22년 11월 대수능
수학 영역

1. $\left(\dfrac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right)^{2+\sqrt{2}}$ 의 값은? [2점]
① $\frac{1}{4}$
② $\frac{1}{2}$
③ $1$
④ $2$
⑤ $4$
2. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \sqrt{x^{2}-2}+3x }{x+5}$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
3. 공비가 양수인 등비수열 $\{ a_{n}\}$ 이 $$a_{2}+a_{4}=30, \: a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2}$$ 를 만족시킬 때, $a_{1}$ 의 값은? [3점]
① $48$
② $56$
③ $64$
④ $72$
⑤ $80$
①
등비수열 $\{ a_{n}\}$의 공비를 $r$ ($r>0$)이라 하자.
$a_{2}+a_{4}=30$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, $a_{4}+a_{6}=\frac{15}{2}$ 에서
$r^{2}(a_{2}+a_{4})=\frac{15}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
$r^{2} \times 30=\frac{15}{2}$
$r^{2}=\frac{1}{4}$
$r>0$이므로 $r^{2}=\frac{1}{2}$
㉠에서
$a_{1}r + a_{1}r^{3} = 30$
$a_{1} \times \frac{1}{2} + a_{1} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = 30$
$a_{1} \times \frac{5}{8} = 30$
따라서
$a_{1} = 30 \times \frac{8}{5} = 48$
5. $\tan \theta < 0$이고 $\cos\left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$일 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]
① $- \frac{2\sqrt{5}}{5}$
② $- \frac{\sqrt{5}}{5}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
⑤ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
⑤
$\cos\left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\sin \theta$ 이므로
$\sin \theta = – \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\tan \theta < 0$, $\sin \theta < 0$이므로 $\theta$는 제$4$사분면의 각이고, $\cos \theta > 0$이다.
그리고
$\cos^{2} \theta = 1 – \sin^{2} \theta$
$= 1- \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^{2}$
$= \frac{4}{5}$
에서
$\cos \theta = – \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 또는 $\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
따라서 $\cos \theta > 0$이므로
$\cos \theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
6. 함수 $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+ax+5$는 $x=1$에서 극대이고, $x=b$에서 극소이다. $a+b$의 값은? (단 $a$, $b$는 상수이다.) [3점]
① $12$
② $14$
③ $16$
④ $18$
⑤ $20$
7. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{ a_{n} \}$이 $$\sum_{k=1}^{15}\frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}} = 2$$ 를 만족시킬 때, $a_{4}$의 값은? [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
④
등차수열 $\{ a_{n} \}$의 첫째항과 공차가 같으므로 $a_{1} = a$라 하면
$a_{n} = a + (n-1)a = an$
한편
$\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}} = 2$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\frac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\frac{1}{\sqrt{ak}+\sqrt{a(k+1)}}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{15}\frac{\sqrt{a(k+1)}-\sqrt{ak}}{a}$
$=\dfrac{1}{a} \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \left( \sqrt{a(k+1)}-\sqrt{ak} \right)$
$=\frac{1}{a} \{ (\sqrt{2a} – \sqrt{a}) + (\sqrt{3a} – \sqrt{2a}) + \cdots + (\sqrt{16a} – \sqrt{15a}) \}$
$=\frac{1}{a} (4\sqrt{a} – \sqrt{a})$
$=\frac{3\sqrt{a}}{a}$
$=\frac{3}{\sqrt{a}} = 2$
이때, $2\sqrt{a} = 3$, $a = \frac{9}{4}$
따라서, $a_{4} = 4a = 4 \times \frac{9}{4} = 9$
8. 점 $(0, \,4)$에서 곡선 $y=x^{3}-x+2$ 에 그은 접선의 $x$ 절편은? [3점]
① $- \frac{1}{2}$
② $-1$
③ $- \frac{3}{2}$
④ $-2$
⑤ $- \frac{5}{2}$
④
$y=x^{3}-x+2$에서
$y’=3x^{2}-1$
이때 곡선 $y=x^{3}-x+2$ 위의 점 $(t, \,t^{3}-t+2)$에서의 접선의 방정식은
$y – (t^{3}-t+2) = (3t^{2}-1)(x-t)$
이 직선이 점 $(0, \,4)$를 지나므로
$4 – (t^{3}-t+2) = (3t^{2}-1)(0-t)$
정리하면 $t^{3}= -1$이므로
$t= -1$
따라서 점 $(0, \,4)$에서 곡선 $y = x^{3} -x +2$에 그은 접선의 방정식은
$y – 2 = 2(x+1)$
$y=2x+4$
그러므로 $y=2x+4$의 $x$ 의 절편은 $-2$이다.
9. 함수 $$f(x) = a - \sqrt{3} \tan 2x$$ 가 닫힌구간 $\left[ -\dfrac{\pi}{6},\,b \right]$에서 최댓값 $7$, 최솟값 $3$을 가질 때, $a \times b$의 값은? (단 $a$, $b$는 상수이다.) [4점]
① $\frac{\pi}{2}$
② $\frac{5\pi}{12}$
③ $\frac{\pi}{3}$
④ $\frac{\pi}{4}$
⑤ $\frac{\pi}{6}$
③
함수 $f(x) = a – \sqrt{3} \tan 2x$의 그래프의 주기는 $\frac{\pi}{2}$이다.
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[ -\frac{\pi}{6},\,b \right]$에서 최댓값과 최솟값을 가지므로
$-\frac{\pi}{6} < b < \frac{\pi}{4}$이다.
한편, 함수 $y=f(x)$의 그래프는 구간 $\left[ -\frac{\pi}{6},\,b \right]$에서 $x$의 값이 증가할 때, $y$의 값은 감소한다.
함수 $f(x)$는 $x = -\frac{\pi}{6}$에서 최댓값 $7$을 가지므로
$f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = a – \sqrt{3} \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = 7$에서
$ a + \sqrt{3} \tan \frac{\pi}{3} = 7$
$a+3=7$
$a=4$
함수 $f(x)$는 $x=b$에서 최솟값 $3$을 가지므로
$f(b) = 4 – \sqrt{3} \tan 2b = 3$에서
$\tan 2b = \frac{\sqrt{3}}{3}$
이때, $-\frac{\pi}{3} < 2b < \frac{\pi}{3}$이므로 $2b = \frac{\pi}{6}$
$b = \frac{\pi}{12}$
따라서 $a \times b = 4 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$
10. 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}$, $y= -x^{2} + k$ 와 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^{3}+x^{2}$, $y= -x^{2} + k$ 와 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $A = B$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $4 < k < 5$) [4점]
① $\frac{25}{6}$
② $\frac{13}{3}$
③ $\frac{9}{2}$
④ $\frac{14}{3}$
⑤ $\frac{29}{6}$

④
$A=B$ 이므로
$\int_{0}^{2}\{ (x^{3}+x^{2})-(-x^{2}+k) \}dx = 0$
이어야 한다.
$\int_{0}^{2}\{ (x^{3}+x^{2})-(-x^{2}+k) \}dx$
$=\int_{0}^{2}\{ (x^{3}+2x^{2} -k) \}dx$
$= \left[ \frac{1}{4}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} -kx \right]_{0}^{2}$
$=4 + \frac{16}{3} -2k$
$=\frac{28}{3} -2k = 0$
따라서 $2k = \frac{28}{3}$
$k=\dfrac{14}{3}$
11. 그림과 같이 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 한 원에 내접하고 $$\overline{\mathrm{AB}}=5,\, \overline{\mathrm{AC}}=3\sqrt{5},\, \angle\mathrm{BAC} = \angle\mathrm{CAD}$$ 일 때, 이 원의 반지름의 길이는? [4점]

