도형의 방정식
람다 $\lambda$의 차례
선분의 내분
1. 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$, $\mathrm{A}(x_{2}, y_{2})$ 사이의 거리는
$$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_{2} -\, x_{1})^{2} + (y_{2} -\, y_{1})^{2}}$$
특히 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$와 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 사이의 거리는 $\overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{x_{1}^{\,2} + y_{1}^{\,2}}$
2. 선분의 내분점
(1) 내분과 내분점
점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있고 $\overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n$ ($m \gt 0$, $n \gt 0$)일 때, 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$으로 내분한다고 하고 점 $\mathrm{P}$를 선분 $\mathrm{AB}$의 내분점이라고 합니다.
(2) 수직선 위의 선분의 내분점
수직선 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2})$를 이은 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$ ($m \gt 0$, $n \gt 0$)으로 내분하는 점의 좌표는 $$\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}$$ 특히 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 입니다.
(3) 좌표평면 위의 선분의 내분점
수직선 위의 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$를 이은 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$ ($m \gt 0$, $n \gt 0$)으로 내분하는 점의 좌표는 $$\left(\frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n} \right)$$ 특히 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\left(\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}\right)$ 입니다.
3. 삼각형의 무게중심
좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$, $\mathrm{C}(x_{3}, y_{3})$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 $$\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} \right)$$
직선의 방정식
1. 직선의 방정식
(1) 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식
점 $(x_{1}, y_{1})$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $$y = m(x -\, x_{1}) + y_{1}$$
점 $(x_{1}, y_{1})$을 지나고 기울기가 $0$인 직선의 방정식은 $y = y_{1}$
점 $(x_{1}, y_{1})$을 지나고 기울기가 존재하지 않는 직선의 방정식은 $x = x_{1}$
(2) 두 점을 지나는 직선의 방정식
서로 다른 두 점 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$, $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$를 지나는 직선의 방정식은
① $x_{1} \ne x_{2}$일 때, $y = \dfrac{y_{2} -\, y_{1}}{x_{2} -\, x_{1}}(x -\, x_{1}) + y_{1}$
② $x_{1} \ne x_{2}$일 때, $x = x_{1}$
(3) $x$절편과 $y$절편이 주어진 직선의 방정식
$x$절편이 $a$과 $y$절편이 $b$인 직선의 방정식은 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ (단, $a \ne 0$, $b \ne 0$)
2. 일차방정식 $ax + by + c = 0$이 나타내는 도형
직선의 방정식은 모두 $x$, $y$에 대한 일차방정식 $ax + by + c = 0$ ($a \ne 0$ 또는 $b \ne 0$) 꼴로 나타낼 수 있습니다. $x$, $y$에 대한 일차방정식은 $ax + by + c = 0$ ($a \ne 0$ 또는 $b \ne 0$)이 나타내는 도형은 직선입니다.
① $a \ne 0$ 그리고 $b \ne 0$ : 기울기가 $-\dfrac{a}{b}$, $y$절편이 $-\dfrac{c}{b}$인 직선 $y = -\dfrac{a}{b}x – \dfrac{c}{b}$
② $a \ne 0$ 그리고 $b = 0$ : $y$축에 평행한 직선 $x = -\dfrac{c}{a}$
③ $a = 0$ 그리고 $b \ne 0$ : $x$축에 평행한 직선 $y = -\dfrac{c}{b}$
3. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
(1) 정점을 지나는 직선의 방정식
두 직선 $ax + by + c = 0$, $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$이 한 점에서 만날 때, 직선 $ax + by + c + k(a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime}) = 0$은 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 두 적선 $ax + by + c = 0$, $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$의 교점을 지납니다.
