$74$

방정식 $f(x) = 0$의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 하면
$|f(x)| = \begin{cases} f(x) & (x \lt \alpha \text{ 또는 } x \gt \beta) \\ -f(x) & (\alpha \le x \le \beta) \end{cases}$
이고 함수 $y = |f(x)|$의 그래프와 직선 $y = 10$이 만나는서로 다른 세 점 중 $x$좌표가 $1$이 아닌 두 점의 $x$좌표를 각각 $p$, $q$ ($p \lt q$)라 하면 함수 $y = |f(x)|$의 그래프는 그림과 같다.
$1$은 방정식 $f(k-1) = f(k+1)$의 한 실근이고 $q-p \lt 2$이면 ${k+1}-(k-1) \gt q-p$이므로 함수 $y = |f(x)|$의 그래프는 그림과 같다.
$k \lt 1$이면 $g(k) = f(k-1) \gt 10$,
$k \ge 1$이면 $g(k) = f(k+1) \gt 10$이므로
$g(k) = 10$을 만족시키는 실수 $k$는 존재하지 않는다.
따라서 $q-p \ge 2$
$k+1 = q$이면 $k-1 = q-2 \ge p$이고 $g(k) = |f(k+1)| = f(k+1) = f(q) = 10$이다.
$k+1 \gt q$이면 $g(k) = |f(k+1)| = f(k+1) \gt 10$이므로 $g(k) = 10$을 만족시키는 실수 $k$의 최댓값은 $q-1$이다.
조건에서 $q-1 = \sqrt{10}$, $q = \sqrt{10}+1$이므로 $f(q) = f(\sqrt{10}+1) = 10$이고
$f(\sqrt{10}+1) = a(\sqrt{10}+1-1)^{2}-10 = 10a-10 = 10$에서
$a = 2$
그러므로 $f(x) = 2(x-1)^{2}-10 = 2x^{2}-4x-8$이다.
방정식 $f(x) = 0$의 실근은 $\alpha = 1-\sqrt{5}$, $\beta = 1+\sqrt{5}$이다.
함수 $|f(x)|$에서 두 실수 $x_1$, $x_2$ ($x_{1} \lt x_{2}$)에 대하여
$x_{1} \lt x_{2} \lt 1-\sqrt{5}$이면 $|f(x_{1})| \gt |f(x_{2})|$ $\cdots$ ㉠
$1-\sqrt{5} \le x_{1} \lt x_{2} \lt 1$이면 $|f(x_{1})| \lt |f(x_{2})|$ $\cdots$ ㉡
$1 \le x_{1} \lt x_{2} \lt 1+\sqrt{5}$이면 $|f(x_{1})| \gt |f(x_{2})|$ $\cdots$ ㉢
$1+\sqrt{5} \le x_{1} \lt x_{2}$이면 $|f(x_{1})| \lt |f(x_{2})|$ $\cdots$ ㉣
이다. $k-1 \le x \le k+1$에서
함수 $|f(x)|$의 최댓값 $g(k)$는 다음과 같다.

(ⅰ) $k+1 \lt 1-\sqrt{5}$일 때
$k \lt -\sqrt{5}$이고 ㉠에서 $g(k) = |f(k-1)|$

(ⅱ) $k-1 \lt 1-\sqrt{5} \le k+1$일 때
$-\sqrt{5} \le k \lt 2-\sqrt{5}$이고 ㉠, ㉡에서 $g(k)$의 값은 $|f(k-1)|$과 $|f(k+1)|$ 중 큰 값이다.
$|f(k-1)| = f(k-1) = 2k^{2}-8k-2$, $|f(k+1)| = -f(k+1) = -2k^{2}+10$이므로
$|f(k-1)| \gt |f(k+1)|$에서
$2k^{2}-8k-2 \gt -2k^{2}+10$
$4(k-3)(k+1) \gt 0$
$k \lt -1$ 또는 $k \gt 3$
$|f(k-1)| = |f(k+1)|$에서 $k = -1$ 또는 $k = 3$
$|f(k-1)| \lt |f(k+1)|$에서 $-1 \lt k \lt 3$이다.
그러므로
$-\sqrt{5} \le k \lt -1$일 때 $g(k) = |f(k-1)|$
$-1 \le k \lt 2-\sqrt{5}$일 때 $g(k) = |f(k+1)|$이다.

(ⅲ) $1-\sqrt{5} \le k-1 \lt k+1 \lt 1$일 때
$2-\sqrt{5} \le k \lt 0$이고 ㉡에서 $g(k) = |f(k+1)|$

(ⅳ) $k-1 \lt 1 \le k+1$일 때
$0 \le k \lt 2$이고 $g(k) = 10$

(ⅴ) $1 \le k-1 \lt k+1 \lt 1+\sqrt{5}$일 때
$2 \le k \lt \sqrt{5}$이고 ㉢에서 $g(k) = |f(k-1)|$

(ⅵ) $k-1 \lt 1+\sqrt{5} \le k+1$일 때
$\sqrt{5} \le k \lt 2+\sqrt{5}$이고 ㉢, ㉣에서 $g(k)$의 값은 $|f(k-1)|$과 $|f(k+1)|$ 중 큰 값이다.
$|f(k-1)| = -f(k-1) = -2k^{2}+8k+2$, $|f(k+1)| = f(k+1) = 2k^{2}-10$이므로
$|f(k-1)| \gt |f(k+1)|$에서
$-2k^{2}+8k+2 \gt 2k^{2}-10$
$4(k-3)(k+1) \lt 0$
$-1 \lt k \lt 3$
$|f(k-1)| = |f(k+1)|$에서 $k = -1$ 또는 $k = 3$
$|f(k-1)| \lt |f(k+1)|$에서 $k \lt -1$ 또는 $k \gt 3$이다.
그러므로
$\sqrt{5} \le k \lt 3$일 때 $g(k) = |f(k-1)|$
$3 \le k \lt 2+\sqrt{5}$일 때 $g(k) = |f(k+1)|$이다.

(ⅶ) $1+\sqrt{5} \le k-1$일 때
$2+\sqrt{5} \le k$이고 ㉣에서 $g(k) = |f(k+1)|$

(ⅰ) ~ (ⅶ)에서
$g(k) = \begin{cases} |f(k-1)| = 2(k-2)^{2}-10 & (k \lt -1) \\ |f(k+1)| = -2k^{2}+10 & (-1 \le k \lt 0) \\ 10 & (0 \le k \lt 2) \\ |f(k-1)| = -2(k-2)^{2}+10 & (2 \le k \lt 3) \\ |f(k+1)| = 2k^{2}-10 & (k \ge 3) \\ \end{cases}$
이고
함수 $g(k)$는 $k = -1$과 $k = 3$에서 최솟값 $8$을가지므로
$b^{2}+c^{2}+m^{2} = (-1)^{2}+3^{2}+8^{2} = 74$