24년 6월 평가원

수학 영역

1_out_of_5

1. $\left( \dfrac{5}{\sqrt[3]{25}} \right)^{\frac{3}{2}}$의 값은? [2점]

① $\frac{1}{5}$
② $\frac{\sqrt{5}}{5}$
③ $1$
④ $\sqrt{5}$
⑤ $5$

$\left( \dfrac{5}{\sqrt[3]{25}} \right)^{\frac{3}{2}}$
$=\left( \dfrac{5}{5^{\frac{2}{3}}} \right)^{\frac{3}{2}}$
$=\left( 5^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}$
$=5^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}}$ $=5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

2. 함수 $f(x)=x^2 +x +2$에 대하여 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$f(x)=x^2 +x +2$에서 $f'(x) = 2x+1$
따라서, $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = f'(2)$ $= 2 \times 2 + 1 = 5$

3. 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(a_k +1) = 9$이고 $a_6 = 4$일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{6}a_k$의 값은? [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(a_k +1)$ $=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k +\sum_{k=1}^{5}1$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k + 1 \times 5 = 9$
에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k = 9 – 5 = 4$

따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{6}a_k = \displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_k + a_6$ $= 4+ 4 = 8$

4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

32306_c04_1

$\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x) + \lim_{x \to 1-}f(x)$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x) = 2$, $\displaystyle\lim_{x \to 1-}f(x) = 1$
이므로
$\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x) + \lim_{x \to 1-}f(x) = 2 + 1 = 3$

5. 함수 $f(x)=(x^2 -1)(x^2 +2x +2)$에 대하여 $f'(1)$의 값은? [3점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$f(x)=(x^2 -1)(x^2 +2x +2)$에서
$f'(x)=2x(x^2 +2x +2) + (x^2 -1)(2x +2)$
이므로
$f'(1)=2 \times 5 =10$

6. $\pi < \theta < \dfrac{3}{2}\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{3}{5}$일 때, $\sin \theta$의 값은? [3점]

① $-\frac{4}{5}$
② $-\frac{3}{5}$
③ $\frac{3}{5}$
④ $\frac{3}{4}$
⑤ $\frac{4}{5}$

$\sin \left( \theta – \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{5}$에서
$\sin \left( \theta – \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left\{ -\left( \frac{\pi}{2} – \theta \right) \right\}$ $=-\sin \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right) = -\cos \theta$
이므로
$-\cos \theta = \frac{3}{5}$ 즉 $\cos \theta = -\frac{3}{5}$

한편, $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$에서 $\sin \theta < 0$

따라서
$\sin \theta = -\sqrt{1 – \cos^{2}\theta}$ $= -\sqrt{1 – \left( -\frac{3}{5} \right)^2}$ $= -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\dfrac{4}{5}$

7. $x$에 대한 방정식 $x^3 -3x^2 -9x+k = 0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합은? [3점]

① $13$
② $16$
③ $19$
④ $22$
⑤ $25$

$f(x)=x^3 -3x^2 -9x+k$로 놓으면
$f'(x)=3x^2 -6x -9 = 3(x+1)(x-3)$
$f'(x)=0$에서 $x= -1$, $x=3$

$f(-1)=k+5$, $f(3)=k-27$
삼차함수 $y=f(x)$의 그래프는 $x= -1$에서 극댓값 $k+5$를 갖고, $x=3$에서 극솟값 $k-27$을 갖는다. 이때 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되려면 극댓값 또는 극솟값이 $0$이어야 하므로
$k+5=0$ 또는 $k-27=0$
즉 $k= -5$ 또는 $k=27$

따라서 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합은
$-5+27 = 22$

8. $a_{1}a_2 < 0$ 인 등비수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$a_6 = 16,\: 2a_8 -3a_7 = 32$$ 일 때, $a_9 + a_{11}$의 값은? [3점]

① $-\frac{5}{2}$
② $-\frac{3}{2}$
③ $-\frac{1}{2}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $\frac{3}{2}$

등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$이라 하면
$a_6 = 16$
이므로
$a_8 = a_6 \times r^2 =16r^2$, $a_7 = a_6 \times r =16r$
$2a_8 -3a_7 = 32$이므로
$2 \times 16r^2 -3\times 16r = 32$
$2r^2 -3r -2 =0$
$(2r+1)(r-2)=0$
$a_{1}a_2 < 0$에서 $r < 0$이므로
$r = -\frac{1}{2}$

따라서
$a_{9} + a_{11} = a_{6} \times r^3 + a_{6} \times r^5$
$=16 \times \left( -\frac{1}{8} \right) + 16 \times \left( -\frac{1}{32} \right)$ $= -2 + \left( -\frac{1}{2} \right) = -\dfrac{5}{2}$

9. 함수 $$f(x)=\begin{cases} \:\:\: x-\frac{1}{2} & (x < 0) \\ -x^{2}+3 & (x \geq 0) \end{cases}$$ 에 대하여 함수 $\left( f(x) + a \right)^{2}$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점]

① $-\frac{9}{4}$
② $-\frac{7}{4}$
③ $-\frac{5}{4}$
④ $-\frac{3}{4}$
⑤ $-\frac{1}{4}$

함수$f(x)$는 $x=0$에서만 불연속이므로 함수 $\left( f(x) + a \right)^{2}$이 $x=0$에서 연속이 되도록 $a$의 값을 정한다.
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}\left( f(x) + a \right)^{2} = \left( f(0) + a \right)^{2}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0-}\left( x – \frac{1}{2} + a \right)^{2} = \left( 3 + a \right)^{2}$
$\displaystyle \left( – \frac{1}{2} + a \right)^{2} = \left( 3 + a \right)^{2}$
$a^{2}-a+\frac{1}{4} = a^{2}+6a +9$
$7a = -\frac{35}{4}$

따라서 $a= -\dfrac{5}{4}$

10. 다음 조건을 만족시키는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $9 \pi$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는? [4점]

(가) $3 \sin A = 2 \sin B$
(나) $\cos B = \cos C$

① $\frac{32}{9}\sqrt{2}$
② $\frac{40}{9}\sqrt{2}$
③ $\frac{16}{3}\sqrt{2}$
④ $\frac{56}{9}\sqrt{2}$
⑤ $\frac{64}{9}\sqrt{2}$

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{BC}}=a$, $\overline{\mathrm{CA}}=b$, $\overline{\mathrm{AB}}=c$라 하고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $9\pi$이므로 $\pi R^2 =9 \pi$에서 $R=3$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
조건 (가)에서 $3 \sin A = 2 \sin B$이므로
$3 \times \frac{a}{2R} = 2 \times \frac{b}{2R}$
$b=\frac{3}{2}a$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (나)에서 $\cos B = \cos C$이므로
$b=c$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 양수 $k$에 대하여 $a=2k$라 하면 $b=c=3k$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\cos A = \frac{b^2 +c^2 -a^2}{2bc}$ $=\frac{(3k)^2 + (3k)^2 – (2k)^2}{2 \times 3k \times 3k} = \frac{7}{9}$
$\sin A = \sqrt{1 – \cos^{2}A}$ $= \sqrt{1- \left( \frac{7}{9} \right)^2} = \frac{4}{9}\sqrt{2}$

$\frac{a}{\sin A} = 2R = 2 \times 3 = 6$에서
$a=6\sin A = 6 \times \frac{4}{9}\sqrt{2} = \frac{8}{3}\sqrt{2}$
$b=c=\frac{3}{2}a= \frac{3}{2} \times \frac{8}{3}\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

따라서 구하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는
$\frac{1}{2} bc\sin A$ $=\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} \times \frac{4}{9}\sqrt{2} = \dfrac{64}{9}\sqrt{2}$

11. 최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$가 $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)-1}{x-a} = 3$$ 을 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, \,f(a))$에서의 접선의 $y$ 절편이 $4$일 때, $f(1)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) [4점]

① $-1$
② $-2$
③ $-3$
④ $-4$
⑤ $-5$

삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)=0$이므로
$f(x)=x^3 + px^2 +qx$ ($p$, $q$는 상수)
로 놓을 수 있다.
이때 $f'(x)=3x^2 +2px +q$이다.
삼차함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이고 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)-1}{x-a} = 3$에서
$f(a)=1$이고 $f'(a)=3$이다.

한편, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, \,f(a))$에서의 접선의 방정식은
$y-f(a) = f'(a)(x-a)+f(a)$이므로
$y = 3(x-a)+1$ 즉 $y = 3x-3a+1$이다.
이 접선의 $y$ 절편이 $4$이므로
$-3a + 1=4$에서
$a= -1$
이상에서 $f(-1)=1$, $f'(-1)=3$이므로
$f(-1)= -1+p-q=1$에서
$p-q=2$ $\cdots\cdots$ ㉠
이고,
$f'(-1)=3-2p+q=3$ 에서
$2p-q=0$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 $p= -2$, $q= -4$
이므로
$f(x)=x^3 -2x^2 -4x$
이다.
따라서 $f(1)=1-2-4 = -5$

12. 그림과 같이 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위의 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y= 2^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y= 2^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y=1-2^{-x}$과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = 2 \overline{\mathrm{CD}}$일 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는? [4점]

32306_c12_1

① $\frac{5}{2}\log_{2}3 – \frac{5}{4}$
② $3\log_{2}3 – \frac{3}{2}$
③ $\frac{7}{2}\log_{2}3 – \frac{7}{4}$
④ $4\log_{2}3 – 2$
⑤ $\frac{9}{2}\log_{2}3 – \frac{9}{4}$

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$ 좌표를 $a$라 하면
$\mathrm{A}(a, \,1-2^{-a})$, $\mathrm{B}(a, \,2^a)$이므로
$\overline{\mathrm{AB}} = 2^a – (1-2^{-a}) = 2^a +2^{-a} -1$

