25년 10월 고2 교육청
5. $\pi \lt \theta \lt \dfrac{3}{2}\pi$인 $\theta$에 대하여 $\tan \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$일 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{2}{3}$
② $-\frac{1}{3}$
③ $0$
④ $\frac{1}{3}$
⑤ $\frac{2}{3}$
①
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}$에서
$2 \sin \theta = \sqrt{5}\cos \theta$
$4 \sin^{2} \theta = 5 \cos^{2} \theta$
$4(1-\cos^{2} \theta) = 5 \cos^{2} \theta$
$\cos^{2} \theta = \frac{4}{9}$
$\pi \lt \theta \lt \frac{3}{2}\pi$에서 $\cos \theta \lt 0$이므로 $\cos \theta = -\dfrac{2}{3}$
6. 함수 $$f(x) = \begin{cases} (x-2a)^{2} & (x \lt a) \\ x^{2}-3x+6 & (x \ge a) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
7. $\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k^{2}+2k-4)-\sum_{k=1}^{5}(2k+5)$의 값은? [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
8. $\log_{3}a = 2 \log_{a}\sqrt{3}$을 만족시키는 모든 $a$의 값의 합은? (단, $a$는 $1$이 아닌 양수이다.) [3점]
① $\frac{10}{3}$
② $\frac{11}{3}$
③ $4$
④ $\frac{13}{3}$
⑤ $\frac{14}{3}$
9. $3 \tan (\pi + \theta) = 2 \sin (\frac{\pi}{2} + \theta)$일 때, $\sin \theta$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{6}$
② $\frac{1}{3}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $\frac{2}{3}$
⑤ $\frac{5}{6}$
③
$3 \tan (\pi + \theta) = 2 \sin (\frac{\pi}{2} + \theta)$에서
$3 \tan \theta = 2 \cos \theta$
$\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$3 \sin \theta = 2 \cos^{2} \theta$
$3 \sin \theta = 2-2 \sin^{2} \theta$
$2 \sin^{2} \theta + 3 \sin \theta-2 = (2\sin \theta-1)(\sin \theta+2) = 0$
$-1 \le \sin \theta \le 1$이므로 $\sin \theta = \dfrac{1}{2}$
10. 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x-1)f(x) = 12$일 때, $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{(x^{2}-1)f(x)}{3x+1}$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
11. 부등식 $$\log_{2}(x^{2}-x) \lt 1-\log_{\frac{1}{2}}x$$ 를 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $\alpha \lt x \lt \beta$일 때, $\alpha+\beta$의 값은? [3점]
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
②
$x^{2}-x$, $x$는 로그의 진수이므로
$x^{2}-x \gt 0$, $x \gt 0$에서 $x \gt 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
부등식 $\log_{2}(x^{2}-x) \lt 1-\log_{\frac{1}{2}}x$에서
$\log_{2}(x^{2}-x) \lt \log_{2}2+\log_{2}x$
$\log_{2}(x^{2}-x) \lt \log_{2}2x$
밑 $2$가 $1$보다 크므로
$x^{2}-x \lt 2x$, $x(x-3) \lt 0$에서 $0 \lt x \lt 3$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에 의하여 구하는 모든 $x$의 값의 범위는 $1 \lt x \lt 3$
따라서 $\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$
12. 실수 $t$ ($t \gt 0$)에 대하여 곡선 $y = x^{2}-3x$와 직선 $y = tx$가 만나는 점 중 원점 $\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\overline{\mathrm{OP}}-\overline{\mathrm{OH}}}{t^{2}}$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$
③
$x^{2}-3x = tx$에서 $x(x-t-3) = 0$
$x = 0$ 또는 $x = t+3$
점 $\mathrm{P}$는 원점 $\mathrm{O}$가 아니므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는
$(t+3, t^{2}+3t)$
$\overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{(t+3)^{2}+t^{2}(t+3)^{2}}$ $= (t+3)\sqrt{t^{2}+1}$
