25년 10월 고2 교육청
3. 함수 $y=\tan\left( \pi x + \frac{\pi}{2} \right)$ 의 주기는? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{\pi}{4}$
③ $1$
④ $\frac{3}{2}$
⑤ $\frac{\pi}{2}$
4. 공차가 $d$ 인 등차수열 $\{ a_{n} \}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합이 $n^{2}-5n$ 일 때, $a_{1} + d$ 의 값은? [3점]
① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $2$
⑤ $4$
5. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 그림과 같다.
함수 $(x^{2}+a x + b)f(x)$ 가 $x=1$ 에서 연속일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$, $b$ 는 실수이다.) [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
②
함수 $(x^{2}+a x + b)f(x)$가 $x=1$ 에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}(x^{2}+a x + b)f(x)$
그래프에서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}f(x) =1$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}f(x) =3$ 이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $(1+a+b) \times 1 = 1+a+b$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $(1+a+b) \times 3 = 3(1+a+b)$
에서
$1+a+b= 3(1+a+b)$
따라서 $a+b = -1$
6. 곡선 $y=6^{-x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A}(a, \, 6^{-a})$, $\mathrm{B}(a+1, \, 6^{-a-1})$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 는 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형의 대각선이다. $6^{-a}$ 의 값은? [3점]
① $\frac{6}{5}$
② $\frac{7}{5}$
③ $\frac{8}{5}$
④ $\frac{9}{5}$
⑤ $2$
7. 두 함수 $f(x)=|\, x+3 \,|$, $g(x)=2 x + a$ 에 대하여 함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a$ 의 값은? [3점]
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
③
$f(x)g(x)= \begin{cases} -(x+3)(2x+a) & (x < -3) \\ (x+3)(2x+a) & (x \geq -3)\end{cases}$
함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로
$x = -3$ 에서 미분가능하다. 즉,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3-} \frac{f(x)g(x) – f(-3)g(-3)}{x+3}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3+} \frac{f(x)g(x) – f(-3)g(-3)}{x+3}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3-} (-2x-a)$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3+} (2x+a)$
따라서 $6 – a = -6+a$ 에서 $a=6$
8. $2$ 보다 큰 상수 $k$ 에 대하여 두 곡선 $y=| \log_{2}(-x+k)|$, $y=| \log_{2}x|$ 가 만나는 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ 의 좌표를 각각 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ 이라 하자. $x_{3} - x_{1} = 2 \sqrt{3}$일 때, $x_{1}+x_{3}$의 값은? (단, $x_{1} < x_{2} < x_{3}$) [3점]
① $\frac{7}{2}$
② $\frac{15}{4}$
③ $4$
④ $\frac{17}{4}$
⑤ $\frac{9}{2}$
③
점 $\mathrm{P}$ 는 두 곡선 $y=\log_{2}(-x+k)$, $y=- \log_{2}x$ 의 교점이므로
$\log_{2}(-x_{1}+k) =- \log_{2}x_{1}$,
$- x_{1} + k = \frac{1}{x_{1}}$
즉, $x_{1}^{2}-k x_{1} +1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠
점 $\mathrm{R}$ 는 두 곡선 $y= – \log_{2}(-x+k)$, $y= \log_{2}x$ 의 교점이므로
$- \log_{2}(-x_{3}+k) = \log_{2}x_{3}$,
$\frac{1}{- x_{3}+k} = x_{3}$
즉, $x_{3}^{2}-k x_{3} +1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에 의해 $x_{1}$, $x_{3}$ 은 이차방정식 $x^{2}-k x +1 = 0$ 의 서로 다른 두 실근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 $x_{1}x_{3} =1$
그러므로 $x_{3} – x_{1} = 2 \sqrt{3}$ 에서
$(x_{1}+x_{3})^{2} $
$= (x_{3}-x_{1})^{2} + 4x_{1}x_{3}$
$=(2 \sqrt{3})^{2}+4 \times 1 = 16$
따라서 $x_{1}+x_{3} = 4$
9. 수열 $\{ a_{n} \}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n} + a_{n+1} = 2 n$$ 을 만족시킬 때, $a_{1} + a_{22} $ 의 값은? [4점]
① $18$
② $19$
③ $20$
④ $21$
⑤ $22$
⑤
자연수 $k$ 에 대하여
(ⅰ) $n=2k-1$일 때, $a_{2k-1}+a_{2k} = 2(2k-1) = 4k-2$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{22} a_{n}$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^{11} (a_{2k-1}+a_{2k})$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^{11} (4k-2)$
$=4 \times \frac{11 \times 12}{2} – 2 \times 11$ $=242$
(ⅱ) $n=2k$일 때, $a_{2k}+a_{2k+1} = 2 \times 2k = 4k$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=2}^{21} a_{n}$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^{10} (a_{2k}+a_{2k+1})$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^{10} 4k$
$=4 \times \frac{10 \times 11}{2} $ $=220$
따라서 $a_{1}+a_{22}$ $= \displaystyle \sum_{n=1}^{22} a_{n} – \displaystyle \sum_{n=2}^{21} a_{n}$ $=242-220 = 22$
자연수 $k$ 에 대하여
$a_{2k}+a_{2k+1} = 4k$, $a_{2k-1}+a_{2k} = 4k -2 $ 이므로
$a_{2k+1} – a_{2k-1} = 2$
즉, 수열 $\{ a_{2k-1} \}$ 은 공차가 $2$ 인 등차수열이다.
