함수와 그래프
람다 $\lambda$의 차례
함수의 뜻과 그래프
1. 함수
(1) 대응
두 집합 $X$, $Y$에 대하여 $X$의 원소에 $Y$의 원소를 짝짓는 것을 $X$에서 $Y$로의 대응이라고 합니다. 이때 $X$의 원소 $x$에 $Y$의 원소 $y$가 짝 지어지면 $x$에 $y$가 대응한다고 하고 기호로 $x \longrightarrow y$와 같이 나타냅니다.
(2) 함수
두 집합 $X$, $Y$에 대하여 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 $X$에서 $Y$로의 함수라 하고 기호로 $f : X \longrightarrow Y$와 같이 나타냅니다. 즉, 함수는 모두 하나씩 대응시키는 관계입니다.
함수 $f : X \longrightarrow Y$에서
① 집합 $X$를 정의역,
② 집합 $Y$를 공역,
③ 함숫값 전체의 집합, 즉 $\{\,f(x)\,|\,x \in X \}$을 치역이라고 합니다.
함수 $y = f(x)$의 정의역이나 공역이 주어지지 않을 때는 정의역은 함수 $f(x)$가 정의되는 가장 큰 $x$의 집합으로 공역은 실수 전체의 집합 또는 함숫값의 집합으로 합니다.
(3) 서로 같은 함수
두 함수 $f$, $g$에 대하여 정의역과 공역이 각각 같고 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) = g(x)$일 때, 두 함수 $f$와 $g$는 서로 같다고 하고 기호로 $f = g$와 같이 나타냅니다.
(4) 함수의 그래프
함수 $f : X \longrightarrow Y$에서 정의역 $X$의 원소 $x$와 이에 대응하는 함숫값 $f(x)$의 순서쌍 $(x,\, f(x))$ 전체의 집합 $\{ (x,\, f(x))\,|\, x \in X \}$를 함수 $f$의 그래프라 합니다.
2. 여러 가지 함수
(1) 일대일함수
함수 $f : X \longrightarrow Y$에서 정의역 $X$의 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여 $$x_{1} \ne x_{2} \text{ 이면 } f(x_{1}) \ne f(x_{2})$$인 함수입니다.
(2) 일대일대응
함수 $f : X \longrightarrow Y$가 일대일함수이고 치역과 공역이 같은 함수입니다.
(3) 항등함수
함수 $f : X \longrightarrow X$에서 정의역 $X$의 각 원소 $x$에 그 자신 $x$가 대응하는 함수입니다. 즉 $f(x) = x$
(4) 상수함수
함수 $f : X \longrightarrow Y$에서 정의역 $X$의 모든 원소 $x$에 공역 $Y$의 오직 하나의 원소 $c$가 대응하는 함수입니다. 즉 $f(x) = c$
합성함수
1. 합성함수
두 함수 $f : X \longrightarrow Y$, $g : Y \longrightarrow Z$이 주어질 때 집합 $X$의 각 원소 $x$에 집합 $Z$의 원소 $g(f(x))$를 대응시키는 함수를 $f$와 $g$의 합성함수라 하고, 기호로 $g \circ f$와 같이 나타냅니다. $$g \circ f : X \longrightarrow Z, \:\,(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
2. 합성함수의 성질
세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여
① $g \circ f \ne f \circ g$
② $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
③ $f : X \longrightarrow X$일 때 $f \circ I = I \circ f = f$
(단, $I$는 $X$에서의 항등함수)
역함수
1. 역함수
함수 $f : X \longrightarrow Y$가 일대일대응일 때 집합 $Y$의 각 원소 $y$에 대하여 $f(x) = y$인 집합 $X$의 원소 $x$를 대응시키는 함수를 $f$의 역함수라 하고, 기호로 $f^{-1}$와 같이 나타냅니다. $$f^{-1} : Y \longrightarrow X, \:\,x = f^{-1}(y)$$ ① 함수 $y =f(x)$의 역함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 함수 $y = f(x)$가 일대일대응인 것입니다.
② 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$에 대하여 $f(a) = b \: \Longleftrightarrow\, a = f^{-1}(b)$
2. 역함수 구하기
함수 $y = f(x)$의 역함수 $x = f^{-1}(x)$에서 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 $y = f^{-1}(x)$와 같이 나타냅니다. 일대일대응인 함수 $y = f(x)$의 역함수 $y = f^{-1}(x)$는
① $y = f(x)$가 일대일대응인지 확인합니다.
