24년 11월 대수능

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1. $\sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}}$
$= 5^{\frac{1}{3}} \times (5^2)^{\frac{1}{3}}$
$= 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}}$
$= 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$
$= 5^1 = 5$

2. 함수 $f(x) = x^3 -8x +7$에 대하여 $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$f'(x) = 3x^2 -8$이므로
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = f'(2)$
$= 3 \times 2^2 – 8$
$= 4$

3. 첫째항과 공비가 모두 양수 $k$인 등비수열 $\{ a_n \}$이 $$\frac{a_4}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = 30$$ 을 만족시킬 때, $k$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항과 공비가 모두 양수 $k$이므로 $a_n = k^{n}$
$\frac{a_4}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = 30$에서
$\frac{k^4}{k^2} + \frac{k^2}{k} = 30$
$k^2 + k = 30$
$(k+6)(k-5) = 0$

$k > 0$이므로 $k=5$

4. 함수 $$f(x) = \begin{cases} 5x+a & (x < -2) \\ \\ x^2 -a & (x \ge -2) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = -2$에서 연속이어야 한다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \to -2-}f(x) = \lim_{x \to -2+}f(x) = f(-2)$에서
$\displaystyle \lim_{x \to -2-}f(x) = \lim_{x \to -2-}(5x+a) = -10+a$
$\displaystyle \lim_{x \to -2+}f(x) = \lim_{x \to -2+}(x^2 – a) = 4-a$
$f(-2) = 4 – a$
이므로
$-10 + a = 4-a$, $a=7$
따라서 상수 $a$의 값은 $7$이다.

5. 함수 $f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)$에 대하여 $f'(1)$의 값은? [3점]

① $8$
② $10$
③ $12$
④ $14$
⑤ $16$

$f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 – x)$에서
$f'(x) = 2x \times (3x^2 – x) + (x^2 + 1) \times (6x – 1)$
따라서 $f'(1) = 2 \times 2 + 2 \times 5 = 14$

6. $\cos \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = -\dfrac{1}{5}$일 때, $\dfrac{\sin \theta}{1 - \cos^{2}\theta}$의 값은? [3점]

① $-5$
② $-\sqrt{5}$
③ $0$
④ $\sqrt{5}$
⑤ $5$

$\cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = – \frac{1}{5}$에서
$\sin \theta = \frac{1}{5}$
따라서
$\frac{\sin \theta}{1 – \cos^{2}\theta} = \frac{\sin \theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{1}{\sin \theta}$
$= \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$

7. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_{0}^{x}f(t) dt = 3x^3 + 2x$$ 를 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [3점]

① $7$
② $9$
③ $11$
④ $13$
⑤ $15$

$\int_{0}^{x}f(t) dt = 3x^3 + 2x$의 양변을 $x$에 대해 미분하면
$f(x) = 9x^2 + 2$
따라서 $f(1) = 9 \times 1^2 + 2 =11$

8. 두 실수 $a = 2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \log_{2}20$, $b = \log 2$에 대하여 $a \times b$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$a = 2 \log \frac{1}{\sqrt{10}} + \log_{2}20$
$= 2 \times (-\frac{1}{2}) \log 10 + \log_{2}2 + \log_{2}10$
$= -1 + 1 + \log_{2}10 = \log_{2}10$

$a \times b = \log_{2}10 \times \log 2 = 1$

9. 함수 $f(x) = 3x^2 - 16x - 20$에 대하여 $$\int_{-2}^{a}f(x) dx = \int_{-2}^{0}f(x) dx$$ 일 때, 양수 $a$의 값은? [4점]

① $16$
② $14$
③ $12$
④ $10$
⑤ $8$

$\int_{-2}^{a}f(x) dx = \int_{-2}^{0}f(x) dx$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠의 좌변은 정적분의 성질을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\int_{-2}^{a}f(x) dx = \int_{-2}^{0}f(x) dx + \int_{0}^{a}f(x) dx$
그러므로 ㉠에서
$\int_{-2}^{0}f(x) dx + \int_{0}^{a}f(x) dx = \int_{-2}^{0}f(x) dx$
즉,
$\int_{0}^{a}f(x) dx = 0$
이때
$\int_{0}^{a}f(x) dx = \int_{0}^{a}(3x^2 -16x -20) dx$
$= \left[ x^3 -8x^2 -20x \right]_{0}^{a} = a^3 -8a^2 -20a$
이므로
$a^3 -8a^2 -20a = 0$에서
$a(a^2 -8a -20) = 0$
$a(a+2)(a-10) = 0$
따라서 양수 $a$의 값은 $10$이다.

10. 닫힌구간 $[0, \,2\pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = a \cos bx + 3$이 $x = \dfrac{\pi}{3}$에서 최댓값 $13$을 갖도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$에 대하여 $a+b$의 최솟값은? [4점]

① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$

함수 $f(x) = a \cos bx + 3$의 그래프는 함수 $y = a \cos bx$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동시킨 것이다.
$a$가 자연수이므로 $f(0) \ge f(x)$이다.
한편, 함수 $y = a \cos bx + 3$의 주기는 $\frac{2 \pi}{b}$

닫힌구간 $[0, \,2\pi]$에서 정의된 함수 $f(x)$가 $x = \frac{\pi}{3}$에서 최댓값 $13$을 가지므로
$a+3 = 13$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\frac{2 \pi}{b} \le \frac{\pi}{3}$ ㉡
이어야 한다.
㉠에서 $a = 10$
㉡에서 $b \ge 6$

따라서 $a+b$의 최솟값은 $b=6$일 때
$10 + 6 = 16$

11. 시각 $t=0$일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 위치 $x$가 $$x = t^3 -\frac{3}{2}t^2 -6t$$ 이다. 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 $\mathrm{P}$의 가속도는? [4점]

① $6$
② $9$
③ $12$
④ $15$
⑤ $18$

점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도와 가속도를 각각 $v$, $a$라 하면
$v = x’ = 3t^2 -3t -6$
$a = v’ = 6t – 3$
이때 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각은
$v = 3t^2 -3t -6 = 3(t-2)(t+1) = 0$
에서
$t = 2$
따라서 $t = 2$에서 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌므로 구하는 가속도는
$6 \times 2 – 3 = 9$

12. $a_1 = 2$인 수열 $\{ a_n \}$과 $b_1 = 2$인 등차수열 $\{ b_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2}n^2$$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k$의 값은? [4점]

① $120$
② $125$
③ $130$
④ $135$
⑤ $140$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2}n^2$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에 $n=1$을 대입하면
$\frac{a_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
$a_1 = 2$이므로 $b_2 = 4$
등차수열 $\{ b_n \}$에서 $b_1 = 2$, $b_2 = 4$이므로 $\{ b_n \}$은 첫째항이 $2$, 공차가 $2$인 등차수열이다.
즉, $b_n = 2n$
한편, ㉠의 양변에 $n$ 대신 $n-1$을 대입하면
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2}(n-1)^2$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠$-$㉡을 하면
$\frac{a_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{2}n^2 – \frac{1}{2}(n-1)^2 = n – \frac{1}{2}$
$b_{n+1} = 2(n+1)$이므로
$a_n = 2(n+1)(n – \frac{1}{2})$ $= 2n^2 + n -1$ ($n \ge 2$)
이 때, $a_1 = 2$이므로 $a_n = 2n^2 + n -1$

따라서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k = \sum_{k=1}^{5}(2k^2 + k -1)$
$= 2 \times \frac{5 \times 6 \times 11}{6} + \frac{5 \times 6}{2} – 1 \times 5$
$= 120$

13. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $$f(1) = f(2) = 0, \:f'(0) = -7$$ 을 만족시킨다. 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(3, f(3))$에 대하여 선분 $\mathrm{OP}$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.
곡선 $y = f(x)$와 $y$축 및 선분 $\mathrm{OQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y = f(x)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 할 때, $B - A$의 값은? [4점]

① $\frac{37}{4}$
② $\frac{39}{4}$
③ $\frac{41}{4}$
④ $\frac{43}{4}$
⑤ $\frac{45}{4}$

