23년 11월 대수능

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수학 영역

1_out_of_5

1. $\sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}}$의 값은? [2점]

① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$

$\sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}}$
$=\left( 2^{3} \times 3 \right)^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}$
$=\left( 2^{3} \right)^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}$
$=2^{3 \times \frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$
$=2^{1} \times 3^{1}$
$= 6$

2. 함수 $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3$에 대하여 $\displaystyle \lim_{h \to \infty}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$의 값은? [2점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3$에서 $f'(x)=6x^{2}-10x$이므로
$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ $=f'(2)$ $= 24-20 = 4$

3. $\dfrac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin(-\theta)= \dfrac{1}{3}$일 때, $\tan \theta$의 값은? [3점]

① $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
② $-\frac{\sqrt{2}}{4}$
③ $-\frac{1}{4}$
④ $\frac{1}{4}$
⑤ $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin(-\theta) = -\sin \theta = \frac{1}{3}$에서 $\sin \theta = -\frac{1}{3}$
$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$이므로
$\cos \theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta}$ $= \sqrt{1-\frac{1}{9}}$ $= \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

4. 함수 $$f(x)= \begin{cases} 3x-a & (x<2) \\ x^{2}+a & (x \geq 2) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $f(x)$는 $x=2$에서도 연속이어야 한다.
즉, $\displaystyle\lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2+}f(x) = f(2)$

이때,
$\displaystyle \lim_{x \to 2-}f(x) = \lim_{x \to 2-}(3x-a)$ $= 6-a$
$\displaystyle \lim_{x \to 2+}f(x) = \lim_{x \to 2+}(x^{2}+a)$ $= 4+a$
$f(2) = 4+a$
그러므로 $6-a = 4+a = 4+a$

따라서 $2a=2$, $a=1$

5. 다항함수 $f(x)$가 $$f'(x)=3x(x-2),\: f(1)=6$$ 을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$

$f'(x)=3x^{2}-6x$이므로
$f(x)=\int(3x^{2}-6x)dx$
$=x^{3}-3x^2+C$ ($C$는 적분상수)
$f(1)=1-3+C=6$ 에서 $C=8$
따라서
$f(2)=8-12+8=4$

6. 등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $$S_4-S_2=3a_4,\: a_5=\frac{3}{4}$$ 일 때, $a_1 + a_2$의 값은? [3점]

① $27$
② $24$
③ $21$
④ $18$
⑤ $15$

$S_4-S_2 =a_3 +a_4$이므로 $a_3 +a_4 = 3a_4$,  $a_3 = 2a_4$

등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$라 하면
$a_5 = \frac{3}{4}$에서 $r \neq 0$이고
$a_3 = 2a_4$ 에서 $r= \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{2}$
$a_5 =a_1 \times r^4$ 에서
$a_1 =a_5 \times \frac{1}{r^4}$ $=\frac{3}{4} \times 2^4 = 12$
$a_5 =a_2 \times r^3$ 에서
$a_2 =a_5 \times \frac{1}{r^3}$ $=\frac{3}{4} \times 2^3 = 6$

따라서 $a_1 + a_2 =12 + 6 = 18$

7. 함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2 -12x + 4$ 가 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta - \alpha$의 값은? (단, $\alpha$와 $\beta$는 상수이다.) [3점]

① $-4$
② $-1$
③ $2$
④ $5$
⑤ $8$

$f(x)=\frac{1}{3}x^3 -2x^2 -12x + 4$에서
$f'(x)=x^2 -4x -12$ $=(x+2)(x-6)$
$f'(x)=0$에서
$x= -2$ 또는 $x=6$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f(x)$는 $x= -2$에서 극대이고, $x=6$에서 극소이다.

따라서 $\alpha = -2$, $\beta=6$이므로
$\beta – \alpha = 6-(-2) = 8$

8. 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$xf(x) - f(x) = 3x^4 -3x$$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \int_{-2}^{2}f(x)dx$의 값은? [3점]

① $12$
② $16$
③ $20$
④ $24$
⑤ $28$

$xf(x) – f(x) = 3x^4 -3x$에서
$(x-1)f(x) = 3x(x-1)(x^2 +x +1)$ $\cdots\cdots$ ㉠
$f(x)$가 삼차함수이고
㉠이 $x$에 대한 항등식이므로 $f(x) = 3x(x^2 +x +1)$

따라서
$\int_{-2}^{2}f(x)dx$
$= \int_{-2}^{2}3x(x^2 +x +1)dx$
$= \int_{-2}^{2}(3x^3 +3x^2 +3x)dx$
$= 2\int_{0}^{2}3x^2dx$
$= 2 \times \left[ x^3 \right]_{0}^{2}$
$= 2 \times 2^3$
$= 16$

9. 수직선 위의 두 점 $\mathrm{P}(\log_{5}3)$, $\mathrm{Q}(\log_{5}12)$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$를 $m : (1-m)$으로 내분하는 점의 좌표가 $1$일 때, $4^m$의 값은? (단, $m$은 $0 < m < 1$인 상수이다.) [4점]

① $\frac{7}{6}$
② $\frac{4}{3}$
③ $\frac{3}{2}$
④ $\frac{5}{3}$
⑤ $\frac{11}{6}$

수직선 위의 두 점$\mathrm{P}(\log_{5}3)$, $\mathrm{Q}(\log_{5}12)$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$를 $m : (1-m)$으로 내분하는 점의 좌표가 $1$이므로
$\dfrac{m \times \log_{5}12 + (1-m) \times \log_{5}3 }{m+(1-m)} = 1$
$m \times \log_{5}12 + (1-m) \times \log_{5}3 = 1$
$m( \log_{5}12 – \log_{5}3) = 1 – \log_{5}3$
$m \times \log_{5}\frac{12}{3} = \log_{5}\frac{5}{3}$
$m \times \log_{5}4 = \log_{5}\frac{5}{3}$


이때, $m = \dfrac{\log_{5}\frac{5}{3}}{\log_{5}4}$ $= \log_{4}\frac{5}{3}$

따라서 $4^m = 4^{\log_{4}\frac{5}{3}}$ $= \dfrac{5}{3}$

10. 시각 $t=0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \geq 0$)에서의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = t^2 -6t +5, \:v_{2}(t) = 2t -7$$ 이다. 시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$는 구간 $\left[ 0,\, a \right]$에서 증가하고, 구간 $\left[ a,\, b \right]$에서 감소하고, 구간 $\left[ b,\, \infty \right)$에서 증가한다. 시각 $t=a$에서 $t=b$ 까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는? (단, $0 < a < b$) [4점]

① $\frac{15}{2}$
② $\frac{17}{2}$
③ $\frac{19}{2}$
④ $\frac{21}{2}$
⑤ $\frac{23}{2}$

시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치를 각각 $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$ 라 하면
$x_{1}(t) = 0 + \int_{0}^{t}(t^2 -6t +5)dt$ $= \frac{1}{3}t^3 -3t^2 +5t$,
$x_{2}(t) = 0 + \int_{0}^{t}(2t -7)dt$ $= t^2 -7t$
이므로
$f(t) = | x_{1}(t) – x_{2}(t) |$ $= \vert \frac{1}{3}t^3 -4t^2 + 12t \vert$ 이다.

함수 $g(t)$를 $g(t) = \frac{1}{3}t^3 -4t^2 + 12t$ 라 하면
$g'(t) = t^2 -8t + 12 = (t-2)(t-6)$
$g'(t) = 0$ 에서 $t=2$ 또는 $t=6$
$t \geq 0$에서 함수 $g(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$t \geq 0$ 인 모든 실수 $t$에 대하여 $g(t) \geq 0$ 이므로 $f(t) = g(t)$ 이고 함수 $y=f(t)$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $f(t)$ 는 구간 $\left[0,\, 2\right]$ 에서 증가하고, 구간 $\left[2,\, 6\right]$ 에서 감소하고, 구간 $\left[6,\, \infty \right)$ 에서 증가한다. 즉, $a=2$, $b=6$이다.
시각 $t=2$ 에서 $t=6$ 까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는
$\int_{2}^{6}| v_{2}(t) |dt$ $=\int_{2}^{6}| 2t-7 |dt$
$=\int_{2}^{\frac{7}{2}}(7-2t )dt + \int_{\frac{7}{2}}^{6}(2t-7 )dt$
$= \left[ 7t-t^2 \right]_{2}^{\frac{7}{2}} + \left[ t^2 -7t \right]_{\frac{7}{2}}^{6}$
$=\frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{17}{2}$

11. 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $$| a_6 | = a_8,\: \sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{5}{96}$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k$의 값은? [4점]

① $60$
② $65$
③ $70$
④ $75$
⑤ $80$

$| a_6 | = a_8$에서
$a_6 = a_8$ 또는 $-a_6 = a_8$ $\cdots\cdots$ ㉠
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차가 $0$이 아니므로
$a_6 \neq a_8$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $-a_6 = a_8$ 즉, $a_6 + a_8 = 0$ $\cdots\cdots$ ㉢

한편, $| a_6 | = a_8$에서 $a_8 \geq 0$이고, $a_6 + a_8 = 0$이므로 $a_6 < 0 < a_8$이다.
즉, 등차수열 $\{ a_n \}$의 공차는 양수이다.
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$ ($d > 0$)이라 하면 ㉢에서
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) = 0$
$a_1 = -6d$ $\cdots\cdots$ ㉣