① $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
② $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
③ $\frac{5\sqrt{5}}{3}$
④ $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
⑤ $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
①
$\angle\mathrm{BAC} = \angle\mathrm{CAD} = \theta$라 하면
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{BC}}^{2}$
$=\overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{AC}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \cos \theta$
$= 25 + 45 – 2 \times 5 \times 3\sqrt{5} \times \cos \theta$
$= 70 – 30\sqrt{5} \cos \theta$
또 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{CD}}^{2}$
$=\overline{\mathrm{AD}}^{2} + \overline{\mathrm{AC}}^{2} – 2 \times \overline{\mathrm{AD}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \cos \theta$
$= 49 + 45 – 2 \times 7 \times 3\sqrt{5} \times \cos \theta$
$= 94 – 42\sqrt{5} \cos \theta$
이때 $\angle\mathrm{BAC} = \angle\mathrm{CAD}$이므로
$\overline{\mathrm{BC}}^{2} = \overline{\mathrm{CD}}^{2}$
$70 – 30\sqrt{5} \cos \theta = 94 – 42\sqrt{5} \cos \theta$
에서
$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\overline{\mathrm{BC}}^{2} = 70 – 30\sqrt{5} \cos \theta$
$= 70 – 30\sqrt{5} \times \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$= 10$
즉, $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{10}$
한편, $\sin^{2}\theta = 1 – \cos^{2}\theta$ $= 1 – \left( \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^{2}$ $=\frac{1}{5}$이므로
$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$
따라서 구하는 원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{ \overline{\mathrm{BC}} }{ \sin\theta } = 2R$, $\frac{ \sqrt{10} }{ \frac{\sqrt{5}}{5} } = 2R$
$5\sqrt{2} = 2R$ 즉, $R = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$n-1 \leq x < n$ 일 때, $| f(x) | = | 6(x-n+1)(x-n) |$이다.
(단, $n$은 자연수이다.)
열린구간 $(0, \,4)$에서 정의된 함수 $$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt - \int_{x}^{4}f(t)dt$$ 가 $x=2$ 에서 최솟값 $0$을 가질 때, $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{4}f(x)dx$ 의 값은? [4점]
① $-\frac{3}{2}$
② $-\frac{1}{2}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $\frac{3}{2}$
⑤ $\frac{5}{2}$
②
함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $n-1 \leq x \leq n$일 때,
$f(x)=6(x-n+1)(x-n)$
또는
$f(x)= -6(x-n+1)(x-n)$
함수 $g(x)$가 $x=2$에서 최솟값 $0$을 가지므로
$g(2) = \int_{0}^{2}f(t)dt – \int_{2}^{4}f(t)dt = 0$
$\int_{0}^{2}f(t)dt = \int_{2}^{4}f(t)dt$
이때, 함수 $g(x)$가 $x=2$에서 최솟값을 가져야 하므로 닫힌구간 $\left[0, \,4\right]$에서 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.
따라서
$\int_{\frac{1}{2}}^{4}f(x)dx$
$=\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{2}f(x)dx + \int_{2}^{3}f(x)dx + \int_{3}^{4}f(x)dx$
$=\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx – \int_{0}^{1}f(x)dx + \int_{0}^{1}f(x)dx – \int_{0}^{1}f(x)dx$
$= -\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx$
$= -\int_{0}^{\frac{1}{2}}\{ -6x(x-1) \}dx$
$= \int_{0}^{\frac{1}{2}}(6x^{2}-6x)dx$
$= \left[ 2x^{3} – 3x^{2} \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$ $=2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{3} – 3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{2}$ $= -\dfrac{1}{2}$
13. 자연수 $m$ ($m \geq 2$)에 대하여 $m^{12}$의 $n$ 제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수를 $f(m)$이라 할 때, $\displaystyle \sum_{m=2}^{9}f(m)$의 값은? [4점]
① $37$
② $42$
③ $47$
④ $52$
⑤ $57$
③
$m^{12}$의 제곱근은 $x$에 대한 방정식
$x^{n} = m^{12}$ $\cdots\cdots$ ㉠
의 근이다.
이때, $m$의 값에 따라 ㉠의 방정식이 정수근을 갖도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수를 구하면 다음과 같다.
(ⅰ) $m=2$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 2^{12}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ 이므로 $f(2)=5$
(ⅱ) $m=3$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 3^{12}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ 이므로 $f(2)=5$
(ⅲ) $m=4$일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 4^{12}$ 즉, $x^{n} = 2^{24}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ 이므로 $f(4)=7$
(ⅳ) $m=5$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 5^{12}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ 이므로 $f(5)=5$
(ⅴ) $m=6$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 6^{12}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ 이므로 $f(6)=5$
(ⅵ) $m=7$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 7^{12}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ 이므로 $f(7)=5$
(ⅶ) $m=8$일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 8^{12}$ 즉, $x^{n} = 2^{36}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$ 이므로 $f(8)=8$
(ⅷ) $m=9$ 일 때
㉠의 방정식은 $x^{n} = 9^{12}$ 즉, $x^{n} = 3^{24}$
이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ 이므로 $f(9)=7$
따라서
$\displaystyle \sum_{m=2}^{9}f(m)$
$=f(2) + f(3) + \cdots + f(9)$
$=5 + 5 +7 +5 + 5 +5 + 8 +7$
$= 5 \times 5 + 7 \times 2 + 8$
$=47$
14. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다. $$g(x) = \begin{cases} \: \, x & (x1) \\ \, f(x) & (-1 \leq x \leq 1)\end{cases}$$ 함수 $h(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0+}g(x+t) \times \lim_{x \to 2+}g(x+t)$에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $h(1)=3$
ㄴ. 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
ㄷ. 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $\left[-1,\, 1 \right]$에서 감소하고 $g(-1) = -2$이면 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ
①
ㄱ.
$x>1$에서 $g(x)=x$이므로
$h(1)=\displaystyle \lim_{t \to 0+}g(1+t) \times \lim_{t \to 2+}g(1+t)$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+}(1+t) \times \lim_{t \to 2+}(1+t)$ $=1 \times 3$
$= 3$ (참)
ㄴ.
$h(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0+}g(x+t) \times \lim_{x \to 2+}g(x+t)$ 이므로
$x < -3$일 때 $h(x)=x \times (x+2)$
$x = -3$일 때 $h(-3)= -3 \times f(-1)$
$-3 < x < -1$일 때 $h(x)=x \times f(x+2)$
$x = -1$일 때 $h(-1)=f(-1) \times 1$
$-1 < x < 1$일 때 $h(x)=f(x) \times (x+2)$
$x = 1$일 때 $h(1)=1 \times 3$
$x > 1$일 때 $h(x)=x \times (x+2)$
즉, $x < -3$ 또는 $x \geq 1$일 때, 함수 $y=h(x)$의 그래프는그림과 같다.
$f(-3) \neq 3$ 이면 함수 $h(x)$는 $x = -3$에서 불연속이다.즉, 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이라 할 수 없다. (거짓)
ㄷ.
함수 $g(x)$가 닫힌구간 $\left[-1,\, 1 \right]$에서 감소하고 $g(-1)= -2$일 때, 함수 $y=g(x)$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.
이때,
$h(-3)= -3 \times f(-1)$ $= -3 \times (-2) = -6$
$h(-1)= f(-1) \times 1$ $= -2 \times 1 = -2$
이다.
$-3 < x < -1$에서 $h(x) > 0$
또 $-1 < x < 1$에서 $h(x)=f(x) \times (x+2)$이므로
$h'(x)=f'(x) \times (x+2) + f(x)$
$f'(x) < 0$, $x+2 > 0$, $f(x) < 0$이므로 $h'(x) < 0$
즉, $-1 < x < 1$에서 함수 $h(x)$는 감소하고, $f(1)=3$이므로
함수 $h(x)$는 최솟값을 갖지 않는다. (거짓)
이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
ㄴ. <반례>
$f(x)=2$라 하자.
$-3 < x < -1$일 때, $h(x) = x \times 2 = 2x$
$x = -1$일 때, $h(x) = 2 \times 1 = 2$
$-1 < x < 1$일 때, $h(x) = 2(x+2)$
이때,
$\displaystyle \lim_{x \to -1-}h(x) = \lim_{x \to -1-}2x = -2$
$\displaystyle \lim_{x \to -1+}h(x) = \lim_{x \to -1-}2(x+2) = 2$
$h(-1) = 2$이므로 $\displaystyle \lim_{x \to -1-}h(x) \neq \lim_{x \to -1+}h(x)$ 이다.
즉, 함수 $h(x)$는 $x = -1$에서 불연속이다. (거짓)
ㄷ. <반례>
$f(x)= -x-3$이라 하자.
$x < -3$일 때, $h(x) = x(x+2)$
$x = -3$일 때, $h(-3) = -3 \times (-2) = 6$
$-3 < x < -1$일 때, $h(x) = x \times \{-(x+2)-3 \} = -x(x+5)$
$x = -1$일 때, $h(-1) = -2 \times 1 = -2$
$-1 < x < 1$일 때, $h(x) = (-x-3) \times (x+2) = -(x+3)(x+2)$
$x = 1$일 때, $h(1) = 1 \times 3 = 3$
$x > 1$일 때, $h(x) = x(x+2)$
이때, $\displaystyle \lim_{x \to 1-}h(x) = -12$, $h(1)=3$이므로
함수 $h(x)$의 최솟값은 없다. (거짓)
15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $a_9$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M+m$의 값은? [4점]
(가) $a_7 = 40$
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_{n} & (a_{n+1} \textbf{이 } 3 \textbf{의 배수가 아닌 경우}) \\
\frac{1}{3}a_{n+1} & (a_{n+1} \textbf{이 } 3 \textbf{의 배수인 경우}) \end{cases}$$
이다.
① $216$
② $218$
③ $220$
④ $222$
⑤ $224$
⑤
(ⅰ) $a_6$이 $3$의 배수인 경우
$a_7 = 40$이므로
$\frac{a_6}{3} = a_7$
$a_6 = 3a_7 = 3 \times 40 = 120$
$a_7 = 40$이 $3$의 배수가 아니므로
$a_8 = a_6 + a_7 = 120 + 40 = 160$
$a_8 = 160$이 $3$의 배수가 아니므로
$a_9 = a_7 + a_8 = 40 + 160 = 200$
(ⅱ) $a_6 = 3k -2$ ($k$는 자연수)인 경우
$a_5 + a_6 = a_7$
$a_5 = a_7 – a_6$ $= 40 – (3k-2)$ $= 42 – 3k$ $= 3(14-k)$
$a_5$는 자연수이므로
$3(14-k) > 0$에서 $k < 14$
한편, $a_5$는 $3$의 배수이므로
$a_6 = \frac{a_5}{3}$
즉, $3k-2 = \frac{3(14 – k)}{3}$에서 $4k = 16$
$k=4$
따라서 $a_6 = 3 \times 4 – 2 = 10$이므로
$a_8 = a_6 + a_7$ $= 10 + 40 = 50$
$a_8 = 50$이 $3$의 배수가 아니므로
$a_9 = a_7 + a_8$ $= 40 + 50 = 90$
(ⅲ) $a_6 = 3k -1$ ($k$는 자연수)인 경우
$a_5 + a_6 = a_7$
$a_5 = a_7 – a_6$ $= 40 – (3k-1)$ $= 41 – 3k$
$a_5$는 자연수이므로
$41-3k > 0$에서 $k < \frac{41}{3}$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편, $a_5$는 $3$의 배수가 아니므로
$a_4 + a_5 = a_6$ 에서
$a_4 = a_6 – a_5$ $= (3k-1) – (41-3k)$ $= 6k – 42 = 3(2k-14)$
$a_4$가 자연수이므로
$3(2k-14) > 0$에서 $k>7$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $7< k < \frac{41}{3}$
한편, $a_4$는 $3$의 배수이므로 $a_5 = \frac{a_4}{3}$
즉, $41-3k = \frac{3(2k-14)}{3}$에서 $5k =55$
$k=11$
따라서 $a_6 = 3 \times 11 -1 = 32$ 이므로
$a_8 = a_6 + a_7$ $=32+40 = 72$
$a_8 = 72$가 $3$의 배수이므로
$a_9 = \frac{a_8}{3} = \frac{72}{3} = 24$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $a_9$의 최댓값은 $M=200$이고 최솟값은 $m=24$이다.
따라서 $M + m = 200 + 24 = 224$
18. 두 수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{5}(3a_{k}+5)=55, \,\sum_{k=1}^{5}(a_{k}+b_{k})=32$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}b_{k}$의 값을 구하시오. [3점]
$22$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(3a_{k}+5)=55$에서 $\displaystyle 3\sum_{k=1}^{5}a_{k} + 25=55$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_{k}=10$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(a_{k}+b_{k})=32$에서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_{k} + \sum_{k=1}^{5}b_{k}=32$
따라서
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}b_{k} = – \sum_{k=1}^{5}a_{k} + 32$ $= -10 + 32 = 22$
19. 방정식 $2x^{3}-6x^{2}+k = 0$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. [3점]
$7$
방정식 $2x^{3}-6x^{2}+k = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
에서
$f(x) = 2x^{3}-6x^{2}+k$
라 하면 방정식의 실근은 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점의 $x$ 좌표이다.
한편, $f'(x) = 6x^{2}-12x$ $=6x(x-2)$ 이므로
$f'(x)=0$에서 $x=0$ 또는 $x=2$
그러므로 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
이때, ㉠이 $2$개의 서로 다른 양의 실근을 갖기 위해서는 다음 그림과 같다.
즉, 함수 $f(x)$의 극댓값은 양수이어야 하고 함수 $f(x)$의 극솟값은 음수이어야 한다.
그러므로 $k > 0$이고 $k-8 < 0$이므로 $0 < k < 8$
따라서, 정수 $k$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$로 그 개수는 $7$이다.
20. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \geq 0$)에서의 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0 \leq t \leq 2$일 때, $v(t)= 2t^{3}-8t$이다.
(나) $t \geq 2$일 때, $a(t) = 6t + 4$이다.
시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오. [4점]
$17$
$t \geq 2$일 때
$v(t) = 3t^{2} + 4t + C$ ($C$는 적분상수)
이때 $v(2)=0$이므로
$12 + 8 + C = 0$에서 $C = -20$
즉, $0 \leq t \leq 3$에서
$v(t) = \begin{cases} 2t^{3}-8t & (0 \leq t \leq 2) \\
3t^{2}+4t-20 & (2 \leq t \leq 3) \end{cases}$
따라서 $t=0$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는
$\int_{0}^{3}| v(t) | dt$
$=\int_{0}^{2}| v(t) | dt + \int_{2}^{3}| v(t) | dt$
$= -\int_{0}^{2}v(t)dt + \int_{2}^{3}v(t)dt$
$= -\int_{0}^{2}(2t^{3}-8t)dt + \int_{2}^{3}(3t^{2}+4t -20)dt$
$= – \left[ \frac{1}{2}t^{4}-4t^2 \right]_{0}^{2} + \left[ t^{3}+2t^{2}-20t \right]_{2}^{3}$
$= – (-8)+9$
$= 17$
21. 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \begin{cases} \,| 3^{x+2}-n | & (x < 0) \\ \,| \log_{2}(x+4)-n | & (x \geq 0) \end{cases}$$ 이라 하자. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$의 최댓값이 $4$가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]
$33$
함수 $y= 3^{x+2}-n$의 그래프는 함수 $y = 3^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-2$만큼, $y$축의 방향으로 $-n$만큼 평행이동한 그래프이다.
함수 $y= | 3^{x+2}-n |$의 그래프는 점 $(0, \,| 9-n |)$을 지나고 점근선의 방정식은 $y=n$이다.
$x < 0$일 때, 자연수 $n$의 값에 따른 함수 $y= | 3^{x+2}-n |$의 그래프는 다음과 같다.
$1 \leq n <9$일 때,
$n=9$일 때,
$n>9$일 때,
또, 함수 $y=\log_{2}(x+4)-n$의 그래프는 함수 $y=\log_{2}x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-4$만큼, $y$축의 방향으로 $-n$만큼 평행이동한 그래프이다.
함수 $y= | \log_{2}(x+4)-n |$의 그래프는 점 $(0, \, |2-n|)$을 지나고 점근선의 방정식은 $x = -4$이다.
$x \geq 0$일 때, 자연수 $n$의 값에 따른 함수 $y= | \log_{2}(x+4)-n |$의 그래프는 다음과 같다.
$n=1$일 때,
$n=2$일 때,
$n>2$일 때,
$x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수 $g(t)$는 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수와 같다.
함수 $g(t)$의 최댓값이 $4$이므로 $9-n > 0$이고 $2-n < 0$이어야 한다. 즉, $2 < n < 9$이다.
따라서 자연수 $n$의 값은 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$이고, 그 합은
$3+4+5+6+7+8 = 33$이다.
22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)$ $=f(1)+(x-1)f'(g(x))$이다.
(나) 함수 $g(x)$의 최솟값은 $\dfrac{5}{2}$이다.
(다) $f(0) = -3$, $f(g(1)) = 6$
$13$
조건 (다)에서 $f(0)= -3$이므로 두 상수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx -3$
한편, 조건 (가)에서
$f(x)$ $=f(1)+(x-1)f'(g(x))$
이므로 $x \neq 1$일 때,
$f'(g(x)) = \frac{f(x) – f(1)}{x-1}$
$=\frac{(x^{3}+ax^{2}+bx -3) – (a+b-2)}{x-1}$ $=\frac{(x^{3}-1) +a(x^{2}-1)+b(x-1) }{x-1}$
$=(x^2+x+1)+a(x+1)+b$
$=x^2+(a+1)x+a+b+1$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (나)에서 함수 $g(x)$가 최솟값 $\frac{5}{2}$를 가지므로 이 값을 갖는 $x$의 값을 $\alpha$라 하자. 이때, $f'(x)$는 이차함수이고 ㉠의 우변의 이차함수의 그래프가 대칭이므로 $g(x)$도 $x=\alpha$에 대하여 대칭이어야 한다. 이때, 함수 $y=f'(g(x))$의 그래프는 $x=\alpha$에 대하여 대칭이다.
한편, ㉠의 우변의 함수 $y=x^2+(a+1)x+a+b+1$ 의 그래프는 직선 $x= -\frac{a+1}{2}$ 에 대하여 대칭이다.
그러므로 $\alpha= -\frac{a+1}{2}$
한편, ㉠의 식에 $x=\alpha$를 대입하면
$f'(g(\alpha))=\alpha^2+(a+1)\alpha+a+b+1$
이때, $g(\alpha)=\frac{5}{2}$이므로 대입하면
$f’\left(\frac{5}{2}\right)=\alpha^2+(a+1)\alpha+a+b+1$
한편, $f'(x)=3x^{2}+2ax+b$이므로
$\frac{75}{4}+5a+b=\alpha^2+(a+1)\alpha+a+b+1$
즉, $\frac{75}{4}+5a=\alpha^2+(a+1)\alpha+a+1$
이때, $\alpha= -\frac{a+1}{2}$을 대입하면
$\frac{75}{4}+5a=\frac{(a+1)^{2}}{4}-\frac{(a+1)^{2}}{2}+a+1$
$\frac{75}{4}+5a=-\frac{(a+1)^{2}}{4}+a+1$
$75+20a = -(a^{2}+2a+1)+(4a+4)$
$a^{2}+18a+72=0$, $(a+6)(a+12)=0$
$a= -6$ 또는 $a= -12$
한편, $a= -12$일 때, $f'(x)=3x^{2}-24x+b$이고 이 함수 $y=f'(x)$의 그래프는 직선 $x=8$에 대하여 대칭이므로 함수 $y=f'(g(x))$ 의 그래프의 개형은 다음과 같다.즉, 함수 $y=f'(g(x))$의 그래프의 개형은 이차함수의 그래프 개형이 아니다. 그러므로 $a= -6$이고 $\alpha = \frac{5}{2}$이어야 한다.
그러므로
$f(x)=x^{3}-6x^{2}+bx-3$ $\cdots\cdots$ ㉡
$f'(x)=3x^{2}-12x+b$ $\cdots\cdots$ ㉢
한편, ㉠에서 $f'(x)$와 $g(x)$가 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 1}f'(g(x)) = \lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$f'(g(1)) = f'(1)$
이때, $g(1)=k$라 하면 ㉢으로부터
$3k^{2}-12k+b = -9 + b$, $3k^{2}-12k+9 = 0$
$k^{2}-4k+3 = 0$, $(k-1)(k-3) = 0$
$k=1$ 또는 $k=3$
즉, $g(1)=1$ 또는 $g(1)=3$
이때, $g(1)=1$은 $g(x)$가 최솟값 $\frac{5}{2}$를 갖는다는 것에 모순이다.
그러므로 $g(1)=3$
한편, 조건 (다)에서 $f(g(1))=6$이므로 $f(3)=6$
이때, ㉡에 대입하면
$27-54+3b=9$, $3b=36$
$b=12$
따라서, $f(x) = x^{3}-6x^{2}+12x – 3$이므로
$f(4) = 4^{3}-6 \times 4^{2}+12 \times 4 – 3$ $= 13$
수학 영역(확률과 통계)