32411_c13_1

$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 $f(1) = f(2) = 0$이므로
$f(x) = (x-1)(x-2)(x-k)$ ($k$는 상수)
로 놓을 수 있다.
이때, $f'(x) = (x-2)(x-k) + (x-1)(x-k) + (x-1)(x-2)$이고,
$f'(0) = -7$이므로 $2k + k +2 = -7$
즉, $k = -3$이므로
$f(x) = (x-1)(x-2)(x+3)$
이고, $f(3) = 12$이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P}(3, 12)$
따라서 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y = 4x$이므로
$B – A = \int_{0}^{3}\{ 4x – f(x) \} dx$
$= \int_{0}^{3}\{ 4x – (x^3 – 7x + 6) \} dx$
$= \int_{0}^{3}(-x^3 + 11x – 6) dx$
$= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{11}{2}x^2 -6x \right]_{0}^{3}$
$= -\frac{1}{4} \times 81 + \frac{11}{2} \times 9 – 6 \times 3$
$= \dfrac{45}{4}$

[참고]
점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $a$라 하면
$B – A = \int_{a}^{3}\{ 4x – f(x) \} dx – \int_{0}^{a}\{ f(x) – 4x \} dx$
$= \int_{a}^{3}\{ 4x – f(x) \} dx + \int_{0}^{a}\{ 4x – f(x) \} dx$
$= \int_{0}^{3}\{ 4x – f(x) \} dx$

14. 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DB}} = 3 : 2$ 인 점 $\mathrm{D}$를 잡고, 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{D}$를 지나는 원을 $O$, 원 $O$와 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자.
$\sin A : \sin C = 8 : 5$이고, 삼각형 $\mathrm{ADE}$ 와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 비가 $9 : 35$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $7$일 때, 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이의 최댓값은? (단, $\overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{AC}}$ ) [4점]

32411_c14_1

① $18 + 15\sqrt{3}$
② $24 + 20\sqrt{3}$
③ $30 + 25\sqrt{3}$
④ $36 + 30\sqrt{3}$
⑤ $42 + 35\sqrt{3}$

원 $O$의 반지름의 길이를 $r$이라 하면
$\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AE}} = r$
이고 $\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DB}} = 3 : 2$이므로
$\overline{\mathrm{DB}} = \frac{2}{3}r$
또한 $\overline{\mathrm{CE}} = x$라 하면 삼각형 $\mathrm{ADE}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 각각
$\frac{1}{2} \times r \times r \times \sin A = \frac{1}{2}r^{2}\sin A$
$\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}r \times (r+x) \times \sin A = \frac{5}{6}r(r+x)\sin A$
이고 삼각형 $\mathrm{ADE}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 비가 $9 : 35$이므로
$\frac{1}{2}r^{2}\sin A : \frac{5}{6}r(r+x)\sin A = 9 : 35$
$3r + 3x = 7r$, $x = \frac{4}{3}r$
이때 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C}$
이고
$\overline{\mathrm{AB}} = \frac{5}{3}r$, $\sin A : \sin C = 8 : 5$
이므로
$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AB}} \times \frac{\sin A}{\sin C}$
$= \frac{5}{3}r \times \frac{8}{5} = \frac{8}{3}r$
$\angle \mathrm{ACB} = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos \theta = \dfrac{ (\frac{8}{3}r)^2 + (\frac{7}{3}r)^2 – (\frac{5}{3}r)^2 }{2 \times \frac{8}{3}r \times \frac{7}{3}r}$ $= \dfrac{11}{14}$
이므로
$\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^{2} \theta}$
$= \sqrt{1 – (\frac{11}{14})^2}$ $= \frac{5 \sqrt{3}}{14}$
또한 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 $7$이므로
$\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin \theta} = 2 \times 7$, 즉 $\dfrac{\frac{5}{3}r}{\sin \theta} = 14$에서
$\frac{5}{3}r = 14 \sin \theta = 14 \times \frac{5 \sqrt{3}}{14} = 5\sqrt{3}$
$r = 3\sqrt{3}$
점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{AC}} \sin \theta$
$= \frac{7}{3}r \sin \theta$
$= \frac{7}{3} \times 3\sqrt{3} \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}$
$= \frac{15}{2}$
따라서 직선 $\mathrm{AH}$와 원 $O$가 만나는 점 중 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외부의 점$\mathrm{Q}$을 라하면, 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이가 최대일 때는 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{Q}$의 위치에 있을 때이다.
이때
$\overline{\mathrm{QH}} = r + \overline{\mathrm{AH}}$ $= 3\sqrt{3} + \frac{15}{2}$
이므로 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이의 최댓값은
$\frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 3 \sqrt{3} \times (3\sqrt{3} + \frac{15}{2})$
$= 36 + 30 \sqrt{3}$

15. 상수 $a$ ($a \ne 3\sqrt{5}$)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + 15x +7 & (x \le 0) \\ \\ f(x) & (x > 0) \end{cases}$$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) $x$에 대한 방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다.

$g(-2) + g(2)$의 값은? [4점]

① $30$
② $32$
③ $34$
④ $36$
⑤ $38$

$g(0) = 7$
$x < 0$일 때,
$g'(x) = 3x^2 +2ax + 15$
이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}g'(x) = 15$
조건 (가)에서 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x) = 7$
$\displaystyle \lim_{x \to 0+}f'(x) = 15$
이차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수를 $p$ ($p < 0$)라 하면
$f(x) = px^2 + 15x + 7$
$f'(x) = 2px + 15$
$f'(x) = 0$에서 $2px + 15 = 0$
$x = -\frac{15}{2p}$
이때, $p < 0$이므로 $-\frac{15}{2p} > 0$

조건 (나)에서 $x$에 대한 방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$이므로 함수 $g(x)$는 $x < 0$에서 극댓값과 극솟값을 가져야 한다.
즉, $x < 0$에서 방정식 $g'(x) = 0$은 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta < 0$)를 갖고,
$\beta = \alpha + 4$, $-\frac{15}{2p} = \beta + 4$ $\cdots\cdots$ ㉠
이어야 한다.
이차방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$의 서로 다른 두 실근이 $\alpha$, $\alpha + 4$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$\alpha + (\alpha + 4) = -\frac{2a}{3}$ $\cdots\cdots$ ㉡
$\alpha(\alpha + 4) = 5$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉢에서 $\alpha^{2} + 4\alpha – 5 = 0$
$(\alpha + 5)(\alpha – 1) = 0$
$\alpha < 0$이므로 $\alpha = -5$
$\alpha = -5$를 ㉡에 대입하면
$-5 + (-5 + 4) = -\frac{2a}{3}$
$a = 9$
$\alpha = -5$를 ㉠에 대입하면
$\beta = -5 + 4 = -1$
$-\frac{15}{2p} = -1 + 4$
$p = -\frac{5}{2}$

따라서 $g(-2) = (-2)^3 + 9 \times (-2)^2 + 15 \times (-2) + 7 = 5$
$g(2) = -\frac{5}{2} \times 2^2 + 15 \times 2 + 7 = 27$
이므로
$g(-2) + g(2) = 5 + 27 = 32$

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16. 방정식 $$\log_{2}(x-3) = \log_{4}(3x-5)$$ 를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

$7$

로그의 진수의 조건에 의해 $x-3 > 0$, $3x-5 > 0$
즉, $x > 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\log_{2}(x-3) = \log_{4}(3x-5)$ $\cdots\cdots$ ㉡
이때
$\log_{2}(x-3) = \log_{2^2}(x-3)^{2} = \log_{4}(x-3)^{2}$
이므로 ㉡에서
$\log_{4}(x-3)^{2} = \log_{4}(3x-5)$
즉, $(x-3)^{2} = 3x-5$에서
$x^2 -6x +9 = 3x-5$
$x^2 -9x + 14 = 0$
$(x-2)(x-7) = 0$
따라서 ㉠에 의해 $x = 7$

17. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 9x^2 + 4x$이고 $f(1) = 6$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]

$33$

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (9x^2 + 4x) dx$
$= 3x^3 + 2x^2 + C$ (단, $C$는 적분상수)
이때 $f(1) = 6$이므로 $C = 1$
따라서 $f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 1$이므로
$f(2) = 24 + 8 + 1 = 33$

18. 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_n + a_{n+4} = 12$$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{16}a_n$의 값을 구하시오. [3점]

$96$

$a_n + a_{n+4} = 12$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{8}a_n = \sum_{n=1}^{4}(a_n + a_{n+4})$
$= \displaystyle \sum_{n=1}^{4}12 = 12 \times 4 = 48$

$\displaystyle \sum_{n=9}^{16}a_n = \sum_{n=9}^{12}(a_n + a_{n+4})$
$= \displaystyle \sum_{n=9}^{12}12 = 12 \times 4 = 48$

