = 0$을 만족시키는 양수 $k$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅰ-ⓐ-②) $a_{4} = \frac{k^2}{3}$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = \frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \frac{k^2}{3} = \frac{k^3}{3}$
$a_{5} = \frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{5} = 0$에서
$\frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k = 0$
$\frac{k(k-2)}{3} = 0$
$k > 0$이므로 $k = 2$
$a_{5} = \frac{k^3}{3}$ 일 때,
$a_{5} < 0$이므로 $a_{5} = 0$을 만족시키는 양수 $k$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅰ-ⓑ) $a_{3} = -\frac{k^2}{3}$일 때
$a_{2} \times a_{3} = \frac{k}{3} \times \left( -\frac{k^2}{3} \right) = -\frac{k^3}{9} < 0$
이므로 조건 (가)를 만족시킨다.
$a_{4} = a_{3} – \frac{2}{3}k = -\frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{4} = -ka_{3} = -k \times \left(-\frac{k^2}{3} \right) = \frac{k^3}{3}$
(ⅰ-ⓑ-①) $a_{4} = -\frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = \left(-\frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k\right) – \frac{2}{3}k$ $= -\frac{k^2}{3} – \frac{4}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \left(-\frac{k^2}{3} – \frac{2}{3}k\right) = \frac{k^3}{3} + \frac{2}{3}k^2$
$a_{5} = -\frac{k^2}{3} – \frac{4}{3}k$일 때,
$a_{5} = -\frac{k(k+4)}{3} < 0$이고
$a_{5} = \frac{k^3}{3} + \frac{2}{3}k^2$일 때,
$a_{5} = \frac{k^2(k+2)}{3} > 0$
이므로 $a_{5} = 0$을 만족시키는 양수 $k$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅰ-ⓑ-②) $a_{4} = \frac{k^3}{3}$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = \frac{k^3}{3} – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \frac{k^3}{3} = -\frac{k^4}{3}$
$a_{5} = \frac{k^3}{3} – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{5} = 0$에서 $\frac{k^3}{3} – \frac{2}{3}k = 0$
$\frac{k(k^2 -2)}{3} = 0$
$k > 0$이므로 $k = \sqrt{2}$
$a_{5} = -\frac{k^4}{3}$일 때,
$a_{5} = -\frac{k^4}{3} < 0$이므로 $a_5 = 0$을 만족시키는 양수 $k$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅱ) $a_{2} = -k^2$일 때,
$a_{3} = a_{2} – \frac{2}{3}k = -k^2 – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{3} = -ka_{2} = -k \times (-k^2) = k^{3}$
(ⅱ-ⓐ) $a_{3} = -k^2 – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{2} \times a_{3} = -k^2 \times \left( -k^2 – \frac{2}{3}k \right) = k^2 \times \left( k^2 + \frac{2}{3}k \right) > 0$
이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
(ⅱ-ⓑ) $a_{3} = k^{3}$일 때,
$a_{2} \times a_{3} = -k^2 \times k^3 = -k^5 < 0$이므로 조건 (가)를 만족시킨다.
$a_{3} = k^3$이므로
$a_{4} = a_{3} – \frac{2}{3}k = k^3 – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{4} = -ka_{3} = -k \times k^3 = -k^{4}$
(ⅱ-ⓑ-①) $a_{4} = k^3 – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = \left( k^3 – \frac{2}{3}k \right) – \frac{2}{3}k$ $= k^3 – \frac{4}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \left( k^3 – \frac{2}{3}k \right) = -k^4 + \frac{2}{3}k^2$
$a_{5} = k^3 – \frac{4}{3}k$일 때,
$a_{5} = 0$에서
$k^3 – \frac{4}{3}k = 0$, $k \left( k^2 – \frac{4}{3} \right)= 0$
$k > 0$이므로 $k = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$a_{5} = -k^4 + \frac{2}{3}k^2$일 때,
$a_{5} = 0$에서 $-k^4 + \frac{2}{3}k^2 = 0$
$-k^{2}\left(k^2 – \frac{2}{3} \right)= 0$
$k > 0$이므로 $k = \sqrt{\frac{2}{3}}$
(ⅱ-ⓑ-②) $a_{4} = -k^{4}$일 때,
$a_{5} = a_{4} – \frac{2}{3}k = -k^{4} – \frac{2}{3}k$
또는
$a_{5} = -ka_{4} = -k \times \left( -k^{4} \right) = k^5$
$a_{5} = -k^{4} – \frac{2}{3}k$일 때,
$a_{5} = -k\left(k^{3} + \frac{2}{3}\right) < 0$
이고,
$a_{5} = k^5$일 때,
$a_5 > 0$이므로 $a_5 = 0$을 만족시키는 양수 $k$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 $k$의 값은 $2$, $\sqrt{2}$, $\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$
따라서 $k^2$의 값의 합은
$2^2 + \left( \sqrt{2} \right)^2 + \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)^2 = 8$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이고 $$\mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}, \: \mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$의 값은? [3점]
① $\frac{3}{4}$
② $\frac{19}{24}$
③ $\frac{5}{6}$
④ $\frac{7}{8}$
⑤ $\frac{11}{12}$
①
두 사건 $A$, $B$가 서로 독립이고
$\mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}$, $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}$이므로
$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$
$=\frac{2}{3}\mathrm{P}(B) = \frac{1}{6}$
$\mathrm{P}(B) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$
따라서
$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A \cap B)$
$= \frac{2}{3} + \frac{1}{4} – \frac{1}{6} = \dfrac{3}{4}$
25. $1$ 부터 $11$ 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $2$개의 수를 선택한다. 선택한 $2$개의 수 중 적어도 하나가 $7$ 이상의 홀수일 확률은? [3점]
① $\frac{23}{55}$
② $\frac{24}{55}$
③ $\frac{5}{11}$
④ $\frac{26}{55}$
⑤ $\frac{27}{55}$
⑤
$11$ 이하의 자연수 중에서 $7$ 이상의 홀수는 $7$, $9$, $11$이므로 다음의 경우로 나누 어 생각할 수 있다.