두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 $x$ 좌표를 $c$라 하면
$\mathrm{C}(c, \,2^{c})$, $\mathrm{D}(c, \,1-2^{-c})$이므로
$\overline{\mathrm{CD}} = 2^c – (1-2^{-c}) = 2^c +2^{-c} -1$

이때 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$의 $y$ 좌표가 같으므로
$2^c = 1-2^{-a}$
즉,  $\overline{\mathrm{CD}} = (1-2^{-a}) + \frac{1}{1-2^{-a}} – 1$
$= -2^{-a} + \frac{2^a}{2^a -1}$

주어진 조건에 의하여 $\overline{\mathrm{AB}} = 2 \overline{\mathrm{CD}}$이므로
$2^a +2^{-a}-1 = -2^{-a+1}+\frac{2^{a+1}}{2^a -1}$

여기서 $2^a = t$로 놓으면
$t + \frac{1}{t}-1 = -\frac{2}{t} + \frac{2t}{t-1}$
양변에 $t(t-1)$을 곱하여 정리하면
$t^3 -4t^2 +4t -3 =0$
$(t-3)(t^2 -t +1)=0$
$t$는 실수이므로 $t=3$
즉, $2^a = 3$이므로 $a=\log_{2}3$

이때 $2^c = 1-2^{-a} = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$이므로
$c = \log_{2}\frac{2}{3} = 1 – \log_{2}3$

따라서 조건을 만족시키는 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times (a-c) \times (2^a -1 + 2^{-c})$
$= \frac{1}{2} \times (2 \log_{2}3 -1) \times \left( 3-1+\frac{3}{2} \right)$
$=\frac{7}{4}(2 \log_{2}3 -1)$
$=\dfrac{7}{2}\log_{2}3 – \dfrac{7}{4}$

13. 곡선 $y=\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x$와 직선 $y=mx+2$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x$와 두 직선 $y=mx+2$, $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자.
$B-A=\frac{2}{3}$일 때, 상수 $m$의 값은? (단, $m < -1$) [4점]

① $-\frac{3}{2}$
② $-\frac{17}{12}$
③ $-\frac{4}{3}$
④ $-\frac{5}{4}$
⑤ $-\frac{7}{6}$

32306_c13_1

$f(x)=\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x$, $g(x)=mx+2$라 하고 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면
$A = \displaystyle \int_{0}^{\alpha}\{ g(x) – f(x) \}dx$
$B = \displaystyle \int_{\alpha}^{2}\{ f(x) – g(x) \}dx$

따라서
$B – A = \displaystyle \int_{\alpha}^{2}\{ f(x) – g(x) \}dx – \int_{0}^{\alpha}\{ g(x) – f(x) \}dx$
$= \displaystyle \int_{\alpha}^{2}\{ f(x) – g(x) \}dx + \int_{0}^{\alpha}\{ f(x) – g(x) \}dx$
$= \displaystyle \int_{0}^{2}\{ f(x) – g(x) \}dx$
$= \displaystyle \int_{0}^{2}\left\{ \left( \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{2}x \right) – (mx+2) \right\}dx$
$= \displaystyle \left[ \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{4}x^2 -\frac{m}{2}x^2 -2x \right]_{0}^{2}$
$= 1+1-2m-4 = -2m -2 = \frac{2}{3}$

따라서 $m= -\dfrac{4}{3}$

14. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$의 값의 합은? [4점]

$\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75} - \log_{4}(75-kn)$의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수가 $12$이다.

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75}$에서 진수 조건에 의하여
$\sqrt{-n^{2}+10n+75} > 0$, 즉 $-n^{2}+10n+75 > 0$에서
$n^{2}-10n-75 < 0$, $(n+5)(n-15) < 0$
$-5 < n < 15$
이때, $n$이 자연수이므로
$1 \leq n \leq 14$ $\cdots\cdots$ ㉠
또 $\log_{4}(75-kn)$에서 진수 조건에 의하여
$75-kn > 0$, 즉 $n < \frac{75}{k}$ $\cdots\cdots$ ㉡

한편, $\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75} – \log_{4}(75-kn)$의 값이 양수이므로
$\log_{2}\sqrt{-n^{2}+10n+75} – \log_{4}(75-kn) > 0$에서
$\log_{4}(-n^{2}+10n+75) – \log_{4}(75-kn) > 0$
$\log_{4}(-n^{2}+10n+75) > \log_{4}(75-kn)$
이때 밑 $4$가 $1$ 보다 크므로 $-n^{2}+10n+75 > 75-kn$
$n(n-10-k) < 0$
$k$가 자연수이므로
$0 < n < 10+k$ $\cdots\cdots$ ㉢
주어진 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 개수가 $12$이므로
㉠, ㉢에서 $10 + k > 12$
이어야 한다. 즉, $k > 2$이어야 한다.

(ⅰ) $k=3$일 때,
㉠, ㉡, ㉢에서
$1 \leq n < 13$
따라서 자연수 $n$의 개수가 $12$이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) $k=4$일 때,
㉠, ㉡, ㉢에서
$1 \leq n < 14$
따라서 자연수 $n$의 개수가 $13$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅲ) $k=5$일 때,
㉠, ㉡, ㉢에서
$1 \leq n < 15$
따라서 자연수 $n$의 개수가 $14$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅳ) $k=6$일 때,
㉠, ㉡, ㉢에서
$1 \leq n < \frac{25}{2}$
따라서 자연수 $n$의 개수가 $12$이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅴ) $k \geq 7$일 때
$\frac{75}{k} < 11$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅰ) ~ (ⅴ)에서
$k=3$ 또는 $k=6$

따라서 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $3 + 6 = 9$

15. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 상수 $k$ ($k \geq 0$)에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} 2x-k & (x \leq k) \\ f(x) & (x > k) \end{cases}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle \int_{0}^{x}g(t)\{ | t(t-1) | + t(t-1) \}dt \geq 0$이고 $\displaystyle \int_{3}^{x}g(t)\{ | (t-1)(t+2) | - (t-1)(t+2) \}dt \geq 0$이다.

$g(k+1)$의 최솟값은? [4점]

① $4-\sqrt{6}$
② $5-\sqrt{6}$
③ $6-\sqrt{6}$
④ $7-\sqrt{6}$
⑤ $8-\sqrt{6}$

삼차함수 $f(x)$에 대하여
$g(x) = \begin{cases} 2x-k & (x \leq k) \\ f(x) & (x > k) \end{cases}$
이므로
$g'(x) = \begin{cases} 2 & (x < k) \\ f'(x) & (x > k) \end{cases}$

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를
$f(x)=x^3 + ax^2 +bx +c$ (단, $a$, $b$, $c$는 상수)
라 하면
$f'(x)=3x^2 + 2ax +b$
또한,
$h_1(t) = | t(t-1) | + t(t-1)$
$h_2(t) = | (t-1)(t+2) | – (t-1)(t+2)$
라 할 때,
$h_1(t) = \begin{cases} 2t(t-1) & (t \leq 0 \textbf{ 또는 } t \geq 1) \\ \:\:\: 0 & (0 < t < 1) \end{cases}$
$h_2(t) = \begin{cases} \:\:\: 0 & (t \leq -2 \textbf{ 또는 } t \geq 1) \\ -2(t-1)(t+2) & (-2 < t < 1) \end{cases}$
이므로 두 함수 $y=h_1(t)$, $y=h_2(t)$의 그래프는 각각 다음과 같다.

한편, $p$가 상수일 때, 모든 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle \int_{p}^{x}h(t)dt \geq 0$이기 위해서는 구간 $[p, \,x]$에서는 $h(t) \geq 0$이고 구간 $[x, \,p]$에서는 $h(t) \leq 0$이어야 한다.

(i) 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle \int_{0}^{x}g(t)h_1(t)dt \geq 0$이므로 그림과 같이 $0 \leq \frac{k}{2} \leq 1$, 즉 $0 \leq k \leq 2$이어야 한다.
(ii) 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle \int_{3}^{x}g(t)h_2(t)dt \geq 0$이므로 그림과 같이 $\frac{k}{2} \geq 1$, 즉 $k \geq 2$이어야 한다.
(i), (ii)에 의하여 $k=2$
조건 (가)에서 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x=k=2$에서도 미분가능하고 연속이다.
$g'(2)=f'(2)=2$에서
$12 + 4a + b =2$, $b= -4a – 10$
$g(2)=f(2)=2$에서
$8 + 4a + 2b + c = 2$
$c = -4a – 2b – 6$ $= -4a – 2(-4a – 10) – 6 = 4a + 14$
따라서 $f(x) = x^3 + ax^2 -(4a+10)x + 4a + 14$ $\cdots\cdots$ ㉠

한편,
함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 증가하므로 $g'(x) \geq 0$이다.
따라서 $x \geq 2$일 때 $f'(x) \geq 0$이어야 한다.

$f'(x)=3 \left( x+\frac{a}{3} \right)^{2} + b – \frac{a^2}{3}$에서

① $-\frac{a}{3} < 2$, 즉 $a > -6$일 때
$f'(2)=12 + 4a + b = 12 + 4a – 4a -10 = 2 > 0$이 되어 조건을 만족시킨다.
$a > -6$ $\cdots\cdots$ ㉡

② $-\frac{a}{3} \geq 2$, 즉 $a \leq -6$일 때
$b – \frac{a^2}{3} \geq 0$, 즉 $a^2 -3b \leq 0$이어야 하므로
$a^2 -3b = a^2 -3(-4a-10) \leq 0$
$a^2 +12a +30 \leq 0$, $(a+6)^2 \leq 6$
$-6-\sqrt{6} \leq a \leq -6+\sqrt{6}$
이므로
$-6-\sqrt{6} \leq a \leq -6$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡, ㉢에서
$a \geq -6-\sqrt{6}$ $\cdots\cdots$ ㉣

㉠에 $x=3$을 대입하면 ㉣에서
$g(k+1) = g(3) = f(3)$ $= 27 + 9a -12a -30 + 4a + 14$ $=a+11 \geq 5 – \sqrt{6}$

따라서 $g(3)$의 최솟값은 $5 – \sqrt{6}$이다.

