미분
람다 $\lambda$의 차례
미분계수
1. 평균변화율
(1) 증분
함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때, 함숫값은 $f(a)$에서 $f(b)$까지 변합니다. 이때 $x$의 값의 변화량 $b -\,a$을 $x$의 증분, $y$의 값의 변화량 $f(b) -\,f(a)$를 $y$의 증분이라 하고, 기호호 각각 $\Delta x$, $\Delta y$와 같이 나타냅니다.
(2) 평균변화율
함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때의 평균변화율은 $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) -\,f(a)}{b -\, a} = \frac{f(a + \Delta x) -\,f(a)}{\Delta x}$$
2. 미분계수와 미분계수의 기하적 의미
(1) 미분계수
함수 $y = f(x)$의 $x = a$에서의 순간변화율 또는 미분계수는$$f^{\prime}(a) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a + \Delta x) -\, f(a)}{\Delta x}$$ $$= \lim_{ x \to a}\frac{f(x) -\,f(a)}{x -\,a}$$ 이고, 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수 $f^{\prime}(a)$가 존재할 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 미분가능하다고 합니다. 또한, 함수 $f(x)$가 정의역에 속하는 모든 $x$에서 미분가능하면 $f(x)$는 미분가능한 함수라고 합니다.
(2) 미분계수의 기하적 의미
함수 $y = f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, $x = a$에서의 미분계수 $f^{\prime}(a)$는 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, \,f(a))$에서의 접선의 기울기와 같습니다.
미분가능성과 연속성
1. 미분가능하면 연속
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하면 $f(x)$는 $x = a$에서 연속입니다.
위의 역은 성립하지 않습니다. 즉 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속이라고 해서 반드시 $x = a$에서 미분가능한 것은 아닙니다. 예를 들어, $f(x) = |\,x\,|$는 $x = 0$에서 연속이지만 $x = 0$에서 미분가능하지 않습니다.
도함수
1. 도함수
함수 $y = f(x)$가 정의역에 속하는 모든 $x$에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 $x$에 미분계수 $f^{\prime}(x)$를 대응시키면 새로운 함수를 얻게 됩니다. 이 함수를 $y = f(x)$의 도함수라 하고, 기호로는 $$f^{\prime}(x),\: y^{\prime},\: \frac{dy}{dx},\: \frac{d}{dx}f(x)$$와 같이 나타냅니다. 즉 $$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) -\,f(x)}{h}$$ $$= \lim_{t \to x}\frac{f(t) -\,f(x)}{t -\,x}$$
함수 $f(x)$에서 도함수 $f^{\prime}(x)$를 구하는 것을 $f(x)$를 $x$에 대하여 미분한다고 하고 그 계산법을 미분법이라고 합니다.
2. 미분법의 공식
(1) 함수 $y = x^{n}$과 상수함수의 도함수
① $y = x^{n}$ ($n$은 양의 정수)이면 $y^{\prime} = nx^{n-1}$
② $y = c$ ($c$는 상수)이면 $y^{\prime} = 0$
(2) 함수의 실수배, 합과 차의 미분법
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능할 때
① $y = cf(x)$ ($c$는 상수)이면 $y^{\prime} = cf^{\prime}(x)$
② $y = f(x) + g(x)$이면 $y^{\prime} = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)$
③ $y = f(x) -\, g(x)$이면 $y^{\prime} = f^{\prime}(x) -\, g^{\prime}(x)$
3. 함수의 곱의 미분법
세 함수 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$가 미분가능할 때
① $y = f(x)g(x)$이면 $y^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$
② $y = f(x)g(x)h(x)$이면
$y^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x)h(x) + f(x)g^{\prime}(x)h(x) + f(x)g(x)h^{\prime}(x)$
③ $y = \{ f(x) \}^{n}$ ($n$은 양의 정수)이면 $y^{\prime} = n\{ f(x) \}^{n-1}f^{\prime}(x)$
접선의 방정식
1. 접선의 방정식
(1) 접선의 기울기
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a,\, f(a))$에서의 접선의 기울기는 $x = a$에서의 미분게수 $f^{\prime}(a)$입니다.
