함수의 극한과 연속
람다 $\lambda$의 차례
함수의 극한
1. 함수의 수렴과 발산
(1) 함수 $f(x)$에서 $x$의 값에 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 합니다. 이때 $L$을 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값 또는 극한이라 하고, 기호로 다음과 같이 나타냅니다. $$\lim_{x \to a}f(x) = L \text{ 또는 }x \rightarrow a\,\textbf{일 때 }f(x) \rightarrow L$$
(2) 함수 $f(x)$가 어느 값으로도 수렴하지 않으면 $f(x)$는 발산하다고 합니다.
함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때
① $f(x)$의 값이 한없이 커지면 함수 $f(x)$는 양의 무한대로 발산하다고 합니다.
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \infty$ 또는 $x \rightarrow a\,$일 때 $f(x) \rightarrow \infty$
② $f(x)$의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 $f(x)$는 음의 무한대로 발산하다고 합니다.
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = – \infty$ 또는 $x \rightarrow a\,$일 때 $f(x) \rightarrow – \infty$
2. 우극한과 좌극한
(1) 우극한과 좌극한
① 함수 $f(x)$에서 $x \rightarrow a+$일 때 $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 $L$을 $f(x)$의 $x = a$에서의 우극한이라고 합니다.
$\displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = L$ 또는 $x \rightarrow a+\,$일 때 $f(x) \rightarrow L$
② 함수 $f(x)$에서 $x \rightarrow a-$일 때 $f(x)$의 값이 일정한 값 $M$에 한없이 가까워지면 $M$을 $f(x)$의 $x = a$에서의 좌극한이라고 합니다.
$\displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = M$ 또는 $x \rightarrow a-\,$일 때 $f(x) \rightarrow M$
(2) 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 극한값이 $L$이면 $x = a$에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 $L$과 같습니다. 또 그 역도 성립하므로 다음이 성립합니다. $$\lim_{x \to a}f(x) = L\,\Longleftrightarrow \,\lim_{x \to a-}f(x) =\lim_{x \to a+}f(x) = L$$
함수의 극한에 대한 성질
1. 함수의 극한에 대한 성질
두 함수 $f(x)$, $g(x)$에서 극한값 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)$가 존재할 때
① $\displaystyle \lim_{x \to a}cf(x) = c\lim_{x \to a}f(x)$
② $\displaystyle \lim_{x \to a}\{ f(x) + g(x) \} = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)$
③ $\displaystyle \lim_{x \to a}\{ f(x) -\, g(x) \} = \lim_{x \to a}f(x) -\, \lim_{x \to a}g(x)$
④ $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) g(x) = \lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)$
⑤ $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)}$ (단, $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) \ne 0$)
2. 함수의 극한값의 계산
(1) $\dfrac{0}{0}$ 꼴
분자, 분모가 모두 다항식이면 분자, 분모를 각각 인수분해하여 약분하고, 분자, 분모 중 무리식이 있으면 근호를 포함한 쪽을 유리화합니다.
(2) $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴
분모의 최고차항으로 분자, 분모를 각각 나누고 극한에 대한 성질을 이용합니다.
(3) $\infty -\, \infty$ 꼴
다항식은 최고차항으로 묶고, 무리식은 근호를 포함한 쪽을 유리화해서 꼴을 변형시켜서 풉니다.
(4) $\infty \times 0$ 꼴
$\infty \times c$, $\dfrac{c}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$ ($c$는 상수) 꼴로 변형해서 풉니다.
3. 미정계수의 결정
두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여
① $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ ($\alpha$는 실수)이고 $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = 0$이면 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = 0$
② $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ ($\alpha$는 $\alpha \ne 0$인 실수)이고 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = 0$이면 $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = 0$
4. 함수의 극한의 대소 관계
세 함수 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$와 $a$에 가까운 모든 실수 $x$에 대하여
① $f(x) \le g(x)$이고 극한값 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) \le \lim_{x \to a}g(x)$
② $f(x) \le h(x) \le g(x)$이고 극한값 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}g(x) = L$ ($L$은 실수)이면 $\displaystyle \lim_{x \to a}h(x) = L$
함수의 연속
1. 함수의 연속과 불연속
(1) 함수의 연속
함수 $f(x)$가 실수 $a$에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(x)$는 $x = a$에서 연속이라고 합니다.
