21년 11월 대수능

Days
Hours

수학 영역

1_out_of_5

1. $\left(2^{\sqrt{3}} \times 4\right)^{\sqrt{3}-2}$의 값은? [2점]

① $\frac{1}{4}$
② $\frac{1}{2}$
③ $1$
④ $2$
⑤ $4$

$\left(2^{\sqrt{3}} \times 4\right)^{\sqrt{3}-2}$
        $=\left(2^{\sqrt{3}} \times 2^{2}\right)^{\sqrt{3}-2}$
        $=\left(2^{\sqrt{3}+2}\right)^{\sqrt{3}-2}$
        $=2^{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$
        $=2^{3-4}$
        $=2^{-1}$ $=\dfrac{1}{2}$

2. 함수 $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+x-1$에 대하여 $f^{\prime}(1)$의 값은? [2점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x+1$이므로
$f^{\prime}(1)=3+6+1=10$

3. 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$ a_{2}=6, \quad a_{4}+a_{6}=36 $$ 일 때, $a_{10}$의 값은? [3점]

① $30$
② $32$
③ $34$
④ $36$
⑤ $38$

등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 의 공차를 $d$ 라 하면 $a_{2}=a_{1}+d=6 \quad \cdots \cdots$ ㉠
$a_{4}+a_{6}=36$ 에서 $\left(a_{1}+3 d\right)+\left(a_{1}+5 d\right)=36$
$2 a_{1}+8 d=36$
$a_{1}+4 d=18 \quad \cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $a_{1}=2$,  $d=4$
따라서 $a_{10}=2+9 \times 4=38$

4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

32111_c04_1-1

$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1-} f(x)+\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} f(x)$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$x \rightarrow-1-$일 때, $f(x) \rightarrow 3$ 이므로 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1-} f(x)=3$
또, $x \rightarrow 2$ 일 때, $f(x) \rightarrow 1$ 이므로 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=1$
따라서, 
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1-} f(x)+\displaystyle\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=3+1=4$

5. 첫째항이 $1$인 수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ a_{n+1}=\begin{cases} 2 a_{n} & \left(a_{n}< 7\right) \\ \\ a_{n}-7 & \left(a_{n} \geq 7\right) \end{cases} $$ 일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_{k}$의 값은? [3점]

① $30$
② $32$
③ $34$
④ $36$
⑤ $38$

$a_{1}=1$ 이므로 $a_{2}=2$
$a_{2}=2$ 이므로 $a_{3}=4$
$a_{3}=4$ 이므로 $a_{4}=8$
$a_{4}=8$ 이므로 $a_{5}=1$
$a_{5}=1$ 이므로 $a_{6}=2$
$a_{6}=2$ 이므로 $a_{7}=4$
$a_{7}=4$ 이므로 $a_{8}=8$

따라서
$\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_{k}$ $=2 \times(1+2+4+8)$ $=2 \times 15$$=30$

6. 방정식 $2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+k=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수는? [3점]

① $20$
② $23$
③ $26$
④ $29$
⑤ $32$

방정식 $2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+k=0$, 즉  $2 x^{3}-3 x^{2}-12 x=-k \quad \cdots \cdots$ ㉠
에서 $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x$ 라 하자.

$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x-12$$=6(x+1)(x-2)$
$f^{\prime}(x)=0$ 에서 $x=-1$ 또는 $x=2$
함수 $f(x)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f(x)$ 는 $x=-1$ 에서 극댓값 $7$ 을 갖고, $x=2$ 에서 극솟값 $-20$ 을 갖는다.

방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=-k$ 가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 $-20< -k< 7$
즉, $-7< k< 20$ 이다.

따라서 정수 $k$ 의 값은 $-6,-5,-4, \cdots, 19$이고, 그 개수는 $26$ 이다.

7. $\pi< \theta< \dfrac{3}{2} \pi$ 인 $\theta$에 대하여 $\tan \theta-\dfrac{6}{\tan \theta}=1$일 때, $\sin \theta+\cos \theta$의 값은? [3점]

① $-\frac{2 \sqrt{10}}{5}$
② $-\frac{\sqrt{10}}{5}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{10}}{5}$
⑤ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

$\tan \theta-\frac{6}{\tan \theta}=1$ 이므로 양변에 $\tan \theta$ 를 곱하면
$\tan ^{2} \theta-6=\tan \theta$
$\tan ^{2} \theta-\tan \theta-6=0$
$(\tan \theta+2)(\tan \theta-3)=0$
$\tan \theta=-2$ 또는 $\tan \theta=3$

$\pi< \theta< \frac{3}{2} \pi$ 이므로 $\tan \theta=3$
이때, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=3$,  $\sin \theta=3 \cos \theta$이므로
$\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$에 대입하면 $9 \cos ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$
$ \cos ^{2} \theta=\frac{1}{10}$이고 $ \sin ^{2} \theta=\frac{9}{10}$

$\pi< \theta< \frac{3}{2} \pi$ 이므로
$\cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{10}} \quad \cdots \cdot$ ㉠
$\sin \theta=-\frac{3}{\sqrt{10}} \quad \cdots \cdot$ ㉡

따라서, ㉠과 ㉡에서
$\sin \theta+\cos \theta$$=\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$=-\frac{4}{\sqrt{10}}$$=-\dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$

8. 곡선 $y=x^{2}-5 x$와 직선 $y=x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $x=k$가 이등분할 때, 상수 $k$의 값은? [3점]

① $3$
② $\frac{13}{4}$
③ $\frac{7}{2}$
④ $\frac{15}{4}$
⑤ $4$

곡선과 직선이 만나는 점의 $x$좌표를 구하면
$x^{2}-5 x=x$ 에서 $x(x-6)=0$
$x=0$ 또는 $x=6$
곡선 $y=x^{2}-5 x$ 와 직선 $y=x$ 가 만나는 점은 원점 $(0, 0)$과 $(6,\, 6)$ 이다.

곡선 $y=x^{2}-5 x$ 와 직선 $y=x$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는
$\displaystyle\int_{0}^{6}\left\{x-\left(x^{2}-5 x\right)\right\} d x$
    $=\displaystyle\int_{0}^{6}\left(6 x-x^{2}\right) d x$$=\left[3 x^{2}-\dfrac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{6}$$=36$

한편, $\displaystyle\int_{0}^{k}\left\{x-\left(x^{2}-5 x\right)\right\} d x$
    $=\displaystyle\int_{0}^{k}\left(6 x-x^{2}\right) d x$$=\left[3 x^{2}-\dfrac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{k}$$=3 k^{2}-\dfrac{1}{3} k^{3}$

직선 $x=k$ 가 넓이를 이등분하므로
$3 k^{2}-\dfrac{1}{3} k^{3} =18$
정리하면 $k^{3}-9 k^{2}+54=0$
$(k-3)\left(k^{2}-6 k-18\right)=0$

따라서 $0< k< 6$ 이므로 $k=3$

9. 직선 $y=2 x+k$ 가 두 함수 $$ y=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+3}+1, \: \, y=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}+\dfrac{8}{3} $$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{5}$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점]

① $\frac{31}{6}$
② $\frac{16}{3}$
③ $\frac{11}{2}$
④ $\frac{17}{3}$
⑤ $\frac{35}{6}$

32111_c09_1

두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표를 각각 $p$, $q$  $(p< q)$ 라 하면 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 는 직선 $y=2 x+k$ 위의 점이므로 $\mathrm{P}(p,\, 2 p+k)$, $\mathrm{Q}(q,\, 2 q+k)$ 로 놓을 수 있다.

이때,  $\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{5}$,  즉  $\overline{\mathrm{PQ}}^{2}=5$ 이므로
$(q-p)^{2}+(2 q-2 p)^{2}=5$
$(q-p)^{2}=1$
$q-p>0$ 이므로 $q-p=1$  즉,  $q=p+1$ 이다.

한편, 점 $\mathrm{P}$ 는 함수 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+3}+1$ 의 그래프 위의 점이므로
$\left(\frac{2}{3}\right)^{p+3}+1=2 p+k \quad \cdots \cdots$ ㉠

점 $\mathrm{Q}$ 는 함수 $y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}+\frac{8}{3}$ 의 그래프 위의 점이므로
$\left(\frac{2}{3}\right)^{p+2}+\frac{8}{3}=2 p+k+2 \quad \cdots \cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서
$\left(\frac{2}{3}\right)^{p+2}+\frac{8}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{p+3}+3$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{p+2}=1$
$p+2=0$ , 즉  $p=-2$

$p=-2$를 ㉠에 대입하면
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3}+1=2 \times(-2)+k$
따라서 $k=\dfrac{17}{3}$

10. 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0, \,0)$에서의 접선과 곡선 $y=x f(x)$ 위의 점 $(1, \,2)$에서의 접선이 일치할 때, $f^{\prime}(2)$의 값은? [4점]

① $-18$
② $-17$
③ $-16$
④ $-15$
⑤ $-14$

$f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 라 하자. $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c$ 이다.
점 $(0,\, 0)$는 삼차함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점이고, 점 $(1,\, 2)$는 $y=x f(x)$ 의 그래프 위의 점이므로
$f(0)=0$에서 $d=0$      $\cdots \cdots $ ㉠
$1 \times f(1)=2$에서 $a+b+c+d=2$  $\cdots \cdots$ ㉡

한편, 점 $(0,\, 0)$ 에서 $y=f(x)$의 접선의 방정식은  $y=f^{\prime}(0) x$ 이고,  $y=x f(x)$ 의 도함수는 $y^{\prime}=f(x)+x f^{\prime}(x)$ 이므로
점 $(1,2)$ 에서 $y=x f(x)$의 접선의 방정식은  $y=\left\{f(1)+f^{\prime}(1)\right\}(x-1)+2$ 에서
$y=\left\{f^{\prime}(1)+2\right\} x-f^{\prime}(1) $ 이다.
위의 두 접선이 일치하므로  $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)+2, f^{\prime}(1)=0$ 이다.
따라서 $f^{\prime}(0)=2, f^{\prime}(1)=0$ 에서
$c=2$    $\cdots \cdots$  ㉢
$3 a+2 b+c=0$    $\cdots \cdots$ ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 연립하여 $a$, $b$, $c$, $d$를 구하면
$a=-2$, $b=2$, $c=2$,  $d=0$이다.

