24년 10월 고1 교육청
6. 연립방정식 $$\begin{cases} \,x-y=2 \\ \,x^{2} + 8x + y^{2} = 2 \end{cases}$$ 의 해를 $x = \alpha$, $y = \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$의 값은? [3점]
① $-1$
② $-2$
③ $-3$
④ $-4$
⑤ $-5$
7. 다항식 $P(x)$는 $x+2$로 나누어떨어지고, $P(x)$를 $x-4$로 나누었을 때의 나머지가 $12$이다. $P(x)$를 $x^{2}-2x-8$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(1)$의 값은? [3점]
① $5$
② $6$
③ $7$
④ $8$
⑤ $9$
8. 실수가 아닌 복소수 $z$에 대하여 $z-3\bar{z} = z^{2}$일 때, $z\bar{z}$의 값은? (단, $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.) [3점]
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
9. 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(3, \,0)$, $\mathrm{B}(0, \,a)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 3$으로 외분하는 점이 원 $(x-3)^{2}+(y + 8)^{2}=36$ 위에 있을 때, $a$의 값은? [3점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
②
선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 3$ 으로 외분하는 점의 좌표는
$\dfrac{2 \times 0-3 \times 3}{2-3} = 9$, $\dfrac{2 \times a-3 \times 0}{2-3} = -2a$
에서 $(9, -2a)$
이 점이 원 $(x-3)^{2}+(y + 8)^{2}=36$ 위에 있으므로
$(9-3)^{2}+(-2a + 8)^{2}=36$
$(-2a + 8)^{2} = 0$
따라서 $a = 4$
자연수 $k$ 에 대하여
$a_{2k}+a_{2k+1} = 4k$, $a_{2k-1}+a_{2k} = 4k -2 $ 이므로
$a_{2k+1} – a_{2k-1} = 2$
즉, 수열 $\{ a_{2k-1} \}$ 은 공차가 $2$ 인 등차수열이다.
그러므로 $a_{2k-1} =a_{1} + (k-1) \times 2$ $\cdots \cdots$ ㉠
㉠에 $k=11$ 을 대입하면 $a_{21} =a_{1} + 20$ $\cdots \cdots$ ㉡
모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} + a_{n+1} = 2n$ 이므로
$n=21$ 을 대입하면 $a_{21} + a_{22} = 42$ $\cdots \cdots$ ㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
$(a_{1} + 20) + a_{22} = 42$
따라서 $a_{1} + a_{22} = 22$
10. 중심이 원점이고 직선 $y = -2x+k$와 만나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 $C$라 하자. 원 $C$의 넓이가 $45\pi$일 때, 양의 상수 $k$의 값은? [3점]
① $15$
② $16$
③ $17$
④ $18$
⑤ $19$
①
중심이 원점이고 직선 $y = -2x+k$와 만나는 원의 넓이가 최소가 되려면 원점과 직선 $2x + y-k=0$ 사이의 거리가 반지름의 길이와 같아야 한다.
원점과 직선 $2x + y-k=0$ 사이의 거리는
$\dfrac{|\,2 \times 0 + 1 \times 0-k\,|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} = \dfrac{|\,-k\,|}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}k$
원 $C$의 반지름의 길이를 $r$이라 하자.
원 $C$의 넓이가 $45\pi$이므로
$r^{2}\pi = 45\pi$에서 $r = 3\sqrt{5}$
따라서 $\frac{\sqrt{5}}{5}k = 3\sqrt{5}$이므로 $k = 15$
11. 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(1, \,2)$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $(6, \,7)$, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점의 좌표가 $(a, \,6)$이고 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표는 $(5, \,b)$ 일 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $8$
② $9$
③ $10$
④ $11$
⑤ $12$
③
점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $\mathrm{B}(p, q)$라 하자.
선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $(6, 7)$이므로
$\frac{1+p}{2} = 6$, $\frac{2+q}{2} = 7$에서 $p = 11$, $q = 12$
그러므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B}(11, 12)$
선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자.
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심은 선분 $\mathrm{BM}$을 $2 : 1$로
내분하는 점이므로
$\frac{2 \times a+1 \times 11}{2+1} = 5$, $\frac{2 \times 6+1 \times 12}{2+1} = b$에서
$a = 2$, $b = 8$
따라서 $a+b = 10$
곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수는
방정식 $f(x)=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,
(ⅰ) $0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$ 일 때,
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
(ⅱ) $\frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$ 일 때,
$2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) – \sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 에서 $\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
그러므로 교점의 개수는 구간 $[0,\, 2 \pi]$ 에서 방정식
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
$k=1$, $k=5$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{1}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{1}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=2$, $k=4$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=3$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = 1$ 이므로
$\sin x = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $1$ 이다.
따라서 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ $=2+2+1+2+2=9$
12. 세 집합 $A$, $B$, $C$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$
(나) $n((A \cup C) \cap (B \cup C)) = 2 \times n(B-C)$
$n(B \cup C) = 12$일 때, $n(C)$의 값은? [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
③
$n(A \cup B) = n(A) + n(B)-n(A \cap B)$이므로 조건 (가)에서
$n(A \cap B) = 0$, $A \cap B = \varnothing$
그러므로
$(A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup C$
$= \varnothing \cup C = C$
조건 (나)에 의하여
$n(C) = 2 \times n(B-C)$ $= 2 \times \{ n(B \cup C)-n(C) \}$
$n(C) = \frac{2}{3} \times n(B \cup C)$
따라서 $n(B \cup C) = 12$에서 $n(C) = 8$
13. 두 집합 $A = \{ 1, 3, 4 \}$, $B = \left\{ \dfrac{x+k}{2} \bigg\vert x \in A \right\}$에 대하여 $(A \cap B) \subset X \subset A$를 만족시키는 집합 $X$의 개수가 $2$일 때, 상수 $k$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
⑤
$n(A \cap B) = p$라 하면
$(A \cap B) \subset X \subset A$를 만족시키는 집합 $X$의 개수는 $2^{3-p}$이므로 $2^{3-p} = 2$에서 $p = 2$
$n(A \cap B) = 2$이므로 집합 $A$의 세 원소 $1$, $3$, $4$ 중 $2$개는 집합 $B$의 원소이고 나머지 $1$개는 집합 $B$의 원소가 아니다.
