26년 9월 평가원
1. $2^{\frac{3}{2}}\times 4^{-\frac{1}{2}}$의 값은? [2점]
① $2^{-1}$
② $2^{-\frac{1}{2}}$
③ $1$
④ $2^{\frac{1}{2}}$
⑤ $2$
4. 함수 $$f(x) = \begin{cases} \:7x+a & (x \le 2) \\ \\ \:x^{2}+ax & (x \gt 2)\end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]
① $9$
② $10$
③ $11$
④ $12$
⑤ $14$
6. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f(x) = a \sin \frac{x}{b} + 2$의 최댓값이 $5$이고 주기가 $8\pi$일 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $6$
② $\frac{25}{4}$
③ $\frac{13}{2}$
④ $\frac{27}{4}$
⑤ $7$
7. 함수 $f(x) = 2x^{3}+ax^{2}-4ax$가 $x = 1$에서 극소일 때, $f(x)$의 극댓값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점]
① $19$
② $20$
③ $21$
④ $22$
⑤ $23$
②
$f(x) = 2x^{3}+ax^{2}-4ax$에서
$f'(x) = 6x^{2}+2ax-4a$
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 극소이므로
$f'(1) = 6+2a-4a = 0$, $a=3$
따라서 $f'(x) = 6x^{2}+6x-12$
$f'(x) = 0$에서 $6(x+2)(x-1) = 0$
$x = -2$ 또는 $x = 1$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
$f(x) = 2x^{3}+3x^{2}-12x$이고
함수 $f(x)$는 $x = -2$에서 극대이므로
극댓값은
$f(-2) = 2\times (-2)^{3}+3\times (-2)^{2}-12\times (-2) = 20$
8. 모든 항이 양수인 등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $$\frac{S_3}{a_1 +2a_2} = \frac{7}{3}$$ 일 때, $\dfrac{a_8}{a_6}$의 값은? [3점]
① $4$
② $9$
③ $16$
④ $25$
⑤ $36$
③
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$ ($r \gt 0$)이라 하면
$a_n = a_1 \times r^{n-1}$ ($n \ge 1$)
이고,
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$
이므로
$\frac{S_3}{a_1 +2a_2} = \frac{7}{3}$에서 $\frac{a_1 + a_2 + a_3}{a_1 +2a_2} = \frac{7}{3}$
$\frac{a_1 + a_{1}r + a_{1}r^{2}}{a_1 +2a_{1}r} = \frac{7}{3}$
$a_1 \ne 0$이므로
$\frac{1 + r + r^{2}}{1 +2r} = \frac{7}{3}$
$3+3r+3r^{2} = 7+14r$
$3r^{2}-11r-4 = 0$
$(3r+1)(r-4) = 0$
$r \gt 0$이므로 $r = 4$
따라서
$\begin{align} \frac{a_8}{a_6} &= \frac{a_6 \times r^{2}}{a_6} \\ &= r^{2} \\ &= 4^2 = 16\end{align}$
9. 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 있다. 시각이 $t$ ($t \ge 0$)일 때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 각각 $$x_1 = 4t^{3}-t^{2}-11t, \:\,x_2 = 2t^{2}+7t+3$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 속도가 같아지는 순간 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 가속도를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p-q$의 값은? [4점]
① $30$
② $33$
③ $36$
④ $39$
⑤ $42$
①
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 속도를 각각 $v_{1}(t)$, $v_{2}(t)$라 하고 가속도를 각각 $a_{1}(t)$, $a_{2}(t)$라 하자.
$v_{1}(t) = \frac{dx_1}{dt} = 12t^{2}-2t-11$
$v_{2}(t) = \frac{dx_2}{dt} = 4t+7$
두 점의 속도가 같아지는 시각 $t$는
$12t^{2}-2t-11 = 4t+7$에서
$6(2t-3)(t+1) = 0$
$t \ge 0$이므로 $t = \frac{3}{2}$
$a_{1}(t) = \frac{dv_1}{dt} = 24t-2$
$a_{2}(t) = \frac{dv_2}{dt} = 4$
따라서
$p = a_{1}(\frac{3}{2}) = 24\times \frac{3}{2}-2 = 34$
$q = a_{2}(\frac{3}{2}) = 4$
이므로
$p-q = 34-4 = 30$
10. 상수 $a$ ($a \gt 1$)에 대하여 직선 $y = 7$이 두 곡선 $y = 16a^x$, $y = \frac{1}{4}a^x$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = 4$일 때, $a$의 값은? [4점]
① $\sqrt{2}$
② $2$
③ $2\sqrt{2}$
④ $4$
⑤ $4\sqrt{2}$
③
$a \gt 1$이므로 두 함수 $y = 16a^x$, $y = \frac{1}{4}a^x$의 그래프와 직선 $y = 7$을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.
두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $p$, $q$라 하면
$16a^{p} = 7$, $\frac{1}{4}a^{q} = 7$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overline{\mathrm{AB}} = 4$에서 $q = p+4$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠에서 $16a^{p} = \frac{1}{4}a^{q}$이므로 ㉡을 대입하면
$16a^{p} = \frac{1}{4}a^{p+4}$
$64a^{p} = a^{p}\times a^4$
$a^p \gt 0$이므로
$a^4 = 64 = 2^6$에서
$a = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}$
11. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_{-1}^{x}f(t)dt = xf(x)-2x^{3}-3x^{2}+6$$ 을 만족시킬 때, $f(0)$의 값은? [4점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
③
$\int_{-1}^{x}f(t)dt = xf(x)-2x^{3}-3x^{2}+6$ $\cdots\cdots$ ㉠
㉠의 양변에 $x = -1$을 대입하면
$0 = -f(-1)+2-3+6$
$f(-1) = 5$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$f(x) = f(x) + xf'(x)-6x^{2}-6x$
$xf'(x)= 6x^{2}+6x$
$x \ne 0$일 때 $f'(x) = 6x+6$이다.
다항함수 $f(x)$에 대하여 도함수 $f'(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
$f'(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0}f'(x) = \lim_{x \to 0}(6x+6) = 6$
즉, 모든 실수 $x$에 대하여
$f'(x) = 6x+6$
$f(x) = \int (6x+6)dx = 3x^{2}+6x+C$ (단, $C$는 적분상수)
㉡에서 $f(-1) = 5$이므로
$3-6+C = 5$, $C = 8$
따라서 $f(0) = 8$
12. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{AC}} = 5$, $\cos (\angle \mathrm{BAC}) = \dfrac{1}{8}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원에서 점 $\mathrm{A}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{BC}$ 위에 점 $\mathrm{D}$가 있다. $\sin (\angle \mathrm{BCD}) = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$일 때, 선분 $\mathrm{BD}$의 길이는? [4점]
① $2\sqrt{7}$
② $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
③ $\frac{7\sqrt{10}}{4}$
④ $4\sqrt{2}$
⑤ $\frac{9\sqrt{10}}{5}$
④
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\begin{align} \overline{\mathrm{BC}}^{2} &= \overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-2\times \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{AB}}\times \cos (\angle \mathrm{BAC}) \\ &= 4^{2}+5^{2}-2\times 4\times 5\times \frac{1}{8} \\ &= 36 \end{align}$
이므로 $\overline{\mathrm{BC}} = 6$
$\sin^{2} (\angle \mathrm{BAC}) = 1-\cos^{2} (\angle \mathrm{BAC}) = 1-(\frac{1}{8})^2 = \frac{63}{64}$
이고 $\angle \mathrm{BAC}$는 삼각형의 내각이므로
$\sin (\angle \mathrm{BAC}) = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin (\angle \mathrm{BAC})} = 2R$에서
$2R = \dfrac{6}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \dfrac{16}{\sqrt{7}} = \dfrac{16\sqrt{7}}{7}$
두 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 $\mathrm{CBD}$의 외접원이 일치하므로 삼각형 $\mathrm{CBD}$의 외접원의 반지름 의 길이도 $R$이고 사인법칙에 의하여
$\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin (\angle \mathrm{BCD})} = 2R$에서
$\begin{align} \overline{\mathrm{BD}} &= 2R\sin (\angle \mathrm{BCD}) \\ &= \frac{16\sqrt{7}}{7}\times \dfrac{\sqrt{14}}{4} = 4\sqrt{2} \end{align}$
13. 최고차항의 계수가 $6$인 이차함수 $f(x)$가 $$f(0) = 0, \:\,\int_{0}^{2}f(x)dx = 4$$ 를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $\displaystyle \int_{0}^{2} |f(x)| dx = 6$
ㄴ. $g(1) = 0$인 일차함수 $g(x)$에 대하여
$\displaystyle \int_{0}^{2} (f(x)+g(x)) dx = 4$이다.
ㄷ. $k \gt 6$인 각각의 실수 $k$에 대하여,
$\displaystyle \int_{0}^{2} (f(x)+h(x)) dx = 4$와 $\displaystyle \int_{0}^{2} |f(x)+h(x)| dx = k$
를 동시에 만족시키는 일차함수 $h(x)$가 존재한다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
⑤
이차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $6$이고 $f(0) = 0$이므로
$f(x) = 6x(x-t)$라 하면
$\int_{0}^{2}6x(x-t)dx = \bigg[ 2x^{3}-3tx^{2} \bigg]_{0}^{2} = 16-12t = 4$
에서 $t = 1$
즉 $f(x) = 6x(x-1)$이다.
ㄱ.
$\int_{0}^{2}|f(x)| dx = \int_{0}^{2}|6x(x-1)| dx$
$= \int_{0}^{1}\{-6x(x-1)\} dx + \int_{1}^{2}6x(x-1) dx$
$= \bigg[ -2x^{3}+3x^{2} \bigg]_{0}^{1}+\bigg[ 2x^{3}-3x^{2} \bigg]_{1}^{2}$
$= 1+5 = 6$ (참)
ㄴ.
일차함수 $g(x)$에 대하여 $g(1) = 0$이므로 $0$이 아닌 실수 $m$에 대하여
$g(x) = m(x-1)$이라 하면
$\int_{0}^{2}(f(x)+g(x))dx = \int_{0}^{2}f(x)dx + \int_{0}^{2}g(x)dx$
에서
$\int_{0}^{2}g(x) dx = \int_{0}^{2}m(x-1) dx = m\bigg[ \frac{1}{2}x^{2}-x \bigg]_{0}^{2} = 0$
이고 $\int_{0}^{2}f(x)dx = 4$이므로
$\int_{0}^{2}(f(x)+g(x))dx = 4$ (참)
ㄷ.
조건에서 $\int_{0}^{2}f(x)dx = 4$이므로
$\int_{0}^{2}(f(x)+h(x))dx$
$= \int_{0}^{2}f(x)dx + \int_{0}^{2}h(x)dx$
$= 4 + \int_{0}^{2}h(x)dx = 4$
에서
$\int_{0}^{2}h(x)dx = 0$
함수 $h(x)$가 일차함수이므로 ㄴ에 의하여 $0$이 아닌 실수$a$에 대하여
$h(x) = a(x-1)$이라 하자.