(ⅰ) 선택한 $2$개의 수 중 $1$개의 수만 $7$ 이상의 홀수인 경우
나머지 하나는 $11$개의 자연수 중 $3$개를 제외한 $8$개 중에서 하나를 선택해야 하므로 이 사건의 확률은
$\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{8}\mathrm{C}_{1}}{{}_{11}\mathrm{C}_{2}}$
$=\dfrac{3 \times 8}{ \frac{11 \times 10}{2}}$ $=\frac{24}{55}$
(ⅱ) 선택한 $2$개의 수 모두 $7$ 이상의 홀수인 경우
이 사건의 확률은
$\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{11}\mathrm{C}_{2}}$
$=\dfrac{\frac{3 \times 2}{2}}{ \frac{11 \times 10}{2}}$ $=\frac{3}{55}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 사건의 확률은
$\frac{24}{55} + \frac{3}{55} = \dfrac{27}{55}$
구하는 사건의 여사건은 $7$, $9$, $11$을 제외한 $8$개의 수 중에서 $2$개를 선택하는 사건이므로 구하는 사건의 확률은
$1 – \dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2}}{{}_{11}\mathrm{C}_{2}}$
$=1 – \dfrac{\frac{8 \times 7}{2}}{ \frac{11 \times 10}{2}}$ $=1 – \frac{28}{55} = \dfrac{27}{55}$
26. 정규분포 $\mathrm{N}(m,\, 6^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $9$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을$\overline{X}$, 정규분포 $\mathrm{N}(6,\, 2^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $4$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{Y}$라 하자. $\mathrm{P}(\overline{X} \le 12) + \mathrm{P}(\overline{Y} \ge 8) = 1$이 되도록 하는 $m$의 값은? [3점]
① $5$
② $\frac{13}{2}$
③ $8$
④ $\frac{19}{2}$
⑤ $11$
③
정규분포 $\mathrm{N}(m,\, 6^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $9$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 $\overline{X}$에 대하여
$\mathrm{E}(\overline{X}) = \mathrm{E}(X) = m$,
$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3}= 2$
이다. 그러므로 확률변수 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}(m,\, 2^2)$을 따르고, $Z_{1} = \frac{\overline{X} – m}{2}$으로 놓으면 확률변수 $Z_{1}$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,\, 1)$을 따른다.
정규분포 $\mathrm{N}(6,\, 2^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $4$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 $\overline{Y}$에 대하여
$\mathrm{E}(\overline{Y}) = \mathrm{E}(Y) = 6$,
$\sigma(\overline{Y}) = \frac{\sigma(Y)}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2}= 1$
이다. 그러므로 확률변수 $\overline{Y}$는 정규분포 $\mathrm{N}(6,\, 1^2)$을 따르고, $Z_{2} = \frac{\overline{Y} – 6}{1}$으로 놓으면 확률변수 $Z_{2}$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,\, 1)$을 따른다.
$\mathrm{P}(\overline{X} \le 12) + \mathrm{P}(\overline{Y} \ge 8) = 1$에서
$\mathrm{P}\left(Z_{1} \le \frac{12 – m}{2} \right) + \mathrm{P}\left(Z_{2} \ge \frac{8 – 6}{1} \right) = 1$
$\mathrm{P}\left(Z_{1} \le \frac{12 – m}{2} \right) + \mathrm{P}\left(Z_{2} \ge 2 \right) = 1$
$\mathrm{P}\left(Z_{1} \le \frac{12 – m}{2} \right) = 1 – \mathrm{P}\left(Z_{2} \ge 2 \right)$ $= \mathrm{P}\left(Z_{2} \le 2 \right)$
이때 두 확률변수 $Z_{1}$, $Z_{2}$는 모두 표준정규분포를 따르므로 $\frac{12 – m}{2} = 2$
따라서 $m = 8$
27. 이산확률변수 $X$가 가지는 값이 $0$ 부터 $4$ 까지의 정수이고 $$\mathrm{P}(X = k) = \mathrm{P}(X = k+2)\,\:(k = 0, 1, 2)$$ 이다. $\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{35}{6}$일 때, $\mathrm{P}(X = 0)$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{24}$
② $\frac{1}{12}$
③ $\frac{1}{8}$
④ $\frac{1}{6}$
⑤ $\frac{5}{24}$
④
$k = 0$, $k = 2$일 때, $\mathrm{P}(X = 0) = \mathrm{P}(X = 2) = \mathrm{P}(X = 4)$
$k = 1$일 때, $\mathrm{P}(X = 1) = \mathrm{P}(X = 3)$
$\mathrm{P}(X = 0) = a$, $\mathrm{P}(X = 1) = b$라 할 때, 이산확률변수 $X$의 확률분포를 표로
나타내면 다음과 같다. 확률변수 $X$가 갖는 모든 값에 대한 확률의 합은 $1$이므로
$3a+2b = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\mathrm{E}(X^2) = 0^2 \times a + 1^2 \times b +2^2 \times a +3^2 \times b + 4^2 \times a$
이고
$\mathrm{E}(X^2) = \frac{35}{6}$이므로
$20a + 10b = \frac{35}{6}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$a=\frac{1}{6}$, $b=\frac{1}{4}$
따라서 $\mathrm{P}(X = 0)=\dfrac{1}{6}$
28. 집합 $X = \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4 \}$에 대하여 $f : X \to X$인 모든 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 함수 $f$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$가 짝수일 확률은? [4점]
$a \in X$, $b \in X$에 대하여
$a$가 $b$의 약수이면 $f(a)$는 $f(b)$의 약수이다.
① $\frac{9}{19}$
② $\frac{8}{15}$
③ $\frac{3}{5}$
④ $\frac{27}{40}$
⑤ $\frac{19}{25}$
④
$f : X \to X$인 모든 함수 $f$ 중에서 임의로 선택한 함수 $f$가 조건을 만족시키는 사건을 $A$, $f(4)$가 짝수인 사건을 $B$라하면 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
이다. 한편, $a$가 $b$의 약수이면 $b$는 $a$의 배수이므로 주어진 조건을 다음과 같이 해석할 수 있다.
“$a \in X$, $b \in X$에 대하여 $b$가 $a$의 배수이면 $f(b)$는 $f(a)$의 배수이다.”
이때 다음의 경우로 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) $f(1) = 4$인 경우
$2$, $3$, $4$ 모두 $1$의 배수이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ 모두 $f(1)$인 $4$의 배수이어야 한다. $4$의 배수인 $X$의 원소는 $4$ 뿐이므로
$f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 4$
이어야 한다.
이 경우 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $1$이고, $f(4)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $1$이다.
(ⅱ) $f(1) = 3$인 경우
$2$, $3$, $4$ 모두 $1$의 배수이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ 모두 $f(1)$인 $3$의 배수이어야 한다. $3$의 배수인 $X$의 원소는 $3$ 뿐이므로
$f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 3$
이어야 한다.