(2) 접선의 방정식
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a,\, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $$y = f^{\prime}(a)(x -\, a) + f(a)$$
(3) 접선과 수직인 직선
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a,\, f(a))$를 지나고 이 점에서 접선에 수직인 직선의 방정식은 $y = – \dfrac{1}{f^{\prime}(a)}(x -\, a) + f(a)$
2. 접선의 방정식을 구하는 방법
(1) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, \,f(a))$에서의 접선의 방정식
① 미분법을 이용해서 접선의 기울기 $f^{\prime}(a)$를 구합니다.
② $f^{\prime}(a)$를 $y = f^{\prime}(a)(x -\, a) + f(a)$에 대입해서 접선의 방정식을 구합니다.
(2) 곡선 $y = f(x)$에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식
① 접점의 좌표를 $(t, \,f(t))$라고 놓습니다.
② 방정식 $f^{\prime}(t) = m$을 풀어 $t$의 값을 구합니다.
③ $t$의 값을 $y = m(x -\, t) + f(t)$에 대입해서 접선의 방정식을 구합니다.
(3) 곡선 $y = f(x)$ 밖의 한 점 $(p, \,q)$에서 곡선에 그은 접선의 방정식
① 접점의 좌표를 $(t, \,f(t))$라고 놓습니다.
② 미분법을 이용해서 접선의 기울기 $f^{\prime}(t)$를 구합니다.
③ 방정식 $\dfrac{f(t) -\,q}{t -\,p} = f^{\prime}(t)$을 풀어 $t$의 값을 구합니다.
④ $t$의 값을 $y = f^{\prime}(t)(x -\, t) + f(t)$에 대입해서 접선의 방정식을 구합니다.
3. 공통인 접선
(1) 접점이 일치하는 경우
두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$가 $x = a$인 점에서 공통인 접선을 가지면 $$f(a) = g(a),\: f^{\prime}(a) = g^{\prime}(a)$$
(2) 접점이 일치하지 않는 경우
$x = a$인 점에서 곡선 $y = f(x)$와 접하고, $x = b$인 점에서 곡선 $y = g(x)$와 접하는 공통인 접선을 가지면 $$f^{\prime}(a) = \frac{g(b) -\, f(a)}{b -\, a} = g^{\prime}(b)$$
평균값 정리
1. 롤의 정리
(1) 롤의 정리
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 연속이고 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서 미분가능할 때 $f(a) = f(b)$이면 $$f^{\prime}(c) = 0$$인 $c$가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재한다.
(2) 롤의 정리의 뜻
① 롤의 정리는 곡선 $y = f(x)$에서 $f(a) = f(b)$이면 $x$축과 평행한 접선을 갖는 점이 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
② 롤의 정리는 곡선 $y = f(x)$에서 $f(a) = f(b)$이면 방정식 $f^{\prime}(x) = 0$의 해가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
③ 롤의 정리는 함수 $f(x)$가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않습니다.
2. 평균값 정리
(1) 평균값 정리
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 연속이고 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서 미분가능할 때, $$\frac{f(b) -\,f(a)}{b -\,a} = f^{\prime}(c)$$인 $c$가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재한다.
(2) 평균값 정리의 뜻
① 평균값 정리는 곡선 $y = f(x)$ 위의 두 점 $(a, \,f(a))$, $(b, \,f(b))$를 잇는 직선과 평행한 접선을 갖는 점이 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
② 평균값 정리는 곡선 $y = f(x)$ 위의 두 점 $(a, \,f(a))$, $(b, \,f(b))$를 잇는 직선의 기울기를 $m$이라 할 때, 방정식 $f^{\prime}(x) = m$의 해가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
③ 롤의 정리와 마찬가지로 평균갑 정리는 함수 $f(x)$가 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않습니다.
3. 평균값 정리의 활용
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 연속이고 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서 미분가능할 때, 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에 속하는 모든 $x$에 대하여
① $f^{\prime}(x) = 0$이면 $f(x)$는 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 상수함수입니다.