따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{16}a_n = \sum_{n=1}^{4}(a_n + a_{n+4}) + \sum_{n=9}^{12}(a_n + a_{n+4})$
$= 48 + 48 = 96$

19. 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = 2x^3 -3ax^2 -12a^{2}x$$ 라 하자. 함수 $f(x)$의 극댓값이 $\dfrac{7}{27}$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오. [3점]

$41$

$f(x) = 2x^3 -3ax^2 -12a^{2}x$에서
$f'(x) = 6x^2 -6ax -12a^2 = 6(x+a)(x-2a)$
$f'(x) = 0$에서
$x = -a$ 또는 $x = 2a$
$a > 0$이므로 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f(x)$는 $x = -a$에서 극댓값을 갖고, $x = 2a$에서 극솟값을 갖는다.
함수 $f(x)$의 극댓값이 $\frac{7}{27}$이고
$f(-a) = -2a^3 -3a^3 + 12a^3 = 7a^3$
이므로
$7a^3 = \frac{7}{27}$에서 $a^3 = \frac{1}{27}$
$a > 0$이므로 $a = \frac{1}{3}$

따라서 $f(x) = 2x^3 -x^2 – \frac{4}{3}x$이므로
$f(3) = 54 – 9 – 4 = 41$

20. 곡선 $y = \left( \dfrac{1}{5}\right)^{x-3}$과 직선 $y=x$ 가 만나는 점의 $x$좌표를 $k$라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$x > k$인 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x) = \left( \dfrac{1}{5}\right)^{x-3}$이고 $f(f(x)) = 3x$이다.

$f\left( \dfrac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)$의 값을 구하시오. [4점]

$36$

곡선 $y = (\frac{1}{5})^{x-3}$과 직선 $y=x$는 다음 그림과 같다.
$x > k$인 모든 실수 $x$에 대하여
$f(f(x)) = 3x$ $\cdots\cdots$ ㉠
곡선 $y = (\frac{1}{5})^{x-3}$과 직선 $y=x$가 만나는 점의 $x$좌표가 $k$이므로
$(\frac{1}{5})^{k-3} = k$
즉, $(\frac{1}{5})^{k} \times (\frac{1}{5})^{-3} = k$에서
$k \times 5^k = 5^3$
그러므로 구하는 값은 다음과 같다.
$f( \frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}) = f( (\frac{1}{k \times 5^{k}})^{3})$
$= f( (\frac{1}{5^{3}})^{3}) = f(\frac{1}{5^{9}})$ $\cdots\cdots$ ㉡

한편, $x > k$에서 $f(x) = (\frac{1}{5})^{x-3}$이므로 $k$ 보다 작은 임의의 두 양수 $y_1$,  $y_2$  ($y_1 < y_2$)에 대하여
$f(x_1) = (\frac{1}{5})^{x_{1}-3} = y_1$
$f(x_2) = (\frac{1}{5})^{x_{2}-3} = y_2$
인 $x_1$, $x_2$ ($k < x_1 < x_2$)이 존재한다.
㉠에서
$f(f(x_1)) = 3x_1$, $f(f(x_2)) = 3x_2$
이므로
$f(f(x_1)) > f(f(x_2))$
즉, $f(y_1) > f(y_2)$이므로 함수 $f(x)$는 $x < k$에서 감소한다.
$x > k$에서 $f(x) = (\frac{1}{5})^{x-3}$이므로 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 감소한다.
그러므로 ㉡에서 $f(\alpha) = \frac{1}{5^9}$인 실수 $\alpha$ ($\alpha > k$)가 존재한다.
이때 $f(\alpha) = (\frac{1}{5})^{\alpha-3} = \frac{1}{5^9}$에서
$\alpha – 3 = 9$, 즉 $\alpha = 12$

따라서 ㉠에 의해 구하는 값은
$f(\frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}) = f(\frac{1}{5^{9}})$
$= f(f(\alpha)) = 3\alpha = 3 \times 12 = 36$

21. 함수 $f(x) = x^3 +ax^2 +bx +4$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a$, $b$에 대하여 $f(1)$의 최댓값을 구하시오. [4점]

모든 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to \alpha}\frac{f(2x+1)}{f(x)}$의 값이 존재한다.

$16$

삼차방정식 $x^3 +ax^2 +bx +4 = 0$은 적어도 하나의 실근을 가지므로 $f(\beta) = 0$인 실수 $\beta$가 존재한다.
모든 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to \alpha}$$\frac{f(2x+1)}{f(x)}$의 값이 존재하므로 $f(\beta) = 0$인 $\beta$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to \beta}f(x) = 0$이고, $\displaystyle \lim_{x \to \beta}f(2x+1) = 0$
함수 $f(x)$는 연속이므로 $f(2\beta + 1) = 0$
즉 $2\beta + 1$은 방정식 $f(x) = 0$의 근이다.
마찬가지 방법으로 $2\beta + 1$이 방정식 $f(x) = 0$의 근이면 $2(2\beta + 1) + 1 = 4 \beta + 3$도 방정식 $f(x) = 0$근이고
$2(4\beta + 3) + 1 = 8 \beta + 7$도 방정식 $f(x) = 0$의 근이다.
만약 $\beta \ne 2\beta + 1$, 즉 $\beta \ne -1$이면 $\beta$, $2\beta + 1$, $4\beta + 3$, $8\beta + 7$가 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 네 근이다.
그러므로 방정식 $f(x) = 0$는 $x = -1$ 만 실근으로 갖는다.
$f(-1) = 0$에서 $f(-1) = -1 + a – b + 4 = 0$
$b = a + 3$
$f(x) = x^3 +ax^2 +(a+3)x +4 = (x+1)\{ x^2 + (a-1)x + 4 \}$
$f(x) \ne (x+1)^3$이므로 이차방정식 $x^2 + (a-1)x + 4 = 0$의 실근은 존재하지 않는다.
위의 이차방정식의 판별식을 $D$라 할 때
$D = (a-1)^2 – 16 < 0$
$a^2 -2a -15 < 0$
$(a+3)(a-5) < 0$
$-3 < a < 5$
$f(1) = a + b + 5 = a + (a+3) + 5 = 2a + 8$에서 $f(1)$의 최댓값은 $a=4$일 때,  $2 \times 4 + 8 = 16$

22. 모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $| a_1 |$의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & (| a_n | \textbf{이 홀수인 경우}) \\ \\ \frac{1}{2}a_n & (a_n = 0 \textbf{ 또는 }| a_n | \textbf{이 짝수인 경우}) \end{cases}$
이다.
(나) $| a_m | = | a_{m+2} |$인 자연수 $m$의 최솟값은 $3$이다.

$64$

조건 (나)에서 $| a_m | = | a_{m+2} |$를 만족시키는 자연수 $m$의 최솟값이 $3$이므로 다음의 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) $| a_3 |$이 홀수인 경우
$a_4 = a_3 – 3$이고 짝수이다.
$a_5 = \frac{1}{2}a_4 = \frac{1}{2}(a_3 – 3)$
$| a_3 | = | a_5 |$에서 $| a_3 | = | \frac{1}{2}(a_3 – 3) |$
$a_3 = 1$ 또는 $a_3 = -3$
$a_3 = 1$이면 $a_4 = -2$이고 $1$은 홀수이므로 $a_2$는 짝수이고 $a_2 = 2$이므로 $| a_2 | = | a_4 |$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
$a_3 = -3$이면 $a_4 = -6$이고 $a_2 = -6$이므로 $| a_2 | = | a_4 |$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) $| a_3 |$이 $0$ 또는 짝수인 경우

$| a_3 | = | \frac{1}{4}a_3 |$에서 $a_3 = 0$
$a_3 = 0$이면 $3$ 이상의 모든 자연수 $m$에 대하여 $a_m = 0$이고 $a_2$, $a_1$은 다음과 같다.

$a_2 = 0$이면 $| a_2 | = | a_4 |$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않으므로, 이때의 조건을 만족시키는 $a_1$의 값은 $6$이다.
한편, $| a_3 | = | \frac{1}{2}a_3 -3 |$에서
$a_3 = 2$ 또는 $a_3 = -6$
$a_3 = 2$이면 $a_4 = 1$이고 $a_2$, $a_1$은 다음과 같다.

이때 조건을 만족시키는 $a_1$의 값은 $10$, $7$, $8$이다.
$a_3 = -6$이면 $a_4 = -3$이고 $a_2$, $a_1$은 다음과 같다.

