집합과 명제
람다 $\lambda$의 차례
집합의 뜻과 포함 관계
1. 집합과 원소
(1) 집합
어떤 조건에 의하여 그 대상을 분명히 정할 수 있을 때 그 대상들의 모임을 집합이라 합니다.
(2) 원소
집합을 이루는 대상 하나하나를 원소라고 합니다.
① $a$가 집합 $A$의 원소일 때, $a$는 집합 $A$에 속한다고 하고 기호로 $a \in A$와 같이 나타냅니다.
② $a$가 집합 $A$의 원소가 아닐 때, $a$는 집합 $A$에 속하지 않는다고 하고 기호로 $a \notin A$와 같이 나타냅니다.
일반적으로 집합은 알파벳 문자 중 대문자 $A$, $B$, $C$, $\cdots$로 나타내고 원소는 소문자 $a$, $b$, $c$, $\cdots$로 나타냅니다.
2. 집합의 표현
(1) 원소나열법
집합에 속하는 모든 원소를 $\{ \:\:\: \}$ 안에 나열하여 집합을 나타내는 방법입니다.
① 냐열하는 순서는 생각하지 않으며 같은 원소는 중복하여 나열하지 않습니다.
② 원소가 많고 원소 사이에 일정한 규칙이 있다면 ‘$\cdots$’을 사용하여 나열할 원소 중 일부를 생략할 수 있습니다.
(2) 조건제시법
집합에 속하는 모든 원소들이 갖는 공통된 성질을 조건으로 제시하여 집합을 나타내는 방법입니다. 일반적으로 $\{\,x\,|\,x \text{의 조건}\,\}$과 같이 나타냅니다.
(3) 벤 다이어그램
집합을 나타낸 그림입니다. 일반적으로 원형 형태로 하나의 집합을 나타냅니다.
3. 집합의 원소의 개수
(1) 원소의 개수에 따른 집합의 분류
① 유한집합: 원소의 유한개인 집합입니다.
② 무한집합: 원소가 무수히 많은 집합입니다.
③ 공집합: 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하고 기호로 $\varnothing$와 같이 나타냅니다.
(2) 유한집합의 원소의 개수
집합 $A$가 유한집합일 때 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $n(\varnothing) = 0$입니다.
4. 부분집합
(1) 부분집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$의 모든 원소가 $B$에 속할 때, $A$를 $B$의 부분집합이라 합니다.
① $A$가 $B$의 부분집합일 때 기호로 $A \subset B$와 같이 나타냅니다.
② $A$가 $B$의 부분집합이 아닐 때 기호로 $A \not\subset B$와 같이 나타냅니다.
(2) 부분집합의 성질
세 집합 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다. 즉 $A \subset A$
② 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 즉 $\varnothing \subset A$
③ $A \subset B$이고 $B \subset C$이면 $A \subset C$입니다.
5. 서로 같은 집합
(1) 서로 같은 집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$이고 $B \subset A$일 때, $A$와 $B$는 서로 같다고 합니다.
① $A$와 $B$가 서로 같은 집합일 때, 기호로 $A = B$와 같이 나타냅니다.
② $A$와 $B$가 서로 같은 집합이 아닐 때, 기호로 $A \ne B$와 같이 나타냅니다.
(2) 진부분집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$이고 $A \ne B$일 때, $A$를 $B$의 진부분집합이라고 합니다.
6. 부분집합의 개수
집합 $A = \{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \}$에 대하여
① 집합 $A$의 부분집합의 개수: $2^{n}$
② 집합 $A$의 진부분집합의 개수: $2^{n} – 1$
③ 집합 $A$의 특정한 원소 $k$ ($k \lt n$)개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수: $2^{n-k}$
④ 집합 $A$의 특정한 원소 $k$ ($k \lt n$)개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수: $2^{n-k}$
⑤ 원소가 $r$개인 부분집합의 개수: ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ ($0 \le r \le n$)
집합의 연산
1. 합집합과 교집합
(1) 합집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$에 속하거나 $B$에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 $A$와 $B$의 합집합이라 하고 기호로 $A \cup B$와 같이 나타냅니다. $$A \cup B = \{\,x\,|\,x \in A \textbf{ 또는 } x \in B \, \}$$
(2) 교집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$에도 속하고 $B$에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 $A$와 $B$의 교집합이라 하고 기호로 $A \cap B$와 같이 나타냅니다. $$A \cap B = \{\,x\,|\,x \in A \textbf{ 그리고 } x \in B \, \}$$
(3) 서로소
두 집합 $A$, $B$에서 공통된 원소가 하나도 없을 때, 즉 $A \cap B = \varnothing$일 때, $A$와 $B$는 서로소라고 합니다.