1_out_of_999

16. 방정식 $\log_{2}(x+1) - 5 = \log_{\frac{1}{2}}(x-3)$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

$7$

로그의 진수의 조건에 의하여 $x+1 > 0$, $x-3 > 0$
즉 $x > 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -\log_{2}(x-3)$이므로
$\log_{2}(x+1) – 5 = \log_{\frac{1}{2}}(x-3)$에서
$\log_{2}(x+1) + \log_{2}(x-3) = 5$
$\log_{2}(x+1)(x-3) = 5$
$(x+1)(x-3) = 2^5 = 32$, $x^2 -2x -35 = 0$
$(x+5)(x-7) = 0$
$x= -5$ 또는 $x=7$
이때 ㉠에 의하여
$x=7$

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=6x^2 + 2$ 이고 $f(0)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]

$23$

$f'(x)=6x^2 + 2$이므로
$f(x) = \int (6x^2 + 2)dx$ $= 2x^3 +2x + C$ ($C$는 적분상수)
$f(0)=3$이므로
$C=3$

따라서 $f(x)= 2x^3 +2x + 3$이므로
$f(2)=2 \times 2^3 + 2 \times 2 +3 = 23$

18. $\displaystyle \sum_{k=1}^{9}(ak^2 - 10k) = 120$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

$2$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{9}(ak^2 – 10k) = a \sum_{k=1}^{9}k^2-10 \sum_{k=1}^{9}k$
$=a \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} – 10 \times \frac{9 \times 10}{2}$
$= 285a -450 = 120$
$285a =570$

따라서 $a=2$

19. 시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t \geq 0$)에서의 속도 $v(t)$가 $$v(t) = \begin{cases} -t^2 +t +2 & (0 \leq t \leq 3) \\ \: k(t-3)-4 & (t > 3) \end{cases}$$ 이다. 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $1$일 때, 양수 $k$의 값을 구하시오. [3점]

$16$

점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각에서 $v(t)=0$이다.
$0 \leq t \leq 3$일 때,
$-t^2 +t +2 =0$에서 $(t-2)(t+1)=0$
$t>0$이므로 $t=2$
$t > 3$일 때,
$k(t-3)-4 = 0$에서 $kt = 3k + 4$
$t = 3 + \frac{4}{k}$
따라서 출발 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각은 $t = 3 + \frac{4}{k}$

원점을 출발한 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t = 3 + \frac{4}{k}$에서의 위치가 $1$이므로
$\displaystyle \int_{0}^{3+\frac{4}{k}}v(t)dt = 1$에서
$\displaystyle \int_{0}^{3}v(t)dt + \displaystyle \int_{3}^{3+\frac{4}{k}}v(t)dt$
$=\displaystyle \int_{0}^{3}(-t^2 +t +2)dt + \displaystyle \int_{3}^{3+\frac{4}{k}}(kt -3k -4)dt$

이때
$\displaystyle \int_{0}^{3}(-t^2 +t +2)dt$ $= \left[-\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 +2t \right]_{0}^{3}$ $= -9 + \frac{9}{2} + 6 = \dfrac{3}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle \int_{3}^{3+\frac{4}{k}}(kt -3k -4)dt$ $= \left[ \frac{1}{2}kt^2 – (3k+4)t \right]_{3}^{3+\frac{4}{k}}$ $= -\dfrac{8}{k}$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서
$\displaystyle \int_{0}^{3}v(t)dt + \displaystyle \int_{3}^{3+\frac{4}{k}}v(t)dt$ $=\frac{3}{2} + \left( -\frac{8}{k} \right) = 1$
$\frac{8}{k} = \frac{1}{2}$에서 $k=16$

20. $5$ 이하의 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 열린구간 $(0, \,2\pi)$에서 정의된 함수 $y=a \sin x + b$의 그래프가 직선 $x = \pi$와 만나는 점의 집합을 $A$라 하고, 두 직선 $y=1$, $y=3$과 만나는 점의 집합을 각각 $B$, $C$라 하자. $n(A \cup B \cup C) = 3$이 되도록 하는 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하시오. [4점]

$24$

(ⅰ) $b=1$인 경우
$n(A \cup B \cup C) = 3$을 만족시키려면 $a+1 > 3$, 즉 $a > 2$이어야 하므로 $5$ 이하의 자연수$a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$는
$(3, \,1)$, $(4, \,1)$, $(5, \,1)$
이다.

(ⅱ) $b=2$인 경우
$n(A \cup B \cup C) = 3$을 만족시키려면 $a=1$이어야 하므로 $5$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$는
$(1, \,2)$
이다.

(ⅲ) $b=3$인 경우
$n(A \cup B \cup C) = 3$을 만족시키려면 $-a+3 < 1$, 즉 $a > 2$이어야 하므로 $5$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$는
$(3, \,3)$, $(4, \,3)$, $(5, \,3)$
이다.

(ⅳ) $b=4$인 경우
$n(A \cup B \cup C) = 3$을 만족시키려면 $1 < -a+4 < 3$, 즉 $1 < a < 3$이어야 하므로 $5$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$는
$(2, \,4)$
이다.

(v) $b=5$인 경우
$n(A \cup B \cup C) = 3$을 만족시키려면 $1 < -a+5 < 3$, 즉 $2 < a < 4$이어야 하므로 $5$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$는
$(3, \,5)$
이다.

이상에서 $a+b$의 최댓값과 최솟값은 각각 $M=8$, $m=3$이므로
$M \times m = 24$

21. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f'(a) \leq 0$인 실수 $a$의 최댓값은 $2$이다.
(나) 집합 $\{ x \,|\, f(x)=k \}$의 원소의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 $\dfrac{8}{3}$이다.

$f(0)=0$, $f'(1)=0$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오. [4점]

$15$

조건 (나)에서 방정식 $f(x)=k$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이상인 실수 $k$의 값이 존재하므로 삼차방정식 $f'(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 갖는다.
삼차방정식 $f'(x)=0$의 서로 다른 세 실근을 각각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$)라 하면 부등식 $f'(x) \leq 0$의 해가 $x \leq \alpha$ 또는 $\beta \leq x \leq \gamma$이므로 조건 (나)에 의하여 $\gamma = 2$
$f'(1)=0$, $f'(2)=0$에서 $b \neq 1$, $b < 2$인 상수 $b$에 대하여
$f'(x)=4(x-1)(x-2)(x-b)$ $= 4x^3 -4(b+3)x^2 +4(3b+2)x – 8b$
로 놓으면
$f(x) = \int f'(x)dx$ $=x^4 – \frac{4}{3}(b+3)x^3 + 2(3b+2)x^2 – 8bx + C$ ($C$는 상수)
$f(0)=0$에서 $C=0$이므로
$f(x)=x^4 – \frac{4}{3}(b+3)x^3 + 2(3b+2)x^2 – 8bx$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때 조건 (나)를 만족시키는 경우는 다음과 같다.

(i) $b < 1$이고 $f(b) < f(2)$인 경우
조건 (나)에 의하여 $f(2)=\frac{8}{3}$이어야 하므로 ㉠에서
$f(2)=16 – \frac{32}{3}(b+3) + 8(3b+2) – 16b$ $= -\frac{8}{3}b = \frac{8}{3}$
$b = -1$
$f(x)=x^4 – \frac{8}{3}x^3 – 2x^2 + 8x$에서
$f(-1)=1+\frac{8}{3}-2-8 = -\frac{19}{3} < \frac{8}{3}$이므로 조건을 만족시킨다.
따라서 $f(3)=81-72-18+24 = 15$

(ii) $b < 1$이고 $f(2) < f(b)$인 경우
함수 $f(x)$는 $x=b$에서 극소이고 $f(0)=0$이므로 $f(b) \leq 0$이다.
따라서 방정식 $f(x)=k$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 $0$ 또는 음수이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) $1 < b < 2$인 경우
함수 $f(x)$는 $x=1$에서 극소이고 $f(0)=0$이므로 $f(1) < 0$이다.
따라서 방정식 $f(x)=k$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은 음수이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(i), (ii), (iii)에서 $f(3)=15$이다.

22. 수열 $\{ a_n\}$은 $$a_2 = - a_1$$ 이고, $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_{n}-\sqrt{n} \times a_{\sqrt{n}} & (\sqrt{n} \textbf{이 자연수이고 } a_n > 0 \textbf{인 경우}) \\ a_{n}+1 & (\textbf{그 외의 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_{15}=1$이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 곱을 구하시오. [4점]

$231$

$15$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $n \neq 4$, $n \neq 9$이면 $a_{n+1} = a_n +1$이므로
$a_n = a_{n+1}-1$
그러므로 $a_{15} = 1$에서 $a_{14}=a_{15}-1=0$, $a_{13}=a_{14}-1= -1$, $a_{12}=a_{13}-1= -2$, $a_{11}=a_{12}-1= -3$, $a_{10}=a_{11}-1=-4$

ⅰ) $a_9 > 0$일 때
$a_{9}-\sqrt{9} \times a_{\sqrt{9}} = a_{10} = -4$
그러므로 $a_{9} = 3 a_{3} – 4$에서 $a_{5} = 3 a_{3} – 8$

ⅰ-1) $a_4 > 0$일 때
$a_{5} = a_{4}-\sqrt{4} \times a_{\sqrt{4}}$이므로
$a_{4} – 2 a_{2} = 3 a_{3} – 8$ 즉, $a_{4} = 3 a_{3} + 2 a_{2} – 8$
그러므로 $a_{4} = a_{3} +1$에서 $a_{3} = a_{4} – 1$이므로
$a_{3} = 3a_{3} + 2a_{2}- 9$ 즉, $a_{3} + a_{2} = \frac{9}{2}$
$a_{3} = a_{2} + 1$이므로 $a_{2} = \frac{7}{4}$, $a_{3}= \frac{11}{4}$
$a_{9} = \frac{33}{4} – 4 > 0$, $a_{4} = \frac{33}{4} + \frac{14}{4} – 8 > 0$
그러므로 $a_1 = -a_2 = -\frac{7}{4}$

ⅰ-2) $a_{4} \leq 0$일 때
$a_{4}+1 = a_{5} = 3a_{3} – 8$
그러므로 $a_{4} = 3a_{3} -9$에서
$a_{3} = a_{4} -1 = 3a_{3} – 9 -1$
$a_{3} = 3a_{3} -10$
즉, $a_{3} = 5$
그런데 $a_{3}=5$이면 $a_{4} = 6 > 0$이므로 모순이다.