$a_2 = -3$이면 $| a_2 | = | a_4 |$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않으므로, 이때의 조건을 만족시키는 $a_1$의 값은 $-9$, $-24$이다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $| a_1 |$의 값의 합은
$6 + (10 + 7 + 8) + (9 + 24) = 64$

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. 다항식 $(x^3 + 2)^{5}$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [2점]

① $40$
② $50$
③ $60$
④ $70$
⑤ $80$

다항식 $(x^3 + 2)^{5}$의 전개식의 일반항은
$_{5}\mathrm{C}_{r}2^{5-r} \times (x^3)^r$ ($r = 0, 1, 2, \cdots, 5$)
$x^6$ 항은 $r=2$일 때이므로 $x^6$의 계수는
$_{5}\mathrm{C}_{2}2^{5-2} = 10 \times 8 = 80$

24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(A\, | B) = \mathrm{P}(A) = \frac{1}{2}, \:\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{2\3}{5}$
③ $\frac{7}{10}$
④ $\frac{4}{5}$
⑤ $\frac{9}{10}$

$\mathrm{P}(A | B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} = \mathrm{P}(A)$이므로
$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$
이때 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{2}$, $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{5}$이므로
$\mathrm{P}(B) = \frac{2}{5}$
따라서
$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A \cap B)$
$= \frac{1}{2} + \frac{2}{5} – \frac{1}{5}$
$= \dfrac{7}{10}$

25. 정규분포 $\mathrm{N}(m, 2^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $256$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간이 $a \le m \le b$이다. $b-a$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(| Z | \le 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]

① $0.49$
② $0.52$
③ $0.55$
④ $0.58$
⑤ $0.61$

모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간이 $a \le m \le b$ 이므로
$b – a = 2 \times 1.96 \times \frac{2}{\sqrt{256}}$
$= 2 \times 1.96 \times \frac{1}{8}$
$= 0.49$

26. 어느 학급의 학생 $16$명을 대상으로 과목 $\mathrm{A}$와 과목 $\mathrm{B}$에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 $\mathrm{A}$와 과목 $\mathrm{B}$ 중 하나를 선택하였고, 과목 $\mathrm{A}$를 선택한 학생은 $9$명, 과목 $\mathrm{B}$를 선택한 학생은 $7$명이다. 이 조사에 참여한 학생 $16$명 중에서 임의로 $3$명을 선택할 때, 선택한 $3$명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 $\mathrm{B}$ 를 선택한 학생일 확률은? [3점]

① $\frac{3}{4}$
② $\frac{4}{5}$
③ $\frac{17}{20}$
④ $\frac{9}{10}$
⑤ $\frac{19}{20}$

어느 학급의 학생 $16$명 중 과목 $\mathrm{A}$를 선택한 학생이 $9$명이므로 $16$명 중에서 선택한 $3$명의 학생 모두 과목 $\mathrm{A}$를 선택할 확률은
$\dfrac{_{9}\mathrm{C}_{3}}{_{16}\mathrm{C}_{3}} = \dfrac{\frac{9 \times 8 \times7}{3 \times 2 \times1}}{\frac{16 \times 15 \times14}{3 \times 2 \times1}} = \dfrac{3}{20}$
따라서 $16$명 중에서 선택한 $3$명의 학생 중 적어도 한 명이 과목 $\mathrm{B}$를 선택한 학생일 확률은 여사건의 확률에 의해
$1 – \frac{3}{20} = \dfrac{17}{20}$

27. 숫자 $1$, $3$, $5$, $7$, $9$가 각각 하나씩 적혀 있는 $5$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $1$장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $3$번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 하자. $\mathrm{V}(a \overline{X} + 6) = 24$일 때, 양수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

32411_x27_1

모집단의 확률변수를 $X$라 하면
$\mathrm{E}(X) = \frac{1+3+5+7+9}{5} = 5$
$\mathrm{V}(X) = \frac{(1-5)^{2}+(3-5)^{2}+(5-5)^{2}+(7-5)^{2}+(9-5)^{2}}{5} = 8$

모집단에서 임의추출한 크기가 $3$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$의 분산은
$\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{\mathrm{V}(X)}{3} = \frac{8}{3}$
$\mathrm{V}(a \overline{X} + 6) = 24$에서
$\mathrm{V}(a \overline{X} + 6) = a^2 \mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{8}{3}a^2$
이므로
$\frac{8}{3}a^2 = 24$에서 $a^2 = 9$

따라서 양수 $a$의 값은 $3$이다.

28. 집합 $X = \{ 1, \,2, \,3, \,4, \,5, \,6 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$ 의 개수는? [4점]

(가) $f(1) \times f(6)$의 값이 $6$의 약수이다.
(나) $2f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2f(6)$

① $166$
② $171$
③ $176$
④ $181$
⑤ $186$

$6$의 약수는 $1$, $2$, $3$, $6$이므로 조건 (가)에서
$f(1) \times f(6) = 1$ 또는 $f(1) \times f(6) = 2$
또는 $f(1) \times f(6) = 3$ 또는 $f(1) \times f(6) = 6$

(i) $f(1) \times f(6) = 1$일 때
$f(1) = f(6) = 1$
따라서 조건 (나)에서 $2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2$
즉, $f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 2$
따라서 이 조건을 만족시키는 함수 의 개수는 $1$이다.

(ii) $f(1) \times f(6) = 2$일 때
$f(1) \le f(6)$이므로 $f(1) = 1$, $f(6) = 2$
따라서 조건 (나)에서 $2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 4$
이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
${}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{3+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4}$
$= {}_{6}\mathrm{C}_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
따라서 이 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $15$이다.

(iii) $f(1) \times f(6) = 3$일 때
$f(1) \le f(6)$이므로 $f(1) = 1$, $f(6) = 3$
따라서 조건 (나)에서 $2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 6$이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
${}_{5}\mathrm{H}_{4} = {}_{5+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{8}\mathrm{C}_{4}$
$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
따라서 이 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $70$이다.

(iv) $f(1) \times f(6) = 6$일 때
$f(1) \le f(6)$이므로 $f(1) = 1$, $f(6) = 6$ 또는 $f(1) = 2$, $f(6) = 3$
① $f(1) = 1$, $f(6) = 6$일 때
조건 (나)에서 $2 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 12$이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
${}_{5}\mathrm{H}_{4} = {}_{5+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{8}\mathrm{C}_{4}$
$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
② $f(1) = 2$, $f(6) = 3$일 때
조건 (나)에서 $4 \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 6$이므로 $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
${}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{3+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4}$
$= {}_{6}\mathrm{C}_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
따라서 이 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수는 $70 + 15 = 85$이다.

(i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는
$1 + 15 + 70 + 85 = 171$

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29. 정규분포 $\mathrm{N}(m_{1}, \sigma_{1}^{2})$을 따르는 확률변수 $X$와 정규분포 $\mathrm{N}(m_{2}, \sigma_{2}^{2})$을 따르는 확률변수 $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $x$에 대하여
$\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(X \ge 40-x)$이고
$\mathrm{P}(Y \le x) = \mathrm{P}(X \le x+10)$이다.

$\mathrm{P}(15 \le X \le 20) + \mathrm{P}(15 \le Y \le 20)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 $0.4772$일 때, $m_1 + \sigma_{2}$의 값을 구하시오. (단, $\sigma_{1}$과 $\sigma_{2}$는 양수이다.) [4점]

32411_x29_1

$25$

$\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(Z \le \frac{x – m_1}{\sigma_1})$
$\mathrm{P}(X \ge 40-x) = \mathrm{P}(Z \ge \frac{(40-x) – m_1}{\sigma_1})$
이므로
$\mathrm{P}(Z \le \frac{x – m_1}{\sigma_1}) = \mathrm{P}(Z \ge \frac{(40-x) – m_1}{\sigma_1})$
에서
$\frac{x – m_1}{\sigma_1} + \frac{(40-x) – m_1}{\sigma_1} = 0$
$40 – 2m_1 = 0$, $m_1 = 20$
또한
$\mathrm{P}(Y \le x) = \mathrm{P}(Z \le \frac{x-m_2}{\sigma_2})$
$\mathrm{P}(X \le x+10) = \mathrm{P}(Z \le \frac{(x+10)-m_1}{\sigma_1}) = \mathrm{P}(Z \le \frac{x-10}{\sigma_1})$
이므로
$\mathrm{P}(Z \le \frac{x-m_2}{\sigma_2}) = \mathrm{P}(Z \le \frac{x-10}{\sigma_1})$
에서
$\frac{x-m_2}{\sigma_2} = \frac{x-10}{\sigma_1}$
$\sigma_1 x – m_2 \sigma_1 = \sigma_2 x – 10 \sigma_2$
이 식은 $x$에 대한 항등식이므로
$\sigma_1 = \sigma_2$,  $-m_2 \sigma_1 = -10\sigma_2$
즉 $m_2 = 10$