따라서 $f(x)=-2 x^{3}+2 x^{2}+2 x$ 이고, $f^{\prime}(x)=-6 x^{2}+4 x+2$ 이므로 $f^{\prime}(2)=-14$

11. 양수 $a$에 대하여 집합 $\left\{x \mid-\dfrac{a}{2}< x \leq a,\,\, x \neq \dfrac{a}{2}\right\}$에서 정의된 함수 $$ f(x)=\tan \dfrac{\pi x}{a} $$ 가 있다. 그림과 같이 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 세 점 $\mathrm{O},$ $\mathrm{A},$ $\mathrm{B}$를 지나는 직선이 있다. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]

32111_c11_1

① $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
② $\frac{17 \sqrt{3}}{12}$
③ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
④ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
⑤ $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$

$\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{a}}=a$ 이므로  함수 $f(x)$ 의 주기는 $a$ 이다.
직선 $\mathrm{AB}$ 는 원점을 지나고 기울기가 $\sqrt{3}$인 직선이므로  양수 $t$ 에 대하여
$\mathrm{B}(t, \sqrt{3} t)$ 로 놓으면  $\mathrm{A}(-t,-\sqrt{3} t)$ 이고, $\overline{\mathrm{AB}}=4 t$ 이다.

이때, 함수 $f(x)$ 의 주기가 $a$ 이므로 $\overline{\mathrm{AC}}=4 t=a$ 이고,
$\mathrm{C}(-t+a,-\sqrt{3} t)$, 즉 $\mathrm{C}(3 t,-\sqrt{3} t)$ 이다.

점 $\mathrm{C}$ 가 곡선 $y=\tan \dfrac{\pi x}{a}=\tan \dfrac{\pi x}{4 t}$ 위의 점이므로
$-\sqrt{3} t=\tan \dfrac{\pi \times 3 t}{4 t}$ $= \tan \frac{3 \pi}{4} = -1$에서 $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는

$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{3}}{4} \times(4 t)^{2} &=\frac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\
&=\frac{4}{\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{4 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}
$

12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$ \{f(x)\}^{3}-\{f(x)\}^{2}-x^{2} f(x)+x^{2}=0 $$ 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 $1$이고 최솟값이 $0$일 때, $f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)$의 값은? [4점]

① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$

$\{f(x)\}^{3}-\{f(x)\}^{2}-x^{2} f(x)+x^{2}=0$ 에서
$\{f(x)-1\}\{f(x)+x\}\{f(x)-x\}=0$이므로
$f(x)=1$ 또는 $f(x)=-x$ 또는 $f(x)=x$
이때, $f(0)=1$ 또는 $f(0)=0$ 이다.

(i) $f(0)=1$ 일 때,
함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 $1$ 이므로 $f(x)=1$이다.  이때, 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 이 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ii) $f(0)=0$ 일 때,
함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 $1$ 이므로
$f(x)=\begin{cases}|x| & (|x| \leq 1) \\ 1 & (|x|>1) \end{cases}$
이다.

(i), (ii)에서 $f(x)=\begin{cases} |x| & (|x| \leq 1) \\ 1 & (|x|>1)\end{cases}$

따라서 $f\left(-\frac{4}{3}\right)=1, f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$ 이므로
$f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0+\frac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$

13. 두 상수 $a$, $b$ $(1< a< b)$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $\left(a, \,\log _{2} a\right)$, $\left(b, \,\log _{2} b\right)$를 지나는 직선의 $y$절편과 두 점 $\left(a, \, \log _{4} a\right)$, $\left(b, \,\log _{4} b\right)$를 지나는 직선의 $y$절편이 같다. 함수 $f(x)=a^{b x}+b^{a x}$에 대하여 $f(1)=40$일 때, $f(2)$의 값은? [4점]

① $760$
② $800$
③ $840$
④ $880$
⑤ $920$

두 점 $\left(a, \log _{2} a\right),\left(b, \log _{2} b\right)$ 를 지나는 직선의 방정식은
$y=\dfrac{\log _{2} b-\log _{2} a}{b-a}(x-a)+\log _{2} a $
두 점 $\left(a, \log _{4} a\right),\left(b, \log _{4} b\right)$ 를 지나는 직선의 방정식은
$y=\dfrac{\log _{4} b-\log _{4} a}{b-a}(x-a)+\log _{4} a $

위의 두 직선의 $y$ 절편은 각각
$-\dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}+\log _{2} a \quad \cdots \cdots$ ㉠

$-\dfrac{a\left(\log _{4} b-\log _{4} a\right)}{b-a}+\log _{4} a$
       $=-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}+\dfrac{1}{2} \log _{2} a$  $\cdots \cdots $ ㉡

㉠과 ㉡이 같으므로
$-\dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}+\log _{2} a$ $=-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}+\dfrac{1}{2} \log _{2} a$

이 식을 정리하면
$\dfrac{1}{2} \times \log _{2} a=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}$
$\log _{2} a=\dfrac{a\left(\log _{2} b-\log _{2} a\right)}{b-a}$
$(b-a) \log _{2} a=a \log _{2} \dfrac{b}{a}$
$\log _{2} a^{b-a}=\log _{2}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{a}$
$a^{b-a}=\dfrac{b^{a}}{a^{a}}$
$a^{b}=b^{a} \quad \cdots \cdots$ ㉢

한편, $f(x)=a^{b x}+b^{a x}$ 이고 $f(1)=40$ 이므로
$a^{b}+b^{a}=40$
㉢을 대입하면 $a^{b}+a^{b}=40$ 이므로 $a^{b}=20$

따라서 $b^{a}=20$ 이므로
$\begin{aligned} f(2) &=a^{2 b}+b^{2 a} \\ &=\left(a^{b}\right)^{2}+\left(b^{a}\right)^{2} \\ &=20^{2}+20^{2} \\ &=800 \end{aligned}$

14. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a,$ $b$에 대하여 $$ x(t)=t(t-1)(a t+b) \quad(a \neq 0) $$ 이다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\displaystyle \int_{0}^{1}|v(t)| d t=2$를 만족시킬 때, < 보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. $\displaystyle \int_{0}^{1} v(t) d t=0$
ㄴ. $\left|x\left(t_{1}\right)\right|>1$인 $t_{1}$이 열린구간 $(0,1)$에 존재한다.
ㄷ. $0 \leq t \leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)|< 1$이면 $x\left(t_{2}\right)=0$인 $t_{2}$가 열린구간 $(0,1)$에 존재한다.

① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

$x(0)=0, x(1)=0$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 의 위치는 $t=0$ 일 때 수직선의 원점이고, $t=1$ 일 때도 수직선의 원점이다.
또, $\displaystyle\int_{0}^{1}|v(t)| d t=2$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 가 $t=0$ 에서 $t=1$ 까지 움직인 거리가 $2$ 이다.

ㄱ.
점 $\mathrm{P}$ 의 $t=0$ 에서 $t=1$ 까지 위치의 변화량이 $0$ 이므로
$\displaystyle\int_{0}^{1} v(t) d t=0$ (참)

ㄴ․
$\left|x\left(t_{1}\right)\right|>1$ 이면 점 $\mathrm{P}$ 와 원점 사이의 거리가 $1$ 보다 큰 시각 $t_{1}$ 이 존재하므로 점 $\mathrm{P}$ 가 $t=0$ 에서 $t=1$ 까지 움직인 거리가 $2$ 보다 크다. (거짓)

ㄷ.
$0 \leq t \leq 1$ 인 모든 시각 $t$ 에서 점 $\mathrm{P}$ 와 원점 사이의 거리가 $1$보다 작고, 점 $\mathrm{P}$ 가 $t=0$ 에서 $t=1$ 까지 움직인 거리가 $2$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 는 $0< t< 1$ 에서 적어도 한 번 원점을 지나간다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

15. 두 점 $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}$인 두 원 $C_{1},$ $C_{2}$가 있다. 그림과 같이 원 $C_{1}$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A},$ $\mathrm{B},$ $\mathrm{C}$와 원 $C_{2}$ 위의 점 $\mathrm{D}$가 주어져 있고, 세 점 $\mathrm{A},$ $\mathrm{O}_{1},$ $\mathrm{O}_{2}$와 세 점 $\mathrm{C},$ $\mathrm{O}_{2},$ $\mathrm{D}$가 각각 한 직선 위에 있다.
이때 $\angle \mathrm{BO}_{1} \mathrm{A}=\theta_{1},$ $\angle \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{1} \mathrm{C}=\theta_{2},$ $\angle \mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{D}=\theta_{3}$이라 하자.

32111_c15_1

다음은 $\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{D}}=1: 2 \sqrt{2}$이고 $\theta_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$와 선분 $\mathrm{CD}$의 길이의 비를 구하는 과정이다.

$\angle \mathrm{CO}_{2} \mathrm{O}_{1}+\angle \mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{D}=\pi$이므로 $\theta_{3}=\frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{2}}{2}$이고 $\theta_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}$ 에서 $2 \theta_{1}+\theta_{2}=\pi$ 이므로 $\angle \mathrm{CO}_{1} \mathrm{B}=\theta_{1}$ 이다.
이때 $\angle \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{1} \mathrm{B}=\theta_{1}+\theta_{2}=\theta_{3}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{B}$ 와 삼각형 $\mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{1} \mathrm{D}$ 는 합동이다.
$\overline{\mathrm{AB}}=k$ 라 할 때
$\overline{\mathrm{BO}_{2}}=\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{D}}=2 \sqrt{2} k$ 이므로 $\overline{\mathrm{AO}_{2}}=\fbox{($\textbf{가}$)}$ 이고,
$\angle \mathrm{BO}_{2} \mathrm{A}=\frac{\theta_{1}}{2}$ 이므로 $\cos \frac{\theta_{1}}{2}=\fbox{($\textbf{나}$)}$ 이다.
삼각형 $\mathrm{O}_{2} \mathrm{BC}$ 에서
$\overline{\mathrm{BC}}=k$, $ \overline{\mathrm{BO}_{2}}=2 \sqrt{2} k$, $\angle \mathrm{CO}_{2} \mathrm{B}=\frac{\theta_{1}}{2}$이므로
코사인법칙에 의하여 $\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}=\fbox{ ($\textbf{다}$) }$ 이다.
$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{D}}+\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}$ $=\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}+\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}$ 이므로
$\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{CD}}=k:\left(\dfrac{\fbox { ($\textbf{가}$) }}{2}+\fbox{ ($\textbf{다}$) }\right)$이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(k),$ $g(k)$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f(p) \times g(p)$의 값은? [4점]

① $\frac{169}{27}$
② $\frac{56}{9}$
③ $\frac{167}{27}$
④ $\frac{166}{27}$
⑤ $\frac{55}{9}$

$\angle \mathrm{CO_{2}O_{1}}+\angle \mathrm{O_{1} O_{2} D}=\pi$ 이므로 $\theta_{3}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\theta_{2}}{2}$ 이고
$\theta_{3}=\theta_{1}+\theta_{2}$ 에서 $2 \theta_{1}+\theta_{2}=\pi$ 이므로 $\angle \mathrm{CO_{1}B}=\theta_{1}$ 이다.
이때, $\angle \mathrm{O_{2} O_{1} B}=\theta_{1}+\theta_{2}=\theta_{3}$ 이므로
삼각형 $\mathrm{O_{1} O_{2} B}$ 와 삼각형 $\mathrm{O_{2} O_{1} D}$ 는 합동이다.