이 경우 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $1$이고, $f(4)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는 $0$이다.
(ⅲ) $f(1) = 2$인 경우
$2$는 $1$의 배수이므로 $f(2)$는 $f(1)$인 $2$의 배수이어야 한다. $2$의 배수인 $X$의 원소는 $2$, $4$이므로
$f(2) = 2$ 또는 $f(2) = 4$
이다. 이때 각각의 경우에 대하여 $f(4)$는 $f(2)$의 배수이어야 하므로 $f(2)$와 $f(4)$의 순서쌍 $(f(2), \,f(4))$는
$(2,\, 2)$, $(2,\, 4)$, $(4,\, 4)$
이다.
한편, 위의 각각의 경우에 대하여
$f(3) = 2$ 또는 $f(3) = 4$
이므로 이 경우 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는
$3 \times 2 = 6$
이고, $f(4)$가 짝수인 함수 $f$의 개수도 $6$이다.
(ⅳ) $f(1) = 1$인 경우
$2$는 $1$의 배수이므로 $f(2)$는 $f(1)$인 $1$의 배수이어야 한다. 즉, $f(2)$는 $1$ 또는 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$이다. 이때 각각의 경우에 대하여 $f(4)$는 $f(2)$의 배수이어야 하므로 $f(2)$와 $f(4)$의 순서쌍 $(f(2), \,f(4))$는
$(1,\, 1)$, $(1,\, 2)$, $(1,\, 3)$, $(1,\, 4)$,
$(2,\, 2)$, $(2,\, 4)$,
$(3,\, 3)$,
$(4,\, 4)$
이다.
한편, 위의 각각의 경우에 대하여 $f(3)$은 $1$ 또는 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$이므로 이 경우 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는
$(4+2+1+1) \times 4 = 32$
이고, $f(4)$가 짝수인 함수 $f$의 개수는
$(2+2+1) \times 4 = 20$
이다.
(ⅰ)~(ⅳ)에서
$n(A) = 1 + 1 + 6 + 32 = 40$
$n(A \cap B) = 1 + 6 + 20 = 27$
이므로
$\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
$= \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \dfrac{27}{40}$

29. 수직선의 원점에 점 $\mathrm{A}$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가
$4$ 이하이면 점 $\mathrm{A}$를 양의 방향으로 $1$ 만큼 이동시키고,
$5$ 이상이면 점 $\mathrm{A}$를 음의 방향으로 $1$ 만큼 이동시킨다.
이 시행을 $16200$ 번 반복하여 이동된 점 $\mathrm{A}$의 위치가 $5700$ 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$라 하자. $1000 \times k$의 값을 구하시오. [4점]

$994$
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $4$ 이하일 확률은 $\frac{2}{3}$, $5$ 이상일 확률은 $\frac{1}{3}$이므로 주사위를 $16200$번 던졌을 때 $5$ 이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 확률변수 $X$는 이항분포 $\mathrm{B}\left(16200,\, \frac{1}{3} \right)$을 따르고,
$\mathrm{E}(X) = 16200 \times \frac{1}{3} = 5400$
$\mathrm{V}(X) = 16200 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 3600 = 60^2$
이다. 이때 $16200$은 충분히 큰 수이므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(5400, \,60^2)$을 따른다.
점 $\mathrm{A}$의 위치가 $5700$ 이하이려면 주사위를 던져 나온 눈의 수가 $4$ 이하인 횟수에서 $5$ 이상인 횟수를 뺀 값이 $5700$ 이하이어야 하므로
$(16200 – X) – X \le 5700$
$X \ge 5250$
따라서 구하는 확률을 표준정규분포표를 이용해 구한 값 $k$는
$k = \mathrm{P}(X \ge 5250)$
$= \mathrm{P}\left(Z \ge \frac{5250 – 5400}{60} \right)$
$= \mathrm{P}\left(Z \ge -2.5 \right)$
$= \mathrm{P}\left(-2.5 \le Z \le 0 \right) + \mathrm{P}\left(Z \ge 0 \right)$
$= \mathrm{P}\left(0 \le Z \le 2.5 \right) + \mathrm{P}\left(Z \ge 0 \right)$
$= 0.494 + 0.5$
$=0.994$
따라서 $1000 \times k = 1000 \times 0.994 = 994$
30. 흰 공 $4$개와 검은 공 $4$개를 세 명의 학생 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [4점]
(가) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수는 $0$ 이상 $2$ 이하이다.
(나) 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수는 $2$ 이상이다.
$93$
조건 (가)에서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수는 $0$ 또는 $1$ 또는 $2$이다.
(i) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$일 때,
흰 공 $4$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김 없이 나누어 주는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{4} = {}_{2+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{4} = 5$
이고, 이 각각에 대하여 검은 공 $4$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{4} = 5$이다.
이 중에서 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 수는 $1$이고, 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $1$인 경우는 흰 공 $1$개를 받는 경우 또는 검은 공 $1$개를 받는 경우에서 그 경우의 수가 $2$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우의 수는 $3$이다.
따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$일 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는
$5 \times 5 – 3 = 22$
이다.
(ii) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$일 때,
학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $1$개를 받는다고 하면, 이러한 경우의 수는 $1$이다.
이때 남은 흰 공 $3$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{3} = {}_{2+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{4}\mathrm{C}_{3} = 4$
이고, 이 각각에 대하여 검은 공 $4$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{4} = 5$이다.
이 중에서 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우의 수는 (i)과 마찬가지의 방법으로 $3$이다.
그러므로 학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $1$개를 받을 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는 $1 \times 4 \times 5 – 3 = 17$이다.
마찬가지 방법으로 학생 $\mathrm{A}$가 검은 공 $1$개를 받을 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는 $17$이다.
따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$일 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는 $17 + 17 = 34$이다.
(iii) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$일 때,
(iii-1) 학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $2$개를 받는 경우
학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $2$개를 받는 경우의 수는 $1$이다.
이때 남은 흰 공 $2$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{2} = {}_{2+2-1}\mathrm{C}_{2} = {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
이고, 이 각각에 대하여 검은 공 $4$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{4} = 5$이다.
이 중에서 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우의 수는 (i)과 마찬가지의 방법으로 $3$이다.
그러므로 학생 $\mathrm{A}$가 흰 공$2$개를 받을 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는 $1 \times 3 \times 5 -3 = 12$이다.