$\overline{\mathrm{OH}} = t+3$
따라서
$\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\overline{\mathrm{OP}}-\overline{\mathrm{OH}}}{t^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{(t+3)\sqrt{t^{2}+1}-(t+3)}{t^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{(t+3)(\sqrt{t^{2}+1}-1)(\sqrt{t^{2}+1}+1)}{t^{2}(\sqrt{t^{2}+1}+1)}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{(t+3)\{(t^{2}+1)-1\}}{t^{2}(\sqrt{t^{2}+1}+1)}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{t+3}{\sqrt{t^{2}+1}+1} = \frac{3}{2}$
13. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $y = \tan ax$의 그래프와 직선 $y = b$가 제$1$사분면에서 만나는 모든 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $x_n$이라 하자. $x_{4}-x_2 = 6\pi$이고 $x_{1} = \pi$일 때, $a \times b$의 값은? [3점]
① $\frac{\sqrt{3}}{9}$
② $\frac{\sqrt{3}}{3}$
③ $\sqrt{3}$
④ $3\sqrt{3}$
⑤ $9\sqrt{3}$
14. 수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_{n} = \dfrac{1}{n}$일 때, $\displaystyle a_{1}+\sum_{k = 2}^{7}\frac{1}{(k-1)\times a_k}$의 값은? [4점]
① $-34$
② $-32$
③ $-30$
④ $-28$
⑤ $-26$
⑤
$a_1 = S_1 = 1$
$n \ge 2$일 때
$a_{n} = S_{n}-S_{n-1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} = \frac{1}{n(n-1)}$
따라서
$\displaystyle a_{1}+\sum_{k = 2}^{7}\frac{1}{(k-1)\times a_k}$
$= \displaystyle 1+\sum_{k = 2}^{7}\frac{-k(k-1)}{k-1}$
$= \displaystyle 1-\sum_{k = 2}^{7}k$
$= \displaystyle 1-\big(\sum_{k = 1}^{7}k-1\big)$
$= 2-\dfrac{7\times 8}{2} = -26$
15. $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $n-12$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 하자. $f(n)+f(2n) = 1$을 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은? [4점]
① $10$
② $12$
③ $14$
④ $16$
⑤ $18$
③
(ⅰ) $1 \lt n \lt 6$일 때
$n-12 \lt 0$이므로 $n$이 짝수이면 $f(n) = 0$, $n$이 홀수이면 $f(n) = 1$
또한 $2n-12 \lt 0$이고 $2n$은 짝수이므로 $f(2n) = 0$
그러므로 $f(n)+ f(2n) = 1$을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $3$, $5$
(ⅱ) $n = 6$일 때
$n-12 \lt 0$이고 $6$은 짝수이므로 $f(n) = 0$
$2n-12 = 0$이므로 $f(2n) = 1$
그러므로 $f(n)+ f(2n) = 1$을 만족시킨다.
(ⅲ) $n \gt 6$일 때 $2n-12 \gt 0$이고 $2n$은 짝수이므로 $f(2n) = 2$
$f(n) \ge 0$이므로 $f(n)+ f(2n) = 1$을 만족시키지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 모든 $n$의 값의 합은
$3+5+6 = 14$
16. 최고차항의 계수가 $1$인 두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$가 $$f(1) = 0, \:\lim_{x \to 1}\frac{f(x+3)\times g(x)}{\{f(x) \}^{2}} = 0$$ 을 만족시킬 때, $f(5)+g(5)$의 값은? [4점]
① $14$
② $16$
③ $18$
④ $20$
⑤ $22$
④
$f(1) = 0$에서 $f(x) = (x-1)(x-a)$ ($a$는 실수)
(ⅰ) $a = 1$일 때
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x+3)\times g(x)}{\{f(x) \}^{2}} = \lim_{x \to 1}\frac{(x+2)^{2}g(x)}{(x-1)^4}$
사차다항식 $(x+2)^{2}g(x)$는 $(x-1)^5$을 인수로 가질 수 없으므로
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x+3)\times g(x)}{\{f(x) \}^{2}} = 0$을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $a \ne 1$일 때
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x+3)\times g(x)}{\{f(x) \}^{2}} = \lim_{x \to 1}\frac{(x+2)(x+3-a)g(x)}{(x-1)^{2}(x-a)^{2}} = 0$이므로 사차다항식 $(x+2)(x+3-a)g(x)$는 $(x-1)^3$을 인수로 갖는다.
