23년 10월 교육청
3. 공차가 $3$인 등차수열 $\{ a_n \}$과 공비가 $2$인 등비수열 $\{ b_n \}$이 $$a_{2} = b_{2}, \:a_{4} = b_{4}$$ 를 만족시킬 때, $a_{1} + b_{1}$값은? [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
4. 두 자연수 $m$, $n$에 대하여 함수 $f(x) = x(x-m)(x-n)$이 $$f(1)f(3) < 0, \:f(3)f(5) < 0$$ 을 만족시킬 때, $f(6)$의 값은? [3점]
① $30$
② $36$
③ $42$
④ $48$
⑤ $54$
5. $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$인 $\theta$에 대하여 $$\frac{1}{1-\cos \theta} + \frac{1}{1+\cos \theta} = 18$$ 일 때, $\sin \theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{2}{3}$
② $-\frac{1}{3}$
③ $0$
④ $\frac{1}{3}$
⑤ $\frac{2}{3}$
7. 등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $$S_7 - S_4 = 0, \:S_6 = 30$$ 이다. $a_2$의 값은? [3점]
① $6$
② $8$
③ $10$
④ $12$
⑤ $14$
8. 두 함수 $$f(x) = -x^4 -x^3 +2x^2, \:g(x) = \frac{1}{3}x^3 -2x^2 +a$$ 가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $$f(x) \le g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$의 최솟값은? [3점]
① $8$
② $\frac{26}{3}$
③ $\frac{28}{3}$
④ $10$
⑤ $\frac{32}{3}$
⑤
$f(x) \le g(x)$에서 $g(x) – f(x) \ge 0$
즉 $x^4 + \frac{4}{3}x^3 -4x^2 + a \ge 0$
$h(x) = x^4 + \frac{4}{3}x^3 -4x^2 + a$라 하면 $h(x) \ge 0$
$h'(x) = 4x^3 + 4x^2 -8x = 4x(x-1)(x+2)$
$h'(x) = 0$에서 $x= -2$ 또는 $x=0$ 또는 $x=1$
함수 $h(x)$의 증가와 감소를 나타내면 다음과 같다.
함수 $h(x)$는 $x = -2$에서 최솟값 $a-\frac{32}{3}$를 갖는다.
$a-\frac{32}{3} \ge 0$에서 $a \ge \frac{32}{3}$
따라서 실수 $a$의 최솟값은 $\dfrac{32}{3}$이다.
9. 자연수 $n$ ($n \ge 2$)에 대하여 $n^2 -16n + 48$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=2}^{10}f(n)$의 값은? [4점]
① $7$
② $9$
③ $11$
④ $13$
⑤ $15$
①
$n$이 홀수이면 $n^2 -16n + 48$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 항상 $1$이므로
$f(3) = f(5) = f(7) = f(9) = 1$
$n$이 짝수이면 $n^2 -16n + 48$의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) $n^2 -16n + 48 > 0$인 경우
$(n-4)(n-12) > 0$에서 $n < 4$ 또는$n > 12$
이때 $f(n) = 2$이므로 $f(2) = 2$
(ⅱ) $n^2 -16n + 48 = 0$인 경우
$(n-4)(n-12) = 0$에서 $n = 4$ 또는$n = 12$
이때 $f(n) = 1$이므로 $f(4) = 1$
(ⅲ) $n^2 -16n + 48 < 0$인 경우
$(n-4)(n-12) < 0$에서 $4 < n < 12$
이때 $f(n) = 0$이므로
$f(6) = f(8) = f(10) = 0$
따라서 $\displaystyle \sum_{n=2}^{10}f(n)$ $= 4 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 1 + 3 \times 0 = 7$
자연수 $k$ 에 대하여
$a_{2k}+a_{2k+1} = 4k$, $a_{2k-1}+a_{2k} = 4k -2 $ 이므로
$a_{2k+1} – a_{2k-1} = 2$
즉, 수열 $\{ a_{2k-1} \}$ 은 공차가 $2$ 인 등차수열이다.
그러므로 $a_{2k-1} =a_{1} + (k-1) \times 2$ $\cdots \cdots$ ㉠
㉠에 $k=11$ 을 대입하면 $a_{21} =a_{1} + 20$ $\cdots \cdots$ ㉡
모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} + a_{n+1} = 2n$ 이므로
$n=21$ 을 대입하면 $a_{21} + a_{22} = 42$ $\cdots \cdots$ ㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
$(a_{1} + 20) + a_{22} = 42$
따라서 $a_{1} + a_{22} = 22$
10. 실수 $t$ ($t > 0$)에 대하여 직선 $y = tx + t + 1$과 곡선 $y = x^2 -tx -1$이 만나는 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, $\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{t^2}$의 값은? [4점]
① $\frac{\sqrt{2}}{2}$
② $1$
③ $\sqrt{2}$
④ $2$
⑤ $2\sqrt{2}$

④
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)라 하면 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x^2 -tx -1 = tx + t + 1$,
즉 $x^2 -2tx -2 -t = 0$의 두 실근이므로
$\alpha = t – \sqrt{t^2 + t + 2}$, $\beta = t + \sqrt{t^2 + t + 2}$
$\beta – \alpha = 2\sqrt{t^2 + t + 2}$이고
직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $t$이므로
$\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{t^2 + t + 2}\sqrt{t^2 + 1}$
$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{t^2}$
$=\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{2\sqrt{(t^2 + t + 2)(t^2 + 1)}}{t^2}$
$= 2\displaystyle \lim_{t \to \infty}\sqrt{\left(1 + \frac{1}{t} + \frac{2}{t^2}\right)\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)} = 2$
11. 그림과 같이 두 상수 $a$, $b$에 대하여 함수
$$f(x) = a \sin \frac{\pi x}{b} + 1 \,\:\left( 0 \le x \le \frac{5}{2}b \right)$$
의 그래프와 직선 $y=5$가 만나는 점을 $x$좌표가 작은 것부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자.
$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AB}} + 6$이고 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$일 때, $a^2 + b^2$의 값은? (단, $a > 4$, $b > 0$이고, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]