(iii-2) 학생 $\mathrm{A}$가 검은 공 $2$개를 받는 경우
(iii-1)과 마찬가지의 방법으로 이 경우의 수는 $12$이다.
(iii-3) 학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 받는 경우
학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 받는 경우의 수는 $1$이다.
이때 남은 흰 공 $3$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{3} = 4$이고, 이 각각에 대하여 검은 공 $3$개를 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{2}\mathrm{H}_{3} = 4$이다.
이 중에서 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우의 수는 (i)과 마찬가지의 방법으로 $3$이다.
그러므로 학생 $\mathrm{A}$가 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 받을 때, 조건 (나)를 만족시키는 경우의 수는
$1 \times 4 \times 4 -3 = 13$이다.
따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$일 때의 경우의 수는
$12 + 12 + 13 = 37$이다.
(i), (ii), (iii)에서 구하는 경우의 수는
$22 + 34 + 37 = 93$
수학 영역(미적분)
24. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$가 있다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \,f(t))$에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{1}{t} + 4e^{2t}$ 이다. $f(1)=2e^{2}+1$일 때, $f(e)$의 값은? [3점]
① $2e^{2e}-1$
② $2e^{2e}$
③ $2e^{2e}+1$
④ $2e^{2e}+2$
⑤ $2e^{2e}+3$
④
양수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \,f(t))$에서의 접선의 기울기가
$\frac{1}{t} + 4e^{2t}$이므로
$f'(t) = \frac{1}{t} + 4e^{2t}$
이다. 즉, 양수 $x$에 대하여
$f'(x) = \frac{1}{x} + 4e^{2x}$
이므로
$f(x) = \int \left( \frac{1}{x} + 4e^{2x} \right)dx$
$= \ln x + 2e^{2x} + C$ ($C$는 적분상수)
이때, $f(1)=2e^{2}+1$이므로
$\ln 1 + 2e^{2} + C = 2e^{2}+1$
$C = 1$
따라서
$f(x) = \ln x + 2e^{2x} + 1$
이므로
$f(e) = \ln e + 2e^{2e} + 1$ $=1 + 2e^{2e} + 1 = 2e^{2e} + 2$
25. 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$\lim_{n \to \infty}\frac{4^{n} \times a_{n} - 1}{3 \times 2^{n+1}} = 1$$ 일 때, $a_{1} + a_{2}$의 값은? [3점]
① $\frac{3}{2}$
② $\frac{5}{2}$
③ $\frac{7}{2}$
④ $\frac{9}{2}$
⑤ $\frac{11}{2}$
④
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$이라 하면
$a_{n} = a_{1} \times r^{n-1}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4^{n} \times a_{n} – 1}{3 \times 2^{n+1}} = 1$에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4^{n} \times a_{n} – 1}{3 \times 2^{n+1}}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}} = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
(ⅰ) $| r | < \frac{1}{2}$일 때,
㉠에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times (2r)^{n-1} – \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{6}$
이때,
$| 2r | < 1$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2r)^{n-1} = 0$
이다. 즉, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times (2r)^{n-1} – \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{6} = 0$
이므로 ㉠을 만족시키지 못한다.
(ⅱ) $| r | > \frac{1}{2}$일 때
㉠에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times (2r)^{n-1} – \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{6}$
이때,
$| 2r | > 1$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(2r)^{n-1}$의 값이 존재하지 않는다.
즉, ㉠을 만족시키지 못한다.
(ⅲ) $r = \frac{1}{2}$일 때
㉠에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} – \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{6}$
$=\dfrac{a_1}{3}$
이므로
$\frac{a_1}{3} = 1$
$a_1 = 3$
(ⅳ) $r = -\frac{1}{2}$일 때
㉠에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times r^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{1} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} – \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times \left(-1\right)^{n-1} – \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{6}$
이때,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(-1)^{n-1}$의 값이 존재하지 않으므로 ㉠을 만족시키지 못한다.
(ⅰ) ~ (ⅳ)에서
$a_{1}=3$ $r = \frac{1}{2}$
따라서
$a_{2}=3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
이므로
$a_{1} + a_{2} =3 + \frac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$이라 하면
$a_{n} = a_{1} \times r^{n-1}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4^{n} \times a_{n} – 1}{3 \times 2^{n+1}} = 1$에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4^{n} \times a_{n} – 1}{3 \times 2^{n+1}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n} \times a_{n} – \frac{1}{2^n}}{6}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n} \times a_{1}r^{n-1} – \frac{1}{2^n}}{6}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times (2r)^{n-1} – \frac{1}{2^n}}{6}$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} \times (2r)^{n-1} – \frac{1}{2^n}}{6}$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n} = 0$이고 ㉠에서 $0$이 아닌 극한값이 존재하므로
$2r = 1$, 즉 $r = \frac{1}{2}$
㉠에 $r = \frac{1}{2}$을 대입하면
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{1} – \frac{1}{2^n}}{6} = \frac{a_1}{3} = 1$
$a_1 = 3$
따라서 $a_{n} = 3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$ 이므로
$a_2 = \frac{3}{2}$
이고
$a_{1} + a_{2} =3 + \frac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$
26. 그림과 같이 곡선 $y=2x\sqrt{x \sin x^2}$ ($0 \le x \le \sqrt{\pi}$)와 $x$ 축 및 두 직선 $x = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$, $x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 반원일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① $\frac{\pi^{2} + 6 \pi}{48}$
② $\frac{\sqrt{2}\pi^{2} + 6 \pi}{48}$
③ $\frac{\sqrt{3}\pi^{2} + 6 \pi}{48}$
④ $\frac{\sqrt{2}\pi^{2} + 12 \pi}{48}$
⑤ $\frac{\sqrt{3}\pi^{2} + 12 \pi}{48}$
③
$\sqrt{\frac{\pi}{6}} \le t \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}$인 실수 $t$에 대하여 직선 $x=t$를 포함하고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(t)$라 하면
$S(t) = \frac{\pi}{2} t^{3} \sin t^2$
따라서 구하는 입체도형의 부피는
$\int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}S(t)dt$
$=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\frac{\pi}{2} t^{3} \sin t^{2} dt$
$=\frac{\pi}{2} \int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}t^{3} \sin t^{2} dt$
이때 $t^{2} = u$라하면