② $x$를 $y$에 대한 식으로 나타냅니다. 즉 $x = f^{-1}(x)$
③ $x$와 $y$를 서로 바꿉니다. 즉 $y = f^{-1}(x)$
이때 함수 $f$의 치역[공역]이 함수 $f^{-1}$의 정의역이 되고 $f$의 정의역이 $f^{-1}$의 치역[공역]이 됩니다. ③에 의해 $y = f(x)$의 그래프와 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대칭입니다.
3. 역함수의 성질
함수 $f : X \longrightarrow Y$가 일대일대응일 때 그 역함수 $f^{-1} : Y \longrightarrow X$에 대하여
① $(f^{-1})^{-1} = f$
② $(f^{-1}\circ f)(x) = x$ ($x \in X$), $(f\circ f^{-1})(y) = y$ ($y \in Y$)
③ 함수 $g : Y \longrightarrow Z$가 일대일대응이고 그 역함수가 $g^{-1}$일 때 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$
④ $f^{-1} \circ f = I$ ($I$는 정의역이 $X$인 항등함수)
$f \circ f^{-1} = I$ ($I$는 정의역이 $Y$인 항등함수)
4. 함수와 그 역함수의 그래프
함수 $y = f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭입니다. 함수 $y = f(x)$의 그래프가 점 $(a, \,b)$를 지나면 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 점 $(b, \,a)$를 지납니다.
함수 $y = f(x)$의 역함수 $y = f^{-1}(x)$가 존재할 때 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = x$의 교점이 존재하면 그 교점은 두 함수 $y = f(x)$, $y = f^{-1}(x)$의 그래프의 교점입니다.
유리함수
1. 유리식의 뜻과 성질
(1) 유리식
두 다항식 $A$, $B$ ($B \ne 0$)에 대하여 $\dfrac{A}{B}$ 꼴로 나나낼 수 있는 식을 유리식이라고 합니다.
$B$가 $0$이 아닌 상수이면 $\dfrac{A}{B}$는 다항식이므로 다항식도 유리식입니다.
(2) 유리식의 계산
다항식 $A$, $B$, $C$ ($B \ne 0$, $C \ne 0$)에 대하여
① $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \times C}{B \times C}$
② $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \div C}{B \div C}$
2. 유리식의 계산
(1) 유리식의 사칙연산
① 유리식의 덧셈과 뺄셈: 분모를 통분하여 분자끼리 계산합니다.
② 유리식의 곱셈과 나눗셈: 곱셈은 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱하여 계산하고 나눗셈은 나누는 식의 분자와 분모를 바꾸어 곱하여 계산합니다.
(2) 특수한 형태의 유리식의 계산
① (분자의 차수)$\ge$(분모의 차수)인 경우
분자를 분모로 나누어 (분자의 차수)$\lt$(분모의 차수)가 되도록 변형합니다.
② 분모가 두 개 이상의 인수의 곱인 경우
부분분수 형태로 변형합니다.
$\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B -\, A} \left( \dfrac{1}{A} -\, \dfrac{1}{B} \right)$ (단, $A \ne B$)
(3) 분모 또는 분자가 분수식인 경우
분자에 분모의 역수를 곱하여 계산합니다.
$\dfrac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$
(4) 비례식이 주어진 경우
각 문자를 비례상수에 대한 식으로 나타낸 후 유리식에 대입합니다.
$0$이 아닌 실수 $k$에 대하여
① $a : b = c : d \Longleftrightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow a = bk,\: c = dk$
$a : b = c : d \Longleftrightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \Longleftrightarrow a = ck,\: b = dk$
② $a : b : c = d : e : f \Longleftrightarrow \dfrac{a}{d} = \dfrac{b}{e} = \dfrac{c}{f}$
$\Longleftrightarrow a = dk,\: b = ek\: c = fk$
3. 유리함수
(1) 유리함수와 다항함수
① 유리함수: $y = f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 유리식인 함수를 유리함수라고 합니다.
② 다항함수: $y = f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 다항식인 함수를 다항함수라고 합니다.
(2) 유리함수의 정의역
유리함수에서 정의역이 주어지지 않을 때는 분모가 $0$이 되지 않도록하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 합니다.
4. 유리함수 $y = \dfrac{k}{x}$ ($k \ne 0$)의 그래프
(1) 점근선
곡선 위의 점이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근선이라고 합니다
(2) 유리함수 $y = \dfrac{k}{x}$ ($k \ne 0$)의 그래프
① 정의역: $\{\,x\,|\,x \ne 0\, \textbf{인 실수} \}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ne 0\, \textbf{인 실수} \}$
② $k \gt 0$이면 그래프는 제$1$사분면과 제$3$사분면에 있고, $k \lt 0$이면 그래프는 제$2$사분면과 제$4$사분면에 있습니다.
③ 원점 및 두 직선 $y = x$, $y = -x$에 대하여 대칭입니다.