23. 다항식 $(x^{3} + 3)^{5}$의 전개식에서 $x^9$의 계수는? [2점]
① $30$
② $60$
③ $90$
④ $120$
⑤ $150$
24. 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 $4000$이상인 홀수의 개수는? [3점]
① $125$
② $150$
③ $175$
④ $200$
⑤ $225$
25. 흰색 마스크 $5$개, 검은색 마스크 $9$개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 $3$개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $3$개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? [3점]
① $\frac{8}{13}$
② $\frac{17}{26}$
③ $\frac{9}{13}$
④ $\frac{19}{26}$
⑤ $\frac{10}{13}$
⑤
$14$개의 마스크 중에서 임의로 $3$개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $3$개의 마스크가 모두 검은색일 확률은
$\frac{_{9}\mathrm{C}_{3}}{_{14}\mathrm{C}_{3}}$ $= \dfrac{ \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} }{ \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} }$ $=\frac{3}{13}$
따라서 여사건의 확률에 의하여 구하는 확률은
$1-\frac{_{9}\mathrm{C}_{3}}{_{14}\mathrm{C}_{3}}$ $= 1- \frac{3}{13} = \dfrac{10}{13}$
26. 주머니에 $1$이 적힌 흰 공 $1$개, $2$가 적힌 흰 공 $1$개, $1$이 적힌 검은 공 $1$개, $2$가 적힌 검은 공 $3$개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 $3$개의 공 중에서 흰 공이 $1$개이고 검은 공이 $2$개인 사건을 $A$, 꺼낸 $3$개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 $8$인 사건을 $B$라 할 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$의 값은? [3점]
① $\frac{11}{20}$
② $\frac{3}{5}$
③ $\frac{13}{20}$
④ $\frac{7}{10}$
⑤ $\frac{3}{4}$