$t = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$일 때 $u = \frac{\pi}{6}$,
$t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$일 때 $u = \frac{\pi}{2}$이고
$2t = \frac{du}{dt}$이므로
$\frac{\pi}{2} \int_{\sqrt{\frac{\pi}{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}t^{3} \sin t^{2} dt$
$=\frac{\pi}{4} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}u \sin u du$
$=\frac{\pi}{4}\left( \left[ -u \cos u \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos u du \right)$
$=\frac{\pi}{4}\left( \frac{\pi}{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \left[ \sin u \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \right)$
$=\frac{\pi}{4}\left( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi + 1 – \frac{1}{2} \right)$
$=\dfrac{\sqrt{3}\pi^{2} + 6 \pi}{48}$
27. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x) + f\left(\dfrac{1}{2} \sin x \right) = \sin x$$ 를 만족시킬 때, $f'(\pi)$의 값은? [3점]
① $-\frac{5}{6}$
② $-\frac{2}{3}$
③ $-\frac{1}{2}$
④ $-\frac{1}{3}$
⑤ $-\frac{1}{6}$
②
주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$f'(x) + f’\left(\frac{1}{2} \sin x \right) \times \frac{1}{2}\cos x = \cos x$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에 $x = \pi$를 대입하면
$f'(\pi) + f’\left(0 \right) \times \left( -\frac{1}{2} \right) = -1$
$f'(\pi) – -\frac{1}{2}f'(0) = -1$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠에 $x=0$을 대입하면
$f'(0) + f’\left(0 \right) \times \frac{1}{2} = 1$, $\frac{3}{2}f'(0) = 1$
따라서 $f'(0) = \frac{2}{3}$이므로 ㉡에 대입하면
$f'(\pi) – \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = -1$
$f'(\pi) = -1 +\frac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}$
28. 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖고, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$를 $$g(x) = f'(2x) \sin \pi x + x$$ 라 하자. 함수 $g(x)$는 역함수 $g^{-1}(x)$를 갖고, $$\int_{0}^{1}g^{-1}(x)dx = 2\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4}$$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)\cos \frac{\pi}{2}x dx$의 값은? [4점]
① $-\frac{1}{\pi}$
② $-\frac{1}{2\pi}$
③ $-\frac{1}{3\pi}$
④ $-\frac{1}{4\pi}$
⑤ $-\frac{1}{5\pi}$
③
$g(0) = f'(0) \sin 0 + 0 = 0$
$g(1) = f'(2) \sin \pi + 1 = 1$이므로
$\int_{0}^{1}g(x)dx + \int_{g(0)}^{g(1)}g^{-1}(x)dx$
$=\int_{0}^{1}g(x)dx + \int_{0}^{1}g^{-1}(x)dx$
$= 1 \times 1 – 0 \times 0 = 1$
따라서
$\int_{0}^{1}g(x)dx + \int_{0}^{1}g^{-1}(x)dx = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에
$g(x) = f'(2x)\sin \pi x + x$
$\int_{0}^{1}g^{-1}(x)dx = 2\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx + \frac{1}{4}$
을 대입하면
$\int_{0}^{1}\{ f'(2x)\sin \pi x + x \}dx + 2\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx + \frac{1}{4} = 1$
$3\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx + \left[\frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{4} = 1$
$3\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx = 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$ $= \frac{1}{4}$
따라서
$\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx = \frac{1}{12}$ $\cdots\cdots$ ㉡
한편, $\int_{0}^{2}f(x)\cos \frac{\pi}{2} x dx$에서
$x = 2t$라 하면 $\frac{dx}{dt} = 2$이고
$x=0$일 때 $t=0$, $x=2$일 때 $t=1$이므로
$\int_{0}^{2}f(x)\cos \frac{\pi}{2} x dx = 2\int_{0}^{1}f(2t)\cos \pi t dt$
$u(t) = f(2t)$, $v(t) = \frac{1}{\pi} \sin \pi t$로 놓으면
$u'(t) = 2f'(2t)$, $v'(t) = \cos \pi t$이므로
$2\int_{0}^{1}f(2t)\cos \pi t dt$
$=2\left[ \frac{1}{\pi} f(2t) \sin \pi t \right]_{0}^{1} – \frac{4}{\pi}\int_{0}^{1}f'(2t)\sin \pi t dt$
$=0 – \frac{4}{\pi}\int_{0}^{1}f'(2t)\sin \pi t dt$
$= – \frac{4}{\pi}\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx$
이므로 ㉡에서
$\int_{0}^{2}f(x)\cos \frac{\pi}{2} x dx$ $= – \frac{4}{\pi}\int_{0}^{1}f'(2x)\sin \pi x dx$
$= – \frac{4}{\pi} \times \frac{1}{12} = -\dfrac{1}{3\pi}$

29. 수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$m$항까지의 합을 $S_m$이라 하자. 모든 자연수 $m$에 대하여
$$S_{m} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{m+1}{n(n+m+1)}$$
일 때, $a_{1} + a_{10} = \dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$57$
$S_{m} =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{m+1}{n(n+m+1)}$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+m+1} \right)$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+m+1} \right)$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \left( 1 – \frac{1}{m+2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{m+3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{m+n+1} \right) \right\}$
따라서
$S_1 = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \left( 1 – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \right\}$
$= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
이므로
$a_1 = S_1 = \frac{3}{2}$
또한
$S_9 = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \left( 1 – \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{12} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+10} \right) \right\}$
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{10}$
$S_{10} = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \left( 1 – \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{13} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+11} \right) \right\}$
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{10} + \frac{1}{11}$
$= S_9 + \frac{1}{11}$
이므로
$a_{10} = S_{10 – S_9}$
$= \left( S_9 + \frac{1}{11} \right) – S_9 = \frac{1}{11}$
따라서 $a_1 + a_{10} = \frac{3}{2} + \frac{1}{11} = \dfrac{35}{22}$
이므로 $p=22$, $q = 35$
$p+q = 57$
30. 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = (k - | x |)e^{-x}$$ 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $F(x)$에 대하여 $F(0)$의 최솟값을 $g(k)$라 하자.
모든 실수 $x$에 대하여 $F'(x) = f(x)$이고 $F(x) \ge f(x)$이다.