ⅱ) $a_{9} \leq 0$일 때
$a_{9}= a_{10} – 1 = -5$에서 $a_{5}= -9$
ⅱ-1) $a_{4} > 0$일 때
$a_{5}= a_{4} – \sqrt{4} \times a_{\sqrt{4}} = a_{4} – 2 a_{2}$
즉, $a_{4}= a_{5} + 2a_{2}$이므로 $a_{4} = 2a_{2}-9$
또, $a_{3} = a_{4} – 1 = 2a_{2}-9-1 = 2a_{2}-10$
그런데 $a_{3} = a_{2} + 1$이므로
$a_{2}+1 = 2a_{2} -10$
$a_{2}=11$
$a_{4} = 2 \times 11 – 9 > 0$
그러므로 $a_{1} = -a_{2} = -11$

ⅱ-2) $a_{4} \leq 0$ 일 때
$a_{5} = a_{4} + 1 = -9$
그러므로 $a_{4} = -10$에서 $a_{3}= -11$, $a_{2} = -12$
그러므로 $a_{1}= -a_{2} = 12$

ⅰ) , ⅱ)에서 모든 $a_1$의 곱은 $-\frac{7}{4} \times (-11) \times 12 = 231$

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. 네 개의 숫자 $1$, $1$, $2$, $3$을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]

① $8$
② $10$
③ $12$
④ $14$
⑤ $16$

네 개의 숫자 $1$, $1$, $2$, $3$을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는
$\frac{4!}{2!} = 12$

24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}(A^{c}) = \frac{5}{6}, \:\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{3}{4}$$ 일 때, $\mathrm{P}(B^{c})$의 값은? [3점]

① $\frac{3}{8}$
② $\frac{5}{12}$
③ $\frac{11}{24}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $\frac{13}{24}$

여사건의 확률에 의하여
$\mathrm{P}(A) = 1 – \mathrm{P}(A^c)$ $=1 – \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

두 사건 $A$, $B$는 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의하여
$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A \cap B)$
$= \frac{1}{6} + \mathrm{P}(B) – 0 = \frac{3}{4}$
따라서
$\mathrm{P}(B) = \frac{3}{4} – \frac{1}{6} = \frac{7}{12}$
이므로
$\mathrm{P}(B^c) = 1- \mathrm{P}(B) = 1 – \frac{7}{12}$ $=\dfrac{5}{12}$

25. 다항식 $(x^2 -2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [3점]

① $-50$
② $-20$
③ $10$
④ $40$
⑤ $70$

다항식 $(x^2 -2)^5$의 전개식에서 일반항은
${}_{5}\mathrm{C}_{r} \times (x^2)^r \times (-2)^{5-r}$
$={}_{5}\mathrm{C}_{r}(-2)^{5-r} \times x^{2r}$ ($r=0, 1, 2, 3, 4, 5$)
$x^6$항은 $r=3$일 때이므로 그 계수는
$={}_{5}\mathrm{C}_{3}(-2)^{5-3} = 10 \times 4 = 40$

26. 문자 $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 문자열 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 문자 $a$가 한 개만 포함되거나 문자 $b$가 한 개만 포함된 문자열이 선택될 확률은? [3점]

① $\frac{5}{8}$
② $\frac{41}{64}$
③ $\frac{21}{32}$
④ $\frac{43}{64}$
⑤ $\frac{11}{16}$

문자 $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 문자열의 개수는
${}_{4}\Pi_{4} = 4^4$
문자 $a$가 한 개만 포함되는 사건을 $A$, 문자 $b$가 한 개만 포함되는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은
$\mathrm{P}(A \cup B)$
이다.
문자 $a$가 한 개만 포함되는 경우의 수는 문자 $a$가 나열될 한 곳을 택한 후 나머지 세 곳에는 $b$, $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $3$ 개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
${}_{4}\mathrm{C}_1 \times {}_{3}\Pi_{3} = 4 \times 3^3$
그러므로 $\mathrm{P}(A) = \frac{4 \times 3^3}{4^4} = \frac{27}{64}$

문자 $b$가 한 개만 포함되는 경우의 수는 문자 $a$가 한 개만 포함되는 경우의 수와 같으므로
$\mathrm{P}(B) = \frac{4 \times 3^3}{4^4} = \frac{27}{64}$

한편 사건 $A \cap B$는 문자 $a$와 문자 $b$가 각각 한 개만 포함되는 사건이다.
문자 $a$와 문자 $b$는 각각 한 개만 포함되는 경우의 수는 문자 $a$와 문자 $b$가 나열될 두 곳을 택하여 두 문자 $a$, $b$를 나열하고, 나머지 두 곳에는 $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
${}_{4}\mathrm{P}_{2} \times {}_{2}\Pi_{2} = (4 \times 3) \times 2^2 = 3 \times 4^2$
그러므로 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{3 \times 4^2}{4^4} = \frac{3}{16}$

따라서 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) – \mathrm{P}(A \cap B)$
$= \frac{27}{64} + \frac{27}{64} – \frac{3}{16}$ $=\dfrac{21}{32}$

27. $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$ 개의 의자가 있다. 이 $6$ 개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$ 개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 $11$이 되지 않도록 배열하는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

① $72$
② $78$
③ $84$
④ $90$
⑤ $96$

32306_x27_1

$6$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열하는 원순열의 수는
$(6-1)! = 120$
이때 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 합이 $11$이 되려면 $5$와 $6$이 적힌 의자가 서로 이웃해야 한다.
따라서 $5$와 $6$이 적힌 의자를 묶어서 하나의 의자로 생각하여 모두 $5$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열하는 원순열의 수는
$(5-1)! = 24$
이때 $5$와 $6$이 적힌 의자의 위치를 서로 바꾸는 경우의 수는 $2$이므로 $5$와 $6$이 적힌 의자가 서로 이웃하도록 배열하는 경우의 수는
$24 \times 2 = 48$
따라서 구하는 경우의 수는
$120 – 48 = 72$

28. 탁자 위에 놓인 $4$ 개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다.

$4$ 개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다.

처음에 $3$ 개의 동전은 앞면이 보이도록, $1$ 개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 $5$ 번 반복한 후 $4$ 개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점]

① $\frac{17}{32}$
② $\frac{35}{64}$
③ $\frac{9}{16}$
④ $\frac{37}{64}$
⑤ $\frac{19}{32}$

32306_x28_1

시행을 $5$번 반복한 후 $4$개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있는 사건을 $A$, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B | A)$이다.
동전을 왼쪽부터 ① ② ③ ④로 나타내자.

(ⅰ) 시행을 $5$번 반복한 후 $4$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있는 경우
㉠ ④만 $5$번 뒤집는 경우의 수는
$1$
㉡ ④를 $3$번, ①, ②, ③ 중에서 $1$개를 $2$번 뒤집는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{5!}{3! 2!} = 30$
㉢ ④를 $1$번, ①, ②, ③ 중에서 $1$개를 $4$번 뒤집는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{5!}{4!} = 15$
㉣ ④를 $1$번, ①, ②, ③ 중에서 서로 다른 $2$개를 각각 $2$번씩 뒤집는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{2} \times \frac{5!}{2! 2!} = 90$
㉠ ~ ㉣에서 이 경우의 수는
$1 + 30 + 15 + 90 = 136$

(ⅱ) 시행을 $5$번 반복한 후 $4$개의 동전이 모두 뒷면이 보이도록 놓여 있는 경우
㉠ ①, ②, ③ 중에서 $1$개를 $3$번, 나머지 $2$개를 각각 $1$번씩 뒤집는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times \frac{5!}{3!} = 60$
㉡ ①, ②, ③을 각각 $1$번씩 뒤집고, ④를 $2$번 뒤집는 경우의 수는
$\frac{5!}{2!} = 60$
㉠, ㉡에서 이 경우의 수는
$60 + 60 = 120$

(ⅰ) ~ (ⅱ)에서
$\mathrm{P}(A) = \frac{136 + 120}{4^5} = \frac{1}{4}$
$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{136}{4^5} = \frac{17}{128}$

따라서
$\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ $=\dfrac{\frac{17}{128}}{\frac{1}{4}}$ $=\dfrac{17}{32}$

동전의 앞면을 $\rm{H}$뒷면을 $\rm{T}$라 하자.
시행을 $5$번 반복한 후 $4$개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있는 사건을 $A$, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있는 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B | A)$이다.