$f(x)+h(x) = 6x(x-1) + a(x-1) = (6x+a)(x-1)$
$0 \le x \le 2$에서 $\int_{0}^{2} |f(x)+h(x)| dx \gt 6$임을 보이자.
$a \gt 0$일 때 $0 \le x \le 2$에서
$\begin{align}|(6x+a)(x-1)| &= (6x+a)|x-1| \\ &= 6x|x-1|+a|x-1| \\ &= |f(x)| + a|x-1| \end{align}$
$\int_{0}^{2}| f(x)+h(x) | dx = \int_{0}^{2}| f(x) | dx+\int_{0}^{2}| a(x-1) | dx$
이고
$\int_{0}^{2}|a(x-1)|dx$
$= a\{ \int_{0}^{1}(1-x)dx + \int_{1}^{2}(x-1)dx \}$
$= a\bigg\{ \bigg[ x-\frac{1}{2}x^{2} \bigg]_{0}^{1} + \bigg[ \frac{1}{2}x^{2}-x \bigg]_{1}^{2} \bigg\}$
$= a$
이므로
$\int_{0}^{2}|f(x)+h(x)|dx = 6+a \gt 6$
따라서 조건을 만족시키는 일차함수 $h(x)$가 존재한다. (참)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
14. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} \:5 & \textbf{($x$가 자연수가 아닌 경우)} \\ \\ \dfrac{1}{x} & \textbf{($x$가 자연수인 경우)} \end{cases}$$ 에 대하여, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}$의 값이 자연수가 되도록 하는 $300$ 이하의 자연수 $n$의 개수는? [4점]
① $135$
② $144$
③ $153$
④ $162$
⑤ $171$
⑤
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)} = F(n)$이라 하자.
함수 $f(x)$의 정의에 의하여
(ⅰ) $\sqrt[3]{k}$가 자연수, 즉 $k$가 어떤 자연수의 세제곱꼴일 때
$f(\sqrt[3]{k}) = \frac{1}{\sqrt[3]{k}}$이므로
$\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)} = \dfrac{\frac{1}{\sqrt[3]{k}}}{5\times \frac{1}{k}} = \dfrac{k^{\frac{2}{3}}}{5}$
(ⅱ) $\sqrt[3]{k}$가 자연수가 아닐 때, 즉 $k$가 어떤 자연수의 세제곱꼴이 아닐 때
$f(\sqrt[3]{k}) = 5$이므로
$\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)} = \dfrac{5}{5\times \frac{1}{k}} = k$
(ⅰ)에서 $k$가 어떤 자연수의 세제곱꼴, 즉 $k = m^3 $($m$은 자연수)이면
$\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)} = \frac{m^2}{5}$
(ⅱ)에서 $k$가 어떤 자연수의 세제곱꼴이 아니면
$\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}$의 값은 항상 자연수이다. $\cdots\cdots$ (*)
즉, $F(n) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}$의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하기 위해서는 $n$이 어떤 자연수의 세제곱꼴이 될 때를 기준으로 경우를 나누어 살펴보아야 한다.
① $n = 1=1^{3}$ 일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{1})}{5f(1)} = \frac{1^2}{5} = \frac{1}{5}$이다.
그러므로 (*)에 의하여 $1 \le n \lt 8$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은 $\frac{1}{5}+\textbf{(자연수)}$의 꼴이고, 이는 자연수가 아니다.
② $n = 8 = 2^3$일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{8})}{5f(8)} = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5}$이다.
즉, $F(8)$의 값은 $\frac{1}{5}+\textbf{(자연수)}+\frac{4}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수이다.
그러므로 (*)에 의하여 $8 \le n \lt 27$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은 자연수이다.
③ $n = 27 = 3^{3}$일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{27})}{5f(27)} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5}$이다.
즉, $F(27)$의 값은 $\textbf{(자연수)}+\frac{9}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수가 아니다.
그러므로 (*)에 의하여 $27 \le n \lt 64$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은
$\textbf{(자연수)}+\frac{4}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수가 아니다.
④ $n = 64 = 4^3$일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{64})}{5f(64)} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}$이다.
즉, $F(64)$의 값은 $\textbf{(자연수)}+\frac{4}{5}+\frac{16}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수이다.
그러므로 (*)에 의하여 $64 \le n \lt 125$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은 자연수이다.
⑤ $n = 125 = 5^3$일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{125})}{5f(125)} = \frac{5^2}{5} = 5$이다.
즉, $F(125)$의 값은 $\textbf{(자연수)}+5$의 꼴이고, 이는 자연수이다.
그러므로 (*)에 의하여 $125 \le n \lt 216$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은 자연수이다.
⑥ $n =216 = 6^3$일 때
$\frac{f(\sqrt[3]{216})}{5f(216)} = \frac{6^2}{5} = \frac{36}{5}$이다.
즉, $F(216)$의 값은 $\textbf{(자연수)}+\frac{36}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수가 아니다.
이때 $7^3 = 343 \gt 300$이므로 (*)에 의하여 $216 \le n \le 300$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $F(n)$의 값은 $\textbf{(자연수)}+\frac{36}{5}$의 꼴이고, 이는 자연수가 아니다.
① ~ ⑥에 의하여 조건을 만족시키는 자연수 $n$의 값의 범위는
$8 \le n \lt 27$ 또는 $64 \le n \lt 216$이고,
그 개수는 $(27-8)+(216-64)=19+152 = 171$
15. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [4점]
모든 실수 $a$에 대하여
$$\lim_{x \to a}\frac{(2x+1)f(x)}{f(x)+f(x-t)}$$
의 값이 존재하도록 하는 양수 $t$의 집합은 $\{ t \,|\, t \ge \frac{3}{2} \}$이다.
① $\frac{5}{2}$
② $5$
③ $\frac{15}{2}$
④ $10$
⑤ $\frac{25}{2}$
④
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로
$f(x) = x^{2}+px+q$ (단, $p$, $q$는 상수)라 하자.
$g(x) = f(x)+f(x-t)$라 하면
$g(x) = x^{2}+px+q+(x-t)^{2}+p(x-t)+q$
$= 2x^{2}+2(p-t)x+t^{2}-pt+2q$
이다.
모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{(2x+1)f(x)}{f(x)+f(x-t)} = \lim_{x \to a}\frac{(2x+1)f(x)}{g(x)}$의 극한이 존재하기 위해서는 분모의 $g(x) = 0$인 실수 $x$가 존재하지 않거나 $g(x) = 0$인 실수 $x$에 대하여 분자의 값이 모두 $0$이 되어야 한다.
이때 방정식 $g(x) = 0$이 중근을 가지면 분자도 그 근을 중근으로 가져야 한다.
$x$에 대한 이차방정식 $g(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$\frac{D}{4} = (p-t)^{2}-2(t^{2}-pt+2q) = p^{2}-4q-t^{2}$
이고 $D$의 부호에 따라 주어진 극한이 존재하는 $t$의 값의 범위를 구할 수 있다.
(ⅰ) $D \lt 0$인 경우
$g(x) = 0$인 실수 $x$가 존재하지 않으므로 모든 실수 $a$에 대하여 주어진 극한이 존재한다.
(ⅱ) $D \gt 0$인 경우
$g(x) = 0$인 실수 $x$의 값은 $2$개가 존재하고 $t$의 값에 따라 변한다.
하지만 분자의 방정식 $(2x+1)f(x) = 0$의 근은 $t$와 관계없는 상수이고 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이하이다. 이때 $t$의 값이 변함에 따라 달라지는 방정식 $g(x) = 0$의 근이 고정된 방정식 $(2x+1)f(x) = 0$의 근과 일치할 수 없으므로 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅲ) $D = 0$인 경우
$g(x)$는 완전제곱식이고 방정식 $g(x) = 0$의 근을 방정식 $(2x+1)f(x) = 0$도 중근으로 가져야 한다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $t \ge \frac{3}{2}$에서 주어진 극한이 존재하기 위해서는 $t = \frac{3}{2}$일 때 $D = 0$이고 $t \gt \frac{3}{2}$일 때 $D \le 0$이어야 한다.
$p^{2}-4q-(\frac{3}{2})^2 = 0$에서
$p^{2}-4q = \frac{9}{4}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$t = \frac{3}{2}$일 때 방정식 $g(x) = 0$이 중근을 가지고 그 중근은
$x = -\dfrac{p-\frac{3}{2}}{2} = \dfrac{3-2p}{4}$
이다.
이차방정식 $f(x) = 0$의 판별식
$p^{2}-4q = \frac{9}{4} \gt 0$
이므로 이차방정식 $f(x) = 0$은 서로 다른 두 실근을 갖고, 방정식 $(2x+1)f(x) = 0$이 중근을 갖기 위해서는 $x = -\frac{1}{2}$이 중근이고 $f(-\frac{1}{2}) = 0$이어야 한다.
$\frac{3-2p}{4} = -\frac{1}{2}$에서 $p = \frac{5}{2}$
$f(-\frac{1}{2}) = 0$에서
$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})p + q = 0$
$\frac{1}{4}-\frac{5}{4}+q = 0$
이므로 $q = 1$
따라서 $f(x) = x^{2}+\frac{5}{2}x+1$이므로
$f(2) = 2^{2}+\frac{5}{2}\times 2+1 = 10$
16. 방정식 $\log_{3}(x-3) = \log_{9}(2x-3)$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
18. 수열 $\{ a_n \}$은 $a_1 = 28$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n & (a_n \textbf{이 짝수인 경우}) \\ \\ 2a_n + 12 & (a_n \textbf{이 홀수인 경우})\end{cases}$$ 를 만족시킬 때, $a_6$의 값을 구하시오. [3점]
$38$
$a_1 = 28$로 짝수이므로
$a_2 = \frac{1}{2}a_1 = \frac{1}{2} \times 28 = 14$
$a_2 = 14$로 짝수이므로
$a_3 = \frac{1}{2}a_2 = \frac{1}{2} \times 14 = 7$
$a_3 = 7$로 홀수이므로
$a_4 = 2a_3 + 12 = 2\times 7 + 12 = 26$
$a_4 = 26$으로 짝수이므로
$a_5 = \frac{1}{2}a_4 = \frac{1}{2} \times 26 = 13$
$a_5 = 13$으로 홀수이므로
$a_6 = 2a_5 + 12 = 2\times 13 + 12 = 38$
19. 기울기가 $8$이고 $y$절편이 양수인 직선이 곡선 $y = x^{3}-3x^{2}-x+2$에 접할 때, 이 직선은 점 $(1, k)$를 지난다. $k$의 값을 구하시오. [3점]
$15$
$f(x) = x^{3}-3x^{2}-x+2$라 하면
$f'(x) = 3x^{2}-6x-1$
직선과 곡선이 접하는 점의 $x$좌표를 $t$라 하면
$f'(t) = 3t^{2}-6t-1 = 8$에서
$3t^{2}-6t-9 = 0$, $3(t+1)(t-3) = 0$
$t = -1$ 또는 $t = 3$
기울기가 $8$이고 $y$절편이 양수인 직선의 방정식을 $y = 8x + a$ ($a$는 $a \gt 0$인 상수)라 하면
(ⅰ) $t = -1$일 때
$f(-1) = (-1)^{3}-3\times (-1)^{2}-(-1)+2 = -1$이므로 $-1 = 8\times (-1)+a$
$a = 7$
(ⅱ) $t = 3$일 때
$f(3) = 3^{3}-3\times 3^{2}-3+2 = -1$이므로
$-1 = 8\times 3+a$, $a = -25$이고 이는 조건을 만족시키지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 직선의 방정식은 $y = 8x+7$
이 직선이 점 $(1, k)$를 지나므로
$k = 8\times 1 + 7 = 15$
20. $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 두 함수
$$f(x) = \sin x, \,\:g(x) = -k \cos x \:\:\:(k \gt 1)$$
이 있다. 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제$4$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자.