2. 집합의 연산 법칙
세 집합 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 교환법칙: $A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$
② 결합법칙: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
③ 분배법칙: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
3. 여집합과 차집합
(1) 전체집합
어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때 처음의 집합을 전체집합이라 하고 기호로 $U$와 같이 나타냅니다.
(2) 여집합
전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여 $U$의 원소 중에서 $A$에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 $U$에 대한 $A$의 여집합이라 하고, 기호로 $A^{c}$와 같이 나타냅니다. $$A^{c} = \{\,x\,|\,x \in U \textbf{ 그리고 } x \notin A \, \}$$
(3) 차집합
두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$에는 속하지만 $B$에는 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 $A$에 대한 $B$의 차집합이라 하고, 기호로 $A – B$와 같이 나태냅니다. $$A \, – \, B = \{\,x\,|\,x \in A \textbf{ 그리고 } x \notin B \, \}$$
4. 집합의 연산의 성질
전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여
① $A \cup A = A$, $A \cap A = A$
② $A \cup \varnothing = A$, $A \cap \varnothing = \varnothing$
③ $A \cup U = U$, $A \cap U = A$
④ $U^{c} = \varnothing$, $\varnothing^{c} = U$
⑤ $(A^{c})^{c} = A$
⑥ $A \cup A^{c} = U$, $A \cap A^{c} = \varnothing$
⑦ $A\, -\,B = A\,-\,(A \cap B) =A \cap B^{c}$
⑧ $A\,-\,B = A\,-\,(A \cap B) = (A \cup B)\,-\,B$
5. 드모르간의 법칙
전체집합 $U$의 두 부분집합 $A$, $b$에 대하여 $$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c},\: (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$$가 성립하고 이것을 드모르간의 법칙이라고 합니다.
6. 유한집합의 원소의 개수
전체집합 $U$의 세 부분집합 $A$, $B$, $C$에 대하여
① $n(A \cup B) = n(A) + n(B) -\, n(A \cap B)$
② $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C)$
$-\, n(A \cap B) -\, n(B \cap C) -\, n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$
③ $n(A^{c}) = n(U) -\, n(A)$
④ $n(A -\, B) = n(A) -\, n(A \cap B) = n(A \cup B) -\, n(B)$
명제와 조건
1. 명제
(1) 명제
참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 합니다.
(2) 정의
용어의 뜻을 명확하게 정한 문장이나 식을 정의라고 합니다.
(3) 정리
참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것이나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것을 정리라고 합니다.
2. 조건과 진리집합
(1) 조건
문자를 포함하는 문장이나 식이 그 문자의 값에 따라 참, 거짓이 정해질 때, 이 문장이나 식을 조건이라 합니다.
문자 $x$를 포함하는 조건은 $p(x)$, $q(x)$, $\cdots$로 나타내고 $x$를 생략하여 $p$, $q$, $\cdots$로 나타내기도 합니다.
(2) 진리집합
전체집합 $U$의 원소 중에서 어떤 조건이 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 그 조건의 진리집합이라고 합니다.
(3) 부정
조건 또는 명제 $p$에 대하여 ‘$p$가 아니다’를 $p$의 부정이라 하고 기호로 $\sim p$와 같이 나타냅니다.
① 명제 $p$가 참이면 $\sim p$는 거짓이고, 명제 $p$가 거짓이면 $\sim p$는 참입니다.
② 전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라 할 때, 전체집합 $U$의 원소 중에서 $\sim p$가 참이 되게 하는 원소는 $P$의 원소가 아니므로 $\sim p$의 진리집합은 $P^{c}$입니다.
(4) 조건 ‘$p$ 또는 $q\,$’와 ‘$p$ 그리고 $q\,$’
전체집합 $U$에 대하여 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 할 때
① 조건 ‘$p$ 또는 $q\,$’의 진리집합은 $P \cup Q$이고 부정은 ‘$\sim p$ 그리고 $\sim q\,$’ 이고 그 진리집합은 $(P \cup Q)^{c} = P^{c} \cap Q^{c}$입니다.
② 조건 ‘$p$ 그리고 $q\,$’의 진리집합은 $P \cap Q$이고 부정은 ‘$\sim p$ 또는 $\sim q\,$’ 이고 그 진리집합은 $(P \cap Q)^{c} = P^{c} \cup Q^{c}$입니다.
3. 명제 $p \rightarrow q$의 참과 거짓
(1) 가정과 결론
일반적으로 두 조건 $p$, $q$로 이루어진 명제 ‘$p$이면 $q$이다’를 기호 $p \rightarrow q$와 같이 나타내고 $p$를 이 명제의 가정, $q$를 이 명제의 결론이라고 합니다.
(2) 명제 $p \rightarrow q$의 참, 거짓
두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 할 때
① $P \subset Q$이면 명제 $p \rightarrow q$는 참입니다.