시행을 $5$번 반복한 후 $4$개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있는 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) $\rm{HHTT-HHHT-HHHH-HHHT-HHHH}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 24$

(ⅱ) $\rm{HHTT-HHHT-HHTT-HHHT-HHHH}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 36$

(ⅲ) $\rm{HHTT-HHHT-HHTT-HTTT-TTTT}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 36$

(ⅳ) $\rm{HHTT-HTTT-HHTT-HHHT-HHHH}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 36$

(ⅴ) $\rm{HHTT-HTTT-HHTT-HTTT-TTTT}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 36$

(ⅵ) $\rm{HHTT-HTTT-TTTT-HTTT-TTTT}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 24$

(ⅶ) $\rm{HHHH-HHHT-HHTT-HHHT-HHHH}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 24$

(ⅷ) $\rm{HHHH-HHHT-HHTT-HTTT-TTTT}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{3}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 24$

(ⅸ) $\rm{HHHH-HHHT-HHHH-HHHT-HHHH}$인 경우
이때의 경우의 수는
${}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} \times {}_{4}\mathrm{C}_{1} \times {}_{1}\mathrm{C}_{1} = 16$

(ⅰ) ~ (ⅸ)에서
$\mathrm{P}(A) = \frac{256}{4^5} = \frac{1}{4}$
$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{136}{4^5} = \frac{17}{128}$
따라서
$\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$ $=\dfrac{\frac{17}{128}}{\frac{1}{4}}$ $=\dfrac{17}{32}$

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29. $40$ 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 각각의 공은 흰 공 또는 검은 공 중 하나이다.
이 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 $2$ 개를 꺼낼 확률을 $p$, 흰 공 $1$ 개와 검은 공 $1$ 개를 꺼낼 확률을 $q$, 검은 공 $2$ 개를 꺼낼 확률을 $r$이라 하자. $p=q$일 때, $60r$의 값을 구하시오. (단, $p > 0$) [4점]

$6$

$p > 0$이므로 $p=q$에서 $q > 0$이다.
따라서 흰 공의 개수를 $n$ ($2 \leq n \leq 39$)이라 하면 검은 공의 개수는 $40-n$이다.
이때
$p = \dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{40}\mathrm{C}_{2}}$,
$q = \dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{1} \times {}_{40-n}\mathrm{C}_{1}}{{}_{40}\mathrm{C}_{2}}$
이고, $p=q$이므로
${}_{n}\mathrm{C}_{2} = {}_{n}\mathrm{C}_{1} \times {}_{40-n}\mathrm{C}_{1}$
$\frac{n(n-1)}{2} = n \times (40 – n)$
$n-1=80-2n$,  $3n=81$
$n=27$

따라서 검은 공의 개수는 $40 – 27 = 13$이므로
$r = \dfrac{{}_{13}\mathrm{C}_{2}}{{}_{40}\mathrm{C}_{2}}$ $=\dfrac{\frac{13 \times 12}{2}}{\frac{40 \times 39}{2}}$ $= \frac{1}{10}$ 
$60r = 60 \times \frac{1}{10} = 6$

30. 집합 $X = \{-2, -1, \,0, \,1, \,2 \}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \to X$ 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x + f(x) \in X$ 이다.
(나) $x = -2, -1, \,0, \,1$일 때 $f(x) \ge f(x+1)$이다.

$108$

조건 (가)에 의하여
$f(-2) \ne -2$, $f(-2) \ne -1$, $f(-1) \ne -2$, $f(1) \ne 2$, $f(2) \ne 1$, $f(2) \ne 2$
조건 (나)에 의하여
$f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) \ge f(1) \ge f(2)$

(ⅰ) $f(-2)=0$인 경우
$f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$의 값이 될수 있는 경우의 수는 $-2$, $-1$, $0$ 중에서 중복을 허용하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수에서 $f(-1)= -2$인 경우를 제외하면 되므로
${}_{3}\mathrm{H}_{4} – 1 = {}_{6}\mathrm{C}_{4} – 1 = {}_{6}\mathrm{C}_{2} – 1 = 14$

(ⅱ) $f(-2)=0$인 경우
$f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$의 값이 될수 있는 경우의 수는 $-2$, $-1$, $0$, $1$ 중에서 중복을 허용하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수에서 $f(-1)= -2$인 경우와 $f(2)= 1$인 경우를 제외하면 되므로
${}_{4}\mathrm{H}_{4} – 2 = {}_{7}\mathrm{C}_{4} – 2 = {}_{7}\mathrm{C}_{3} – 2 = 33$

(ⅲ) $f(-2)=2$인 경우
$f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$의 값이 될수 있는 경우의 수는 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ 중에서 중복을 허용하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수에서 다음 경우의 수를 제외하면 된다.
㉠ $f(-1)=-2$인 경우
$1$가지
㉡ $f(1)=2$인 경우
$f(2) = -2, -1, \,0, \,1, \,2$ 의 $5$가지
㉢ $f(1) \neq 2$, $f(2)=1$인 경우
$f(1)=1$이어야 하므로 $f(0)=1$, $f(-1)=1$ 또는 $f(0)=1$, $f(-1)=2$ 또는 $f(0)=2$, $f(-1)=2$의 $3$가지
그러므로 $f(-2)=2$인 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{H}_{4} -1 -5 – 3 = {}_{8}\mathrm{C}_{4} – 9 = 61$

따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는
$14 + 33 + 61 = 108$

조건 (나)에 의하여
$f(-2) \ge f(-1) \ge f(0) \ge f(1) \ge f(2)$
이므로 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$에서 조건 (나)를 만족시키도록 $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$의 함숫값을 정하는 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{H}_{5} = {}_{9}\mathrm{C}_{5} = {}_{9}\mathrm{C}_{4} = 126$
이때 조건 (가)에 의하여
$f(-2) \ne -2$, $f(-2) \ne -1$, $f(-1) \ne -2$, $f(1) \ne 2$, $f(2) \ne 1$, $f(2) \ne 2$
이므로 다음 경우를 제외해야 한다.

(ⅰ) $f(-2) = -2$인 경우
$f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=-2$이어야 하므로 이 경우의 수는
$1$

(ⅱ) $f(-2) = -1$인 경우
$f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$의 값은 $-2$, $-1$ 중에서만 택할 수 있으므로 이 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 5$

(ⅲ) $f(-2) \ne -2$, $f(-2) \ne -1$, $f(-1) = -2$인 경우
$f(-2)$의 값은 $0$, $1$, $2$ 중에서 택할 수 있고, $f(0) =f(1) =f(2) = -2$이어야 하므로 이 경우의 수는
$3$

(ⅳ) $f(2) =2$인 경우
$f(-2) =f(-1) =f(0) =f(1) = 2$이어야 하므로 이 경우의 수는
$1$

(ⅴ) $f(2) =1$인 경우
$f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$의 값은 $1$, $2$ 중에서만 택할 수 있으므로 이 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 5$

(ⅵ) $f(2) \ne 2$, $f(2) \ne 1$, $f(1) = 2$인 경우
$f(2)$의 값은 $-2$, $-1$, $0$ 중에서 택할 수 있고, $f(-2)=f(-1)=f(0)=2$이어야 하므로 이 경우의 수는
$3$

(ⅰ)~(ⅵ)에서 중복되는 경우는 없으므로 구하는 경우의 수는
$126 – (1 + 5 + 3 + 1 + 5 + 3) = 108$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( \frac{1}{2}\right)^{n} + \left( \frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\left( \frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{1}{3}\right)^{n} }$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( \frac{1}{2}\right)^{n} + \left( \frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\left( \frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{1}{3}\right)^{n} }$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1 + \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3}\right)^{n}}{\frac{1}{2} + \left( \frac{2}{3}\right)^{n} }$
$=\dfrac{1 + \frac{1}{3} \times 0}{\frac{1}{2} + 0} = 2$

24. 곡선 $x \sin 2y + 3x = 3$ 위의 점 $\left(1, \,\dfrac{\pi}{2} \right)$에서의 접선의 기울기는? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$

$x \sin 2y + 3x = 3$에서
$y$를 $x$의 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하면
$\sin 2y + x \cos 2y \times 2 \times \frac{dy}{dx} + 3 = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2y + 3}{-2x \cos 2y}$ (단, $x \cos 2y \ne 0$)
따라서 점 $\left(1, \,\frac{\pi}{2} \right)$
에서의 접선의 기울기는
$\frac{\sin \left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) + 3}{-2 \times 1 \times \cos \left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right)}$ $=\frac{\sin \pi +3}{-2 \cos \pi}$ $= \frac{3}{-(-2)}$ $=\dfrac{3}{2}$

25. 수열 $\{ a_n \}$이 $$\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n - \frac{3n^2 - n}{2n^2 +1} \right) = 2$$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n}^{2} + 2a_n)$의 값은? [3점]

① $\frac{17}{4}$
② $\frac{19}{4}$
③ $\frac{21}{4}$
④ $\frac{23}{4}$
⑤ $\frac{25}{4}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n – \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1} \right) = 2$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( a_n – \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1} \right) = 0$
이때
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3 – \frac{1}{n}}{2 +\frac{1}{n^2}} = \frac{3}{2}$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left\{ \left( a_n – \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1} \right) + \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1} \right\}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( a_n – \frac{3n^2 – n}{2n^2 +1} \right) + \lim_{n \to \infty}\frac{3n^2 – n}{2n^2 +1}$
$=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

따라서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n}^{2} + 2a_n)$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} \times \lim_{n \to \infty}a_{n} + 2\lim_{n \to \infty}a_{n}$
$=\left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2 \times \frac{3}{2}$
$= \frac{9}{4} + 3 = \dfrac{21}{4}$

26. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y=e^{x^2}-1$ ($x \ge 0$ )이 두 직선 $y=t$, $y=5t$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$ 에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{C}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$의 값은? [3점]

① $\frac{5}{4}(\sqrt{5}-1)$
② $\frac{5}{2}(\sqrt{5}-1)$
③ $5(\sqrt{5}-1)$
④ $\frac{5}{4}(\sqrt{5}+1)$
⑤ $\frac{5}{2}(\sqrt{5}+1)$