한편, $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{5}{96}$ 에서
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}}$
$=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_{k+1}-a_{k}}\left( \frac{1}{a_{k}} – \frac{1}{a_{k+1}} \right)$
$=\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{d}\left( \frac{1}{a_{k}} – \frac{1}{a_{k+1}} \right)$
$=\frac{1}{d} \{ \left( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2} \right)+\left( \frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3} \right)+ \cdots +\left( \frac{1}{a_5}-\frac{1}{a_6} \right) \}$
$=\frac{1}{d}\left( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_6} \right)$
$=\frac{1}{d}\left( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{1}+5d} \right)$
$=\frac{1}{d} \times \frac{5d}{a_{1}(a_{1}+5d)} $
$=\frac{5}{a_{1}(a_{1}+5d)}$
이므로 $\frac{5}{a_{1}(a_{1}+5d)} = \frac{5}{96}$
$a_1(a_{1}+5d) = 96$ $\cdots\cdots$ ㉤

㉣을 ㉤에 대입하면 $-6d \times (-d) = 96$,  $d^2 = 16$
$d>0$이므로 $d=4$
$d=4$를 ㉣에 대입하면 $a_1 = -6 \times 4 = -24$

따라서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k$ $= \dfrac{15 \{ 2 \times (-24) + 14 \times 4 \}}{2}$ $= 60$

12. 함수 $f(x)=\dfrac{1}{9}x(x-6)(x-9)$와 실수 $t$ ($0 < t < 6$)에 대하여 함수 $g(x)$는 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x < t) \\ -(x-t) + f(t) & (x \geq t) \end{cases}$$ 이다. 함수 $y=g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

① $\frac{125}{4}$
② $\frac{127}{4}$
③ $\frac{129}{4}$
④ $\frac{131}{4}$
⑤ $\frac{133}{4}$

함수 $g(x)$는 $x \geq t$일 때, 점 $(t, \,f(t))$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이므로 이 직선은 $x$ 축과 점 $(t+f(t), \,0)$에서 만난다. 그러므로 함수 $y=g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$라 하면
$S(t) = \int_{0}^{t}f(x)dx + \frac{1}{2} \times \{ f(t) \}^2$
이때, 양변을 미분하면
$S'(t) = f(t) + f(t) \times f'(t)$ $= f(t)\{1 + f'(t) \}$

한편, $f(x)=\frac{1}{9}x(x-6)(x-9)$ 이므로 $0 < t < 6$에서 $f(t) > 0$

$1+f'(t)$ $= 1+\frac{1}{9} \{ (t-6)(t-9) + t(t-9) + t(t-6) \}$
$= 1+\frac{1}{9} \{ (t^2 -15t +54) + (t^2 – 9t) + (t^2 – 6t) \}$
$= 1+\frac{1}{9}(3t^2 -30t +54)$
$= 1+\frac{1}{3}(t^2 -10t +18)$
$= \frac{1}{3}(t^2 -10t +21)$
$= \frac{1}{3}(t-3)(t -7)$

그러므로 $0< t < 6$ 에서 $S(t)$의 증가와 감소는 다음 표와 같다.

그러므로 $S(t)$는 $t=3$에서 극대이면서 최대이다.

따라서, 최댓값은
$S(3)$ $=\int_{0}^{3}f(x)dx + \frac{1}{2}\{ f(3) \}^{2}$
$=\frac{1}{9}\int_{0}^{3}x(x-6)(x-9)dx + \frac{1}{2} \times \{ \frac{1}{9} \times 3 \times (-3) \times (-6) \}^2$
$=\frac{1}{9} \int_{0}^{3}(x^3 -15x^2 + 54x)dx + 18$
$=\frac{1}{9} \left[\frac{1}{4}x^4 -5x^3 +27x \right]_{0}^{3} + 18$
$=\frac{1}{9} \times \left( \frac{1}{4} \times 81 -5 \times 27 + 27 \times 9 \right) + 18$
$= \left( \frac{9}{4} – 15 + 27 \right) + 18$
$= \left( \frac{9}{4} + 12 \right) + 18$
$= \frac{9}{4} + 30$
$= \dfrac{129}{4}$

13. 그림과 같이 $$\overline{\mathrm{AB}}=3,\, \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{13},\, \overline{\mathrm{AD}} \times \overline{\mathrm{CD}}=9,\, \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3}$$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이를 $S_2$라 하고, 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자.
$S_{2} = \dfrac{5}{6}S_1$일 때, $\dfrac{R}{\sin(\angle \mathrm{ADC})}$의 값은? [4점]

32311_c13_1

① $\frac{54}{25}$
② $\frac{117}{50}$
③ $\frac{63}{25}$
④ $\frac{27}{10}$
⑤ $\frac{72}{25}$

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AC}}=a$ ($a > 0$)
이라 하면 코사인법칙에 의해
$\overline{\mathrm{BC}}^{2}$ $= \overline{\mathrm{AB}}^{2} + \overline{\mathrm{AC}}^{2} -2 \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \cos(\angle \mathrm{BAC})$
$(\sqrt{13}^{2}) = 3^2 +a^2 -2 \times 3\times a \times \cos\frac{\pi}{3}$
$a^2 -3a -4 = 0$,  $(a+1)(a-4)=0$
$a > 0$이므로 $a=4$
즉, $\overline{\mathrm{AC}} = 4$

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $S_1$은
$S_1 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \sin(\angle \mathrm{BAC})$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin\frac{\pi}{3}$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= 3\sqrt{3}$
$\overline{\mathrm{AD}} \times \overline{\mathrm{CD}} = 9$
이므로
삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이 $S_2$는
$S_2 = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AD}} \times \overline{\mathrm{CD}} \times \sin(\angle \mathrm{ADC})$ $= \frac{9}{2}\sin(\angle \mathrm{ADC})$
이때, $S_2 = \frac{5}{6}S_1$ 이므로 $\frac{9}{2}\sin(\angle \mathrm{ADC}) = \frac{5}{6} \times 3\sqrt{3}$
$\sin(\angle \mathrm{ADC}) = \frac{5\sqrt{3}}{9}$

삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 사인법칙에 의해
$\dfrac{ \overline{\mathrm{AC}} }{\sin(\angle \mathrm{ADC})} = 2R$ 이므로 $\dfrac{ 4 }{\frac{5\sqrt{3}}{9}} = 2R$
$R = \frac{6\sqrt{3}}{5}$

따라서
$\dfrac{ R }{\sin(\angle \mathrm{ADC})} = \dfrac{ \frac{6\sqrt{3}}{9} }{\frac{5\sqrt{3}}{9}}$ $= \dfrac{54}{25}$

14. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$는 $$f(x) = \begin{cases} \, 2x^3 -6x +1 & (x \leq 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 & (x > 2) \end{cases}$$ 이다. 실수 $t$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. $$g(k) + \lim_{t \to k-}g(t) + \lim_{t \to k+}g(t) = 9$$ 를 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, \,b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값은? [4점]

① $51$
② $52$
③ $53$
④ $54$
⑤ $55$

$x \leq 2$일 때,
$f(x)=2x^3 -6x +1$ 에서
$f'(x)= 6x^2 -6 =6(x-1)(x+1)$이므로
$f'(x)=0$에서 $x=-1$ 또는 $x=1$
$x \leq 2$에서 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

또한, $a$, $b$가 자연수이므로 곡선
$y=a(x-2)(x-b)+9$
는 점 $(2,\, 9)$와 점 $(b,\, 9)$를 지나고 아래로 볼록한 포물선이다.

(ⅰ) $b=1$ 또는 $b=2$ 인 경우
함수 $f(x)$는 $x > 2$ 에서 증가하고, 함수 $y=f(x)$의 그래프는 그림과 같다.
이때 $-3 < k < 5$인 모든 실수 $k$에 대하여
$g(k) =\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) = \lim_{t \to k+}g(t) = 3$ $\cdots\cdots$ ㉠
이므로
$g(k) + \displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) + \lim_{t \to k+}g(t) = 9$ $\cdots\cdots$ ㉡
을 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 아니다.

(ⅱ) $b \geq 3$인 경우
곡선 $y=a(x-2)(x-b)+9$는 직선 $x=\frac{2+b}{2} = 1+\frac{b}{2}$에 대하여 대칭이므로 함수 $f(x)$는 $x= 1+\frac{b}{2}$에서 극솟값을 갖는다. 이 극솟값을 $m$이라 하자.
(ⅱ-①) $m > -3$인 경우
$m$과 $5$ 중에 크지 않은 값을 $m_1$ 이라 하면 $-3 < k < m_{1}$인 모든 실수 $k$에 대하여 ㉠이 성립하므로 ㉡을 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 아니다.

(ⅱ-②) $m < -3$인 경우
$m < k < -3$인 모든 실수 $k$에 대하여 ㉠이 성립하므로 ㉡을 만족시키는 실수 $k$의 개수가 $1$이 아니다.

(ⅱ-③) $m = -3$인 경우
$k$의 값에 따라 $g(k)$, $\displaystyle \lim_{t \to k-}g(t)$, $\displaystyle \lim_{t \to k+}g(t)$ 의 값을 구하면 다음과 같다.

즉, ㉡을 만족시키는 실수 $k$의 값은 $-3$ 뿐이므로 문제의 조건을 만족시킨다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 $b \geq 3$, $m= -3$이다.
$f\left( 1+ \frac{b}{2} \right) = -3$에서
$a\left( \frac{b}{2} – 1 \right)\left( 1 – \frac{b}{2} \right)+9 = -3$
$a(b-2)^{2} = 48$
$48 = 2^{4} \times 3$이므로 구하는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $(a,\, b)$는 $(48,\, 3)$, $(12,\, 4)$, $(3,\, 6)$ 이다.

따라서 $a+b$의 최댓값은 $48+3=51$이다.

