23년 11월 고1 교육청
3. 이차방정식 $x^{2}-2x+5 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{10}$
② $\frac{1}{5}$
③ $\frac{3}{10}$
④ $\frac{2}{5}$
⑤ $\frac{1}{2}$
4. 연립부등식 $$\begin{cases} 3x \ge 2x+3 \\ \\ x-10 \le -x \end{cases}$$ 를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합은? [3점]
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
5. 좌표평면에서 원 $(x-a)^{2}+(y+4)^{2} = 16$을 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 도형이 원 $(x-8)^{2}+(y-b)^{2} = 16$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [3점]
① $5$
② $6$
③ $7$
④ $8$
⑤ $9$
6. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $f(x) = 2x+1$, $g(x)$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 $(g \circ g)(x) = 3x-1$일 때, $((f \circ g) \circ g)(a) = a$를 만족시키는 실수 $a$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{5}$
② $\frac{3}{5}$
③ $1$
④ $\frac{7}{5}$
⑤ $\frac{9}{5}$
7. 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(5, 1)$, $\mathrm{B}(-1, 4)$, $\mathrm{C}(a, b)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점의 좌표와 선분 $\mathrm{AC}$를 $2 : 1$로 외분하는 점의 좌표가 서로 같을 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
③
선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$,
선분 $\mathrm{AC}$를 $2 : 1$로 외분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자.
점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AQ}$의 중점이고
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표가 서로 같으므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{PB}}$
그러므로 점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이다. 
$a = \dfrac{1\times (-1)+2\times 5}{1+2} = 3$, $b = \dfrac{1\times 4+2\times 1}{1+2} = 2$
따라서 $a+b = 5$
8. 실수부분이 $1$인 복소수 $z$에 대하여 $\dfrac{z}{2+i}+\dfrac{\bar{z}}{2-i} = 2$일 때, $z\bar{z}$의 값은? (단, $i = \sqrt{-1}$이고, $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.) [3점]
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
9. 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A}(2, 4)$, $\mathrm{B}(5, 1)$이 있다. 직선 $y = -x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$일 때, 선분 $\mathrm{OP}$의 길이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]
① $\frac{\sqrt{2}}{4}$
② $\frac{\sqrt{2}}{2}$
③ $\sqrt{2}$
④ $2\sqrt{2}$
⑤ $4\sqrt{2}$
②
점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = -x$ 위의 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(a, -a)$라 하자.
$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$에서 $\overline{\mathrm{AP}}^{2} = \overline{\mathrm{BP}}^{2}$이므로
$(a-2)^{2}+(-a-4)^{2} = (a-5)^{2}+(-a-1)^{2}$
$2a^{2}+4a+20 = 2a^{2}-8a+26$
$12a = 6$에서 $a = \frac{1}{2}$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$이므로
$\overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
11. $x$에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} |\,x-5\,| \lt 1 \\ x^{2}-4ax+3a^{2} \gt 0 \end{cases}$$ 이 해를 갖지 않도록 하는 자연수 $a$의 개수는? [3점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
12. 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1, 0)$, $\mathrm{B}(6, 5)$와 직선 $y = x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$를 $\mathrm{P}_{0}$이라 하자. 직선 $\mathrm{AP}_{0}$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선이 점 $(9, a)$를 지날 때, $a$의 값은? [3점]
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
④
점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}’$이라 하면 점 $\mathrm{A}’$의 좌표는 $(0, 1)$이다.
$\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A’P}}+\overline{\mathrm{BP}} \ge \overline{\mathrm{A’B}}$에서
점 $\mathrm{P}_{0}$은 선분 $\mathrm{A’B}$ 위에 있다.
직선 $\mathrm{AP}_{0}$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선 $\mathrm{A’P}_{0}$은 직선 $\mathrm{A’B}$와 같다.