$\overline{\mathrm{AB}}=k$ 라 할 때,
$\overline{\mathrm{BO}_{2}}=\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{D}}=2 \sqrt{2} k$ 이므로
$\overline{\mathrm{AO}_{2}}=\sqrt{k^{2}+(2 \sqrt{2} k)^{2}}=\boxed{3 k}$ 이고,
$\angle \mathrm{BO}_{2} \mathrm{A}=\dfrac{\theta_{1}}{2}$ 이므로
$\cos \dfrac{\theta_{1}}{2}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}= \boxed{\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}}$ 이다.

삼각형 $\mathrm{O}_{2} \mathrm{BC}$ 에서
$\overline{\mathrm{BC}}=k$,  $\overline{\mathrm{BO}_{2}}=2 \sqrt{2} k$,  $\angle \mathrm{CO}_{2} \mathrm{B}=\dfrac{\theta_{1}}{2}$ 이므로
삼각형 $\mathrm{BO}_{2} \mathrm{C}$ 에서
$\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}=x$  $(0< x< 3 k)$ 라 하면
코사인법칙에 의하여
$k^{2}=x^{2}+(2 \sqrt{2} k)^{2}-2 \times x \times 2 \sqrt{2} k \times \cos \dfrac{\theta_{1}}{2}$
$k^{2}=x^{2}+(2 \sqrt{2} k)^{2}-2 \times x \times 2 \sqrt{2} k \times \dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$
$3 x^{2}-16 k x+21 k^{2}=0$
$(3 x-7 k)(x-3 k)=0$
$0< x< 3 k$ 이므로 $x=\dfrac{7}{3} k$
즉, $\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}=\boxed{\dfrac{7}{3} k}$ 이다.

$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{D}}+\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}=\overline{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}+\overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{C}}$ 이므로
$\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{CD}}=k:\left(\dfrac{\boxed{3 k}}{2}+\boxed{\dfrac{7}{3} k}\right)$이다.

이상에서 $f(k)=3 k$,  $g(k)=\dfrac{7}{3} k$,   $p=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$이므로
$f(p) \times g(p)$$=\left(3 \times \dfrac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \times\left(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{2 \sqrt{2}}{3}\right)$ $=\dfrac{56}{9}$

1_out_of_999

16. $\log _{2} 120-\dfrac{1}{\log _{15} 2}$의 값을 구하시오. [3점]

$3$

$\log _{2} 120-\dfrac{1}{\log _{15} 2}$
     $=\log _{2} 120-\log _{2} 15$
     $=\log _{2} \dfrac{120}{15}$
     $=\log _{2} 8$
     $=\log _{2} 2^{3}$
     $=3$

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x$ 이고 $f(0)=2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]

$4$

$f(x) =\displaystyle\int f^{\prime}(x) d x$
          $=\displaystyle\int\left(3 x^{2}+2 x\right) d x$
          $=x^{3}+x^{2}+C$    (단, $C$는 적분상수)
이때, $f(0)=2$ 이므로 $C=2$
따라서 $f(x)=x^{3}+x^{2}+2$ 이므로 $f(1)=1+1+2=4$

18. 수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$ \displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{7} \dfrac{a_{k}}{2}=56, \quad \displaystyle\sum_{k=1}^{10} 2 a_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_{k}=100 $$ 일 때, $a_{8}$의 값을 구하시오. [3점]

$12$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{7} \dfrac{a_{k}}{2}=56 \quad \cdots \cdots $㉠
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} 2 a_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_{k}=100$ 에서
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_{k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \dfrac{a_{k}}{2}=50 \quad \cdots \cdots $㉡
㉠ $-$㉡을 계산하면 $\dfrac{a_{8}}{2}=6$
따라서 $a_{8}=12$

19. 함수 $f(x)=x^{3}+a x^{2}-\left(a^{2}-8 a\right) x+3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]

$6$

$f(x)=x^{3}+a x^{2}-\left(a^{2}-8 a\right) x+3$에서
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-\left(a^{2}-8 a\right)$

이때, 함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 항상 $f^{\prime}(x) \geq 0$이 성립하면 된다.

이차방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 의 판별식을 $D$ 라 하면 $\dfrac{D}{4} \leq 0$ 이어야 하므로
$\begin{aligned} \dfrac{D}{4} &=a^{2}-3\left(-a^{2}+8 a\right)\\
&=4 a^{2}-24 a\\
&=4 a(a-6) \leq 0 \end{aligned}$
그러므로 $0 \leq a \leq 6$

따라서,  $a$ 의 최댓값은 $6$ 이다.

20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌구간 $[0,\,1]$에서 $f(x)=x$이다.
(나) 어떤 상수 $a,$ $b$에 대하여 구간 $[0, \infty)$에서
        $f(x+1)-x f(x)=a x+b$이다.

$60 \times \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$의 값을 구하시오. [4점]

$110$

$f(x+1)-x f(x)=a x+b$에 $x=0$을 대입하면 $f(1)=b$
닫힌구간 $[0,1]$ 에서 $f(x)=x$ 이므로 $b=1$

한편, $f(x+1)-x f(x)=a x+1$ 이므로 $0 \leq x \leq 1$일 때,
$\begin{aligned} f(x+1) &=x f(x)+a x+1\\
&=x^{2}+a x+1\\
\end{aligned}$
$x+1=t$ 로 치환하면 $1 \leq t \leq 2$이고
$\begin{aligned} f(t) &=(t-1)^{2}+a(t-1)+1\\
&=t^{2}+(a-2) t+2-a   \cdots \cdots \text{㉠} \end{aligned} $
$1 < t < 2$에서 $f^{\prime}(t)=2 t+(a-2)$ 이고, 닫힌구간 $[0,1]$ 에서 $f(x)=x$ 이므로, 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $f^{\prime}(1)=1$에서 $a=1$

그러므로 ㉠에서 $1 \leq x \leq 2$ 일 때 $f(x)=x^{2}-x+1$ 이다.
$ \begin{aligned}\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x &=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x^{2}-x+1\right) d x\\
&=\left[\dfrac{1}{3} x^{3}-\dfrac{1}{2} x^{2}+x\right]_{1}^{2}\\
&=\dfrac{8}{3}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{11}{6}\end{aligned}$

따라서 $60 \times \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x=60 \times \dfrac{11}{6} =110$

21. 수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left|a_{1}\right|=2$
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left|a_{n+1}\right|=2\left|a_{n}\right|$이다.
(다) $\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_{n}=-14$

$a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}$의 값을 구하시오. [4점]

$678$

수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 첫째항부터 제$10$항까지의 항 중에서 양수인 항의 합을 $P$, 음수인 항의 합을 $N$이라 하자.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_{n}=P+N$이므로 (다)에서 $P+N=-14$  $\cdots\cdots$㉠

한편, 수열 $\left\{\left | a_{n}\right |\right\}$은 첫째항이 $2$이고 공비가 $2$인 등비수열이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left | a_{n}\right | =\dfrac{2(2^{10}-1)}{2-1}=2^{11}-2$에서 $P-N=2^{11}-2\cdots\cdots$㉡

㉠, ㉡에서 $N=-2^{10}-6$
그런데 $N=-$(서로 다른 $2$의 거듭제곱 몇 개의 합)이고,  $N=-2^{10}-2^{2}-2$로 고쳐 쓸 수 있으므로 수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 제$1$항, 제$2$항, 제$10$항이 음수인 항이다.

따라서 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}$$=(-2)+2^{3}+2^{5}+2^{7}+2^{9}=678$

조건 (가), (나)에서 수열 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열이므로
$\left|a_{n}\right|=2^{n}$

한편, $\displaystyle\sum_{k=1}^{9}\left|a_{k}\right|=\displaystyle\sum_{k=1}^{9} 2^{k}=\dfrac{2\left(2^{9}-1\right)}{2-1}=2^{10}-2$ 이고,  $\left|a_{10}\right|=2^{10}$

조건 (다)에서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_{k}=-14$ 를 만족하기 위해서는
$a_{1}=-2$,  $a_{2}=-4$
$\displaystyle\sum_{k=3}^{9} a_{k}=\displaystyle\sum_{k=3}^{9} 2^{k}=\dfrac{2^{3}\left(2^{7}-1\right)}{2-1}=2^{10}-8$ 이고,
$a_{10}= -2^{10} = -1024$이어야 한다.

따라서 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}$ $=(-2)+2^{3}+2^{5}+2^{7}+2^{9}$ $=678$

22. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f^{\prime}(x)=0$이 닫힌구간 $[\,t, \,t+2\,]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow a+} g(t)+\displaystyle\lim _{t \rightarrow a-} g(t) \leq 2$이다.
(나) $g(f(1))=g(f(4))=2$, $\,g(f(0))=1$

$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]

$9$

조건 (나)에서 $g(f(1))=g(f(4))=2$이므로 $g(t)=2$인 $t$가 존재한다.
따라서 이차방정식 $f^{\prime}(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 갖고, 그 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \beta(\alpha< \beta)$라 하자.

(i) $\beta=\alpha+2$ 일 때, 함수 $y=g(t)$ 의 그래프는 다음과 같다.
이는 조건 (가)를 만족한다.

(ii) $\beta-\alpha>2$일 때, 함수 $y=g(t)$ 의 그래프는 다음과 같다.
이는 조건 (나)에서 $g(t)$ 가 함숫값 $2$ 를 갖는 것에 모순이다.

(iii) $\beta-\alpha<2$일 때, 함수 $y=g(t)$ 의 그래프는 다음과 같다.
이때, $\beta-2 \leq a \leq \alpha$ 인 $a$ 에 대하여 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

이상에서 조건을 만족시키는 것은 ( i )의 경우이다.