$\mathrm{P}(15 \le X \le 20) + \mathrm{P}(15 \le Y \le 20)$
$= \mathrm{P}(\frac{15-20}{\sigma_1} \le Z \le \frac{20-20}{\sigma_1}) + \mathrm{P}(\frac{15-10}{\sigma_2} \le Z \le \frac{20-10}{\sigma_2})$
$= \mathrm{P}(-\frac{5}{\sigma_1} \le Z \le 0) + \mathrm{P}(\frac{5}{\sigma_2} \le Z \le \frac{10}{\sigma_2})$
$= \mathrm{P}(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma_1}) + \mathrm{P}(\frac{5}{\sigma_2} \le Z \le \frac{10}{\sigma_2})$
$= \mathrm{P}(0 \le Z \le \frac{5}{\sigma_1}) + \mathrm{P}(\frac{5}{\sigma_1} \le Z \le \frac{10}{\sigma_1})$
$= \mathrm{P}(0 \le Z \le \frac{10}{\sigma_1}) = 0.4772$
이때 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 2) = 0.4772$이므로
$\frac{10}{\sigma_1} = 2$, $\sigma_1 = 5$
즉 $\sigma_2 = 5$이므로
$m_1 + \sigma_2 = 20 + 5 = 25$

30. 탁자 위에 $5$개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 $5$개의 동전 중 $1$ 번째 자리와 $2$ 번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 $3$개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다.
이 $5$개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k \le 5$이면 $k$ 번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고,
$k = 6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 $3$번 반복한 후 이 $5$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32411_x30_1

$19$

동전의 앞면을 $\mathrm{H}$, 동전의 뒷면을 $\mathrm{T}$라 하자. $6$의 눈이 나올 때 동전의 앞면의 개수와 뒷면의 개수가 서로 바뀌므로 주어진 시행을 $3$번 반복했을 때, $6$의 눈이 나온 횟수를 기준으로 경우를 나누어 $5$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률을 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) $6$의 눈이 세 번 나온 경우
각 자리에 있는 동전이 $\mathrm{TTHHH}$이므로 주어진 상황을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) $6$의 눈이 두 번 나온 경우
$3$번의 시행 이후, 가능한 경우는 $\mathrm{H}$가 $1$개, $\mathrm{T}$가 $4$개  또는  $\mathrm{H}$가 $3$개, $\mathrm{T}$가 $2$개이므로 주어진 상황을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) $6$의 눈이 한 번 나온 경우
주어진 상황을 만족시키려면 $1$ 번째 자리, $2$ 번째 자리의 동전을 각각 한 번씩 뒤집고, $5$개의 동전을 한 번씩 뒤집어야 한다. 즉, 주사위의 눈의 수 $1$, $2$, $6$이 각각 한 번씩 나와야 한다.
이를 만족하는 경우의 수는 $1$, $2$, $6$을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $3! = 6$
그러므로 이 경우의 확률은 $(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}) \times 3! = \frac{1}{36}$

(ⅳ) $6$의 눈이 한 번도 나오지 않는 경우
주어진 상황을 만족시키려면 $3$ 번째 자리, $4$ 번째 자리, $5$ 번째 자리의 동전을 각각 한 번씩 뒤집어야 한다. 즉, 주사위의 눈의 수 $3$, $4$, $5$가 각각 한 번씩 나와야 한다. 이를 만족하는 경우의 수는 $3$, $4$, $5$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
$3! = 6$
그러므로 이 경우의 확률은 $(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}) \times 3! = \frac{1}{36}$

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의해 구하는 확률은
$\frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{1}{18}$
따라서 $p = 18$, $q = 1$이므로
$p + q = 19$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{3x^2}{\sin^{2}x}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{3x^2}{\sin^{2}x}$
$= \displaystyle 3 \times \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}} \times \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}}$
$= 3$

24. $\displaystyle \int_{0}^{10}\frac{x+2}{x+1}dx$의 값은? [3점]

① $10 + \ln 5$
② $10 + \ln 7$
③ $10 + 2\ln 3$
④ $10 + \ln 11$
⑤ $10 + \ln 13$

$\displaystyle \int_{0}^{10}\frac{x+2}{x+1}dx$
$= \displaystyle \int_{0}^{10}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx$
$= \left[ \,x+ \ln | x+1 | \,\right]_{0}^{10}$
$= 10 + \ln 11$

25. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{na_n}{n^2 + 3} = 1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{a_{n}^{\:2}+n} - a_n)$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{3}$
② $\frac{1}{2}$
③ $1$
④ $2$
⑤ $3$

$b_n = \frac{na_n}{n^2 + 3}$이라 하면
$a_n = \frac{b_{n}(n^2 + 3)}{n}$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n}(n^2 + 3)}{n^2}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} \times \lim_{n \to \infty}\frac{n^2 + 3}{n^2} = 1$

따라서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{a_{n}^{2}+n} – a_n)$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}^{2} + n – a_{n}^{2}}{\sqrt{a_{n}^{2}+n} + a_n}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{(\frac{a_{n}}{n})^{2}+\frac{1}{n}} + \frac{a_{n}}{n}}$
$= \dfrac{1}{\sqrt{1^2 + 0} + 1}$ $= \dfrac{1}{2}$

26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{\dfrac{x+1}{x(x + \ln x)}}$과 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x = e$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

32411_y26_1

① $\ln (e+1)$
② $\ln (e+2)$
③ $\ln (e+3)$
④ $\ln (2e+1)$
⑤ $\ln (2e+2)$

직선 $x=t$ ($1 \le t \le e$)를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(t)$라 하면
$S(t) = \left(\sqrt{\frac{t+1}{t(t + \ln t)}} \right)^2 = \frac{t+1}{t(t + \ln t)}$
따라서 이 입체도형의 부피는
$\int_{1}^{e}S(t)dt = \int_{1}^{e}\frac{t+1}{t(t + \ln t)}dt$

이때 $t + \ln t = s$라 하면
$\frac{ds}{dt} = 1 + \frac{1}{t} = \frac{t+1}{t}$
이고 $t=1$일 때 $s=1$, $t=e$일 때 $s=e+1$이므로
$\int_{1}^{e}S(t)dt = \int_{1}^{e}\frac{t+1}{t(t + \ln t)}dt$
$= \int_{1}^{e+1}\frac{1}{s}ds = \left[ \,\ln s \,\right]_{1}^{e+1}$ $= \ln (e+1)$

27. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = f(e^x) + e^x$$ 이라 하자. 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(0, \,g(0))$에서의 접선이 $x$축이고 함수 $g(x)$가 역함수 $h(x)$를 가질 때, $h'(8)$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{36}$
② $\frac{1}{18}$
③ $\frac{1}{12}$
④ $\frac{1}{9}$
⑤ $\frac{5}{36}$

곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$에서의 접선이 $x$축이므로 $g(0) = 0$, $g'(0) = 0$이다.
$g(0) = f(e^0) + e^0 = f(1) + 1 = 0$
$f(1) = -1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$g'(x) = f'(e^x) \times e^x + e^x$이므로
$g'(0) = f'(e^0) \times e^0 + e^0 = f'(1) + 1 =0$
$f'(1) = -1$ $\cdots\cdots$ ㉡

한편, 함수 $g(x)$가 역함수를 가지므로 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x) \ge 0$ 또는 $g'(x) \le 0$이어야 한다.
$g'(x) = f'(e^x) \times e^x + e^x = e^{x}\{f'(e^x) + 1\}$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $e^x > 0$이고 함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(e^x) + 1 \ge 0$, 즉 $f'(e^x) \ge -1$이어야 한다.