직선 $\mathrm{A’P}_{0}$의 방정식은 $y = \frac{2}{3}x+1$
점 $(9, a)$가 직선 $y = \frac{2}{3}x+1$ 위에 있으므로
$a = \frac{2}{3}\times 9+1 = 7$
13. 실수 에 대한 두 조건 $$\begin{align}&p : (x+1)(x+2)(x-3) = 0, \\ &q : x^{2}+kx+k-1 = 0 \end{align}$$ 에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 값의 곱은? [3점]
① $-18$
② $-16$
③ $-14$
④ $-12$
⑤ $-10$
④
$(x+1)(x+2)(x-3) = 0$에서 $x=-2$ 또는 $x=-1$ 또는 $x=3$이고,
$x^{2}+kx+k-1 = (x+1)(x+k-1) = 0$에서 $x=-1$ 또는 $x = -k+1$이므로
실수 $x$에 대한 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하면
$P = \{ -2, -1, 3 \}$, $Q = \{ -1, -k+1 \}$
$p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되려면 $Q \subset P$
$-k+1 \in Q$에서 $-k+1 \in P$이므로
$-k+1 = -2$이면 $k = 3$
$-k+1 = -1$이면 $k = 2$
$-k+1 = 3$이면 $k = -2$
따라서 모든 정수 $k$의 값의 곱은
$3\times 2\times (-2) = -12$
14. 원 $C : x^{2}+y^{2}-2x-ay-b = 0$에 대하여 좌표평면에서 원 $C$의 중심이 직선 $y = 2x-1$ 위에 있다.
원 $C$와 직선 $y = 2x-1$이 만나는 서로 다른 두 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자.
원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이의 최댓값이 $4$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이고, 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$도 아니고 점 $\mathrm{B}$도 아니다.) [4점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
④
$x^{2}+y^{2}-2x-ay-b = 0$에서
$(x-1)^{2}+(y-\frac{a}{2})^{2} = \frac{a^2}{4}+b+1$이므로
원 $C$의 중심의 좌표는 $(1, \frac{a}{2})$, 반지름의 길이는 $\sqrt{\frac{a^2}{4}+b+1}$
원 $C$의 중심이 직선 $y = 2x-1$ 위에 있으므로
$\frac{a}{2} = 2\times 1-1$에서 $a=2$
원 $C$의 반지름의 길이는 $\sqrt{b+2}$
삼각형 $\mathrm{ABP}$의 밑변을 선분 $\mathrm{AB}$라 하면 선분 $\mathrm{AB}$는 원 $C$의 지름이므로 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 높이의 최댓값은 원 $C$의 반지름의 길이와 같다.
그러므로 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이의 최댓값은
$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{b+2}\times \sqrt{b+2} = 4$
$b+2 = 4$, $b=2$
따라서 $a+b = 4$
15. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 역함수를 갖는다.
모든 실수 $x$에 대하여
$$f(x) = f^{-1}(x), \:f(x^{2}+1) = -2x^{2}+1$$
일 때, $f(-2)$의 값은? [4점]
① $\frac{3}{2}$
② $2$
③ $\frac{5}{2}$
④ $3$
⑤ $\frac{7}{2}$
③
$f(-2) = k$라 하면
함수 $f(x)$가 역함수를 가지므로 $f^{-1}(k) = -2$
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f^{-1}(x)$이므로
$-2x^{2}+1 = -2$에서 $x^{2} = \frac{3}{2}$
$f(x^{2}+1) = -2x^{2}+1$에 $x^{2} = \frac{3}{2}$을 대입하면
$f(\frac{5}{2}) = -2$
함수 $f(x)$가 역함수를 가지므로 일대일대응이다.
따라서 $k = \frac{5}{2}$
<참고>
$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} & (x \lt 1) \\ -2x+3 & (x \ge 1) \end{cases}$
16. 유리함수 $f(x) = \dfrac{4}{x-a}-4$ ($a \gt 1$)에 대하여 좌표평면에서 함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고 함수 $y = f(x)$의 그래프의 두 점근선이 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자.
사각형 $\mathrm{OBCA}$의 넓이가 $24$일 때, 상수 $a$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
① $3$
② $\frac{7}{2}$
③ $4$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $5$
⑤
유리함수 $y = \frac{4}{x-a}-4$ ($a \gt 1$)의 그래프의 두 점근선은 $x=a$, $y=-4$이고
$\mathrm{A}(a+1, 0)$, $\mathrm{B}(0, -\frac{4}{a}-4)$, $\mathrm{C}(a, -4)$이다.