① $68$
② $70$
③ $72$
④ $74$
⑤ $76$
①
삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times 5 = \frac{15}{2}$이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = 3$, 이때 $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AB}} + 6 = 9$
함수 $y = f(x)$의 주기가 $2b$이므로
$2b = \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} = 12$, $b = 6$
선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 $x$좌표가 $3$이므로
점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(\frac{3}{2}, 5)$이다.
점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y = f(x)$ 위의 점이므로
$f(\frac{3}{2}) = 5$에서 $a \sin \frac{\pi}{4} + 1 = 5$, $a = 4\sqrt{2}$
따라서 $a^2 + b^2 = (4\sqrt{2})^2 + 6^2 = 32 + 36 = 68$
곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수는
방정식 $f(x)=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,
(ⅰ) $0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$ 일 때,
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
(ⅱ) $\frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$ 일 때,
$2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) – \sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 에서 $\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
그러므로 교점의 개수는 구간 $[0,\, 2 \pi]$ 에서 방정식
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
$k=1$, $k=5$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{1}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{1}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=2$, $k=4$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=3$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = 1$ 이므로
$\sin x = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $1$ 이다.
따라서 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ $=2+2+1+2+2=9$
12. 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = |\, x^3 -12x +k \,|$$ 라 하자. 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y = a$ ($a \ge 0$)이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 $a$의 값이 오직 하나일 때, $k$의 값은? [4점]
① $8$
② $10$
③ $12$
④ $14$
⑤ $16$
⑤
$g(x) = x^3 -12x +k$라 하면 $f(x) = | g(x) |$
$g'(x) = 3x^2 -12 = 3(x+2)(x-2)$
$g'(x) = 0$에서 $x = -2$ 또는 $x = 2$
함수 $g(x)$가 $x = -2$에서 극댓값 $k + 16$, $x=2$에서 극솟값 $k – 16$을 가지므로 $k$의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) $0 < k < 16$ 또는 $k > 16$인 경우
함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = a$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되는 실수 $a$의 값이 $3$개 존재하므로 조건을 만족시키지 못한다.
(ⅱ) $k = 16$인 경우
함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = a$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되는 실수 $a$의 값이 오직 하나이다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 $k = 16$
13. 그림과 같이 두 상수 $a$ ($a > 1$), $k$에 대하여 두 함수 $$y = a^{x+1} + 1, \: y = a^{x-3} - \frac{7}{4}$$ 의 그래프와 직선 $y = -2x + k$가 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = -a^{x+4} + \frac{3}{2}$의 그래프와 점 $\mathrm{R}$에서 만나고 $\overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{QR}} = 5$일 때, $a + k$의 값은? [4점]