32306_y26_1

점 $\mathrm{A}$의 $x$ 좌표를 $a$라 하면
$e^{a^2}-1=t$
이므로
$a^2 =\ln (1+t)$
$a > 0$이므로 $a=\sqrt{\ln (1+t)}$
또, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $b$라 하면
$e^{b^2}-1= 5t$
이므로
$b^2 =\ln (1+ 5t)$
$b > 0$이므로 $b=\sqrt{\ln (1+ 5t)}$
그러므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는
$S(t) = \frac{1}{2} \times 5t \times (\sqrt{\ln (1+ 5t)} – \sqrt{\ln (1+t)})$

따라서
$\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{S(t)}{t\sqrt{t}}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+} \frac{5t(\sqrt{\ln (1+ 5t)} – \sqrt{\ln (1+t)})}{t\sqrt{t}}$
$=\displaystyle \lim_{t \to 0+} \frac{5}{2}\left( \sqrt{\frac{\ln (1+ 5t)}{t}} – \sqrt{\frac{\ln (1+ t)}{t}} \right) $
$=\frac{5}{2}(\sqrt{5} – 1)$

27. 상수 $a$ ($a > 1$)과 실수 $t$ ($t > 0$)에 대하여 곡선 $y = a^{x}$ 위의 점 $\mathrm{A}(t, \,a^t)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$의 값이 $t = 1$에서 최대일 때, $a$의 값은? [3점]

① $\sqrt{2}$
② $\sqrt{e}$
③ $2$
④ $\sqrt{2e}$
⑤ $e$

$y = a^x$에서 $y’ = a^{x} \ln a$
이때 점 $\mathrm{A}(t, \,a^t)$ 에서의 접선 $l$의 기울기는 $a^{t} \ln a$
이므로 직선 $l$에 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{a^{t} \ln a}$
그러므로 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 직선의 방정식은
$y – a^t = -\frac{1}{a^{t} \ln a}(x – t)$

이 식에 $y=0$을 대입하면 $- a^t = -\frac{1}{a^{t} \ln a}(x – t)$
$x = t + a^{2t} \ln a$
이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B}(t + a^{2t} \ln a, \,0)$

한편 점 $\mathrm{A}$에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 원점을 $\mathrm{O}$라 하면
$\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{HB}}} = \frac{t}{a^{2t} \ln a}$

$f(t) = \dfrac{t}{a^{2t} \ln a}$라 하면
$f'(t) = \dfrac{a^{2t} \ln a – ta^{2t} \times 2(\ln a)^2}{(a^{2t} \ln a)^2}$ $= \dfrac{a^{2t} \ln a (1 – 2t \ln a)}{(a^{2t} \ln a)^2}$
$f'(t)=0$에서
$1 – 2t \ln a = 0$
$t = \frac{1}{2 \ln a}$
이고, 함수 $f(t)$의 증가와 감소를 조사하면 함수 $f(t)$는 $t = \frac{1}{2 \ln a}$에서 최댓값을 가짐을 알 수 있다.

따라서 $\frac{1}{2 \ln a} = 1$이므로
$\ln a = \frac{1}{2}$
$a = \sqrt{e}$

28. 함수 $f(x)$가 $$f(x)=\begin{cases} \:\:(x-a-2)^{2}e^{x} & (x \ge a) \\ \:e^{2a}(x-a)+4e^{a} & (x < a) \end{cases}$$ 일 때, 실수 $t$에 대하여 $f(x)=t$를 만족시키는 $x$의 최솟값을 $g(t)$라 하자.
함수 $g(t)$가 $t=12$에서만 불연속일 때, $\dfrac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))}$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) [4점]

① $6e^4$
② $9^4$
③ $12e^4$
④ $8e^6$
⑤ $10e^6$

$h_1(x)=(x-a-2)^{2}e^{x}$, $h_2(x)=e^{2a}(x-a)+4e^{a}$ 이라 하면
$f(x)=\begin{cases} \:h_1(x) & (x \ge a) \\ \:h_2(x) & (x < a) \end{cases}$
이고
$h_{1}'(x) = 2(x-a-2)e^{x} + (x-a-2)^{2}e^{x}$ $= (x-a)(x-a-2)e^{x}$
$h_{2}'(x) = e^{2a}$
이므로
$f'(x)=\begin{cases} \:(x-a)(x-a-2)e^{x} & (x > a) \\ \:\:\: e^{2a} & (x < a) \end{cases}$
이다.
$f(a)=4e^{2a}$이므로 함수 $y=f(x)$의 그래프는 다음과 같다.
이때 실수 $t$에 대하여 $f(x)=t$를 만족시키는 $x$의 최솟값이 $g(t)$이므로
$t \le 4e^a$일 때, $h_1(g(t)) = t$
$t > 4e^a$일 때, $h_2(g(t)) = t$
가 성립한다.
또한, 함수 $g(t)$는 $t = 4e^a$에서 불연속이므로
$4e^{a} = 12$ 즉 $e^{a} = 3$
$t=f(a+2)=0 < 4e^a$이므로
$h_{2}'(g(t)) \times g'(t) = 1$에서
$h_{2}'(g(f(a+2))) \times g'(f(a+2)) = 1$

직선 $y=h_{2}(x)$가 $x$축과 만나는 점의 $x$ 좌표를 $\alpha$ ($\alpha < a$ )라 하면 $g(0)= \alpha$이므로
$g'(f(a+2)) = \frac{1}{h_{2}'(g(f(a+2)))}$
$= \frac{1}{h_{2}'(\alpha)} = \frac{1}{e^{2a}}$ $\cdots\cdots$ ㉠

$t=f(a+6)=16e^{a+6} > 4e^a$이므로
$h_{1}'(g(t)) \times g'(t) = 1$에서
$h_{1}'(g(f(a+6))) \times g'(f(a+6)) = 1$
$g'(f(a+6)) = \frac{1}{h_{1}'(g(f(a+6)))}$
$=\frac{1}{h_{1}'((a+6)} = \frac{1}{6 \times 4 \times e^{a+6}}$
$= \frac{1}{24e^{a+6}}$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 $e^{a} = 3$이므로
$\frac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))}$ $=\frac{24e^{a+6}}{e^{2a}} =\frac{24e^{6}}{e^{a}}$
$= \frac{24}{3}e^6 = 8e^6$

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29. 함수 $f(x)=\frac{1}{3}x^{3} -x^{2} + \ln (1+x^2) + a$ ($a$는 상수)와 두 양수 $b$, $c$에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} \:\:f(x) & (x \ge b) \\ -f(x-c) & (x < b) \end{cases}$$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
$a+b+c=p + q \ln 2$일 때, $30(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 유리수이고, $\ln 2$는 무리수이다.) [4점]

$55$

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3} -x^{2} + \ln (1+x^2) + a$에서
$f'(x)=x^{2} -2x + \frac{2x}{1+x^2}$ $=\frac{x^{2}(x-1)^2}{x^2 +1}$
이때 $f'(x) = 0$에서
$x=0$ 또는 $x=1$
이고 $f'(x) \ge 0$이므로 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다.
또한
$f”(x)=\frac{(4x^3 -6x^2 +2x)(x^2 +1) – (x^4 -2x^3 +x^2) \times 2x}{(x^{2}+1)^2}$
$= \frac{2x(x-1)(x^3 +2x -1)}{(x^{2}+1)^2}$
이고 $h(x) = x^3 +2x -1$라 하면
$h'(x) = 3x^2 +2 > 0$
이므로 $h(x) = 0$을 만족시키는 $x$의 값을 $\alpha$라 하면
$h(0)= -1$, $h(1) = 2$
이므로 $0 < \alpha < 1$
따라서 변곡점은
$(0, \,f(0))$, $(\alpha, \,f(\alpha))$, $(1, \,f(1))$
이고 변곡점에서의 미분계수는
$f'(0) = 0$,  $f'(\alpha) > 0$,  $f'(1) = 0$
즉 곡선 $y=f(x)$의 개형은 그림과 같다.
또한, 곡선 $y= -f(x-c)$는 곡선 $y= f(x)$를 $x$축의 방향으로 $c$ 만큼 평행이동한 후  $x$축에 대하여 대칭이동한 것이므로 곡선 $y= -f(x-c)$의 개형은 그림과 같다.
이때 함수 $g(x)=\begin{cases} \:\:f(x) & (x \ge b) \\ -f(x-c) & (x < b) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $x=b$에서 연속이어야 한다.
그런데 $a \ge 0$인 경우에는 함수 $y=g(x)$의 그래프의 개형이 그림과 같다.
즉 $\displaystyle \lim_{x \to b-}g(x) < 0$, $\displaystyle \lim_{x \to b+}g(x) \ge 0$이므로 함수 $g(x)$는 $x=b$에서 미분가능하지 않다.

$a < 0$인 경우
$f(0)=a$, $f'(0)=0$
$f(1)= -\frac{2}{3} + \ln 2 + a$, $f'(1) = 0$
이고
$x < b$에서 $\displaystyle \lim_{x \to b-}g'(x) \le 0$
$x \ge b$에서 $\displaystyle \lim_{x \to b+}g'(x) \ge 0$
이므로 $x=b$에서 미분가능하려면
$\displaystyle \lim_{x \to b-}g'(x) = \lim_{x \to b+}g'(x) = 0$
즉 $\lim_{x \to b}g'(x) = 0$
이어야 한다.