15. 첫째항이 자연수인 수열 $\{ a_n \}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} 2^{a_n} & (a_{n} \textbf{이 홀수인 경우}) \\ \frac{1}{2}a_{n} & (a_{n} \textbf{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$ 를 만족시킬 때, $a_{6}+a_{7} = 3$이 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합은? [4점]

① $139$
② $146$
③ $153$
④ $160$
⑤ $167$

$a_n$이 홀수일 때
$a_{n+1}=2^{a_n}$은 자연수이고
$a_n$이 짝수일 때
$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n$은 자연수이다.
이때 $a_1$이 자연수이므로
수열 $\{ a_n \}$의 모든 항은 자연수이다.
$a_{6}+a_{7}=3$에서
$a_{6}=1$, $a_{7}=2$ 또는 $a_{6}=2$, $a_{7}=1$이다.

(ⅰ) $a_{6}=1$일 때,
$a_{6}=1$이고 $a_5$가 홀수인 경우
$a_{6}=2^{a_5}$에서
$1=2^{a_5}$
이 등식을 만족시키는 자연수 $a_5$의 값은 없다.
$a_6 =1$이고 $a_5$가 짝수인 경우
$a_6 = \frac{1}{2}a_5$에서 $1 = \frac{1}{2}a_5$
$a_5 = 2$

$a_4$를 구해보자.
$a_5 = 2$이고 $a_4$가 홀수인 경우
$a_{5}=2^{a_4}$에서 $2=2^{a_4}$
$a_{4}=1$
$a_5 = 2$이고 $a_4$가 짝수인 경우
$a_{5}=\frac{1}{2}a_4$에서 $2=\frac{1}{2}a_4$
$a_4 = 4$

$a_3$을 구해보자.
$a_4 =1$일 때 $a_3 =2$
$a_4 =4$이고 $a_3$이 홀수인 경우
$a_4 =2^{a_3}$에서 $4 =2^{a_3}$
$a_3 =2$
이때, $a_3$이 짝수이므로 모순이다.
$a_4 =4$이고 $a_3$이 짝수인 경우
$a_4 =\frac{1}{2}a_3$에서 $4 =\frac{1}{2}a_3$
$a_3 =8$

$a_2$를 구해보자.
$a_3 =2$일 때 $a_2 =1$ 또는 $a_2 =4$

$a_3 =8$이고 $a_2$가 홀수인 경우
$a_3 =2^{a_2}$에서 $8 =2^{a_2}$
$a_2 =3$
$a_3 =8$이고 $a_2$가 짝수인 경우
$a_3 =\frac{1}{2}a_2$에서 $8 =\frac{1}{2}a_2$
$a_2 =16$

$a_1$을 구해보자.
$a_2 =1$일 때 $a_1 = 2$
$a_2 =4$일 때 $a_1 =8$
$a_2 =3$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 =2^{a_1}$에서 $3 =2^{a_1}$
이 등식을 만족시키는 자연수 $a_1$의 값은 없다.

$a_2 =3$이고 $a_1$ 짝수인 경우
$a_2 =\frac{1}{2}a_1$에서 $3 =\frac{1}{2}a_1$
$a_1 =6$

$a_2 =16$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 =2^{a_1}$에서 $16 =2^{a_1}$
$a_1 =4$
이때 $a_1$이 짝수이므로 모순이다.

$a_2 =16$이고 $a_1$이 짝수인 경우
$a_2 =\frac{1}{2}a_1$에서 $16 =\frac{1}{2}a_1$
$a_1 = 32$
따라서 $a_1$의 값은 $2$ 또는 $6$ 또는 $8$ 또는 $32$이다.

(ⅱ) $a_6 =2$일 때,
(i)의 과정을 이용하면
$a_2 =2$ 또는 $a_2 =6$ 또는 $a_2 =8$ 또는 $a_2 =32$
$a_1$을 구해보자.

$a_2 = 2$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 = 2^{a_1}$에서 $2 = 2^{a_1}$
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$이고 $a_1$이 짝수인 경우
$a_2 = \frac{1}{2}a_1$ 에서 $2 = \frac{1}{2}a_1$
$a_1 = 4$

$a_2 = 6$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 = 2^{a_1}$에서 $6 = 2^{a_1}$
이 등식을 만족시키는 자연수 $a_1$의 값은 없다.
$a_2 = 6$이고 $a_1$이 짝수인 경우
$a_2 = \frac{1}{2}a_1$에서 $6 = \frac{1}{2}a_1$
$a_1 = 12$

$a_2 = 8$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 = 2^{a_1}$에서 $8 = 2^{a_1}$
$a_1 = 3$
$a_2 = 8$이고 $a_1$이 짝수인 경우
$a_2 = \frac{1}{2}a_1$에서 $8 = \frac{1}{2}a_1$
$a_1 =16$

$a_2 = 32$이고 $a_1$이 홀수인 경우
$a_2 = 2^{a_1}$에서 $32 = 2^{a_1}$
$a_1 = 5$
$a_2 = 32$이고 $a_1$ 짝수인 경우
$a_2 = \frac{1}{2}a_1$에서 $32 = \frac{1}{2}a_1$
$a_1 = 64$

따라서 $a_1$의 값은
$1$ 또는 $3$ 또는 $4$ 또는 $5$ 또는 $12$ 또는 $16$ 또는 $64$이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서
모든 $a_1$의 값의 합은
$(2+6+8+32) + (1+3+4+5+12+16+64)$ $= 153$

1_out_of_999

16. 방정식 $3^{x-8}=\left( \dfrac{1}{27} \right)^{x}$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

$2$

$3^{x-8}=\left( \frac{1}{27} \right)^{x}$
$3^{x-8}=\left( 3^{-3} \right)^{x}$
$3^{x-8}=3^{-3x}$
그러므로 $x-8 = -3x$,   $4x =8$
$x=2$

17. 함수 $f(x)=(x+1)(x^{2}+3)$에 대하여 $f'(1)$의 값을 구하시오. [3점]

$8$

$f(x)=(x+1)(x^{2}+3)$이므로
$f'(x)=(x^{2}+3)+(x+1) \times 2x$
따라서, $f'(1) =(1+3)+2 \times 2 = 8$

18. 두 수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{10}a_k = \sum_{k=1}^{10}(2b_{k}-1),\: \sum_{k=1}^{10}(3a_{k}+b_{k})=33$$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k$의 값을 구하시오. [3점]

$9$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k = \sum_{k=1}^{10}(2b_{k}-1)$ $=\displaystyle 2\sum_{k=1}^{10}b_{k} – 10$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3a_{k}+b_{k}) = 33$에서 $\displaystyle 3\sum_{k=1}^{10}a_{k}+\sum_{k=1}^{10}b_{k} = 33$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_{k} = -3\sum_{k=1}^{10}a_{k}+33$ $\cdots\cdots$ ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_{k} = -3\left( 2\sum_{k=1}^{10}b_{k} -10 \right)+33$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_{k} = -6\sum_{k=1}^{10}b_{k}+63$
$\displaystyle 7\sum_{k=1}^{10}b_{k} = 63$

따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_{k} = 9$

19. 함수 $f(x)=\sin \frac{\pi}{4}x$라 할 때, $0 < x < 16$에서 부등식 $$ f(2+x)f(2-x) < \frac{1}{4} $$ 을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하시오. [3점]

$32$

$f(2+x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}x \right) = \cos \frac{\pi}{4}x$,
$f(2-x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4}x \right) = \cos \frac{\pi}{4}x$
이므로 주어진 부등식은
$\cos^{2}\frac{\pi}{4}x < \frac{1}{4}$
즉, $-\frac{1}{2} < \cos\frac{\pi}{4}x < \frac{1}{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠

$0 < x < 16$에서 $0 < \frac{\pi}{4}x < 4\pi$ 이므로 ㉠에서
$\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{4}x < \frac{2}{3}\pi$
또는 $\frac{4}{3}\pi < \frac{\pi}{4}x < \frac{5}{3}\pi$
또는 $\frac{7}{3}\pi < \frac{\pi}{4}x < \frac{8}{3}\pi$
또는 $\frac{10}{3}\pi < \frac{\pi}{4}x < \frac{11}{3}\pi$
이다. 즉,
$\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ 또는 $\frac{16}{3} < x < \frac{20}{3}$ 또는 $\frac{28}{3} < x < \frac{32}{3}$ 또는 $\frac{40}{3} < x < \frac{44}{3}$
이므로 구하는 자연수 $x$의 값은 $2$, $6$, $10$, $14$ 이다.

따라서 구하는 모든 자연수 $x$ 의 값의 합은
$2+6+10+14=32$

20. $a > \sqrt{2}$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)= -x^3 +ax^2 +2x$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0,\, 0)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\mathrm{A}$라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$가 선분 $\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AB}}$의 값을 구하시오. [4점]

$25$

$f(x)= -x^3 +ax^2 +2x$에서
$f'(x)= -3x^2 +2ax +2$
$f'(0)= 2$
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0,\, 0)$에서의 접선의 방정식은 $y=2x$이다.
곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=2x$가 만나는 점의 $x$좌표를 구해보자.
$f(x)=2x$에서 $-x^3 +ax^2 +2x = 2x$,  $x^{2}(x-a) = 0$
$x=0$ 또는 $x=a$
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $0$이 아니므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$ 좌표는 $a$이다. 즉, 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(a,\, 2a)$이다.

점 $\mathrm{A}$가 선분 $\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\angle \mathrm{OAB} = \frac{\pi}{2}$이다. 즉, 두 직선 $\mathrm{OA}$와 $\mathrm{AB}$는 서로 수직이다.
이때, $f'(a)= -3a^2 + 2a^2 +2$ $= -a^2 +2$ 이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $-a^2 +2$이다.
$2 \times (-a^2 +2) = -1$에서 $a^2 = \frac{5}{2}$
$a > \sqrt{2}$이므로 $a = \frac{\sqrt{10}}{2}$
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $\left( \frac{\sqrt{10}}{2}, \,\sqrt{10} \right)$ 이다.
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식은
$y= -\frac{1}{2} \left( x-\frac{\sqrt{10}}{2} \right) + \sqrt{10}$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠에 $y=0$을 대입하면
$0= -\frac{1}{2} \left( x-\frac{\sqrt{10}}{2} \right) + \sqrt{10}$,  $x=\frac{5\sqrt{10}}{2}$
점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left(\frac{5\sqrt{10}}{2},\, 0 \right)$ 이다.