$B = \{ \frac{k+1}{2}, \frac{k+3}{2}, \frac{k+4}{2} \}$에서 집합 $B$의 두 원소의 차의 최댓값은 $\frac{3}{2}$이므로 $n(A \cap B) = 2$이려면 $1 \notin B$, $3 \in B$, $4 \in B$이어야 한다.
집합 $B$의 원소 중 차가 $1$인 두 원소는 $\frac{k+1}{2}$, $\frac{k+3}{2}$이므로
$\frac{k+1}{2} = 3$, $\frac{k+3}{2} = 4$
따라서 $k = 5$
14. $x$에 대한 연립부등식 $$\begin{cases} \,(x+9)(x-a^{2}+6a) \le 0 \\ \,(x-2a)(x-2a+16) \le 0 \end{cases}$$ 을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합은? [4점]
① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$
⑤
$\begin{cases} \,(x+9)(x-a^{2}+6a) \le 0 & \cdots\cdots\textbf{ ㉠} \\ \,(x-2a)(x-2a+16) \le 0 & \cdots\cdots\textbf{ ㉡} \end{cases}$
$(a^{2}-6a)-(-9) = (a-3)^{2}$이므로
$a=3$이면 $a^{2}-6a = -9$이고,
$a \ne 3$이면 $a^{2}-6a gt -9$이다.
(ⅰ) $a=3$일 때
㉠에서 $(x+9)^{2} \le 0$이므로 $x = -9$
㉡에서 $(x-6)(x+10) \le 0$이므로 $-10 \le x \le 6$
그러므로 연립부등식을 만족시키는 실수 $x$의 값은 $-9$ 뿐이다.
(ⅱ) $a \ne 3$일 때
㉠에서 $-9 \le x \le a^{2}-6a$,
㉡에서 $2a-16 \le x \le 2a$이므로
연립부등식을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하려면 $2a = -9$이거나 $a^{2}-6a = 2a-16$이어야 한다.
$2a = -9$이면 $a = -\frac{9}{2}$,
$a^{2}-8a+16 = (a-4)^{2} = 0$이면 $a = 4$이므로
연립부등식을 만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하도록 하는 실수 $a$의 값은 $-\frac{9}{2}$, $4$
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 연립부등식을만족시키는 실수 $x$가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 합은
$3 + (-\frac{9}{2}) + 4 = \dfrac{5}{2}$
15. 원 $C: x^{2} + y^{2} = 4$ 위에 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}(a, \,b)$, $\mathrm{B}(b, \,a)$가 있다. 원 위의 점 중 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$, $\overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{BQ}}$를 만족시키는 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대하여 사각형 $\mathrm{APBQ}$의 넓이가 $2\sqrt{2}$일 때, $a \times b$의 값은? [4점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{3}{4}$
③ $1$
④ $\frac{5}{4}$
⑤ $\frac{3}{2}$
⑤
두 점 $\mathrm{A}(a, b)$, $\mathrm{B}(b, a)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이고 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$, $\overline{\mathrm{AQ}} = \overline{\mathrm{BQ}}$를 만족시키는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점이다.
이때, 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선은 직선 $y = x$이므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 원 $C$와 직선 $y = x$가 만나는 점이다.
선분 $\mathrm{PQ}$는 원 $C$의 지름이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = 4$
선분 $\mathrm{AB}$와 직선 $y = x$가 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하자.
사각형 $\mathrm{APBQ}$는 넓이가 $2\sqrt{2}$이고
사각형 $\mathrm{APBQ}$의 넓이는 두 삼각형 $\mathrm{APQ}$, $\mathrm{BQP}$의 넓이의 합과 같으므로
$\frac{1}{2} \times 4 \times \overline{\mathrm{AH}} + \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{\mathrm{BH}}$ $= 2 (\overline{\mathrm{AH}} + \overline{\mathrm{BH}}) = 2 \overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}$
에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$
또한 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(b-a)^{2} + (a-b)^{2}} = \sqrt{2(a-b)^{2}}$이므로
$\sqrt{2(a-b)^{2}} = \sqrt{2}$에서 $|\,a-b\,| = 1$
양변을 제곱하면 $a^{2}+2ab+b^{2} = 1$
점 $\mathrm{A}(a, b)$가 원 $C$ 위의 점이므로 $a^{2} + b^{2} = 4$
따라서 두 식을 연립하여 계산하면 $a \times b = \dfrac{3}{2}$ 
16. 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 실수 $x$에 대한 두 조건 $$p : x^{2}-4x+a+2 \le 0,$$ $$q : 0 \lt |\,x-b\,| \le 4$$ 의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. $$P \ne \varnothing, \:P \subset Q$$ 가 되도록 하는 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $(a, \,b)$의 개수는? [4점]
① $5$
② $6$
③ $7$
④ $8$
⑤ $9$
③
$P \ne \varnothing$이려면 $x^{2}-4x+a+2 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$가 존재해야 한다.