함수 $f(x)$ 의 최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 이므로 함수 $f^{\prime}(x)$ 의 최고차항의 계수는 $\dfrac{3}{2}$ 이다.
그러므로 $f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2}(x-\alpha)\{x-(\alpha+2)\}$       
$=\dfrac{3}{2}\left\{x^{2}-(2 \alpha+2) x+\alpha^{2}+2 \alpha\right\}$로 놓을 수 있다.
이때, $f(x)=\dfrac{1}{2} x^{3}-\dfrac{3}{2}(\alpha+1) x^{2}+\dfrac{3}{2}\left(\alpha^{2}+2 \alpha\right) x+C$  $ \cdots $ ㉠
( 단, $C$ 는 적분상수 )

한편, 조건 (나)에서 $g(f(1))=g(f(4))=2$이고 $g(t)=2$인 $t$의 값의 개수는 $1$ 이므로 $f(1)=f(4)$
㉠에서 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}(\alpha+1)+\dfrac{3}{2}\left(\alpha^{2}+2 \alpha\right)+C$
        $=32-24(\alpha+1)+6\left(\alpha^{2}+2 \alpha\right)+C$

위의 식을 정리하면 $\alpha^{2}-3 \alpha+2=0$이므로
$\alpha=1$ 또는 $\alpha=2$

(a) $\alpha=1$ 일 때,
$f(x)=\dfrac{1}{2} x^{3}-3 x^{2}+\dfrac{9}{2} x+C$
이때, $f(1)=\alpha$ 에서 $f(1)=1$ 이어야 하므로 $\dfrac{1}{2}-3+\dfrac{9}{2}+C=1$
$2+C=1$,   $C=-1$
이때, $f(0)=-1$ 이므로 $g(f(0))=g(-1)=1$
그러므로 조건을 만족시킨다.

(b) $\alpha=2$ 일 때,
$f(x)=\dfrac{1}{2} x^{3}-\dfrac{9}{2} x^{2}+12 x+C$
이때, $f(1)=\alpha$ 에서 $f(1)=2$ 이어야 하므로
$\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{2}+12+C=2$
$8+C=2$,   $C=-6$
이때, $f(0)=-6$ 이므로 $g(f(0))=g(-6)=0$
그러므로 조건을 만족시키지 못한다.

따라서 (a)에서 $f(x) =\dfrac{1}{2} x^{3}-3 x^{2}+\dfrac{9}{2} x-1$이므로
$f(5) =\dfrac{1}{2} \times 5^{3}-3 \times 25+\dfrac{9}{2} \times 5-1 =9$

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. 다항식 $(x+2)^{7}$의 전개식에서 $x^{5}$의 계수는? [2점]

① $42$
② $56$
③ $70$
④ $84$
⑤ $98$

$(x+2)^{7}$ 의 전개식의 일반항은
${ }_{7} \mathrm{C}_{r} x^{7-r} \times 2^{r}$ (단, $r=0,1,2, \cdots, 7$ )이므로
$x^{5}$ 의 계수는 $r=2$ 일 때
${ }_{7} \mathrm{C}_{2} \times 2^{2}=\dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 4=84$

24. 확률변수 $X$가 이항분포 $\mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)$을 따르고 $\mathrm{V}(2 X)=40$일 때, $n$의 값은? [3점]

① $30$
② $35$
③ $40$
④ $45$
⑤ $50$

$\mathrm{V}(X)=n \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} n$
이므로
$V(2 X)=4 V(X)$
              $=4 \times \dfrac{2}{9} n$
              $=\dfrac{8}{9} n=40$

따라서, $n=45$

25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$의 모든 순서쌍 $(a, \,b, \,c, \,d, \,e)$의 개수는? [3점]

(가) $\,a+b+c+d+e=12$
(나) $| \,a^{2} - b^{2}\,| = 5$

① $30$
② $32$
③ $34$
④ $36$
⑤ $38$

조건 (나)에서
$a^{2}-b^{2}=-5$ 또는 $a^{2}-b^{2}=5$
즉, $(b-a)(b+a)=5$ 또는 $(a-b)(a+b)=5$이고 $a, b$ 는 자연수이므로
$b-a=1, b+a=5$ 또는 $a-b=1, a+b=5$
따라서, $a=2, b=3$ 또는 $a=3, b=2$ 이다.

또한, 조건 (가)에서 $a+b+c+d+e=12$ 이므로 $c+d+e=7$
$c, d, e$는 자연수이므로
$c=c^{\prime}+1, d=d^{\prime}+1, e=e^{\prime}+1$  ($c^{\prime}, d^{\prime}, e^{\prime}$은 음이 아닌 정수)로 놓으면
$\left(c^{\prime}+1\right)+\left(d^{\prime}+1\right)+\left(e^{\prime}+1\right)=7$
$c^{\prime}+d^{\prime}+e^{\prime}=4$

이를 만족시키는 모든 순서쌍 $\left(c^{\prime}, d^{\prime}, e^{\prime}\right)$
의 개수는
${ }_{3} \mathrm{H}_{4}={ }_{3+4-1} \mathrm{C}_{4}$
        $={ }_{6} \mathrm{C}_{4}$
        $={ }_{6} \mathrm{C}_{2}$
        $=\dfrac{6 \times 5}{2 \times 1}=15$

따라서, 구하는 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는
$2 \times 15=30$

26. $1$ 부터 $10$ 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $3$ 장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상일 확률은? [3점]

① $\frac{4}{5}$
② $\frac{5}{6}$
③ $\frac{13}{15}$
④ $\frac{9}{10}$
⑤ $\frac{14}{15}$

32111_x26_1

카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상인 사건을 $A$ 라 하면 사건 $A^{C}$ 은 카드에 적혀있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $4$ 보다 크고 $7$ 보다 작은 경우이다. 즉, 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $5$ 또는 $6$ 이므로
$\mathrm{P}\left(A^{C}\right)$ $=\dfrac{{ }_{5} \mathrm{C}_{2}+{ }_{4} \mathrm{C}_{2}}{{ }_{10} \mathrm{C}_{3}}$
               $=\dfrac{\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1}+\dfrac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}}$ $=\dfrac{16}{120}$ $=\dfrac{2}{15}$

따라서 $\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}\left(A^{C}\right)$ $=1-\dfrac{2}{15}$ $=\dfrac{13}{15}$

27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 $1$ 회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.
이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 $100$ 대를 임의추출하여 얻은 $1$ 회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_{1}}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$ %의 신뢰구간이 $a \leq m \leq b$이다.
이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 $400$ 대를 임의추출하여 얻은 $1$ 회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x_{2}}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99$ %의 신뢰구간이 $c \leq m \leq d$이다.
$\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}=1.34$ 이고 $a=c$ 일 때, $b-a$ 의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 $\mathrm{km}$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\mathrm{P}(|Z| \leq 1.96)=0.95$, $\mathrm{P}(|Z| \leq 2.58)=0.99$로 계산한다.) [3점]

① $5.88$
② $7.84$
③ $9.80$
④ $11.76$
⑤ $13.72$

전기 자동차 $100$ 대를 임의추출하여 얻은 $1$ 회 충전 주행 거리의 표본평균이 
$\overline{x_{1}}$ 일 때, 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $95$ $\%$ 의 신뢰구간은
$\overline{x_{1}}-1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \leq m \leq \overline{x_{1}} + 1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$
$\overline{x_{1}}-1.96 \times \dfrac{\sigma}{10} \leq m \leq \overline{x_{1}}+1.96 \times \dfrac{\sigma}{10}$

전기 자동차 $400$ 대를 임의추출하여 얻은 $1$ 회 충전 주행 거리의 표본평균이
$\overline{x_{2}}$ 일 때, 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $99$ $\%$ 의 신뢰구간은$\overline{x_{2}}-2.58 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{400}} \leq m \leq \overline{x_{2}}+2.58 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{400}}$
$\overline{x_{2}}-2.58 \times \dfrac{\sigma}{20} \leq m \leq \overline{x_{2}}+2.58 \times \dfrac{\sigma}{20}$

이때, $a=c$ 에서
$\overline{x_{1}}-1.96 \times \dfrac{\sigma}{10}=\overline{x_{2}}-2.58 \times \dfrac{\sigma}{20}$ 이고
$\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}=1.34$이므로
$\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}=1.96 \times \dfrac{\sigma}{10}-2.58 \times \dfrac{\sigma}{20}$ $=0.67 \times \dfrac{\sigma}{10}=1.34$
$\sigma=\dfrac{1.34 \times 10}{0.67}=20$

따라서,  $b-a=2 \times 1.96 \times \dfrac{\sigma}{10}$ $=2 \times 1.96 \times 2$ $=7.84$

28. 두 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}, Y=\{1,2,3,4\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점]

(가) 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \geq \sqrt{x}$이다.
(나) 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 $3$이다.

① $128$
② $138$
③ $148$
④ $158$
⑤ $168$

조건 (가)에 의하여
$f(1) \geq 1$
$f(2) \geq \sqrt{2}>1$
$f(3) \geq \sqrt{3}>1$
$f(4) \geq \sqrt{4}=2$
$f(5) \geq \sqrt{5}>2$
이고 조건 (나)에 의하여 치역으로 가능한 경우는
$\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}$
이다.

(i) 치역이 $\{1,2,3\}$ 인 경우
$f(1)=1, f(5)=3$ 이므로 $\{2,3,4\}$ 에서 $\{2,3\}$ 으로의 함수 중에서 치역이 $\{3\}$ 인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
${ }_{2} \Pi_{3}-1=2^{3}-1=7$

(ii) 치역이 $\{1,2,4\}$ 인 경우
(i)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $7$ 이다.

(iii) 치역이 $\{1,3,4\}$ 인 경우
$f(1)=1$ 이므로 $\{2,3,4,5\}$ 에서 $\{3,4\}$ 로의 함수 중에서 치역이 $\{3\},\{4\}$ 인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
${ }_{2} \Pi_{4}-2=2^{4}-2=14$

(iv) 치역이 $\{2,3,4\}$ 인 경우
(iv)-① $f(5)=3$ 인 경우
$\{1,2,3,4\}$ 에서 $\{2,3,4\}$ 로의 함수 중에서 치역이 $\{2\},\{3\},\{4\},\{2,3\},\{3,4\}$ 인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
${ }_{3} \Pi_{4}-\left\{3+\left({ }_{2} \Pi_{4}-2\right) \times 2\right\}$
      $=3^{4}-\left\{3+\left(2^{4}-2\right) \times 2\right\}$
      $=81-31$
      $=50$
(iv)-② $f(5)=4$ 인 경우
(iv)-①의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $50$ 이다.