유리함수 $y = f(x)$의 그래프와 사각형 $\mathrm{OBCA}$는 그림과 같다. 
사각형 $\mathrm{OBCA}$의 넓이를 $S$라 하면 $S$는 삼각형 $\mathrm{OCA}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이의 합과 같다.
점 $\mathrm{C}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하면
$S = \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{CD}} + \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{OB}}\times \overline{\mathrm{CE}}$
$ = \frac{1}{2}\times (a+1)\times 4 + \frac{1}{2}\times (\frac{4}{a}+1)\times a$
$= 4a+4$
$4a+4 = 24$에서 $a = 5$
17. 양수 $k$에 대하여 이차함수 $f(x) = -x^{2}+4x+k+3$의 그래프와 직선 $y = 2x+3$이 서로 다른 두 점 $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$에서 만난다. $\alpha \le x \le \beta$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $10$일 때, $\alpha \le x \le \beta$에서 함수 $f(x)$의 최솟값은? (단, $\alpha \lt \beta$) [4점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
①
이차함수 $f(x) = -(x-2)^{2}+k+7$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(2, k+7)$이고
직선 $y =2x+3$은 점 $(2, 7)$을 지난다.
$f(2) = k+7 \gt 7$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y =2x+3$은 그림과 같다. 
$\alpha \lt 2 \lt \beta$이므로 $\alpha \le x \le \beta$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $f(2)$, 최솟값은 $f(\alpha)$
$f(2) = k+7 = 10$에서 $k = 3$
$-x^{2}+4x+6 = 2x+3$에서 $(x+1)(x-3) = 0$이므로
$\alpha = -1$, $\beta = 3$
따라서 $-1 \le x \le 3$에서 함수 $f(x)$의 최솟값은
$f(-1) = -(-1)^{2} + 4\times (-1)+6 = 1$
18. 다항식 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$인 삼차다항식 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
다항식 $f(x)+g(x)$를 $x$로 나누었을 때의 나머지와
다항식 $f(x)+g(x)$를 $x^{2}+2x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}f(x)$로 같다.
$g(1) = 7$일 때, $f(3)$의 값은? [4점]
① $20$
② $22$
③ $24$
④ $26$
⑤ $28$
②
다항식 $f(x)+g(x)$를 로 나누었을 때의 나머지 $x^{2}+2x-\frac{1}{2}f(x)$는 상수이므로
$x^{2}+2x-\frac{1}{2}f(x) = R$ ($R$은 상수)
$f(x) = 2x^{2}+4x-2R$
다항식 $f(x)+g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차다항식이고 다항식 $f(x)+g(x)$를
$x^{2}+2x-2$로 나누었을 때의 나머지도 $R$이므로
$f(x)+g(x) = x(x^{2}+2x-2)+R$
$g(x) = x^{3}-6x+3R$
$g(1) = 7$에서 $R = 4$
따라서 $f(3) = 18+12-8 = 22$
19. 그림과 같이 함수 $f(x) = \sqrt{x-2}$와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$에 대하여 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 곡선 $y=f(x)$와 점 $\mathrm{P}$에서 만나고 직선 $l$이 곡선 $y=f^{-1}(x)$와 점 $\mathrm{Q}$에서 만난다.
다음은 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 넓이가 $\dfrac{25}{2}\pi$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 $a$ ($a \ge 0$)이라 하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(\fbox{ $\textbf{(가)}$ }, \:a)$이다.
두 곡선 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이고 두 직선 $l$과 $y = x$는 서로 수직이므로 두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다.
그러므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 점 $\mathrm{C}$는 직선 $y = x$ 위에 있다.
삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 넓이가 $\frac{25}{2}\pi$일 때,
점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $(\fbox{ $\textbf{(나)}$ }, \:\fbox{ $\textbf{(나)}$ })$이고,
$\overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{CO}}$에서 $a = \fbox{ $\textbf{(다)}$ }$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\fbox{ $\textbf{(다)}$ }$이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 $g(a)$라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $m$, $n$이라 할 때, $m+g(n)$의 값은? [4점]
① $8$
② $\frac{33}{4}$
③ $\frac{17}{2}$
④ $\frac{35}{4}$
⑤ $9$
③
점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 $a$ ($a \ge 0$)이라 하면
$\sqrt{x-2} = a$에서 $x a^{2}+2$
점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(\fbox{ $a^{2}+2$ }, a)$이다.
두 곡선 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이고 두 직선 $l$과 $y = x$는 서로 수직이므로 두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 직선 $y=x$에 대하여 서로 대칭이다.
그러므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 점 $\mathrm{C}$는 직선 $y = x$ 위에 있다.
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(k, k)$ ($k \gt 0$)이라 하면 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 반지름의 길이는 $\overline{\mathrm{CO}} = \sqrt{2}k$이고
삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 넓이는 $2k^{2}\pi$이다.
삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 넓이가 $\frac{25}{2}\pi$일 때,
$2k^{2}\pi = \frac{25}{2}\pi$에서 $k = \frac{5}{2}$이므로
점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $(\fbox{ $\frac{5}{2}$ }, \fbox{ $\frac{5}{2}$ }) $이고,
$\overline{\mathrm{CP}} = \overline{\mathrm{CO}}$에서 $\overline{\mathrm{CP}}^{2} = \overline{\mathrm{CO}}^{2}$이므로
$\{ (a^{2}+2)-\frac{5}{2} \}^{2} + (a-\frac{5}{2})^{2} = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^{2}$
$a^{4}-5a-6 = 0$에서
$(a+1)(a-2)(a^{2}+a+3) = 0$
$a \ge 0$이므로 $a = \fbox{ $2$ }$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\fbox{ $2$ }$이다.
$g(a) = a^{2}+2$, $m = \frac{5}{2}$, $n = 2$이므로
$m+g(n) = \frac{5}{2}+6 = \dfrac{17}{2}$
20. 실수 $t$ ($t \gt 0$)에 대하여 좌표평면 위에 네 점 $\mathrm{A}(1, 4)$, $\mathrm{B}(5, 4)$, $\mathrm{C}(2t, 0)$, $\mathrm{D}(0, t)$가 있다.
선분 $\mathrm{CD}$ 위에 $\angle \mathrm{APB} = 90^{\circ}$인 점 $\mathrm{P}$가 존재하도록 하는 $t$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값은? [4점]
① $2\sqrt{5}$
② $\frac{5\sqrt{5}}{2}$
③ $3\sqrt{5}$
④ $\frac{7\sqrt{5}}{2}$
⑤ $4\sqrt{5}$
①
$\angle \mathrm{APB} = 90^{\circ}$인 점 $\mathrm{P}$는 두 점 $\mathrm{A}(1, 4)$, $\mathrm{B}(5, 4)$를 지름의 양 끝점으로 하는 원 $C$ 위의 점이다.
점 $\mathrm{P}$는 중심의 좌표가 $(3, 4)$, 반지름의 길이가 $2$인 원 $C$ 위의 점이면서 선분 $\mathrm{CD}$ 위의 점이므로 직선 $l : y = -\frac{1}{2}x+t$와 원 $C$가 서로 만날 때 선분 $\mathrm{CD}$ 위에 $\angle \mathrm{APB} = 90^{\circ}$인 점 $\mathrm{P}$가 존재한다.
점 $(3, 4)$와 직선 $l : x+2y-2t = 0$ 사이의 거리는
$\frac{|3+2\times 4-2t|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \frac{|11-2t|}{\sqrt{5}}$
이므로 직선 $l$과 원 $C$가 서로 만나려면
$\frac{|11-2t|}{\sqrt{5}} \le 2$, $|2t-11| \le 2\sqrt{5}$
$-2\sqrt{5} \le 2t-11 \le 2\sqrt{5}$
$\frac{11-2\sqrt{5}}{2} \le t \le \frac{11+2\sqrt{5}}{2}$
따라서 $M = \frac{11+2\sqrt{5}}{2}$, $m = \frac{11-2\sqrt{5}}{2}$이므로
$M-m = 2\sqrt{5}$
21. $n(U) = 5$인 전체집합 $U$의 세 부분집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 $$n(B \cap C) = 2, \:n(B-A) = 1, \:n(C-A) = 2$$ 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $n(A \cap B \cap C) \ne 0$
ㄴ. $n(A \cap B \cap C) = 2$이면 $n(C) = 4$이다.