그러므로 $a_{2k-1} =a_{1} + (k-1) \times 2$ $\cdots \cdots$ ㉠
㉠에 $k=11$ 을 대입하면 $a_{21} =a_{1} + 20$ $\cdots \cdots$ ㉡
모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} + a_{n+1} = 2n$ 이므로
$n=21$ 을 대입하면 $a_{21} + a_{22} = 42$ $\cdots \cdots$ ㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
$(a_{1} + 20) + a_{22} = 42$
따라서 $a_{1} + a_{22} = 22$
10. 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 $3$ 보다 작은 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x) = |\, (x-a)f(x) \,|$ 가 $x=3$에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 일 때, $f(4)$ 의 값은? [4점]
① $7$
② $9$
③ $11$
④ $13$
⑤ $15$
①
함수 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 미분가능하고 $g(a)=0$ 이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{g(x)}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{g(x)}{x-a}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{|(x-a)f(x)|}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{|(x-a)f(x)|}{x-a}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{-(x-a)|f(x)|}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{(x-a)|f(x)|}{x-a}$
그러므로 $-|f(a)| = |f(a)|$에서 $f(a)=0$
$f(x) = (x-a)(x-k)$ ($k$ 는 상수)라 하면
함수 $g(x) = |\, (x-a)f(x) \,|$가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않으므로 $k=3$ 이다.
그러므로
$g(x) = |\, (x-a)^{2}(x-3) \,|$, $h(x) = (x-a)^{2}(x-3)$
이라 하면 $a<3$이고 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 이므로 함수 $h(x)$ 의 극솟값은 $-32$ 이다.
$h^{\prime}(x) = 2(x-a)(x-3) + (x-a)^{2}$ $=(x-a)(3x-6-a) = 0$
함수 $h(x)$ 는 $x= \frac{6+a}{3}$에서 극솟값 $-32$ 를 갖는다.
$h \left( \frac{6+a}{3} \right)$ $=\left( \frac{6+a}{3} -a\right)^{2}\left( \frac{6+a}{3} -3\right)$
$= -4\left(1 – \frac{a}{3}\right)^{2} = -32$
$\left(1 – \frac{a}{3}\right)^{2} = 8$이므로 $1 – \frac{a}{3} = 2$에서 $a = -3$
따라서 $f(x) =(x+3)(x-3)$에서
$f(4)=7$
11. 닫힌구간 $[0,\, 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $$ f(x)=\begin{cases} \sin x & \left(0 \leq x \leq \frac{k}{6}\pi \right) \\ 2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) - \sin x & \left( \frac{k}{6}\pi < x \leq 2 \pi \right) \end{cases} $$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수를 $a_{k}$ 라 할 때, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ 의 값은? [4점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
④
곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수는
방정식 $f(x)=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,
(ⅰ) $0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$ 일 때,
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
(ⅱ) $\frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$ 일 때,
$2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) – \sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 에서 $\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
그러므로 교점의 개수는 구간 $[0,\, 2 \pi]$ 에서 방정식
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
$k=1$, $k=5$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{1}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{1}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=2$, $k=4$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=3$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = 1$ 이므로
$\sin x = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $1$ 이다.