(i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 구하는 함수 $f$ 의 개수는
$7+7+14+50 \times 2=128$

1_out_of_999

29. 두 연속확률변수 $X$와 $Y$가 갖는 값의 범위는 $0 \leq X \leq 6$, $0 \leq Y \leq 6$이고, $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x),$ $g(x)$이다. 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$의 그래프는 그림과 같다.

32111_x29_1

$0 \leq x \leq 6$인 모든 $x$에 대하여 $$ f(x)+g(x)=k \,\:(k \textbf{는 상수}) $$ 를 만족시킬 때, $\mathrm{P}(6 k \leq Y \leq 15 k)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$31$

$0 \leq x \leq 6$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+g(x)=k$ (k는 상수)이므로
$g(x)=k-f(x)$
이때, $\quad 0 \leq Y \leq 6$ 이고 확률밀도함수의 정의에 의하여 $g(x)=k-f(x) \geq 0$

즉, $k \geq f(x)$ 이므로 그림과 같이 세 직선 $x=0$,  $x=6$,  $y=k$ 및 함수 $y=f(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는 $1$ 이다.
또한, $0 \leq x \leq 6$ 에서 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 $1$ 이므로 $k \times 6=2$
따라서, $k=\dfrac{1}{3}$

이때, $\mathrm{P}(6 k \leq Y \leq 15 k)=\mathrm{P}(2 \leq Y \leq 5)$ 이고
이 값은 세 직선 $x=2$,  $x=5$,  $y=\dfrac{1}{3}$ 및 함수 $y=f(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이와 같고,  $0 \leq x \leq 3$에서 $f(x)=\dfrac{1}{12} x$ 이므로
$\mathrm{P}(6 k \leq Y \leq 15 k)$
     $=\mathrm{P}(2 \leq Y \leq 5)$
     $=\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \times\{f(2)+f(3)\} \times 1\right] + \left(\dfrac{1}{3} \times 2 – \dfrac{1}{4} \times 2 \right)$
     $=\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)\right\}+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)$
     $=\frac{3}{24}+\frac{1}{6}$
     $=\dfrac{7}{24}$

따라서,  $p=24$,  $q=7$이므로  $p+q=31$

30. 흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져
나온 눈의 수가 $5$ 이상이면
바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고,
나온 눈의 수가 $4$ 이하이면
바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 $5$번 반복할 때, $n$ ($1 \leq n \leq 5)$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_{n},$ $b_{n}$ 이라 하자. $a_{5}+b_{5} \geq 7$일 때, $a_{k}=b_{k}$인 자연수 $k$ ($1 \leq k \leq 5)$가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$191$

$a_{5}+b_{5} \geq 7$ 인 사건을 $A$,  $a_{k}=b_{k}$ 인 자연수 $k$  $(1 \leq k \leq 5)$가 존재하는 사건을 $B$ 라 하자.
사건 $A$ 가 일어나는 경우는
$a_{5}+b_{5}=7=2+2+1+1+1$
$a_{5}+b_{5}=8=2+2+2+1+1$
$a_{5}+b_{5}=9=2+2+2+2+1$
$a_{5}+b_{5}=10=2+2+2+2+2$
이고
주사위의 눈의 수가 $5$ 이상일 확률은 $\dfrac{1}{3}$,  $ 4$ 이하일 확률은 $\dfrac{2}{3}$ 이므로

(i) $a_{5}+b_{5}=7$ 일 확률은  ${ }_{5} \mathrm{C}_{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=10 \times \dfrac{8}{3^{5}}$

(ii) $a_{5}+b_{5}=8$ 일 확률은  ${ }_{5} \mathrm{C}_{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=10 \times \dfrac{4}{3^{5}}$

(iii) $a_{5}+b_{5}=9$ 일 확률은  ${ }_{5} \mathrm{C}_{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}=5 \times \dfrac{2}{3^{5}}$

(iv) $a_{5}+b_{5}=10$ 일 확률은  ${ }_{5} \mathrm{C}_{5}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\dfrac{1}{3^{5}}$

(i), (ii), (iii), (iv)에 의하여
$\mathrm{P}(A)=10 \times \dfrac{8}{3^{5}}+10 \times \dfrac{4}{3^{5}}+5 \times \dfrac{2}{3^{5}}+\dfrac{1}{3^{5}}$

또한, 사건 $A \cap B$ 인 경우는 (i), (ii)의 경우 $3$ 번째 시행까지 $5$ 이상의 눈의 수가 $1$ 번, $4$ 이하의 눈의 수가 $2$ 번 일어나야 하고 (iii), (iv)인 경우는 사건 $A \cap B$ 은 일어나지 않는다.

$\mathrm{P}(A \cap B)$
    $={ }_{3} \mathrm{C}_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times{ }_{2} \mathrm{C}_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right) +{ }_{3} \mathrm{C}_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} $
    $=3 \times \dfrac{16}{3^{5}}+3 \times \dfrac{4}{3^{5}}$

그러므로, 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B \mid A)$ $=\dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
     $=\dfrac{ 3 \times \dfrac{16}{3^{5}}+3 \times \dfrac{4}{3^{5}} }
{ 10 \times \dfrac{8}{3^{5}}+10 \times \dfrac{4}{3^{5}}+5 \times \dfrac{2}{3^{5}}+\dfrac{1}{3^{5}} }$$=\dfrac{48+12}{80+40+10+1}$ $=\dfrac{60}{131}$
이므로 $p=131, q=60$

따라서, $p+q=131+60=191$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^{3}}}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^{3}}}$
     $=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\left(\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}\right) \times n}{\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^{3}}\right) \times n}$ $=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{5+\dfrac{3}{n}}{1-\dfrac{2}{n^{2}}}$ $=\dfrac{5+0}{1-0}=5$

24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$ f\left(x^{3}+x\right)=e^{x} $$ 을 만족시킬 때, $f^{\prime}(2)$의 값은? [3점]

① $e$
② $\frac{e}{2}$
③ $\frac{e}{3}$
④ $\frac{e}{4}$
⑤ $\frac{e}{5}$

$f\left(x^{3}+x\right)=e^{x}$ 의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하면
$f^{\prime}\left(x^{3}+x\right) \times\left(3 x^{2}+1\right)=e^{x} \quad   \cdots$ ㉠
이다.

$x^{3}+x=2$ 에서
$x^{3}+x-2=(x-1)\left(x^{2}+x+2\right)=0$
이므로 $x=1$ 이다.

따라서 ㉠의 양변에 $x=1$ 을 대입하면
$f^{\prime}(1+1) \times(3+1)=e$ 이므로
$f^{\prime}(2)=\dfrac{e}{4}$

25. 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)=3, \: \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=6 $$ 일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a_{n}=a r^{n-1}$

$a_{2 n-1}-a_{2 n}$
     $=a r^{2 n-2}-a r^{2 n-1}$
     $=a r^{2 n-2}(1-r)$  $=a(1-r)\left(r^{2}\right)^{n-1}$
이므로 수열 $\left\{a_{2 n-1}-a_{2 n}\right\}$ 은 첫째항이
$a(1-r)$ 이고 공비가 $r^{2}$ 인 등비수열이다.

따라서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)=3$ 에서 $-1< r< 1$ 이고 $\dfrac{a(1-r)}{1-r^{2}}=3$ 이고 $r \neq 1$ 이므로
$\dfrac{a}{1+r}=3$  $\cdots\cdots$ ㉠

또, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{2} r^{2 n-2}=6$ 이므로 $\dfrac{a^{2}}{1-r^{2}}=\dfrac{a}{1-r} \times \dfrac{a}{1+r}=6$
㉠에서 $\dfrac{a}{1-r} \times 3=6$이므로 $\dfrac{a}{1-r}=2$

따라서 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$ $=\dfrac{a}{1-r}=2$

26. $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{2}+2 k n}{k^{3}+3 k^{2} n+n^{3}}$의 값은? [3점]

① $\ln 5$
② $\frac{\ln 5}{2}$
③ $\frac{\ln 5}{3}$
④ $\frac{\ln 5}{4}$
⑤ $\frac{\ln 5}{5}$

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{2}+2 k n}{k^{3}+3 k^{2} n+n^{3}}$
      $=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\dfrac{\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}+2 \times \dfrac{k}{n}}{\left(\dfrac{k}{n}\right)^{3}+3 \times\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}+1} \times \dfrac{1}{n}\right\}$
      $=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2}+2 x}{x^{3}+3 x^{2}+1} d x$
      $=\left[\dfrac{1}{3} \ln \left(x^{3}+3 x^{2}+1\right)\right]_{0}^{1}$
      $=\dfrac{1}{3}(\ln 5-\ln 1)$
      $=\dfrac{\ln 5}{3}$

27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t>0$)에서의 위치가 곡선 $y=x^{2}$과 직선 $y=t^{2} x-\dfrac{\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$ 까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점]

① $\frac{e^{4}}{2}-\frac{3}{8}$
② $\frac{e^{4}}{2}-\frac{5}{16}$
③ $\frac{e^{4}}{2}-\frac{1}{4}$
④ $\frac{e^{4}}{2}-\frac{3}{16}$
⑤ $\frac{e^{4}}{2}-\frac{1}{8}$

곡선 $y=x^{2}$ 과 직선 $y=t^{2} x-\dfrac{\ln t}{8}$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 각각 $\alpha, \beta$ 라 하면 두 점의 좌표는 $\left(\alpha, \alpha^{2}\right)$,  $\left(\beta, \beta^{2}\right)$ 이므로 이 두 점의 중점의 좌표는
$\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}, \dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{2}\right)$  $ \cdots\cdots$ ㉠
이다.

두 식 $y=x^{2}$,  $y=t^{2} x-\dfrac{\ln t}{8}$를 연립하면 $x^{2}=t^{2} x-\dfrac{\ln t}{8}$
$x^{2}-t^{2} x+\dfrac{\ln t}{8}=0$

이 방정식의 두 근이 $\alpha, \beta$ 이므로 근과 계수의 관계에 의하여
$\alpha+\beta=t^{2}$,   $\alpha \beta=\dfrac{\ln t}{8}$

따라서 $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$ $=t^{4}-\dfrac{\ln t}{4}$ 이므로 ㉠에서 중점의 좌표는 $\left(\dfrac{1}{2} t^{2}, \, \dfrac{1}{2} t^{4}-\dfrac{\ln t}{8}\right)$ 이다.
그러므로 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ 에서의 위치는 $x=\dfrac{1}{2} t^{2}, y=\dfrac{1}{2} t^{4}-\dfrac{\ln t}{8}$이다.
즉, $\dfrac{d x}{d t}=t, \dfrac{d y}{d t}=2 t^{3}-\dfrac{1}{8 t}$ 이고 중점의 좌표는  $\left(\dfrac{1}{2} t^{2}, \dfrac{1}{2} t^{4}-\dfrac{\ln t}{8}\right)$이다.
그러므로 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ 에서의 위치는  $x=\dfrac{1}{2} t^{2}$,   $ y=\dfrac{1}{2} t^{4}-\dfrac{\ln t}{8}$ 이다.