③
(ⅰ) $A$는 흰 공 $1$개와 검은 공 $2$개가 나오는 사건이므로
$\mathrm{P}(A)$ $= \frac{_{2}\mathrm{C}_{1} \times _{4}\mathrm{C}_{2}}{_{6}\mathrm{C}_{3}}$ $= \dfrac{ 2 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} }{ \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} }$ $=\frac{12}{20}$ $=\frac{3}{5}$
(ⅱ) $B$는 $2$가 적혀 있는 공이 $3$개 나오는 사건이므로
$\mathrm{P}(B)$ $= \frac{_{4}\mathrm{C}_{3}}{_{6}\mathrm{C}_{3}}$ $= \frac{4}{20}$ $= \frac{1}{5}$
(ⅲ) $A \cap B$는 $2$가 적혀 있는 흰 공 $1$개와 $2$가 적혀 있는 검은 공 $2$개가 나오는 사건이므로
$\mathrm{P}(A \cap B)$ $= \frac{_{1}\mathrm{C}_{1} \times _{3}\mathrm{C}_{2}}{_{6}\mathrm{C}_{3}}$ $= \frac{1 \times 3}{20}$ $=\frac{3}{20}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률의 덧셈정리에 의하여
$\mathrm{P}(A \cup B)$ $= \mathrm{P}(A ) + \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A \cap B)$
$= \frac{3}{5} + \frac{1}{5} – \frac{3}{20}$ $=\dfrac{13}{20}$
27. 어느 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량은 정규분포 $\mathrm{N}(m,\, \sigma^{2})$을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $16$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간이 $746.1 \leq m \leq 755.9$이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$에 대한 신뢰도 $99 \%$의 신뢰구간이 $a \leq m \leq b$일 때, $b-a$의 값이 $6$ 이하가 되기 위한 자연수 $n$의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 $\mathrm{mL}$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z| \leq 1.96) = 0.95$, $\mathrm{P}(|Z| \leq 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]
① $70$
② $74$
③ $78$
④ $82$
⑤ $86$
②
이 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량을 $X$ ($\mathrm{mL}$)라 하면 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(m,\, \sigma^{2})$을 따른다.
표본의 크기가 $16$일 때의 표본평균을 $\overline{x}_{1}$이라 하면 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95 \%$의 신뢰구간은
$\overline{x}_{1} – 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \leq m \leq \overline{x}_{1} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}}$
이므로
$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} = 755.9 – 746.1$
즉, $0.98\sigma = 9.8$
따라서 $\sigma = 10$이다.
표본의 크기가 $n$일 때의 표본평균을 $\overline{x}_{2}$라 하면 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$ 의 신뢰구간은
$\overline{x}_{2} – 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{x}_{2} + 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}}$
이므로
$b-a$ $= 2 \times 2.58 \times \frac{10}{\sqrt{n}}$ $= \frac{51.6}{\sqrt{n}}$
이때 $\frac{51.6}{\sqrt{n}} \leq 6$, 즉 $\sqrt{n} \geq \frac{51.6}{6} = 8.6$이어야 하므로$n \geq 8.6^{2} = 73.96$
이다.
따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $74$이다.
28. 연속확률변수 $X$가 갖는 값의 범위는 $0 \leq X \leq a$이고, $X$의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다.

$\mathrm{P}(X \leq b) - \mathrm{P}(X \geq b) = \dfrac{1}{4}$, $\mathrm{P}(X \leq \sqrt{5})= \dfrac{1}{2}$일 때, $a+b+c$의 값은? (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.) [4점]
① $\frac{11}{2}$
② $6$
③ $\frac{13}{2}$
④ $7$
⑤ $\frac{15}{2}$
④
$\mathrm{P}(0 \leq X \leq a)= 1$이므로 확률변수 의 확률밀도함수의 그래프로부터
$\frac{1}{2}ac = 1$, 즉 $ac=2$
한편, $\mathrm{P}(0 \leq X \leq a)$ $= \mathrm{P}(X \leq b) + \mathrm{P}(X \geq b)= 1$이고
$\mathrm{P}(X \leq b) – \mathrm{P}(X \geq b) = \dfrac{1}{4}$이므로
$\mathrm{P}(X \leq b) = \dfrac{5}{8}$이고 $\mathrm{P}(X \geq b) = \dfrac{3}{8}$이다.
따라서 확률변수 $X$의 확률밀도함수의 그래프로부터
$\frac{1}{2} \times b \times c = \frac{5}{8}$이다.
한편, $\mathrm{P}(X \leq b) > \dfrac{1}{2}$이므로 $0 < \sqrt{5} < b$이다.
이때 두 점 $(0,\, 0)$, $(b,\, c)$를 지나는 직선의 방정식은
$y = \frac{c}{b}x$ 이므로
$\mathrm{P}(X \leq \sqrt{5}) = \dfrac{1}{2}$에서
$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \left( \frac{c}{b} \times \sqrt{5} \right)$ $= \frac{5c}{2b} = \frac{1}{2}$ 즉, $b = 5c$이다.
이때 $bc = 5c^{2} = \frac{5}{4}$이므로 $c = \frac{1}{2}$ ($\because \: c>0$)
따라서 $b=\frac{5}{2}$, $a=4$이므로
$a+b+c = 4 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 7$

29. 앞면에는 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$이 하나씩 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 있다. 이 $6$ 장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $k$번째 자리에 자연수 $k$가 보이도록 놓여 있다.