따라서
$\overline{\mathrm{OA}}$ $=\sqrt{\left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)^{2} + \left( \sqrt{10} \right)^{2}}$ $=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
$\overline{\mathrm{AB}}$ $=\sqrt{\left( \frac{5\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2} \right)^{2} + \left(0- \sqrt{10} \right)^{2}}$ $=5\sqrt{2}$
이므로
$\overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AB}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times 5\sqrt{2} = 25$

21. 양수 $a$에 대하여 $x \geq -1$에서 정의된 함수 $f(x)$는 $$f(x) = \begin{cases} -x^{2}+6x & (-1 \leq x < 6) \\ a \log_{4}(x-5) & (x \geq 6) \end{cases}$$ 이다. $t \geq 0$인 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $\left[\,t-1,\, t+1 \, \right]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 구간 $[\,0,\, \infty )$에서 함수 $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]

$10$

$t=0$일 때, 구간 $[-1,\,1\,]$에서 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 최댓값 $5$를 가지므로
$g(0)=5$
한편, 함수 $y= -x^{2}+6x$는 직선 $x=3$에 대하여 대칭이고 $f(5)=5$이므로
$1 \leq t \leq 5$일 때, $g(t) \geq 5$

한편,
$f(5)=5$ 이고 $f(6)=0$
또, 구간 $[\,0,\, \infty)$에서 함수 $g(t)$가 최솟값을 $5$로 갖기 위해서는 $t=6$일 때, 구간 $[5,\, 7]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $5$ 이상이어야 하므로
$f(7) \geq 5$
즉,
$a \log_{4}(7-5) \geq 5$
$a \times \log_{2^2}2 \geq 5$
$a \times \frac{1}{2} \geq 5$
$a \geq 10$

따라서, 양수 $a$의 최솟값은 $10$이다.

22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(x)$에 대하여
$f(k-1)f(k+1) < 0$
을 만족시키는 정수 $k$는 존재하지 않는다.

$f'(- \frac{1}{4})= - \frac{1}{4}$, $f'(\frac{1}{4}) < 0$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

$483$

문제의 조건으로부터
함수 $f(x)$가 모든 정수 $k$에 대하여
$f(k-1)f(k+1) \geq 0$ 을 만족시켜야 한다. $\cdots\cdots$ ㉠
함수 $f(x)$는 삼차함수이므로 방정식 $f(x)=0$은 반드시 실근을 갖는다.

(ⅰ) 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수가 $1$인 경우
방정식 $f(x)=0$의 실근을 $a$라 할 때, $a$ 보다 작은 정수 중 최댓값을 $m$이라 하면
$f(m) < 0 < f(m+2)$
이므로 $f(m)f(m+2) < 0$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$인 경우
방정식 $f(x)=0$의 실근을 $a$, $b$ ($a < b$)라 할 때,
$f(x)=(x-a)(x-b)^2$ 또는 $f(x)=(x-a)^{2}(x-b)$ 이다.

(ⅱ-①) $f(x)=(x-a)(x-b)^2$일 때
$a$ 보다 작은 정수 중 최댓값을 $m$이라 하면
$f(m-1) < 0$, $f(m) < 0$, $f(m+1) \geq 0$, $f(m+2) \geq 0$
이다. 이때 ㉠을 만족시키려면
$f(m-1)f(m+1) \geq 0$, $f(m)f(m+2) \geq 0$
이어야 하므로
$f(m+1)=f(m+2)=0$ 이어야 한다.
그러므로 $a=m+1$, $b=m+2$이다.
$f'(\frac{1}{4}) < 0$이므로
$m+1 < \frac{1}{4} < m+2$이고
정수 $m$의 값은 $-1$이다. $\cdots\cdots$ ㉢
즉, $f(x)=x(x-1)^2$
그러나 이때 함수 $y=f(x)$의 그래프에서
$f'(-\frac{1}{4}) > 0$이므로 $f'(-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$을 만족시키지 않는다.

(ⅱ-②) $f(x)=(x-a)^{2}(x-b)$일 때
만약 $a < n < b$인 정수 $n$이 존재한다면 그 중 가장 큰 값을 $n_1$이라 하자.
그러면 $f(n_{1}) < 0 < f(n_{1}+2)$
이므로 $f(n_{1})f(n_{1}+2) < 0$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. 즉, $a < n < b$인 정수 $n$은 존재하지 않는다. $\cdots\cdots$ ㉣
그러므로 $a$ 보다 작은 정수 중 최댓값을 $m$이라 하면
$f(m-1) < 0$, $f(m) < 0$, $f(m+1) \geq 0$, $f(m+2) \geq 0$
이고, ㉢과 마찬가지로 $a=m+1$, $b=m+2$, 정수 $m$의 값은 $-1$이다.
즉, $f(x)=x^{2}(x-1)$
그러나 이때 함수 $y=f(x)$의 그래프에서
$f'(-\frac{1}{4}) > 0$이므로 $f'(-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$인 경우
$f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$ ($a < b < c$)
라 하자.
이때 ㉣과 마찬가지로 $b < n < c$인 정수 $n$은 존재하지 않는다. 그러므로 $a$ 보다 작은 정수 중 최댓값을 $m$이라 하면
$f(m-1) < 0$, $f(m) < 0$, $f(m+1) \geq 0$, $f(m+2) \geq 0$
이고 ㉢과 마찬가지 방법으로 $b=m+1$
$c=m+2$, 정수 $m$의 값은 $-1$이다.
즉, $f(x)=(x-a)x(x-1)$ $=(x-a)(x^2 – x)$
$f'(x)=(x^2 – x) + (x-a)(2x-1)$
이므로
$f'(-\frac{1}{4}) = \frac{5}{16} + (-\frac{1}{4}-a) \times (-\frac{3}{2})$ $=\frac{11}{16} + \frac{3}{2}a$
$f'(-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$에서
$\frac{11}{16} + \frac{3}{2}a = -\frac{1}{4}$, $a= -\frac{5}{8}$
그리고 $a= -\frac{5}{8}$이면
$f'(\frac{1}{4}) = -\frac{3}{16} + (\frac{1}{4} + \frac{5}{8}) \times (-\frac{1}{2})$ $= -\frac{5}{8}$이므로
$f'(\frac{1}{4}) < 0$도 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 $f(x)$는
$f(x) = (x+\frac{5}{8})(x^{2}-x)$이다.
따라서 $f(8) = \frac{69}{8} \times 56 = 483$

수학 영역(확률과 통계)

1_out_of_5

23. $5$ 개의 문자 $x$, $x$, $y$, $y$, $z$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]

① $10$
② $20$
③ $30$
④ $40$
⑤ $50$

문자 $x$ $2$개, 문자 $y$ $2$개, 문자 $z$ $1$개를 일렬로 나열하는 경우의 수이므로
$\dfrac{5!}{2! \times 2!} = 30$

24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이고 $$\mathrm{P}(A \cap B)= \frac{1}{4},\: \mathrm{P}(A^{c})= 2\mathrm{P}(A)$$ 일 때, $\mathrm{P}(B)$의 값은? (단, $A^{c}$은 $A$의 여사건이다.) [3점]

① $\frac{3}{8}$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{5}{8}$
④ $\frac{3}{4}$
⑤ $\frac{7}{8}$

$\mathrm{P}(A^{c})= 2\mathrm{P}(A)$에서
$1-\mathrm{P}(A)= 2\mathrm{P}(A)$이므로
$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$
두 사건 $A$, $B$가 서로 독립이므로
$\mathrm{P}(A \cap B)= \frac{1}{4}$ 에서
$\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)= \frac{1}{4}$
$\frac{1}{3} \times \mathrm{P}(B)= \frac{1}{4}$

따라서 $\mathrm{P}(B)= \frac{3}{4}$

25. 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이 하나씩 적혀 있는 $6$장의 카드가 있다. 이 $6$장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 $10$ 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]

① $\frac{8}{15}$
② $\frac{19}{30}$
③ $\frac{11}{15}$
④ $\frac{5}{6}$
⑤ $\frac{14}{15}$

32311_x25_1

두 수의 합이 $10$ 보다 큰 경우는
$5+6 = 11$
뿐이므로 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 $10$ 이하인 사건을 $A$라 하면 사건 $A^{c}$는 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수가 $5$, $6$인 사건이다.
따라서
$\mathrm{P}(A^{c})$ $= \frac{2! \times 4!}{6!}$ $= \frac{1}{15}$
이므로
$\mathrm{P}(A) = 1- \mathrm{P}(A^{c})$ $= 1- \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

26. $4$ 개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $Y$를 $$Y= \begin{cases} X & (X \textbf{ 가 } 0 \textbf{ 또는 } 1\textbf{의 값을 가지는 경우}) \\ 2 & (X \textbf{ 가 } 2 \textbf{ 이상의 값을 가지는 경우}) \end{cases}$$ 라 하자. $\mathrm{E}(Y)$의 값은? [3점]

① $\frac{25}{16}$
② $\frac{13}{8}$
③ $\frac{27}{16}$
④ $\frac{7}{4}$
⑤ $\frac{29}{16}$