$g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{2} \right) = pe + q$일 때, $100(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x} = 0$이고, $p$와 $q$는 유리수이다.) [4점]
$25$
$x$의 범위에 따라 함수
$f(x) = \begin{cases} (k-x)e^{-x} & (x \ge 0) \\ (k+x)e^{-x} & (x < 0) \end{cases}$
의 한 부정적분을 구하면
$F(x) = \begin{cases} (x-k+1)e^{-x}+C_{1} & (x \ge 0) \\ (-x-k-1)e^{-x} + C_{2} & (x < 0) \end{cases}$
(단, $C_1$, $C_2$는 적분상수)
이때, 함수 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하므로 $x=0$에서 $F(x)$는 연속이다. 즉, $\displaystyle \lim_{x \to 0+}F(x) = \lim_{x \to 0-}F(x)$에서
$C_2 = C_1 +2$
$g(k)$를 $F(0)$의 최솟값으로 정의하였으므로
$F(0)= -k + 1 + C_1$ $\cdots\cdots$ ㉠
의 최솟값이 $g(k)$이다.
함수 $h(x) = F(x) -f(x)$라 하면
$h(x) = \begin{cases} (2x-2k+1)e^{-x}+C_1 & (x \ge 0) \\ (-2x-2k-1)e^{-x}+C_{1}+2 & (x < 0) \end{cases}$
이고
$h'(x) = \begin{cases} (-2x+2k+1)e^{-x} & (x > 0) \\ (2x+2k-1)e^{-x} & (x < 0) \end{cases}$
이므로 $h'(x)=0$에서
$x \ge 0$일 때 $x=\frac{2k+1}{2}$
이고
$x < 0$일 때 $x=\frac{1-2k}{2}$
이때 $\frac{1-2k}{2} \ge 0$이면 $x < 0$에서 $h'(x) < 0$이므로 $x=0$과 $x=\frac{2k+1}{2}$의 좌우에서 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면또한, $\frac{1-2k}{2} < 0$일 때 $x=\frac{2k+1}{2}$과 $x=\frac{1-2k}{2}$의 좌우에서 $h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면
또, $h(0) = -2k+1+C_1$이고
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}h(x) = C_1$, $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}h(x) = \infty$
이므로
$\frac{1-2k}{2}$의 부호에 따라 $C_1$의 범위를 정하여 $F(0)$의 최솟값을 구하면
ⅰ) $\frac{1-2k}{2} \ge 0$일 때 $x=0$에서 극솟값 $h(0)$을 갖고 $1-2k \ge 0$이므로
$h(0) = -2k+1+C_1 \ge C_{1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty}h(x)$
그런데 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) \ge f(x)$이므로 $h(x) \ge 0$에서 $C_{1} \ge 0$이다.
즉, ㉠에서 $F(0)= -k + 1 + C_{1} \ge -k+1$
ⅱ) $\frac{1-2k}{2} < 0$일 때
$x=\frac{1-2k}{2}$일 때 $h(x)$의 극솟값은 $h\left( \frac{1-2k}{2} \right) = -2e^{\frac{2k-1}{2}}+C_{1}+2$이다.
$\frac{1-2k}{2} < 0$에서 $(e^{-1})^{\frac{1-2k}{2}} > (e^{-1})^{0} = 1$이므로
$-2e^{\frac{2k-1}{2}}+C_{1}+2 \le C_1$
그러므로 $-2e^{\frac{2k-1}{2}}+C_{1}+2$은 $h(x)$의 최솟값이다.
그런데 $F(x) \ge f(x)$에서 $h\left( \frac{1-2k}{2} \right) \ge 0$이므로 $-2e^{\frac{2k-1}{2}}+C_{1}+2 \ge 0$
즉, $F(0) = -k + 1 + C_{1} \ge -k + 2e^{\frac{2k-1}{2}}-1$
그런데 $g(k)$는 $F(0)$의 최솟값이므로
$g(k) = \begin{cases} -k+1 & \left( 0 < k \le \frac{1}{2} \right) \\ -k + 2e^{\frac{2k-1}{2}}-1 & \left( k > \frac{1}{2} \right) \end{cases}$
그러므로
$g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{2} \right)$ $=\frac{3}{4} + \left( -\frac{3}{2} \right) + 2e -1 = pe + q$
$2e – \frac{7}{4}= pe + q$에서 $p=2$, $q=- \frac{7}{4}$
따라서 $100(p+q)=25$
수학 영역(기하)

23. 두 벡터 $\overrightarrow{a} = (4,\, 0)$, $\overrightarrow{b} = (1,\, 3)$에 대하여 $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (9,\, k)$일 때, $k$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
24. 타원 $\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점 사이의 거리가 $6$일 때, $b^2$의 값은? (단, $0 < b < 4$) [3점]
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
25. 좌표공간의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}(a,\, b, -5)$, $\mathrm{B}(-8,\, 6,\, c)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 $zx$ 평면 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이 $y$ 축 위에 있을 때, $a+b+c$의 값은? [3점]
① $-8$
② $-4$
③ $0$
④ $4$
⑤ $8$
⑤
두 점 $\mathrm{A}(a,\, b, -5)$, $\mathrm{A}(-8,\, 6,\, c)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 $zx$평면 위에 있으므로 중점의 $y$좌표는 $0$이다. 즉, $\frac{b+6}{2} = 0$이므로 $b= -6$
또, 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이 $y$축 위에 있으므로 내분하는 점의 $x$좌표와 $z$좌표는 $0$이다. 즉,
$\frac{1 \times (-8)+2 \times a}{1+2} = 0$, $\frac{1 \times c + 2 \times (-5)}{1+2} = 0$
이므로
$a=4$, $c=10$
따라서 $a+b+c = 4 + (-6) + 10 = 8$
26. 좌표평면에서 점 $(1, \,0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $6$인 원을 $C$라 하자. 포물선 $y^2 =4x$ 위의 점 $(n^2, \,2n)$에서의 접선이 원 $C$와 만나도록 하는 자연수 $n$의 개수는? [3점]
① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$
27. 그림과 같이 한 변의 길이가 각각 $4$, $6$인 두 정사각형 $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{EFGH}$를 밑면으로 하고 $$\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{CG}} = \overline{\mathrm{DH}}$$ 인 사각뿔대 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$가 있다. 사각뿔대 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$의 높이가 $\sqrt{14}$일 때, 사각형 $\mathrm{AEHD}$의 평면 $\mathrm{BFGC}$ 위로의 정사영의 넓이는? [3점]

① $\frac{10}{3}\sqrt{15}$
② $\frac{11}{3}\sqrt{15}$
③ $4\sqrt{15}$
④ $\frac{13}{3}\sqrt{15}$
⑤ $\frac{14}{3}\sqrt{15}$
④
선분 $\mathrm{BC}$를 지나고 사각형 $\mathrm{AEHD}$와 평행한 평면이 두 선분 $\mathrm{EF}$, $\mathrm{HG}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{E}’$, $\mathrm{H}’$이라 하자.