① $\frac{13}{2}$
② $\frac{27}{4}$
③ $7$
④ $\frac{29}{4}$
⑤ $\frac{15}{2}$
②
점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.
$\overline{\mathrm{HQ}} = t$ ($t > 0$)이라 하면 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $-2$이므로 $\overline{\mathrm{PH}} = 2t$이고 $\overline{\mathrm{HR}} = 5 – t$이다.
직각삼각형 $\mathrm{PRH}$에서 피타고라스 정리에 의하여,
$(5-t)^2 + (2t)^2 = 5^2$, $t(t-2) = 0$, $t = 2$
따라서 $\overline{\mathrm{PH}} = 4$, $\overline{\mathrm{HR}} = 3$
점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표를 $m$이라 하면 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $m+3$, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $m+5$이므로
$\mathrm{P}(m+3, \,a^{m+4}+1)$, $\mathrm{Q}(m+5, \,a^{m+2}-\frac{7}{4})$, $\mathrm{R}(m, \,-a^{m+4}+\frac{3}{2})$
점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표보다 $4$ 만큼 크므로
$a^{m+4}+1 = (-a^{m+4}+\frac{3}{2}) + 4$
$a^{m+4} = \frac{9}{4}$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표와 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표가 같으므로
$a^{m+2}-\frac{7}{4} = -a^{m+4}+\frac{3}{2}$
㉠을 대입하여 정리하면 $a^{m+2} = 1$
$a > 1$에서 $m+2 = 0$이므로 $m = -2$
㉠에서 $a^2 = \frac{9}{4}$, $a > 1$이므로 $a = \dfrac{3}{2}$
점 $\mathrm{P}(1, \frac{13}{4})$이 직선 $y = -2x + k$ 위의 점이므로
$\frac{13}{4} = -2 \times 1 + k$, $k = \frac{21}{4}$
따라서 $a + k = \frac{3}{2} + \frac{21}{4} = \dfrac{27}{4}$
14. 최고차항의 계수가 $1$이고 $f'(2) = 0$인 이차함수 $f(x)$가 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\int_{4}^{n}f(x) dx \ge 0$$ 을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $f(2) < 0$
ㄴ. $\displaystyle \int_{4}^{3}f(x) dx > \int_{4}^{2}f(x) dx$
ㄷ. $\displaystyle 6 \le \int_{4}^{6}f(x) dx \le 14$
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
③
$f'(2) = 0$이므로 실수 $k$에 대하여 $f(x) = x^2 – 4x + k$라 하자.
ㄱ.
만약 $f(2) \ge 0$이면 $x > 2$일 때 $f(x) > 0$이므로 정적분과 넓이의 관계에 의하여 $\int_{2}^{4}f(x)dx > 0$, 즉 $\int_{4}^{2}f(x)dx = -\int_{2}^{4}f(x)dx < 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다. 즉 $f(2) < 0$ (참)
ㄴ.
$\int_{4}^{3}f(x)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 -2x^2 +kx \right]_{4}^{3} = -k + \frac{5}{3}$
$-k + \frac{5}{3} /ge 0$이므로 $k \le \frac{5}{3}$
$\int_{4}^{2}f(x)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 -2x^2 +kx \right]_{4}^{2} = -2k + \frac{16}{3}$
$\int_{4}^{3}f(x)dx – \int_{4}^{2}f(x)dx = k – \frac{11}{3}$
$k \le \frac{5}{3}$에서 $k – \frac{11}{3} \le -2 < 0$이므로
$\int_{4}^{3}f(x)dx < \int_{4}^{2}f(x)dx$ (거짓)
ㄷ.
ㄴ에서 $k \le \frac{5}{3}$이므로 $f(3) = k-3 \le -\frac{4}{3} < 0$
$f(3) = f(1) < 0$이므로 구간 $[1,\, 3]$에서 $f(x) < 0$이고, $n = 1$ 또는 $n = 2$일 때 곡선 $y = f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=n$, $x=3$으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $-\int_{n}^{3}f(x)dx$와 같다.
즉 $\int_{3}^{n}f(x)dx = -\int_{n}^{3}f(x)dx > 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\int_{4}^{5}f(x)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 -2x^2 +kx \right]_{4}^{5} = k + \frac{7}{3}$
$k + \frac{7}{3} \ge 0$에서 $k \ge -\frac{7}{3}$이므로
$f(5) = 5 + k \ge \frac{8}{3} > 0$
구간 $[5, \infty)$에서 $f(x) > 0$이다.
그러므로 $6$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=5$, $x=n$으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\int_{5}^{n}f(x)dx$와 같다.
즉 $\int_{5}^{n}f(x)dx > 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $\int_{4}^{3}f(x)dx \ge 0$, $\int_{4}^{5}f(x)dx \ge 0$이면 함수 $f(x)$가 주어진 조건을 만족시킨다. 따라서 $-\frac{7}{3} \le k \le \frac{5}{3}$ $\cdots\cdots$ ㉢
$\int_{4}^{6}f(x)dx = 2k + \frac{32}{3}$이므로 ㉢에서
$6 \le \int_{4}^{6}f(x)dx \le 14$ (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
15. 모든 항이 자연수인 수열 $\{ a_n \}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_{n+1} = \begin{cases} \frac{1}{2}a_{n} + 2n & (a_n \textbf{이 } 4\textbf{의 배수인 경우}) \\ a_{n} + 2n & (a_n \textbf{이 } 4\textbf{의 배수가 아닌 경우}) \end{cases}$
이다.
(나) $a_{3} > a_5$
$50 < a_{4} + a_{5} < 60$이 되도록 하는 $a_1$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M+m$의 값은? [4점]
① $224$
② $228$
③ $232$
④ $236$
⑤ $240$
②
조건 (나)에서 $a_{3} > a_{5}$이므로 $a_3$이 $4$의 배수인 경우와 $4$의 배수가 아닌 경우로 나누어 생각하자.
(ⅰ) $a_3$이 $4$의 배수인 경우
$a_{3} = 4k$ ($k$는 자연수)라 하면 $a_4 = 2k+6$
$k$가 홀수일 때 $a_4$는 $4$의 배수이고 $a_5 = k+11$, $a_4 + a_5 = 3k+17$이므로 $50 < 3k+17 < 60$, $a_3 > a_5$에서 $k > \frac{11}{3}$
$k$는 홀수이므로 $k=13$이고 $a_3 = 52$
$k$가 짝수일 때 $a_4$는 $4$의 배수가 아니고 $a_5 =2k+14$, $a_4 + a_5 = 4k+20$이므로 $50 < 4k+20 < 60$, $a_3 > a_5$에서 $k > 7$
$k$는 짝수이므로 $k = 8$이고 $a_3 = 32$
따라서 $a_3 = 52$ 또는 $a_3 = 32$
$a_3 = 52$인 경우 $a_2 = 96$이고 $a_1 = 94$ 또는 $a_1 = 188$
$a_3 = 32$인 경우 $a_2 = 56$이고 $a_1 = 54$ 또는 $a_1 = 108$
(ⅱ) $a_3$이 $4$의 배수가 아닌 경우
$a_3 = 4k-1$ 또는 $a_3 = 4k-3$ ($k$는 자연수)일 때 $a_3$, $a_4$, $a_5$는 모두 홀수이고 $a_5 = a_4 + 8 = a_3 + 14 > a_3$이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.
$a_3 = 4k-2$ ($k$는 자연수)일 때 $a_4 = 4k+4$, $a_5 = 2k+10$이고 $a_4 + a_5 = 6k+14$이므로 $50 < 6k+14 < 60$
$a_3 > a_5$에서 $k > 6$, 이때 $k = 7$이므로 $a_3 = 26$
따라서 $a_2 = 22$ 또는 $a_2 = 44$이다.
$a_2 = 22$인 경우 $a_1 = 40$
$a_2 = 44$인 경우 $a_1 = 42$ 또는 $a_1 = 84$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $M = 188$, $m = 40$이고 $M + m = 228$
17. 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = (x+2)f(x)$$ 라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(3, \,2)$에서의 접선의 기울기가 $4$일 때, $g'(3)$의 값을 구하시오. [3점]
18. 두 수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{10}(a_{k} -b_{k} + 2) = 50, \:\sum_{k=1}^{10}(a_{k} -2b_k) = -10$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(a_{k} + b_{k})$의 값을 구하시오. [3점]
$110$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(a_{k} -b_{k} + 2) = 50$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_{k} – \sum_{k=1}^{10}b_{k} = 30$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(a_{k} – 2b_{k}) = -10$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_{k} – 2 \sum_{k=1}^{10}b_{k} = -10$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_{k} = 70$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_{k} = 40$
따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(a_{k} + b_{k}) = \sum_{k=1}^{10}a_{k} + \sum_{k=1}^{10}b_{k} = 110$
19. 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = 12t -12, \:v_{2}(t) = 3t^2 +2t -12$$ 이다. 시각 $t = k$ ($k > 0$)에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같을 때, 시각 $t=0$에서 $t=k$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오. [3점]
$102$
원점에서 출발한 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t=k$에서의 위치는
$\int_{0}^{k}(12t – 12)dt = \left[ 6t^2 -12t \right]_{0}^{k} = 6k^2 -12k$
원점에서 출발한 점 $\mathrm{Q}$의 시각 $t=k$에서의 위치는
$\int_{0}^{k}(3t^2 + 2t – 12)dt = \left[ t^3 + t^2 -12t \right]_{0}^{k} = k^3 + k^2 -12k$
각 $t=k$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같으므로
$6k^2 -12k = k^3 + k^2 -12k$, $k^{2}(k-5) = 0$
$k > 0$이므로 $k=5$
시각 $t=0$에서 $t=5$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는
$\int_{0}^{5}| 12t – 12 |dt = \int_{0}^{1}(12 – 12t )dt + \int_{1}^{5}(12t – 12)dt$
$= \left[ 12t – 6t^2 \right]_{0}^{1} + \left[ 6t^2 – 12t \right]_{1}^{5} = 102$
20. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$2x^{2}f(x) = 3 \int_{0}^{x}(x-t)\{ f(x) + f(t) \}dt$$ 를 만족시킨다. $f'(2) = 4$일 때, $f(6)$의 값을 구하시오. [4점]
$24$
$2x^{2}f(x) = 3 \int_{0}^{x}(x-t)\{ f(x) + f(t) \}dt$에서
$2x^{2}f(x) = 3 \int_{0}^{x}(x-t)f(x)dt + 3 \int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt$
$= 3f(x) \int_{0}^{x}(x-t)dt + 3 \int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt$
$= 3f(x) \left[ xt – \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{x} + 3 \int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt$
$= \frac{3}{2}x^{2}f(x) + 3 \int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt$
$x^{2}f(x) = 6\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt$
$x^{2}f(x) = 6x\int_{0}^{x}f(t)dt – 6\int_{0}^{x}tf(t)dt$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$2xf(x) + x^{2}f'(x) = 6\int_{0}^{x}f(t)dt$ $\cdots\cdots$ ㉡
$f'(2) = 4$이므로 다항함수 $f(x)$의 차수는 $1$ 이상이다. 함수 $f(x)$의 차수를 $n$이라 하고, 최고차항의 계수를 $a$ ($a \ne 0$)이라 하자.
㉡의 양변의 최고차항의 계수를 비교하면 $a(2+n) = \frac{6a}{n+1}$
$(n+1)(n+2) = 6$, $(n-1)(n+4) = 0$
$n$은 자연수이므로 $n=1$
함수 $f(x)$가 일차함수이고 $f'(2) = 4$이므로 $a=4$
$f(x) = 4x + b$ (단, $b$는 상수)라 하면 ㉡에서
$2x(4x+b) + 4x^2 = 6 \left[ 2t^2 +bt \right]_{0}^{x}$
$12x^2 + 2bx = 12x^2 + 6bx$ $\cdots\cdots$ ㉢
모든 실수 $x$에 대하여 ㉢이 성립하므로 $b=0$
$f(x) = 4x$이므로 $f(6) = 24$
21. 그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{ADE}$가 모두 내접한다. 두 선분 $\mathrm{AD}$와 $\mathrm{BC}$가 점 $\mathrm{F}$에서 만나고 $$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{DE}} = 4, \:\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{CE}}, \:\sin (\angle \mathrm{CAE}) = \frac{1}{4}$$ 이다. $\overline{\mathrm{AF}} = k$일 때, $k^2$의 값을 구하시오. [4점]