$\mathrm{P}(Y = 0)$ $=\mathrm{P}(X = 0)$ $={}_{4}\mathrm{C}_{0}(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$
$\mathrm{P}(Y = 1)$ $=\mathrm{P}(X = 1)$ $={}_{4}\mathrm{C}_{1}(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4}$
$\mathrm{P}(Y = 2)$ $=1-\mathrm{P}(Y = 0)-\mathrm{P}(Y = 1)$ $=1-\frac{1}{16}-\frac{1}{4} = \frac{11}{16}$

확률변수 $Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\mathrm{E}(Y)$ $= 0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{11}{16}$ $=\dfrac{13}{8}$

27. 정규분포 $\mathrm{N}(m,\, 5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $49$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\overline{x}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간이 $a \leq m \leq \dfrac{6}{5}a$이다. $\overline{x}$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z| \leq 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]

① $15.2$
② $15.4$
③ $15.6$
④ $15.8$
⑤ $16.0$

모표준편차가 $5$이고, 표본의 크기가 $49$, 표본평균이 $\overline{x}$이므로 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95$%의 신뢰구간은
$\overline{x} – 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{49}} \leq m \leq \overline{x} + 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{49}}$
$\overline{x} – 1.4 \leq m \leq \overline{x} + 1.4$

따라서 $a=\overline{x} – 1.4$이고 $\frac{6}{5}a=\overline{x} + 1.4$ 이므로
$\frac{a}{5} = (\overline{x} + 1.4) – (\overline{x} – 1.4) = 2.8$

따라서 $a =5 \times 2.8 = 14$이므로
$\overline{x} = a + 1.4 = 14 + 1.4 = 15.4$

28. 하나의 주머니와 두 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. 주머니에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 하나씩 적힌 $4$ 장의 카드가 들어 있고, 상자 $\mathrm{A}$에는 흰 공과 검은 공이 각각 $8$개 이상 들어 있고, 상자 $\mathrm{B}$는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 사용하여 다음 시행을 한다.

주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
확인한 수가 $1$이면
상자 $\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $1$개를 상자 $\mathrm{B}$에 넣고,
확인한 수가 $2$ 또는 $3$이면
상자 $\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\mathrm{B}$에 넣고,
확인한 수가 $4$이면
상자 $\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\mathrm{B}$에 넣는다.

이 시행을 $4$번 반복한 후 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수가 $8$일 때, 상자 $\mathrm{B}$에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$일 확률은? [4점]

① $\frac{3}{70}$
② $\frac{2}{35}$
③ $\frac{1}{14}$
④ $\frac{3}{35}$
⑤ $\frac{1}{10}$

32311_x28_1

상자 $\mathrm{B}$에 들어있는 공의 개수가 $8$인 사건을 $E$, 상자 $\mathrm{B}$에 들어있는 검은 공의 개수가 $2$인 사건을 $F$라 하면 구하는 확률은
$\mathrm{P}(F | E) = \dfrac{\mathrm{P}(E \cap F)}{\mathrm{P}(E)}$
이다.
한 번의 시행에서 상자 $\mathrm{B}$에 넣는 공의 개수는 $1$ 또는 $2$ 또는 $3$이므로 $4$ 번의 시행 후 상자  $\mathrm{B}$에 들어있는 공의 개수가 $8$인 경우는
$8=3+3+1+1$
$8=3+2+2+1$
$8=2+2+2+2$
뿐이다.

(ⅰ) $8=3+3+1+1$인 경우
상자 $\mathrm{B}$에 들어있는 검은 공의 개수는 $2$이다.
주머니에서 숫자 $1$이 적힌 카드 $2$장, 숫자 $4$가 적힌 카드 $2$장을 꺼내야 하므로 이 경우의 확률은
$\frac{4!}{2! \times 2!} \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$ $=6 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$

(ⅱ) $8=3+2+2+1$인 경우
상자 $\mathrm{B}$에 들어있는 검은 공의 개수는 $3$이다.
주머니에서 숫자 $1$이 적힌 카드 $1$장, 숫자 $2$ 또는 $3$이 적힌 카드 $2$장, 숫자 $4$가 적힌 카드 $1$장을 꺼내야 하므로 이 경우의 확률은
$\frac{4!}{2!} \times \{ \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{2}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right) \}$ $=48 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$

(ⅲ) $8=2+2+2+2$인 경우
상자 $\mathrm{B}$에 들어있는 검은 공의 개수는 $4$이다.
주머니에서 숫자 $2$ 또는 $3$이 적힌 카드 $4$장을 꺼내야 하므로 이 경우의 확률은
$\left( \frac{2}{4} \right)^4=16 \times\left( \frac{1}{4} \right)^4$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서
$\mathrm{P}(E) = 6 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4 + 48 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4 + 16 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$ $= 70 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$
$\mathrm{P}(E \cap F) = 6 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4$

따라서
$\mathrm{P}(F | E) = \dfrac{\mathrm{P}(E \cap F)}{\mathrm{P}(E)}$ $= \dfrac{6 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4}{70 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4}$ $=\dfrac{3}{35}$

1_out_of_999

29. 다음 조건을 만족시키는 $6$ 이하의 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,\, b,\, c,\, d)$의 개수를 구하시오. [4점]

 $a \leq c \leq d$이고 $b \leq c \leq d$이다.

$196$

(ⅰ) $a \leq b \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $b$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{6}\mathrm{H}_{4} = {}_{6+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{9}\mathrm{C}_{4}$  $= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(ⅱ) $b \leq a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수
(ⅰ)과 마찬가지이므로 ${}_{6}\mathrm{H}_{4} = 126$

(ⅲ) $a = b \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a\, (=b)$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{6}\mathrm{H}_{3} = {}_{6+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{8}\mathrm{C}_{3}$ $= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 순서쌍의 개수는
$126 + 126 -56 = 196$

(ⅰ) $a \leq b \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $b$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{6}\mathrm{H}_{4} = {}_{6+4-1}\mathrm{C}_{4} = {}_{9}\mathrm{C}_{4}$ $= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(ⅱ) $b < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수

① $b=1$일 때 $1 < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{5}\mathrm{H}_{3} = {}_{5+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35$

② $b=2$일 때 $2 < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수는 $3$, $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{4+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20$

③ $b=3$일 때 $3 < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수는 $4$, $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{3+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10$

④ $b=4$일 때 $4 < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수는 $5$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택한 다음 크지 않은 순서대로 $a$, $c$, $d$의 값으로 정하는 경우의 수와 같으므로
${}_{2}\mathrm{H}_{3} = {}_{2+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{4}\mathrm{C}_{3} = 4$

⑤ $b=5$일 때 $5 < a \leq c \leq d$이려면 $a=c=d=6$이어야 하므로 순서쌍의 개수는 $1$

이상에서 $b < a \leq c \leq d$인 순서쌍의 개수는 $35+20+10+4+1=70$

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 $126+70=196$

30. 양수 $t$에 대하여 확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm{N}(1,\, t^2)$을 따른다. $$\mathrm{P}(X \leq 5t) \geq \frac{1}{2}$$ 이 되도록 하는 모든 양수 $t$에 대하여 $\mathrm{P}(t^2 -t +1 \leq X \leq t^2 +t +1)$의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$라 하자. $1000 \times k$의 값을 구하시오. [4점]

32311_x30_1

$673$

확률변수 $X$의 평균이 $1$이므로 $\mathrm{P}(X \leq 5t) \geq \frac{1}{2}$에서 $5t \geq 1$
즉 $t \geq \frac{1}{5}$ $\cdots\cdots$ ㉠
확률변수 $X$의 평균이 $1$, 표준편차가 $t$이므로 $Z = \frac{X-1}{t}$로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,\, 1)$을 따른다.
$\mathrm{P}(t^2 -t +1 \leq X \leq t^2 +t +1)$
$=\mathrm{P}\left(\frac{t^2 -t}{t} \leq \frac{X-1}{t} \leq \frac{t^2 +t}{t} \right)$
$=\mathrm{P}(t -1 \leq Z \leq t +1)$ $\cdots\cdots$ ㉡

이때 $(t+1)-(t-1) = 2$로 일정하므로 $t$의 값이 확률변수 $Z$의 평균 $0$에 가까울수록 ㉡의 값은 증가한다.
따라서 ㉠에서 $t=\frac{1}{5}$일 때 ㉡의 최댓값은
$k=\mathrm{P}\left(\frac{1}{5} -1 \leq Z \leq \frac{1}{5} +1\right)$        $=\mathrm{P}\left(-0.8 \leq Z \leq 1.2\right)$
       $=\mathrm{P}\left(0 \leq Z \leq 0.8\right) + \mathrm{P}\left(0 \leq Z \leq 1.2\right)$
$=0.288 + 0.385 = 0.673$
이므로
$1000 \times k = 673$

수학 영역(미적분)

1_out_of_5

23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$의 값은? [3점]

① $\frac{1}{5}$
② $\frac{2}{5}$
③ $\frac{3}{5}$
④ $\frac{4}{5}$
⑤ $1$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$
$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{3x \times \dfrac{\ln(1+3x)}{3x}}{5x \times \dfrac{\ln(1+5x)}{5x}}$
$=\displaystyle \frac{3}{5} \times \frac{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}}{ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+5x)}{5x} }$
$= \displaystyle \frac{3}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{5}$

24. 매개변수 $t$ ($t > 0$)으로 나타내어진 곡선 $$x=\ln(t^3 +1),\: y=\sin \pi t$$ 에서 $t=1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]

① $-\frac{1}{3}\pi$
② $-\frac{2}{3}\pi$
③ $-\pi$
④ $-\frac{4}{3}\pi$
⑤ $-\frac{5}{3}\pi$