이때 $\dfrac{d x}{d t}=t$,  $ \dfrac{d y}{d t}=2 t^{3}-\dfrac{1}{8 t}$ 이므로
$\sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}$
$=\sqrt{t^{2}+\left(2 t^{3}-\dfrac{1}{8 t}\right)^{2}}$
$=\sqrt{t^{2}+4 t^{6}-\dfrac{1}{2} t^{2}+\dfrac{1}{64 t^{2}}}$
$=\sqrt{4 t^{6}+\dfrac{1}{2} t^{2}+\dfrac{1}{64 t^{2}}}$
$=\sqrt{\left(2 t^{3}+\dfrac{1}{8 t}\right)^{2}}$ $=2 t^{3}+\dfrac{1}{8 t}$

따라서 시각 $t=1$ 에서 $t=e$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는
$\displaystyle\int_{1}^{e} \sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}} dt$
$=\displaystyle\int_{1}^{e}\left(2 t^{3}+\dfrac{1}{8 t}\right) dt$
$=\left[\,\dfrac{1}{2} t^{4}+\dfrac{1}{8} \ln |t| \,\right]_{1}^{e}$
$=\dfrac{1}{2} e^{4}+\dfrac{1}{8}-\left(\dfrac{1}{2}+0\right)$ $=\dfrac{e^{4}}{2}-\dfrac{3}{8}$

28. 함수 $f(x)=6 \pi(x-1)^{2}$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=3 f(x)+4 \cos f(x) $$ 라 하자. $0< x< 2$에서 함수 $g(x)$가 극소가 되는 $x$의 개수는? [4점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$g(x)=3 f(x)+4 \cos f(x)$ 이므로
$g^{\prime}(x)=3 f^{\prime}(x)-4 f^{\prime}(x) \sin f(x)$
          $=f^{\prime}(x)\{3-4 \sin f(x)\}$
          $=12 \pi(x-1)\left\{3-4 \sin \left(6 \pi(x-1)^{2}\right)\right\}$
이므로
$g^{\prime}(x)=0$ 에서
$x=1$ 또는 $\sin \left(6 \pi(x-1)^{2}\right)=\dfrac{3}{4}$

(i) $x=1$ 일 때
$x=1$ 일 때 $\sin \left(6 \pi(x-1)^{2}\right)=0$ 이므로
$x=1$ 부근에서 $3-4 \sin \left(6 \pi(x-1)^{2}\right)>0$
이다.
이때 $x-1$ 은 $x=1$ 의 좌우에서 음에서 양으로 변하므로
$g^{\prime}(x)=12 \pi(x-1)\left\{3-4 \sin \left(6 \pi(x-1)^{2}\right)\right\}$ 도
$x=1$ 의 좌우에서 음에서 양으로 변한다.
따라서 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극소이다.

(ii) $1< x< 2$ 일 때
$12 \pi(x-1)>0$ 이고, 함수 $f(x)$ 는 구간 $[1,2]$ 에서 $0$ 에서 $6 \pi$ 까지 증가한다.
즉, $f(x)=t$ 라 하면 $x$ 의 값이 $1$ 에서 $2$ 까지 증가할 때 $t$ 의 값은 $0$ 에서 $6 \pi$ 까
지 증가한다.
이때 함수 $y=3-4 \sin t$ 의 그래프는 다음과 같으므로 $t=\alpha, \beta, \gamma$ 의 좌우에서
$y=3-4 \sin t$ 의 값은 음에서 양으로 변한다.
따라서 $f(x)=\alpha, \beta, \gamma$ 인 $x$ 의 좌우에서 $y=3-4 \sin f(x)$ 의 값은 음에서 양으로 변하고 이러한 $x$ 는 세 수 $\alpha, \beta, \gamma$ 에 대하여 각각 하나씩 존재한다.
따라서 함수 $g(x)$ 가 $1< x< 2$ 에서 극소가 되는 $x$ 의 개수는 $3$ 이다.

(iii) $0< x< 1$ 일 때
함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 직선 $x=1$ 에 대하여 대칭이다.
즉, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(1-x)=f(1+x)$ 가 성립한다.
이때
$g(1-x)=3 f(1-x)+4 \cos f(1-x)$
$=3 f(1+x)+4 \cos f(1+x)$
$=g(1+x)$이므로
함수 $y=g(x)$ 의 그래프도 직선 $x=1$ 에 대하여 대칭이다.
따라서 (ii)와 같이 $0< x< 1$ 에서 함수 $g(x)$ 가 극소가 되는 $x$ 의 개수도 $3$ 이다.

(i), (ii), (iii)에서 구하는 $x$ 의 개수는 $1+3+3=7$이다.

[참고]  $0< x< 2$ 에서 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

1_out_of_999

29. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위에 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{QBA}=2 \theta$가 되도록 잡고, 두 선분 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BQ}$의 교점을 $\mathrm{R}$라 하자.
선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{S}$, 선분 $\mathrm{BR}$ 위의 점 $\mathrm{T}$, 선분 $\mathrm{AR}$ 위의 점 $\mathrm{U}$를 선분 $\mathrm{UT}$가 선분 $\mathrm{AB}$에 평행하고 삼각형 $\mathrm{STU}$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\mathrm{AR}$, $\mathrm{QR}$와 호 $\mathrm{AQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{STU}$의 넓이를 $g(\theta)$라 할 때, $\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)}=\dfrac{q}{p} \sqrt{3}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $0< \theta< \dfrac{\pi}{6}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32111_y29_1

$11$

선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 $\angle \mathrm{AMQ}=2 \times \angle \mathrm{ABQ}=2 \times 2 \theta=4 \theta$이므로
(부채꼴 $\mathrm{AMQ}$의 넓이) $=\dfrac{1}{2} \times 1^{2} \times 4 \theta=2 \theta$,
(삼각형 $\mathrm{MBQ}$ 의 넓이) $=\dfrac{1}{2} \times 1^{2} \times \sin (\pi-4 \theta)=\dfrac{1}{2} \sin 4 \theta$

삼각형 $\mathrm{RAB}$ 에서 $\angle \mathrm{ARB}=\pi-3 \theta$ 이므로 사인법칙에 의하여
$\dfrac{2}{\sin (\pi-3 \theta)}=\dfrac{\overline{\mathrm{BR}}}{\sin \theta}$,  즉 $\overline{\mathrm{BR}}=\dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta}$ 이므로
(삼각형 $\mathrm{RAB}$ 의 넓이)
     $=\dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BR}} \times \sin 2 \theta$
     $=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta} \times \sin 2 \theta=\dfrac{2 \sin \theta \sin 2 \theta}{\sin 3 \theta}$

그러므로 $f(\theta)=2 \theta+\dfrac{1}{2} \sin 4 \theta-\dfrac{2 \sin \theta \sin 2 \theta}{\sin 3 \theta}$에서
$\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$
     $=\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+}\left(2+2 \times \dfrac{\sin 4 \theta}{4 \theta}-\dfrac{4 \times \dfrac{\sin \theta}{\theta} \times \dfrac{\sin 2 \theta}{2 \theta}}{3 \times \dfrac{\sin 3 \theta}{3 \theta}}\right)$
     $=2+2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$  $ \cdots\cdots$ ㉠
정삼각형 $\mathrm{STU}$ 의 한 변의 길이를 $a$ 라 하면 삼각형 $\mathrm{TSB}$ 에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{a}{\sin 2 \theta}=\dfrac{\overline{\mathrm{BT}}}{\sin \dfrac{\pi}{3}}$,   $\overline{\mathrm{BT}}=\dfrac{\sqrt{3} a}{2 \sin 2 \theta}$

두 삼각형 $\mathrm{RUT}$,  $\mathrm{RAB}$ 가 서로 닮음이므로 $\overline{\mathrm{RT}}: \overline{\mathrm{RB}}=\overline{\mathrm{UT}}: \overline{\mathrm{AB}}$
$\left(\dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta}-\dfrac{\sqrt{3} a}{2 \sin 2 \theta} \right): \dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta} =a: 2$
$\dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta} a=\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sin 2 \theta} a$
$\left(\dfrac{2 \sin \theta}{\sin 3 \theta}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sin 2 \theta}\right) a=\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta}$
$\dfrac{2 \sin \theta \sin 2 \theta+\sqrt{3} \sin 3 \theta}{\sin 2 \theta \sin 3 \theta} a=\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta}$

$a=\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta} \times \dfrac{\sin 2 \theta \sin 3 \theta}{2 \sin \theta \sin 2 \theta+\sqrt{3} \sin 3 \theta}$

이때 $g(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$이고
$\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{a}{\theta}$
     $=\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+}\left(\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta} \times \dfrac{\sin 2 \theta \sin 3 \theta}{2 \sin \theta \sin 2 \theta+\sqrt{3} \sin 3 \theta} \times \dfrac{1}{\theta}\right)$
    $=\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+}\left(\dfrac{4 \sin \theta}{\sin 3 \theta} \times \dfrac{\frac{\sin 2 \theta \sin 3 \theta}{\theta^{2}}}{\frac{2 \sin \theta \sin 2 \theta+\sqrt{3} \sin 3 \theta}{\theta}}\right)$
     $=\dfrac{4}{3} \times \dfrac{2 \times 3}{0+3 \sqrt{3}}$
     $=\dfrac{8}{3 \sqrt{3}}$
이므로
$\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+}\left(\dfrac{a}{\theta}\right)^{2}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\dfrac{8}{3 \sqrt{3}}\right)^{2}$ $=\dfrac{16 \sqrt{3}}{27}$  $\cdots\cdots$ ㉡

따라서 ㉠, ㉡에서
$\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)}$
     $=\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{\frac{g(\theta)}{\theta^{2}}}{\frac{f(\theta)}{\theta}}$
     $=\dfrac{\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{g(\theta)}{\theta^{2}}}{\displaystyle\lim _{\theta \rightarrow 0+} \frac{f(\theta)}{\theta}}$ $=\dfrac{\frac{16 \sqrt{3}}{27}}{\frac{8}{3}}$ $=\dfrac{2}{9} \sqrt{3}$
이므로 $p+q=9+2=11$

30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=1$, $\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x=\dfrac{5}{4}$
(나) 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2 x)=2 f(x)$이다.