따라서 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ $=2+2+1+2+2=9$
12. 곡선 $y=x^{2}-4$ 위의 점 $\mathrm{P}(t,\, t^{2}-4)$ 에서 원 $x^{2}+y^{2}=4$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이를 $S(t)$, 삼각형 $\mathrm{PBA}$ 의 넓이를 $T(t)$ 라 할 때, $$ \lim_{t \rightarrow 2+} \frac{T(t)}{(t-2)S(t)} + \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{T(t)}{(t^{4}-2)S(t)} $$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $t>2$ 이다.) [4점]
① $1$
② $\frac{5}{4}$
③ $\frac{3}{2}$
④ $\frac{7}{4}$
⑤ $2$
②
두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OP}$ 의 교점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면
직선 $\mathrm{OP}$ 는 선분 를 수직이등분하므로
직각삼각형 $\mathrm{OAP}$와 직각삼각형 $\mathrm{OMA}$는 서로 닮음이다.
삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OMA}$의
닮음비는 $\overline{\mathrm{OP}} : \overline{\mathrm{OA}}$ 이므로
넓이의 비는 ${\overline{\mathrm{OP}}}^{2} : {\overline{\mathrm{OA}}}^{2}$ 이다.
삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\frac{S(t)+T(t)}{2}$,
삼각형 $\mathrm{OMA}$의 넓이는 $\frac{S(t)}{2}$ 이므로
${\overline{\mathrm{OP}}}^{2} : {\overline{\mathrm{OA}}}^{2} = \frac{S(t)+T(t)}{2} : \frac{S(t)}{2}$
${\overline{\mathrm{OA}}}^{2} \times \frac{S(t)+T(t)}{2}$ $= {\overline{\mathrm{OP}}}^{2} \times \frac{S(t)}{2}$,
$\dfrac{T(t)}{S(t)} = \dfrac{{\overline{\mathrm{OP}}}^{2}-{\overline{\mathrm{OA}}}^{2}}{{\overline{\mathrm{OA}}}^{2}}$
$\overline{\mathrm{OA}} = 2$, $\overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{t^{2}+(t^{2}-4)^{2}}$ 이므로
$\dfrac{T(t)}{S(t)} = \dfrac{t^{2}+(t^{2}-4)^{2}-2^{2}}{2^{2}}$
따라서
$
\displaystyle \lim_{t \rightarrow 2+} \frac{(t+2)(t^{2}-3)}{4} + \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{(t+2)(t-2)(t^{2}-3)}{4(t^{4}-2))}
$
$= 1+\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$
13. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^{3}+a x^{2} + b x + c$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 $x$ 에 대하여 $2f(x)=g(x) - g(-x)$이다.
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$, $b$, $c$ 는 상수이다.) [4점]
ㄱ. $a^{2} \leq 3 b$
ㄴ. 방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 방정식 $f^{\prime}(x)=0$이 실근을 가지면 $g^{\prime}(1)=1$이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
①
ㄱ.
함수 $g(x)$ 의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+ 2ax + b \geq 0$
이 성립해야 한다.
그러므로 방정식 $3 x^{2}+ 2ax + b = 0$의 판별식을 $D$ 라 하면
$\dfrac{D}{4} = a^{2} – 3b$, $a^{2} \leq 3b$ (참)
ㄴ.
$2f(x)=g(x) – g(-x)$ 에서
$f(x)$ $=\dfrac{g(x) – g(-x)}{2}$
$=\dfrac{(x^{3}+ax^{2}+bx+c)-(-x^{3}+ax^{2}-bx+c)}{2}$
$=x^{3} + bx$
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+b$ 이므로
$f^{\prime}(x)=0$ 에서 이차방정식 $3 x^{2}+b = 0$ 의 판별식을 $D^{\prime}$이라 하면
$D^{\prime} = 0^{2}-4 \times 3 \times b = -12 b$
ㄱ에 의해 $b \geq \frac{a^{2}}{3} \geq 0$ 이므로 $D^{\prime} = -12 b \leq 0$
그러므로 이차방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓)
ㄷ.
방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 이 실근을 가지므로 $3 x^{2}+b = 0$의 실근이 존재한다. 즉, $b \leq 0$
또한, ㄱ에 의해 $b \geq 0$ 이므로 $b=0$ 이고 ㄱ에 의해 $a=0$ 이다.