㉡에서 $f'(1) = -1$이고 함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수이므로
$f'(x) = 3(x-1)^2 -1$이어야 한다.
$f(x) = \int \{ 3(x-1)^2 -1 \}dx$ $= (x-1)^3 -x + C$ ($C$는 적분상수)
이고 ㉠에서 $f(1) = -1$이므로
$f(1) = -1 + C = -1$, $C = 0$
$f(x) = (x-1)^3 -x$
$g(x) = f(e^x) + e^x$ $= (e^x-1)^3 – e^x + e^x = (e^x-1)^3$

한편, 함수 $h(x)$가 함수 $g(x)$의 역함수이므로 $h(8) = k$라 하면 $g(k) = 8$에서
$(e^k – 1)^3 = 8$, $e^k – 1 = 2$, $e^k = 3$, $k = \ln 3$

따라서
$h'(8) = \frac{1}{g'(h(8))} = \frac{1}{g'(\ln 3)} = \frac{1}{e^{\ln 3} \{ f'(e^{\ln 3}) + 1 \}}$
$= \frac{1}{3 \times [\, \{ 3 \times (3-1)^2 – 1 \} + 1 \, ] } = \dfrac{1}{36}$

28. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $$f'(x) = -x + e^{1-x^2}$$ 이다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, \,f(t))$에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$라 하자. $g(1) + g'(1)$의 값은? [4점]

① $\frac{1}{2}e + \frac{1}{2}$
② $\frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$
③ $\frac{1}{2}e + \frac{5}{6}$
④ $\frac{2}{3}e + \frac{1}{2}$
⑤ $\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}$

$x > 0$에서 $f^{”}(x) = -1-2xe^{1-x^2} < 0$이므로 곡선 $y = f(x)$는 $x > 0$에서 위로 볼록이다. 따라서 양수 $t$에 대하여 점 $(t, f(t))$에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$ ($x > 0$)의 교점은 점 $(t, f(t))$ 하나이고, 접선은 곡선의 위쪽에 위치한다.

점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식 $y = f'(t)(x-t)+f(t)$에 대하여
$g(t) = \int\{ f'(t)(x-t)+f(t)-f(x) \}dx$
이때 $f'(x) = -x + e^{1-x^2}$에서 양변에 $x$를 곱하면
$xf'(x) = -x^2 + xe^{1-x^2}$
$\int xf'(x) dx = \int (-x^2 + xe^{1-x^2}) dx$
$xf(x) – \int f(x) dx = -\frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}e^{1-x^2}$
$\int f(x) dx = xf(x) + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}e^{1-x^2}$

$g(t) = \left[ \frac{f'(t)}{2}x^2 -tf'(t)x + f(t)x \right]_{0}^{t} – \int_{0}^{t}f(x) dx$
$= \frac{1}{2}t^{2}f'(t) -t^{2}f'(t) + tf(t) – \left[ xf(x) + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}e^{1-x^2} \right]_{0}^{t}$
$= -\frac{1}{2}t^{2}f'(t) + tf(t) – ( tf(t) + \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}e^{1-t^2} – \frac{1}{2}e )$
$= -\frac{1}{2}t^{2}(-t + e^{1-t^2}) – \frac{1}{3}t^{3} -\frac{1}{2}e^{1-t^2} + \frac{1}{2}e$
$= \frac{1}{6}t^{3} – \frac{1}{2}(t^2 + 1)e^{1-t^2} + \frac{1}{2}e$
$g'(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^{3}e^{1-t^2}$

따라서
$g(1) + g'(1)= (-\frac{5}{6} + \frac{1}{2}e) + \frac{3}{2}$ $ = \frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$

1_out_of_999

29. 등비수열 $\{ a_n \}$이 $$\sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | + a_n) = \frac{40}{3}, \:\sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | - a_n) = \frac{20}{3}$$ 을 만족시킨다. 부등식 $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}$$ 을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오. [4점]

$25$

등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하자.
$a > 0$, $r > 0$인 경우 모든 자연수 $n$에 대하여 $| a_n | – a_n = 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다.
$a < 0$, $r > 0$인 경우 모든 자연수 $n$에 대하여 $| a_n | + a_n = 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다.
따라서 $a > 0$, $r < 0$이거나 $a < 0$, $r < 0$이다.

(ⅰ) $a > 0$, $r < 0$인 경우
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | + a_n) = \sum_{n=1}^{\infty}2a_{2n-1} = \frac{2a}{1-r^2} = \frac{40}{3}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | – a_n) = \sum_{n=1}^{\infty}(-2a_{2n}) = \frac{-2ar}{1-r^2} = \frac{20}{3}$
$\frac{2a}{1-r^2} \times (-r) = \frac{20}{3}$, $\frac{40}{3} \times (-r) = \frac{20}{3}$
$r = -\frac{1}{2}$, $a = 5$

(ⅱ) $a < 0$, $r < 0$인 경우
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | + a_n) = \sum_{n=1}^{\infty}2a_{2n} = \frac{2ar}{1-r^2} = \frac{40}{3}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | – a_n) = \sum_{n=1}^{\infty}(-2a_{2n-1}) = \frac{-2a}{1-r^2} = \frac{20}{3}$
$\frac{-2a}{1-r^2} \times r = \frac{40}{3}$, $-\frac{20}{3} \times (-r) = \frac{40}{3}$
$r = -2$
이때, $r < -1$이므로 $r^2 > 1$이 되어 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | + a_n)$와 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(| a_n | – a_n)$ 모두 수렴하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $a=5$, $r=-\frac{1}{2}이므로 $a_n = 5 \times (-\frac{1}{2})^{n-1}$

부등식 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}\left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}$에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} \times \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} \right) \right\} > \frac{1}{700}$
이때
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} \right) = \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \right)$
에서
$k = 4l – 3$이면 $(-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} = 1$
$k = 4l – 2$이면 $(-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} = -1$
$k = 4l – 1$이면 $(-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} = -1$
$k = 4l$이면 $(-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} = 1$ (단, $l$은 자연수)
이므로 $2n = 4p – 2$ ($p$는 자연수)이면
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \right)$
$=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1} – \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1}$ $- \displaystyle \sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{8} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{16} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1}$
$2n = 4p$ ($p$는 자연수)이면
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+3)}{2}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \right)$
$=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1} – \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1}$ $- \displaystyle \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{8} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1} + \sum_{i=1}^{p}\frac{1}{16} \times \left( \frac{1}{16} \right)^{i-1}$

$n \to \infty$이면 $p \to \infty$이고 $2n = 4p-2$, $2n = 4p$의 두 경우 모두 각 급수가 수렴하므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} \times \sum_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} \right) \right\}$
$= \displaystyle 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} \times \left\{ \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \right) \times \frac{1}{1 – \frac{1}{16}} \right\}$
$= \displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{700}$

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 $m$의 값은 $1$, $3$, $5$, $7$, $9$이고, 그 합은
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$

30. 두 상수 $a$ ($1 \le a \le 2$), $b$에 대하여 함수 $f(x) = \sin (ax + b + \sin x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$, $f(2 \pi) = 2 \pi a + b$
(나) $f'(0) = f'(t)$인 양수 $t$의 최솟값은 $4 \pi$이다.

함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서 극대인 $\alpha$의 값 중 열린구간 $(0, \,4 \pi)$에 속하는 모든 값의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_{1}$이라 하면, $n \alpha_{1} - ab = \dfrac{q}{p}\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$17$

$f(x) = \sin (ax + b + \sin x)$이고 조건 (가)에서 $f(0)=0$이므로
$f(0) = \sin b = 0$, $b = k \pi$ (단, $k$는 정수) $\cdots\cdots$ ㉠

$f(2 \pi) = 2 \pi a + b$이므로
$f(2 \pi) = \sin (2 \pi a + b) = 2 \pi a + b$ $\cdots\cdots$ ㉡

이때 $\sin x = x$를 만족시키는 실수 $x$의 값은 $0$ 뿐이므로 ㉡에서
$2 \pi a + b = 0$, $b = -2 \pi a$ $\cdots\cdots$ ㉢

㉠, ㉢에서
$-2 \pi a = k \pi$, $a = -\frac{k}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉣
이고 $f(x) = \sin (ax – 2 \pi a + \sin x)$이다.
$1 \le a \le 2$이고 ㉣에서 $a = -\frac{k}{2}$ ($k$는 정수)이므로
$a = 1$ 또는 $a = \frac{3}{2}$ 또는 $a = 2$이다.