$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x=\dfrac{q}{p}$일 때, $\,p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$143$

조건 (가)에서 $f(1)=1$ 이므로 조건 (나)에 의하여
$g(2)=2 f(1)=2$
그리고 $f(2)=2$ 이므로 $g(4)=2 f(2)=4$,
$f(4)=4$ 이므로  $g(8)=2 f(4)=8$
따라서 $f(8)=8$ 이다.
부분적분법에 의하여
$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x$
     $=[x f(x)]_{1}^{8}-\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$
     $=8 f(8)-f(1)-\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$
     $=8 \times 8-1-\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$
     $=63-\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x $   $\cdots$ ㉠

이때
$\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$
     $=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x+\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) d x+\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) d x$  $\cdots$ ㉡
이고,
$\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x=\dfrac{5}{4}$   $ \cdots$ ㉢
이다.

이때 두 함수 $y=f(x), y=g(x)$ 의 그래프의 대칭성에 의하여
$\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) d x=4 \times 4-2 \times 2-\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y$
     $=12-\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y$   $\cdots$ ㉣

이때 $y=2 t$ 로 놓으면 치환적분법에 의하여
$\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y=2 \displaystyle\int_{1}^{2} g(2 t) d t$
이므로 조건 (나)에서
$\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y=2 \displaystyle\int_{1}^{2} g(2 t) d t$
     $=2 \displaystyle\int_{1}^{2} 2 f(t) d t$
     $=4 \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$ $=4 \times \dfrac{5}{4}=5$

㉣에서
$\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) d x=12-\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y$ $=12-5=7$   $ \cdots$ ㉤

또, 두 함수 $y=f(x)$,  $y=g(x)$ 의 그래프의 대칭성에 의하여
$
\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) d x=8 \times 8-4 \times 4-\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y
$
     $=48-\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y$  $\cdots$ ㉥

이때 $y=2 t$ 로 놓으면 치환적분법에 의하여
$\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y=2 \displaystyle\int_{2}^{4} g(2 t) d t$ 이므로

조건 (나)에서 $\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y=2 \displaystyle\int_{2}^{4} g(2 t) d t$ 이므로 
$\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y=2 \displaystyle\int_{2}^{4} g(2 t) d t$
     $=2 \displaystyle\int_{2}^{4} 2 f(t) d t$
     $=4 \displaystyle\int_{2}^{4} f(x) d x$
     $=4 \times 7=28$

㉥에서 $\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) d x=48-\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y$ $=48-28=20$  $\cdots$ ㉦

㉡, ㉢, ㉤, ㉦에서
$\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$ $=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x+\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) d x+\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) d x$      $=\dfrac{5}{4}+7+20=\dfrac{113}{4}$
이므로 ㉠에서
$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x$ $=63-\displaystyle\int_{1}^{8} f(x) d x$ $=63-\dfrac{113}{4}=\dfrac{139}{4}$

따라서 $p+q=4+139=143$

< 참고> 
조건 (나)의 성질 $g(2 x)=2 f(x)$에서 다음 그림과 같이 각 부분의 넓이가 대각선 방향으로 $4$ 배씩 증가함을 알 수 있다.

$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x$ 에서 $x=g(y)$ 라 하면
$x=1$ 일 때 $y=1$,  $x=8$ 일 때 $y=8$ 이고,
$\dfrac{d x}{d y}=g^{\prime}(y)=\dfrac{1}{f^{\prime}(x)}$
이므로
$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x=\displaystyle\int_{1}^{8} g(y) d y$
        $=\displaystyle\int_{1}^{2} g(y) d y+\displaystyle\int_{2}^{4} g(y)+\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y$

이때
$\displaystyle\int_{1}^{2} g(y) d y=2 \times 2-1 \times 1-\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) d x$
        $=3-\dfrac{5}{4}=\dfrac{7}{4}$

한편, $\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y=\displaystyle\int_{2}^{4} 2 f\left(\dfrac{y}{2}\right) d y$ 에서
$\dfrac{y}{2}=t$ 라 하면 $y=2$ 일 때 $t=1$,  $y=4$ 일때 $t=2$ 이고, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{d t}{d y}$ 이므로
$\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y=\displaystyle\int_{2}^{4} 2 f\left(\dfrac{y}{2}\right) d y$
        $=\displaystyle\int_{1}^{2} 4 f(t) d t=4 \displaystyle\int_{1}^{2} f(t) d t$
        $=4 \times \dfrac{5}{4}=5$,

또, $\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y=\displaystyle\int_{4}^{8} 2 f\left(\dfrac{y}{2}\right) d y$ 에서 $\dfrac{y}{2}=t$ 라 하면
$y=4$ 일 때 $t=2$,  $y=8$ 일때 $t=4$ 이고, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{d t}{d y}$ 이므로
$\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) dy =\displaystyle\int_{4}^{8} 2 f\left(\dfrac{y}{2}\right) d y$
        $=\displaystyle\int_{2}^{4} 4 f(t) d t=4 \displaystyle\int_{2}^{4} f(t) d t$
        $=4 \times\left\{4 \times 4-2 \times 2-\displaystyle\int_{2}^{4} g(y) d y\right\}$
        $=4(12-5)=28$

따라서
$\displaystyle\int_{1}^{8} x f^{\prime}(x) d x=\displaystyle\int_{1}^{8} g(y) d y$
        $=\displaystyle\int_{1}^{2} g(y) d y+\displaystyle\int_{2}^{4} g(y)+\displaystyle\int_{4}^{8} g(y) d y$
        $=\dfrac{7}{4}+5+28=\dfrac{139}{4}$
이므로
$p+q=4+139=143$

< 참고> 
조건 (나)의 성질 $g(2 x)=2 f(x)$에서 다음 그림과 같이 각 부분의 넓이가 대각선 방향으로 $4$ 배씩 증가함을 알 수 있다.

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2,\,1,\,3)$을 $x y$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 $y z$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점]

① $5 \sqrt{2}$
② $2 \sqrt{13}$
③ $3 \sqrt{6}$
④ $2 \sqrt{14}$
⑤ $2 \sqrt{15}$

좌표공간의 점 $\mathrm{A}(2,1,3)$ 을 $x y$ 평면에 대하여 대칭이동시킨 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $\mathrm{P}(2,1,-3)$
점 $\mathrm{A}$ 를 $y z$ 평면에 대하여 대칭이동시킨 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\mathrm{Q}(-2,1,3)$
따라서 구하는 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 길이는
$\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(2+2)^{2}+(1-1)^{2}+(-3-3)^{2}}$
       $=\sqrt{52}$
       $=2 \sqrt{13}$

24. 한 초점의 좌표가 $(3 \sqrt{2}, \,0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{6}=1$의 주축의 길이는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]

① $3 \sqrt{3}$
② $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$
③ $4 \sqrt{3}$
④ $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$
⑤ $5 \sqrt{3}$

쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{6}=1$ 의 한 초점의 좌표가 $(3 \sqrt{2}, 0)$ 이므로 $a^{2}+6=18$
$a^{2}=12$
$a>0$ 이므로 $a=2 \sqrt{3}$
따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는
$2 a=2 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$

25. 좌표평면에서 두 직선 $$ \dfrac{x+1}{2}=y-3, \quad x-2=\dfrac{y-5}{3} $$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{\sqrt{5}}{4}$
③ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
④ $\frac{\sqrt{7}}{4}$
⑤ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

두 직선
$\dfrac{x+1}{2}=y-3$,  $x-2=\dfrac{y-5}{3}$ 의 방향벡터를 각각 $\overrightarrow{u_{1}}=(2,1)$,  $\overrightarrow{u_{2}}=(1,3)$ 이라 하면
$\cos \theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{1}}\right|\left|\overrightarrow{u_{2}}\right|}$ $=\dfrac{|2 \times 1+1 \times 3|}{
\sqrt{2^{2}+1^{2}} \times \sqrt{1^{2}+3^{2}}}$
        $\begin{aligned}=& \dfrac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} \\=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$

26. 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}^{\prime}$인 타원 $\dfrac{x^{2}}{64}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$가 있다. 두 직선 $\mathrm{AF}$, $\mathrm{AF}^{\prime}$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $C$라 하자. 원 $C$의 중심을 $\mathrm{B}$라 할 때 사각형 $\mathrm{AFBF}^{\prime}$의 넓이가 $72$이다. 원 $C$의 반지름의 길이는? [3점]

① $\frac{17}{2}$
② $9$
③ $\frac{19}{2}$
④ $10$
⑤ $\frac{21}{2}$

32111_z26_1

$\overline{\mathrm{AF}}=p, \overline{\mathrm{AF}^{\prime}}=q$ 라 하면 타원의 정의에 의하여
$p+q=2 \times 8=16$

원 $C$ 가 두 직선 $\mathrm{AF}, \mathrm{AF}^{\prime}$ 과 접하는 두 점을 각각 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$, 원 $C$ 의 반지름의 길이를 $r$ 라 하면 $\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BQ}}=r$
사각형 $\mathrm{AFBF}^{\prime}$ 의 넓이를 삼각형 $\mathrm{ABF}$와 삼각형 $\mathrm{ABF}^{\prime}$ 으로 나누어 생각하면
$\dfrac{1}{2} \times p \times r+\dfrac{1}{2} \times q \times r=72$
$\dfrac{1}{2} \times (p + q) \times r=72$

따라서  $r=72 \times \dfrac{2}{p+q}$ $=72 \times \dfrac{2}{16}$ $=9$

27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $4$인 정육면체 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$가 있다. 선분 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{MEG}$의 넓이는? [3점]

① $\frac{21}{2}$
② $11$
③ $\frac{23}{2}$
④ $12$
⑤ $\frac{25}{2}$

그림과 같이 점 $\mathrm{M}$ 에서 선분 $\mathrm{EG}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$, 선분 $\mathrm{EH}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$ 라 하자.
삼수선의 정리에 의하여 $\overline{\mathrm{JI}} \perp \overline{\mathrm{EG}}$이므로 점 $\mathrm{H}$ 에서 선분 $\mathrm{EG}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{K}$ 라 하면 점 $\mathrm{K}$ 는 선분 $\mathrm{EG}$ 의 중점이고
$\overline{\mathrm{IJ}} =\dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{HK}}$ $=\dfrac{1}{2} \times 2 \sqrt{2}$ $=\sqrt{2}$