이차방정식 $x^{2}-4x+a+2 \le 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = (-4)^{2}-4(a+2)$이고 $D \ge 0$이어야 하므로
$(-4)^{2}-4(a+2) \ge 0$에서 $a \le 0$
$P \ne \varnothing$가 되도록 하는 자연수 $a$의 값은 $1$, $2$
또한 $0 \lt |\,x-b\,| \le 4$에서
$Q = \{ x\,| \,b-4 \le x \lt b \textbf{ 또는 } b \lt x \le b+4\,\}$
(ⅰ) $a = 1$일 때
$x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3) \le 0$에서
$P = \{ x\,| \,1 \le x \le 3\,\}$이므로 $P \subset Q$이려면
$P \subset \{ x\,| \,b-4 \le x \lt b \,\}$이거나 $P \subset \{ x\,| \,b \lt x \le b+4\,\}$이어야 한다.
(a) $P \subset \{ x\,| \,b-4 \le x \lt b \,\}$일 때
$b-4 \le 1$, $3 \lt b$에서 $3 \lt b \le 5$이므로 $P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은 $4$, $5$
그러므로 $P \ne \varnothing$, $P \subset Q$가 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $(a, b)$는
$(1, 4)$, $(1, 5)$
(b) $P \subset \{ x\,| \,b \lt x \le b+4\,\}$일 때 
$b \lt 1$, $3 \le b+4$에서 $-1 \le b \lt 1$이므로 $P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅱ) $a = 2$일 때
$x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2} \le 0$에서 $P = \{ 2 \}$이므로 $P \subset Q$이려면
$b-4 \le 2 \lt b$ 또는 $b \lt 2 \le b+4$이어야 하므로
$2 \lt b \le 6$ 또는 $-2 \le b \lt 2$
$P \subset Q$가 되도록 하는 자연수 $b$의 값은
$1$, $3$, $4$, $5$, $6$
그러므로 $P \ne \varnothing$, $P \subset Q$가 되도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $(a, b)$는
$(2, 1)$, $(2, 3)$, $(2, 4)$, $(2, 5)$, $(2, 6)$
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $(a, b)$의 개수는 $7$
17. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $f(p) = f(q)$인 서로 다른 두 정수 $p$, $q$가 존재한다.
(나) $n \le x \le n+3$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f(n) \times f(n+3)$의 값과 같지 않도록 하는 모든 자연수 $n$의 값은 $4$, $5$, $6$이다.
함수 $f(x)$의 최솟값이 $1$일 때, $f(8)$의 값은? [4점]
① $3$
② $\frac{13}{4}$
③ $\frac{7}{2}$
④ $\frac{15}{4}$
⑤ $6$
②
조건 (가)에서 $f(p) = f(q)$ ($p$, $q$는 서로 다른 정수)이므로 이차함수 $y = f(x)$의 그래프는 직선 $x = \frac{p+q}{2}$에 대하여 대칭이다.
$n+3 \le \frac{p+q}{2}$이거나 $\frac{p+q}{2} \le n$이면
$n \le x \le n+3$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f(n) \times f(n+3)$의 값과 같아지므로
$n \le x \le n+3$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f(n) \times f(n+3)$의 값과 같지 않으려면 $n \lt \frac{p+q}{2} \lt n+3$이어야 한다.
조건 (나)에 의하여 이 부등식이 성립하도록 하는모든 자연수 $n$의 값은 $4$, $5$, $6$이므로
$6 \lt \frac{p+q}{2} \lt 7$
$12 \lt p+q \lt 14$에서 $p+q = 13$이므로 이차함수 $y = f(x)$의 그래프의 축의 방정식은 $x = \frac{13}{2}$이다.
또한 이차함수 $f(x)$의 최솟값이 $1$이므로
$f(x) = (x-\frac{13}{2})^{2} + 1$
따라서 $f(8) = (8-\frac{13}{2})^{2} + 1$ $= \dfrac{13}{4}$
18. $2$가 아닌 양수 $a$에 대하여 직선 $x = a$가 두 함수 $f(x) = x^{2}-3x+3$, $g(x) = 2x^{2}-4x$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하고, 직선 $x = a$가 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\overline{\mathrm{PR}} + \overline{\mathrm{QR}} \le 3$을 만족시키는 $a$의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점]
① $2$
② $\frac{7}{3}$
③ $\frac{8}{3}$
④ $3$
⑤ $\frac{10}{3}$
⑤
세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 좌표는 각각
$\mathrm{P}(a, a^{2}-3a+3)$, $\mathrm{Q}(a, 2a^{2}-4a)$, $\mathrm{R}(a, 0)$이므로
$\overline{\mathrm{PR}} = |\,a^{2}-3a+3\,|$, $\overline{\mathrm{QR}} = |\,2a^{2}-4a\,|$이다.
이차방정식 $x^{2}-3x+3 = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$D = (-3)^{2}-4 \times1 \times 3 = -3 \lt 0$이므로
모든 실수 $x$에 대하여 $x^{2}-3x+3 \gt 0$
그러므로 $\overline{\mathrm{PR}} = a^{2}-3a+3$
$2a^{2}-4a = 2a(a-2)$에서
$0 \lt a \lt 2$이면 $2a^{2}-4a \lt 0$이므로 $\overline{\mathrm{QR}} = -2a^{2}+4a$,
$a \gt 2$이면 $2a^{2}-4a \gt 0$이므로 $\overline{\mathrm{QR}} = 2a^{2}-4a$이다.