점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 다음은
$$\textbf{(삼각형 }\mathrm{CDB}\textbf{의 넓이)} : \textbf{(삼각형 }\mathrm{AOD}\textbf{의 넓이)} = 14 : 5$$
일 때, 상수 $k$의 값을 구하는 과정의 일부이다.
(단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$는 그림과 같다.
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$라 하면
두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 다음과 같다.
$\mathrm{B}(\fbox{$\textbf{ (가) }$}, -\sin a)$, $\mathrm{D}(\fbox{$\textbf{ (나) }$}, -\sin a)$
삼각형 $\mathrm{CDB}$의 넓이는
$\dfrac{1}{2}\times \overline{\mathrm{DB}}\times 2\sin a$
이고,
$\textbf{(삼각형 }\mathrm{AOD}\textbf{의 넓이)} = \dfrac{5}{14}\times \textbf{(삼각형 }\mathrm{CDB}\textbf{의 넓이)}$
이므로 $a = \fbox{$\textbf{ (다) }$}$이다. 따라서
$k = -\tan (\fbox{$\textbf{ (다) }$})$
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $p(a)$, $q(a)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $\alpha$라 하자. $3 \times \dfrac{p(\alpha)}{q(\alpha)}$의 값을 구하시오. [4점]
$17$
점 $(\frac{\pi}{2}, 0)$을 $\mathrm{E}$라 하자.
곡선 $y = g(x)$가 점 $\mathrm{E}$를 지나고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{D}$가 점 $\mathrm{E}$에 대하여 대칭이므로
점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\pi-a$이다.
또, 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$는 직선 $x = \pi$에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\pi+a$이다.
즉, 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 다음과 같다.
$\mathrm{B}(\fbox{ $\pi+a$ }, -\sin a)$, $\mathrm{D}(\fbox{ $\pi-a$ }, -\sin a)$ 
삼각형 $\mathrm{CDB}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{DB}}\times 2 \sin a = \frac{1}{2}\times 2a\times 2 \sin a$ $= 2a\sin a$
선분 $\mathrm{AD}$가 $x$축과 만나는 점이 $\mathrm{E}$이므로 삼각형 $\mathrm{AOD}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{AOE}$와 삼각형 $\mathrm{ODE}$의 넓이의 합과 같다.
즉
$\textbf{(삼각형 }\mathrm{AOD}\textbf{의 넓이)}$
$= \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{OE}}\times \sin a + \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{OE}}\times \sin a$
$= 2\times (\frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}\times \sin a)$
$= \frac{\pi}{2}\sin a$
$\textbf{(삼각형 }\mathrm{AOD}\textbf{의 넓이)} = \frac{5}{14}\times \textbf{(삼각형 }\mathrm{CDB}\textbf{의 넓이)}$
이므로
$\frac{\pi}{2}\sin a = \frac{5}{14}\times 2a\sin a$
에서 $a = \fbox{ $\frac{7}{10}\pi$ }$이다.
따라서 $k = -\tan (\fbox{ $\frac{7}{10}\pi$ })$이다.
이때
$p(a) = \pi+a$, $q(a) = \pi-a$, $\alpha = \frac{7}{10}\pi$
이므로
$p(\alpha) = p(\frac{7}{10}\pi) = \pi+\frac{7}{10}\pi = \frac{17}{10}\pi$
$q(\alpha) = q(\frac{7}{10}\pi) = \pi-\frac{7}{10}\pi = \frac{3}{10}\pi$
따라서
$3 \times \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} = 3\times \dfrac{\frac{17}{10}\pi}{\frac{3}{10}\pi} = 17$
21. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(0)$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. [4점]
(가) 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.
(나) $g(x) = \begin{cases} -f(x) & (f(x) \ge 0) \\ \: 7f(x) & (f(x) \lt 0) \end{cases}$
일 때, 어떤 실수 $a$에 대하여 함수
$h(x) = g(x) + |(x-1)(x-a)(x-4+a)|$
가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
$12$
조건 (가)에서 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이므로 중근을 $\alpha$, 다른 한 근을 $\beta$라 하면
$f(x) = (x-\alpha)^{2}(x-\beta)$
$x \lt \beta$, $x \ne \alpha$에서 $f(x) \lt 0$
$x \ge \beta$에서 $f(x) \ge 0$
$f(\alpha) = 0$이므로
조건 (나)에서
$g(x) = \begin{cases} -(x-\alpha)^{2}(x-\beta) & (x \ge \beta) \\ 7(x-\alpha)^{2}(x-\beta) & (x \lt \beta) \end{cases}$
$\displaystyle \lim_{x \to \beta-}\frac{g(x)-g(\beta)}{x-\beta} = \lim_{x \to \beta-}\frac{7(x-\alpha)^{2}(x-\beta)}{x-\beta} = \lim_{x \to \beta-}7(x-\alpha)^{2}$ $= 7(\beta-\alpha)^{2}$
$\displaystyle \lim_{x \to \beta+}\frac{g(x)-g(\beta)}{x-\beta} = \lim_{x \to \beta+}\frac{-(x-\alpha)^{2}(x-\beta)}{x-\beta} = \lim_{x \to \beta+}\{-(x-\alpha)^{2}\}$ $= -(\beta-\alpha)^{2}$
$\alpha \ne \beta$이므로
$\displaystyle \lim_{x \to \beta-}\frac{g(x)-g(\beta)}{x-\beta} \ne \displaystyle \lim_{x \to \beta+}\frac{g(x)-g(\beta)}{x-\beta}$가 되어 함수 $g(x)$는 $x = \beta$에서만 미분가능하지 않다. $\cdots\cdots$ ㉠
$p(x) = (x-1)(x-a)(x-4+a)$라 하면 방정식 $p(x) = 0$의 실근은 $x=1$ 또는 $x=a$ 또는 $x=4-a$
$1 = a = 4-a$가 될 수 없으므로 함수 $|p(x)|$가 미분가능하지 않은 $x$의 개수는 $1$ 이상 $3$ 이하이다. $\cdots\cdots$ ㉡
조건 (나)에서 함수 $h(x) = g(x) + |p(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 ㉠, ㉡에서 두 함수 $g(x)$, $|p(x)|$는 $x = \beta$에서만 미분가능하지 않아야 한다.
함수 $|p(x)|$가 $x = \beta$에서만 미분가능하지 않아야 하므로
$1=a$ 또는 $a = 4-a$ 또는 $4-a = 1$
즉, $a=1$ 또는 $a=2$ 또는 $a=3$이다.
(ⅰ) $a=1$ 또는 $a=3$인 경우
$p(x) = (x-1)^{2}(x-3)$이고 함수 $|p(x)|$는 $x=3$에서만 미분가능하지 않으므로 $\beta = 3$
$f(x) = (x-\alpha)^{2}(x-3)$
조건 (나)에서 함수 $h(x)$가 $x=3$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to 3-}\frac{h(x)-h(3)}{x-3} = \lim_{x \to 3-}\frac{7(x-\alpha)^{2}(x-3)-(x-1)^{2}(x-3)}{x-3} = 7(3-\alpha)^{2}-4$
$\displaystyle \lim_{x \to 3+}\frac{h(x)-h(3)}{x-3} = \lim_{x \to 3+}\frac{-(x-\alpha)^{2}(x-3)-(x-1)^{2}(x-3)}{x-3} = -(3-\alpha)^{2}+4$
$7(3-\alpha)^{2}-4 = -(3-\alpha)^{2}+4$
$(3-\alpha)^{2} = 1$
$\alpha = 2$ 또는 $\alpha = 4$
$f(0) = -3\alpha^{2}$이므로
$f(0)$의 값은 $-12$ 또는 $-48$
(ⅱ) $a = 2$인 경우
$p(x) = (x-2)^{2}(x-1)$이고 함수 $|p(x)|$는 $x=1$에서만 미분가능하지 않으므로 $\beta = 1$
$f(x) = (x-\alpha)^{2}(x-1)$
조건 (나)에서 함수 $h(x)$가 $x=1$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \to 1-}\frac{h(x)-h(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-}\frac{7(x-\alpha)^{2}(x-1)-(x-2)^{2}(x-1)}{x-1} = 7(1-\alpha)^{2}-1$
$\displaystyle \lim_{x \to 1+}\frac{h(x)-h(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+}\frac{-(x-\alpha)^{2}(x-1)-(x-2)^{2}(x-1)}{x-1} = -(1-\alpha)^{2}+1$
$7(1-\alpha)^{2}-1 = -(1-\alpha)^{2}+1$
$(1-\alpha)^{2} = \frac{1}{4}$
$\alpha = \frac{1}{2}$ 또는 $\alpha = \frac{3}{2}$
$f(0) = -\alpha^{2}$이므로
$f(0)$의 값은 $-\frac{1}{4}$ 또는 $-\frac{9}{4}$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $f(0)$의 최댓값은 $-\frac{1}{4}$, 최솟값은 $-48$이므로 최댓값과 최솟값의 곱은
$-\frac{1}{4}\times (-48) = 12$
22. 상수 $a$ ($a \gt 1$)과 직사각형 $\mathrm{ABCD}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 두 곡선 $y = a^{x}$, $y = 2x^{2}-\frac{7}{2}x+3$은
모두 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$를 지난다.
(나) 두 곡선 $y = \log_{a}(x-\frac{1}{4})-\frac{1}{4}$, $y = 2x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{15}{2}$는
모두 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{D}$를 지난다.
$a^{3} = \dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$97$
$f(x) = 2x^{2}-\frac{7}{2}x+3$, $g(x) = 2x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{15}{2}$라 하고, 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표를 각각
$\mathrm{A}(r, f(r))$, $\mathrm{B}(s, f(s))$, $\mathrm{C}(u, g(u))$, $\mathrm{D}(v, g(v))$ ($r \lt s$)
라 하자.