ㄷ. $n(A)\times n(B)\times n(C)$의 최댓값과 최솟값의 합은 $42$이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
⑤
ㄱ.
$n(A \cap B \cap C) = 0$이면
$n(B \cap C) = 2$에서 $n(A^{c} \cap B \cap C) = 2$
$n(B-A) \ge n(A^{c} \cap B \cap C) = 2$이므로
$n(B-A) = 1$을 만족시키지 않는다.
그러므로 $n(A \cap B \cap C) \ne 0$ (참)
ㄴ.
$n(A \cap B \cap C) = 2$이면
$n(B \cap C) = n(A \cap B \cap C) + n(A^{c} \cap B \cap C) = 2$이므로
$n(A^{c} \cap B \cap C) = 0$
$n(B-A) = n(A^{c} \cap B \cap C) + n(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = 1$이므로
$n(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = 1$
$n(C-A) = n(A^{c} \cap B \cap C) + n(A^{c} \cap B^{c} \cap C) = 2$이므로
$n(A^{c} \cap B^{c} \cap C) = 2$
$n(A \cap B \cap C)+n(A^{c} \cap B \cap C^{c})+n(A^{c} \cap B^{c} \cap C) = 5 = n(U)$
그러므로
$n(C) = n(A \cap B \cap C)+n(A^{c} \cap B^{c} \cap C) = 4$ (참)
ㄷ.
$n(B \cap C) = 2$이므로 ㄱ에 의하여
$n(A \cap B \cap C) = 1$ 또는 $n(A \cap B \cap C) = 2$
(ⅰ) $n(A \cap B \cap C) = 2$일 때
ㄴ에 의하여
$n(A) = n(A \cap B \cap C) = 2$
$n(B) = n(A \cap B \cap C)+n(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = 3$
$n(A)\times n(B)\times n(C) = 2\times 3\times 4 = 24$
(ⅱ) $n(A \cap B \cap C) = 1$일 때
$n(B \cap C) = 2$에서 $n(A^{c} \cap B \cap C) = 1$
$n(B-A) = 1$에서 $n(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = 0$
$n(C-A) = 2$에서 $n(A^{c} \cap B^{c} \cap C) = 1$
각 집합의 원소의 개수를 표현하면 그림과 같다. 
$n(A) = a+b+c+1$,
$n(B) = b+2$,
$n(C) = c+3$
이고 $a+b+c+d = 2$이다.
$n(A)\times n(B)\times n(C)$의 값이 최소가 되기 위해서는 $a=b=c=0$, $d=2$
이때 $n(A)\times n(B)\times n(C) = 1\times 2\times 3 = 6$
$n(A)\times n(B)\times n(C)$의 값이 최대가 되기 위해서는 $a=d=0$, $b+c = 2$
(a) $b=2$, $c=0$일 때
$n(A)\times n(B)\times n(C) = 3\times 4\times 3 = 36$
(b) $b=1$, $c=1$일 때
$n(A)\times n(B)\times n(C) = 3\times 3\times 4 = 36$
(c) $b=0$, $c=2$일 때
$n(A)\times n(B)\times n(C) = 3\times 2\times 5 = 30$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n(A)\times n(B)\times n(C)$의 최댓값은 $36$, 최솟값은 $6$
그러므로 의 최댓값과 최솟값의 합은 $42$ (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
24. 연립방정식 $$\begin{cases} x-y = 3 \\ \\ x^{2}-3xy+2y^{2} = 6 \end{cases}$$ 의 해가 $x = \alpha$, $y = \beta$일 때, $\alpha+\beta$의 값을 구하시오. [3점]
25. 정수 $k$에 대한 두 조건 $p$, $q$가 모두 참인 명제가 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합을 구하시오. [3점]
$p :$ 모든 실수 $x$에 대하여 $x^{2}+2kx+4k+5 \gt 0$이다.