그러므로 $(x+3-a)g(x) = (x-1)^3$이고, $a = 4$, $g(x) = (x-1)^2$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
$f(x) = (x-1)(x-4)$, $g(x) = (x-1)^2$
따라서 $f(5) + g(5) = 4 + 16 = 20$
17. 첫째항이 자연수이고 공차가 $-2$인 등차수열 $\{ a_n \}$과 자연수 $k$가 $$a_{4}\times a_{5} \le 0, \: |\,a_{1}-a_{k}\,| = 4|\,a_{k}\,|$$ 를 만족시킬 때, $a_{1}+k$의 값은? [4점]
① $11$
② $12$
③ $13$
④ $14$
⑤ $15$
①
$a_{4}\times a_{5} = (a_{1}-6)(a_{1}-8) \le 0$에서 $6 \le a_{1} \le 8$이고
$a_{1}$이 자연수이므로
$a_{1}$의 값은 $6$, $7$, $8$ 중 하나이다. $\cdots\cdots$ ㉠
등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항이 자연수이고 공차가 $-2$이므로 $2$ 이상의 자연수 $k$에 대하여 $a_{k} \lt a_1$이고 $a_{k}$는 정수이다.
(ⅰ) $a_{k} \ge 0$일 때
$|a_{1}-a_k| = 4|a_k|$에서
$a_{1}-a_k = 4a_k$, $a_{1} = 5a_{k}$이고 $a_k$는 정수이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $a_{k} \lt 0$일 때
$|a_{1}-a_k| = 4|a_k|$에서
$a_{1}-a_k = -4a_k$, $a_{1} = -3a_{k}$이고 $a_k$가 정수이므로 ㉠에서 $a_1 = 6$, $a_k = -2$
$a_{k} = 6+(k-1)\times (-2) = -2$에서 $k = 5$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a_{1}+k = 6+5 = 11$
18. 함수 $f(x) = \sin (x+a)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $3 \pi$ 보다 작은 모든 양수 $a$의 값의 합은? [4점]
닫힌구간 $[\,0, \,\pi\,]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $2|\,M\,| = |\,m\,|$이다.
① $\frac{25}{6}\pi$
② $\frac{13}{3}\pi$
③ $\frac{9}{2}\pi$
④ $\frac{14}{3}\pi$
⑤ $\frac{29}{6}\pi$
⑤
닫힌구간 $[0, \pi]$에서 함수 $f(x) = \sin (x+a)$의 최댓값, 최솟값은 각각 닫힌구간 $[a, a+\pi]$에서 함수 $y = \sin x$의 최댓값, 최솟값과 같다.
함수 $y = \sin x$의 그래프는 그림과 같다.
(ⅰ) $0 \lt a \le \frac{\pi}{2}$일 때
$M = 1$에서 $2 |M| = 2$이고 $m = \sin (a+\pi) = -\sin a$에서 $|m| \le 1$이므로 $2 |M| = |m|$을 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $\frac{\pi}{2} \lt a \le \pi$일 때
$M = \sin a$, $m = -1$이고 $2 |M| = |m|$이므로 $\sin a = \frac{1}{2}$, $a = \frac{5}{6}\pi$
(ⅲ) $\pi \lt a \le \frac{3}{2}\pi$일 때
$M = \sin (a+\pi) = -\sin a$, $m = -1$이고 $2 |M| = |m|$이므로 $\sin a = -\frac{1}{2}$, $a = \frac{7}{6}\pi$ 
(ⅳ) $\frac{3}{2}\pi \lt a \le 2\pi$일 때
$M = 1$에서 $2 |M| = 2$이고 $m = \sin a$에서 $|m| \le 1$이므로 $2 |M| = |m|$을 만족시키지 않는다.
(ⅴ) $2\pi \lt a \le \frac{5}{2}\pi$일 때
$M = 1$에서 $2 |M| = 2$이고 $m = \sin (a+\pi) = -\sin a$에서 $|m| \le 1$이므로 $2 |M| = |m|$을 만족시키지 않는다.