$g^{\prime}(x)=3 x^{2}$ 이므로 $g^{\prime}(1)=3$ (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
14. 모든 자연수 $n$에 대하여 직선 $l : x-2y+ \sqrt{5} = 0$ 위의 점 $\mathrm{P}_{n}$과 $x$축 위의 점 $\mathrm{Q}_{n}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.
$\bullet$ 직선 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}$과 직선 $l$ 이 서로 수직이다.
$\bullet$ $\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}}$ 이고 점 $x$의 좌표는 점 $\mathrm{P}_{n}$의 $x$좌표 보다 크다.
다음은 점 $\mathrm{P}_{1}$이 원 $x^{2}+y^{2}=1$과 직선 $l$의 접점일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OQ}_{n}\mathrm{P}_{n}$의 넓이를 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{Q}_{n}$ 을 지나고 직선 $l$과
평행한 직선이 선분 $\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$과 만나는 점을 $\mathrm{R}_{n+1}$이라 하면 사각형 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{P}_{n+1}$은 정사각형이다.
직선 $l$의 기울기가 $\frac{1}{2}$이므로
$\overline{ \mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= \fbox{ (가) } \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1} }$
이고
$\overline{ \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= (1+\fbox{ (가) }) \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$
이다. 이때,
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1} }= 1$
이므로
$\overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }= \fbox{ (나) }$
이다.
그러므로 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} } =\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \overline{ \mathrm{P}_{k}\mathrm{P}_{k+1} }= \fbox{ (다) }$
이다.
따라서 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OQ}_{n}\mathrm{P}_{n}$의
넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} } \times \overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} }$ $= \frac{1}{2} \times \fbox{ (나) } \times ( \fbox{ (다) } )$
이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$, $g(n)$이라 할 때, $f(6p)+g(8p)$의 값은? [4점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
⑤
점 $\mathrm{R}_{n+1}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_{n+1}$이라 하면
직선 $l$ 의 기울기가 $\frac{1}{2}$이므로
직선 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이다.
즉, $\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{H}_{n+1}} : \overline{\mathrm{H}_{n+1}\mathrm{R}_{n+1}} = 2 : 1$
직각삼각형 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$과
직각삼각형 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{H}_{n+1}\mathrm{R}_{n+1}$은 서로 닮음이므로
$\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} : \overline{\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}} = 2 : 1$ 에서
$\overline{\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} $
$\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}} $ 이므로
$\fbox{ (가) } = \frac{1}{2}$
$\overline{ \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= (1+\fbox{ (가) }) \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$ $=\frac{3}{2} \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$
이고
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1} }= 1$
이므로 선분 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}$의 길이는 첫째항이 $1$,
공비가 $\frac{3}{2}$인 등비수열이다.
즉, $\overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }= \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$
그러므로 $\fbox{ (나) }= \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$
$\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}} $ 이므로
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} } =\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \overline{ \mathrm{P}_{k}\mathrm{P}_{k+1} }= \dfrac{1 \times \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}}{\frac{3}{2}-1}$
그러므로 $\fbox{ (다) }=2 \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}$
따라서 $p=\frac{1}{2}$, $f(n)=\left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$, $g(n)=2 \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}$
이므로
$f(6p)+g(8p)$ $=f(3)+g(4)$ $=\frac{9}{4}+\frac{19}{4} = 7$
15. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
16. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
17. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
18. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
19. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
20. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
21. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서
$f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 와
곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$
의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는
함수$y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이
서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{3}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
23. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ $(t \geq 0)$에서의 속도 $v(t)$ 가 $v(t) = 12 - 4t$ 일 때, 시각 $t=0$에서 $t=4$ 까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오. [3점]
$20$
$0 \leq t \leq 3$ 일 때 $v(t) \geq 0$,
$3 \leq t \leq 4$ 일 때 $v(t) \leq 0$ 이므로
시각 $t=0$에서 $t=4$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는
$\displaystyle \int_{0}^{4}| v(t) | dt$
$=\displaystyle \int_{0}^{3}| v(t) | dt + \displaystyle \int_{3}^{4}| v(t) | dt$
$=\displaystyle \int_{0}^{3}(12-4t) dt + \displaystyle \int_{3}^{4}(4t-12) dt$
$= 18 + 2 = 20$
24. 그림과 같이 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=n^{x}$, $y=2^{x}$ 이 직선 $x=1$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 라 하고, 두 곡선 $y=n^{x}$, $y=2^{x}$ 이 직선 $x=2$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ 라 하자. 사다리꼴 $\mathrm{ABDC}$ 의 넓이가 $18$ 이하가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. [3점]
$18$
$\mathrm{A}(1,\, n))$, $\mathrm{A}(1,\, 2))$, $\mathrm{A}(2,\, n^{2}))$, $\mathrm{A}(2,\, 4))$ 이므로
$\overline{\mathrm{AB}} = n – 2$,
$\overline{\mathrm{CD}} = n^{2} – 4$
사다리꼴 $\mathrm{ABDC}$의 넓이는 $18$ 이하이므로
$\frac{1}{2} \times (n-2+n^{2}-4) \times 1 = \frac{1}{2}(n^{2}+n-6) \leq 18$,
$-7 \leq n \leq 6$
그러므로 $3$ 이상의 자연수 $n$의 값은 $3$, $4$, $5$, $6$
따라서 조건을 만족시키는 $n$의 값의 합은 $18$
25. 수열 $\{ a_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} - 3 & (n=1,\, 3) \\ a_{n} + 3 & (n=2,\, 4) \end{cases}$
(나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} = a_{n+6}$ 이 성립한다.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{32}a_{k} = 112$일 때, $a_{1} + a_{2}$의 값을 구하시오. [3점]
$7$
조건 (가)에서 $a_{3}=a_{1}-3$, $a_{4}=a_{2}-3$,
$a_{5}=a_{3}-3 = a_{1}-6$, $a_{6}=a_{4}+3 = a_{2}+6$ 이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{6}a_{k} = a_{1} + a_{2} + (a_{1} – 3) + (a_{2} + 3) + (a_{1} – 6) + (a_{2} + 6)$ $=3(a_{1} + a_{2})$
조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{32}a_{k} = 5 \sum_{k=1}^{6}a_{k} + a_{1} + a_{2}$ $=16(a_{1} + a_{2})$
따라서 $16(a_{1} + a_{2}) = 112$ 이므로
$a_{1} + a_{2} = 7$
26. 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0)=-$ 이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(1-x) = -f(1+x)$ 를 만족시킨다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=-6x^{2}$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 할 때, $4S$ 의 값을 구하시오. [4점]
$2$
$f(1-x) = -f(1+x)$에 $x=0$, $x=1$을 각각 대입하면
$f(1) = -f(1)$ 에서 $f(1)=0$,
$f(0) = -f(2)$ 에서 $f(2)=0$
삼차함수 $f(x)$ 는 $f(0)=f(1)=f(2)=0$ 이고 최고차항의 계수가 $1$ 이므로
$f(x)=x(x-1)(x-2)$
방정식 $f(x)= -6x^{2}$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x = 0$ 이므로
$f(x)=x(x+1)(x+2)=0$,
$x=0$ 또는 $x= -1$ 또는 $x= -2$
$-2 \leq x \leq -1$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x \geq 0$이고
$-1 \leq x \leq 0$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x \leq 0$ 이므로
$S$ $=\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^{3}+3x^{2}+2x)dx + \int_{-1}^{0} \{-(x^{3}+3x^{2}+2x) \}dx$
$=\left[ \dfrac{1}{4}x^{4}+x^{3}+x^{2} \right]_{-2}^{-1} + \left[ -\dfrac{1}{4}x^{4}-x^{3}-x^{2} \right]_{-1}^{0}$
$= \dfrac{1}{2}$
따라서 $4S = 2$
27. $\overline{\mathrm{AB}} =6$, $\overline{\mathrm{AC}} =8$ 인 예각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선과 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외접원이 만나는 점을 $\mathrm{D}$, 점 $\mathrm{D}$ 에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{AE}$의 길이를 $k$라 할 때, $12k$ 의 값을 구하시오. [4점]
$84$
호 $\mathrm{BD}$와 호 $\mathrm{DC}$에 대한 원주각의 크기가 같으므로
$\angle \mathrm{CBD} = \angle \mathrm{CAD} = \angle \mathrm{DAB} = \angle \mathrm{DCB}$
이다.