$6$
$\angle \mathrm{CAE} = \theta$라 하면 $\sin \theta = \frac{1}{4}$이고 $\overline{\mathrm{BC}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{CAE}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\sin \theta} = \overline{\mathrm{BC}}$, $\overline{\mathrm{CE}} = 1$
$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{CE}} = 1$이므로 $\overline{\mathrm{FC}} = 3$
$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{DE}}$에서 선분 $\mathrm{DE}$도 주어진 원의 지름이므로 $\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{DAE} = 90^{\circ}$이다.
$\angle \mathrm{BAD} = 90^{\circ} – \angle \mathrm{DAC} = \theta$
삼각형 $\mathrm{ABF}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{k}{\sin (\angle \mathrm{ABF})} = \frac{1}{\sin \theta} = 4$이므로 $\sin (\angle \mathrm{ABF}) = \frac{k}{4}$
직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\sin (\angle \mathrm{ABC}) = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{4}$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = 4\sin (\angle \mathrm{ABC}) = 4 \times \frac{k}{4} = k$
직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\cos (\angle \mathrm{BCA}) = \frac{k}{4}$이므로 삼각형 $\mathrm{AFC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{AF}}^{2} = \overline{\mathrm{AC}}^{2} + \overline{\mathrm{FC}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{FC}} \times \cos(\angle \mathrm{FCA})$
$k^{2} = k^{2} + 3^{2} – 2 \times k \times 3 \times \frac{k}{4}$, $\frac{3}{2}k^2 = 9$
따라서 $k^2 = 6$
22.삼차함수 $f(x)$에 대하여 구간 $(0,\, \infty)$에서 정의된 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \begin{cases} \, x^3 -8x^2 +16x & (0 4) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 구간 $(0,\, \infty)$에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
(가) $g\left(\dfrac{21}{2} \right) = 0$
(나) 점 $(-2, \,0)$에서 곡선 $y=g(x)$에 그은, 기울기가 $0$이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다.
$29$
$0 < x \le 4$에서 $g(x)=x(x-4)^2$이고 함수 $g(x)$가 $x=4$에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 4+}g(x) = \lim_{x \to 4-}g(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to 4+}f(x) = \lim_{x \to 4-}x(x-4)^2$
$f(4) = 0$
함수 $g(x)$가 $x=4$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to 4+}\frac{g(x) – g(4)}{x-4} = \lim_{x \to 4-}\frac{g(x) – g(4)}{x-4}$
$\displaystyle \lim_{x \to 4+}\frac{f(x) – f(4)}{x-4} = \lim_{x \to 4-}\frac{x(x-4)^2}{x-4}$
$f'(4) = 0$
$f(4) = f'(4) = 0$이고 $g(\frac{21}{2}) = f(\frac{21}{2}) = 0$이므로
$f(x) = a(x-4)^{2}(2x-21)$ ($a \ne 0$)이라 하자. $a > 0$이면 함수 $y=g(x)$의 그래프의 개형이 [그림 1]과 같으므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. $a < 0$이면 [그림 2]와 같이 조건 (나)를 만족시키는 함수 $y=g(x)$의 그래프의 개형이 존재한다.
조건 (나)에 의하여 점 $(-2, 0)$에서 곡선 $y=g(x)$에 그은 기울기가 $0$이 아닌 접선은 곡선 $y=g(x)$ 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 곡선 $y=g(x)$에 접한다.
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $t$, $s$라 하고
$0 < t < 4$, $s > 4$라 하자.
$0 < t < 4$에서 $g'(t) = 3t^2 -16t + 16$이므로 접선의 방정식은
$y = (3t^2 -16t + 16)(x-t) + t^3 -8t^2 +16t$
이다. 접선이 점 $(-2, 0)$을 지나므로
$(3t^2 -16t + 16)(-2-t) + t^3 -8t^2 +16t = 0$
$2t^3 -2t^2 -32t +32 = 0$, $(t-4)(t+4)(t-1) = 0$
$0 < t < 4$에서 $t=1$이므로 접선의 방정식은 $y=3x + 6$이다. 이 접선이 점 $\mathrm{Q}$에서 곡선 $y=f(x)$ ($x > 4$)에 접한다.
$f(x) = a(x-4)^{2}(2x-21)$에서
$f'(x) = 2a(3x^2 -37x + 100) = 2a(x-4)(3x-25)$
점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식은
$y = 2a(s-4)(3s-25)(x-s) + a(s-4)^{2}(2s-21)$
이 접선이 점 $(-2, 0)$을 지나므로
$0 = 2a(s-4)(3s-25)(-2-s) + a(s-4)^{2}(2s-21)$
$a \ne 0$, $s > 4$이므로
$(s-4)(2s-21) = 2(s+2)(3s-25)$
$4s^2 -9s -184 = 0$, $(4s+23)(s-8) = 0$, $s=8$
$f'(8) = 3$이므로 $a = -\frac{3}{8}$
$f(x) = -\frac{3}{8}(x-4)^{2}(2x-21)$이므로
$g(10)=f(10) = \frac{27}{2}$
따라서 $p=2$, $q=27$이므로 $p+q = 29$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$가 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{5}{6}, \:\mathrm{P}(A^c) = \frac{3}{4}$$ 일 때, $\mathrm{P}(B)$의 값은? (단, $A^c$은 $A$의 여사건이다.) [3점]
① $\frac{1}{3}$
② $\frac{5}{12}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $\frac{7}{12}$
⑤ $\frac{2}{3}$
25. 숫자 $0$, $1$, $2$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 각 자리의 수의 합이 $7$ 이하인 자연수의 개수는? [3점]
① $45$
② $47$
③ $49$
④ $51$
⑤ $53$
26. 어느 지역에서 수확하는 양파의 무게는 평균이 $m$, 표준편차가 $16$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 수확한 양파 $64$개를 임의추출하여 얻은 양파의 무게의 표본평균이 $\overline{x}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간이 $240.12 \le m \le a$이다. $\overline{x} + a$의 값은? (단, 무게의 단위는 $\mathrm{g}$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(| Z | \le 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]
① $486$
② $489$
③ $492$
④ $495$
⑤ $498$
③
양파 $64$개를 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\overline{x}$이므로 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간은
$\overline{x} – 1.96 \times \frac{16}{\sqrt{64}} \le m \le \overline{x} + 1.96 \times \frac{16}{\sqrt{64}}$
$\overline{x} – 3.92 \le m \le \overline{x} + 3.92$
이때 $\overline{x} – 3.92 = 240.12$, $\overline{x} + 3.92 = a$이므로
$\overline{x} = 240.12 + 3.92 = 244.04$
$a = 244.04 + 3.92 = 247.96$
따라서 $\overline{x} + a = 244.04 + 247.96 = 492$
27. $1$ 부터 $8$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $8$개의 의자가 있다. 이 $8$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 두 수가 서로소가 되도록 배열하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]
① $72$
② $78$
③ $84$
④ $90$
⑤ $96$