(ⅵ) $\frac{5}{2}\pi \lt a \le 3\pi$일 때
$M = \sin a$, $m = -1$이고 $2 |M| = |m|$이므로 $\sin a = \frac{1}{2}$, $a = \frac{17}{6}\pi$ 
(ⅰ)~(ⅵ)에 의하여 구하는 모든 양수 $a$의 값의 합은
$\frac{5}{6}\pi+\frac{7}{6}\pi+\frac{17}{6}\pi = \dfrac{29}{6}\pi$
19. 그림과 같이 기울기가 $1$인 직선 $l$이 곡선 $y = 2^{x}$과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 만나고, 곡선 $y = 2^{x-1}+1$과 서로 다른 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 만난다. 점 $\mathrm{B}$가 선분 $\mathrm{AD}$를 $3 : 1$로 내분할 때, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는? (단, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표보다 크고, 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크다.) [4점]
① $\log_{2}\frac{23}{7}$
② $\log_{2}\frac{24}{7}$
③ $\log_{2}\frac{25}{7}$
④ $\log_{2}\frac{26}{7}$
⑤ $\log_{2}\frac{27}{7}$
②
곡선 $y = 2^{x-1}+1$은 곡선 $y = 2^{x}$을 $x$축의 방향으로 $1$ 만큼, $y$축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동한 곡선이다. 그러므로 곡선 $y = 2^{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 $x$축의 방향으로 $1$ 만큼, $y$축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동한 점을 각각 $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$이라 하면 두 점 $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$은 곡선 $y = 2^{x-1}+1$ 위에 있다.
또한 두 직선 $\mathrm{AA’}$, $\mathrm{BB’}$의 기울기가 모두 $1$이므로 두 점 $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$은 모두 직선 $l$ 위에 있다.
그러므로 두 점 $\mathrm{A’}$, $\mathrm{B’}$은 각각 점 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{D}$와 일치하고, $\overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}$
점 $\mathrm{B}$가 선분 $\mathrm{AD}$를 $3 : 1$로 내분하므로
$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BD}} = 3 : 1$
$\overline{\mathrm{AB}} = 3\overline{\mathrm{BD}} = 3\sqrt{2}$
그러므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $(k, 2^{k})$이라 하면 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(k-3, 2^{k}-3)$이다.
점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y = 2^{x}$ 위에 있으므로
$2^{k-3} = 2^{k}-3$, $2^{k} = \frac{24}{7}$에서 $k = \log_{2}\frac{24}{7}$
따라서 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\log_{2}\dfrac{24}{7}$
20. 등비수열 $\{ a_n \}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? [4점]
(가) $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_{n} \gt a_{1}, \: a_{n} = (a_{4}+a_{5}-1)\times a_{n-1}$$
이다.
(나) $\displaystyle \sum_{n=1}^{3}a_{n} = \frac{6}{a_{1}-a_{2}}$
① $\frac{1}{12}$
② $\frac{1}{6}$
③ $\frac{1}{4}$
④ $\frac{1}{3}$
⑤ $\frac{5}{12}$
③
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$이라 하자.
조건 (가)에서 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \gt a_{1}$이므로
$a_{1} \gt 0$, $r \gt 1$ 또는 $a_{1} \lt 0$, $-1 \lt r \lt 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
또한 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_{n} = (a_{4}+a_{5}-1)\times a_{n-1}$이므로
$a_{4}+a_{5}-1 = r$
$a_{1}r^{3}+a_{1}r^{4}-1 = r$
$a_{1}r^{3}(1+r) = 1+r$
㉠에서 $r \ne -1$이므로 $a_{1}r^{3} = 1$, $r^{3} = \frac{1}{a_1}$
조건 (나)에서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{3}a_{n} = \frac{6}{a_{1}-a_{2}}$이므로
$\frac{a_{1}(1-r^{3})}{1-r} = \frac{6}{a_{1}(1-r)}$
$a_{1}^{\,2}(1-\frac{1}{a_{1}}) = 6$
$a_{1}^{\,2}-a_{1}-6 = (a_{1}-3)(a_{1}+2) = 0$
$a_{1} = 3$ 또는 $a_{1} = -2$
$a_{1} = 3$이면 $r^{3} = \frac{1}{3}$이므로 $r \lt 1$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다.