$x=\ln(t^3 +1)$에서 $\frac{dx}{dt} = \frac{3t^2}{t^3 +1}$
$y = \sin \pi t$에서 $\frac{dy}{dt} = \pi \cos \pi t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ $=\dfrac{\pi \cos \pi t}{\frac{3t^2}{t^3 +1} }$ $=\dfrac{\pi (t^3 +1) \cos \pi t}{3t^2}$

따라서 $t=1$일 때의 $\frac{dy}{dx}$ 의 값은
$\frac{\pi (1^3 +1)\cos \pi}{3 \times 1^1} = \frac{\pi \times 2 \times (-1)}{3}$ $=-\dfrac{2}{3}\pi$

25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이고, $g'(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$에 대하여 $$\int_{1}^{a}\frac{1}{g'(f(x))f(x)}dx = 2 \ln a + \ln(a+1) - \ln 2$$ 이고 $f(1)=8$일 때, $f(2)$의 값은? [3점]

① $36$
② $40$
③ $44$
④ $48$
⑤ $52$

함수 $g(x)$의 정의역이 양의 실수 전체의 집합이고 그 역함수 $f(x)$의 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.
즉, 모든 양수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
이다.
모든 양수 $x$에 대하여 $g(f(x)) = x$이므로 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$g'(f(x))f'(x) = 1$
따라서
$\int_{1}^{a}\frac{1}{g'(f(x))f(x)}dx = \int_{1}^{a}\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ $= [ \ln | f(x) | ]_{1}^{a}$
$= \ln f(a) – \ln f(1)$ ($\because$ ㉠)
$= \ln f(a) – \ln 8$
$= \ln f(a) – 3\ln 2$
이므로
$\ln f(a) – 3\ln 2 = 2 \ln a + \ln(a+1) – \ln 2$에서
$\ln f(a) = 2 \ln a + \ln(a+1) + 2\ln 2$ $= \ln a^2 + \ln (a+1) + \ln 2^2$
$=\ln 4a^{2}(a+1)$
즉, $f(a) = 4a^{2}(a+1)$이므로
$f(2) = 4 \times 2^2 \times (2+1) = 48$

함수 $g(x)$의 정의역이 양의 실수 전체의 집합이고 그 역함수 $f(x)$의 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.
즉, 모든 양수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
이다.
$\int_{1}^{a}\frac{1}{g'(f(x))f(x)}dx$에서 $f(x)=y$라 하면
$x=1$일 때 $y=f(1)=8$,
$x=a$일 때 $y=f(a)$이고
$\frac{dy}{dx}=f'(x)$
이때 역함수의 미분법에 의하여
$f'(x)=\frac{1}{g'(y)}$ 이므로
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{g'(y)}$
이때 도함수 $g'(x)$가 양의 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $g'(y) \neq 0$

따라서
$\int_{1}^{a}\frac{1}{g'(f(x))f(x)}dx$
$=\int_{1}^{a}\{ \frac{1}{g'(y) \times y} \times g'(y) \}dy$
$=\int_{8}^{f(a)}\frac{1}{y}dy$
$=\left[\, \ln |y| \, \right]_{8}^{f(a)}$
$= \ln | f(a) | – \ln | 8 |$
$= \ln | f(a) | – 3\ln 2$

㉠에서 $f(a) > 0$이므로 주어진 등식에서
$\ln f(a) – 3\ln 2 = 2 \ln a + \ln(a+1) – \ln 2$
$\ln f(a) = 2 \ln a + \ln(a+1) + 2\ln 2$ $= \ln a^{2} + \ln(a+1) + \ln 2^{2}$ $=\ln 4a^{2}(a+1)$

따라서 $f(a)=4a^{2}(a+1)$ 이므로
$f(2)=4 \times 2^2 \times (2+1) = 48$

26. 그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{(1-2x) \cos x}$ $\left(\frac{3}{4}\pi \leq x \leq \frac{5}{4}\pi \right)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\frac{3}{4}\pi$, $x=\frac{5}{4}\pi$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

32311_y26_1

① $\sqrt{2}\pi – \sqrt{2}$
② $\sqrt{2}\pi – 1$
③ $2\sqrt{2}\pi – \sqrt{2}$
④ $2\sqrt{2}\pi – 1$
⑤ $2\sqrt{2}\pi$

직선 $x=t$ $\left(\frac{3}{4}\pi \leq t \leq \frac{5}{4}\pi \right)$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 $S(t)$라 하면
$S(t)=\frac{5}{4}\pi (1-2t) \cos t$

따라서 입체도형의 부피를 $V$라 하고
$u(t)=1-2t$, $v'(t)= \cos t$
$u'(t) = -2$, $v(t) = \sin t$
라 하면
$V = \int_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}(1-2t)\cos t dt$
$= \left[\, (1-2t) \sin t \, \right]_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi} + 2\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}\sin t dt$
$= \left[\, (1-2t) \sin t \, \right]_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi} + 2\left[\, – \cos t \, \right]_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}$
$=\left( 1 – \frac{5}{2}\pi \right) \left( – \frac{\sqrt{2}}{2} \right) – \left( 1 – \frac{3}{2}\pi \right) \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ + 2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$
$= 2\sqrt{2}\pi – \sqrt{2}$

27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y=\dfrac{1}{e^x}+e^t$에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a)= -e\sqrt{e}$를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f'(a)$의 값은? [3점]

① $-\frac{1}{3}e\sqrt{e}$
② $-\frac{1}{2}e\sqrt{e}$
③ $-\frac{2}{3}e\sqrt{e}$
④ $-\frac{5}{6}e\sqrt{e}$
⑤ $-e\sqrt{e}$

$y=e^{-x}+e^t$이므로
$y’= -e^{-x}$
접점의 좌표를 $(s,\, e^{-s}+e^t)$이라고 하면 접선의 방정식은
$y= -e^{-s}(x-s)+e^{-s}+e^t$
이 접선이 원점을 지나므로 $se^{-s}+e^{-s}+e^{t} =0$
$e^{t} = -(s+1)e^{-s}$ $\cdots\cdots$ ㉠
양변을 $s$에 대하여 미분하면
$e^{t}\frac{dt}{ds} = -e^{-s}+(s+1)e^{-s} = se^{-s}$ $\cdots\cdots$ ㉡
또한 $f(t)= -e^{-s}$이므로 양변을 $s$에 대하여 미분하면
$f'(t)\frac{dt}{ds} = e^{-s}$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡, ㉢에서
$\frac{e^t}{f'(t)}=s$, 즉 $f'(t)=\frac{e^t}{s}$
또한 $f(a)=-e^{-s} = -e\sqrt{e}= -e^{\frac{3}{2}}$에서
$s= -\frac{3}{2}$
이고 ㉠에서 $e^{a} = \frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}}$이므로
$f'(t)=\frac{e^t}{s}$에서
$f'(a)=\frac{ \frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} }{ -\frac{3}{2} }$ $= -\frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}e\sqrt{e}$

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \geq 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^2}$이다.
모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t)$, $h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 $$2g(t) + h(t) =k\: (k \textbf{는 상수})$$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \int_{0}^{7}f(x)dx = e^{4}-1$일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

① $\frac{3}{2}e^5$
② $\frac{4}{3}e^7$
③ $\frac{5}{4}e^9$
④ $\frac{6}{5}e^{11}$
⑤ $\frac{7}{6}e^{13}$

$x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^2}$ 이므로
$f'(x) = -4e^{4x^2} -4xe^{4x^2} \times 8x$ $= -4e^{4x^2} -32x^{2}e^{4x^2} < 0$
즉, $x < 0$에서 함수 $f(x)$는 감소한다.
또한 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \geq 0$이고 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이므로 $x \geq 0$에서 함수 $f(x)$는 증가한다.
또한, 모든 양수 $t$에 대하여
$2g(t) + h(t) = k$
가 성립하므로 함수 $y=f(x)$의 그래프의개형은 다음과 같다.
이때 $\int_{0}^{7}f(x)dx = e^{4}-1$에서 $h(t_1)=7$이라 하면
$\int_{g(t_1)}^{0}(-4xe^{4x^2})dx = \frac{1}{2}(e^{4}-1)$
$\left[ -\frac{1}{2}e^{4x^2} \right]_{g(t_1)}^{0} = \frac{1}{2}(e^{4}-1)$
$-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}e^{4\{g(t_1) \}^2} = \frac{1}{2}(e^{4}-1)$
$g(t_1) = -1$
즉 $k+ | 2 \times (-1) | = 7$에서 $k=5$이므로
$f(8) = f \left( -\frac{3}{2} \right)$, $f(9) = f(-2)$

$\frac{f(9)}{f(8)} = \frac{f(-2)}{f \left( -\frac{3}{2} \right)}$ $=\dfrac{ -4 \times (-2)e^{4(-2)^{2}} }{ -4 \times ( -\frac{3}{2} )e^{4( -\frac{3}{2} )^{2}} }$ $=\frac{4}{3}e^{16-9}$ $=\dfrac{4}{3}e^{7}$

1_out_of_999

29. 첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 각각 수렴하고 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_n = \left( \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \right) \times \left( \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \right)$$ $$3 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{2n} | = 7 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{3n} |$$ 이 성립한다. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{b_{2n-1} + b_{3n-1}}{b_n} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]

$162$

$a_n =ar^{n-1}$, $b_n =bs^{n-1}$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$, $r \neq 0$, $s \neq 0$)이라 하면
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 각각 수렴하므로
$-1 < r < 1$, $-1 < s < 1$이다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_n = \frac{ab}{1-rs}$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n = \frac{a}{1-r}$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n = \frac{b}{1-s}$
이므로
$\frac{ab}{1-rs} = \frac{a}{1-r} \times \frac{b}{1-s}$
$1-rs = (1-r)(1-s)$
$r + s = 2rs$ $\cdots\cdots$ ㉠

(i) $r > 0$인 경우
$a_1 > 0$이면 $a_2 > 0$, $a_3 > 0$이므로
$\displaystyle 3 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{2n} |$ $= 3 \times \frac{a_2}{1-r^2}$
$\displaystyle 7 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{3n} |$ $= 7 \times \frac{a_3}{1-r^3}$
$\frac{3 a_2}{1-r^2} = \frac{7 a_3}{1-r^3}$
$\frac{3}{1-r^2} = \frac{7r}{1-r^3}$
$4r^3 -7r +3 =0$
$(r-1)(2r-1)(2r+3)=0$
따라서 $r=\frac{1}{2}$인데 ㉠을 만족시키는 $s$의 값이 존재하지 않으므로 모순이다.
같은 방법으로 $a_1 < 0$인 경우도 존재하 지 않는다.