② $f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x)$이면 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 $f(x) = g(x) + c$ ($c$는 상수)입니다.
함수의 증가와 감소, 극대와 극소
1. 함수의 증가와 감소
함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $x_{1}$, $x_{2}$에 대하여
① $x_{1} \lt x_{2}$일 때 $f(x_{1}) \lt f(x_{2})$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 증가한다고 합니다.
② $x_{1} \lt x_{2}$일 때 $f(x_{1}) \gt f(x_{2})$이면 함수 $f(x)$는 이 구간에서 감소한다고 합니다.
2. 함수의 증가와 감소의 판정
함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여
① $f^{\prime}(x) \gt 0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 증가합니다.
② $f^{\prime}(x) \lt 0$이면 $f(x)$는 이 구간에서 감소합니다.
위의 역은 성립하지 않습니다. 함수 $f(x) = x^{3}$은 실수 전체의 구간에서 증가하지만 $f^{\prime}(x) = 3x^{2}$에서 $f^{\prime}(0) = 0$이고 $f^{\prime}(x) \ge 0$입니다.
어떤 구간에서 $f^{\prime}(x) \ge 0$이면 이 구간에서 함수 $f(x)$는 감소하지 않는다는 의미인데 다항함수의 경우 감소하지 않으면 증가합니다. 즉 다항함수 $f(x) = x^{3}$는 감소하지 않으므로 증가하는 함수입니다.
3. 함수의 극대와 극소
(1) 극대와 극소
함수 $f(x)$에서 $x = a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여
① $f(x) \le f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 극대라 하고 $f(a)$를 극댓값이라고 합니다.
② $f(x) \ge f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 극소라 하고 $f(a)$를 극솟값이라고 합니다.
이때 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 합니다.
(2) 극대와 극소의 판정
함수 $f(x)$에서 $x = a$에서 연속일 때 $x = a$의 좌우에서 $f(x)$가
① 증가하다가 감소하면 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 극댓값 $f(a)$를 갖습니다.
② 감소하다가 증가하면 함수 $f(x)$는 $x = a$에서 극솟값 $f(a)$를 갖습니다.
4. 극값과 미분계수
함수 $f(x)$가 $x = a$에서 극값을 갖고 $a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 $f^{\prime}(a) = 0$입니다.
역은 성립하지 않습니다. 함수 $f(x) = x^{3}$은 $f^{\prime}(0) = 0$이지만 $f(x)$는 $x = 0$에서 극값을 갖지 않습니다.
5. 함수의 극대와 극소의 판정
미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime}(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서 $f^{\prime}(x)$의 부호가
① 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$입니다.
② 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x = a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$입니다.
일반적으로 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $f^{\prime}(x) = 0$을 풀어서 $x = a$를 찾고 그 좌우에서 $f^{\prime}(x)$의 부호 변화를 살펴보고 나서 극대와 극소를 판정합니다.
함수의 그래프
1. 함수의 그래프
미분가능한 함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같은 순서로 그립니다.
① $f^{\prime}(x)$를 구한 후 $f^{\prime}(x) = 0$인 $x$의 값을 구합니다.
② ①에서 구한 $x$의 값의 좌우에서 $f^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 증감표를 만듭니다.
③ 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 좌표축과의 교점, 함수의 대칭성 등을 이용하여 그래프의 개형을 그립니다.
2. 함수의 최댓값과 최솟값
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[\,a, \,b\,]$에서 연속일 때, 최댓값과 최솟값은 다음과 같이 구합니다.
① 열린구간 $(\,a, \,b\,)$에서의 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구합니다.
② 주어진 구간의 양 끝 값에서의 함숫값 $f(a)$, $f(b)$를 구합니다.
③ ①과 ②에서 구한 극댓값, 극솟값, $f(a)$, $f(b)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값입니다.
3. 함수의 최대 최소의 활용
길이, 넓이, 부피 등의 최댓값 또는 최솟값은 다음과 같이 구합니다.