(2) 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
한 점에서 만나는 두 직선 $ax + by + c = 0$, $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$의 교점을 지나는 직선의 방정식은 $ax + by + c + k(a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime}) = 0$ ($k$는 실수) 꼴로 나타낼 수 있습니다. (단, 직선 $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$은 제외)
두 직선의 평행과 수직
1. 두 직선의 평행과 수직
(1) 두 직선 $y = mx + n$, $y = m^{\prime}x + n^{\prime}$이
① 평행: $m = m^{\prime}$, $n \ne n^{\prime}$
② 수직: $mm^{\prime} = -1$
(2) 두 직선 $ax + by + c = 0$, $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$이
① 평행: $\dfrac{a^{\prime}}{a} = \dfrac{b^{\prime}}{b} \ne \dfrac{c^{\prime}}{c}$ (단, $abc \ne 0$, $a^{\prime}b^{\prime}c^{\prime} \ne 0$)
② 수직: $aa^{\prime} + bb^{\prime} = 0$
2. 점과 직선 사이의 거리
(1) 점과 직선 사이의 거리
점 $(x_{1}, y_{1})$과 직선 $ax + by + c = 0$ 사이의 거리는 $$\frac{|\,ax_{1} + by_{1} + c\,|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
(2) 평행한 두 직선 사이의 거리
평행한 두 직선 $l$, $l^{\prime}$ 사이의 거리는 직선 $l$ 위의 임의의 점과 직선 $l^{\prime}$ 사이의 거리와 같으므로 한 점과 직선 사이의 거리를 구합니다.
원의 방정식
1. 원의 방정식
(1) 원의 방정식
중심이 점 $(a, b)$이고 반지름이 $r$인 원의 방정식은 $$(x -\, a)^{2} + (y -\, b)^{2} = r^{2}$$
특히 중심이 원점이고 반지름이 $r$인 원의 방정식은 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
(2) 좌표축에 접하는 원의 방정식
① 중심이 점 $(a, b)$이고 $x$축에 접하는 원의 방정식은 $(x – a)^{2} + (y – b)^{2} = b^{2}$
② 중심이 점 $(a, b)$이고 $y$축에 접하는 원의 방정식은 $(x -\, a)^{2} + (y -\, b)^{2} = a^{2}$
③ 반지름의 길이가 $r$이고 $x$축, $y$축에 동시에 접하는 원의 방정식은 $(x \pm r)^{2} + (y \pm r)^{2} = a^{2}$
(3) 이차방정식 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$이 나타내는 도형
$x$, $y$에 대한 방정식 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ ($A^{2} + B^{2} -4C > 0$)은 중심이 점 $\left(-\dfrac{A}{2}, -\dfrac{B}{2} \right)$, 반지름의 길이가 $\dfrac{\sqrt{A^{2} + B^{2} -4C}}{2}$인 원을 나타냅니다.
2. 두 원의 교점을 지나는 직선과 원의 방정식
(1) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식 (공통인 현의 방정식)
두 점에서 만나는 두 원 $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, $x^2 + y^2 + a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$의 교점을 지나는 직선의 방정식은 $x^2 + y^2 + ax + by + c -\, (x^2 + y^2 + a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime}) = 0$ 즉 $(a -\, a^{\prime})x + (b -\, b^{\prime})y + c -\, c^{\prime} = 0$
(2) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
두 점에서 만나는 두 원 $C : x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, $C^{\prime} : x^2 + y^2 + a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$의 교점을 지나는 원 중에서 원 $C^{\prime}$을 제외한 원의 방정식은 $x^2 + y^2 + ax + by + c + k(x^2 + y^2 + a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime}) = 0$ (단, $k \ne -1$)
원과 직선의 위치 관계
1. 원과 직선의 위치 관계
(1) 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 경우
반지름의 길이가 $r$인 원의 중심과 직선 사이의 거리를 $d$라 하면 원과 직선의 위치 관계는
① $d \lt 4$이면 서로 다른 두 점에서 만납니다.
② $d = r$이면 한 점에서 만납니다. (접합니다.)
③ $d \gt r$이면 만나지 않습니다.
(2) 이차방정식의 판별식을 이용하는 경우
원의 방정식과 직선의 방정식에서 한 문자를 소거하여 얻은 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 원과 직선의 위치 관계는
① $D \gt 0$이면 서로 다른 두 점에서 만납니다.
② $D = 0$이면 한 점에서 만납니다. (접합니다.)
③ $D \lt 0$이면 만나지 않습니다.