점 $\mathrm{B}$에서 두 선분 $\mathrm{E’H’}$, $\mathrm{FG}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}_1$, $\mathrm{I}_2$라 하고, 사각형 $\mathrm{AEHD}$와 평면 $\mathrm{BFGC}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta = \angle \mathrm{I_{1}BI_{2}}$
$\overline{\mathrm{BI_{1}}} = \overline{\mathrm{BI_{2}}}$, $\overline{\mathrm{I_{1}I_{2}}} = 6 – 4 = 2$
이등변삼각형 $\mathrm{I_{1}BI_{2}}$의 꼭짓점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{I_{1}I_{2}}$에 내린 수선을 발을 $\mathrm{M}$이라 하면
$\overline{\mathrm{BM}} = \sqrt{14}$, $\overline{\mathrm{I_{1}M}} = \overline{\mathrm{I_{2}M}} = 1$
직각삼각형 $\mathrm{BI_{1}M}$에서 피타고라스 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{BI_{2}}} = \overline{\mathrm{BI_{1}}} = \sqrt{\overline{\mathrm{BM}}^2 + \overline{\mathrm{I_{1}M}}^2}$ $=\sqrt{(\sqrt{14})^2 + 1^2} = \sqrt{15}$
삼각형 $\mathrm{BI_{1}I_{2}}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos \theta = \dfrac{\overline{\mathrm{BI_1}}^2 + \overline{\mathrm{BI_2}}^2 – \overline{\mathrm{I_{1}I_2}}^2}{2 \times \overline{\mathrm{BI_1}} \times \overline{\mathrm{BI_2}}}$
$= \dfrac{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{15})^2 – 2^2}{2 \times \sqrt{15} \times \sqrt{15}}$ $=\dfrac{13}{15}$
한편, 사다리꼴 $\mathrm{AEHD}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times (\overline{\mathrm{AD}} + \overline{\mathrm{EH}}) \times \overline{\mathrm{BI_1}}$
$=\frac{1}{2} \times (4 + 6) \times \sqrt{15} = 5\sqrt{15}$
따라서 사각형 $\mathrm{AEHD}$의 평면 $\mathrm{BFGC}$ 위로의 정사영의 넓이는
$5\sqrt{15} \times \cos \theta = 5\sqrt{15} \times \frac{13}{15}$ $=\dfrac{13}{3}\sqrt{15}$
28. 좌표공간에 두 점 $\mathrm{A}(a, \,0, \, 0)$, $\mathrm{B}(0, \,10\sqrt{2}, \, 0)$과 구 $S : x^2 + y^2 + z^2 =100$이 있다. $\angle \mathrm{APO} = \dfrac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형을 $C_1$, $\angle \mathrm{BQO} = \frac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형을 $C_2$라 하자. $C_1$과 $C_2$가 서로 다른 두 점 $\mathrm{N}_1$, $\mathrm{N}_2$에서 만나고 $\cos(\angle \mathrm{N_{1}ON_{2}}) = \dfrac{3}{5}$일 때, $a$의 값은? (단, $a > 10\sqrt{2}$이고, $\mathrm{o}$는 원점이다.) [4점]
① $\frac{10}{3}\sqrt{30}$
② $\frac{15}{4}\sqrt{30}$
③ $\frac{25}{6}\sqrt{30}$
④ $\frac{55}{12}\sqrt{30}$
⑤ $5\sqrt{30}$

①
$\angle \mathrm{APO} = \frac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 도형 $C_1$과 $\angle \mathrm{BPO} = \frac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형 $C_2$는 각각 $x$축과 $y$축에 중심이 있는 원이고 선분 $\mathrm{N_{1}N_2}$는 원 $C_1$의 현이다.
원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 원 $C_1$의 반지름의 길이는 $\mathrm{PH}$이다.직각삼각형 $\mathrm{OPA}$에서 구 $S$의 반지름의 길이는 $10$이므로 $\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{a^2 – 100}$
$\overline{\mathrm{PH}} = 10 \sin (\angle \mathrm{POA}) = \frac{10\sqrt{a^2 – 100}}{a}$
삼각형 $\mathrm{ON_{1}N_2}$에서 $\overline{\mathrm{ON_1}} = \overline{\mathrm{ON_2}} = 10$이므로 코사인법칙에 의해서
$\overline{\mathrm{N_{1}N_2}}^{2} = 10^2 + 10^2 -2 \times 10^2 \cos (\angle \mathrm{N_{1}ON_2})$
$= 200 \left( 1-\frac{3}{5} \right) = 80$
즉, $\overline{\mathrm{N_{1}N_2}}=\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$
선분 $\mathrm{N_{1}N_2}$와 $xy$평면이 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하면 $\overline{\mathrm{N_{1}R}} = 2\sqrt{5}$
원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{K}$라 하면 원 $C_2$의 반지름의 길이는 $\overline{\mathrm{QK}}$이다.
직각삼각형 $\mathrm{OQB}$에서 구 $S$의 반지름의 길이는 $10$이므로
$\overline{\mathrm{BQ}} = \sqrt{(10\sqrt{2})^{2} – 100} = 10$
그러므로 $\angle \mathrm{QOB} = \angle \mathrm{QBO} = \frac{\pi}{4}$이고
$\overline{\mathrm{QK}} = \overline{\mathrm{OK}} = 10 \sin (\angle \mathrm{QOB})$ $= 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$
그런데 $\overline{\mathrm{OK}}$는 원 $C_1$의 중심에서 현 $\mathrm{N_{1}N_2}$ 까지의 거리와 같으므로
$\overline{\mathrm{HR}} = 5\sqrt{2}$
그러므로 직각삼각형 $\mathrm{N_{1}HR}$ 에서
$\overline{\mathrm{N_{1}H}} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{5})^2}$
그런데 $\overline{\mathrm{N_{1}H}}$는 원 $C_1$의 반지름이므로
$\overline{\mathrm{N_{1}H}} = \overline{\mathrm{PH}}$이다.