이 $6$ 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$이면 $k$번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.
위의 시행을 $3$번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$49$
주어진 시행을 $3$번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 사건을 $A$, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나오는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B | A)$이다.
(ⅰ) 사건 $A$가 일어날 확률
주어진 시행을 $3$번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 경우는 홀수가 보이는 카드의 개수가 $0$ 또는 $2$이어야 하므로 주사위를 $3$번 던질 때 홀수의 눈이 나오는 횟수가 $3$ 또는 $1$이어야 한다.
이때 독립시행의 확률에 의하여 홀수의 눈이 $3$번 나올 확률은
$_{3}\mathrm{C}_{3}\left( \frac{1}{2} \right)^{3}$ $= 1 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ $\cdots\cdots$ ㉠
홀수의 눈이 $1$번 나올 확률은
$_{3}\mathrm{C}_{1}\left( \frac{1}{2} \right)^{1}\left( \frac{1}{2} \right)^{2}$ $= 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡의 두 사건은 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의하여
$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$
(ⅱ) 사건 $A \cap B$가 일어날 확률
㉠에서 $1$의 눈이 한 번만 나오는 경우는 $3$번의 시행 중 $1$의 눈이 한 번 나오고 나머지 두 번은 $3$ 또는 $5$의 눈이 나오는 경우이므로 이 확률은
$_{3}\mathrm{C}_{1}\left( \frac{1}{6} \right)^{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}\left( \frac{2}{6} \right)^{2}$ $= 3 \times \frac{1}{6} \times 1\times \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$
㉡에서 $1$의 눈이 한 번만 나오는 경우는 $3$번의 시행 중 $1$의 눈이 한 번 나오고 나머지 두 번은 짝수의 눈이 나오는 경우이므로 이 확률은
$_{3}\mathrm{C}_{1}\left( \frac{1}{6} \right)^{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2}\left( \frac{1}{2} \right)^{2}$ $= 3 \times \frac{1}{6} \times 1\times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
따라서 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{18} + \frac{1}{8} = \frac{13}{72}$
( i ), (ⅱ)에서 구하는 조건부확률은
$\mathrm{P}(B | A)$ $=
\dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ $= \dfrac{\frac{13}{72}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{13}{36}$
이므로
$p+q = 36 + 13 = 49$
30. 집합 $X = \{ x | x \textbf{는}\,10\, \textbf{이하의 자연수} \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \to X$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $9$ 이하의 모든 자연수 $x$에 대하여 $f(x) \leq f(x+1)$
이다.
(나) $1 \leq x \leq 5$일 때 $f(x) \leq x$이고,
$6 \leq x \leq 10$일 때 $f(x) \geq x$이다.
(다) $f(6) = f(5) + 6$
$100$
조건 (나)에서 $f(1)=1$, $f(10)=10$이다.
(ⅰ) $f(5)=1$, $f(6)=7$인 경우
$f(5)=1$일 때 조건 가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$는 $(1,\, 1,\, 1)$의 $1$개가 존재한다.
$f(6)=7$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$는
$(7,\, 8,\, 9)$, $(7,\, 8,\, 10)$, $(7,\, 9,\, 9)$, $(7,\, 9,\, 10)$, $(7,\, 10,\, 10)$, $(8,\, 8,\, 9)$, $(8,\, 8,\, 10)$, $(8,\, 9,\, 9)$, $(8,\, 9,\, 10)$, $(8,\, 10,\, 10)$, $(9,\, 9,\, 9)$, $(9,\, 9,\, 10)$, $(9,\, 10,\, 10)$, $(10,\, 10,\, 10)$
의 $14$개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $1 \times 14 = 14$이다.
(ⅱ) $f(5)=2$, $f(6)=8$인 경우
$f(5)=2$일 때 조건 가와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$는
$(1,\, 1,\, 1)$, $(1,\, 1,\, 2)$, $(1,\, 2,\, 2)$, $(2,\, 2,\, 2)$의 $4$ ($={}_{2}\mathrm{H}_{3} = {}_{4}\mathrm{C}_{3}$)개가 존재한다.
$f(6)=8$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$는
$(8,\, 8,\, 9)$, $(8,\, 8,\, 10)$, $(8,\, 9,\, 9)$, $(8,\, 9,\, 10)$, $(8,\, 10,\, 10)$, $(9,\, 9,\, 9)$, $(9,\, 9,\, 10)$, $(9,\, 10,\, 10)$, $(10,\, 10,\, 10)$
의 $9$개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $4 \times 9 = 36$이다.
(ⅲ) $f(5)=3$, $f(6)=9$인 경우
$f(5)=3$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$는
$(1,\, 1,\, 1)$, $(1,\, 1,\, 2)$, $(1,\, 1,\, 3)$, $(1,\, 2,\, 2)$, $(1,\, 2,\, 3)$, $(1,\, 3,\, 3)$, $(2,\, 2,\, 2)$, $(2,\, 2,\, 3)$, $(2,\, 3,\, 3)$
의 $9$개가 존재한다.
$f(6)=9$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$는
$(9,\, 9,\, 9)$, $(9,\, 9,\, 10)$, $(9,\, 10,\, 10)$, $(10,\, 10,\, 10)$
의 $4$개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $9 \times 4 = 36$이다.
(ⅳ) $f(5)=4$, $f(6)=10$인 경우
$f(5)=4$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$는
$(1,\, 1,\, 1)$, $(1,\, 1,\, 2)$, $(1,\, 1,\, 3)$, $(1,\, 1,\, 4)$, $(1,\, 2,\, 2)$, $(1,\, 2,\, 3)$, $(1,\, 2,\, 4)$, $(1,\, 3,\, 3)$, $(1,\, 3,\, 4)$, $(2,\, 2,\, 2)$, $(2,\, 2,\, 3)$, $(2,\, 2,\, 4)$, $(2,\, 3,\, 3)$, $(2,\, 3,\, 4)$
의 $14$개가 존재한다.
$f(6)=10$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$는 $(10,\, 10,\, 10)$ 의 $1$개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $14 \times 1 = 14$이다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$14 + 36 + 36 + 14 = 100$
조건 (나)에서 $f(1)=1$, $f(10)=10$이다.
(ⅰ) $f(5)=1$, $f(6)=7$인 경우
$f(5)=1$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$는 $(1,\, 1,\, 1)$의 $1$개가 존재한다.
$f(6)=7$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$의 개수는 다음과 같다.
① $f(9)=9$일 때
${}_{3}\mathrm{H}_{2} – 1 = {}_{4}\mathrm{C}_{2} – 1$
$= 6-1 = 5$ ($f(7)=f(8)=7$인 경우를 제외함)
② $f(9)=10$일 때
${}_{4}\mathrm{H}_{2} – 1 = {}_{5}\mathrm{C}_{2} – 1$
$= 10-1 = 9$ ($f(7)=f(8)=7$인 경우를 제외함)
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $5 + 9 = 14$이다.
(ⅱ) $f(5)=2$, $f(6)=8$인 경우
① $f(5)=2$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(2),\, f(3),\, f(4))$의 개수는
${}_{2}\mathrm{H}_{3} = {}_{4}\mathrm{C}_{3} = 4$
② $f(6)=8$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $(f(7),\, f(8),\, f(9))$의 개수는
${}_{3}\mathrm{H}_{3} – 1 = {}_{5}\mathrm{C}_{3} – 1$
$= 10-1 = 9$ ($f(7)=f(8)=f(9)=8$인 경우를 제외함)
따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $4 \times 9 = 36$이다.
(ⅲ) 조건 (나)와 조건 (다)에서 함수 $f$의 $1 \leq x \leq 5$일 때의 규칙성과 $6 \leq x \leq 10$일 때의 규칙성이 서로 대칭적이므로 $f(5)=3$, $f(6)=9$인 함수 $f$의 개수는 (ⅱ)의 함수의 개수와 같고, $f(5)=4$, $f(6)=10$인 함수 $f$의 개수는 (ⅰ)의 함수의 개수와 같음을 추론할 수 있다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는
$2 \times (14 + 36) = 100$
이다.
수학 영역(미적분)

23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
④
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x+4}-2}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\lbrace \ln (x+1) \times \frac{1}{\sqrt{x+4}-2} \rbrace$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\{ \frac{\ln (x+1)}{x} \times \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} \}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\{ \frac{\ln (x+1)}{x} \times \frac{x(\sqrt{x+4}+2)}{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)} \}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\{ \frac{\ln (x+1)}{x} \times (\sqrt{x+4}+2) \}$
$= 1 \times (2 + 2)$
$= 4$
24. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{3k}{n}}$의 값은? [3점]
① $\frac{4}{3}$
② $\frac{13}{9}$
③ $\frac{14}{9}$
④ $\frac{5}{3}$
⑤ $\frac{16}{9}$
25. 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2n-1}} = 3$일 때, $a_2$의 값은? [3점]
① $16$
② $18$
③ $20$
④ $22$
⑤ $24$
⑤
등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a_{n} = ar^{n-1}$이다.
이때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2n-1}}$ $=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a \times \frac{r^{n-1}}{4^{n}}+\left( \frac{1}{4} \right)^{n}}{ \left( \frac{3}{4} \right)^{n} + \frac{1}{2} }$
이고 극한값이 존재하므로 $r=4$
따라서,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}+1}{3^{n}+2^{2n-1}}$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{a}{4}+\left( \frac{1}{4} \right)^{n}}{ \left( \frac{3}{4} \right)^{n} + \frac{1}{2} }$ $= \frac{\frac{a}{4}+0}{ 0 + \frac{1}{2} }$ $= \frac{a}{2}$ $= 3$
에서 $a=6$이므로
$a_{2} = 6 \times 4 = 24$
26. 그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\sec^{2}x + \tan x}\:\left( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \right)$와 $x$축, $y$축 및 직선 $x=\frac{\pi}{3}$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\ln 2}{2}$
② $\frac{\sqrt{3}}{2} + \ln 2$
③ $\sqrt{3} + \frac{\ln 2}{2}$
④ $\sqrt{3} + \ln 2$
⑤ $\sqrt{3} + 2\ln 2$
③
$0 \leq t \leq \frac{\pi}{3}$인 실수 $t$에 대하여 직선 $x = t$를 포함하고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(t)$라 하면
$S(t) = (\sqrt{\sec^{2}t + \tan t})^{2} = \sec^{2}t + \tan t$
이므로 구하는 입체도형의 부피는
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\sec^{2}t + \tan t)dt$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(\sec^{2}x + \frac{\sin x}{\cos x} \right)dx$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(\sec^{2}x\, -\, \frac{ (\cos x)’ }{\cos x} \right)dx$
$= \left[ \tan x – \ln | \cos x | \, \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$= \tan \frac{\pi}{3} – \ln \cos \frac{\pi}{3}$
$= \sqrt{3} – \ln \frac{1}{2}$
$= \sqrt{3} + \ln 2$
27. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OA_{1}B_{1}}$이 있다. 호 $\mathrm{A_{1}B_{1}}$ 위에 점 $\mathrm{P_{1}}$, 선분 $\mathrm{OA_{1}}$ 위에 점 $\mathrm{C_{1}}$, 선분 $\mathrm{OB_{1}}$ 위에 점 $\mathrm{D_{1}}$을 사각형 $\mathrm{OC_{1}P_{1}D_{1}}$이 $\overline{\mathrm{OC_{1}}}:\overline{\mathrm{OD_{1}}} = 3:4$인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 $\mathrm{OA_{1}B_{1}}$의 내부에 점 $\mathrm{Q_{1}}$을 $\overline{\mathrm{P_{1}Q_{1}}} = \overline{\mathrm{A_{1}Q_{1}}}$가 $\angle \mathrm{P_{1}Q_{1}A_{1}} = \dfrac{\pi}{2}$가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P_{1}Q_{1}A_{1}}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{OA_{1}}$ 위의 점 $\mathrm{A_{2}}$와 선분 $\mathrm{OB_{1}}$ 위의 점 $\mathrm{B_{2}}$를 $\overline{\mathrm{OQ_{1}}} = \overline{\mathrm{OA_{2}}} = \overline{\mathrm{OB_{2}}}$가 되도록 잡고, 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OQ_{1}}}$, 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OA_{2}B_{2}}$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $\mathrm{P_2}$, $\mathrm{C_2}$, $\mathrm{D_2}$, $\mathrm{Q_2}$를 잡고, 이등변삼각형 $\mathrm{P_{2}Q_{2}A_{2}}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}$의 값은? [3점]