① 적당한 변수를 미지수 $x$로 놓습니다.
② 구하는 값을 미지수 $x$에 대한 함수로 나타냅니다.
③ 미분하여 극값을 구합니다.
④ $x$의 값의 범위에 주의하여 최댓값 또는 최솟값을 구합니다.
방정식과 부등식에의 활용
1. 방정식에의 활용
(1) 방정식의 실근의 개수
① 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프와 $y = 0$의 그래프, 즉 $x$축과의 교점의 개수입니다.
② 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 그래프의 교점의 개수입니다.
$f(x) = g(x)$에서 $f(x) -\, g(x) = 0$이므로 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f(x) -\, g(x)$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수입니다.
(2) 삼차방정식의 근의 판별
삼차함수 $f(x)$가 극값을 가질 때, 삼차방정식 $f(x) = 0$의 근은 극값을 이용하여 다음과 같이 판별할 수 있습니다.
① (극댓값)$\times$(극솟값)$\lt 0\: \Longleftrightarrow\: $서로 다른 세 실근
② (극댓값)$\times$(극솟값)$\,= 0\: \Longleftrightarrow\: $한 실근과 중근 (서로 다른 두 실근)
③ (극댓값)$\times$(극솟값)$\gt 0\: \Longleftrightarrow\: $한 실근과 두 허근
삼차함수 $f(x)$의 극값이 존재하지 않으면 방정식 $f(x) = 0$은 삼중근을 갖거나 한 실근과 두 허근을 갖습니다.
2. 부등식에의 활용
(1) 함수 $f(x)$에 대하여 어떤 구간에서 부등식 $f(x) \ge 0$이 성립함을 보일 때, 그 구간에서 $(f(x)\textbf{의 최솟값}) \ge 0$임을 보입니다.
(2) 두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 어떤 구간에서 부등식 $f(x) \ge g(x)$가 성립함을 보일 때, $F(x) = f(x) -\, g(x)$라 하고 그 구간에서 $F(x) \ge 0$임을 보입니다.
(3) $x \gt a$에서 부등식 $f(x) \gt 0$이 성립함을 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있습니다.
① $x \gt a$에서 함수 $f(x)$의 극값이 존재할 때, $x \gt a$에서 $(f(x)\textbf{의 최솟값}) \gt 0$임을 보입니다.
② $x \gt a$에서 함수 $f(x)$의 극값이 존재하지 않을 때, $x \gt a$에서 함수 $f(x)$가 증가하고 $f(a) \ge 0$임을 보입니다.
속도와 가속도
1. 속도와 가속도
(1) 속도와 가속도
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x$가 $x = f(t)$일 때, 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v$와 가속도 $a$는
① 속도: $v = \dfrac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)$
② 가속도: $a = \dfrac{dv}{dt}$
(2) 속력과 가속도의 활용
① 속도 $v$의 절댓값 $|\,v\,|$를 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속력이라 하고, $|\,a\,|$를 가속도의 크기라고 합니다.
② 속도 $v = f^{\prime}(t)$의 부호는 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향을 나타냅니다. $v \gt 0$이면 점 $\mathrm{P}$는 양의 방향으로 움직이고, $v \lt 0$이면 점 $\mathrm{P}$는 음의 방향으로 움직입니다. 또 $v = 0$이면 점 $\mathrm{P}$는 운동 방향이 바뀌거나 순간 정지합니다.
2. 시각에 대한 변화율
어떤 물체의 시각 $t$에서의 길이가 $l$, 넓이가 $S$, 부피가 $V$일 때, 시간이 $\Delta t$만큼 경과한 후 길이, 넓이, 부피가 각각 $\Delta l$, $\Delta S$, $\Delta V$만큼 변했다고 하면 시각 $t$에서의 길이, 넓이, 부피의 변화율은 다음과 같습니다.
① 길이의 변화율: $\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{dl}{dt}$
② 넓이의 변화율: $\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{dS}{dt}$
③ 부피의 변화율: $\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{dV}{dt}$