(ii) $r < 0$인 경우
$a_1 > 0$이면 $a_2 < 0$, $a_3 > 0$이고 수열 $\{ | a_{2n} | \}$의 공비는 $r^2$, 수열 $\{ | a_{3n} | \}$의 공비 $-r^3$는 이므로
$\displaystyle 3 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{2n} |$ $= 3 \times \frac{-a_2}{1-r^2}$
$\displaystyle 7 \times \sum_{n=1}^{\infty}| a_{3n} |$ $= 7 \times \frac{a_3}{1+r^3}$
$\frac{-3 a_2}{1-r^2} = \frac{7 a_3}{1+r^3}$
$\frac{-3}{1-r^2} = \frac{7r}{1+r^3}$
$4r^3 -7r -3 =0$
$(r+1)(2r-3)(2r+1)=0$
따라서 $r= -\frac{1}{2}$이므로 ㉠에 대입하면 $s=\frac{1}{4}$이다.
$a_1 < 0$인 경우도 같은 방법으로 생각하면 같은 결론을 얻을 수 있다.
$b_n = b\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{b_{2n-1} + b_{3n-1}}{b_n}$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{b\left( \frac{1}{16} \right)^{n-1} + b\left( \frac{1}{64} \right)^{n}}{b\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}}$
$=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} + \left( \frac{1}{4} \right)^{2n+1} \right\}$
$=\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}} + \dfrac{\frac{1}{64}}{1-\frac{1}{16}}$ $=\frac{4}{3} + \frac{1}{60}$ $=\frac{27}{20}$

따라서 $S = \frac{27}{20}$이므로
$120S = 120 \times \dfrac{27}{20} = 162$

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $$f'(x) = | \sin x | \cos x$$ 이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$라 하자. 함수 $$h(x) = \int_{0}^{x}\{ f(t) - g(t) \}dt$$ 가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자. $\dfrac{100}{\pi} \times (a_6 -a_2)$의 값을 구하시오. [4점]

$125$

$f'(x)= | \sin x | \cos x$
$= \begin{cases} \sin x \cos x & (\sin x \geq 0) \\ -\sin x \cos x & (\sin x < 0) \end{cases}$
$= \begin{cases} \frac{1}{2}\sin 2x & (\sin x \geq 0) \\ -\frac{1}{2}\sin 2x & (\sin x < 0) \end{cases}$

이때 함수 $y= \sin 2x$의 주기는 $\frac{2 \pi}{2} = \pi$이므로 함수 $y=f'(x)$의 그래프의 개형을 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서만 그려보면 다음과 같다.
또한 $h(x) = \int_{0}^{x}\{ f(t) – g(t) \}dt$에서
$h'(x) = f(x) -g(x)$
이므로 $h'(x) = 0$ 즉 $f(x)=g(x)$를 만족시키면서 그 값의 좌우에서 $h'(x)$의 부호가 바뀌는 경우이다.
이때 $y= \sin 2x$의 대칭성을 이용하여 양수 $a$의 값을 작은 수부터 차례대로 구하면
$\frac{\pi}{4}$, $\frac{3}{4}\pi$, $\pi$, $\frac{5}{4}\pi$, $\frac{7}{4}\pi$, $2\pi$
이므로
$a_6 = 2\pi$, $a_2 = \frac{3}{4}\pi$

따라서
$\frac{100}{\pi} \times (a_6 -a_2)$ $=\frac{100}{\pi} \times (2 \pi – \frac{3}{4}\pi) = 125$

수학 영역(기하)

1_out_of_5

23. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, -2,\, 6)$, $\mathrm{B}(9, \,2,\, b)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $(4, \,0,\, 7)$일 때, $a+b$의 값은? [2점]

① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$

좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, -2,\, 6)$, $\mathrm{B}(9, \,2,\, b)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\left(\frac{a+9}{2},\, \frac{-2+2}{2},\, \frac{6+b}{2} \right)$
이 점의 좌표가 $(4, \,0,\, 7)$과 일치하므로
$\frac{a+9}{2} = 4$에서 $a = -1$
$\frac{6+b}{2} = 7$에서 $b = 8$

따라서 $a+b = -1 + 8 = 7$

24. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{6} = 1$위의 점 $(\sqrt{3}, -2)$에서의 접선의 기울기는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]

① $\sqrt{3}$
② $\frac{\sqrt{3}}{2}$
③ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
④ $\frac{\sqrt{3}}{4}$
⑤ $\frac{\sqrt{3}}{5}$

점 $(\sqrt{3}, -2)$는 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점이므로
$\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{(-2)^2}{6} = 1$,  $\frac{3}{a^2} = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$a^2 = 9$

타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점 $(\sqrt{3}, -2)$에서의 접선의 방정식은
$\frac{\sqrt{3}x}{9} + \frac{-2y}{6} = 1$
즉, $y= \frac{\sqrt{3}}{3}x – 3$

따라서 접선의 기울기는 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

25. 두 벡터 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$에 대하여 $$|\, \overrightarrow{a} \,|=\sqrt{11},\: |\, \overrightarrow{b} \,|=3,\: |\, 2 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\, |=\sqrt{17}$$ 일 때, $|\, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\, |$의 값은? [3점]

① $\frac{\sqrt{2}}{2}$
② $\sqrt{2}$
③ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
④ $2\sqrt{2}$
⑤ $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$|\, 2 \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\, |^2 =(2 \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b})\cdot(2 \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b})$ $= 4|\, \overrightarrow{a}\, |^2 -4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\, \overrightarrow{b}\, |^2$
$|\, 2 \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\, |=\sqrt{17}$, $|\, \overrightarrow{a} \,|=\sqrt{11}$, $|\, \overrightarrow{b} \,|=3$이므로
$17 = 4 \times 11 – 4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 9$ $= 53 – 4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{53-17}{4} = 9$
$|\, \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\, |^2 =(\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a} – \overrightarrow{b})$ $= |\, \overrightarrow{a}\, |^2 – 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\, \overrightarrow{b}\, |^2$ $=11-2 \times 9 + 9 = 2$

$|\, \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\, | \geq 0$이므로 $|\, \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}\, | = \sqrt{2}$

26. 좌표공간에 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}'$이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{A'B'}} = 6$$ 이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\mathrm{M}'$이라 할 때, $$\overline{\mathrm{PM'}} \perp \overline{\mathrm{A'B'}},\: \overline{\mathrm{PM'}} = 6$$ , 이 되도록 평면 $\alpha$ 위에 점 $\mathrm{P}$를 잡는다. 삼각형 $\mathrm{A'B'P}$의 평면 $\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, 선분 $\mathrm{PM}$ 의 길이는? [3점]

① $12$
② $15$
③ $18$
④ $21$
⑤ $24$

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 평면 $\alpha$ 위에 있지 않고, $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{A’B’}}$이므로 직선 $\mathrm{AB}$는 평면 $\alpha$와 평행하다.
따라서 선분 $\mathrm{AB}$는 평면 $\alpha$와 만나지 않고, 평면 $\mathrm{AA’B’B}$와 평면 $\alpha$는 서로 수직이다. $\cdots\cdots$ ㉠
선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $\mathrm{M’}$은 선분 $\mathrm{A’B’}$의 중점이다. $\cdots\cdots$ ㉡
그러므로 $\overline{\mathrm{PM’}} \perp \overline{\mathrm{A’B’}}$에서 직선 $\mathrm{PM’}$은 선분 $\mathrm{A’B’}$의 수직이등분선이다.
$\overline{\mathrm{PM’}} = 6$이므로 삼각형 $\mathrm{A’B’P}$의 넓이를 $S$라 하면
$S = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A’B’}} \times \overline{\mathrm{PM’}}$ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

두 평면 $\mathrm{A’B’P}$, $\mathrm{ABP}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자.
삼각형 $\mathrm{A’B’P}$의 평면 $\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영의 넓이가 $\frac{9}{2}$이므로
$\frac{9}{2} = S \times \cos \theta = 18 \cos \theta$
$\cos \theta= \frac{1}{4}$

㉠, ㉡에서 $\angle \mathrm{MPM’} = \theta$ 이고 $\overline{\mathrm{MM’}} \perp \overline{\mathrm{PM’}}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{MPM’}$에서
$\cos \theta = \dfrac{\overline{\mathrm{PM’}}}{\overline{\mathrm{PM}}}$

따라서 $\overline{\mathrm{PM}} = \dfrac{\overline{\mathrm{PM’}}}{\cos \theta}$ $= \dfrac{6}{\frac{1}{4}} = 6 \times 4 = 24$

27. 초점이 $\mathrm{F}$인 포물선 $y^2 =8x$ 위의 한 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 하고, 직선 $\mathrm{BF}$와 포물선이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하자. $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이는? (단, $\overline{\mathrm{CF}} < \overline{\mathrm{DF}}$이고, 점 $\mathrm{A}$는 원점이 아니다.) [3점]