① 함수 $f(x)$는 $x = a$에 정의되어 있고,
② 극한값 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$가 존재하고,
③ $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$
(2) 함수의 불연속
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이 아닐 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 불연속이라고 합니다.
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이라는 것은 $x = a$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것이고, 불연속이라는 것은 $x = a$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프가 끊어져 있는 것입니다.
2. 연속함수
(1) 구간
두 실수 $a$, $b$ ($a \lt b$)에 대하여 집합
$\{\,x\,|\,a \le x \le b\,\}$, $\{\,x\,|\,a \le x \lt b\,\}$, $\{\,x\,|\,a \lt x \le b\,\}$, $\{\,x\,|\,a \lt x \lt b\,\}$
를 각각 구간이라 하고, 기호로 각각
$[\,a,\, b\,]$, $[\,a,\, b\,)$, $(\,a,\, b\,]$, $(\,a,\, b\,)$
와 같이 나타냅니다.
이때 $[\,a,\, b\,]$를 닫힌구간, $(\,a,\, b\,)$를 열린구간, $[\,a,\, b\,)$와 $(\,a,\, b\,]$를 반닫힌구간 또는 반열린구간이라고 합니다.
집합
$\{\,x\,|\,x \le a\,\}$, $\{\,x\,|\,x \lt a\,\}$, $\{\,x\,|\,x \ge a\,\}$, $\{\,x\,|\,x \gt a\,\}$
도 각각 구간이라 하고, 기호로 각각
$(- \infty,\, a\,]$, $(- \infty,\, a\,)$, $[\,a,\, \infty)$, $(\,a,\, \infty)$
와 같이 나타냅니다.
특히 실수 전체의 집합을 기호로 $(- \infty, \infty)$와 같이 나타내고 집합으로는 $\{\,x\,|\,- \infty \lt x \lt \infty\,\}$입니다.
(2) 연속함수
함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때, $f(x)$는 그 구간에서 연속 또는 그 구간에서 연속함수라고 합니다.
함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(x)$는 닫힌구간 $[\,a,\, b\,]$에서 연속이라고 합니다.
① 열린구간 $(\,a,\, b\,)$에서 연속이고,
② $\displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = f(a)$이고,
③ $\displaystyle \lim_{x \to b-}f(x) = f(b)$
연속함수의 성질
1. 연속함수의 성질
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 $x = a$에서 연속이면 다음 함수도 $x = a$에서 연속입니다.
① $cf(x)$ (단, $c$는 상수)
② $f(x) + g(x)$, $f(x) -\, g(x)$
③ $f(x)g(x)$
④ $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ (단, $g(a) \ne 0$)
⑤ $g(x)$가 $x = f(a)$에서 연속일 때 $(g \circ f)(x)$
2. 최대 최소 정리
최대 최소 정리
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a,\, b\,]$에서 연속이면 $f(x)$는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
3. 사잇값 정리
(1) 사잇값 정리
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a,\, b\,]$에서 연속이고 $f(a) \ne f(b)$이면 $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 값 $k$에 대하여 $$f(x) = k$$인 $c$가 열린구간 $(\,a,\, b\,)$에 적어도 하나 존재한다.
(2) 사잇값 정리의 활용
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a,\, b\,]$에서 연속이고 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 서로 다르면 $f(c) = 0$인 $c$가 열린구간 $(\,a,\, b\,)$에 적어도 하나 존재합니다. 즉, 방정식 $f(x) = 0$은 열린구간 $(\,a,\, b\,)$에서 적어도 하나의 실근을 갖습니다. 사잇값 정리를 이용하여 $f(x)$가 연속함수일 때, 방정식 $f(x) = 0$의 실근의 존재 여부를 판단할 수 있습니다.