④ 점근선은 $x$축, 즉 $y = 0$과 $y$축, 즉 $x = 0$입니다.
⑤ $k$의 절댓값이 커질수록 그 그래프는 원점으로 부터 멀어집니다.
⑥ 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 역함수는 자기 자신입니다.
4. 유리함수 $y = \dfrac{k}{x -\, p} + q$ ($k \ne 0$)의 그래프
① 함수 $y = \dfrac{k}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 그래프입니다.
② 정의역: $\{\,x\,|\,x \ne p \,\textbf{인 실수} \}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ne q \,\textbf{인 실수} \}$
③ 점근선은 두 직선 $x = p$, $y = q$입니다.
④ 점 $(p, \,q)$에 대하여 대칭입니다.
⑤ 점 $(p, \,q)$을 지나고 기울기가 $1$, $-1$인 두 직선에 대해 각각 대칭입니다.
무리함수
1. 무리식의 뜻
(1) 무리식
근호 안에 문자가 포함된 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라고 합니다.
(2) 무리식의 값이 실수가 되기 위한 조건
무리식의 값이 실수가 되려면 근호 안의 식의 값이 양수 또는 $$이 어야 하므로 무리식을 곗산할 때는 (근호 안의 식의 값)$\ge 0$, (분모)$\ne 0$이 되는 문자의 값의 범위에서만 생각합니다.
2. 무리식의 계산
무리식의 계산은 무리수의 계산과 같은 방법으로 제곱근의 성질이나 분모의 유리화를 이용합니다.
(1) 제곱근의 성질
두 실수 $a$, $b$에 대하여
① $(\sqrt{a})^{2} = a$ ($a \ge 0$)
② $\sqrt{a^{2}} = |\,a\,| = \begin{cases} \:a & (a \ge 0) \\ -a & (a \lt 0) \end{cases}$
③ $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ($a \gt 0$, $b \gt 0$)
④ $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ($a \gt 0$, $b \gt 0$)
(2) 분모의 유리화
$a \gt 0$, $b \gt 0$일 때
① $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$
② $\dfrac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{c(\sqrt{a} -\, \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} -\, \sqrt{b})} = \dfrac{c(\sqrt{a} -\, \sqrt{b})}{a -\, b}$ (단, $a \ne b$)
3. 무리함수
(1) 무리함수
$y = f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 무리식인 함수를 무리함수라고 합니다.
(2) 무리함수의 정의역
무리함수에서 정의역이 주어지지 않을 때는 근호 안의 식의 값이 $0$ 이상이 되도록하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 합니다.
4. 무리함수 $y = \pm \sqrt{ax}$ ($a \ne 0$)의 그래프
(1) 무리함수 $y = \sqrt{ax}$ ($a \ne 0$)의 그래프
① $a \gt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \ge 0\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ge 0\,\}$
$a \lt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \le 0\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ge 0\,\}$
② 함수 $y = \dfrac{x^{2}}{a}$ ($x \ge 0$)의 그래프와 직선 $y = x$에 대하여 대칭입니다. 즉 역함수 관계입니다.
(2) 무리함수 $y = – \sqrt{ax}$ ($a \ne 0$)의 그래프
① $a \gt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \ge 0\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \le 0\,\}$
$a \lt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \le 0\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \le 0\,\}$
② 함수 $y = \dfrac{x^{2}}{a}$ ($x \le 0$)의 그래프와 직선 $y = x$에 대하여 대칭입니다. 즉 역함수 관계입니다.
③ 함수 $y = \sqrt{ax}$의 그래프와 $x$축에 대하여 대칭입니다.
(3) 무리함수의 대칭
함수 $y = – \sqrt{ax}$, $y = \sqrt{-ax}$, $y = – \sqrt{-ax}$의 그래프는 함수 $y = \sqrt{ax}$의 그래프와 각각 $x$축, $y$축, 원점에 대하여 대칭입니다.
5. 무리함수 $y = \sqrt{a(x -\, p)} + q$ ($a \ne 0$)의 그래프
(1) $y = \sqrt{ax}$의 평행이동
① 함수 $y = \sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 그래프입니다.
② 함수 $y = \sqrt{ax + b} + c$ ($a \ne 0$)의 그래프는 $y = \sqrt{a(x -\, p)} + q$ 꼴로 변형하여 그립니다.
(2) 무리함수 $y = \sqrt{a(x -\, p)} + q$ ($a \ne 0$)의 정의역과 치역
① $a \gt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \ge p\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ge q\,\}$
② $a \lt 0$일 때, 정의역: $\{\,x\,|\,x \le p\,\}$
치역: $\{\,y\,|\,y \ge q\,\}$