즉, $\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DC}}$
$\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DC}} = a$, $\overline{\mathrm{AD}} = b$,
$\angle \mathrm{CAD} = \theta$ 라 하면
$\angle \mathrm{DAB} = \theta$이고 $\overline{\mathrm{BD}}^{2} = \overline{\mathrm{DC}}^{2}$이므로
삼각형 $\mathrm{DAB}$와 삼각형 $\mathrm{CAD}$에 각각 코사인법칙을 적용하면
$6^{2}+b^{2}-2 \times 6 \times b \times \cos \theta$
$= b^{2}+8^{2}-2 \times b \times 8 \times \cos \theta$,
$4b\cos \theta = 28$
이므로
직각삼각형 $\mathrm{ADE}$에서 $k = b \cos \theta = 7$
따라서 $12k = 84$
28. 양수 $a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$| x(x-2) | g(x)$ $= x(x-2)(| f(x) | - a)$
이다.
(나) 함수 $g(x)$는 $x=0$과 $x=2$ 에서 미분가능하다.
$g(3a)$ 의 값을 구하시오. [4점]
$108$
조건 (가)에서 $x \neq 0$, $x \neq 2$ 일 때,
$g(x) = \dfrac{x(x-2)}{| x(x-2) |}(| f(x) | -a)$
$x < 0$ 또는 $x > 2$일 때, $x(x-2) > 0$ 이고
$0 < x < 2$일 때, $x(x-2) < 0$이므로
$g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0< x < 2) \end{cases}$
조건 (나)에 의해 함수 $g(x)$는 $x=0$, $x=2$에서 미분가능하므로 $x=0$, $x=2$에서 연속이다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0+}g(x)$에서 $| f(0)| – a = a – | f(0) |$
그러므로 $| f(0)| = a$ 에서 $g(0) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}g(x) = 0$
같은 방법으로 $| f(2)| = a$ 에서 $g(2) = 0$
그러므로 $g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{g(x)-g(0)}{x}$
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a-|f(x)|}{x}$ $\cdots \cdots$ ㉠
(ⅰ) $f(0) = a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) > 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) > 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{f(0)-f(x)}{x} = -f^{\prime}(0)$
㉠에서 $f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅱ) $f(0) = -a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) < 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) < 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}-\frac{f(x)+f(0)}{x} =- f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}-\frac{f(0)+f(x)}{x} = f^{\prime}(0)$
㉠에서 $-f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f^{\prime}(0)=0$이다.
함수 $g(x)$가 $x=2$에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 $f^{\prime}(2)=0$이다.
그러므로 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=2$에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 $1$이므로 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=a$, $x=2$에서 극솟값 $f(2)=-a$를 갖는다.
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+a$ ($p$, $q$ 는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2px+q$이고 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(2)=0$ 이므로
$p=-3$, $q=0$ 이다. 즉, $f(x)=x^{3}-3x^{2}+a$
$f(x)=2^{3}-3 \times 2^{2}+a = -a$이므로 $a=2$
따라서 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-2$이므로
$g(3a)=g(6)= | f(6) | -2 = | 6^{3}-3 \times 6^{2}+2| – 2 =108$
[참고]
[1] $f(0) = f(2) = a$ 또는 $f(0) = f(2) = -a$인 경우삼차함수 $f(x)$ 는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.
[2] $f(0)=-a$, $f(2)=a$ 인 경우삼차함수 $f(x)$ 의 최고차항의 계수가 $1$ 이므로 모순이다.
29. 양수 $a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$| x(x-2) | g(x)$ $= x(x-2)(| f(x) | - a)$
이다.
(나) 함수 $g(x)$는 $x=0$과 $x=2$ 에서 미분가능하다.
$g(3a)$ 의 값을 구하시오. [4점]
$108$
조건 (가)에서 $x \neq 0$, $x \neq 2$ 일 때,
$g(x) = \dfrac{x(x-2)}{| x(x-2) |}(| f(x) | -a)$
$x < 0$ 또는 $x > 2$일 때, $x(x-2) > 0$ 이고
$0 < x < 2$일 때, $x(x-2) < 0$이므로
$g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0< x < 2) \end{cases}$
조건 (나)에 의해 함수 $g(x)$는 $x=0$, $x=2$에서 미분가능하므로 $x=0$, $x=2$에서 연속이다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0+}g(x)$에서 $| f(0)| – a = a – | f(0) |$
그러므로 $| f(0)| = a$ 에서 $g(0) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}g(x) = 0$
같은 방법으로 $| f(2)| = a$ 에서 $g(2) = 0$
그러므로 $g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{g(x)-g(0)}{x}$
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a-|f(x)|}{x}$ $\cdots \cdots$ ㉠
(ⅰ) $f(0) = a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) > 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) > 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{f(0)-f(x)}{x} = -f^{\prime}(0)$
㉠에서 $f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅱ) $f(0) = -a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) < 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) < 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}-\frac{f(x)+f(0)}{x} =- f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}-\frac{f(0)+f(x)}{x} = f^{\prime}(0)$
㉠에서 $-f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f^{\prime}(0)=0$이다.