직사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$가 서로 평행하므로
$\dfrac{f(s)-f(r)}{s-r} = \dfrac{g(v)-g(u)}{v-u}$
$\dfrac{2(s^{2}-r^{2})-\frac{7}{2}(s-r)}{s-r} = \dfrac{2(v^{2}-u^{2})-\frac{15}{2}(v-u)}{v-u}$
$2(s+r)-\frac{7}{2} = 2(v+u)-\frac{15}{2}$
$u+v = r+s+2$ $\cdots\cdots$ ㉠
또, 직사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 두 선분 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$의 중점이 일치하므로
$\frac{r+u}{2} = \frac{s+v}{2}$
$u-v = s-r$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서
$u = s+1$, $v = r+1$
한편, $g(x) = f(x-1)-1$이므로
$g(u) = g(s+1) = f(s)-1$
$g(v) = g(r+1) = f(r)-1$
즉, 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표는
$\mathrm{C}(s+1, f(s)-1)$, $\mathrm{D}(r+1, f(r)-1)$
이때 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는
$\dfrac{(f(s)-1)-f(s)}{(s+1)-s} = -1$
이고 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 직사각형이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $1$이다.
그러므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 상수 $k$에 대하여 직선 $y = x+k$ 위에 있다고 할 수 있다.
두 점 $\mathrm{A}(r, r+k)$, $\mathrm{B}(s, s+k)$가 곡선 $y = a^{x}$ 위에 있으므로
$a^{r}=r+k$, $a^{s}=s+k$ $\cdots\cdots$ ㉢
점 $\mathrm{C}(s+1, s+k-1)$이 곡선 $y = \log_{a}(x-\frac{1}{4})-\frac{1}{4}$ 위에 있으므로
$s+k-1 = \log_{a}(s+1-\frac{1}{4})-\frac{1}{4}$
$s+k-\frac{3}{4} = \log_{a}(s+\frac{3}{4})$
$3+\frac{3}{4} = a^{s+k-\frac{3}{4}} = a^{s}\times a^{k-\frac{3}{4}}$
위의 식에 ㉢을 대입하면
$3+\frac{3}{4} = (s+k)\times a^{k-\frac{3}{4}}$ $\cdots\cdots$ ㉣
점 $\mathrm{D}(r+1, r+k-1)$에 대하여 마찬가지 방법으로 하면
$r+\frac{3}{4} = (r+k)\times a^{k-\frac{3}{4}}$ $\cdots\cdots$ ㉤
㉣에서 ㉤을 빼면
$s-r = (s-r)\times a^{k-\frac{3}{4}}$
$s \ne r$이므로 $a^{k-\frac{3}{4}} = 1$
즉, $k = \frac{3}{4}$
그러므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 곡선 $y = 2x^{2}-\frac{7}{2}x+3$과 직선 $y = x+\frac{3}{4}$의 교점이다.
$2x^{2}-\frac{7}{2}x+3 = x+\frac{3}{4}$
$8x^{2}-18x+9 = 0$
$(2x-3)(4x-3) = 0$
$x = \frac{3}{2}$ 또는 $x = \frac{3}{4}$
$r \lt s$이므로 $r = \frac{3}{4}$, $s = \frac{3}{2}$
즉, 점 $\mathrm{A}$의 좌표가 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$이고 이 점이 곡선 $y = a^{x}$ 위에 있으므로
$a^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{2}$
따라서
$a^{3} = (a^{\frac{3}{4}})^4 = (\frac{3}{2})^4 = \frac{81}{16}$
에서 $p = 16$, $q = 81$이므로
$p+q = 16+81 = 97$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(B \,| A) = \frac{2}{3}, \,\:\mathrm{P}( A^c) = \frac{2}{5}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A \cap B)$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{10}$
② $\frac{1}{5}$
③ $\frac{3}{10}$
④ $\frac{2}{5}$
⑤ $\frac{1}{2}$
④
$\mathrm{P}(B \,| A) = \frac{2}{3}$에서
$\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{2}{3}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\mathrm{P}( A^c) = \frac{2}{5}$에서 $1-\mathrm{P}( A) = \frac{2}{5}$이므로
$\mathrm{P}( A) = \frac{3}{5}$
㉠에 대입하면
$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{2}{3}\times \mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}\times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
25. $\bigg( 2x^{3}+\dfrac{1}{x^2} \bigg)^4$의 전개식에서 $x^2$의 계수는? [3점]
① $8$
② $12$
③ $16$
④ $20$
⑤ $24$
26. 한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 $a$, $b$라 하자. $a$가 $3$ 이하이거나 $a\times b$가 $8$의 배수일 확률은? [3점]
① $\frac{5}{9}$
② $\frac{11}{18}$
③ $\frac{2}{3}$
④ $\frac{13}{18}$
⑤ $\frac{7}{9}$
②
한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 모든 경우의 수는
$6^2 = 36$
이때 $a$가 $3$ 이하인 사건을 $E$, $a \times b$가 $8$의 배수인 사건을 $F$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(E \cup F)$이다.
(ⅰ) 사건 $E$가 일어나는 경우는 $a$는 $1$, $2$, $3$ 중 하나, $b$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 중 하나인 경우이므로
$3 \times 6 = 18$
그러므로 $\mathrm{P}(E) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
(ⅱ) 사건 $F$가 일어나는 경우는 순서쌍 $(a, b)$가
$(2, 4)$, $(4, 2)$, $(4, 4)$, $(4, 6)$, $(6, 4)$인 $5$가지 경우이므로
$\mathrm{P}(F) = \frac{5}{36}$
(ⅲ) 사건 $E \cap F$가 일어나는 경우는 순서쌍 $(a, b)$가 $(2, 4)$인 한 가지 경우뿐이므로
$\mathrm{P}(E \cap F) = \frac{1}{36}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
$\begin{align} \mathrm{P}(E \cup F) &= \mathrm{P}(E)+\mathrm{P}(F)-\mathrm{P}(E \cap F) \\ &= \frac{1}{2}+\frac{5}{36}-\frac{1}{36} \\ &= \frac{11}{18} \end{align}$
27. 정규분포 $\mathrm{N}(1, \sigma^{2})$을 따르는 확률변수 $X$에 대하여
$$\mathrm{P}\bigg( \frac{3}{2}\sigma \le X \le 2\sigma \bigg) = 0.044$$
일 때, $\mathrm{P}\bigg( X \ge \dfrac{10}{7} \bigg)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, $\sigma$는 양수이다.) [3점]
① $0.0062$
② $0.0228$
③ $0.0668$
④ $0.1587$
⑤ $0.3085$
③
정규분포 $\mathrm{N}(1, \sigma^{2})$을 따르는 확률변수 $X$에 대하여 $Z = \frac{X-1}{\sigma}$이라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 따른다.
이때
$\mathrm{P}\big( \frac{3}{2}\sigma \le X \le 2\sigma \big)$
$= \mathrm{P}\big( \frac{\frac{3}{2}\sigma – 1}{\sigma} \le X \le \frac{2\sigma – 1}{\sigma} \big)$
$= \mathrm{P}\big( 1.5-\frac{1}{\sigma} \le X \le 2-\frac{1}{\sigma} \big) = 0.044$
한편, 표준정규분포표에서
$\mathrm{P}( 1.5 \le Z \le 2)$
$= \mathrm{P}( 0 \le Z \le 2)-\mathrm{P}( 0 \le Z \le 1.5)$
$= 0.4772-0.4332 = 0.044$
이고,
$\mathrm{P}( -2 \le Z \le -1.5) = \mathrm{P}( 1.5 \le Z \le 2)$
이므로
$2-\frac{1}{\sigma} = 2$ 또는 $2-\frac{1}{\sigma} = -1.5$
$\frac{1}{\sigma} \ne 0$이므로 $\frac{1}{\sigma} = 2+1.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$
즉, $\sigma = \frac{2}{7}$
따라서 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(1, (\frac{2}{7})^{2})$을 따르므로
$\mathrm{P}\big( X \ge \frac{10}{7} \big)$
$= \mathrm{P}\bigg( Z \ge \dfrac{\frac{10}{7}-1}{\frac{2}{7}} \bigg)$
$= \mathrm{P}( Z \ge 1.5)$
$= 1-\mathrm{P}( 0 \le Z \le 1.5)$
$= 0.5-0.4332$
$= 0.0068$
28. 그림과 같이 문자 $\mathrm{A}$가 적힌 $3$장의 카드와 문자 $\mathrm{B}$가 적힌 $3$장의 카드가 $1$번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$가 보이도록 놓여 있다.
이 $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k \le 5$이면 $k$번째 자리에 놓여 있는 카드와 $(k+1)$번째 자리에 놓여 있는 카드를 서로 바꾸어 놓고,
$k = 6$이면 놓여 있는 $6$장의 카드를 그대로 둔다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 $6$장의 카드가 $1$번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$가 보이도록 놓여 있을 때, $3$번째 시행에서 나온 눈의 수가 $6$일 확률은? [4점]
① $\frac{71}{373}$
② $\frac{69}{373}$
③ $\frac{73}{371}$
④ $\frac{71}{371}$
⑤ $\frac{69}{371}$
⑤
시행을 $4$번 반복한 후 $6$장의 카드가 $1$번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$가 보이도록 놓여있는 사건을 $X$, $3$번째 시행에서 나온 눈의 수가 $6$인 사건을 $Y$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(Y | X)$이다.
$6$장의 카드가 $1$번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$가 보이도록 놓여 있는 상태를 $\mathrm{AAABBB}$라고 표기하자.
카드가 처음 나열된 상태 $\mathrm{AAABBB}$에서는 한 번의 시행에서 $k=3$일 때만 카드의 나열이 $\mathrm{AABABB}$로 바뀌고 나머지 $5$가지 경우는 그대로 $\mathrm{AAABBB}$이다.
카드의 나열이 $\mathrm{AABABB}$일 때에는 한 번의 시행에서 $k=2$이면 카드의 나열이 $\mathrm{ABAABB}$로 바뀌고, $k=3$이면 카드의 나열이 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 되고, $k=4$이면 카드의 나열이 $\mathrm{AABBAB}$로 바뀌며, 나머지 $3$가지 경우는 그대로 $\mathrm{AABABB}$이다.
즉, $\mathrm{AAABBB}$에서 시행을 $2$번 반복한 후 카드의 나열이
$\mathrm{AAABBB}$일 확률은 $\frac{5}{6}\times \frac{5}{6} + \frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{26}{6^2}$,
$\mathrm{AABBAB}$일 확률은 $\frac{5}{6}\times \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\times \frac{3}{6} = \frac{8}{6^2}$,
$\mathrm{ABAABB}$일 확률은 $\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{1}{6^2}$,
$\mathrm{AABBAB}$일 확률은 $\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{1}{6^2}$
이다.
이때 어떠한 나열에서 특정한 나열로 변할 확률과 그 나열에서 다시 원래의 나열로 돌아올 확률은 항상 같다.
따라서 $2$번의 시행을 통해 특정한 나열이 될 확률과 그 나열에서 다시 $2$번의 시행을 통해 원래의 나열로 돌아올 확률이 동일하다.
