수열의 극한
람다 $\lambda$의 차례
수열의 수렴과 발산
1. 수열의 수렴과 발산
(1) 수열 $\{ a_{n} \}$에서 $n$의 값이 한없이 커질 때, $a_{n}$의 값이 일정한 값 $\alpha$에 한없이 가까워지면 수열 $\{ a_{n} \}$은 $\alpha$에 수렴하다고 합니다. 이때 $\alpha$를 수열 $\{ a_{n} \}$의 극한값 또는 극한이라 하고 기호로 다음과 같이 나타냅니다. $$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha \,\textbf{ 또는 }\, n \to \infty\textbf{일 때 }a_{n} \to \alpha$$
(2) 수열 $\{ a_{n} \}$이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 발산하다고 합니다.
① 양의 무한대로 발산: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \infty$ 또는 $n \to \infty\textbf{일 때 }a_{n} \to \infty$
② 음의 무한대로 발산: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = – \infty$ 또는 $n \to \infty\textbf{일 때 }a_{n} \to – \infty$
③ 수열이 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않으면 그 수열은 진동한다고 합니다. 이 경우도 발산하는 겁입니다.
2. 수열의 극한에 대한 기본 성질
수렴하는 두 수열 $\{ a_{n} \}$, $\{ b_{n} \}$에 대하여
① $\displaystyle \lim_{n \to \infty}ca_{n} = c\lim_{n \to \infty}a_{n}$ (단, $c$는 상수)
② $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n})= \lim_{n \to \infty}a_{n} \pm \lim_{n \to \infty}b_{n}$ (복호동순)
③ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty}b_{n}$
④ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}}{\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}}$ (단, $b_{n} \ne 0$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} \ne 0$)
수열의 극한값의 계산
1. 수열의 극한에 대한 기본 성질
수렴하는 두 수열 $\{ a_{n} \}$, $\{ b_{n} \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$ ($\alpha$, $\beta$는 실수)일 때
① $\displaystyle \lim_{n \to \infty}ca_{n} = c\alpha$ (단, $c$는 상수)
② $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n})= \alpha \pm \beta$ (복호동순)
③ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \alpha \cdot \beta$
④ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\displaystyle \alpha}{\beta}$ (단, $b_{n} \ne 0$, $\beta \ne 0$)
2. 수열의 극한값의 계산
(1) $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴
분모에서 가장 커지는 항으로 분모, 분자를 각각 나누고 극한에 대한 기본성질을 적용합니다.
(2) $\infty -\,\infty$ 꼴
다항식은 최고차항으로 묶고, 무리식은 근호를 포함한 쪽을 유리화하고 나서 극한에 대한 기본성질을 적용합니다. 다시 말해 분수꼴로 변형한 후에 다시 무슨꼴인가를 다시 확인하는 겁니다.
3. 수열의 극한의 대소 관계
수렴하는 두 수열 $\{ a_{n} \}$, $\{ b_{n} \}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta$ ($\alpha$, $\beta$는 실수)일 때
① 충분히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\alpha \le \beta$
② 수열 $\{ c_{n} \}$이 충분히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \le c_{n} \le b_{n}$이고 $\alpha = \beta\,$이면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_{n}= \alpha$
등비수열의 극한
등비수열 $\{ r_{n} \}$에서
① $r \gt 1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n} = \infty$ (발산)
② $r = 1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n} = 1$ (수렴)
③ $|\,r\,| \lt 1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}r^{n} = 0$ (수렴)
④ $r \le -1$일 때, 진동한다. (발산)
급수의 수렴과 발산
1. 급수의 수렴과 발산
(1) 급수
수열 $\{ a_{n} \}$의 각 항을 차례대로 덧셈 기호 $+$로 연결한 식을 급수라 하고, 기호 $\displaystyle \sum$을 사용하여 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$과 같이 나타냅니다.
(2) 부분합
급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$에서 첫째항부터 제$\,n\,$항까지의 합 $S_{n}$을 이 급수의 제$\,n\,$항까지의 부분합이라고 합니다.
(3) 급수의 합
급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$의 부분합으로 이루어진 수열 $\{ S_{n} \}$이 일정한 값 $S$에 수렴할 때, 즉 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}a_{k} = S$일 때, 이 급수는 $S$에 수렴한다고 합니다. 이때 $S$를 급수의 합이라고 합니다.
2. 급수와 수열의 극한값 사이의 관계
(1) 급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$이 수렴하면 급수 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = 0$입니다.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} \ne 0$ 급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$은 발산합니다.
3. 급수의 성질
두 급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$이 수렴할 때
① $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n} \pm b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} \pm \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ (복호동순)
② $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}ca_{n} = c\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ (단, $c$는 상수)
등비급수
1. 등비급수의 수렴과 발산
(1) 등비급수
첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\{ ar^{n-\,1} \}$의 각 항을 차례대로 덧셈 기호 $+$로 연결한 급수
$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}ar^{n-\,1} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-\,1} + \cdots$
을 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비급수라 합니다.
(2) 등비급수의 수렴과 발산
등비급수 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}ar^{n-\,1} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-\,1} + \cdots$ ($a \ne 0$)은
① $|\,r\,| \lt 1$일 때, 수렴하고 그 합은 $\dfrac{a}{1 -\,r}$입니다.
② $|\,r\,| \ge 1$일 때, 발산합니다.
2. 등비급수의 활용
(1) 도형과 등비급수
같은 과정이 한없이 반복되는 도형에 대한 문제는 등비급수를 이용하여 다음과 같은 순서대로 해결 할 수 있습니다.
① 한없이 반복되는 성질을 이용하여 첫째항 $a$와 공비 $r$을 구합니다.
② 등비급수의 합이 $\dfrac{a}{1 -\,r}$임을 이용하여 극한을 구합니다.
도형의 길이와 넓이에 대한 문제를 해결할 때 다음이 자주 사용됩니다.
① 닯은 두 도형에서 대응변의 길이의 비는 일정합니다.
② 두 도형의 닮음비가 $m : n$이면 둘레의 길이의 비는 $1 : \dfrac{n}{m}$, 넓이의 비는 $1 : \dfrac{n^2}{m^2}$입니다.
(2) 순환소수와 등비급수
등비급수를 이용하여 순환소수를 분수로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots= \dfrac{\frac{3}{10}}{1 -\,\frac{1}{10}} = \dfrac{1}{3}$