(ⅰ) $0 \lt a \lt 2$일 때
$\overline{\mathrm{PR}} + \overline{\mathrm{QR}} = (a^{2}-3a+3)+(-2a^{2}+4a) \le 3$에서 $a(a-1) \ge 0$이므로
$a \le 0$ 또는 $a \ge 1$
그러므로 $1 \le a \lt 2$
(ⅱ) $a \gt 2$일 때
$\overline{\mathrm{PR}} + \overline{\mathrm{QR}} = (a^{2}-3a+3)+(2a^{2}-4a) \le 3$에서 $3a(a-\frac{7}{3}) \le 0$이므로
$0 \le a \le \frac{7}{3}$
그러므로 $2 \lt a \le \frac{7}{3}$
(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 $1 \le a \lt 2$ 또는 $2 \lt a \le \frac{7}{3}$
따라서 실수 $a$의 최댓값과 최솟값의 합은
$\frac{7}{3}+1 = \dfrac{10}{3}$
19. 곡선 $y = -x^{2}+6x$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원을 $C$라 하자. 원 $C$의 넓이가 $8\pi$이고, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $1$인 직선이 원 $C$에 접할 때, 직선 $\mathrm{A}$의 $y$절편은? [4점]
① $\frac{27}{4}$
② $\frac{29}{4}$
③ $\frac{31}{4}$
④ $\frac{33}{4}$
⑤ $\frac{35}{4}$
④
원 $C$의 반지름의 길이를 $r$이라 하자.
원 $C$의 넓이가 $8\pi$이므로 $r^{2}\pi = 8\pi$에서
$r = 2\sqrt{2}$이고 $\overline{\mathrm{AB}} = 4\sqrt{2}$
점 $\mathrm{A}$를 지나고 원 $C$에 접하는 직선과 직선 $\mathrm{AB}$는 서로 수직이므로 직선 의 기울기는 $-1$
직선 $\mathrm{AB}$의 $y$절편을 $k$라 하면 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = -x+k$
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 하자.
곡선 $y = -x^{2}+6x$와 직선 $y = -x+k$가 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 만나므로 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x^{2}-7x+k = 0$의 서로 다른 두 실근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 7$, $\alpha \beta = k$
$\overline{\mathrm{AB}} = 4\sqrt{2}$이고 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $-1$이므로
$(\beta-\alpha)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$에서 $\beta-\alpha = 4$
두 식을 연립하여 계산하면 $\alpha = \frac{3}{2}$, $\beta = \frac{11}{2}$
따라서 직선 $\mathrm{AB}$의 $y$절편은 $\frac{3}{2} \times \frac{11}{2} = \dfrac{33}{4}$
20. 양수 $a$에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}} = 3a^{2}+10a+7$, $\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AE}} = a$인 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : a$로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{DC}$를 $1 : a$로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$에서 단면 $\mathrm{PFGQ}$가 생기도록 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$를 잘라 내었다. 사각기둥 $\mathrm{AEFP-DHGQ}$의 부피를 $V_1$, 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$의 부피를 $V_2$라 하자. $V_{1}-V_{2} = 4$일 때, 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는? [4점]
① $\frac{15}{2}$
② $8$
③ $\frac{17}{2}$
④ $9$
⑤ $\frac{19}{2}$
④
점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : a$로 내분하는 점이고
점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{DC}$를 $1 : a$로 내분하는 점이므로
두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{DC}$의 길이는
$\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{DQ}} = (3a^{2}+10a+7) \times \dfrac{1}{1+a} = 3a+7$
점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}’$,
점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{HG}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}’$이라 하자.
삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$의 부피는 삼각기둥 $\mathrm{PP’F-QQ’G}$의 부피와 같으므로
$V_{1}-V_{2} = V_{1}\,-\,$(삼각기둥 $\mathrm{PP’F-QQ’G}$의 부피)
$=\,$(직육면체 $\mathrm{APQD-EP’Q’H}$의 부피)
$= (3a+7) \times a \times a = 3a^{3} + 7a^{2}$
$V_{1}-V_{2} = 4$에서
$3a^{3} + 7a^{2}-4 = 0$
조립제법을 이용하여 인수분해하면 
$3a^{3} + 7a^{2}-4 = (a+1)(a^{2}+4a-4)$
$= (a+1)(a+2)(3a-2) = 0$
$a \gt 0$에서 $a = \dfrac{2}{3}$
따라서 선분 AP의 길이는 $3 \times \frac{2}{3} + 7 = 9$
21 .좌표평면 위의 두 원 $$C_{1} : (x-2)^{2} + (y-6)^{2} = 1,$$ $$C_{2} : (x-6)^{2} + (y-4)^{2} = 9$$ 에 대하여 원 $C_{1}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$, 원 $C_{2}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, $y$축 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$가 있다. 두 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{R'}$, $\mathrm{S'}$이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
ㄱ. 두 점 $\mathrm{A}(4, 2)$, $\mathrm{A'}(4, -2)$에 대하여 $\overline{\mathrm{AR}} = \overline{\mathrm{A'R'}}$이다.
ㄴ. 점 $\mathrm{A}(4, 2)$에 대하여 $\overline{\mathrm{AR}} + \overline{\mathrm{PR'}}$의 최솟값은 $9$이다.