$q :$어떤 실수 $x$에 대하여 $x^{2} = k-2$이다.
$9$
모든 실수 $x$에 대하여 $x^{2}+2kx+4k+5 \gt 0$이므로
이차방정식 $x^{2}+2kx+4k+5 = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$D = (2k)^{2}-4(4k+5) \lt 0$
$-1 \lt k \lt 5$
어떤 실수 $x$에 대하여 $x^{2} = k-2$이므로
$k-2 \ge 0$에서 $k \ge 2$
정수 $k$에 대한 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자.
$P = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$, $Q = \{ 2, 3, 4, \cdots \}$
$P \cap Q = \{ 2, 3, 4 \}$이므로 두 조건 $p$, $q$가 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 $k$의 값은 $2$, $3$, $4$이다.
따라서 모든 정수 $k$의 값의 합은 $9$
26. 좌표평면에서 점 $(a, a)$를 지나고 곡선 $y = x^{2}-4x+10$에 접하는 두 직선이 서로 수직일 때, 이 두 직선의 기울기의 합을 구하시오. [4점]
$15$
점 $(a, a)$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은
$y-a = m(x-a)$, $y = mx-am+a$
직선 $y = mx-am+a$가 곡선 $y = x^{2}-4x+10$에 접하므로
$x^{2}-4x+10 = mx-am+a$에서
이차방정식 $x^{2}-(m+4)x+am-a+10 = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$\begin{align} D &= (m+4)^{2}-4(am-a+10) \\ &= m^{2}+(8-4a)m+4a-24 =0 \end{align}$
이차방정식 $m^{2}+(8-4a)m+4a-24 =0$은 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 근을 $m_1$, $m_2$라 하면 두 접선의 기울기는 각각 $m_1$, $m_2$이다.
두 접선이 서로 수직이므로 $m_{1}m_{2} = -1$
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$m_{1}+m_{2} = 4a-8$, $m_{1}m_{2} = 4a-24$
$4a-24 = -1$에서 $4a = 23$이므로
$m_{1}+m_{2} = 4a-8 = 15$
따라서 두 접선의 기울기의 합은 $15$
27. 삼차방정식 $x^{3}-3x^{2}+4x-2 = 0$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, $\{ \omega (\bar{\omega}-1) \}^{n} = 256$을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하시오. (단, $\bar{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수이다.) [4점]
$16$
삼차방정식 $x^{3}-3x^{2}+4x-2 = 0$에서 $(x-1)(x^{2}-2x+2) = 0$
$\omega \ne 1$이므로
이차방정식 $x^{2}-2x+2 = 0$의 두 허근이 $\omega$, $\bar{\omega}$이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$\omega + \bar{\omega} = 2$, $\omega \bar{\omega} = 2$에서 $\omega \bar{\omega}-\omega = \bar{\omega}$
그러므로 $\{ \omega (\bar{\omega}-1) \}^{n} = (\omega \bar{\omega}-\omega)^{n} = \bar{\omega}^{n}$
이차방정식 $x^{2}-2x+2 = 0$의 두 근은 $1+i$, $1-i$
$\omega = 1+i$, $\bar{\omega} = 1-i$일 때
$\bar{\omega}^{2} = -2i$, $\bar{\omega}^{4} = -4$에서 $\bar{\omega}^{16} = 256$
마찬가지로 $\omega = 1-i$, $\bar{\omega} = 1+i$일 때도 $\bar{\omega}^{16} = 256$
따라서 $n = 16$
28. 그림과 같이 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$에서 단면 $\mathrm{AFC}$가 생기도록 사면체 $\mathrm{F-ABC}$를 잘라내었다.
