⑤

두 함수 $y = f(x)$, $y = g(x)$의 그래프는 그림과 같다.
함수 $y = h(x)$의 그래프는
$x \lt a$일 때 함수 $y = f(x)$의 그래프와 같고
$x \ge a$일 때 함수 $y = g(x)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-b$만큼 평행이동한 것과 같다.

ㄱ.
$a = 0$일 때
$x \lt 0$에서 $h(x) = f(x)$이고 $x \lt 0$에서 함수 $y = h(x)$의 그래프는 그림과 같다.
$-1 \lt x_{1} \lt 0$인 실수 $x_{1}$에 대하여 $h(x_1) = h(x_2)$이고 $-2 \lt x_{2} \lt -1$인 실수 $x_{2}$가 존재하므로 함수 $h(x)$는 일대일대응이 아니다.
따라서 $(0, k) \in A$를 만족시키는 실수 $k$는 존재하지 않는다. (참)

ㄴ.
$a = -1$, $b = 4$일 때
함수 $h(x)$는
$h(x) = \begin{cases} -(x+1)^{2}+2 & (x \lt -1) \\ (x+3)^{2}-2 & (x \ge -1) \end{cases}$
이므로 함수 $y = h(x)$의 그래프는 그림과 같다.
$x_{1} \ne x_{2}$인 임의의 실수 $x_{1}$, $x_{2}$에 대하여 $h(x_1) \ne h(x_2)$이므로 함수 $h(x)$는 일대일함수 이고, 함수 $h(x)$의 치역은 실수 전체의 집합으로 공역과 같다.
따라서 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로
$(-1, 4) \in A$ (참)

ㄷ.
함수 $h(x)$가 일대일함수이려면
$x \lt a$에서 $h(x) = f(x)$이므로 $a \le -2$ $\cdots$ ㉠
$x \ge a$에서 $h(x) = g(x+b)$이므로 $a+b \ge 1$ $\cdots$ ㉡
이어야 하고
㉠, ㉡을 만족시키는 함수 $h(x)$에 대하여
$\{ h(x) | x \lt a \} = \{ f(x) | x \lt a \} = \{ y | y \lt f(a) \}$
$\{ h(x) | x \ge a \} = \{ g(x+b) | x \ge a \} = \{ y | y \ge g(a+b) \}$
이므로 $f(a) \le g(a+b)$이어야 한다.
일대일함수 $h(x)$가 일대일대응이 되기 위해서는 치역과 공역이 같아야 하므로
$f(a) = g(a+b)$ $\cdots$ ㉢
$g(x) = (x-1)^{2}-2 \ge -2$이므로
$f(a) \ge -2$, $(a+3)(a-1) \le 0$
$-3 \le a \le 1$ $\cdots$ ㉣
㉠, ㉣에 의하여 함수 $h(x)$가 일대일대응이 되도록 하는 실수 $a$의 범위는 $-3 \le a \le -1$이고 $(m, b) \in A$를 만족시키는 실수 $b$가 존재하도록 하는 정수 $m$의 값은 $-3$, $-2$, $-1$이다.
(ⅰ) $m = -3$일 때
㉡에 의하여 $-3+b \ge 1$, $b \ge 4$
㉢에 의하여 $f(-3) = g(-3+b)$
$-2 = (-3+b)^{2}-2(-3+b)-1$
$b^{2}-8b+16 = 0$
$b=4$이므로 $m+b = 1$
(ⅱ) $m = -2$일 때
㉡에 의하여 $-2+b \ge 1$, $b \ge 3$
㉢에 의하여 $f(-2) = g(-2+b)$
$1 = (-2+b)^{2}-2(-2+b)-1$
$b^{2}-6b+6 = 0$
$b=3+\sqrt{3}$이므로 $m+b=1+\sqrt{3}$
(ⅲ) $m = -1$일 때
㉡에 의하여 $-1+b \ge 1$, $b \ge 2$
㉢에 의하여 $f(-1) = g(-1+b)$
$2 = (-1+b)^{2}-2(-1+b)-1$
$b^{2}-4b = 0$
$b=4$이므로 $m+b = 3$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
$\{ m+b | (m, b) \in A \text{이고 } m \text{은 정수} \} = \{ 1, 1+\sqrt{3}, 3 \}$
이므로 모든 원소의 합은
$1+(1+\sqrt{3})+3 = 5+\sqrt{3}$ (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