즉, 이 시행을 $4$번 반복한 후 카드의 나열이 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 되는 확률은 시행을 $2$번 반복한 후 가능한 나열들의 각 확률들을 제곱하여 더한 것과 같으므로
$\mathrm{P}(X) = (\frac{26}{6^2})^{2}+(\frac{8}{6^2})^{2}+(\frac{1}{6^2})^{2}+(\frac{1}{6^2})^{2}$
$= \frac{26^2 + 8^2 + 1^2 + 1^2}{6^4} = \frac{742}{6^4}$
이제 이 시행을 $4$번 반복한 후 카드의 나열이 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 되는 경우 중 에서 $3$번째 시행에서 나온 눈의 수가 $6$인 경우를 생각해 보자.
$3$번째 시행에서 $k=6$이면 $2$번째 시행 후의 나열과 $3$번째 시행 후의 카드의 나열이 바뀌지 않는다. 그러므로 $4$번째 시행으로 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 되려면 $2$번째 시행 후의 나열이 $\mathrm{AAABBB}$ 또는 $\mathrm{AABABB}$이어야 한다.
$2$번째 시행 후 $\mathrm{AAABBB}$일 확률은 $\frac{26}{6^2}$,
$3$번째 시행에서 $k=6$일 확률은 $\frac{1}{6}$,
$4$번째 시행 후 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 될 확률은 $\frac{5}{6}$이므로 이 경우의 확률은 $\frac{26}{6^2}\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6} = \frac{130}{6^4}$
또한, $2$번째 시행 후 $\mathrm{AABABB}$일 확률은 $\frac{8}{6^2}$,
$3$번째 시행에서 $k=6$일 확률은 $\frac{1}{6}$,
$4$번째 시행 후 다시 $\mathrm{AAABBB}$가 될 확률은 $\frac{1}{6}$이므로 이 경우의 확률은
$\frac{8}{6^2}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{8}{6^4}$
그러므로
$\mathrm{P}(X \cap Y) = \frac{130}{6^4} + \frac{8}{6^4} = \frac{138}{6^4}$
따라서
$\mathrm{P}(Y | X) = \dfrac{\mathrm{P}(X \cap Y)}{\mathrm{P}(X)}$
$= \dfrac{\frac{138}{6^4}}{\frac{742}{6^4}}$
$= \dfrac{138}{742} = \dfrac{69}{371}$
29. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $a+b+c+d = 14$
(나) $10a \ge d$이고 $c \lt d^2$이다.
$190$
조건 (가)의 $a+b+c+d = 14$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하자.
$a^{\prime} = a-1$, $b^{\prime} = b-1$, $c^{\prime} = c-1$, $d^{\prime} = d-1$
이라 하면
$a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}+d^{\prime} = 10$ (단, $a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$, $d^{\prime}$은 음이 아닌 정수)
이를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$, $d^{\prime}$의 모든 순서쌍 $(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, d^{\prime})$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 중복을 허락하여 $10$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
$_{4}\mathrm{H}_{10} = _{13}\mathrm{C}_{10} = _{13}\mathrm{C}_{3} = \frac{13\times 12\times 11}{3\times 2\times 1} = 286$
$a+b+c+d = 14$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수는 $286$이다.
조건 (가)를 만족시키는 사건을 전체 사건이라 할 때 (나)에서 $10a \ge d$이고 $c \lt d^2$인 사건의 여사건은 $10a \lt d$이거나 $c \ge d^2$인 사건이다.
$10a \lt d$인 사건을 $A$, $c \ge d^2$인 사건을 $B$라 하자.
사건 $A$가 일어나는 경우의 수를 구하자.
$a \ge 1$이므로 $10a \ge 10$이고, 부등식 $10a \lt d$를 만족하려면 $d \gt 10$이어야 한다. $\cdots\cdots$ ㉠
$a$, $b$, $c$, $d$가 자연수이므로 $a+b+c \ge 3$이고, $a+b+c+d = 14$에서 $d$의 최댓값은 $11$이다. $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $d = 11$이고 이때 $a+b+c = 11$이 되어 순서쌍 $(a, b, c, d)$는 $(1, 1, 1, 11)$으로 유일하다.
즉, 사건 $A$가 일어나는 경우의 수는 $1$이다.
사건 $B$가 일어나는 경우의 수를 $d$의 값에 따라 경우를 나누어 구하자.
(ⅰ) $d=1$일 때
$c \ge d^2$에서 $c \ge 1$
$a+b+c+d = 14$, 즉 $a+b+c = 13$에서
$a^{\prime} = a-1$, $b^{\prime} = b-1$, $c^{\prime} = c-1$이라 하면
$a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$는 모두 음이 아닌 정수이고 $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime} = 10$이므로 이를 만족시키는 $a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$의 모든 순서쌍 $(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime})$의 개수는
$_{3}\mathrm{H}_{10} = _{12}\mathrm{C}_{10} = _{12}\mathrm{C}_{2} = 66$
(ⅱ) $d=2$일 때
$c \ge d^2$에서 $c \ge 4$
$a+b+c+d = 14$, 즉 $a+b+c = 12$에서
$a^{\prime} = a-1$, $b^{\prime} = b-1$, $c^{\prime} = c-4$라 하면
$a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$는 모두 음이 아닌 정수이고 $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime} = 6$이므로 이를 만족시키는 $a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$의 모든 순서쌍 $(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime})$의 개수는
$_{3}\mathrm{H}_{6} = _{8}\mathrm{C}_{6} = _{8}\mathrm{C}_{2} = 28$
(ⅲ) $d=3$일 때
$c \ge d^2$에서 $c \ge 9$
$a+b+c+d = 14$, 즉 $a+b+c = 11$에서
$a^{\prime} = a-1$, $b^{\prime} = b-1$, $c^{\prime} = c-9$라 하면
$a^{\prime}$, $b^{\prime}$, $c^{\prime}$는 모두 음이 아닌 정수이고 $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime} = 0$이므로 이를 만족시키는 $(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime})$의 모든 순서쌍 $(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime})$의 개수는 $(0, 0, 0)$으로
$1$
(ⅳ) $d \ge 4$일 때
$c \ge d^2$에서 $c \ge 16$
$a+b+c+d = 14$를 만족시키는 자연수 $c$는 존재하지 않는다.
(ⅰ)~(ⅳ)에서 사건 $B$가 일어나는 경우의 수는
$66+28+1 = 95$
사건 $A$가 일어나는 유일한 경우인 $(1, 1, 1, 11)$은 $c=1$, $d=11$이므로 $c \ge d^2$를 만족시키지 않는다.
즉, $n(A \cap B) = 0$이므로 $n(A \cup B) = 1+95 = 96$
따라서 구하는 순서쌍의 개수는
$286-96 = 190$
30. 숫자 $0$, $1$, $2$가 각각 하나씩 적혀 있는 세 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\bigg( k^{2}\times \mathrm{P}\bigg( \overline{X} = \frac{k}{5} \bigg) \bigg) = a$이다. $6\times a$의 값을 구하시오. [4점]
$170$
숫자 $0$, $1$, $2$가 각각 하나씩 적혀 있는 세 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하면 $X$의 확률 분포는 다음과 같다. 
$\mathrm{E}(X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} = 1$
$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^2$
$= 0^{2} \times \frac{1}{3} + 1^{2} \times \frac{1}{3} + 2^{2} \times \frac{1}{3}-1^2$
$= \frac{5}{3}-1 = \frac{2}{3}$
이때 확률변수 $\overline{X}$는 크기가 $5$인 표본의 표본평균이므로
$\mathrm{E}(\overline{X}) = \mathrm{E}(X) = 1$
$\mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{\mathrm{V}(X)}{5} = \frac{2}{3}\times \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$
한편, $\overline{X}$가 가질 수 있는 값은 $0 \le k \le 10$인 정수 $k$에 대하여 $\frac{k}{5}$이므로
$\mathrm{E}(\overline{X}^2) = \displaystyle \sum_{k=0}^{10}\bigg( \bigg( \frac{k}{5} \bigg)^{2}\times \mathrm{P}\bigg( \overline{X} = \frac{k}{5} \bigg) \bigg)$
이고,
$\mathrm{E}(\overline{X}^2) = \mathrm{V}(\overline{X}) + \{ \mathrm{E}(\overline{X})\}^2$ $= \frac{2}{15}+1 = \frac{17}{15}$
따라서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\bigg( k^{2}\times \mathrm{P}\bigg( \overline{X} = \frac{k}{5} \bigg) \bigg)$
$= \displaystyle \sum_{k=0}^{10}\bigg( k^{2}\times \mathrm{P}\bigg( \overline{X} = \frac{k}{5} \bigg) \bigg)$
$= \displaystyle 25\sum_{k=0}^{10}\bigg( \bigg( \frac{k}{5} \bigg)^{2}\times \mathrm{P}\bigg( \overline{X} = \frac{k}{5} \bigg) \bigg)$
$= 25\times \mathrm{E}(\overline{X}^2)$
$= 25\times \frac{17}{15}$
$= \dfrac{85}{3} = a$
이므로
$6\times a = 6\times \frac{85}{3} = 170$
수학 영역(미적분)
23. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\ln (2x+1)}$의 값은? [2점]
① $\frac{1}{5}$
② $\frac{1}{4}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $1$
25. 정수 $k$에 대하여 수열 $\{ a_n \}$의 일반항을 $$a_n = \bigg( \frac{k^{2}-20}{16} \bigg)^{n}$$ 이라 하자. 수열 $\{ a_n \}$이 수렴하도록 하는 $k$의 개수는? [3점]
① $2$
② $5$
③ $8$
④ $11$
⑤ $14$
26. 곡선 $y = \dfrac{2}{x^{2}+x}$ ($x \gt 0$) 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 곡선 $y = \dfrac{2}{x^{2}+x}$ ($x \gt 0$)과 직선 $l$ 및 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① $2\ln \frac{4}{3}-\frac{1}{3}$
② $2\ln \frac{4}{3}-\frac{1}{4}$
③ $2\ln \frac{4}{3}-\frac{1}{8}$
④ $2\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{4}$
⑤ $2\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{8}$
②
$y = \frac{2}{x^{2}+x}$에서 몫의 미분법에 의하여
$y^{\prime} = \dfrac{-2(2x+1)}{(x^{2}+x)^2}$
곡선 $y = \frac{2}{x^{2}+x}$ ($x \gt 0$) 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선 $l$의 기울기는
$\frac{-2\times 3}{4} = -\frac{3}{2}$
그러므로 직선 $l$의 방정식은
$y = -\frac{3}{2}(x-1)+1$
즉, $y = -\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$
따라서 곡선 $y = \frac{2}{x^{2}+x}$ ($x \gt 0$)과 직선 $l$ 및 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이는
$\int_{1}^{2}|\frac{2}{x^{2}+x}-(-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2})| dx$
$= \int_{1}^{2}\{\frac{2}{x(x+1)}-(-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2})\} dx$
$= \int_{1}^{2}\{\frac{2}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{2}x-\frac{5}{2})\} dx$
$= \bigg[ 2\ln x -2 \ln (x+1) + \frac{3}{4}x^{2} – \frac{5}{2}x \bigg]_{1}^{2}$
$= (2\ln 2-2\ln 3+3-5)-(-2\ln 2+\frac{3}{4}-\frac{5}{2})$
$= 2(2\ln 2-\ln 3)-\frac{1}{4}$
$= 2 \ln \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{4}$
27. 함수 $f(x) = (\ln x)^{3}-3 \ln x$에 대하여 $x \ge -2$에서 정의된 함수 $g(x)$는 $x \gt -2$에서 미분가능하고 $t \ge e$인 모든 실수 $t$에 대하여 $g(f(t)) = t^2$을 만족시킨다.