2. 원의 접선의 방정식
(1) 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식
① 원 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r \gt 0$)에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $$y = mx \pm r\sqrt{m^{2} + 1}$$
② 원 $(x-\,a)^2 + (y-\,b)^2 = r^2$ ($r \gt 0$)에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $$y = m(x -\, a) \pm r\sqrt{m^{2} + 1} + b$$
(2) 원 위의 점에서의 접선의 방정식
① 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $(x_{1}, y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $$x_{1}x + y_{1}y = r^{2}$$
② 원 $(x-\,a)^2 + (y-\,b)^2 = r^2$ 위의 점 $(x_{1}, y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $$(x_{1} -\, a)(x -\, a) + (y_{1} -\, b)(y -\, b) = r^{2}$$
(3) 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식
① 원 위의점에서의 접선의 방정식을 이용: 접점의 좌표를 $(x_{1}, y_{1})$로 놓고 원 위의 점에서의 접선의 방정식을 세운 후 접선이 주어진 원 밖의 한 점을 지나는 것을 이용합니다.
② 원의 중심과 접선 사이의 거리를 이용: 접선의 기울기를 $m$이라 하고 주어진 원 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식을 세운 후 원의 중심과 접선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같다는 것을 이용합니다.
도형의 이동
1. 점의 평행이동
점 $\mathrm{P}(x, y)$를 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점 $\mathrm{P}^{\prime}$의 좌표는 $$(x + a, \,y + b)$$ 점 $(x, y)$를 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동하는 것을 $(x,\, y) \rightarrow (x + a,\, y + b)$와 같이 나타냅니다.
2. 도형의 평행이동
방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 도형의 방정식은 $$f(x -\, a,\, y -\, b) = 0$$
점 $(x, y)$와 도형 $f(x, y) = 0$을 각각 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동하면 점 $(x + a, y + b)$와 도형 $f(x -\, a,\, y -\, b) = 0$이 됩니다.
3. 점의 대칭이동
(1) 대칭이동
도형을 주어진 점 또는 직선에 대하여 대칭이 도형으로 옮기는 것입니다.
(2) 점 $(x, y)$를 $x$축, $y$축, 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$, 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 다음과 같습니다.
① $x$축에 대한 대칭이동: $(x, \,y) \rightarrow (x,\, -y)$
② $y$축에 대한 대칭이동: $(x, \,y) \rightarrow (-x,\, y)$
③ 원점에 대한 대칭이동: $(x,\, y) \rightarrow (-x,\, -y)$
④ $y = x$에 대한 대칭이동: $(x,\, y) \rightarrow (y,\, x)$
4. 도형의 대칭이동
방정식 $f(x, \,y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축, $y$축, 원점 $\mathrm{O}(0, 0)$, 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같습니다.
① $x$축에 대한 대칭이동: $f(x, \,y) = 0 \rightarrow f(x,\, -y) = 0$
($y$ 대신 $-y$를 대입합니다.)
② $y$축에 대한 대칭이동: $f(x, \,y) = 0 \rightarrow f(-x,\, y) = 0$
($x$ 대신 $-x$를 대입합니다.)
③ 원점에 대한 대칭이동: $f(x, \,y) = 0 \rightarrow f(-x,\, -y) = 0$
($x$ 대신 $-x$, $y$ 대신 $-y$를 대입합니다.)
④ $y = x$에 대한 대칭이동: $f(x,\, y) = 0 \rightarrow f(y,\, x) = 0$
($x$ 대신 $y$, $y$ 대신 $x$를 대입합니다.)
5. 점에 대한 대칭이동
(1) 점 $\mathrm{P}(x, y)$를 점 $\mathrm{A}(a, b)$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}^{\prime}$이라 하면 $$\mathrm{P}^{\prime}(2a -\, x, \,2b -\, y)$$
(2) 방정식 $f(x, \,y) = 0$이 나타내는 도형을 점 $\mathrm{A}(a, b)$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $$f(2a -\, x, \,2b -\, y) = 0$$
6. 직선에 대한 대칭이동
점 $\mathrm{P}(x, y)$를 직선 $l: ax + by + c = 0$ ($a \ne 0$, $b \ne 0$)에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}^{\prime}(x^{\prime}, y^{\prime})$이라 하면 점 $\mathrm{P}^{\prime}$의 좌표는 다음의 두 조건을 이용하여 구할 수 있습니다.
① 중점 조건 (선분 $\mathrm{PP}^{\prime}$의 중점은 직선 $l$ 위의 점) : $a\cdot\frac{x + x^{\prime}}{2} + b\cdot\frac{y + y^{\prime}}{2} + c = 0$
② 수직 조건 (직선 $\mathrm{PP}^{\prime}$과 직선 $l$은 수직) : $\frac{y^{\prime} – y}{x^{\prime} – x} \times (-\frac{a}{b}) = -1$