$a_{1} = -2$이면 $r^{3} = -\frac{1}{2}$이므로 $-1 \lt r \lt 1$이 되어 ㉠을 만족시킨다.
따라서
$a_{10} = a_{1}r^{9} = a_{1}(r^{3})^{3} = -2 \times (-\frac{1}{2})^{3} = \dfrac{1}{4}$
21. 함수 $$f(x) = \begin{cases} -2^{x+3}+a & (x \lt 0) \\ \,2^{-x+6}+a-12 & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합은? [4점]
$x$에 대한 방정식 $f(x) \times f(x-k) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 $4$ 이하의 양수 $k$가 존재한다.
① $16$
② $19$
③ $22$
④ $25$
⑤ $28$
③
$f(x)f(x-k) = 0$이면 $f(x) = 0$ 또는 $f(x-k) = 0$이므로
$x$에 대한 방정식 $f(x)f(x-k) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프 또는 함수 $y = f(x-k)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.
함수 $y = f(x)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.
함수 $y = f(x-k)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수는 함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수와 같고, 그 개수는 $a \lt -52$ 또는 $a \ge 12$일 때 $0$,
$-52 \le a \le 0$ 또는 $8 \le a \lt 12$일 때 $1$,
$0 \lt a \lt 8$일 때 $2$이다.
함수 $y = f(x)$의 그래프 또는 함수 $y = f(x-k)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수는 $a \le 0$ 또는 $a \ge 8$일 때 $2$ 이하이고, $0 \lt a \lt 8$일 때 $4$ 이하이므로 조건을 만족시키려면 $0 \lt a \lt 8$이어야 한다. $\cdots\cdots$ ㉠
$0 \lt a \lt 8$일 때, 함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표를 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha \lt \beta$)라 하면 $\alpha \lt 0 \lt \beta$이고, 함수 $y = f(x-k)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표는 $\alpha+k$, $\beta+k$이다.
이때 함수 $y = f(x)$의 그래프 또는 함수 $y = f(x-k)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이려면 $\beta = \alpha+k$이어야 한다.
$0 \lt a \lt 8$이고 $\beta = \alpha+k$일 때, 두 함수 $y = f(x)$, $y = f(x-k)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.
$f(\alpha) = 0$이므로 $-2^{\alpha+3}+a = 0$, $2^{\alpha+3} = a$에서 $\alpha = \log_{2}a-3$
$f(\beta) = 0$이므로 $2^{-\beta+6}+a-12 = 0$, $2^{-\beta+6} = 12-a$에서 $\beta = 6-\log_{2}(12-a)$
$k$는 $4$ 이하의 양수이므로
$k = \beta-\alpha$ $= 6-\log_{2}(12-a)-\log_{2}a+3$
$= 9-\log_{2}(12a-a^{2}) \le 4$
$\log_{2}(12a-a^{2}) \ge 5$
$12a-a^{2} \ge 32$
$a^{2}-12a+32 = (a-4)(a-8) \le 0$
㉠에서 $0 \lt a \lt 8$이므로 $4 \le a \lt 8$
따라서 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합은
$4+5+6+7 = 22$
25. 등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_{11} = 88$이고 $a_{5} = 3$일 때, $a_7$의 값을 구하시오. [3점]
$13$
등차수열 $\{ a_n \}$의 공차를 $d$라 하자.
$S_{11} = \frac{11\{ 2a_{1}+(11-1)d \}}{2}$ $= 11(a_{1}+5d) = 88$
에서 $a_{1}+5d = 8$이고
$a_{5} = 3$에서 $a_{1}+4d = 3$이다.