$x \gt \dfrac{1}{e}$에서 정의된 함수 $h(x) = g(f(x))$에 대하여 $h^{\prime}(1)$의 값은? [3점]
① $-\frac{e^{2\sqrt{3}}}{3}$
② $-\frac{2e^{2\sqrt{3}}}{5}$
③ $-\frac{e^{2\sqrt{3}}}{2}$
④ $-\frac{2e^{2\sqrt{3}}}{3}$
⑤ $-e^{2\sqrt{3}}$
⑤
$f(x) = (\ln x)^{3}-3 \ln x$에서 $f(1) = 0$이므로 $h(x) = g(f(x))$에서
$h'(x) = g'(f(x))f'(x)$
$h'(1) = g'(f(1))f'(1) = g'(0)\times f'(1)$ $\cdots\cdots$ ㉠
한편 $f(x) = 0$에서 $\ln x \{ (\ln x)^{2}-3 \} = 0$
$\ln x = 0$ 또는 $\ln x = \sqrt{3}$ 또는 $\ln x = -\sqrt{3}$
$x=1$ 또는 $x=e^{\sqrt{3}}$ 또는 $x=e^{-\sqrt{3}}$
$t \ge e$인 모든 실수 $t$에 대하여 $g(f(t)) = t^2$
$t \ge e$일 때 $f(t) \ge -2$이므로
$t \gt e$에서 위 등식의 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$g'(f(t))f'(t) = 2t$ $\cdot\cdots$ ㉡
$f'(x) = 3(\ln x)^{2}\times \frac{1}{x}-\frac{3}{x} = \frac{3}{x}\{ (\ln x)^{2}-1 \}$
이고,
$f(t) = 0$에서 $t \gt e$이므로 $t=e^{\sqrt{3}}$
$f'(e^{\sqrt{3}}) = \frac{3}{e^{\sqrt{3}}}\times (\sqrt{3}^{2}-1) = \frac{6}{e^{\sqrt{3}}}$
㉡의 양변에 $t=e^{\sqrt{3}}$을 대입하면
$g'(0)\times \frac{6}{e^{\sqrt{3}}} = 2e^{\sqrt{3}}$
$g'(0) = \frac{1}{3}e^{\sqrt{3}}$
이때 $f'(1) = -3$이므로 ㉠에서
$h'(1) = \frac{1}{3}e^{\sqrt{3}} \times (-3) = -e^{\sqrt{3}}$
[참고]
$f(x) = (\ln x)^{3}-3 \ln x$에서
$f'(x) = \frac{3}{x}\{ (\ln x)^{2}-1 \}$
$f'(x) = 0$에서
$\ln x = -1$ 또는 $\ln x = 1$
$x = \frac{1}{e}$ 또는 $x = e$
$x \gt 0$에서 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 나타내면 다음과 같다. 
$f(\frac{1}{x}) = 2$, $f(e) = -2$이므로 함수 $y = f(x)$의 그래프는 다음과 같다. 
즉, $x \ge e$일 때 $f(x) \ge -2$이다.
28. 점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C$가 있다.
$\overline{\mathrm{OA}} = 5$인 점 $\mathrm{A}$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$와 원 $C$가 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 점 $\mathrm{O}$를 지나지 않는 직선이 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점을 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ ($\overline{\mathrm{AP}} \lt \overline{\mathrm{AQ}}$)라 하자. 점 $\mathrm{Q}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{BP}$와 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $t$라 할 때, $\angle \mathrm{OPQ} = f(t)$라 하면 $f(t)$는 미분가능한 함수이다.
$\tan f(k) = \dfrac{3}{2}$인 실수 $k$에 대하여 $f'(k)$의 값은? [4점]
① $\frac{7}{13}$
② $\frac{15}{26}$
③ $\frac{8}{13}$
④ $\frac{17}{26}$
⑤ $\frac{9}{13}$
④
$t$는 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이에서 부채꼴 $\mathrm{OBP}$의 넓이를 뺀 값이다.
$\angle \mathrm{AOP} = \theta$라 하면
$\overline{\mathrm{OB}} = \overline{\mathrm{OP}} = 2$, $\overline{\mathrm{OA}} = 5$이고 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times 2\times 5 \times \sin \theta$
부채꼴 $\mathrm{OBP}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times 2^2 \times \theta$
이므로
$t = 5\sin \theta – 2\theta$ $\cdots\cdots$ ㉠
또 $\angle \mathrm{OAP}+\angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{OPQ}$에서
$\angle \mathrm{OAP} = f(t)-\theta$
삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 사인법칙에 의하여
$\dfrac{5}{\sin (\pi-f(t))} = \dfrac{2}{\sin (f(t)-\theta)}$
$\sin (f(t)-\theta) = \frac{2}{5}\sin f(t)$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠의 양변을 에 대하여 미분하면
$1 = (5\cos \theta-2)\frac{d\theta}{dt}$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡의 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$\cos (f(t)-\theta)(f'(t)-\frac{d\theta}{dt}) = \frac{2}{5}\cos f(t)\times f'(t)$ $\cdots\cdots$ ㉣
한편 $\tan f(k) = \frac{3}{2}$에서 $\frac{\sin f(k)}{\cos f(k)} = \frac{3}{2}$
$\sin f(k) = \frac{3}{2}\cos f(k)$
$\sin^{2}f(k)+\cos^{2}f(k) = \frac{13}{4}\cos^{2}f(k) = 1$
$\cos^{2}f(k) = \frac{4}{13}$
$0 \lt f(t) \lt \frac{\pi}{2}$이므로 $\cos f(k) = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\sin f(k) = \frac{3}{\sqrt{13}}$
이를 ㉡에 대입하면
$\sin (f(t)-\theta) = \frac{2}{5}\times \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{5\sqrt{13}}$이고
$\cos (f(t)-\theta) = \sqrt{1-{\frac{6}{5\sqrt{13}}}^2} = \frac{17}{5\sqrt{13}}$
㉣의 양변에 $t=k$를 대입하면
$\cos (f(k)-\theta)(f'(k)-\frac{d\theta}{dt}) = \frac{2}{5}\cos f(k)\times f'(k)$
$\frac{17}{5\sqrt{13}}\times (f'(k)-\frac{d\theta}{dt}) = \frac{2}{5}\times \frac{2}{\sqrt{13}}\times f'(k)$
$17 \times (f'(k)-\frac{d\theta}{dt}) = 4f'(k)$ $\cdots\cdots$ ㉤
㉢에서 $\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5\cos \theta-2}$이고
$\sin \theta = \sin (f(k)-(f(k)-\theta))$ $= \sin f(k) \cos (f(k)-\theta)-\cos f(k) \sin (f(k)-\theta)$
에서
$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}\times \frac{17}{5\sqrt{13}}-\frac{2}{\sqrt{13}}\times \frac{6}{5\sqrt{13}} = \frac{3}{5}$
$\overline{\mathrm{AP}} \lt \overline{\mathrm{AQ}}$에서 $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$이므로
$\cos \theta = \frac{4}{5}$이고 $\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5\cos \theta-2} = \frac{1}{2}$
이 값을 ㉤에 대입하면
$17 \times (f'(k)-\frac{1}{2}) = 4f'(k)$
$17f'(k)-\frac{17}{2}) = 4f'(k)$
$f'(k) = \dfrac{17}{26}$
29. 수열 $\{ a_n \}$은 등비수열이고, 수열 $\{ b_n \}$을 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_{n} = \begin{cases} a_{n}-a_{1} & (|a_{n}| \ge 10) \\ \\ (a_{n})^{2} & (|a_{n}| \lt 10) \end{cases}$$ 이라 하자. 수열 $\{ b_n \}$은 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $(b_{2})^{2} = 36b_{3}$
(나) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$은 수렴하고 그 합은 $12$이다.
$a_{1} \gt 0$이고 $a_{2} \lt 0$일 때, $36\times a_{4}\times a_{6}$의 값을 구하시오. [4점]
$81$
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$이라 하면
$a_{1} \gt 0$, $a_{2} = a_{1}r \lt 0$에서
$r \lt 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (나)에서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = 0$
$r \le -1$이면
$a_{2n} = a_{1}r^{2n-1}$에서 $r^{2n-1} \le -1$이므로
$a_{2n} = -a_{1}|r|^{2n-1} \le -a_1 \lt 0$
$|a_{2n}| \ge 10$일 때, $b_{2n} = a_{2n}-a_{1} \le -2a_{1} \lt 0$
$|a_{2n}| \lt 10$일 때, $b_{2n} = (a_{2n})^{2} \ge (a_{1})^{2} \gt 0$
이는 수열 $\{ b_n \}$이 $0$에 수렴한다는 조건을 만족시키지 않는다.
따라서 ㉠에 의하여 $-1 \lt r \lt 0$
조건 (가)에서 $(b_{2})^{2} = 36b_3 \ge 0$이므로 $b_3 \ge 0$
$|a_3| \ge 10$이면 $b_3 = a_3 – a_1 = a_{1}r^{2}-a_1 = a_{1}(r^{2}-1)$
이때 $-1 \lt r \lt 0$이므로 $b_{3} \lt 0$이 되어 $b_3 \ge 0$을 만족시키지 않는다.
그러므로 $|a_3| \lt 10$이고 $b_{3} = (a_{3})^2$
$|a_2| \lt 10$이면 $b_{2} = (a_{2})^2$, $b_{3} = (a_{3})^2$
조건 (가)에서
$(a_{2})^{4} = 36\times (a_{3})^2$
$(a_{1}r)^{4} = 36\times (a_{1}r^{2})^2$, $(a_{1})^{2} = 36$
$a_1 \gt 0$이므로 $a_1 = 6$
$|a_1| \lt 10$이고 $-1 \lt r \lt 0$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_n| \lt 10$
그러므로 $b_n = (a_{n})^2$이고
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n})^{2} = \frac{36}{1-r^2} \gt 36$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
즉 $|a_2| \ge 10$이고 $|a_1| \ge 10$
따라서 $|a_1| \ge 10$, $|a_2| \ge 10$, $|a_3| \lt 10$이므로
$b_1 = a_1 – a_1 = 0$
$b_2 = a_2 – a_1 = a_{1}(r-1)$
$b_3 = (a_{3})^{2}-a_1 = a_{1} ^{2}r^4$
조건 (가)에서 $\{ a_{1}(r-1) \}^{2} = 36\times a_{1} ^{2}r^4$
$(r-1)^{2} = 36r^4$
$-1 \lt r \lt 0$이므로 $r-1 = -6r^{2}$
$6r^{2}+r-1 = 0$, $(3r-1)(2r+1) = 0$
$-1 \lt r \lt 0$이므로 $r = -\frac{1}{2}$
$|a_3| \lt 10$이고 $r = -\frac{1}{2}$이므로
$n \le 3$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_n| \lt 10$이고 $b_n = (a_{n})^2$
즉 수열 $\{ b_n \}$은 셋째항부터 공비가 $\frac{1}{4}$인 등비수열을 이룬다.