함수 $g(x)$가 $x=2$에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 $f^{\prime}(2)=0$이다.
그러므로 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=2$에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 $1$이므로 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=a$, $x=2$에서 극솟값 $f(2)=-a$를 갖는다.
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+a$ ($p$, $q$ 는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2px+q$이고 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(2)=0$ 이므로
$p=-3$, $q=0$ 이다. 즉, $f(x)=x^{3}-3x^{2}+a$
$f(x)=2^{3}-3 \times 2^{2}+a = -a$이므로 $a=2$
따라서 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-2$이므로
$g(3a)=g(6)= | f(6) | -2 = | 6^{3}-3 \times 6^{2}+2| – 2 =108$
[참고]
[1] $f(0) = f(2) = a$ 또는 $f(0) = f(2) = -a$인 경우삼차함수 $f(x)$ 는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.
[2] $f(0)=-a$, $f(2)=a$ 인 경우삼차함수 $f(x)$ 의 최고차항의 계수가 $1$ 이므로 모순이다.
30. 양수 $a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$| x(x-2) | g(x)$ $= x(x-2)(| f(x) | - a)$
이다.
(나) 함수 $g(x)$는 $x=0$과 $x=2$ 에서 미분가능하다.
$g(3a)$ 의 값을 구하시오. [4점]
$108$
조건 (가)에서 $x \neq 0$, $x \neq 2$ 일 때,
$g(x) = \dfrac{x(x-2)}{| x(x-2) |}(| f(x) | -a)$
$x < 0$ 또는 $x > 2$일 때, $x(x-2) > 0$ 이고
$0 < x < 2$일 때, $x(x-2) < 0$이므로
$g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0< x < 2) \end{cases}$
조건 (나)에 의해 함수 $g(x)$는 $x=0$, $x=2$에서 미분가능하므로 $x=0$, $x=2$에서 연속이다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0+}g(x)$에서 $| f(0)| – a = a – | f(0) |$
그러므로 $| f(0)| = a$ 에서 $g(0) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}g(x) = 0$
같은 방법으로 $| f(2)| = a$ 에서 $g(2) = 0$
그러므로 $g(x) = \begin{cases} | f(x)-a | & (x < 0\, \text{또는}\, x > 0) \\ a-| f(x) | & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{g(x)-g(0)}{x}$
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a-|f(x)|}{x}$ $\cdots \cdots$ ㉠
(ⅰ) $f(0) = a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) > 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) > 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{f(0)-f(x)}{x} = -f^{\prime}(0)$
㉠에서 $f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅱ) $f(0) = -a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) < 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) < 0$이다.
그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}-\frac{f(x)+f(0)}{x} =- f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}-\frac{f(0)+f(x)}{x} = f^{\prime}(0)$
㉠에서 $-f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f^{\prime}(0)=0$이다.
함수 $g(x)$가 $x=2$에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 $f^{\prime}(2)=0$이다.
그러므로 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=2$에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 $1$이므로 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=a$, $x=2$에서 극솟값 $f(2)=-a$를 갖는다.
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+a$ ($p$, $q$ 는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2px+q$이고 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(2)=0$ 이므로
$p=-3$, $q=0$ 이다. 즉, $f(x)=x^{3}-3x^{2}+a$
$f(x)=2^{3}-3 \times 2^{2}+a = -a$이므로 $a=2$
따라서 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-2$이므로
$g(3a)=g(6)= | f(6) | -2 = | 6^{3}-3 \times 6^{2}+2| – 2 =108$
[참고]
[1] $f(0) = f(2) = a$ 또는 $f(0) = f(2) = -a$인 경우삼차함수 $f(x)$ 는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.
[2] $f(0)=-a$, $f(2)=a$ 인 경우삼차함수 $f(x)$ 의 최고차항의 계수가 $1$ 이므로 모순이다.