한편, 직각삼각형 $\mathrm{MJI}$ 에서 $\overline{\mathrm{MJ}} =4$이므로
$\overline{\mathrm{MI}} =\sqrt{\overline{\mathrm{MJ}}^{2}+\overline{\mathrm{IJ}}^{2}}$ $=\sqrt{16+2}$ $=3 \sqrt{2}$

따라서 구하는 삼각형 $\mathrm{MEG}$ 의 넓이는
$\dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{EG}} \times \overline{\mathrm{MI}}$ $=\dfrac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}$ $=12$

28. 두 양수 $a$, $p$ 에 대하여 포물선 $(y-a)^{2}=4 p x$의 초점을 $\mathrm{F}_{1}$이라 하고, 포물선 $y^{2}=-4 x$의 초점을 $\mathrm{F}_{2}$라 하자.
선분 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{F}_{2}$가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 할 때, $\overline{\mathrm{F}_{1} \mathrm{F}_{2}}=3$, $\overline{\mathrm{PQ}}=1$이다. $a^{2}+p^{2}$의 값은? [4점]

① $6$
② $\frac{25}{4}$
③ $\frac{13}{2}$
④ $\frac{27}{4}$
⑤ $7$

32111_z28_1

두 점 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{F}_{2}$ 의 좌표가 각각 $\mathrm{F}_{1}(p, a)$,  $\mathrm{F}_{2}(-1,0)$
이고, $\overline{\mathrm{F}_{1} \mathrm{F}_{2}}=3$ 이므로 $(p+1)^{2}+a^{2}=9$  $\cdots\cdots$ ㉠

그림과 같이 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선과 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 라 하자.
직선 $\mathrm{PQ}$ 의 기울기는 직선 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{F}_{2}$ 의 기울기와 같은 $\dfrac{a}{p+1}$ 이므로 직각삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 양수 $t$ 에 대하여  $\overline{\mathrm{PR}}=a t$,   $\overline{\mathrm{QR}}=(p+1) t$ 로 놓을 수 있다.

이때   $\overline{\mathrm{PQ}}=1$ 이므로 $a^{2} t^{2}+(p+1)^{2} t^{2}=1$ 에서
$t^{2}=\dfrac{1}{a^{2}+(p+1)^{2}}=\dfrac{1}{9}$   즉,  $t=\dfrac{1}{3}$

한편, 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표를 각각 $x_{1}$, $x_{2}$ 라 하면
$\overline{\mathrm{PF}}_{1}=p+x_{1}$,
$\overline{\mathrm{QF}_{2}}=1-x_{2}$, 
$\overline{\mathrm{PF}}_{1}+\overline{\mathrm{QF}}_{2}=2$이고
$x_{1}-x_{2}=(p+1) t=\dfrac{1}{3}(p+1)$ 이므로
$\left(p+x_{1}\right)+\left(1-x_{2}\right)=2$ 에서
$p=1-\left(x_{1}-x_{2}\right)$ $=1-\dfrac{1}{3}(p+1)$  즉,  $p=\dfrac{1}{2}$

㉠에서 $\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^{2}+a^{2}=9$ 이므로  $a^{2}=\dfrac{27}{4}$

따라서  $a^{2}+p^{2}=\dfrac{27}{4}+\dfrac{1}{4}=7$

1_out_of_999

29. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{OB}}=2 \sqrt{2}$이고 $\cos (\angle \mathrm{AOB})=\dfrac{1}{4}$인 평행사변형 $\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)   $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}\,$ ($0 \leq s \leq 1$, $0 \leq t \leq 1$)
(나)  $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=2$

점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $| \,3 \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OX}} \,|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$ 이라 하자. $M \times m = a \sqrt{6}+b$일 때, $a^{2}+b^{2}$의 값을 구하시오.
(단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]

$100$

조건 (가)에 의하여 점 $\mathrm{P}$ 는 평행사변형 $\mathrm{OACB}$ 의 둘레 또는 내부에 있는 점이다.

조건 (나)에서
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
       $=\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
       $=\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
       $=\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})-|\overrightarrow{\mathrm{OA}} \| \overrightarrow{\mathrm{OB}}| \cos (\angle \mathrm{AOB})$
       $=\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-\sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4}$
       $=\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-1=2$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3$

(i) 벡터 $3 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 의 크기는 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 의 크기가 최대이고 $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 가 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 와 반대 방향일 때 최대가 되고, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 의 크기는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{OA}$ 위에 있을 때 최대가 된다.
다음 그림과 같이 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{OA}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하고  $\angle \mathrm{COA}=\alpha$ 라 하자.
$\angle \mathrm{CAH} =\angle \mathrm{AOB}$에서  $\cos (\angle \mathrm{CAH})=\cos (\angle \mathrm{AOB})=\dfrac{1}{4}$이므로
$\mathrm{AH} =\overline{\mathrm{AC}} \times \cos (\angle \mathrm{CAH})$
       $=\overline{\mathrm{OB}} \times \dfrac{1}{4}$
       $=2 \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4}$
       $=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

한편,
$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}$
       $=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
       $=(\sqrt{2})^{2}+(2 \sqrt{2})^{2}+2 \times \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \times \dfrac{1}{4}$
       $=2+8+2=12$
이므로 $|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2 \sqrt{3}$

$\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
즉, 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{OA}$ 위에 있을 때
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}| \cos \alpha$
       $ =|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| \times 2 \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{6}}{4} $
       $=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=3$
이므로
$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{2}$
이때  $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 가  $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 와 반대 방향이면
$|3 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OX}}|=3|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|$
이므로
$M=3 \sqrt{2}+\sqrt{2}=4 \sqrt{2}$

(ii) 벡터 $3 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 의 크기는  $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 의 크기가 최소이고  $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 가 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 와 같은 방향일 때 최소가 되고,  $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 의 크기는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{OC}$ 위에 있을 때 최소가 된다.
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$
$=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| \times 2 \sqrt{3}=3$
이므로 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
이때   $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ 가 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 와 같은 방향이면
$|3 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OX}}|=3|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|-|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|$
이므로 $m=3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}$

(i), (ii)에 의하여
$M \times m =4 \sqrt{2} \times \left(\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}\right)$ $=6 \sqrt{6}-8$
이므로 $a^{2}+b^{2} =6^{2}+(-8)^{2} =100$

30. 좌표공간에 중심이 $\mathrm{C}(2, \, \sqrt{5}, 5)$이고 점 $\mathrm{P}(0,\,0, \,1)$을 지나는 구 $$ S:(x-2)^{2}+(y-\sqrt{5})^{2}+(z-5)^{2}=25 $$ 가 있다. 구 $S$가 평면 $\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x y$평면 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{Q}_{1}$, $\mathrm{R}_{1}$이라 하자.
삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$의 평면 $\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p} \sqrt{6}$이다. $p+q$ 의 값을 구하시오.
(단, $\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q}_{1}$, $\mathrm{R}_{1}$은 한 직선 위에 있지 않으며, $\,p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

32111_z30_1

$23$

점 $\mathrm{C}$에서 $x y$ 평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{C}^{\prime}$ 이라 하면 $\overline{\mathrm{CC}^{\prime}}=5$ 이므로 구 $S$ 는 점 $\mathrm{C}^{\prime}$ 에서 $x y$ 평면에 접한다.
평면 $\mathrm{OPC}$ 는 점 $\mathrm{C}^{\prime}$ 을 지나므로 점 $\mathrm{Q}_{1}$ 은 직선 $\mathrm{OC}^{\prime}$ 위에 있다. 이때 선분 $\mathrm{OQ}_{1}$ 의 길이가 최대가 되려면 점 $\mathrm{Q}$ 가 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 직선 $\mathrm{OC}^{\prime}$ 과 평행한 직선이 구 $S$와 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점이어야 한다.
이때  $\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=\overline{\mathrm{OC}^{\prime}}+5=3+5=8$
한편, 삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$ 의 넓이가 최대가 되려면 점 $\mathrm{R}$ 가 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 직선 $\mathrm{CQ}$ 에 수직인 직선이 구 $S$ 와 만나는 점이어야 한다.
이때 $\overline{\mathrm{R}_{1} \mathrm{C}^{\prime}} \perp \overline{\mathrm{OC}^{\prime}}$ 이고,  $\overline{\mathrm{R}_{1} \mathrm{C}^{\prime}}=5$ 이므로 삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$ 의 넓이는
$\dfrac{1}{2} \times 8 \times 5=20$

이제 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 넓이를 구해 보자.
점 $\mathrm{P}$ 에서 직선 $\mathrm{QQ}_{1}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{OQ}_{1}}=8$,
$\overline{\mathrm{QH}}=\overline{\mathrm{QQ}_{1}}-1=4$
$\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{5}$   $\cdots \cdots$ ㉠

직각삼각형 $\mathrm{CQR}$ 에서
$\overline{\mathrm{QR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{CQ}}^{2}+\overline{\mathrm{CR}}^{2}}=\sqrt{25+25}=5 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡

직각삼각형 $\mathrm{OC}^{\prime} \mathrm{R}_{1}$ 에서
$\overline{\mathrm{OR}_{1}}=\sqrt{\overline{\mathrm{OC}^{\prime}}^{2}+\overline{\mathrm{R}_{1} \mathrm{C}^{\prime}}^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$이므로 점 $\mathrm{P}$ 에서 직선 $\mathrm{RR}_{1}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$ 라 하면
$\overline{\mathrm{PG}}=\overline{\mathrm{OR}_{1}}=\sqrt{34}$
$\overline{\mathrm{RG}}=\overline{\mathrm{RR}_{1}}-1=4$
직각삼각형 $\mathrm{RPG}$에서  $\overline{\mathrm{PR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PG}}^{2}+\overline{\mathrm{RG}}^{2}}=\sqrt{34+16}=5 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 삼각형 $\mathrm{PQR}$는  $\overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{QR}}$ 인 이등변삼각형이다.
위 그림과 같이 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면
$\overline{\mathrm{RM}} =\sqrt{\overline{\mathrm{PR}}^{2}-\overline{\mathrm{PM}}^{2}}$ $=\sqrt{50-20}$ $=\sqrt{30}$이므로
삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} \times \sqrt{30}=10 \sqrt{6}$
이때 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 $x y$ 평면 위로의 정사영이 삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$이므로
두 평면 $\mathrm{PQR}$ 와 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 하면
$\cos \theta=\dfrac{20}{10 \sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

따라서 삼각형 $\mathrm{OQ}_{1} \mathrm{R}_{1}$ 의 평면 $\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는
$20 \times \dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{20}{3} \sqrt{6}$  이므로
$p+q=3+20=23$

위로 스크롤