$b_3 = (a_{3})^{2} = a_{1} ^{2}\times (-\frac{1}{2})^2 = \frac{a_{1} ^{2}}{16}$이므로
조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$
$= b_1 + b_2 + \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}b_{n}$
$= 0 + (-\frac{a_1}{2}-a_1)+\dfrac{\frac{a_{1} ^{2}}{16}}{1-\frac{1}{4}}$
$= -\dfrac{3a_{1}}{2}+\dfrac{a_{1} ^{2}}{12} = 12$
$a_{1} ^{2}-18a_{1}-144 = 0$, $(a_{1}+6)(a_{1}-24) = 0$에서
$|a_{1}| \ge 10$이므로 $a_{1} = 24$
따라서
$36 \times a_{4} \times a_{6}$
$= 36 \times \{24\times (-\frac{1}{8})\} \times \{24\times (-\frac{1}{32})\} = 81$
30. 함수 $f(x) = 2^{2x+\frac{1}{2}\cos \pi x}$의 역함수 $g(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속인 도함수를 갖는다. $$\frac{1}{4}\int_{f(1)}^{f(3)}g(x) dx+\int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g^{\prime}(x)}{x} dx = \frac{q}{p}\sqrt{2}$$ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$49$
$f(x) = 2^{2x+\frac{1}{2}\cos \pi x}$에서
$f'(x) = 2^{2x+\frac{1}{2}\cos \pi x} \times \ln 2 \times (2-\frac{\pi}{2}\sin \pi x)$이므로
모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$이다.
즉, 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다.
$\displaystyle \frac{1}{4}\int_{f(1)}^{f(3)}g(x) dx+\int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g^{\prime}(x)}{x} dx$ $\cdots\cdots$ ㉠
$x = f(t)$로 놓으면 $\frac{dx}{dt} = f'(t)$
함수 $f(x)$는 일대일대응이므로
$f(1) = f(t)$에서 $t = 1$
$f(3) = f(t)$에서 $t = 3$
$\displaystyle \frac{1}{4}\int_{f(1)}^{f(3)}g(x) dx$
$= \frac{1}{4}\int_{1}^{3}g(f(t))f'(t) dt$
$= \frac{1}{4}\int_{1}^{3}tf'(t) dt$
$= \frac{1}{4}\big( \big[ tf(t) \big]_{1}^{3}-\int_{1}^{3}f(t) dt \big)$
$= \frac{1}{4}(3f(3)-f(1))-\frac{1}{4}\int_{1}^{3}f(t) dt$ $\cdots\cdots$ ㉡
또,
$f(0) = f(t)$에서 $t = 0$
$f(2) = f(t)$에서 $t = 2$
이고
$x = f(t)$이면
$g(x) = t$, $g'(x)\frac{dx}{dt} = 1$이므로
$\displaystyle \int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g^{\prime}(x)}{x} dx$
$= \int_{0}^{2}\frac{2^{4t}}{f(t)} dt$
$= \int_{0}^{2}\frac{2^{4t}}{2^{2t+\frac{1}{2}\cos \pi t}} dt$
$= \int_{0}^{2}2^{2t-\frac{1}{2}\cos \pi t} dt$
$= \int_{1}^{3}2^{2(t-1)-\frac{1}{2}\cos \pi (t-1)} dt$
$= \int_{1}^{3}2^{-2+2t+\frac{1}{2}\cos \pi t} dt$
$= \frac{1}{4}\int_{1}^{3}2^{2t+\frac{1}{2}\cos \pi t} dt$
$= \frac{1}{4}\int_{1}^{3}f(t) dt$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면
$\displaystyle \frac{1}{4}\int_{f(1)}^{f(3)}g(x) dx+\int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g^{\prime}(x)}{x} dx$
$= \frac{1}{4}(3f(3)-f(1))-\frac{1}{4}\int_{1}^{3}f(t)dt+\frac{1}{4}\int_{1}^{3}f(t)dt$
$= \frac{1}{4}(3f(3)-f(1))$
$= \frac{1}{4}(3\times 2^{\frac{11}{2}}-2^{\frac{3}{2}})$
$= \frac{\sqrt{2}}{4}(3\times 2^{5}-2)$
$= \frac{}{47}\sqrt{2}\sqrt{2}$
따라서 $p = 2$, $q = 47$이므로
$p+q = 49$
수학 영역(기하)
23. 두 벡터 $\vec{a} = (k, 2)$, $\vec{b} = (k, 3)$에 대하여 $2\vec{a}+\vec{b}$의 모든 성분의 합이 $10$일 때, $k$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
24. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, -4, 0)$, $\mathrm{B}(6, b, 5)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점의 좌표가 $(4, -1, 3)$일 때, $a+b$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
25. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ ($c \gt 0$)이고 단축의 길이가 $6$인 타원이 점 $(4, \sqrt{5})$를 지날 때, 선분 $\mathrm{FF'}$의 길이는? [3점]
① $4\sqrt{2}$
② $4\sqrt{3}$
③ $6\sqrt{2}$
④ $6\sqrt{3}$
⑤ $8\sqrt{2}$
④
단축의 길이가 $6$이므로 타원과 $y$축이 만나는 두 점의 좌표는
$(0, 3)$, $(0, -3)$
이 타원의 방정식을
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9} = 1$ ($a \gt 0$)
이라 하면 점 $(4, \sqrt{5})$가 타원 위의 점이므로
$\frac{16}{a^2}+\frac{5}{9} = 1$
$a^2 = 36$
$a \gt 0$이므로 $a = 6$
$c^2 = a^2 -9 = 27$
$c \gt 0$이므로 $c = 3\sqrt{3}$
따라서 $\overline{\mathrm{FF’}} = 2c =6\sqrt{3}$
26. 그림과 같이 밑면의 지름의 길이가 $6$, 높이가 $3$인 원기둥이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다.
$\overline{\mathrm{BC}} = 3$, $\overline{\mathrm{CD}} = 2\sqrt{6}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이는? [3점]
① $3\sqrt{13}$
② $3\sqrt{14}$
③ $3\sqrt{16}$
④ $12$
⑤ $3\sqrt{17}$
⑤
점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AB}$를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D’}$이라 하면
$\overline{\mathrm{DD’}} = 3$
점 $\mathrm{D’}$은 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 점이고, 점 $\mathrm{C}$에서 평면 $\mathrm{ABD’}$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{B}$이므로
$\overline{\mathrm{BD’}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2\sqrt{6}$이다.
$\angle \mathrm{AD’B}$는 직각이므로 삼각형 $\mathrm{ABD’}$에서 피타고라스의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{AD’}} = \sqrt{6^2 – (2\sqrt{6})^2} = 2\sqrt{3}$
점 $\mathrm{D’}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD’}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{D’H}} = \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{AD’}}\times \overline{\mathrm{BD’}}$
이므로
$\frac{1}{2}\times 6\times \overline{\mathrm{D’H}} = \frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{6}$
즉 $\overline{\mathrm{D’H}} = 2\sqrt{2}$
삼각형 $\mathrm{DD’H}$에서 피타고라스 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{DH}} = \sqrt{3^2 – (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17}$
$\overline{\mathrm{DD’}} \perp (\text{평면 }\mathrm{ABD’})$, $\overline{\mathrm{D’H}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{DH}} \perp \overline{\mathrm{AB}}$이고 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{AB}}\times \overline{\mathrm{DH}} = \frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{17} = 3\sqrt{17}$
27. 양수 $p$에 대하여 포물선 $y^2 = 4px$ 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 중 초점까지의 거리가 $3p$인 점을 $\mathrm{A}$라 하자. 포물선 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선을 $l$이라 할 때, 직선 $l$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 직선 $l$과 수직이고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ACB}$의 넓이가 $16\sqrt{2}$일 때, $p$의 값은? [3점]
① $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
② $\sqrt{3}$
③ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
④ $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
⑤ $2\sqrt{3}$
③
포물선 $y^2 = 4px$의 초점을 $\mathrm{F}$라 하면 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 포물선의 준선은 $x = -p$이다.
점 $\mathrm{A}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라하면 $\overline{\mathrm{AF}} = \overline{\mathrm{AH}} = 3p$이므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $2p$이다. 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표를 $y_1$이라하면
$y_{1} ^{2} = 4p\times 2p = 8p^2$이고
$y_{1} \gt 0$이므로 $y_{1} = 2\sqrt{2}p$
즉, $\mathrm{A}(2p, 2\sqrt{2}p)$
포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선 $l$의 방정식은
$2\sqrt{2}p\times y = 2p(x+2p)$
즉, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{2}p$이고 직선 $l$이 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $(0, \sqrt{2}p)$이다.
직선 $l$과 수직이고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선의 방정식은
$y-2\sqrt{2}p = -\sqrt{2}(x-2p)$
즉, $y = -\sqrt{2}x+4\sqrt{2}p$
이고 이 직선이 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $(0, 4\sqrt{2}p)$이다.
$\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{2}p-\sqrt{2}p = 3\sqrt{2}p$
이고 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 길이는 $2p$이므로 삼각형 $\mathrm{ACB}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}p \times 2p = 3\sqrt{2}p^2 = 16\sqrt{2}$
$p^2 = \frac{16}{3}$이고 $p \gt 0$이므로
$p = \sqrt{\frac{16}{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
28. 좌표공간에 점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$ 인 구 위의 서로 다른 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 $\mathrm{OD}$와 평면 $\mathrm{ABC}$는 서로 평행하다.
(나) $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{CD}}$
삼각형 $\mathrm{OAB}$의 평면 $\mathrm{OAC}$ 위로의 정사영의 넓이는? [4점]
① $\frac{\sqrt{2}}{2}$
② $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
③ $\sqrt{2}$
④ $\frac{5\sqrt{2}}{4}$
⑤ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
②
조건 (나)에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BC}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 정삼각형이다.
구 $S$와 평면 $\mathrm{ABC}$가 만나는 도형이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원이므로 삼각형의 외심을 $\mathrm{M}$, 반지름의 길이를 $r$이라 하면
$\overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}} = \overline{\mathrm{OC}} = 3$이고 직선 $\mathrm{OM}$은 평면 $\mathrm{ABC}$와 수직이다.
