행렬
람다 $\lambda$의 차례
행렬의 뜻
1. 행렬의 뜻
(1) 행렬: 여러 개의 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶어 놓은 것입니다.
(2) 성분: 행렬을 구성하고 있는 각각의 수 또는 문자
(3) 행: 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄
(4) 열: 행렬에서 성분을 세로로 배열한 줄
두 행렬의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때 두 행렬은 같은 꼴이라고 합니다.
(5) $\bf{m \times n}$ 행렬: $m$개의 행과 $n$개의 열로 이루어진 행렬
(6) 정사각행렬: 행의 개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬
$n \times n$ 행렬을 $n$차 정사각행렬이라고 한다.
(7) $(i, j)\,$성분: 행렬에서 제$i$행과 제$j$열이 만나는 위치에 있는 성분
$(i, j)\,$성분은 기호로 $a_{ij}$와 같이 나타냅니다.
2. 서로 같은 행렬
같은 꼴인 두 행렬 $A$, $B$의 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬 $A$, $B$는 서로 같다고 하고 기호로 $A = B$와 같이 나타냅니다.
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$일 때, $A = B$이면 $\begin{cases} \:a_{11} = b_{11}, & a_{12} = b_{12} \\ \:a_{21} = b_{21}, & a_{22} = b_{22} \end{cases}$
행렬과 그 연산
1. 행렬의 덧셈과 뺄셈
(1) 행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$에 대하여
$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + a_{22} \end{pmatrix}$
$A -\, B = \begin{pmatrix} a_{11} -\, b_{11} & a_{12} -\, b_{12} \\ a_{21} -\, b_{21} & a_{22} -\, a_{22} \end{pmatrix}$
(2) 영핼렬
모든 성분이 $0$인 행렬을 영행렬이라 하고 기호로 $O$와 같이 나타냅니다.
$A$와 $O$가 같은 꼴일 때 $A + O = O + A = A$
(3) 행렬의 덧셈에 대한 성질
같은 꼴의 세 행렬 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 교환법칙: $A + B = B + A$
② 결합법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$
2. 행렬의 실수배
(1) 행렬의 실수배
임의의 실수 $k$에 대하여 행렬 $A$의 각 성분을 $k$배 한 것을 성분으로 하는 행렬의 행렬 $A$의 $k$배라 하고 기호로 $kA$로 나타냅니다.
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$와 실수 $k$에 대하여 $kA = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}$
(2) 행렬의 실수배에 대한 성질
같은 꼴의 두 행렬 $A$, $B$와 두 실수 $k$, $l$에 대하여
① $(kl)A = k(lA)$
② $(k + l)A = kA + lA$, $k(A + B) = kA + kB$
3. 행렬의 곱셈
(1) 행렬의 곱셈
두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$에 대하여
$$AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$
두 행렬 $A$, $B$의 곱 $AB$는 행렬 $A$의 열의 개수와 행렬 $B$의 행의 개수가 같을 때만 가능합니다. $A$가 $m \times k$ 행렬, $B$가 $k \times n$ 행렬일 때 두 행렬을 곱할 수 있고 이때 $AB = C$라 하면 행렬 $C$는 $m \times n$ 행렬입니다.
(2) 행렬의 거듭제곱
행렬 $A$가 정사각행렬이고, $m$, $n$이 자연수일 때
① $A^{2} = AA$, $A^{3}=A^{2}A$, $\cdots$, $A^{n+1} = A^{n}A$
② $A^{m}A^{n} = A^{m+n}$, $(A^{m})^{n} = A^{mn}$
4. 행렬의 곱셈에 대한 성질
(1) 행렬의 곱셈에 대한 성질
합과 곱을 할 수 있는 세 행렬 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. $AB \ne BA$
② 결합법칙: $(AB)C = A(BC)$
③ 분배법칙: $A(B + C) = AB + AC$, $(A + B)C = AC + BC$
④ $(kA)B = k(AB) = A(kB)$ (단, $k$는 실수)
(2) 단위행렬
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 $1$이고 그 외의 성분은 모두 $0$인 정사각행렬을 단위행렬이라 하고, 일반적으로 기호로 $E$로 나타낸다.
5. 케일리-해밀턴 정리
세 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$에 대하여 $$A^{2} -\, (a + d)A + (ad – bc)E = O$$