①
서로 이웃한 $2$개의 의자에 적힌 두 수가 서로소가 되려면 짝수가 적힌 의자끼리는 서로 이웃하면 안 되고 $3$과 $6$이 적힌 의자도 서로 이웃하면 안 된다.
홀수가 적힌 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열하는 원순열의 수는
$(4-1)! = 3! = 6$
홀수가 적힌 의자들의 사이사이에 있는 $4$개의 자리 중 $3$이 적힌 의자와 이웃하지 않는 자리에 $6$이 적힌 의자를 배열하고, 남은 $3$개의 자리에 나머지 $3$개의 의자를 배열하는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{C}_{1} \times 3! = 2 \times 6 = 12$
따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 12 = 72$
28. 정규분포를 따르는 두 확률변수 $X$, $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$, $g(x)$이다. $\mathrm{V}(X) = \mathrm{V}(Y)$이고, 양수 $a$에 대하여 $$f(a) = f(3a) = g(2a), \:\mathrm{P}(Y \le 2a) = 0.6915$$ 일 때, $\mathrm{P}(0 \le X \le 3a)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]
① $0.5328$
② $0.6247$
③ $0.6687$
④ $0.7745$
⑤ $0.8185$

①
$\mathrm{E}(X) = m_1$, $\mathrm{E}(Y) = m_2$, $\mathrm{V}(X) = \mathrm{V}(Y) = \sigma^{2}$으로 놓으면 두 확률변수 $X$, $Y$는 각각 정규분포 $\mathrm{N}(m_1, \sigma^{2})$, $\mathrm{N}(m_2, \sigma^{2})$을 따른다.
함수 $y = f(x)$의 그래프는 직선 $x = m_1$에 대하여 대칭이고, $f(a) = f(3a)$이므로
$m_1 = \frac{a + 3a}{2} = 2a$
함수 $y = f(x)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 평행이동 하면 함수 $y = g(x)$의 그래프와 일치하고, $f(a) = f(3a) = g(2a)$이므로
$g(0) = g(2a)$ 또는 $g(2a) = g(4a)$
이때 함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=m_2$에 대하여 대칭이므로
$m_2 = \frac{0+2a}{2} = a$ 또는 $m_2 = \frac{2a+4a}{2} = 3a$
$\mathrm{P}(Y \le 2a) = 0.6915 > 0.5$이므로 $m_2 < 2a$이다.
$a > 0$이므로 $m_2 = a$
확률변수 $Z$가 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따를 때
$\mathrm{P}(Y \le 2a) = \mathrm{P}(Z \le \frac{2a-a}{\sigma}) = \mathrm{P}(Z \le \frac{a}{\sigma})$
$= 0.5 + \mathrm{P}(0 \le Z \le \frac{a}{\sigma}) = 0.6915$
$\mathrm{P}(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915$이므로
$\frac{a}{\sigma} = 0.5$, 즉 $\sigma = 2a$
따라서 $\mathrm{P}(0 \le X \le 3a) = \mathrm{P}(\frac{0-2a}{2a} \le Z \le \frac{3a-2a}{2a})$
$= \mathrm{P}(-1 \le Z \le 0.5)$
$= \mathrm{P}(0 \le Z \le 1) + \mathrm{P}(0 \le Z \le 0.5)$
$= 0.3413 + 0.1915$
$= 0.5328$

29. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$의 모든 순서쌍 $(a, \,b, \,c)$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $a \le b \le c \le 8$
(나) $(a - b)(b - c) = 0$
$64$
조건 (가)를 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
${}_{8}\mathrm{H}_{3} = {}_{8+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120$
이때 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우는
$(a – b)(b – c) \ne 0$
즉, $a < b < c \le 8$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠을 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
${}_{8}\mathrm{C}_{3} = 56$
따라서 구하는 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는
$120 – 56 = 64$
30. 주머니에 숫자 $1$, $2$가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $2$개와 숫자 $1$, $2$, $3$이 하나씩 적혀 있는 검은 공 $3$개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어
꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공 중 임의로 $1$개의 공을 주머니에 다시 넣고,
꺼낸 공이 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 주머니에 다시 넣지 않는다.
이 시행을 한 번 한 후 주머니에 들어 있는 모든 공에 적힌 수의 합이 $3$의 배수일 때, 주머니에서 꺼낸 $2$개의 공이 서로 다른 색일 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$5$
시행을 한 번 한 후 주머니에 들어 있는 모든 공에 적힌 수의 합이 $3$의 배수인 사건을 $A$, 주머니에서 꺼낸 $2$개의 공이 서로 다른 색인 사건을 $B$라 하자.
주머니에 들어 있는 모든 공에 적힌 수의 합이 $9$이므로 이 시행을 한 번 한 후 주머니에 들어 있는 공에 적힌 수의 합이 $3$의 배수가 되는 경우는 꺼낸 $2$개의 공의 색깔에 따라 다음과 같이 두 가지이다.
(ⅰ) 꺼낸 $2$개의 공이 서로 다른 색인 경우
꺼낸 $2$개의 공이 (①, ➋ ) 또는 (②, ➊)이어야 하므로
$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{2}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} = \frac{1}{5}$
(ⅱ) 꺼낸 $2$개의 공이 서로 같은 색인 경우
꺼낸 개의 공이 (➊, ➌)이고 이 두 개의 공 중 ➊을 주머니에 다시 넣거나, 꺼낸 $2$개의 공이 (➋, ➌)이고 이 두 개의 공 중 ➋를 주머니에 다시 넣어야 하므로
$\mathrm{P}(A \cap B^c) = \frac{1}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B | A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
$= \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap B^c)}$ $= \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}} = \dfrac{2}{3}$
따라서 $p = 3$, $q = 2$이므로 $p + q = 5$
수학 영역(미적분)

23. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2n^2 + 3n -5}{n^2 + 1}$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$
24. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2 \pi}{n} \sum_{k = 1}^{n}\sin \frac{\pi k}{3n}$의 값은? [3점]
① $\frac{5}{2}$
② $3$
③ $\frac{7}{2}$
④ $4$
⑤ $\frac{9}{2}$
25. 그림과 같이 곡선 $y = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$와 $x$축 및 두 직선 $x = 1$, $x = 4$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는? [3점]

① $6 \ln 2$
② $7 \ln 2$
③ $8 \ln 2$
④ $9 \ln 2$
⑤ $10 \ln 2$
26. 함수 $f(x) = e^{2x}+e^{x}-1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 함수 $g(5f(x))$의 $x=0$에서의 미분계수는? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{4}$
③ $1$
④ $\frac{5}{4}$
⑤ $\frac{3}{2}$
⑤
$f'(x) = 2e^{2x}+e^{x}$에서 $f'(0) = 3$
$h(x) = g(5f(x))$라 하면 $f(0) = 1$이므로
$h'(0) = g'(5f(0)) \times 5f'(0) = 15 g'(5)$
$g(5)=t$로 놓으면 $f(t)=5$에서
$e^{2t}+e^{t}-1=5$, $(e^t -2)(e^t +3) = 0$
$e^t > 0$이므로 $e^t = 2$, 즉 $t = \ln 2$
$f'(\ln 2) = 2 e^{2 \ln 2} + e^{\ln 2} = 10$
따라서 $h'(0) = 15 g'(5) = 15 \times \frac{1}{f'(\ln 2)}$ $=\dfrac{3}{2}$
27. 모든 항이 자연수인 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} = 4$$ 이고 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{2n}}$이 실수 $S$에 수렴할 때, $S$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{6}$
② $\frac{1}{5}$
③ $\frac{1}{4}$
④ $\frac{1}{3}$
⑤ $\frac{1}{2}$
①
등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하자.
급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n}$은 첫째항이 $\frac{a}{3}$, 공비가 $\frac{r}{3}$인 등비급수이고 수렴하므로 $-1 < \frac{r}{3} < 1$, $-3 < r < 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{2n}}$은 첫째항이 $\frac{1}{ar}$, 공비가 $\frac{1}{r^2}$인 등비급수이고 수렴하므로 $-1 < \frac{1}{r^2} < 1$, $r^2 > 1$ $\cdots\cdots$ ㉡
수열 $\{ a_n \}$의 모든 항이 자연수이므로
㉠, ㉡에서 $r = 2$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} = \dfrac{\frac{a}{3}}{1 – \frac{2}{3}} = a = 4$
$a_n = 4 \times 2^{n-1} = 2^{n+1}$이므로
$S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n+1}}$
$= \dfrac{\frac{1}{8}}{1 – \frac{1}{4}}$ $= \dfrac{1}{6}$
28. 함수 $$f(x) = \sin x \cos x \times e^{a \sin x + b \cos x}$$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 서로 다른 두 실수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$에 대하여 $a - b$의 최솟값은? [4점]
(가) $ab = 0$
(나) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x) dx = \frac{1}{a^2 + b^2} - 2 e^{a+b}$
① $-\frac{5}{2}$
② $-2$
③ $-\frac{3}{2}$
④ $-1$
⑤ $-\frac{1}{2}$
④
$a \ne b$이므로 조건 (가)에서
$a \ne 0$, $b=0$ 또는 $a=0$, $b \ne 0$
(ⅰ) $a \ne 0$, $b=0$일 때,
$\sin x = t$로 놓으면 $x=0$일 때 $t=0$, $x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t=1$이고 $\frac{dt}{dx} = \cos x$이므로
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x \cos x \times e^{a \sin x})dx$
$= \int_{0}^{1}te^{at}dt = \left[ \frac{t}{a}e^{at} \right]_{0}^{1} – \int_{0}^{1}\frac{1}{a}e^{at}dt$
$= \frac{e^a}{a} – \left[ \frac{1}{a^2}e^{at} \right]_{0}^{1} = \frac{(a-1)e^{a} + 1}{a^2}$
조건 (나)에서 $\frac{(a-1)e^{a} + 1}{a^2} = \frac{1}{a^2} – 2e^a$
$a-1 = -2a^2$, $(a+1)(2a+1) = 0$
$a= -1$ 또는 $a = \frac{1}{2}$
(ⅱ) $a=0$, $b \ne 0$일 때,
$\cos x = t$로 놓으면 $x=0$일 때 $t=1$, $x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t=0$이고 $\frac{dt}{dx} = -\sin x$이므로
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x \cos x \times e^{b \cos x})dx$
$= -\int_{1}^{0}te^{bt}dt = \int_{0}^{1}te^{bt}dt = \left[ \frac{t}{b}e^{bt} \right]_{0}^{1} – \int_{0}^{1}\frac{1}{b}e^{bt}dt$
$= \frac{e^b}{b} – \left[ \frac{1}{b^2}e^{bt} \right]_{0}^{1} = \frac{(b-1)e^{b} + 1}{b^2}$
조건 (나)에서 $\frac{(b-1)e^{b} + 1}{b^2} = \frac{1}{b^2} – 2e^b$
$b-1 = -2b^2$, $(b+1)(2b-1) = 0$
$b = -1$ 또는 $b= \frac{1}{2}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 두 실수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는
$(-1, 0)$, $(\frac{1}{2}, 0)$, $(0, -1)$, $(0, \frac{1}{2})$
따라서 $a-b$의 최솟값은 $-1-0 = -1$

29. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{BC}} = 2$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원이 선분 $\mathrm{AC}$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{E}$라 하자. $\angle \mathrm{BAC} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$의 넓이를 $S(\theta)$라 하자. $60 \times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{S(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$) [4점]