이때 $f'(x) = \cos (ax – 2 \pi a + \sin x) \times (a + \cos x)$에서
$f'(0) = \cos (- 2 \pi a) \times (a + 1) = (a + 1)\cos 2 \pi a$
$f'(4 \pi) = \cos 2 \pi a \times (a + 1) = (a + 1)\cos 2 \pi a$
이고
$f'(2 \pi) = \cos 0 \times (a + \cos x) = a+1$
이므로 $a = 1$ 또는 $a = 2$이면 $f'(0) = (a + 1)\cos 2 \pi a = a+1$
즉, $f'(0) = f'(2 \pi)$ 이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
따라서
$a = \frac{3}{2}$, $b = -2 \pi a = -3 \pi$
이고
$f(x) = \sin (\frac{3}{2}x – 3 \pi + \sin x)$
$f'(x) = (\cos x + \frac{3}{2}) \cos (\frac{3}{2}x – 3 \pi + \sin x)$
이다.
모든 실수 $x$에 대하여 $\cos x + \frac{3}{2} \ne 0$이므로
$f'(x) = 0$에서 $\cos (\frac{3}{2}x – 3 \pi + \sin x) = 0$
$g(x) = \frac{3}{2}x – 3 \pi + \sin x$라 하면 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x) > 0$이므로 실수 전체의 집합에서 함수 $g(x)$는 증가하고 $g(0) = -3 \pi$, $g(4 \pi) = 3 \pi$이다.
이때 $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 에 대하여
$g(x) = \frac{2i-7}{2}\pi$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 $\beta_i$라 하면 함수 $f(x)$는 $x = \beta_1$, $x = \beta_3$, $x = \beta_5$에서 극소이고 $x = \beta_2$, $x = \beta_4$, $x = \beta_6$에서 극대이다. 즉, $n=3$이다.

$g(\beta_2) = -\frac{3}{2}\pi$에서 $\frac{3}{2}\beta_{2} – 3 \pi + \sin \beta_{2} = -\frac{3}{2}\pi$
$\sin \beta_{2} = -\frac{3}{2}(\beta_{2} – \pi)$
이때 곡선 $y = \sin x$와 직선 $y = -\frac{3}{2}(x – \pi)$ 는 점 $(\pi, 0)$에서만 만나므로 $\beta_{2} = \pi$이다. 즉, $\alpha_{1} = \pi$이다.

따라서 $n \alpha_{1} – ab = 3 \times \pi – \frac{3}{2} \times (-3\pi)$ $= \frac{15}{2}\pi$
$p = 2$, $q = 15$이므로
$p + q = 2 + 15 = 17$

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 두 벡터 $\overrightarrow{a} = (k, \,3)$, $\overrightarrow{b} = (1, \,2)$에 대하여 $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (6, \,9)$일 때, $k$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\overrightarrow{a} = (k, 3)$, $\overrightarrow{b} = (1, 2)$에서
$\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (k, 3) + (3, 6) = (k+3, 9)$
이고, $\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (6, 9)$이므로 $(k+3, 9) = (6, 9)$
따라서 $k+3 = 6$이므로
$k = 3$

24. 꼭짓점의 좌표가 $(1, \,0)$이고, 준선이 $x = -1$인 포물선이 점 $(3, \,a)$를 지날 때, 양수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

포물선의 꼭짓점의 좌표가 $(1, 0)$이고 준선이 직선 $x = -1$이므로 초점의 좌표는 $(3, 0)$이다.
이때 포물선 위의 점 $(3, a)$에서 포물선의 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같으므로
$\sqrt{0^2 + a^2} = | 3 – (-1) |$
$a^2 = 16$
$a > 0$이므로 $a = 4$

포물선의 꼭짓점 $(1, 0)$에서 준선 $x = -1$까지의 거리가 $2$이므로 포물선의 방정식은 $y^2 = 4 \times 2(x-1)$
즉, $y^2 = 8(x-1)$이다.
이 포물선이 점 $(3, a)$를 지나므로 $a^2 = 8(3-1) = 16$
$a > 0$이므로 $a = 4$

25. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, \,b, \,6)$, $\mathrm{B}(-4, -2, \,c)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점이 $z$축 위에 있고, $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 외분하는 점이 $xy$평면 위에 있을 때, $a+b+c$의 값은? [3점]

① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$

선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$라하면 점 $\mathrm{P}$가 $z$축 위에 있으므로 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$이다.
이때, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\frac{3 \times (-4) + 2 \times a}{3+2} = 0$이므로 $a = 6$
또, 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\frac{3 \times (-2) + 2 \times b}{3+2} = 0$이므로 $b = 3$
또, 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$가 $xy$평면 위에 있으므로 $z$좌표가 $0$이다.
이때, 점 $\mathrm{Q}$의 $z$좌표는
$\frac{3 \times c – 2 \times 6}{3-2} = 0$이므로 $c = 4$
따라서 $a + b + c = 6 + 3 + 4 = 13$

26. 자연수 $n$ ($n \ge 2$)에 대하여 직선 $x = \dfrac{1}{n}$이 두 타원 $$C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1, \:C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1$$ 과 만나는 제$1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자.
타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편을 $\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 $x$절편을 $\beta$라 할 때, $6 \le \alpha - \beta \le 15$가 되도록 하는 모든 $n$의 개수는? [3점]

① $7$
② $9$
③ $11$
④ $13$
⑤ $15$

점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\frac{1}{n}$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 $y_1$이라 하면 타원 $C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은
$\frac{\frac{1}{n}x}{2} + y_{1}y = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에서 $y=0$일 때, $x = 2n$이므로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 $x$절편 $\alpha$는 $\alpha = 2n$

점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $\frac{1}{n}$이므로 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표를 $y_2$라 하면 타원 $C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식은
$\frac{2}{n}x + \frac{y_{2}y}{2} = 1$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉡에서 $y=0$일 때, $x = \frac{n}{2}$이므로 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 $x$절편 $\beta$는 $\beta = \frac{n}{2}$
$6 \le \alpha – \beta \le 15$에서 $6 \le 2n – \frac{n}{2} \le 15$
$6 \le \frac{3n}{2} \le 15$
$4 \le n \le 10$
따라서 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 $n = 4, 5, 6, \cdots, 10$이고, 그 개수는 $7$이다.

27. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$, $\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{5}$인 사면체 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{AMD}$가 정삼각형이고 직선 $\mathrm{BC}$는 평면 $\mathrm{AMD}$와 수직일 때, 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 내접하는 원의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는? [3점]

32411_z27_1

① $\frac{\sqrt{10}}{4}\pi$
② $\frac{\sqrt{10}}{6}\pi$
③ $\frac{\sqrt{10}}{8}\pi$
④ $\frac{\sqrt{10}}{10}\pi$
⑤ $\frac{\sqrt{10}}{12}\pi$

직선 $\mathrm{BC}$가 평면 $\mathrm{AMD}$와 수직이므로 $\overline{\mathrm{BC}} \perp \overline{\mathrm{AM}}$
이때 점 $\mathrm{M}$이 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 6$인 이등변삼각형이고
$\overline{\mathrm{BM}} = 2\sqrt{5}$이므로 $\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{36 – 20} = 4$
즉, 삼각형 $\mathrm{AMD}$는 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이다.
또, $\overline{\mathrm{DM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이므로
$\overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{16 + 20} = 6$이고,
점 $\mathrm{M}$이 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{DBC}$도 이등변삼각형이다.
그러므로 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발은 선분 $\mathrm{DM}$ 위에 있고, 삼각형 $\mathrm{AMD}$가 정삼각형이므로 수선의 발은 선분 $\mathrm{DM}$의 중점이다. 이 점을 $\mathrm{N}$이라 하자.
이때 삼각형 $\mathrm{NCD}$의 넓이를 $S_1$이라 하면 $S_1$은 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이의 $\frac{1}{4}$이므로
$S_1 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 4\sqrt{5} \times 4 = 2\sqrt{5}$
한편, 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 선분 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm{L}$이라 하면
$\overline{\mathrm{CL}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{CD}}^{2} – \overline{\mathrm{DL}}^{2}} = \sqrt{36 – 4} = 4\sqrt{2}$
이므로 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이를 $S_2$라 하면
$S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

그러므로 두 평면 $\mathrm{ACD}$, $\mathrm{BCD}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영이 삼각형 $\mathrm{NCD}$이므로
$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$
이때 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 내접하는 원의 반지 름의 길이를 $r$이라 하면
$(4\sqrt{2} – r) : r = 3 : 1$이므로  $r = \sqrt{2}$
따라서 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 내접하는 원의 넓이가 $2 \pi$이므로 이 원의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는
$2 \pi \times \cos \theta = 2 \pi \times \frac{\sqrt{10}}{8} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}\pi$

28. 좌표공간에 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$, $\overline{\mathrm{BC}} = 6$, $\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$와 선분 $\mathrm{AC}$를 지름으로 하는 구 $S$가 있다. 직선 $\mathrm{AB}$를 포함하고 평면 $\mathrm{ABC}$에 수직인 평면이 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $O$라 하자. 원 $O$ 위의 점 중에서 직선 $\mathrm{AC}$ 까지의 거리가 $4$인 서로 다른 두 점을 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는? [4점]