① $\frac{9}{40}$
② $\frac{1}{4}$
③ $\frac{11}{40}$
④ $\frac{3}{10}$
⑤ $\frac{13}{40}$
②
$\overline{\mathrm{OC_{1}}} = 3t$, $\overline{\mathrm{OD_{1}}} = 4t$ ($t>0$)라 하면
$\overline{\mathrm{OP_{1}}} = 5t$이므로 $5t = 1$에서 $t=\frac{1}{5}$
따라서, $\overline{\mathrm{OC_{1}}} = \frac{3}{5}$에서 $\overline{\mathrm{A_{1}C_1}} = \frac{2}{5}$이고 $\overline{\mathrm{C_{1}P_1}} = \overline{\mathrm{OD_1}} = \frac{4}{5}$이므로
$\overline{\mathrm{A_{1}P_1}}$ $= \sqrt{ \left( \frac{2}{5} \right)^{2} + \left( \frac{4}{5} \right)^{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
이때 삼각형 $\mathrm{P_{1}Q_{1}A_{1}}$은 직각이등변삼각형이므로
$\overline{\mathrm{A_{1}Q_{1}}} = \overline{\mathrm{P_{1}Q_{1}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
따라서
$S_{1} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)^{2} = \frac{1}{5}$
또한, 선분 $\mathrm{A_{1}P_{1}}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면
$\overline{\mathrm{A_{1}P_{1}}} \perp \overline{\mathrm{Q_{1}M}}$, $\overline{\mathrm{A_{1}P_{1}}} \perp \overline{\mathrm{OM}}$
이므로 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q_1}$, $\mathrm{M}$은 한 직선 위에 있다.
이때,
$\overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{ 1^{2} – \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\overline{\mathrm{Q_{1}M}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
이므로
$\overline{\mathrm{OQ_{1}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} – \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
따라서 두 도형(부채꼴) $\mathrm{OA_{1}B_1}$, $\mathrm{OA_{2}B_2}$의 닮음비는 $1 : \frac{1}{\sqrt{5}}$이므로 넓이의 비는 $1 : \frac{1}{5}$이고, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n} = \dfrac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} = \dfrac{1}{4}$
28. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$이고 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle \mathrm{AOC} = \dfrac{\pi}{2}$인 점 $\mathrm{C}$가 있다. 호 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{P}$와 호 $\mathrm{CA}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$를 $\overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{QC}}$가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{AP}$ 위에 점 $\mathrm{R}$를 $\angle \mathrm{CQR} = \dfrac{\pi}{2}$가 되도록 잡는다.
선분 $\mathrm{AP}$와 선분 $\mathrm{CO}$의 교점을 $\mathrm{S}$라 하자. $\angle \mathrm{PAB} = \theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{POB}$의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 $\mathrm{CQRS}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자. $\displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{3f(\theta) - 2g(\theta)}{\theta^{2}}$의 값은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}\,$) [4점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
②
$\angle \mathrm{OAP} = \angle \mathrm{OPA} = \theta$이므로 $\angle \mathrm{BOP} = 2\theta$
따라서 $f(\theta) = \frac{1}{2} \sin \theta$
또한, $\overline{\mathrm{OA}} = 1$에서 $\overline{\mathrm{OS}} = \tan \theta$이므로
$\overline{\mathrm{CS}} = 1 – \tan \theta$
이때, $\angle \mathrm{BOP} = \angle \mathrm{COQ} = 2\theta$이고 삼각형 $\mathrm{OCQ}$는 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{SCQ} = \frac{\pi}{2} – \theta$
또한, $\angle \mathrm{CSR} = \theta + \frac{\pi}{2}$이므로 $\angle \mathrm{QRS} = \frac{\pi}{2}$
따라서 점 $\mathrm{S}$에서 변 $\mathrm{CQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\angle \mathrm{CSH} = \theta$이므로
$\overline{\mathrm{SH}} = \overline{\mathrm{RQ}} = (1-\tan \theta)\cos \theta$
$\overline{\mathrm{CH}} = (1-\tan \theta)\sin \theta$
이고
$\overline{\mathrm{CQ}} = \overline{\mathrm{BP}} = 2\sin \theta$
$\overline{\mathrm{RS}} = \overline{\mathrm{QH}}$
$= \overline{\mathrm{CQ}} – \overline{\mathrm{CH}}$
$= 2 \sin \theta – (\sin \theta – \sin \theta \tan \theta)$
$= \sin \theta + \sin \theta \tan \theta$
$g(\theta) = \frac{1}{2} \times (\overline{\mathrm{CQ}} + \overline{\mathrm{RS}}) \times \overline{\mathrm{QR}}$
$= \frac{1}{2} \times (2\sin \theta + \sin \theta + \sin \theta \tan \theta) \times (1 – \tan \theta) \cos \theta$
$= \frac{1}{2} \times (3\sin \theta + \sin \theta \tan \theta)(1 – \tan \theta) \cos \theta$
이므로
$3f(\theta) – 2g(\theta)$
$= \frac{3}{2} \sin 2\theta – (3\sin \theta + \sin \theta \tan \theta)(1 – \tan \theta) \cos \theta$
$= 3\sin \theta \cos \theta – \sin \theta \cos \theta(3 + \tan \theta)(1 – \tan \theta)$
$= \sin \theta \cos \theta \tan \theta(\tan \theta + 2)$
따라서
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{3f(\theta) – 2g(\theta)}{\theta^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{\sin \theta \cos \theta \tan \theta(\tan \theta + 2)}{\theta^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \{ \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\tan \theta}{\theta} \times \cos \theta \times (\tan \theta + 2) \}$
$= 1 \times 1 \times 1 \times 2 = 2$