$30$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$이고 $\angle \mathrm{BAC} = \theta$이므로 $\angle \mathrm{BCA} = \frac{\pi}{2} – \frac{\theta}{2}$
점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위에 있으므로 $\angle \mathrm{BDA} = \frac{\pi}{2}$
$\overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{BC}} \times \cos (\frac{\pi}{2} – \frac{\theta}{2}) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$
점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{AEH}$와 $\mathrm{ABD}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $1 : 2$이다.
$\overline{\mathrm{EH}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BD}}$
$ = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \sin (\frac{\pi}{2} – \frac{\theta}{2}) = \cos \frac{\theta}{2}$
$S(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{CD}} \times \overline{\mathrm{EH}} = \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}$
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+}
\frac{S(\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \to 0+} \left( \frac{1}{2} \times \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \times \cos \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1}{2}$
따라서 $60 \times \displaystyle \lim_{\theta \to 0+}
\frac{S(\theta)}{\theta} = 30$
30. 두 정수 $a$, $b$에 대하여 함수 $$f(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}$$ 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가)함수 $f(x)$는 극값을 갖는다.
(나)함수 $| f(x) |$가 $x=k$에서 극대 또는 극소인 모든 $k$의 값의 합은 $3$이다.
$f(10) = pe^{-10}$일 때, $p$의 값을 구하시오. [4점]
$91$
$f'(x) = (2x + a)e^{-x} – (x^2 + ax + b)e^{-x}$ $= -\{ x^2 + (a-2)x + b-a \}e^{-x}$
$f'(x) = 0$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $e^{-x} > 0$이므로
$x^2 + (a-2)x + b-a = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (가)에서 이차방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)라 하자.
이차방정식 ㉠의 판별식을 $D_1$이라 하면
$D_1 = (a-2)^2 -4(b-a) = a^2 + 4 – 4b > 0$
$f(x) = 0$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $e^{-x} > 0$이므로
$x^2 + ax + b = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
이차방정식 ㉡의 판별식을 $D_2$라 하면 $D_2 = a^2 – 4b$
(ⅰ) $D_2 > 0$인 경우
함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나고, 이 두 점의 $x$좌표를 $\gamma$, $\delta$ ($\gamma < \delta$)라 하면 함수 $y = | f(x) |$의 그래프의 개형은[그림 1]과 같다.함수 $| f(x) |$는 $x = \alpha$, $x = \beta$에서 극대이고 $x = \gamma$, $x = \delta$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$와 이차방정식 ㉡의 서로 다른 두 실근 $\gamma$, $\delta$의 합과 같다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$(\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) = (2-a) + (-a) = 3$
$a = -\frac{1}{2}$
이때 $a$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $D_2 = 0$인 경우
함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축에 접하고, 이 접점의 $x$좌표는 $\alpha$이므로 함수 $y = | f(x) |$의 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.함수 $| f(x) |$는 $x = \beta$에서 극대이고 $x = \alpha$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$의 합과 같다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$\alpha + \beta = 2-a = 3$, $a = -1$
$D_2 = (-1)^2 -4b = 0$, $b = \frac{1}{4}$
이때 $b$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅲ) $D_2 < 0$인 경우
함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나지 않으므로 함수 $y = | f(x) |$의 그래프의 개형은 [그림 3]과 같다.함수 $| f(x) |$는 $x = \beta$에서 극대이고 $x = \alpha$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$의 합과 같다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$\alpha + \beta = 2-a = 3$, $a = -1$
$D_1 = (-1)^2 + 4 – 4b > 0$, $b < \frac{5}{4}$
$D_2 = (-1)^2 – 4b < 0$, $b > \frac{1}{4}$
$\frac{1}{4} < b < \frac{5}{4}$이고 $b$는 정수이므로 $b=1$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 정수 $a$, $b$의 값이 $a = -1$, $b = 1$이므로
$f(x) = (x^2 – x + 1)e^{-x}$
따라서 $f(10) = (10^2 – 10 + 1)e^{-10} = 91e^{-10}$이므로
$p = 91$
수학 영역(기하)

23. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, \,0, \,1)$, $\mathrm{B}(2, -3, \,0)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 외분하는 점이 $yz$평면 위에 있을 때, $a$의 값은? [2점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
24. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{27} = 1$의 한 점근선의 방정식이 $y = 3x$일 때,이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]
① $\frac{2}{3}$
② $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
③ $2$
④ $2\sqrt{3}$
⑤ $6$
25. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}= 6$이고 넓이가 $12$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발이 점 $\mathrm{C}$와 일치한다. $\overline{\mathrm{PC}}= 2$일 때, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는? [3점]
① $3 \sqrt{2}$
② $2 \sqrt{5}$
③ $\sqrt{22}$
④ $2 \sqrt{6}$
⑤ $\sqrt{26}$

②
점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $12$이므로
$\frac{1}{2} \times 6 \times \overline{\mathrm{CH}} = 12$에서 $\overline{\mathrm{CH}} = 4$
$\overline{\mathrm{PC}} \perp \alpha$, $\overline{\mathrm{CH}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{PH}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$
삼각형 $\mathrm{PHC}$는 선분 $\mathrm{PH}$를 빗변으로 하는 직각삼각형이므로
$\overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{\overline{\mathrm{PC}}^{2} + \overline{\mathrm{CH}}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$
따라서 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $2\sqrt{5}$이다.
26. 그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(2, \,0)$이고 $x$축을 축으로 하는 포물선이 원점 $\mathrm{O}$를 지나는 직선과 제$1$사분면 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 만난다. 점 $\mathrm{A}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $$\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AH}}, \:\overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 1 : 4$$ 일 때, 선분 $\mathrm{AF}$의 길이는? [3점]

① $\frac{13}{12}$
② $\frac{7}{6}$
③ $\frac{5}{4}$
④ $\frac{4}{3}$
⑤ $\frac{17}{12}$
③
$\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AH}}$이고 포물선의 축이 $x$축이므로 이 포물선의 준선은 $y$축이다.
포물선의 꼭짓점의 좌표가 $(1, 0)$이고 초점과 꼭짓점 사이의 거리가 $1$이므로 포물선의 방정식은
$y^2 = 4(x-1)$
점 $\mathrm{B}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H’}$이라 하면
$\overline{\mathrm{AH}} : \overline{\mathrm{BH’}} = \overline{\mathrm{OH}} : \overline{\mathrm{OH’}}$ $= \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 1 : 4$
점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $(a, b)$ ($a > 0$, $b > 0$)으로 놓으면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $(4a, 4b)$이다.
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 포물선 $y^2 = 4(x-1)$ 위의 점이므로
$b^2 = 4(a-1)$, $16b^2 = 4(4a-1)$
$16 \times 4(a-1) = 4(4a – 1)$, $12a = 15$, $a = \frac{5}{4}$
따라서 $\overline{\mathrm{AF}} = a = \frac{5}{4}$
27. 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$는 서로 평행하다.
(나) $t\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}$를 만족시키는 실수 $t$가 존재한다.
삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 $12$일 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는? [3점]
① $16$
② $17$
③ $18$
④ $19$
⑤ $20$
⑤
선분 $\mathrm{BD}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{AE}} = \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{5}$
조건 (나)에서
$t\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AD}} = 5\overrightarrow{\mathrm{AE}}$
를 만족시키는 실수 $t$가 존재하므로 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점이다.
조건 (가)에서 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$가 서로 평행하고
$\overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{ED}} = 2 : 3$
이므로 두 삼각형 $\mathrm{EDA}$, $\mathrm{EBC}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $3 : 2$이다.
$| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | : | \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = 3 : 2$에서
$| \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = \frac{2}{3}| \overrightarrow{\mathrm{AD}} |$ $\cdots\cdots$ ㉠사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$의 높이를 $h$로 놓으면 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 $12$이므로
$\frac{1}{2} \times | \overrightarrow{\mathrm{AD}} | \times h = 12$, $| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | \times h = 24$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에 의하여 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times (| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | + | \overrightarrow{\mathrm{BC}} |) \times h$
$= \frac{1}{2} \times (| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | + \frac{2}{3}| \overrightarrow{\mathrm{AD}} |) \times h$
$= \frac{5}{6} \times | \overrightarrow{\mathrm{AD}} | \times h = \frac{5}{6} \times 24$ $= 20$
28. 그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \,0)$, $\mathrm{F'}(-c, \,0)$ ($c > 0$)인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{18} = 1$이 있다. 타원 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{RF'F}$가 정삼각형이고 점 $\mathrm{F'}$은 선분 $\mathrm{QF}$의 중점일 때, $c^2$의 값은? (단, $a$는 양수이다.) [4점]