따라서, $| f(0) | = | f(1) |$, $b=1$, $c=1$이면 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
즉 $-a = -\frac{2}{3} + \ln 2 + a$에서
$a = \frac{1}{3} – \frac{1}{2} \ln 2$
이므로
$a+b+c = \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{2} \ln 2 \right) + 1 + 1$ $= \frac{7}{3} – \frac{1}{2} \ln 2$
따라서 $p=\frac{7}{3}$, $q= -\frac{1}{2}$이므로
$30(p+q) = 30 \left(\frac{7}{3} -\frac{1}{2} \right)$ $= 30 \times \frac{11}{6} = 55$

30. 함수 $y = \dfrac{\sqrt{x}}{10}$의 그래프와 함수 $y = \tan x$의 그래프가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자. $$\frac{1}{\pi^{2}} \times \lim_{n \to \infty} a_{n}^{3} \tan^{2}(a_{n+1} - a_n)$$ 의 값을 구하시오. [4점]

$25$

두 함수 $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$, $y=\tan x$의 그래프와 수열 $\{ a_n \}$을 좌표평면에 나타내면 다음
과 같다.
이때 $\frac{\sqrt{a_n}}{10} = \tan a_n$이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여
$\tan(a_{n+1} – a_n) = \dfrac{\tan a_{n+1} – \tan a_n}{1 + \tan a_{n+1} \tan a_n}$
$= \dfrac{\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{10} – \frac{\sqrt{a_{n}}}{10}}{1 + \frac{\sqrt{a_{n+1}}}{10} \times \frac{\sqrt{a_{n}}}{10}}$
$= \dfrac{\frac{\sqrt{a_{n+1}} – \sqrt{a_{n}}}{10}}{\frac{100 + \sqrt{a_{n+1}a_n}}{100}}$
$= 10 \times \dfrac{\sqrt{a_{n+1}} – \sqrt{a_{n}}}{100 + \sqrt{a_{n+1}a_n}}$
$= \dfrac{10(a_{n+1} – a_n)}{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})(100 + \sqrt{a_{n+1}a_n})}$
즉,
$\tan^{2}(a_{n+1} – a_n) = \dfrac{100(a_{n+1} – a_n)^{2}}{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})^{2}(100 + \sqrt{a_{n+1}a_n})^{2}}$

한편, 곡선 $y = \tan x$의 점근선의 방정식은
$x = \frac{2n-1}{2} \pi$ ($n$은 정수)
이고
$n \to \infty$일 때 $\frac{\sqrt{a_n}}{10} \to \infty$이므로 위의 그래프에서
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( a_{n} – \frac{2n-3}{2} \pi \right) = 0$
임을 알 수 있다.
이때 $b_{n} = a_{n} – \frac{2n-3}{2} \pi$로 놓으면
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = 0$이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n+1} – a_n)$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_{n+1} + \frac{2n-1}{2}\pi – b_{n} – \frac{2n-3}{2}\pi \right)$
$= \displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_{n+1} – b_{n} + \pi)$
$= 0 – 0 + \pi = \pi$
이고
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{b_{n+1} + \frac{2n-1}{2}\pi}{b_{n} + \frac{2n-3}{2}\pi}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\frac{b_{n+1}}{n} + \frac{2n-1}{2n}\pi}{\frac{b_{n}}{n} + \frac{2n-3}{2n}\pi}$
$=\dfrac{0+\pi}{0+\pi} = 1$
이다.
이때
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})^2}{a_n}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \dfrac{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n}}{\sqrt{a_n}} \right)^{2}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{\frac{a_{n+1}}{a_n}} + \sqrt{\frac{a_{n}}{a_n}} \right)^2$
$= (\sqrt{1} + \sqrt{1})^{2} = 4$
이고,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(100 + \sqrt{a_{n+1}a_{n}})^{2}}{a_{n}^2}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{100}{a_n} +\dfrac{\sqrt{a_{n+1}a_n}}{a_n} \right)^{2}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{100}{a_n} + \sqrt{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}} \right)^{2}$
$=(0 + \sqrt{1})^{2} = 1$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}^{3} \tan^{2}(a_{n+1} – a_{n})$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{100a_{n}^{3}(a_{n+1} – a_{n})^{2}}{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})^{2}(100 + \sqrt{a_{n+1}a_n})^{2}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{100(a_{n+1} – a_{n})^{2}}{\frac{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})^{2}(100 + \sqrt{a_{n+1}a_n})^{2}}{a_{n}^{3}}}$
$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{100(a_{n+1} – a_{n})^{2}}{\frac{(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})^{2}}{a_{n}} \times \frac{(100 + \sqrt{a_{n+1}a_n})^{2}}{a_{n}^{2}}}$
$=\dfrac{100 \pi^2}{4 \times 1} = 25 \pi^{2}$

따라서
$\frac{1}{\pi^{2}} \times \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}^{3}\tan^{2}(a_{n+1} – a_{n}) = 25$

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$와 $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$\overrightarrow{a} + 3(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$$ 이다. 실수 $k$의 값은? (단, $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$) [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\overrightarrow{a} + 3(\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$에서
$\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{a} – 3\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
$4\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a}$
$k = 4$

24. 타원 $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(3, \,\sqrt{5})$에서의 접선의 $y$ 절편은? (단, $b$는 양수이다.) [3점]

① $\frac{3}{2}\sqrt{5}$
② $2\sqrt{5}$
③ $\frac{5}{2}\sqrt{5}$
④ $3\sqrt{5}$
⑤ $\frac{7}{2}\sqrt{5}$

점 $(3, \,\sqrt{5})$는 타원 $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점이므로
$\frac{3^2}{18}+\dfrac{(\sqrt{5})^2}{b^2} = 1$에서
$\frac{5}{b^2} = \frac{1}{2}$, $b^2 = 10$

타원 $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{10} = 1$ 위의 점 $(3, \,\sqrt{5})$에서의 접선의 방정식은
$\frac{3x}{18}+\frac{\sqrt{5}y}{10} = 1$이므로 $y$ 절편은 $2\sqrt{5}$

25. 좌표평면에서 두 벡터 $\overrightarrow{a} = (-3,\, 3)$, $\overrightarrow{b} = (1, -1)$에 대하여 벡터 $\overrightarrow{p}$가 $$|\,\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}\,| = |\,\overrightarrow{b}\,|$$ 를 만족시킬 때, $|\,\overrightarrow{p} - \overrightarrow{b}\,|$의 최솟값은? [3점]

① $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
② $2\sqrt{2}$
③ $\frac{5}{2}\sqrt{2}$
④ $3\sqrt{2}$
⑤ $\frac{7}{2}\sqrt{2}$

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{\mathrm{OP}}$라 하자.
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$이므로
$|\overrightarrow{p} – \overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$,
즉 $|\overrightarrow{p} – \overrightarrow{a}| = \sqrt{2}$에서
점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}(-3, 3)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r = \sqrt{2}$인 원 위의 점이다.
이때 $|\overrightarrow{p} – \overrightarrow{b}|$의 값은 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{B}(1, -1)$
사이의 거리와 같으므로 $|\overrightarrow{p} – \overrightarrow{b}|$의 최솟값은
$\overline{\mathrm{AB}} – r = 4\sqrt{2} – \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

26. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 한 초점 $\mathrm{F}(c,\, 0)$ ($c > 0$)을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 $y=x$이고 $\overline{\mathrm{PQ}} = 8$일 때, $a^{2}+b^{2}+c^{2}$의 값은? (단, $a$와 $b$는 양수이다.) [3점]

① $56$
② $60$
③ $64$
④ $68$
⑤ $72$

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$에서 한 점근선의 방정식이 $y=x$이므로
$a=b$
이때, $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
에서
$c=\sqrt{2}a$
이고, $\overline{\mathrm{PQ}} = 8$이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는
$\mathrm{P}(\sqrt{2}a, \,4)$
점 $\mathrm{P}$가 쌍곡선 위의 점이므로
$\frac{2a^2}{a^2}-\frac{4^2}{a^2} = 1$
$a^2 = 16$
$b^2 = a^2 =16$
$c^2 = 2a^2 = 2 \times 16 = 32$

따라서 $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 16 + 16 + 32 = 64$

27. 그림과 같이 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 변의 중점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$를 꼭짓점으로 하는 타원의 두 초점을 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F'}$이라 하자. 점 $\mathrm{F}$를 초점, 직선 $\mathrm{AB}$를 준선으로 하는 포물선이 세 점 $\mathrm{F'}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{S}$를 지난다. 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $32\sqrt{2}$일 때, 선분 $\mathrm{FF'}$의 길이는? [3점]

32306_z27_1

① $\frac{7}{6}\sqrt{3}$
② $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
③ $\frac{3}{2}\sqrt{3}$
④ $\frac{5}{3}\sqrt{3}$
⑤ $\frac{11}{6}\sqrt{3}$

그림처럼 두 직선 $\mathrm{PR}$, $\mathrm{QS}$의 교점을 원점 $\mathrm{O}$라 하고 점 $\mathrm{R}$의 좌표를 $(a,\, 0)$, 점 $\mathrm{S}$의 좌표를 $(0,\, b)$, 초점 $\mathrm{F}$의 좌표를 $(p, \,0)$이라고 하면 타원의 방정식은
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

포물선의 방정식은 꼭짓점이 원점이고 초점이 $(2p, \,0)$인 포물선 $y^2 =8px$를 $x$ 축의 방향으로 $-p$ 만큼 평행이동한 식이므로 $y^2 = 8p(x+p)$
이 포물선의 준선의 방정식은 $x = -2p$를 $x$ 축의 방향으로 $-p$ 만큼 평행이동한 식이므로 $x+p = -2p$에서
$x = -3p$ $\cdots\cdots$ ㉠이다.