두 식을 연립하여 계산하면 $d = 5$, $a_{1} = -17$
따라서 $a_{7} = -17 + 6\times 5 = 13 $
$S_{11} = \frac{11\{ a_{1}+a_{11} \}}{2} = 88$에서 $\frac{a_{1}+a_{11}}{2} = 8$
$a_{1}$과 $a_{11}$의 등차중항은 $a_6$이므로 $a_{6} = 8$이고, $a_{5} = 3$이므로 등차수열 $\{ a_n \}$의 공차는 $5$이다.
따라서 $a_{7} = 8+5 = 13$
26. 두 상수 $a$, $k$에 대하여 함수 $f(x) = a|\,x-2\,|$가 $$\lim_{x \to k+}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}-\lim_{x \to k-}\frac{f(x)-f(k)}{x-k} = 6$$ 을 만족시킬 때, $f(a+k)$의 값을 구하시오. [4점]
$9$
함수 $f(x) = \begin{cases} -ax+2a & (x \lt 2) \\ ax-2a & (x \ge 2) \end{cases}$에 대하여
(ⅰ) $k \lt 2$일 때
$\displaystyle \lim_{x \to k}\frac{f(x)-f(k)}{x-k} = \lim_{x \to k}\frac{-ax+2a-(-ak+2a)}{x-k}$ $= \displaystyle \lim_{x \to k}\frac{-a(x-k)}{x-k} = -a$
이므로
$\displaystyle \lim_{x \to k+}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}-\lim_{x \to k-}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}$ $= -a-(-a) = 0 \ne 6$
(ⅱ) $k = 2$일 때
$\displaystyle \lim_{x \to 2+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}-\lim_{x \to 2-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 2+}\frac{ax-2a}{x-2}-\lim_{x \to 2-}\frac{-ax+2a}{x-2}$ $= a-(-a) = 2a$
$2a = 6$에서 $a = 3$
(ⅲ) $k \gt 2$일 때
$\displaystyle \lim_{x \to k}\frac{f(x)-f(k)}{x-k} = \lim_{x \to k}\frac{ax-2a-(ak-2a)}{x-k}$ $= \displaystyle \lim_{x \to k}\frac{a(x-k)}{x-k} = a$
이므로
$\displaystyle \lim_{x \to k+}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}-\lim_{x \to k-}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}$ $= a-a = 0 \ne 6$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a = 3$, $k = 2$이므로
$f(a+k) = f(3+2) = f(5) = 9$
27. $\overline{\mathrm{AB}} = 6$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $$2 \sin A = \sin B, \: \cos C = \frac{4}{5}$$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오. [4점]
$12$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}$
이고 $2 \sin A = \sin B$이므로 $\overline{\mathrm{AC}} = 2\overline{\mathrm{BC}}$
$\overline{\mathrm{BC}} = k$라 하면 $\overline{\mathrm{AC}} = 2k$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$6^{2} = k^{2}+(2k)^{2}-2 \times k \times 2k \times \frac{4}{5}$
$\frac{9}{5}k^{2} = 36$이고, $k \gt 0$이므로 $k = 2 \sqrt{5}$
$\cos C = \frac{4}{5}$에서 $\sin C = \sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}} = \frac{3}{5}$
따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}\times \frac{3}{5} = 12$
28. 닫힌구간 $[\,0, \,2\,]$에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(0)}{f(2)}$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 함수 $f(x)$는 $x = 1$에서만 불연속이고,
$\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x) = 3f(2)$이다.
(나) $0 \le x \le 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ne 2$이고, $f(0)+f(2) = 4$이다.
$5$
함수 $g(x)$를
$g(x) = \begin{cases} f(x) & (0 \le x \lt 1, 1 \lt x \le 2) \\ 3f(2) & (x = 1) \end{cases}$
이라 하자.
조건 (가)에 의하여
함수 $g(x)$는 닫힌구간 $[0, 2]$에서 연속이다.
또한 조건 (나)에 의하여
$g(0) \ne 2$, $g(2) \ne 2$이고 $\frac{g(0)+g(2)}{2} = 2$이므로
$g(0) \lt 2 \lt g(2)$ 또는 $g(2) \lt 2 \lt g(0)$이다.
그러므로 사잇값 정리에 의하여
$0 \lt c \lt 2$이고 $g(c) = 2$인 $c$가 적어도 하나 존재한다.