① $7$
② $8$
③ $9$
④ $10$
⑤ $11$
③
타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{18} = 1$의 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F’}(-c, 0)$이므로
$a^2 – 18 = c^2$, $a^2 = c^2 + 18$ $\cdots\cdots$ ㉠
삼각형 $\mathrm{RF’F}$가 한 변의 길이가 $2c$인 정삼각형이므로 $\overline{\mathrm{OR}} = \sqrt{3}c$
점 $\mathrm{F’}$이 선분 $\mathrm{QF}$의 중점이므로 $\overline{\mathrm{QO}} = 3c$
직선 $\mathrm{QR}$의 기울기가 $\frac{\overline{\mathrm{OR}}}{\overline{\mathrm{QO}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선 $\mathrm{QR}$의 방정식은
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}a^2 + 18}$ $= \frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{\frac{1}{3}a^2 + 18}$
직선 $\mathrm{QR}$의 $y$절편이 $\sqrt{3}c$이므로
$\sqrt{\frac{1}{3}a^2 + 18} = \sqrt{3}c$, $\frac{1}{3}a^2 + 18 = 3c^2$
㉠에 의하여 $\frac{1}{3}(c^2 + 18) + 18 = 3c^2$, $\frac{8}{3}c^2 = 24$
따라서 $c^2 = 9$

29. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}(5, \,0)$에 대하여 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$가 $$| \overrightarrow{\mathrm{OP}} | = 2, \:\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$$ 을 만족시키고, 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$가 $$| \overrightarrow{\mathrm{AQ}} | = 1, \:\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = 0$$ 을 만족시킬 때, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$의 값을 구하시오.(단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
$20$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$에서 $\overline{\mathrm{OP}} \perp \overline{\mathrm{AP}}$
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = 0$에서 $\overline{\mathrm{OQ}} \perp \overline{\mathrm{AQ}}$
직각삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 $\overline{\mathrm{OA}} = 5$, $\overline{\mathrm{OP}} = 2$이므로
$\cos (\angle \mathrm{AOP}) = \frac{2}{5}$
직각삼각형 $\mathrm{OAQ}$에서 $\overline{\mathrm{OA}} = 5$, $\overline{\mathrm{AQ}} = 1$이므로
$\cos (\angle \mathrm{QAO}) = \frac{1}{5}$
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$, $\mathrm{H’}$이라 하면
$\overline{\mathrm{OH}} = \overline{\mathrm{OP}} \times \cos (\angle \mathrm{AOP}) = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$
$\overline{\mathrm{H’A}} = \overline{\mathrm{QA}} \times \cos (\angle \mathrm{QAO}) = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$
이므로 $\overline{\mathrm{HH’}} = \overline{\mathrm{OH’}} – \overline{\mathrm{OH}} = (5 – \frac{1}{5}) – \frac{4}{5} = 4$
따라서 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{HH’}} = 5 \times 4 = 20$
30. 좌표공간에 구 $S : x^2 + y^2 + (z-\sqrt{5})^2 = 9$가 $xy$평면과 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 구 $S$ 위의 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 선분 $\mathrm{AB}$는 원 $C$의 지름이다.
(나) 직선 $\mathrm{AB}$는 평면 $\mathrm{BCD}$에 수직이다.
(다) $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{15}$
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이를 $k$라 할 때, $k^2$의 값을 구하시오. [4점]

$15$
구 $S$의 중심을 $\mathrm{E}(0, 0, \sqrt{5})$라 하면 점 $\mathrm{E}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발은 원점 $\mathrm{O}$이다.
점 $\mathrm{O}$는 원 $C$의 중심이므로
$\overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{\overline{\mathrm{EB}}^{2} – \overline{\mathrm{OE}}^{2}}$ $= \sqrt{3^{2} – (\sqrt{5})^{2}} = 2$
따라서 원 $C$의 반지름의 길이는 $2$이다.
삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외접원을 $C’$이라 하고, 구의 중심 $\mathrm{E}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 원 $C’$의 중심이다.
조건 (나)에 의하여 $\overline{\mathrm{EH}} = \overline{\mathrm{OB}} = 2$
직각삼각형 $\mathrm{EBH}$에서
$\overline{\mathrm{HB}} = \sqrt{\overline{\mathrm{EB}}^{2} – \overline{\mathrm{EH}}^{2}}$ $= \sqrt{3^{2} – 2^{2}} = \sqrt{5}$
이므로 원 $C’$의 반지름의 길이는 $\sqrt{5}$이다.
선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\overline{\mathrm{HM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이고
$\overline{\mathrm{HB}} = \sqrt{5}$, $\overline{\mathrm{BM}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$
$\cos (\angle \mathrm{HBM}) = \frac{\overline{\mathrm{BM}}}{\overline{\mathrm{HB}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\angle \mathrm{HBM} = 30^{\circ}$
조건 (다)에 의하여 $\angle \mathrm{CBD} = 2 \times \angle \mathrm{HBM} = 60^{\circ}$
조건 (나)에서 직선 $\mathrm{AB}$가 평면 $\mathrm{BCD}$에 수직이므로 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{ABD}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta = \angle \mathrm{CBD} = 60^{\circ}$
조건 (나)에서 $\overline{\mathrm{AB}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BC}} = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이는
$2\sqrt{15} \times \cos 60^{\circ} = \sqrt{15}$
따라서 $k^2 = 15$