경우의 수
람다 $\lambda$의 차례
합의 법칙과 곱의 법칙
1. 경우의 수
(1) 시행: 같은 조건에서 반복할 수 있고 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰입니다.
(2) 표본공간: 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합입니다.
(3) 사건: 표본공간의 부분 집합입니다.
사건의 원소의 개수가 그 사건이 일어나는 경우의 수입니다.
2. 합의 법칙과 곱의 법칙
(1) 합의 법칙
두 사건 $A$, $B$가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 $A$, $B$가 일어나는 경우의 수가 각각 $m$, $n$이면 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어나는 경우의 수는 $$m + n$$
(2) 곱의 법칙
두 사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $m$이고 그 각각에 대하여 사건 $B$가 일어나는 경우의 수가 $n$일 때, 두 사건 $A$, $B$가 잇달아 일어나는 경우의 수는 $$m \times n$$
순열
1. 순열
(1) 순열
서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 \lt r \le n$)개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 $n$개에서 $r$개를 택하는 순열이라 하고 이 순열의 수를 기호로 ${}_n\mathrm{P}_r$와 같이 나타냅니다.
(2) 계승
$1$부터 $n$까지의 모든 자연수의 곱을 $n$의 계승이라 하고 기호로 $n!$과 같이 나타냅니다. 즉 $n! = n(n-1)(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1$
(3) 순열의 수
① ${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdot\cdots\cdot(n -\, r + 1)$ (단, $0 \lt r \le n$)
서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 \lt r \le n$)개를 택하는 순열에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째, $\cdots$, $r$ 번째 자리에 올 수 있는 것을 각각 $n$, $n -\, 1$, $n -\, 2$, $\cdots$, $n -\, r + 1$ 가지이므로 곱의 법칙에 의하여 ${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdot\cdots\cdot(n -\, r + 1)$입니다.
② ${}_n\mathrm{P}_n = n!$, ${}_n\mathrm{P}_0 = 1$, $0! = 1$
③ ${}_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
조합
1. 조합
(1) 조합
서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ ($0 \lt r \le n$)개를 택하는 것을 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합이라 하고 이 조합의 수를 기호로 ${}_n\mathrm{C}_r$과 같이 나타냅니다.
(2) 조합의 수
① ${}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n -\, r)!}$ (단, $0 \le r \le n$)
② ${}_n\mathrm{C}_0 = 1$, ${}_n\mathrm{C}_n = 1$
③ ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n – r}$ (단, $0 \le r \le n$)
④ ${}_n\mathrm{C}_r = {}_{n – 1}\mathrm{C}_r + {}_{n – 1}\mathrm{C}_{r – 1}$ (단, $0 \lt r \lt n$)
2. 분할과 분배
(1) 분할의 수
서로 다른 $n$개를 $p$개, $q$개, $r$개 ($p + q + r = n$)의 세 묶음으로 분할하는 경우의 수는
① $p$, $q$, $r$가 모두 다른 수일 때, ${}_n\mathrm{C}_{p}\cdot{}_{n-p}\mathrm{C}_{q}\cdot{}_r\mathrm{C}_{r}$
② $p$, $q$, $r$ 중 어느 두 수가 같을 때, ${}_n\mathrm{C}_{p}\cdot{}_{n-p}\mathrm{C}_{q}\cdot{}_r\mathrm{C}_{r}\cdot\dfrac{1}{2!}$
③ $p$, $q$, $r$가 모두 같은 수일 때, ${}_n\mathrm{C}_{p}\cdot{}_{n-p}\mathrm{C}_{q}\cdot{}_r\mathrm{C}_{r}\cdot\dfrac{1}{3!}$
(2) 분배의 수
$k$ 묶음으로 분할하여 $k$ 명에게 분배하는 경우의 수는 $$\text{(}k \,\textbf{묶음으로 분할하는 경우의 수)}\cdot k!$$