조건 (나)에 의하여
$0 \le x \lt 1$, $1 \lt x \le 2$에서 $g(x) = f(x) \ne 2$
이므로 $c = 1$
$g(1) = 3f(2) = 2$에서 $f(2) = \frac{2}{3}$
$f(0)+f(2) = 4$에서 $f(0) = \frac{10}{3}$
따라서 $\dfrac{f(0)}{f(2)} = 5$
29. 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{ a_n \}$에 대하여 $12(a_{14}+a_{15})$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 모든 자연수 에 대하여
$$a_{n+1} = \begin{cases} \, \dfrac{1}{a_n}-1 & (a_{n} \gt 0) \\ \\ -a_n & (a_{n} \le 0) \end{cases}$$
이다.
(나) $a_{1} \gt 6$이고, $a_{1}+a_{5}+a_{9}+a_{13} = 13$이다.
$28$
$a_{1} \gt 6$에서 $a_{2} = \frac{1}{a_1}-1$
$a_{2} \lt 0$이므로 $a_{3} = -a_{2} = -\frac{1}{a_1}+1$
$a_{3} \gt 0$이므로 $a_{4} = \frac{1}{a_3}-1 = \frac{1}{a_{1}-1}$
$a_{4} \gt 0$이므로 $a_{5} = \frac{1}{a_4}-1 = a_{1}-2$
자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \gt 1$이면 위와 같은 과정에 의하여
$a_{n+1} \lt 0$, $a_{n+2} \gt 0$, $a_{n+3} \gt 0$이므로
$a_{n+4} = a_{n}-2$
$a_{5} \gt 1$이므로 $a_{9} = a_{1}-4$
$a_{9} \gt 1$이므로 $a_{13} = a_{1}-6$
그러므로
$a_{1}+a_{5}+a_{9}+a_{13} = a_{1}+(a_{1}-2)+(a_{1}-4)+(a_{1}-6)$ $= 4a_{1}-12$
$4a_{1}-12 = 13$에서 $a_{1} = \frac{25}{4}$이고
$a_{13} = \frac{25}{4}-6 = \frac{1}{4}$
그러므로 $a_{14} = 4-1 = 3$, $a_{15} = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}$
따라서 $12(a_{14}+a_{15}) = 12 \times \{ 3+(-\frac{2}{3}) \} = 28$
30. 세 양수 $a$, $b$, $c$에 대하여 함수
$$f(x) = \begin{cases} (x+4)(x+a) & (x \lt -4, -4 \lt x \lt 0) \\ \:b & (x = -4) \\ -x^{2}+6x+c & (x \ge 0) \end{cases}$$
이 있다.
상수 $k$ ($k \gt 4$)와 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $t$에서 $t+k$까지 변할 때의 평균변화율을 $g(t)$라 하고, $f(t) \times g(t)$의 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $f(x)$, $h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $h(t)$가 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(나) $f(k) = b$
$f(c-a-b)$의 값을 구하시오. [4점]
$50$
실수 $p$에 대하여
함수 $f(x)$가 $x=p$, $x = p+k$에서 모두 연속이면
$\displaystyle \lim_{t \to p}g(t) = \lim_{t \to p}\frac{f(t+k)-f(t)}{k}$ $= \displaystyle \frac{f(p+k)-f(p)}{k} = g(p)$
이므로 함수 $g(t)$는 $t = p$에서 연속이고,
함수 $h(t) = f(t)g(t)$도 $t = p$에서 연속이다.
함수 $f(x)$는
$\displaystyle \lim_{t \to -4}f(x) = \lim_{t \to -4}(x+4)(x+a) = 0$, $f(-4) = b$에서
$\displaystyle \lim_{t \to -4}f(x) \ne f(-4)$이므로 $x = -4$에서 불연속이고
$\displaystyle \lim_{t \to 0-}f(x) = \lim_{t \to 0-}(x+4)(x+a) = 4a$,
$f(0) = \displaystyle \lim_{t \to 0+}f(x) = c$이므로
$4a = c$이면 $x = 0$에서 연속이고,
$4a \ne c$이면 $x = 0$에서 불연속이다. $\cdots\cdots$ ㉠
또한 함수 $f(x)$는 $a$, $b$, $c$, $k$의 값에 관계없이 $x \ne -4$, $x \ne 0$인 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $h(t)$는 $a$, $b$, $c$, $k$의 값에 관계없이 $t = -4-k$, $t = -k$, $t = -4$, $t = 0$을 제외한 실수 전체의 집합에서 연속이다.