29. 세 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 함수 $f(x)=ae^{2x}+be^{x}+c$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)+6}{e^x} = 1$
(나) $f(\ln 2) = 0$
함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\displaystyle \int_{0}^{14}g(x)dx = p + q \ln2$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 유리수이고, $\ln 2$는 무리수이다.) [4점]
$26$
조건 (가)에서
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)+6}{e^x}$
$=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{ae^{2x}+be^{x}+c+6}{e^x}$ $= \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left( ae^{x} + b + \frac{c+6}{e^{x}} \right)$ $= 1$
따라서, $b = 1$, $c = -6$이므로 $f(x)=ae^{2x}+e^{x}-6$
조건 (나)에서
$f(\ln 2)=ae^{2\ln 2}+e^{\ln 2}-6$ $=4a+2-6 = 0$, $a=1$
즉, $f(x)=e^{2x}+e^{x}-6$
따라서, $f(\ln 4)=e^{2\ln 4}+e^{\ln 4}-6$ $=16+4-6 = 14$
이므로
$g(0)= \ln 2$, $g(14)= \ln 4$
따라서, $\int_{0}^{14}g(x)dx$에서 $g(x)=t$로 놓으면 $g'(x)=\frac{dt}{dx}$이고
$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{f'(t)}$ 이므로
$ \int_{0}^{14}g(x)dx$
$= \int_{\ln 2}^{\ln 4}tf'(t)dt$
$= \left[ tf(t) \right]_{\ln 2}^{\ln 4} – \int_{\ln 2}^{\ln 4}f(t)dt$
$= 14 \ln 4 – \int_{\ln 2}^{\ln 4}(e^{2t}+e^{t}-6)dt$
$= 14 \ln 4 – \left[ \frac{1}{2}e^{2t}+e^{t}-6t \right]_{\ln 2}^{\ln 4}$
$= 28 \ln2 – (8-6 \ln 2)$
$= 34 \ln2 – 8$
따라서 $p = -8$, $q=34$이므로 $p+q = 26$
30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x) = e^{\sin \pi x} - 1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)=g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $h(x)$는 $x=0$에서 극댓값 $0$을 갖는다.
(나) 열린구간 $(0,\, 3)$에서 방정식 $h(x) = 1$의 서로 다른 실근의 개수는 $7$이다.
$f(3) = \dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$31$
$f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a>0$, $b$, $c$, $d$는 상수)라 하면
$f'(x) = 3ax^{2}+2bx+c$이므로
$f(3) = 27a+9b+3c+d = \frac{1}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$f'(3) = 27a+6b+c = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
조건 (가)에서
$h(0)=g(f(0)) = g(d) = e^{\sin \pi d} – 1 = 0$
$e^{\sin \pi d} = 1$, $\sin \pi d = 0$
따라서, $d$는 정수이다.
또한, $g'(x)=e^{\sin \pi x} \times \pi \cos \pi x$이고 $h'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$ 이므로
$h'(0) = g'(f(0)) \times f'(0)$
$= g'(d) \times c$
$= e^{\sin \pi d} \times \pi \cos \pi d \times c$
$= \pi \cos \pi d \times c = 0$
그런데, $\cos \pi d \neq 0$이므로 $c=0$
따라서, ㉠, ㉡에서
$27a+9b+d = \frac{1}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉢
$9a+2b = 0$ $\cdots\cdots$ ㉣
이고 $a > 0$이므로 $b < 0$이고 ㉠$-$㉡에서 $3b+d = \frac{1}{2}$이므로 $d>0$
즉, $d$는 자연수이다.
따라서 $f'(0) = c = 0$이므로 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값이 $f(0)=d$, $x=3$에서 극솟값이 $\frac{1}{2}$이다.
즉, $0 < x < 3$에서 $f(3) < f(x) < f(0)$이므로
$\frac{1}{2} < f(x) < d$
그런데 조건 (나)에 의하여 열린구간 $(0,\, 3)$에서 방정식
$h(x)=g(f(x)) = e^{\sin \pi f(x)} – 1 = 1$
즉, $e^{\sin \pi f(x)} = 2$, $\sin \pi f(x) = \ln 2$가 서로 다른 실근의 개수가 $7$이고 함수 $y = \sin \pi t$의 주기는 $2$이므로 $d=8$
㉢, ㉣에서 $a=\frac{5}{9}$, $b=-\frac{5}{2}$이므로
$f(x) = \frac{5}{9}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+8$
따라서 $f(2) = \frac{40}{9} – 10 + 8 = \frac{22}{9}$
즉, $p=9$, $q=22$이므로 $p+q=31$
수학 영역(기하)

23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2,\, 2, -1)$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{C}(-2,\, 1, \,1)$에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
24. 초점이 $\mathrm{F}\left(\dfrac{1}{3},\, 0 \right)$이고 준선이 $x = -\dfrac{1}{3}$인 포물선이 점 $(a,\, 2)$를 지날 때, $a$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
③
초점이 점 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3},\, 0 \right)$이고 준선이 직선 $x= -\frac{1}{3}$인 포물선의 방정식은 $y^{2} = \frac{4}{3}x$
이 포물선 위에 점 $(a,\, 2)$가 있으므로
$2^{2} = \frac{4}{3} \times a$
따라서 $a = 3$
점 $(a,\, 2)$가 초점이 점 $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3},\, 0 \right)$이고 준선이 직선 $x= -\frac{1}{3}$인 포물선 위에 있으므로 $\mathrm{A}(a,\, 2)$라 하면 선분 $\mathrm{AF}$의 길이와 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $x= -\frac{1}{3}$ 까지의 거리가 같다. 즉,
$\sqrt{\left( a – \frac{1}{3} \right)^{2} + \left( 2 – 0 \right)^{2}} = | a – \left( – \frac{1}{3} \right) |$
$\left( a – \frac{1}{3} \right)^{2} + 4 = \left( a + \frac{1}{3} \right)^{2}$
$a^{2} – \frac{2}{3}a + \frac{1}{9} + 4 = a^{2} + \frac{2}{3}a + \frac{1}{9}$
$\frac{4}{3}a = 4$
따라서 $a = 3$
25. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(2,\, 1)$에서의 접선의 기울기가 $-\dfrac{1}{2}$일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$, $b$는 양수이다.) [3점]
① $2\sqrt{3}$
② $4$
③ $2\sqrt{5}$
④ $2\sqrt{6}$
⑤ $2\sqrt{7}$
④
점 $(2, 1)$이 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위에 있으므로
$\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 방정식은
$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{b^2} = 1$
즉,
$y = -\frac{2b^2}{a^2}x + b^2$
이고, 주어진 조건에 의하여 접선의 기울기가 $-\frac{1}{2}$이므로
$-\frac{2b^2}{a^2} = -\frac{1}{2}$
$a^{2} = 4b^2$
이것을 ㉠에 대입하면
$\frac{4}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$
$b^{2} = 2$
$a^{2} = 8$
그러므로 주어진 타원의 방정식은
$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$
타원의 두 초점을 각각 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F}'(-c, 0)$ ($c>0$)이라 하면
$c^{2} = 8-2 = 6$ 이므로
$c = \sqrt{6}$
따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는
$\overline{ \mathrm{FF}’ } = 2\sqrt{6}$
26. 좌표평면에서 세 벡터 $$\overrightarrow{a} = (2,\, 4),\, \overrightarrow{b} = (2,\, 8),\, \overrightarrow{c} = (1,\, 0)$$ 에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$가 $$(\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{b}) = 0,\, \overrightarrow{q} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{c} \,\,(t \textbf{는 실수})$$ 를 만족시킬 때, $|\, \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q}\, |$의 최솟값은? [3점]
① $\frac{3}{2}$
② $2$
③ $\frac{5}{2}$
④ $3$
⑤ $\frac{7}{2}$
②
$\overrightarrow{p} = (x,\, y)$, $\overrightarrow{q} = (x’,\, y’)$이라 하고
$\mathrm{A}(2,\, 4)$, $\mathrm{B}(2,\, 8)$, $\mathrm{C}(1,\, 0)$, $\mathrm{P}(x,\, y)$, $\mathrm{Q}(x’,\, y’)$이라 하자.
$(\overrightarrow{p} – \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} – \overrightarrow{b}) = 0$이므로 $\mathrm{AP} \perp \mathrm{PB}$이다.
그러므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위를 움직인다.
즉, 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점인 점 $\mathrm{M}(2,\, 6)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 위에 있다.
$\overrightarrow{q} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{c}$
$= \frac{1}{2}(2,\, 4) + t(1,\, 0)$ $=(1+t,\, 2)$
이므로 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $y=2$ 위에 있다.
이때 $|\, \overrightarrow{p} – \overrightarrow{q}\, |$의 값은 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리와 같고 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{M}$에서 직선 $y=2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}’$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$에 있고, 점 $\mathrm{Q}$가 점 $\mathrm{Q}’$에 있을 때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 최소가 된다.이때 $\mathrm{A}(2,\, 4)$, $\mathrm{Q}'(2,\, 2)$이므로
$|\, \overrightarrow{p} – \overrightarrow{q}\, | = \overline{\mathrm{PQ}} \geq \overline{\mathrm{AQ}’} = 2$
따라서 구하는 최솟값은 $2$이다.
27. 좌표공간에 직선 $\mathrm{AB}$를 포함하는 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $\mathrm{AC}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{1}$이라 할 때 $\sin \theta_{1} = \dfrac{4}{5}$이고, 직선 $\mathrm{AC}$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기는 $\dfrac{\pi}{2} - \theta_{1}$이다. 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_{2}$라 할 때, $\cos \theta_{2}$의 값은? [3점]
① $\frac{\sqrt{7}}{4}$
② $\frac{\sqrt{7}}{5}$
③ $\frac{\sqrt{7}}{6}$
④ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
⑤ $\frac{\sqrt{7}}{8}$

①
다음 그림과 같이 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$, 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면, 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{\mathrm{HG}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이다.직각삼각형 $\mathrm{AGC}$에서 $\angle \mathrm{CAG} = \theta_{1}$이고, $\sin \theta_{1} = \frac{4}{5}$이므로 양수 $k$에 대하여 $\overline{\mathrm{AC}} = 5k$라 하면 $\overline{\mathrm{CG}} = 4k$이고, $\cos \theta_{1} = \frac{3}{5}$이다.
또, 직각삼각형 $\mathrm{AHC}$에서 $\angle \mathrm{CAH} = \frac{\pi}{2}-\theta_{1}$이므로
$\overline{\mathrm{CH}}$ $=\overline{\mathrm{AC}} \times \sin \left( \frac{\pi}{2}-\theta_{1} \right)$ $=5k \times \cos \theta_{1}$
$=5k \times \frac{3}{5} = 3k$
이때 직각삼각형 $\mathrm{CGH}$에서
$\overline{\mathrm{GH}}$ $= \sqrt{ \overline{\mathrm{CG}}^2 – \overline{\mathrm{CH}}^2 }$ $= \sqrt{ (4k)^2 – (3k)^2 } = \sqrt{7}k$
이고, $\angle \mathrm{CGH} = \theta_{2}$이므로
$\cos \theta_{2} = \frac{ \overline{\mathrm{GH}} }{ \overline{\mathrm{CG}} }$ $= \frac{ \sqrt{7}k }{4k} = \dfrac{ \sqrt{7} }{4}$
28. 두 초점이 $\mathrm{F}(c,\, 0)$, $\mathrm{F}'(-c,\, 0)$ ($c > 0$)인 쌍곡선 $C$와 $y$축 위의 점 $\mathrm{A}$가 있다. 쌍곡선 $C$가 선분 $\mathrm{AF}$와 만나는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{AF}'$과 만나는 점을 $\mathrm{P}'$이라 하자. 직선 $\mathrm{AF}$는 쌍곡선 $C$의 한 점근선과 평행하고 $$\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PP}'} = 5 : 6,\, \overline{\mathrm{PF}} = 1$$ 일 때, 쌍곡선 $C$의 주축의 길이는? [4점]
① $\frac{13}{6}$
② $\frac{9}{4}$
③ $\frac{7}{3}$
④ $\frac{29}{12}$
⑤ $\frac{5}{2}$