입체도형 $\mathrm{ACD-EFGH}$의 모든 모서리의 길이의 합을 $l_1$, 겉넓이를 $S_1$이라 하고, 사면체 $\mathrm{F-ABC}$의 모든 모서리의 길이의 합을 $l_2$, 겉넓이를 $S_2$라 하자. $l_{1}-l_{2} = 28$, $S_{1}-S_{2} = 61$일 때, $\overline{\mathrm{AC}}^{\,2}+\overline{\mathrm{CF}}^{\,2}+\overline{\mathrm{FA}}^{\,2}$의 값을 구하시오. [4점]
$148$
$\overline{\mathrm{AB}} = x$, $\overline{\mathrm{AD}} = y$, $\overline{\mathrm{AE}} = z$라 하면
$l_{1} = 3x+3y+3z+\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CF}}+\overline{\mathrm{FA}}$
$l_{2} = x+y+z+\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CF}}+\overline{\mathrm{FA}}$
이므로 $l_{1}-l_{2} = 2x+2y+2z = 28$에서
$x+y+z = 14$
$S_{1} = xy+yz+zx+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}yz+\frac{1}{2}zx$ $+(\text{삼각형 } \mathrm{AFC} \text{의 넓이})$
$S_{2} = \frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}yz+\frac{1}{2}zx$ $+(\text{삼각형 } \mathrm{AFC} \text{의 넓이})$
이므로 $S_{1}-S_{2} = xy+yz+zx = 61$
$\begin{align} \overline{\mathrm{AC}}^{\,2}+\overline{\mathrm{CF}}^{\,2}+\overline{\mathrm{FA}}^{\,2} &= (x^{2}+y^{2})+(y^{2}+z^{2})+(z^{2}+x^{2}) \\ &= 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \\ &= 2\{ (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx) \} \\ &= 2 \times (14^{2}-2\times 61) = 148 \end{align}$
29. 집합 $X = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2 \}$에서 실수 전체의 집합으로의 일대일함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 집합 의 모든 원소 에 대하여
$\:\:\:\:\:\{ f(x)+x^{2}-5 \} \times \{ f(x)+4x \} = 0$이다.
(나) $f(0)\times f(1)\times f(2) \lt 0$
$f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)$의 값을 구하시오. [4점]
$26$
$\{ f(x)+x^{2}-5 \} \times \{ f(x)+4x \} = 0$에서
$g(x) = -x^{2}+5$, $h(x) = -4x$라 하면
집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) = g(x)$ 또는 $f(x) = h(x)$이다.
$g(x) = h(x)$에서 $x^{2}-4x-5 = 0$, $(x+1)(x-5) = 0$, $x = -1$
$g(-1) = h(-1) = 4$이므로 $f(-1) = 4$
이차함수 $y = g(x)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g(1) = g(-1)$
$f(1) = g(1) = 4$라 하면 함수 $f(x)$는 일대일함수가 아니다.
그러므로 $f(1) = h(1) = -4$
$g(x) = -4$에서 $x^{2}=9$, $x = -3$
$f(-3) = g(-3) = -4$라 하면 함수 $f(x)$는 일대일함수가 아니다.
그러므로 $f(-3) = h(-3) = 12$
$f(0) = h(0) = 0$이라 하면 조건 (나)를 만족시키지않는다.
그러므로 $f(0) = g(0) = 5$
$f(0)\times f(1)\times f(2) \lt 0$에서 $f(2) \gt 0$
$h(2) = -8 \lt 0$이므로 $f(2) = g(2) = 1$
이차함수 $y = g(x)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g(-2) = g(2)$
$f(-2) = g(-2) = 1$이라 하면 함수 $f(x)$는 일대일함수가 아니다.