② $P \not\subset Q$이면 명제 $p \rightarrow q$는 거짓입니다.
(3) 반례
명제 $p \rightarrow q$가 거짓임을 보이려면 가정 $p$는 만족시키지만 결론 $q$는 만족시키지 않는 예가 하나라고 있음을 보이면 됩니다. 이와 같은 예를 반례라고 합니다.
4. ‘모든’이나 ‘어떤’이 포함된 명제
(1) ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참과 거짓
전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라 할 때
① ‘모든 $x$에 대하여 $p$이다.’는 $P = U$이면 참이고 $P \ne U$이면 거짓입니다.
② ‘어떤 $x$에 대하여 $p$이다.’는 $P \ne \varnothing$이면 참이고 $P = \varnothing$이면 거짓입니다.
(2) ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 부정
① ‘모든 $x$에 대하여 $p$이다.’의 부정은 ‘어떤 $x$에 대하여 $\sim p$이다.’입니다.
② ‘어떤 $x$에 대하여 $p$이다.’의 부정은 ‘모든 $x$에 대하여 $\sim p$이다.’입니다.
명제 사이의 관계
1. 명제의 역과 대우
(1) 명제의 역과 대우
명제 $p \rightarrow q$에서
① 가정과 결론은 서로 바꾸어 놓은 명제 $q \rightarrow p$를 명제 $p \rightarrow q$의 역이라고 합니다.
② 가정과 결론을 부정하여 서로 바꾸어 놓은 명제 $\sim q \rightarrow\, \sim p$를 명제 $p \rightarrow q$의 대우라고 합니다.
(2) 명제와 그 대우의 참과 거짓
① 명제 $p \rightarrow q$가 참이면 그 대우 $\sim q \rightarrow\, \sim p$도 참입니다.
② 명제 $p \rightarrow q$가 거짓이면 그 대우 $\sim q \rightarrow\, \sim p$도 거짓입니다.
2. 충분조건과 필요조건
(1) 명제 $p \rightarrow q$가 참일 때, 기호로 $p \Rightarrow q$와 같이 나타내고 $$p \text{ 는 }q \text{이기 위한 }\textbf{충분조건},\: q \text{ 는 }p \text{이기 위한 }\textbf{필요조건}$$이라고 합니다.
(2) 명제 $p \rightarrow q$에 대하여 $p \Rightarrow q$이고 $q \Rightarrow p$일 때, 기호로 $p \Leftrightarrow q$와 같이 나타내고 $$p \text{ 는 }q \text{이기 위한 }\textbf{필요충분조건}$$이라고 합니다.
여러 가지 증명과 절대부등식
1. 여러 가지 증명법
(1) 대우를 이용한 명제의 증명
명제 $p \rightarrow q$가 참이면 그 대우 $\sim q \rightarrow \sim p$도 참이므로 어떤 명제가 참임을 증명할 때는 그 대우가 참임을 증명해도 됩니다.
(2) 귀류법
명제 또는 명제의 결론을 부정한 다음 모순이 생기는 것을 보여 그 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라 합니다.
2. 절대부등식
(1) 절대부등식
주어진 집합의 모든 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 합니다.
(2) 부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질
$a$, $b$가 실수일 때
① $a \gt b \Longleftrightarrow a\, – \,b \gt 0$
② $a^{2} \ge 0$, $a^{2} + b^{2} \ge 0$
③ $a^{2} + b^{2} = 0 \Longleftrightarrow a = b = 0$
④ $|\,a\,|^{2} = a^2$, $|\,ab\,| = |\,a\,||\,b\,|$
⑤ $a \gt 0$, $b \gt 0$일 때
$a \gt b \Longleftrightarrow a^{2} \gt b^{2} \Longleftrightarrow \sqrt{a} \gt \sqrt{b}$
3. 여러 가지 절대부등식
(1) $a$, $b$가 실수일 때
$a^{2} \pm ab + b^{2} \ge 0$ (단, 등호는 $a = b = 0$일 때 성립)
(2) $a$, $b$, $c$가 실수일 때
$a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ca \ge 0$ (단, 등호는 $a = b = c$일 때 성립)
(3) $a$, $b$가 실수일 때
$|\,a\,| + |\,b\,| \ge |\,a + b\,|$ (단, 등호는 $ab \ge 0$일 때 성립)
(4) 산술평균과 기하평균의 관계
$a \gt 0$, $b \gt 0$일 때, $$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$$ (단, 등호는 $a = b$일 때 성립)
(5) 코시-슈바르츠 부등식
$a$, $b$, $x$, $y$가 실수일 때 $$(a^{2} + b^{2})(x^{2} + y^{2}) \ge (ax + by)^{2}$$ (단, 등호는 $a : b = x : y\,$일 때 성립)