$\overline{\mathrm{OM}} = h$라 하고 좌표공간에서 점 $\mathrm{O}$를 원점, 점 $\mathrm{M}$의 좌표를 $(0, 0, h)$, 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $(r, 0, h)$라 하면
$\mathrm{B}(-\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}r, h)$, $\mathrm{C}(-\frac{r}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}r, h)$
$\overline{\mathrm{OA}} = 3$이므로 $r^2 +h^2 = 9$
$h^2 = 9-r^2$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{CD}}$이므로 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 $0$이고 조건 (가)에서 직선 $\mathrm{OD}$가 평면 $z = h$와 서로 평행하므로 점 $\mathrm{D}$의 $z$좌표도 $0$이다.
그러므로 $\mathrm{D}(3, 0, 0)$ 또는 $\mathrm{D}(-3, 0, 0)$
(ⅰ) $\mathrm{D}(3, 0, 0)$인 경우
$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{3}r$에서 $\overline{\mathrm{BD}}^{2} = \overline{\mathrm{BC}}^{2} = 3r^2$
즉, $(3+\frac{r}{2})^{2} + \frac{3}{4}r^2 + h^2 = 3r^2$
이 식에 ㉠을 대입하면
$(3+\frac{r}{2})^{2} + \frac{3}{4}r^2 + (9-r^{2})^2 = 3r^2$
$(r-3)(r+2) = 0$
$r \gt 0$이므로 $r = 3$
㉠에서 $h = 0$이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다.
(ⅱ) $\mathrm{D}(-3, 0, 0)$인 경우
$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{3}r$에서 $\overline{\mathrm{BD}}^{2} = \overline{\mathrm{BC}}^{2} = 3r^2$
즉, $(-3+\frac{r}{2})^{2} + \frac{3}{4}r^2 + h^2 = 3r^2$
이 식에 ㉠을 대입하면
$(-3+\frac{r}{2})^{2} + \frac{3}{4}r^2 + (9-r^{2})^2 = 3r^2$
$(r-2)(r+3) = 0$
$r \gt 0$이므로 $r = 2$
㉠에서 $h = \sqrt{5}$
(ⅰ), (ⅱ)에서
$\mathrm{A}(2, 0, \sqrt{5})$, $\mathrm{B}(-1, \sqrt{3}, \sqrt{5})$, $\mathrm{C}(-1, -\sqrt{3}, \sqrt{5})$, $\mathrm{D}(-3, 0, 0)$
$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{3^{2}+3} = 2\sqrt{3}$이고 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{OA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는
$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{6} = 3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2} = \frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{BH}}$이므로
$\overline{\mathrm{BH}} = 2\sqrt{2}$
$\angle \mathrm{BHC} = \theta$라 하면 $\theta$는 두 평면 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{OAC}$의 이면각이다.
삼각형 $\mathrm{BHC}$에서 코사인법칙을 이용하여
$\cos \theta = \frac{8+8-12}{2\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$
따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 평면 $\mathrm{OAC}$ 위로의 정사영의 넓이는
$3\sqrt{2}\times \cos \theta = 3\sqrt{2}\times \frac{1}{4} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
29. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ ($c \gt 0$)인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($b \gt 0$)이 있다. 점 $\mathrm{P}(0, p)$ ($p \gt 0$)에 대하여 이 쌍곡선과 두 선분 $\mathrm{PF}$, $\mathrm{PF'}$이 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, 두 초점이 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$인 타원이 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}$를 지난다.
점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{AF'}$과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\angle \mathrm{APF'} = \angle \mathrm{APC}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ACP}$의 둘레의 길이를 구하시오. [4점]
$60$
두 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F’}$이 $y$축에 대하여 대칭이고 점 $\mathrm{F}(0, p)$가 $y$축 위의 점이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 $y$축에 대하여 대칭이다.
그러므로
$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{AF’}}$, $\overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{AP}}$, $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF’}}$
두 초점이 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$인 타원이 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}$를 지나므로 타원의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{AF}} + \overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$
즉, $\overline{\mathrm{AF}} + \overline{\mathrm{AF’}} = 2\overline{\mathrm{AP}}$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{A}$는 쌍곡선 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{AF’}} – \overline{\mathrm{AF}} = 8$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AF}} + 4$
점 $\mathrm{A}$는 선분 $\mathrm{PF}$ 위의 점이므로
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{AF}} = 2\overline{\mathrm{AF}} + 4$ $\cdots\cdots$ ㉢
직선 $\mathrm{PC}$와 직선 $\mathrm{FF’}$는 서로 평행이므로
$\angle \mathrm{CPF} = \angle \mathrm{PFF’}$ $\cdots\cdots$ ㉣
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF’}}$이므로
$\angle \mathrm{PF’F} = \angle \mathrm{PFF’}$ $\cdots\cdots$ ㉤
조건에서 $\angle \mathrm{APF’} = \angle \mathrm{APC}$이고 ㉣, ㉤에서 삼각형 $\mathrm{PFF’}$은 정삼각형이다.
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{FF’}} = 2c$, $\angle \mathrm{AF’F} = \angle \mathrm{PFF’} = 60^{\circ}$
㉢에서 $2c = 2\overline{\mathrm{AF}} + 4$이므로
$\overline{\mathrm{AF}} = c-2$
㉡에서 $\overline{\mathrm{AF’}} = c+6$
삼각형 $\mathrm{AFF’}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{AF’}}^{2} = \overline{\mathrm{AF}}^{2}+\overline{\mathrm{FF’}}^{2}-2\times \overline{\mathrm{AF}}\times \overline{\mathrm{FF’}}\times \cos 60^{\circ}$
$(c+6)^{2} = (c-2)^{2}+(2c)^{2}-2\times (c-2)\times 2c\times \frac{1}{2}$
$(c-8)(c+2) = 0$
$c \gt 0$이므로 $c = 8$
그러므로
$\overline{\mathrm{AF}} = 6$, $\overline{\mathrm{AF’}} = 14$, $\overline{\mathrm{FF’}} = 16$, $\overline{\mathrm{AP}} = 10$
삼각형 $\mathrm{APC}$와 삼각형 $\mathrm{AFF’}$는 서로 닮음이고 닮음비는
$\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{AF}} = 5 : 3$
그러므로
$\overline{\mathrm{PC}} = \frac{5}{3}\times \overline{\mathrm{FF’}} = \frac{5}{3}\times 16 = \frac{80}{3}$
$\overline{\mathrm{CA}} = \frac{5}{3}\times \overline{\mathrm{AF’}} = \frac{5}{3}\times 14 = \frac{70}{3}$
따라서 삼각형 $\mathrm{ACP}$의 둘레의 길이는
$\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{CA}} = 10 + \frac{80}{3} + \frac{70}{3} = 60$
30. 평면 $\alpha$ 위에 있는 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\overline{\mathrm{AB}} = 24$, $\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{BC}} = 13\sqrt{2}$, $\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{BAD} \lt \dfrac{\pi}{2}$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}$
$\overrightarrow{\mathrm{XA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XD}} = \overrightarrow{\mathrm{XB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XC}} = 0$을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 모든 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AX}}$의 값의 합을 구하시오. [4점]
$457$
조건 (가)에서 $\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{BAD} \lt \dfrac{\pi}{2}$이므로 두 직선 $\mathrm{AD}$와 $\mathrm{BC}$는 평행이 아니고, $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}$이므로 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$는 $\overline{\mathrm{AB}} //\, \overline{\mathrm{CD}}$인 등변사다리꼴이다.
좌표평면 위에 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 원점, 선분 $\mathrm{AB}$가 $x$축 위에 있도록 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$를 그리면 $\mathrm{A}(-12, 0)$, $\mathrm{B}(12, 0)$이고 이 사다리꼴은 $y$축에 대하여 대칭이므로 $\mathrm{C}(c, h)$, $\mathrm{D}(-c, h)$ (단, $c \gt 0$, $h \gt 0$)로 놓을 수 있다.
$\overline{\mathrm{AD}} = 13\sqrt{2}$에서
$\{ -c-(-12) \}^{2}+(h-0)^{2} = (13\sqrt{2})^{2}$
$(12-c)^{2}+h^{2} = 338$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (24, 0)$, $\overrightarrow{\mathrm{DC}} = (2c, 0)$에서
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}} = 24 \times 2c = 48c$
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = (12-c, h)$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}} = (c-12, h)$에서
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = (12-c)(c-12)+h^2 = -(12-c)^{2}+h^2$
조건 (나)에서
$48c = -(12-c)^{2}+h^2$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠에서 $h^2 = 338-(12-c)^{2}$을 ㉡에 대입하면
$48c = -(12-c)^{2}+\{ 338-(12-c)^{2} \}$
$48c = 338-2(12-c)^{2}$
정리하면 $$c^2 = 25이고 $c \gt 0$이므로 $c=5$
이를 ㉠에 대입하면
$(12-5)^{2}+h^2 = 338$에서 $h^2 = 289$이고 $h \gt 0$이므로 $h = 17$
$\overrightarrow{\mathrm{XA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XD}} = 0$에서 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{AD}$를 지름으로 하는 원 위에 있고,
$\overrightarrow{\mathrm{XB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XC}} = 0$에서 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 원 위에 있다.
두 선분 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BC}$의 중점을 각각 $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$라 하면
$\mathrm{O}_{1}(-\frac{17}{2}, \frac{17}{2})$, $\mathrm{O}_{2}(\frac{17}{2}, \frac{17}{2})$이고
$\overline{\mathrm{O_{1}A}} = \overline{\mathrm{O_{2}B}} = \frac{13\sqrt{2}}{2}$이므로 점 $\mathrm{X}$는 두 점 $\mathrm{O}_1$과 $\mathrm{O}_2$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\frac{13\sqrt{2}}{2}$인 두 원의 교점이다.
두 원의 중심은 $y$축에 대하여 대칭이고 반지름의 길이가 같으므로 두 원의 교점 $\mathrm{X}$는 $y$축 위에 존재한다.
점 $\mathrm{X}$의 좌표를 $(0, k)$라 하면
$(\frac{17}{2}-0)^{2}+(\frac{17}{2}-k)^{2}=(\frac{13\sqrt{2}}{2})^{2}$에서
$(k-\frac{17}{2})^{2} = \frac{338}{4}-\frac{289}{4} = \frac{49}{4} = (\frac{7}{2})^2$이므로
$k = \frac{17}{2}-\frac{7}{2} = 5$ 또는 $k = \frac{17}{2}+\frac{7}{2} = 12$
즉 점 $\mathrm{X}$의 좌표는 $(0, 5)$ 또는 $(0, 12)$이고
이 두 점을 각각 $\mathrm{X}_1$, $\mathrm{X}_2$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = (7, 17)$, $\overrightarrow{\mathrm{AX}_1} = (12, 5)$, $\overrightarrow{\mathrm{AX}_2} = (12, 12)$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AX}_1}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AX}_2}$
$= \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AX}_1}+\overrightarrow{\mathrm{AX}_2})$
$= (7, 17)\cdot(24, 17)$
$= 7\times 24 + 17\times 17$
$= 457$