ㄷ. 점 $\mathrm{B}(a, 6a+1)$ ($a$는 양의 상수)에 대하여
$$(\overline{\mathrm{BR}} + \overline{\mathrm{PR'}}\textbf{의 최솟값}) = (\overline{\mathrm{BS}} + \overline{\mathrm{QS'}}\textbf{의 최솟값}) + 2$$일 때, $\overline{\mathrm{OB}}$의 값은 $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$이다.
①ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
⑤
두 원 $C_{1}$, $C_{2}$의 중심을 각각 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$라 하면 두 점 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$의 좌표는 각각 $\mathrm{O}_1(2, 6)$, $\mathrm{O}_2(6, 4)$이고
두 원 $C_{1}$, $C_{2}$의 반지름의 길이는 각각 $1$, $3$이다.
두 원 $C_{1}$, $C_{2}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 원을 각각 $C_{1}’$, $C_{2}’$이라 하고
네 점 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{O}_1’$, $\mathrm{O}_2’$, $\mathrm{P}’$, $\mathrm{Q}’$이라 하고
점 $\mathrm{B}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}’$이라
하자.
ㄱ.
두 점 $\mathrm{A}(4, 2)$, $\mathrm{A’}(4, -2)$는 $x$축에 대하여 대칭이므로 두 선분 $\mathrm{AR} = \mathrm{A’R’}$은 $x$축에 대하여 대칭이다.
그러므로 $\overline{\mathrm{AR}} = \overline{\mathrm{A’R’}}$ (참)
ㄴ.
ㄱ에 의하여 $\overline{\mathrm{AR}} = \overline{\mathrm{A’R’}}$
두 선분 $\mathrm{PR’}$, $\mathrm{P’R’}$은 $y$축에 대하여 대칭이므로
$\overline{\mathrm{PR’}} = \overline{\mathrm{P’R’}}$
$\overline{\mathrm{AR}} + \overline{\mathrm{P’R’}} = \overline{\mathrm{A’R’}} + \overline{\mathrm{P’R’}}$
$= (\overline{\mathrm{A’R’}} + \overline{\mathrm{R’P’}} + \overline{\mathrm{P’O_{1}’}})-1$
$\overline{\mathrm{A’R’}} + \overline{\mathrm{R’P’}} + \overline{\mathrm{P’O_{1}’}}$의 값은 두 점 $\mathrm{R’}$, $\mathrm{P’}$이 선분 $\mathrm{A’O_{1}’}$ 위에 있을 때 최소이고 그 값은 $\overline{\mathrm{A’O_{1}’}}$이다.
그러므로 $\overline{\mathrm{AR}} + \overline{\mathrm{PR’}}$의 최솟값은 $\overline{\mathrm{A’O_{1}’}}-1$ $= \sqrt{ \{ 4-(-2)\}^{2} + \{ (-2)-6\}^{2}}-1 = 9$ (참) 
ㄷ.
ㄴ과 같은 방법으로
$(\overline{\mathrm{BR}} + \overline{\mathrm{PR’}}\textbf{의 최솟값}) = \overline{\mathrm{B’O_{1}’}}-1$
$(\overline{\mathrm{BS}} + \overline{\mathrm{QS’}}\textbf{의 최솟값}) = \overline{\mathrm{B’O_{2}’}}-3$
이므로
$(\overline{\mathrm{BR}} + \overline{\mathrm{PR’}}\textbf{의 최솟값}) = (\overline{\mathrm{BS}} + \overline{\mathrm{QS’}}\textbf{의 최솟값}) + 2$
에서
$\overline{\mathrm{B’O_{1}’}}-1 = (\overline{\mathrm{B’O_{2}’}}-3) + 2$
$\overline{\mathrm{B’O_{1}’}} = \overline{\mathrm{B’O_{2}’}}$
점 $\mathrm{B’}$에서 두 점 $\mathrm{O_1′}$, $\mathrm{O_2′}$까지의 거리가 같으므로 점 $\mathrm{B’}$은 선분 $\mathrm{O_1’O_2′}$의 수직이등분선 위에 있다.
두 점 $\mathrm{O_1′}$, $\mathrm{O_2′}$′의 좌표는 각각 $\mathrm{O_1′}(-2, 6)$, $\mathrm{O_2′}(-6, 4)$이므로 선분 $\mathrm{O_1’O_2′}$′의 중점의 좌표는 $(-4, 5)$
또한 직선 $\mathrm{O_1’O_2′}$의 기울기는 $\dfrac{4-6}{-6-(-2)} = \dfrac{1}{2}$이므로 선분 $\mathrm{O_1’O_2′}$의 수직이등분선은 점 $(-4, 5)$를 지나고 기울기가 $-2$인 직선이다. 그러므로 선분 $\mathrm{O_1’O_2′}$의 수직이등분선의 방정식은
$y-5 = -2\{x-(-4)\}$
$y = -2x-3$
점 $\mathrm{B’}(a, -6a-1)$이 이 직선 위의 점이므로
$-6a-1 = -2a-3$에서 $a = \frac{1}{2}$
점 $\mathrm{B}$의 좌표가 $\mathrm{B}(\frac{1}{2}, 4)$이므로
$\overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} + 4^{2}}$ $= \dfrac{\sqrt{65}}{2}$ (참) 
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
23. $x$에 대한 방정식 $$x^{3} + 3x^{2} + (16-a)x + a-20 = 0$$ 이 허근을 갖도록 하는 자연수 $a$의 개수를 구하시오. [3점]
$15$
삼차방정식 $x^{3} + 3x^{2} + (16-a)x + a-20 = 0$을 조립제법을 이용하여 인수분해하면
$x^{3} + 3x^{2} + (16-a)x + a-20 = (x-1)(x^{2}+4x + 20-a) = 0$이므로 방정식 $x^{3} + 3x^{2} + (16-a)x + a-20 = 0$이 허근을 가지려면 이차방정식 $x^{2}+4x + 20-a = 0$이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다.
