다항식
람다 $\lambda$의 차례
다항식의 연산
1. 다항식의 덧셈과 뻴셈
(1) 다항식의 정리 방법
① 내림차순: 다항식을 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것입니다.
② 오름차순: 다항식을 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것입니다.
(2) 다항식의 덧셈과 뺄셈
① 덧셈: 동류항끼리 모아서 정리합니다.
② 뺄셈: 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더합니다.
(3) 다항식의 덧셈에 대한 성질
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 교환법칙: $A + B = B + A$
② 결합법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$
2. 다항식의 곱셈
(1) 다항식의 곱셈
분배법칙을 이용하여 식을 전개한 다음 동류항끼리 모아서 정리합니다.
(2) 다항식의 곱셈에 대한 성질
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 교환법칙: $AB = BA$
② 결합법칙: $(AB)C = A(BC)$
③ 분배법칙: $A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$
(3) 곱셈공식
① $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
② $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$
③ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$
④ $(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$
⑤ $(a + b + c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
⑥ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3$
$(a – b)^3 = a^3 – 3a^{2}b + 3ab^2 – b^3$
⑦ $(a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3$
$(a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3$
⑧ $(x + a)(x + b)(x + c)$ $= x^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x + abc$
⑨ $(a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)$ $= a^4 + a^{2}b^2 + b^4$
⑩ $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)$ $= a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$
3. 다항식의 나눗셈
(1) 다항식의 나눗셈
각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산합니다.
(2) 다항식의 나눗셈에 대한 등식
다항식 $A$를 다항식 $B$ $(B \ne 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라 하면 $$A = BQ + R$$이때 $R$는 상수이거나 ($R$의 차수) $\lt$ ($B$의 차수)입니다. 특히, $R = 0$이면 $A$는 $B$로 나누어 떨어진다고 합니다.
4. 곱셈공식의 변형
① $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$ $= (a – b)^2 + 2ab$
② $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$
$a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)$
③ $a^2 + b^2 + c^2$ $= (a + b + c)^2 -2(ab + bc + ca)$
④ $a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca$ $= \frac{1}{2}\{ (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 \}$
$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca$ $= \frac{1}{2}\{ (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 \}$
⑤ $a^3 + b^3 + c^3$ $= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) + 3abc$
①, ②에서 $a$ 대신 $x$, $b$ 대신 $\frac{1}{x}$를 대입하면 다음과 같다.
① $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 – 2$ $= (x – \frac{1}{x})^2 + 2$
② $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 – 3(x + \frac{1}{x})$
$x^3 – \frac{1}{x^3} = (x – \frac{1}{x})^3 + 3(x – \frac{1}{x})$
나머지 정리
1. 항등식
(1) 항등식: 문자를 포함한 등식에서 그 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다.
(2) 항등식의 성질:
① $ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식이면 $a = b = c = 0$입니다.
② $ax^2 + bx + c = a^{\prime}x + b^{\prime}x + c^{\prime}$이 $x$에 대한 항등식이면 $a = a^{\prime}$, $b = b^{\prime}$ 그리고 $c = c^{\prime}$입니다.
③ $ax + by + c = 0$이 $x$, $y$에 대한 항등식이면 $a = b = c = 0$입니다.
2. 미정계수법
미정계수법: 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 미지의 계수를 정하는 방법입니다.
① 계수비교법: 등식의 양변의 동류항의 계수를 비교하여 계수를 정하는 방법입니다.
② 수치대입법: 등식의 문자에 적당한 수를 대입하여 계수를 정하는 방법입니다.
3. 나머지 정리와 인수 정리
(1) 나머지 정리: 다항식 $P(x)$를 일차식 $x – \alpha$로 나누었을 때의 나머지를 $R$이라 하면 $$R = P(\alpha)$$이다.
(2) 인수 정리: 다항식 $P(x)$에 대하여 $P(\alpha) = 0$이면 $P(x)$는 일차식 $x – \alpha$로 나누어 떨어진다.
① 다항식 $P(x)$를 $ax + b$로 나누었을 때의 나머지는 $P\left( -\frac{b}{a} \right)$입니다.
② $P(x)$가 일차식 $x – \alpha$로 나누어 떨어지면 $P(\alpha) = 0$입니다.
4. 조립제법
조립제법: 다항식을 일차식으로 나눌 때, 계수만을 사용하여 몫과 나머지를 구하는 방법입니다.
이때 특정한 차수의 항이 없을 때는 그 항의 계수를 $0$으로 씁니다.
인수분해
1. 인수분해
(1) 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나나내는 것입니다.
(2) 인수분해 공식
① $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2$
② $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
③ $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$
④ $acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$
⑤ $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ $= (a + b + c)^2$
⑥ $a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$
$a^3 – 3a^{2}b + 3ab^2 – b^3 = (a – b)^3$
⑦ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$
⑧ $a^4 + a^{2}b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2)$
⑨ $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$
$= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)$
$= \frac{1}{2}(a + b + c)\{ (a – b)^ 2 + (b – c)^ 2 +(c – a)^ 2 \}$
2. 복잡한 식의 인수분해
(0) 공통인수가 있는지 항상 찾아 봅니다.
(1) 공통부분이 있는 다항식의 인수분해
공통부분을 하나의 문자로 치환하여 인수분해합니다.
(2) $x^4 + ax^2 + b$ 꼴의 다항식의 인수분해
$x^2 = X$로 치환하거나 가운데 항 $ax^2$을 적당히 분리하여 $(x^2 + c)^2 – (dx)^2$ 꼴로 변형 후 인수분해합니다.
(3) 여러 개의 문자를 포한한 다항식의 인수분해
차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차수으로 정리한 후 인수분해합니다.
(4) 인수정리를 이용한 다항식의 인수분해
$P(x)$가 삼차 이상의 다항식이면
① $P(\alpha) = 0$을 만족시키는 상수 $\alpha$의 값을 찾습니다. 이러한 $\alpha$의 값은 $\pm \dfrac{\text{(상수항의 약수)}}{\text{(최고차항의 계수의 약수)}}$ 중에서 찾을 수 있습니다.
② 조립제법을 이용하여 $P(x)$를 $x – \alpha$로 나누었을 때의 몫 $Q(x)$를 구한 후 $P(x) = (x – \alpha)Q(x)$ 꼴로 나타냅니다.
③ $Q(x)$가 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 인수분해합니다. 이때 $Q(x)$에 ①과 ②의 과정을 적용할 수 있습니다.