이를 이용하여 $a$, $b$, $c$, $k$의 값을 구하면 다음과 같다.
$t = -4-k$에서
$\displaystyle \lim_{t \to -4-k}h(t) = \lim_{t \to -4-k}\bigg\{ f(t)\times \frac{f(t+k)-f(t)}{k}\bigg\}$
$= f(-4-k)\times \dfrac{0-f(-4-k)}{k}$
$= -\dfrac{\{f(-4-k)\}^{2}}{k}$
$h(-4-k) = f(-4-k)\times \dfrac{f(-4)-f(-4-k) }{k}$이고 함수 $h(t)$는 $t = -4-k$에서 연속이므로
$-\dfrac{\{f(-4-k)\}^{2}}{k} = \dfrac{ f(-4-k)\{f(-4)-f(-4-k)\} }{k}$
$f(-4-k)f(-4) = 0$
이고 $f(-4) \ne 0$이므로 $f(-4-k) = 0$
즉, $-a = -4-k$, $a = k+4$이고
$x \lt -4$, $-4 \lt x \lt 0$일 때
$f(x) = (x+4)(x+k+4)$ $\cdots\cdots$ ㉡
$t = -k$에서
$\displaystyle \lim_{t \to -k+}h(t) = \lim_{t \to -k+}\bigg\{ f(t) \times \dfrac{f(t+k)-f(t)}{k} \bigg\}$ $= f(-k) \times \dfrac{c-f(-k)}{k}$
$\displaystyle \lim_{t \to -k-}h(t) = \lim_{t \to -k-}\bigg\{ f(t) \times \dfrac{f(t+k)-f(t)}{k} \bigg\}$ $= f(-k) \times \dfrac{4a-f(-k)}{k}$
$h(-k) = f(-k)\times \dfrac{c-f(-k)}{k}$
함수 $h(t)$가 $t = -k$에서 연속이므로
$f(-k) \times \dfrac{c-f(-k)}{k} = f(-k) \times \dfrac{4a-f(-k)}{k}$
$k \gt 4$이므로 ㉡에서 $f(-k) \ne 0$
그러므로 $c = 4a$이고, ㉠에 의하여 함수 $f(x)$는 $x = 0$에서 연속이다.
$t = -4$에서
$\displaystyle \lim_{t \to -4}h(t) = \lim_{t \to -4}\bigg\{ f(t) \times \dfrac{f(t+k)-f(t)}{k} \bigg\}$ $= 0 \times \dfrac{f(-4+k)-0}{k} = 0$
$h(-4) = f(-4) \times \dfrac{f(-4+k)-f(-4)}{k}$
함수 $h(t)$가 $t = -4$에서 연속이므로
$f(-4) \times \dfrac{f(-4+k)-f(-4)}{k} = 0$
$f(-4) \ne 0$이므로 $f(-4+k) = f(-4) = b$
조건 (나)에서 $b = f(k)$이므로
$f(-4+k) = f(k)$이고 $-4+k \gt 0$, $k \gt 0$
이차함수 $y = -x^{2}+6x+c$의 그래프가 직선 $x = 3$에 대하여 대칭이므로
$\frac{(-4+k)+k}{2}=3$, $k = 5$이고
$a = 5+4 = 9$
$c = 4 \times 9 = 36$
$b = f(5) = -25+30+36 = 41$
그러므로 함수 $f(x)$는
$f(x) = \begin{cases} (x+4)(x+9) & (x \lt -4, -4 \lt x \lt 0) \\ 41 & (x = -4) \\ -x^{2}+6x+36 & (x \ge 0) \end{cases}$
따라서 $f(c-a-b) = f(36-9-41) = f(-14) = 50$