②
그림과 같이 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{PP}’$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 하자.$\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PP}’} = 5 : 6$이고 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PP}’$의 중점이므로 $\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{MP}} = 5 : 3$
이고, 직각삼각형 $\mathrm{AMP}$에서 $\frac{ \overline{\mathrm{AM}}}{ \overline{\mathrm{MP}} } = \frac{4}{3}$
즉, 직선 $\mathrm{AF}$의 기울기는 $-\frac{4}{3}$이고 직선 $\mathrm{AF}’$의 기울기는 $\frac{4}{3}$이므로
쌍곡선 $C$의 두 점근선의 기울기는 $\pm \frac{4}{3}$이다.
쌍곡선 $C$의 방정식을
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $a>0$, $b>0$)
으로 놓으면 $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$이므로
$a=3k$, $b=4k$ (단, $k>0$)
이라 하면 쌍곡선 $C$의 방정식은
$\frac{x^2}{9k^2} – \frac{y^2}{16k^2} = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
이다.
이때 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표는
$\sqrt{9k^{2}+16k^{2}} = \sqrt{25k^{2}} = 5k$
이고, 직각삼각형 $\mathrm{PHF}$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = 1$이므로
$\overline{\mathrm{HF}} = \frac{3}{5}$, $\overline{\mathrm{PH}} = \frac{4}{5}$이다.
즉, 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P}\left(5k-\frac{3}{5},\, \frac{4}{5} \right)$이고
이 점이 쌍곡선 $C$ 위에 있으므로 ㉠에 대입하면
$\frac{ \left(5k – \frac{3}{5} \right)^2}{9k^2} – \frac{ \left(\frac{4}{5} \right)^2}{16k^2} = 1$
$25k^{2}-6k+ \frac{9}{25} – \frac{9}{25} = 9k^{2}$
$16k^{2}-6k = 0$, $2k(8k-3) = 0$
$k>0$이므로 $k=\frac{3}{8}$
따라서 구하는 쌍곡선 $C$의 주축의 길이는
$2a = 2 \times 3k = 6k = 6 \times \frac{3}{8} = \dfrac{9}{4}$

29. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{AD}} = 2$, $\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{BCD} = \dfrac{\pi}{3}$인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$ 의 값을 구하시오. [4점]
(가) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2(\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}})$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 6$
(다) $2 \times \angle \mathrm{BQA} = \angle \mathrm{PBQ} < \dfrac{\pi}{2}$

$12$
조건 (가)에서
$2\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} – 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ $= \overrightarrow{\mathrm{AC}} + \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ $= \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{BP}} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
따라서 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{BA}$를 $1 : 3$으로 외분하는 점이고,
$\overline{\mathrm{AP}} = \frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}} = 3$이다.한편 $\overline{\mathrm{AB}} = 2$, $\overline{\mathrm{BC}} = 4$, $\angle \mathrm{CBA} = \frac{\pi}{3}$이므로 $\angle \mathrm{BAC} = \frac{\pi}{2}$, $\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3}$
이다.
따라서 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{A}$이다.
점 $\mathrm{Q}$에서 직선 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 조건 (나)에 의하여
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}} = 6$
이어야 하므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위에 있고
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}} = |\overrightarrow{\mathrm{AC}}| |\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$ $= 2\sqrt{3} \times \overline{\mathrm{AH}} = 6$
즉, $\overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{3}$이다.
따라서 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선인 직선 $\mathrm{DH}$ 위에 있다.
이때 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서
$\angle \mathrm{PBQ} = \angle \mathrm{BAQ} + \angle \mathrm{BQA}$이므로
$2 \times \angle \mathrm{BQA} = \angle \mathrm{PBQ}$를 만족시키려면 $\angle \mathrm{BAQ} = \angle \mathrm{BQA}$
즉, $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BQ}}$이어야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$는 다음 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$에 수직인 직선이 직선 $\mathrm{DH}$와 만나는 점이어야 한다.이때 직각삼각형 $\mathrm{AQD}$에서 $\overline{\mathrm{AD}} = 2$, $\overline{\mathrm{AQ}} = 2\sqrt{3}$이므로 $\overline{\mathrm{DQ}} = \sqrt{4+12} = 4$
따라서
$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$ $= ( \overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} )\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$
$= \overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$
$= | \overrightarrow{\mathrm{CA}} | | \overrightarrow{\mathrm{DQ}} | \cos \frac{\pi}{2}+ | \overrightarrow{\mathrm{AP}} | | \overrightarrow{\mathrm{DQ}} | \cos 0$
$= 0 + 3 \times 4 \times 1$ $= 12$
다음 그림과 같이 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표가 각각 $\mathrm{A}(0,\, \sqrt{3})$, $\mathrm{B}(-1,\, 0)$, $\mathrm{C}(3,\, 0)$, $\mathrm{D}(2,\, \sqrt{3})$이 되도록 좌표평면을 설정하자.점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P}(a,\, b)$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2(\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}})$에서 $(3, -\sqrt{3}) = 2\{ (2,\, 0) + (a+1,\, b) \}$
$3 = 2(a+3)$에서 $a = -\frac{3}{2}$
$-\sqrt{3} = 2b$에서 $b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
즉, $\mathrm{P}\left(-\frac{3}{2},\, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$이므로 다음 그림과 같이 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$는 한 직선 위에 있고 $\overline{\mathrm{BP}} = 1$이다.또, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\mathrm{Q}(x, \,y)$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 6$에서 $(3, \,-\sqrt{3})\cdot\left(x+\frac{3}{2}, \,y+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 6$
$3x+\frac{9}{2}-\sqrt{3}y -\frac{3}{2} = 6$
$y = \sqrt{3}x – \sqrt{3}$
이므로 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $y = \sqrt{3}x – \sqrt{3}$ 위에 있다.이때 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서 $\angle \mathrm{PBQ} = \angle \mathrm{BAQ} + \angle \mathrm{BQA}$이므로 $2 \times \angle \mathrm{BQA} = \angle \mathrm{PBQ}$를 만족시키려면 $\angle \mathrm{BAQ} = \angle \mathrm{BQA}$
즉, $\overline{ \mathrm{AB} } = \overline{ \mathrm{BQ} }$이어야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q}(0, -\sqrt{3})$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$ $= \left(-\frac{9}{2}, \,-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\cdot(-2, \,-2\sqrt{3}) $ $=9+3 = 12$
30. 좌표공간에 정사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 정삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외심을 중심으로 하고 점 $\mathrm{B}$를 지나는 구를 $S$라 하자.
구 $S$와 선분 $\mathrm{AB}$가 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{P}$,
구 $S$와 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 점 중 $\mathrm{C}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$,
구 $S$와 선분 $\mathrm{AD}$가 만나는 점 중 $\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\mathrm{R}$라 하고,점 $\mathrm{P}$에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\alpha$라 하자.
구 $S$의 반지름의 길이가 $6$일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 평면 $\alpha$
위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]

$24$
구 $S$의 중심, 즉 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외심을 $\mathrm{O}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABO}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 6\sqrt{3}$, $\overline{\mathrm{BO}} = 6$, $\overline{\mathrm{AO}} = 6\sqrt{2}$이다.
이때 점 $\mathrm{P}$가 구 $S$ 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{OP}} = 6$
즉, 삼각형 $\mathrm{OBP}$가 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{BP}$의 중점이다.
한편, $\Delta\mathrm{ABO} \propto \Delta\mathrm{OBH} $이므로
$6 : 6\sqrt{3} = \overline{\mathrm{BH}} : 6$
에서
$\overline{\mathrm{BH}} = 2\sqrt{3}$
따라서
$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AB}} – \overline{\mathrm{BP}}$
$= \overline{\mathrm{AB}} – 2 \times \overline{\mathrm{BH}}$
$= 6\sqrt{3} – 2 \times 2\sqrt{3}$ $= 2\sqrt{3}$
이므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$는 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정삼각형이다.
즉, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2 = 3\sqrt{3}$
한편, 다음 그림과 같이 평면 $\alpha$와 평면 $\mathrm{PQR}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\angle \mathrm{AOP} = \theta$이다.
이때 직각삼각형 $\mathrm{OBG}$에서
$\sin(\angle \mathrm{BOH}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos(\angle \mathrm{BOH}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이고, $\theta = \frac{\pi}{2} – 2\angle \mathrm{BOH}$이므로
$\cos \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} – 2\angle \mathrm{BOH} \right)$
$= \sin\left( 2\angle \mathrm{BOH} \right)$
$= 2\sin(\angle \mathrm{BOH}) \cos(\angle \mathrm{BOH})$
$= 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2\sqrt{2}}{3}$
따라서 구하는 정사영의 넓이는
$k = 3\sqrt{3} \times \cos \theta$ $= 3\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3}$ $= 2\sqrt{6}$
이므로
$k^{2} = (2\sqrt{6})^{2} = 24$