방정식과 부등식
람다 $\lambda$의 차례
복소수와 그 연산
1. 복소수
(1) 허수단위 $i$
제곱하여 $-1$이 되는 수를 기호 $i$와 같이 나타내고, 이것을 허수단위라 합니다. 즉 $$i = \sqrt{-1}, \:\: i^{2}=-1$$
(2) 복소수
실수 $a$, $b$에 대하여 $a+bi$ 꼴로 나타내는 수를 복소수라 하고, $a$를 이 복소수의 실수부분, $b$를 이 복소수의 허수부분이라고 합니다.
(3) 복소수의 종류
① 허수와 허수단위: 복소수 $a+bi$ ($a$, $b$는 실수)에서 실수가 아닌 복소수 $a+bi$ ($b \ne 0$)를 허수라고 하고, 특히 실수 부분이 $0$인 허수 $bi$ ($b \ne 0$)를 순허수라 합니다.
② 복소수는 다음과 같이 분류할 수 있습니다. ($a$, $b$는 실수)
$$\text{복소수 }a+bi \begin{cases} \text{실수 }a & (b = 0) \\ \\ \text{허수 }a+bi & (b \ne 0) \begin{cases} \text{순허수 }bi & (a=0,\: b \ne 0) \\ \\ \text{순허수가 아닌 허수 }a+bi & (a \ne 0,\: b \ne 0) \end{cases} \end{cases}$$
2. 복소수가 서로 같을 조건
두 복소수 $a+bi$, $c+di$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 실수)에 대하여
① $a = c$, $b = d$이면 $a + bi = c + di$
$a + bi = c + di$이면 $a = c$, $b = d$
② $a = 0$, $b = 0$이면 $a + bi = 0$
$a + bi = 0$이면 $a = 0$, $b = 0$
3. 켤레복소수
복소수 $a + bi$ ($a$, $b$는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a – bi$를 $a + bi$의 켤레복소수라 하고, 기호로 $\overline{a + bi}$와 같이 나타냅니다. 즉 $\overline{a + bi} = a – bi$입니다.
복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\overline{z}$에 대하여
① $z$가 실수이면 $\overline{z} = z$
$\overline{z} = z$이면 $z$는 실수
② $z$가 순허수이면 $\overline{z} = -z$
$\overline{z} = -z$이고 $z \ne 0$이면 $z$는 순허수
4. 복소수의 사칙연산
(1) 복소수의 사칙연산
$a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때
① 덧셈: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
② 뺄셈: $(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i$
③ 곱셈: $(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i$
④ 나눗셈: $\dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)}$
$= \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} +\dfrac{bc – ad}{c^2 + d^2}i$
복소수 $z$, $w$, $u$에 대하여
① 교환법칙: $z + w = w + z$, $zw = wz$
② 결합법칙: $(z + w) + u = w + (z + u)$, $(zw)u = w(zu)$
③ 분배법칙: $z(w + u) = zw + zu$, $(z + w)u = zu + wu$
(2) 켤레복소수의 성질
복소수 $z_1$, $z_2$의 켤레복소수를 각각 $\overline{z_{1}}$, $\overline{z_{2}}$라 할 때
① $\overline{(\overline{z_1})} = z_1$
② $z_1 + \overline{z_1}$는 실수, $z_{1}\overline{z_1}$는 실수
③ $\overline{z_{1} + z_2} = \overline{z_{1}} + \overline{z_2}$, $\overline{z_{1} – z_2} = \overline{z_{1}} – \overline{z_2}$
④ $\overline{z_{1}z_2} = \overline{z_{1}} \times \overline{z_2}$,
$\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_2}}$ (단, $z_{2} \ne 0$)
(3) $i$의 거듭제곱
$i^{n}$ ($n$은 자연수)의 값은 $i$, $-1$, $-i$, $1$이 이 순서대로 반복되어 나타나므로 다음과 같은 규칙을 갖습니다.
$i^{4k} = 1$, $i^{4k+1} = i$, $i^{4k+2} = -1$, $i^{4k+3} = -i$ (단, $k$는 자연수)
$i^{n}$ ($n$은 자연수)의 값은 $n$을 $4$로 나누었을 때의 나머지가 같으면 그 값은 같습니다.
이차방정식의 판별식
1. 이차방정식의 풀이
(1) 이차방정식의 실근과 허근
계수가 실수인 이차방정식은 복소수의 범위에서 항상 근을 갖습니다. 이때 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 합니다.
(2) 이차방정식의 풀이
① 인수분해를 이요한 풀이
$x$에 대한 이차방정식 $(ax – b)(cx – d) = 0$의 근은 $$x=\frac{b}{a} \text{ 또는 }x=\frac{d}{c}$$
② 근의 공식을 이용한 풀이
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 근은 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
$x$의 계수가 짝수인 이차방정식 $ax^2 + 2b^{\prime}x + c = 0$의 근은 $$x = \frac{- b^{\prime} \pm \sqrt{{b^{\prime}}^{2} – ac}}{a}$$