이차방정식 $x^{2}+4x + 20-a = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$D = 4^{2}-4(20-a) \lt 0$에서 $a \lt 16$
따라서 구하는 자연수 $a$의 개수는 $15$
24. 실수 $x$에 대한 두 조건 $$p : x + 5 \le k,$$ $$q : x^{2}-8x + 12 = 0$$ 에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오. [3점]
$11$
$x + 5 \le k$에서 $x \le k-5$이고
$x^{2}-8x + 12 = (x-2)(x-6) = 0$에서 $x = 2$ 또는 $x = 6$
그러므로 실수 $x$에 대한 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하면
$P = \{\,x\,|\,x \le k-5 \,\}$, $P = \{\,2, 6\,\}$
$p$가 $q$이기 위한 필요조건이 되려면 $Q \subset P$이어야 하므로
$2 \le k-5$, $6 \le k-5$에서 $k \ge 11$
따라서 구하는 실수 $k$의 최솟값은 $11$
25. 다항식 $(x^{2} + 2x)(2x^{2} + 4x + 5) + 3$이 $(x+a)^{2}(2x^{2} + bx + c)$로 인수분해될 때, $a + b + c$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.) [3점]
26. 좌표평면에서 두 직선 $y = 2x+6$, $y = -2x+6$에 모두 접하고 점 $(2, \,0)$을 지나는 서로 다른 두 원의 중심을 각각 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$라 할 때, 선분 $\mathrm{O_{1}O}_2$의 길이를 구하시오. [4점]
$5$
두 직선 $y = 2x+6$, $y = -2x+6$에 모두 접하는 원의 중심을 $\mathrm{C}(a, b)$, 반지름의 길이를 $r$이라 하자.
점 $\mathrm{C}$와 직선 $2x-y+6 = 0$ 사이의 거리는 $r$이고
점 $\mathrm{C}$와 직선 $2x+y-6 = 0$ 사이의 거리도 $r$이므로
$r = \dfrac{|\,2a-b+6\,|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \dfrac{|\,2a+b-6\,|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$ $\cdots\cdots$ ㉠
에서 $|\,2a-b+6\,| = |\,2a+b-6\,|$이고,
$2a-b+6 = 2a+b-6$이면 $b = 6$
$2a-b+6 = -(2a+b-6)$이면 $a = 0$이다.
중심이 $\mathrm{C}(a, 6)$이고 두 직선 $y = 2x+6$, $y = -2x+6$에 모두 접하는 원은 $(2, 0)$을 지날 수 없으므로 $b \ne 6$
그러므로 $a = 0$이고, 원의 중심 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{C}(0, b)$
점 $\mathrm{C}(0, b)$에서 점 까지의 거리가 $r$이므로 ㉠에 의하여
$\sqrt{(2-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \dfrac{|\,b-6\,|}{\sqrt{5}}$
$b^{2}+4 = \frac{(b-6)^{2}}{5}$
$4b^{2}+12b-16 = 4(b+4)(b-1) = 0$에서
$b = -4$ 또는 $b = 1$
그러므로 두 직선 $y = 2x+6$, $y = -2x+6$에 모두 접하는 두 원의 중심 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$의 좌표는
$(0, -4)$, $(0, 1)$
따라서 선분 $\mathrm{O_{1}O}_2$의 길이는 $5$
27. 두 자연수 $a$, $b$ ($b \le 20$)에 대하여 전체집합 $U = \{\,x\,|\,x\textbf{는 } 20\textbf{ 이하의 자연수} \}$의 두 부분집합 $$A = \{\,x\,|\,x\textbf{는 } a\textbf{의 배수, }x \in U \},$$ $$B = \{\,x\,|\,x\textbf{는 } b\textbf{의 약수, }x \in U \}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\{ 3, 6 \} \subset A \cap B$
(나) $n(B-A) = 2$
집합 $A-B$의 모든 원소의 합의 최솟값을 구하시오. [4점]
$27$
$A \cap B \subset A$이므로 조건 (가)에서 $\{ 3, 6 \} \subset A$
$3$, $6$이 모두 $a$의 배수이므로 $a = 1$ 또는 $a = 3$
$a = 1$이면 $A = U$가 되어 $B_A = \varnothing$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
그러므로 $a = 3$이고, $A = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \}$
또한 $A \cap B \subset B$이므로 조건 (가)에서 $\{ 3, 6 \} \subset B$
$3$, $6$이 모두 $b$의 약수이므로
$b = 6$ 또는 $b = 12$ 또는 $b = 18$
(ⅰ) $b = 6$일 때
$B = \{ 1, 2, 3, 6 \}$이므로 $B-A = \{ 1, 2 \}$가 되어 조건 (나)를 만족시킨다.
$A-B = \{ 9, 12, 15, 18 \}$이므로 집합 $A-B$의 모든 원소의 합은
$9+12+15+18 = 54$
(ⅱ) $b = 12$일 때
$B = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \}$이므로 $B-A = \{ 1, 2, 4 \}$가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
(ⅲ) $b = 18$일 때
$B = \{ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \}$이므로 $B-A = \{ 1, 2 \}$가 되어 조건 (나)를 만족시킨다.