즉, $\overline{\mathrm{PH}}^{2} = \overline{\mathrm{N_{1}H}}^{2}$에서
$\left( \frac{10\sqrt{a^{2}-100}}{a} \right)^2 = 70$
$100(a^2 – 100) = 70a^2$
$30a^2 = 10000$
$a = \frac{10\sqrt{30}}{3}$ 또는 $a = -\frac{10\sqrt{30}}{3}$
따라서 $a = \frac{10\sqrt{30}}{3}$

29. 그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(4,\, 0)$, $\mathrm{F}'(-4,\, 0)$을 초점으로 하는 쌍곡선 $C : \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이 있다. 점 $\mathrm{F}$를 초점으로 하고 $y$축을 준선으로 하는 포물선이 쌍곡선 $C$와 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, $\overline{\mathrm{PH}} : \overline{\mathrm{HF}} = 3 : 2\sqrt{2}$이다. $a^{2}\times b^2$의 값을 구하시오. (단, $a > b > 0$) [4점]

$63$
$\overline{\mathrm{PH}} : \overline{\mathrm{HF}} = 3 : 2\sqrt{2}$이므로
$\overline{\mathrm{PH}} = 3k$, $\overline{\mathrm{HF}} = 2\sqrt{2}k$ ($k > 0$)이라 하자.
점 $\mathrm{P}$는 $y$축을 준선으로 하는 포물선 위의 점이므로 포물선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PH}} = 3k$
삼각형 $\mathrm{HPF}$에서 $\angle \mathrm{HPF} = \theta$라 하면 코사인법칙에 의하여
$\cos \theta = \dfrac{\overline{\mathrm{PH}}^{2} + \overline{\mathrm{PF}}^{2} – \overline{\mathrm{HF}}^{2}}{2 \times \overline{\mathrm{PH}} \times \overline{\mathrm{PF}}}$
$= \frac{(3k)^{2} + (3k)^{2} – (2\sqrt{2}k)^{2}}{2 \times 3k \times 3k} = \frac{5}{9}$
점 $\mathrm{P}$에서 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}’$이라 하면
$\angle \mathrm{PFH’} = \angle \mathrm{HPF} = \theta$
$\overline{\mathrm{FH’}} = \overline{\mathrm{PH}} – \overline{\mathrm{OF}} = 3k-4$
$= \overline{\mathrm{PF}} \times \cos \theta = 3k \times \frac{5}{9} = \frac{5}{3}k$
$3k-4 = \frac{5}{3}k$에서 $k = 3$
$\overline{\mathrm{PF}} = 3k = 9$, $\overline{\mathrm{FH’}} = \frac{5}{3}k = 5$
직각삼각형 $\mathrm{PFH’}$에서
$\overline{\mathrm{PH’}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{PF}}^{2} – \overline{\mathrm{FH’}}^{2}} = \sqrt{56}$
$\overline{\mathrm{F’H’}} = \overline{\mathrm{F’F}} + \overline{\mathrm{FH’}} = 8 + 5 = 13$
직각삼각형 $\mathrm{PF’H’}$에서
$\overline{\mathrm{PF’}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{F’H’}}^{2} + \overline{\mathrm{PH’}}^{2}} = 15$
점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF’}} – \overline{\mathrm{PF}} = 15 – 9 = 2a$
즉, $a^2 = 9$
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$의 한 초점이 $\mathrm{F}(4, 0)$이므로
$4^2 = a^2 + b^2$에서 $b^2 = 16 – 9 = 7$
따라서 $a^{2}\times b^2 = 9 \times 7 = 63$
30. 좌표평면 위에 다섯 점 $$\mathrm{A}(0, \,8),\: \mathrm{B}(8, \,0),\: \mathrm{C}(7, \,1),\: \mathrm{D}(7, \,0),\: \mathrm{E}(-4, \,2)$$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 삼각형 $\mathrm{CDB}$의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $|\,\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}} \,|^{2}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]

$54$
두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$의 합 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}}$는
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}}$ $=\overrightarrow{\mathrm{PO}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} + \overrightarrow{\mathrm{PE}}$ $\cdots\cdots$ ㉠
와 같이 바꾸어 나타낼 수 있다.
점 $\mathrm{E}$가 원점 $\mathrm{O}$에 오도록 다섯 개의 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{E}$를 $x$축의 방향으로 $4$ 만큼, $y$축의 방향으로 $-2$ 만큼 평행이동하고 각 점을 $\mathrm{O’}$, $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$, $\mathrm{P’}$, $\mathrm{E’}$이라 하면
$\mathrm{O’}$, $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$, $\mathrm{E’}$의 좌표는 각각 $\mathrm{O’}(4, -2)$, $\mathrm{A’}(4, 6)$, $\mathrm{B’}(12, -2)$, $\mathrm{E’}(0, 0)$이고 점 $\mathrm{P}’$은
삼각형 $\mathrm{A’O’B’}$ 위의 점이다. 이것을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 그런데 $\overrightarrow{\mathrm{PE}} = \overrightarrow{\mathrm{P’E’}} = \overrightarrow{\mathrm{P’O}}$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} + \overrightarrow{\mathrm{PE}}$ $=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} + \overrightarrow{\mathrm{P’O}} = \overrightarrow{\mathrm{P’Q}}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠과 ㉡에서 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}} = \overrightarrow{\mathrm{P’Q}}$
그러므로 $|\,\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{OE}} \,|^{2}$의 최댓값과 최솟값은 각각 $\overline{\mathrm{P’Q}}^2$의 최댓값, 최솟값과 같다.
ⅰ) 최솟값
직선 $\mathrm{A’B’}$의 방정식은
$y = \frac{-2-6}{12 – 4}(x-4)+6 = -x + 10$
이고 직선 $\mathrm{CB}$와 직선 $\mathrm{A’B’}$이 평행하므로 최솟값 $m$은
$m = \left( \dfrac{| -8-0+10 \,|}{\sqrt{(-1)^{2} + (-1)^{2}}} \right)^{2} = 2$
이다.
ⅱ) 최댓값
최댓값은 삼각형 $\mathrm{O’A’B’}$ 위의 점과 삼각형 $\mathrm{CDB}$ 위의 점 사이의 거리 중 최댓값이므로 점 $\mathrm{A’}$과 점 $\mathrm{B}$ 사이의 거리이다.
그러므로 최댓값 $M$은
$M = \left(\sqrt{(8-4)^{2} + (0-6)^{2}}\right)^{2} = 52$
이다.
따라서 $M + m = 54$