수열
람다 $\lambda$의 차례
수열
1. 수열
(1) 수열
차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 합니다. 그러므로 수열은 자연수에서 실수로의 함수입니다.
(2) 항
수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라고 합니다. 이때 각 항을 앞에서부터 차례대로 첫째항, 둘째항, 셋째항, $\cdots$, $n$째항, $\cdots$ 또는 제$1$항, 제$2$항, 제$3$항, $\cdots$, 제$n$항, $\cdots\,$이라고 합니다.
(3) 일반항
일반적으로 수열을 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $\cdots$, $a_{n}$, $\cdots\,$과 같이 나타내고, 제$n$항 $a_{n}$을 이 수열의 일반항이라 합니다. 또 일반항이 $a_{n}$인 수열을 간단히 $\{ a_{n} \}$과 같이 나타냅니다.
등차수열
1. 등차수열
(1) 등차수열
첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 합니다.
(2) 공차
등차수열에서 더하는 일정한 수를 공차라고 합니다.
(3) 등차수열의 일반항
첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항 $a_{n}$은 $$a_{n} = a + (n-\,1)d$$
(4) 등차중항
세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 합니다. 이때 $b -\, a = c -\, b$이므로 $$b = \frac{a + c}{2}$$ 또한 $a = 2b -\, c$이고 $c = 2b -\, a$입니다.
2. 등차수열의 합
등차수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하면
① 첫째항이 $a$, 제$n$항이 $l$일 때 $$S_{n} = \dfrac{n(a + l)}{2}$$
② 첫째항이 $a$, 공차가 $d$일 때 $$S_{n} = \dfrac{n \{ 2a + (n -\,1)d \} }{2}$$
3. 수열의 합과 일반항 사이의 관계
(1) 수열 $\{ a_{n} \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하면 $$a_{1} = S_{1},$$ $$a_{n} = S_{n} -\, S_{n-1} \: (n \ge 2)$$
(2) $S_{n} = An^{2} + Bn + C$ ($A$, $B$, $C$는 상수)일 때, 수열의 합과 일반항의 관계에 의하여
$a_{1} = A + B + C$, $a_{n} = 2An + B -\, A$ ($n \ge 2$)
① $C = 0$이면 수열 $\{ a_{n} \}$은 등차수열입니다.
② $C \ne 0$이면 수열 $\{ a_{n} \}$은 등차수열이 아닙니다. 둘째항부터는 등차수열입니다.
등비수열
1. 등비수열
(1) 등비수열
첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 합니다.
(2) 공비
등비수열에서 곱하는 일정한 수를 공비라고 합니다.
(3) 등비수열의 일반항
첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 0$)인 등비수열의 일반항 $a_{n}$은 $$a_{n} = ar^{n-\,1}$$
(4) 등비중항
$0$이 아닌 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라고 합니다. 이때 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$이므로 $$b^{2} = ac$$
2. 등비수열의 합
(1) 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하면
① $r \ne 1$일 때 $$S_{n} = \dfrac{a(1 -\, r^{n})}{1 -\, r} = \dfrac{a(r^{n} -\, 1)}{r -\, 1}$$
② $r = 1$일 때 $S_{n} = na$
(2) $S_{n} = Ar^{n} + B$ ($r \ne 0$, $r \ne 1$, $A$, $B$는 상수)일 때, 수열의 합과 일반항의 관계에 의하여
$a_{1} = Ar + B$, $a_{n} = A(r – 1)r^{n-1}$ ($n \ge 2$)
① $A + B = 0$이면 수열 $\{ a_{n} \}$은 등비수열입니다.
② $A + B \ne 0$이면 수열 $\{ a_{n} \}$은 등비수열이 아닙니다. 둘째항부터는 등비수열입니다.
수열의 합
1. 기호 $\sum$
수열 $\{ a_{n} \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}$을 기호 $\sum$를 사용하열 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}a_{k}$와 같이 나타냅니다. $$\sum_{k = 1}^{n}a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}$$
2. $\sum$의 성질
① $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_{k} + b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n}a_{k} + \sum_{k = 1}^{n}b_{k}$
② $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_{k} – b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n}a_{k} – \sum_{k = 1}^{n}b_{k}$
③ $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}ca_{k} = c \sum_{k = 1}^{n}a_{k}$ (단, $c$는 상수)
④ $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}c = nc$ (단, $c$는 상수)
3. 자연수의 거듭제곱의 합
① $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
② $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
③ $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}k^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3} = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^{2}$
$= (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^{2}$
4. 분수 꼴인 수열의 합
(1) 일반항이 분수 꼴이고 분모가 두 일차식의 곱인 수열의 합은 부분분수로 변형하여 구합니다.
① $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k(k + 1)} = \sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{1}{k} -\, \frac{1}{k + 1} \right)$
② $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + a)(k + b)} = \frac{1}{b -\,a}\sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{1}{k + a} -\, \frac{1}{k + b} \right)$ (단, $a \ne b$)
(2) 일반항의 분모에 근호가 포함된 수열의 합은 분모를 유리화하여 구합니다.
① $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sum_{k = 1}^{n}\left(\sqrt{k + 1} -\, \sqrt{k}\right)$
② $\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{ \sqrt{k + a} + \sqrt{k + b}} = \frac{1}{a -\,b}\sum_{k = 1}^{n}\left(\sqrt{k + a} -\, \sqrt{k + b}\right)$ (단, $a \ne b$)
수열의 귀납적 정의
1. 수열의 귀납적 정의
수열을 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 합니다.
일반적으로 수열 $\{ a_{n} \}$을 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있습니다.
① 첫째항 $a_{1}$의 값
② 두 항 $a_{n}$, $a_{n+1}$ 사이의 관계식 ($n = 1,\, 2,\, 3,\, \cdots\,$)
2. 등차수열과 등비수열의 귀납적 정의
(1) 등차수열의 귀납적 정의
첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{ a_{n} \}$의 귀납적 정의는 $$a_{1} = a,\: a_{n+1} = a_{n} + d \: (n = 1, 2, 3, \cdots)$$
(2) 등차수열을 나타내는 관계식
① $a_{n+1} -\, a_{n} = d \Longleftrightarrow a_{n+1} = a_{n} + d$
② $a_{n+1} -\, a_{n} = a_{n+2} -\, a_{n+1} \Longleftrightarrow 2a_{n+1} = a_{n} + a_{n+2}$
(3) 등비수열의 귀납적 정의
첫째항이 $a$, 공차가 $r$ ($r \ne 0$)인 등차수열 $\{ a_{n} \}$의 귀납적 정의는 $$a_{1} = a,\: a_{n+1} = r a_{n} \: (n = 1, 2, 3, \cdots)$$
(4) 등비수열을 나타내는 관계식
① $a_{n+1} \div a_{n} = r \Longleftrightarrow a_{n+1} = ra_{n}$
② $a_{n+1} \div a_{n} = a_{n+2} \div a_{n+1} \Longleftrightarrow a_{n+1}^{\,2} = a_{n} a_{n+2}$
수학적 귀납법
1. 수학적 귀납법
자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 됩니다.
① $n = 1$일 때, 명제 $p(1)$이 성립한다는 것을 보입니다.
② $n = k$일 때 명제 $p(k)$이 성립한다고 가정한 후에 이를 이용해서 $n = k + 1$일 때도 명제 $p(k+1)$이 성립한다는 것을 보입니다.
이와 같은 방법으로 자연수에 대한 어떤 명제가 참임을 증명하는 방법을 수학적 귀납법이라고 합니다.