① $\sqrt{43}$
② $\sqrt{47}$
③ $\sqrt{51}$
④ $\sqrt{55}$
⑤ $\sqrt{59}$

32411_z28_1

$\overline{\mathrm{AB}} = 8$, $\overline{\mathrm{BC}} = 6$, $\angle \mathrm{ABC} = \frac{\pi}{2}$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{BC}}^{2}} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$
선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하면 구 $S$의 중심은 점 $\mathrm{O}$이고, 반지름의 길이는 $5$이다. 원 $O$를 포함하는 평면과 평면 $\mathrm{ABC}$가 수직이므로 선분 $\mathrm{PQ}$와 선분 $\mathrm{AB}$가 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면
$\overline{\mathrm{PD}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$,   $\overline{\mathrm{PD}} = \overline{\mathrm{QD}}$
점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.
$\overline{\mathrm{PO}} = 5$, $\overline{\mathrm{PH}} = 4$이므로
직각삼각형 $\mathrm{POH}$에서
$\overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{PO}}^{2} – \overline{\mathrm{PH}}^{2}} = \sqrt{5^2 – 4^2} = 3$
$\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{OA}} – \overline{\mathrm{OH}} = 5 – 3 = 2$
한편, $\overline{\mathrm{PH}} \perp \overline{\mathrm{AC}}$, $\overline{\mathrm{PD}} \perp $ (평면 $\mathrm{ABC}$)
이므로 삼수선의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{AC}} \perp \overline{\mathrm{DH}}$
삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{AHD}$는 서로 닮음이므로
$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{AH}} : \overline{\mathrm{HD}}$에서
$8 : 6 = 2 : \overline{\mathrm{HD}}$
$\overline{\mathrm{HD}} = \frac{3}{2}$
직각삼각형 $\mathrm{PHD}$에서
$\overline{\mathrm{PD}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{PH}}^{2} – \overline{\mathrm{HD}}^{2}} = \sqrt{4^2 – (\frac{3}{2})^2} = \frac{\sqrt{55}}{2}$

따라서
$\overline{\mathrm{PQ}} = 2 \times \overline{\mathrm{PD}}$
$= 2 \times \frac{\sqrt{55}}{2} = \sqrt{55}$

1_out_of_999

29. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ ($c > 0$)인 쌍곡선 $x^2 - \dfrac{y^2}{35} = 1$이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 $\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF}}$ 인 점 $\mathrm{Q}$를 잡자.
삼각형 $\mathrm{QF'F}$와 삼각형 $\mathrm{FF'P}$가 서로 닮음일 때, 삼각형 $\mathrm{PFQ}$의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{5}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\overline{\mathrm{PF'}} < \overline{\mathrm{QF'}}$ 이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32411_z29_1

$107$

쌍곡선 $x^2 – \frac{y^2}{35} = 1$의 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F’}(-c, 0)$ ($c > 0$)이므로
$c^2 = 1 + 35 = 36$에서 $c > 0$이므로 $c=6$
$\overline{\mathrm{PF}} = \alpha$라 하면  $\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF}} = \alpha$
또, 점 $\mathrm{P}$가 쌍곡선 위에 있는 제$1$사분면 위의 점이므로
$\overline{\mathrm{PF’}} – \overline{\mathrm{PF}} = 2$에서
$\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{PF}} + 2 = \alpha + 2$
$\overline{\mathrm{QF’}} = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{PF’}}$ $= \alpha + (\alpha + 2) = 2(\alpha + 1)$

삼각형 $\mathrm{QF’F}$와 삼각형 $\mathrm{FF’P}$가 서로 닮음이므로
$\overline{\mathrm{QF’}} : \overline{\mathrm{FF’}} = \overline{\mathrm{FF’}} : \overline{\mathrm{PF’}}$에서
$2(\alpha + 1) : 12 = 12 : (\alpha + 2)$
$2(\alpha + 1)(\alpha + 2) = 144$
$\alpha^{2} + 3\alpha – 70 = 0$
$(\alpha + 10)(\alpha – 7) = 0$
$\alpha > 0$이므로 $\alpha = 7$
또, $\overline{\mathrm{QF’}} : \overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{FF’}} : \overline{\mathrm{FP}}$에서
$16 : \overline{\mathrm{QF}} = 12 : 7$
$12 \times \overline{\mathrm{QF}} = 16 \times 7$
$\overline{\mathrm{QF}} = \frac{28}{3}$
삼각형 $\mathrm{PFQ}$에서 점 $\mathrm{P}$에서 변 $\mathrm{QF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF}}$
이므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{QF}$의 중점이다.
즉, $\overline{\mathrm{FH}} = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{QF}} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{2} = \frac{14}{3}$
직각삼각형 $\mathrm{PFH}$에서
$\overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{PF}}^{2} – \overline{\mathrm{FH}}^{2} }$
$= \sqrt{ 7^{2} – (\frac{14}{3})^{2} } = \frac{7\sqrt{5}}{3}$

삼각형 $\mathrm{PFQ}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{QF}} \times \overline{\mathrm{PH}}$ $= \frac{1}{2} \times \frac{28}{3} \times \frac{7\sqrt{5}}{3}$ $= \frac{98}{9}\sqrt{5}$
따라서 $p = 9$, $q = 98$이므로
$p + q = 9 + 98 = 107$

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. $$| \overrightarrow{\mathrm{XB}} + \overrightarrow{\mathrm{XC}} | = | \overrightarrow{\mathrm{XB}} - \overrightarrow{\mathrm{XC}} |$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형을 $S$라 하자.
도형 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $$4 \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$$ 를 만족시키는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \times m$의 값을 구하시오. [4점]

32411_z30_1

$316$

선분 $\mathrm{BC}$의 중점이 원점 $\mathrm{O}$에 오고 점 $\mathrm{B}$의 좌표가 $(-2, 0)$이 되도록 정사각형 $\mathrm{ABCD}$를 좌표평면 위에 놓자.
$| \overrightarrow{\mathrm{XB}} + \overrightarrow{\mathrm{XC}} | = | 2\overrightarrow{\mathrm{XO}} |$
이고,
$| \overrightarrow{\mathrm{XB}} – \overrightarrow{\mathrm{XC}} | = | \overrightarrow{\mathrm{CB}} | = 4$
이므로 주어진 조건에 의하여
$| 2\overrightarrow{\mathrm{XO}} | = 4$, 즉 $| \overrightarrow{\mathrm{XO}} | = 2$
이므로 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형 $S$는 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원이다.
한편, $4 \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{PD}}$에서
$4 (\overrightarrow{\mathrm{OQ}} – \overrightarrow{\mathrm{OP}}) = (\overrightarrow{\mathrm{OB}} – \overrightarrow{\mathrm{OP}}) + 2 (\overrightarrow{\mathrm{OD}} – \overrightarrow{\mathrm{OP}})$
$4\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OD}} + \overrightarrow{\mathrm{OP}}$
즉, $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}} + \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$
이때 $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = (-2, 0)$, $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = (2, 4)$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (-\frac{1}{2}, 0) + (1, 2) + \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$
$= (\frac{1}{2}, 2) + \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$
그러므로 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형은 도형 $S$를 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 $\frac{1}{4}$배로 축소한 후 $x$축의 방향으로 $\frac{1}{2}$, $y$축이 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 원이다. 이 원의 중심을 $\mathrm{R}$이라 하자. 즉, 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형은 중심이 $\mathrm{R}(\frac{1}{2}, 2)$이고 반지름의 길이가 $\frac{1}{2}$인 원이다.

이때,
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AR}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AR}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$
이고,
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AR}} = (4, -4)\cdot(\frac{5}{2}, -2) = 18$
로 일정하다.

한편, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 값은 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$가 같은 방향일 때 최대이고 반대 방향일 때 최소이므로
$M = 18 + | \overrightarrow{\mathrm{AC}} || \overrightarrow{\mathrm{RQ}} |$
$= 18 + 4\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 18 + 2\sqrt{2}$
$m = 18 – | \overrightarrow{\mathrm{AC}} || \overrightarrow{\mathrm{RQ}} |$
$= 18 – 4\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 18 – 2\sqrt{2}$
따라서
$M \times m = (18 + 2\sqrt{2})(18 – 2\sqrt{2}) = 324 – 8 = 316$

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