$B-A = \{ 12, 15 \}$이므로 집합 $A-B$의 모든 원소의 합은
$12 + 15 = 27$
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 집합 $A-B$의 모든 원소의 합의 최솟값은 $27$
28. 두 이차다항식 $P(x)$, $Q(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$$\{ P(x)\}^{2}-\{ Q(x)\}^{2} = x^{2}(x-1)(x-2)$$
이다.
(나) $|\,P(2)-Q(2)\,| \lt |\,P(1)-Q(1)\,|$
$P(3)+Q(3) = 24$일 때, $P(4)$의 값을 구하시오. [4점]
$25$
$P(x)$, $Q(x)$는 각각 이차다항식이고 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여
$\{ P(x)+Q(x)\} \times \{ P(x)-Q(x)\} = x^{2}(x-1)(x-2)$ $\cdots\cdots$ ㉠
그러므로 $P(x)+Q(x)$, $P(x)-Q(x)$는 각각 이차다항식이고 $x^{2}(x-1)(x-2)$의 인수이다.
이때 $P(x)-Q(x)$가 $x-1$을 인수로 가지면 인수정리에 의하여 $P(1)-Q(1) = 0$이 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
$P(x)-Q(x)$는 $x-1$을 인수로 갖지 않으므로 $P(x)-Q(x)$는 $x^2$을 인수로 갖거나 $x(x-2)$를 인수로 갖는다.
(ⅰ) $P(x)-Q(x) = ax^2$ ($a$는 $0$이 아닌 실수)일 때
$|\,P(2)-Q(2)\,| = |\,4a\,|$, $|\,P(1)-Q(1)\,| = |\,a\,|$이고 $|\,4a\,| \gt |\,a\,|$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $P(x)-Q(x) = ax(x-2)$ ($a$는 $0$이 아닌 실수)일 때
$|\,P(2)-Q(2)\,| = 0$, $|\,P(1)-Q(1)\,| = |\,a\,|$이고 $0 \lt |\,a\,|$이므로 조건 (나)를 만족시킨다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $P(x)-Q(x) = ax(x-2)$이고 ㉠에 의하여 $P(x)+Q(x) = \frac{1}{a}x(x-1)$이다.
$P(3)+Q(3) = \frac{1}{a} \times 3 \times 2 = 24$에서 $a = \frac{1}{4}$이므로
$P(x)-Q(x) = \frac{1}{4}x(x-2)$, $P(x)+Q(x) = 4x(x-1)$
두 식을 연립하여 계산하면
$P(x) = \frac{17}{8}x^{2}-\frac{9}{4}x$, $Q(x) = \frac{15}{8}x^{2}-\frac{7}{4}x$
따라서 $P(4) = 25$
29. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_1$인 원 $C_1$ 위에 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 $\angle \mathrm{BO_{1}A} = 90^{\circ}$가 되도록 잡는다. 선분 $\mathrm{O_{1}A}$ 위의 점 $\mathrm{C}$에 대하여 선분 $\mathrm{AC}$를 지름으로 하는 원을 $C_2$, 선분 $\mathrm{O_{1}B}$ 위의 점 $\mathrm{D}$에 대하여 선분 $\mathrm{BD}$를 지름으로 하는 원을 $C_3$이라 하고, 두 원 $C_2$, $C_3$의 중심을 각각 $\mathrm{O}_2$, $\mathrm{O}_3$이라 하자. 사각형 $\mathrm{AO_{2}O_{3}B}$의 넓이가 $34$이고 $\overline{\mathrm{O_{1}C}} + \overline{\mathrm{O_{1}D}} = 6\sqrt{2}$ 일 때, 세 원 $C_1$, $C_2$, $C_3$의 넓이의 합이 $p\pi$이다. $p$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$도 아니고 점 $\mathrm{O}_1$도 아니며, 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{B}$도 아니고 점 $\mathrm{O}_1$도 아니다.) [4점]
$154$
세 원 $C_1$, $C_2$, $C_3$의 반지름의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하자.
(사각형 $\mathrm{AO_{2}O_{3}B}$의 넓이)$\,=\,$(삼각형 $\mathrm{AO_{1}B}$의 넓이)$\,-\,$(삼각형 $\mathrm{O_{2}O_{1}O_{3}}$의 넓이)
$= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{O_{1}A}} \times \overline{\mathrm{O_{1}B}}-\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{O_{1}O_{2}}} \times \overline{\mathrm{O_{1}O_{3}}}$
$= \frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2}(a-b)(a-c)$
$= \frac{1}{2}(ab-bc+ca)$
이고, 사각형 $\mathrm{AO_{2}O_{3}B}$의 넓이가 $34$이므로
$ab-bc+ca = 68$
또한 $\overline{\mathrm{O_{1}C}} + \overline{\mathrm{O_{1}D}} = 6\sqrt{2}$에서
$(a-2b) + (a-2c) = 6\sqrt{2}$
$a-b-c = 3\sqrt{2}$
그러므로 세 원 $C_1$, $C_2$, $C_3$의 넓이의 합은
$a^{2}\pi + b^{2}\pi + c^{2}\pi$ $= (a^{2} + b^{2} + c^{2})\pi$
$= \{ (a-b-c)^{2}+2(ab-bc+ca) \}\pi$
$= \{ (3\sqrt{2})^{2}+2 \times 68 \}\pi$ $= 154\pi$
따라서 $p = 154$
30. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $g(x)$에 대하여 두 집합 $$X = \{x\,|\,|f(x)| = 1, \,x\textbf{는 실수} \},$$ $$Y = \{x\,|\,|g(x)| = 1, \,x\textbf{는 실수} \}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $n(X \cap Y) = 3$, $n(X \cup Y) = 4$
(나) 집합 $X \cap Y$의 모든 원소의 합은 $3$이고
집합 $X \cup Y$의 모든 원소의 합은 $8$이다.