그런데 포물선 $y^2 = 8p(x+p)$의 준선의 방정식이 직선 $\mathrm{AB}$이므로 $x= -a$와 $x= -3p$가 일치한다. 즉, $3p = a$
포물선 $y^2 = 8p(x+p)$는 점 $\mathrm{S}(0, \,b)$를 지나므로 $b^2 = 8p^2$에서 $b = 2\sqrt{2}p$

직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $32\sqrt{2}$이므로
$2a \times 2b = 32\sqrt{2}$에서 $ab = 8\sqrt{2}$
즉, $ab = 3p \times 2\sqrt{2}p = 8\sqrt{2}$
$p^2 = \frac{4}{3}$
그러므로 $p = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

따라서 $\overline{\mathrm{FF’}} = 2p= \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

28. 좌표평면에서 두 점 $\mathrm{A}(1, \,0)$, $\mathrm{B}(1, \,1)$에 대하여 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 $$|\, \overrightarrow{\mathrm{OP}} \,|=1,\: |\, \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \,|=3, \: \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{QA}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}}) = 0$$ 을 만족시킨다. $|\, \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \,|$의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$의 값은?
(단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $|\, \overrightarrow{\mathrm{AP}} \,| > o$이다.) [4점]

① $\frac{6}{5}$
② $\frac{9}{5}$
③ $\frac{12}{5}$
④ $3$
⑤ $\frac{18}{5}$

$| \overrightarrow{\mathrm{OP}} |=1$에서 점 $\mathrm{P}$는 원점 $\mathrm{O}$를 중심으
로 하고, 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이다.
$| \overrightarrow{\mathrm{BQ}} |=3$에서 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{B}$를 중심으로
하고, 반지름의 길이가 $3$인 원 위의 점이다.
선분 $\mathrm{AP}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라고 하면
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{QA}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}}) = \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot2\overrightarrow{\mathrm{QM}} = 0$
그러므로 $\triangle\mathrm{QMP} \equiv \triangle\mathrm{QMA}$이므로
$|\, \overrightarrow{\mathrm{QP}} \,|$의 최솟값은 $\overline{\mathrm{AQ}}$의 최솟값 $2$와 같고 이 때 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $(1, -2)$이다. 즉, $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (0, -3)$
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(a,\, b)$라고 하면 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\left( \frac{a+1}{2}, \frac{b}{2} \right)$이고
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QM}} = 0$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QM}}$
$=(a-1, b)\cdot\left( \frac{a+1}{2}-1, \frac{b}{2}+2 \right)$
$=\frac{1}{2}\left\{ (a-1)^2 + b(b+4) \right\} = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
$| \overrightarrow{\mathrm{OP}} |=1$이므로 $a^2 + b^2 =1$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
$-2a + 4b +2 = 0$, $a=2b + 1$ $\cdots\cdots$ ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면
$(2b+1)^2 +b^2 -1 = 0$
$b(5b+4) = 0$
$b=0$ 또는 $b = -\frac{4}{5}$
$| \overrightarrow{\mathrm{AP}} | > 0$이므로 $b = -\frac{4}{5}$
($\because$ $b=0$이면 $| \overrightarrow{\mathrm{AP}} | = 0$)

㉢에서 $a=2b + 1 = -\frac{3}{5}$
점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \left(-\frac{8}{5}, -\frac{4}{5} \right)$

따라서 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \left(-\frac{8}{5}, -\frac{4}{5} \right)\cdot(0, -3)$
$= -\frac{8}{5} \times 0 + \left( -\frac{4}{5} \right)\cdot(-3) = \dfrac{12}{5}$

1_out_of_999

29. 좌표평면에 곡선 $|\, y^2 -1\,|=\dfrac{x^2}{a^2}$과 네 점 $\mathrm{A}(0,\, c+1)$, $\mathrm{B}(0,\, -c-1)$, $\mathrm{C}(c,\, 0)$, $\mathrm{D}(-c,\, 0)$이 있다. 곡선 위의 점 중 $y$좌표의 절댓값이 $1$ 보다 작거나 같은 모든 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PC}} + \overline{\mathrm{PD}} = \sqrt{5}$이다. 곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$가 제$1$사분면에 있고 $\overline{\mathrm{AQ}} = 10$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $a$와 $c$는 양수이다.) [4점]

$25$

곡선 $| y^2 -1|=\frac{x^2}{a^2}$에서
(ⅰ) $| y | \le 1$ 일 때
$y^2 -1 \le 0$이므로
$-(y^2 -1) = \frac{x^2}{a^2}$, 즉 $\frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
(ⅱ) $| y | > 1$일 때
$y^2 -1 > 0$이므로
$y^2 -1 = \frac{x^2}{a^2}$, 즉 $\frac{x^2}{a^2} – y^2 = -1$ $\cdots\cdots$ ㉡
곡선 위의 점 중 $y$좌표의 절댓값이 $1$ 보다 작거나 같은 모든 점 $\mathrm{P}$에 대하여
$\overline{\mathrm{PC}} + \overline{\mathrm{PD}} = \sqrt{5}$이므로
㉠ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$는 $\overline{\mathrm{PC}} + \overline{\mathrm{PD}} = \sqrt{5}$를 만족시킨다.
즉, ㉠은 두 점 $\mathrm{C}(c,\, 0)$, $\mathrm{D}(-c,\, 0)$을 초점으로 하고 장축의 길이가 $\sqrt{5}$인 타원의 방정식이다.
이때 $2a=\sqrt{5}$이므로 $a=\frac{\sqrt{5}}{2}$

또, $c^2 = a^2 -1 = \frac{5}{4} – 1 =\frac{1}{4}$이므로
$c=\frac{1}{2}$
한편, ㉡은
$\dfrac{x^2}{\frac{5}{4}}-y^2 = -1$
이 쌍곡선의 초점 중  $y$좌표가 양수인 점의 $y$좌표를 $d$ ($d > 0$)이라 하면
$d^2 = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$
$d= \frac{3}{2}$
즉, ㉡은 두 점 $\mathrm{A}\left(0,\, \frac{3}{2}\right)$, $\mathrm{B}\left(0,\, -\frac{3}{2}\right)$을 초점으로 하고 주축의 길이가 $2$인 쌍곡선이다.
한편, 타원 $\dfrac{x^2}{\frac{5}{4}}+y^2 = 1$과 $x$축이 만나는 점 중 $x$좌표가 양수인 점을 $\mathrm{R}$라 하면
$\mathrm{R}\left( \frac{\sqrt{5}}{2},\, 0 \right)$
타원 $\dfrac{x^2}{\frac{5}{4}}+y^2 = 1$ 위의 점 중 제$1$ 사분면에 있는 점을 $\mathrm{S}$라 하면
$\overline{\mathrm{AS}} < \overline{\mathrm{AR}} = \frac{\sqrt{14}}{2} < 10$
이고 $\overline{\mathrm{AQ}} = 10$이므로 점 $\mathrm{Q}$는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{\frac{5}{4}}-y^2 = -1$ 위의 점이다.
쌍곡선의 성질에 의하여
$\overline{\mathrm{BQ}}-\overline{\mathrm{AQ}} = 2$
이므로
$\overline{\mathrm{BQ}} = 2 + \overline{\mathrm{AQ}} = 2 + 10 = 12$
한편, $\overline{\mathrm{AB}} = 3$

따라서 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 둘레의 길이는
$\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = 3+12 +10 = 25$

30. 두 초점이 $\mathrm{F}(5, \,0)$, $\mathrm{F'}(-5, \,0)$이고, 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선이 있다. 쌍곡선 위의 $\overline{\mathrm{PF}} < \overline{\mathrm{PF'}}$인 점 $\mathrm{P}$에 대하여 점 $\mathrm{Q}$가 $$\left( |\overrightarrow{\mathrm{FP}}| + 1 \right)\overrightarrow{\mathrm{F'Q}} = 5 \overrightarrow{\mathrm{QP}}$$ 를 만족시킨다. 점 $\mathrm{A}(-9, -3)$ 에 대하여 $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$의 최댓값을 구하시오. [4점]

$10$

쌍곡선의 방정식을 $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0$, $b>0$)이라 하자.
$2a = 6$에서 $a=3$
쌍곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}} = p$ ($p$는 양수)로 놓으면
$\overline{\mathrm{PF}} < \overline{\mathrm{PF’}}$이고, 쌍곡선의 주축의 길이가 $6$이므로 쌍곡선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{PF}} + 6 = p + 6$
$|\overrightarrow{\mathrm{FP}}| = \overline{\mathrm{PF}} = p$이므로
$\left( |\overrightarrow{\mathrm{FP}}| + 1 \right)\overrightarrow{\mathrm{F’Q}} = 5 \overrightarrow{\mathrm{QP}}$에서
$\overrightarrow{\mathrm{F’Q}} = \frac{5}{p+1}\overrightarrow{\mathrm{QP}}$
즉 세 점 $\mathrm{F’}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{P}$는 한 직선 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F’P}$를 $5 : (p+1)$로 내분하는 점이다.
이때 $|\overrightarrow{\mathrm{F’P}}| = \overline{\mathrm{PF’}} = p+6$이므로
$|\overrightarrow{\mathrm{F’Q}}| = 5$, $|\overrightarrow{\mathrm{QP}}| = p+1$
따라서 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 점 $\mathrm{F’}(-5, 0)$이고 반지름의 길이가 $5$인 원 $C$ 위의 점이다.
$\overline{\mathrm{AF’}} = \sqrt{(-5+9)^2 + (0+3)^2} = 5$
이므로 점 $\mathrm{A}(-9, -3)$은 원 $C$ 위의 점이다.
직선 $\mathrm{AF’}$이 원 $C$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}$라 하자.
$b = \sqrt{5^2 – 3^2} = 4$이므로 쌍곡선의 기울기가 양수인 점근선의 기울기는 $\frac{4}{3}$이고,
직선 $\mathrm{AF’}$의 기울기가 $\frac{0-(-3)}{-5-(-9)}=\frac{3}{4}$이므로 점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형 위의 점이다.
따라서 $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$의 값은 점 $\mathrm{Q}$가 점 $\mathrm{B}$의 위치에 있을 때 최대이므로 구하는 최댓값은 $10$이다.

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