① $100\sqrt{2}$
② $104\sqrt{2}$
③ $108\sqrt{2}$
④ $112\sqrt{2}$
⑤ $116\sqrt{2}$

$\mathrm{F}(2,\, 0)$이고, 준선은 직선 $x = -2$이다.
준선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하고, 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C’}$, $\mathrm{D’}$이라 하자.
포물선의 정의에 의하여 $\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{CC’}}$, $\overline{\mathrm{DF}} = \overline{\mathrm{DD’}}$
이때 $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$이므로 $\overline{\mathrm{CC’}} =\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{DD’}}$

$\overline{\mathrm{CC’}} = k$ ($k > 0$)이라 하면 $\overline{\mathrm{DD’}} = 2k$
$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$ $=k + 2k = 3k$
$\overline{\mathrm{BF}} = 3k + k = 4k$

두 닮은 삼각형 $\mathrm{BCC’}$, $\mathrm{BFE}$에서
$\overline{\mathrm{EF}} = 4$이므로 $3k : k = 4k : 4$에서 $k=3$
삼각형 $\mathrm{BDD’}$에서
$\overline{\mathrm{BD}} = 18$, $\overline{\mathrm{DD’}} = 6$이므로 $\overline{\mathrm{BD’}} = 12\sqrt{2}$

또 삼각형 $\mathrm{BFE}$에서 $\overline{\mathrm{BE}} = 8\sqrt{2}$
점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표가 $8\sqrt{2}$이므로 $(8\sqrt{2})^2 = 8x$에서 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $16$

따라서 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BD’}}$ $=\frac{1}{2} \times 18 \times 12\sqrt{2} = 108\sqrt{2}$

28. 그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 위에 $\overline{\mathrm{AB}} = 18$인 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $C_1$이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$를 장축으로 하고 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F'}$을 초점으로 하는 타원 $C_2$가 평면 $\beta$ 위에 있다.
원 $C_1$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, $\overline{\mathrm{HF'}} < \overline{\mathrm{HF}}$이고 $\angle \mathrm{HFF'} = \dfrac{\pi}{6}$이다. 직선 $\mathrm{HF}$와 타원 $C_2$가 만나는 점 중 점 $\mathrm{H}$와 가까운 점을 $\mathrm{Q}$라 하면, $\overline{\mathrm{FH}} < \overline{\mathrm{FQ}}$이다. 점 $\mathrm{H}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 $4$이고 직선 $\mathrm{AB}$에 접한다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? (단, 점 $\mathrm{P}$는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]

32311_z28_1

① $\frac{2\sqrt{66}}{33}$
② $\frac{4\sqrt{69}}{69}$
③ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
④ $\frac{4\sqrt{3}}{15}$
⑤ $\frac{2\sqrt{78}}{39}$

평면 $\beta$를 $xy$평면, 선분 $\mathrm{FF’}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}$, 직선 $\mathrm{AB}$를 $x$ 축이라 하면 $\overline{\mathrm{AB}} = 18$이므로 $\mathrm{A}(9,\, 0)$, $\mathrm{B}(-9,\, 0)$이다.
점 $\mathrm{H}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원의 반지름의 길이가 $4$이므로 점 $\mathrm{H}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H’}$이라 하면
$\overline{\mathrm{HH’}} = \overline{\mathrm{HQ}} = 4$

직각삼각형 $\mathrm{HH’F}$에서 $\angle \mathrm{HFH’} = \frac{\pi}{6}$이므로
$\overline{\mathrm{HF}} = \frac{\overline{\mathrm{HH’}}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$
$\overline{\mathrm{H’F}} = \frac{\overline{\mathrm{HH’}}}{\tan \frac{\pi}{6}} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3}$

타원의 정의에 의하여 타원 $C_2$의 주축의 길이가 $18$이므로
$\overline{\mathrm{QF}} + \overline{\mathrm{QF’}} = 18$
즉, $\overline{\mathrm{HF}} + \overline{\mathrm{HQ}} + \overline{\mathrm{QF’}} = 18$
$\overline{\mathrm{QF’}} = 18 – \overline{\mathrm{HF}} – \overline{\mathrm{HQ}}$ $= 18-8 -4 = 6$

세 점 $\mathrm{F’}$, $\mathrm{H’}$, $\mathrm{F}$는 한 직선 위에 있고,
$\overline{\mathrm{QF}} : \overline{\mathrm{HF}} = \overline{\mathrm{QF’}} : \overline{\mathrm{HH’}} = 3 : 2$이므로
두 삼각형 $\mathrm{FHH’}$, $\mathrm{FQF’}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $3 : 2$이다.
따라서 $\overline{\mathrm{FF’}} = \frac{3}{2} \times \overline{\mathrm{H’F}}$ $= \frac{3}{2} \times 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
$\overline{\mathrm{OH’}} = \overline{\mathrm{H’F}} – \overline{\mathrm{OF}}$
$= \overline{\mathrm{H’F}} – \frac{1}{2}\overline{\mathrm{FF’}}$
$=4\sqrt{3} -3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $9$인 원 위의 점이고, 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{\mathrm{PH’}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이므로
$\overline{\mathrm{PH’}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OP}}^2 – \overline{\mathrm{OH’}}^2}$ $= \sqrt{81 – 3} = \sqrt{78}$

$\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$, $\overline{\mathrm{HH’}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이므로 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기 $\theta$는 $\theta = \angle \mathrm{PH’H}$이다.

따라서 $\cos \theta = \frac{\overline{\mathrm{HH’}}}{\overline{\mathrm{PH’}}}$ $=\frac{4}{\sqrt{78}} = \dfrac{2\sqrt{78}}{39}$

1_out_of_999

29. 양수 $c$에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c,\, 0)$, $\mathrm{F'}(-c,\, 0)$을 초점으로 하고, 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 존재하도록 하는 모든 $c$의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 점 $\mathrm{P}$는 제$1$사분면 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 있다.
(나) 삼각형 $\mathrm{PF'F}$는 이등변삼각형이다.
(다) 삼각형 $\mathrm{PQF}$의 둘레의 길이는 $28$이다.

$11$

두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 모두 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선 위의 점이고 조건 (가)와 쌍곡선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF’}} – \overline{\mathrm{PF}} = 6$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overline{\mathrm{QF}} – \overline{\mathrm{QF’}} = 6$ $\cdots\cdots$ ㉡
조건 (다)에서 삼각형 $\mathrm{PQF}$의 둘레의 길이가 $28$이고, ㉡에 의하여
$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF}}$
$=\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PQ}} +( \overline{\mathrm{QF’}} + 6 )$
$=\overline{\mathrm{PF}} + (\overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QF’}} )+ 6$
$=\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}} + 6$
$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}} + 6 = 28$
$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF’}} = 22$ $\cdots\cdots$ ㉢

조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{PF’F}$가 이등변삼각형이고 ㉠에서 $\overline{\mathrm{PF’}} \neq \overline{\mathrm{PF}}$이므로
$\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{FF’}}$ 또는 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{FF’}}$이다.

(ⅰ) $\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{FF’}}$인 경우
$\overline{\mathrm{FF’}} = 2c$이므로 $\overline{\mathrm{PF’}} = 2c$
㉠에 의하여 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF’}} – 6 = 2c -6$
㉢에 의하여 $2c + (2c -6) = 22$
$4c = 28$
$c = 7$

(ⅱ) $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{FF’}}$인 경우
$\overline{\mathrm{FF’}} = 2c$이므로 $\overline{\mathrm{PF}} = 2c$
㉠에 의하여 $\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{PF’}} + 6 = 2c + 6$
㉢에 의하여 $2c + (2c + 6) = 22$
$4c = 16$
$c = 4$

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 $c$의 값의 합은
$7 + 4 = 11$

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 선분 $\mathrm{BC}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{CA}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{F}$라 하자. 네 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{X}$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|\,\overrightarrow{\mathrm{DP}} \,| = |\,\overrightarrow{\mathrm{EQ}} \,| = |\,\overrightarrow{\mathrm{FR}} \,| = 1$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{QC}} + \overrightarrow{\mathrm{RA}}$

$|\,\overrightarrow{\mathrm{AX}} \,|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이를 $S$라 하자. $16S^2$의 값을 구하시오. [4점]

$147$

조건 (가)에서 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{D}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이고, 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{E}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이고, 점 $\mathrm{R}$는 점 $\mathrm{F}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이다.
조건 (나)에서
$\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{QC}} + \overrightarrow{\mathrm{RA}}$
$= (\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DP}} )+ (\overrightarrow{\mathrm{EC}} -\overrightarrow{\mathrm{EQ}})+ (\overrightarrow{\mathrm{FA}}-\overrightarrow{\mathrm{FR}} )$
$= \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}} – (\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}})$
그런데 $\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}} = \overrightarrow{0}$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{AX}} = – (\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}})$

이때 $|\,\overrightarrow{\mathrm{AX}} \,|$의 값이 최대이려면 세 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{DP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{EQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{FR}}$의 방향이 모두 같야 한다. 즉, $|\,\overrightarrow{\mathrm{AX}} \,|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이와 같다.

삼각형 $\mathrm{DBE}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{DE}}^2 = \overline{\mathrm{DB}}^2 + \overline{\mathrm{BE}}^2 -2 \times \overline{\mathrm{DB}} \times \overline{\mathrm{BE}} \times \cos \frac{\pi}{3}$
$= 9 + 1 – 2 \times 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = 7$

따라서 삼각형 $\mathrm{DEF}$는 한 변의 길이가 $\sqrt{7}$인 정삼각형이므로
$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{7})^2 = \frac{7\sqrt{3}}{4}$
즉, $16S^2 = 16 \times \left( \frac{7\sqrt{3}}{4} \right)^2 =147$

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