$f(2) \lt f(1)$일 때, $f(7)-g(9)$의 값을 구하시오. [4점]
$36$
집합 $X$는 함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = -1$과 만나는 점의 $x$좌표를 원소로 갖는 집합이고
집합 $Y$는 함수 $y = g(x)$의 그래프가 직선 $y = 1$ 또는 직선 $y = -1$과 만나는 점의 $x$좌표를 원소로 갖는 집합이다.
조건 (가)에서 $n(X \cap Y) = 3$, $n(X \cup Y) = 4$이므로
$3 \le n(X) le 4$, $3 \le n(Y) le 4$
또한 $n(X \cup Y) = n(X)+n(Y)-n(X \cap Y)$에서
$n(X)+n(Y) = n(X \cup Y)+n(X \cap Y) = 7$이므로
$n(X) = 3$, $n(Y) = 4$ 또는 $n(X) = 4$, $n(Y) = 3$
(ⅰ) $n(X) = 3$, $n(Y) = 4$일 때
함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이고 $n(X) = 3$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프는 직선 $y = -1$에 접하고 직선 $y = 1$과 서로 다른 두 점에서 만난다.
함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = -1$이 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 하면 함수 $y = f(x)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a, -1)$이므로
$f(x) = k(x-a)^{2}-1$ ($k$는 양의 실수)
함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $x = a$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $y = 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $b$에 대하여 $a-b$, $a+b$이다.
그러므로 $X = \{ a-b, a+b \}$ 
$n(X) = n(X \cap Y) = 3$에서 $X = X \cap Y$이므로 조건 (나)에 의하여
$(a-b)+a+(a+b) = 3a = 3$, $a=1$
그러므로 $f(x) = k(x-1)^{2}-1$이 되어 $f(2) \lt f(1)$을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $n(X) = 4$, $n(Y) = 3$일 때
함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이고 $n(Y) = 3$이므로 함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $y=1$에 접하고 직선 $y = -1$과 서로 다른 두 점에서 만난다.
함수 $y=g(x)$의 그래프와 직선 $y = 1$이 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 하면 함수 $y=g(x)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a, 1)$이므로
$y = k(x-a)^{2}+1$ ($k$는 음의 실수)
함수 $y = g(x)$의 그래프가 직선 $x = a$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = g(x)$의 그래프가 직선 $y = -1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $b$에 대하여 $a-b$, $a+b$이다.
그러므로 $Y = \{ a-b, a+b \}$ 
$n(Y) = n(X \cap Y) = 3$에서 $Y = X \cap Y$이므로 조건 (나)에 의하여
$(a-b)+a+(a+b) = 3a = 3$, $a = 1$
그러므로 $Y = \{ 1-b, 1, 1+b \}$이고
$g(x) = k(x-1)^{2} + 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$n(X) = 4$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프는 두 직선 $y = 1$, $y = -1$과 각각 서로 다른 두 점에서 만난다.
함수 $y = f(x)$의 그래프의 축의 방정식을 $x = m$이라 하면
$f(x) = t(x-m)^{2} + s$ ($t$는 양의 실수, $s$는 실수)
함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프가 직선 $y = -1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $c$에 대하여 $m-c$, $m+c$이고 직선 $y = 1$과 만나는 두 점의 $x$좌표는 어떤 양의 실수 $d$에 대하여 $m-d$, $m+d$이다. (단, $c \lt d$)
그러므로 $X = \{ m-d, m-c, m+c, m+d \}$
$n(X) = n(X \cup Y) = 4$에서 $X = X \cup Y$이므로 조건 (나)에 의하여
$(m-d)+(m-c)+(m+c)+(m+d) = 4m = 8$
$m = 2$
그러므로 $f(x) = t(x-2)^{2} + s$ $\cdots\cdots$ ㉡
가 되어 $f(2) \lt f(1)$을 만족시킨다.
$Y = \{ 1-b, 1, 1+b \}$, $X = \{ 2-d, 2-c, 2+c, 2+d \}$이고
$Y = (X \cap Y) \subset (X \cup Y) = X$
집합 $Y$의 원소 중 $1$ 보다 작거나 같은 수는 $1-b$, $1$ 뿐이고 $(1-b) \in X$, $1 \in X$이므로
$1-b = 2-d$, $1 = 2-c$에서 $d = b+1$, $c = 1$
그러므로 $X = \{ 1-b, 1, 3, 3+b \}$
또한 $(1+b) \in X$에서 $1+b = 3$, $b = 2$이므로
$X = \{ -1, 1, 3, 5 \}$, $Y = \{ -1, 1, 3 \}$
함수 $y = f(x)$의 그래프가 두 점 $(-1, 1)$, $(1, -1)$을 지나므로 ㉡에서
$f(-1) = 9t+s = 1$, $f(1) = t+s = -1$
두 식을 연립하여 계산하면 $t = \frac{1}{4}$, $s = -\frac{5}{4}$이고
$f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^{2}-\frac{5}{4}$
함수 $y = g(x)$의 그래프가 점 $(-1, -1)$을 지나므로 ㉠에서
$g(-1) = 4k+1 = -1$, $k = -\frac{1}{2}$이고
$g(x) = -\frac{1}{2}(x-1)^{2}+1$
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f(7)-g(9) = 5-(-31) = 36$