그러므로 $f(-2) = h(-2) = 8$
따라서 $f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)$ $= 12+8+4+5+(-4)+1 = 26$
30. 양수 $m$에 대하여 두 함수 $f(x)$, $g(x)$는 $$f(x) = x^{2}+2x, \:g(x) = (x-m)^{2}+m$$ 이다. 실수 $t$ ($t \gt -1$)에 대하여 집합 $$\{ x\,|\, f(x) = t \textbf{ 또는 } g(x) = t, \, x\textbf{는 실수} \}$$ 의 모든 원소의 합을 $h(t)$라 하자. 함수 $h(t)$의 치역의 모든 원소의 합이 $19$일 때, $m$의 값을 구하시오. [4점]
$6$
$\{ x\,|\, f(x) = t \text{ 또는 } g(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$
$= \{ x\,|\, f(x) = t, \, x\text{는 실수} \} \cup \{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$
이므로 집합 $\{ x\,|\, f(x) = t \text{ 또는 } g(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$의 원소는 이차함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 $x$좌표 또는 이차함수 $y = g(x)$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 $x$좌표이다.
이차함수 $f(x) = x^{2}+2x$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-1, -1)$
이차함수 $g(x) = (x-m)^{2}+m$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(m, m)$
$x^{2}+2x = (x-m)^{2}+m$에서 $x = \frac{m}{2}$
두 이차함수 $y = f(x)$, $y = g(x)$의 그래프의 교점의 좌표는 $(\frac{m}{2}, \frac{m^2}{4}+m)$이므로
$t \ne \frac{m^2}{4}+m$일 때
$\{ x\,|\, f(x) = t, \, x\text{는 실수} \} \cup \{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \} = \varnothing$ $\cdots$ ㉠
$t \ne \frac{m^2}{4}+m$일 때
$\{ x\,|\, f(x) = t, \, x\text{는 실수} \} \cup \{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \} = \{ \frac{m}{2} \}$ $\cdots$ ㉡
두 이차함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프 및 직선 는 그림과 같다. 
직선 $y=t$ ($t \gt -1$)은 이차함수 $y=f(x)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 $y = f(x)$의 그래프는 직선 $x=-1$에 대하여 대칭이다.
그러므로 집합 $\{ x\,|\, f(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$는 실수 의 모든 원소의 합은 $-2$ $\cdots$ ㉢
(ⅰ) $-1 \lt t \lt m$일 때
직선 $y=t$는 이차함수 $y=g(x)$의 그래프와 만나지 않으므로
$\{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \} = \varnothing$이고 ㉢에 의하여 $h(t) = -2$
(ⅱ) $t = m$일 때
직선 $y=m$은 이차함수 $y=g(x)$의 그래프와 한 점 $(m, m)$에서 만나므로
$\{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \} = \{ m \}$이고 ㉠, ㉢에 의하여 $h(t) = m-2$
(ⅲ) $m \lt t \lt \frac{m^2}{4}+m$ 또는 $t \gt \frac{m^2}{4}+m$일 때
직선 $y=t$는 이차함수 $y = g(x)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다.
이차함수 $y = g(x)$의 그래프는 직선 $x=m$에 대하여 대칭이므로 집합 $\{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$의 모든 원소의 합은 $2m$이고 ㉠, ㉢에 의하여 $h(t) = 2m-2$
(ⅳ) $t = \frac{m^2}{4}+m$일 때
직선 $y = \frac{m^2}{4}+m$은 이차함수 $y = g(x)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다.
이차함수 $y = g(x)$의 그래프는 직선 $x=m$에 대하여 대칭이므로 집합 $\{ x\,|\, g(x) = t, \, x\text{는 실수} \}$의 모든 원소의 합은 $2m$이고 ㉡, ㉢에 의하여 $h(t) = 2m-2-\frac{m}{2} = \frac{3}{2}m-2$
(ⅰ)~(ⅳ)에의하여 함수 는 다음과 같다.
$h(t) = \begin{cases} -2 & (-1 \lt t \lt m) \\ m-2 & (t = m) \\ 2m-2 & ( m \lt t \lt \frac{m^2}{4}+m \text{ 또는 } t \gt \frac{m^2}{4}+m) \\ \frac{3}{2}m-2 & (t = \frac{m^2}{4}+m) \end{cases}$
함수 $h(t)$의 치역은 $\{ -2, m-2, \frac{3}{2}m-2, 2m-2 \}$이므로 모든 원소의 합은
$-2+(m-2)+(\frac{3}{2}m-2)+(2m-2) = 19$
따라서 $m = 6$