확률
람다 $\lambda$의 차례
확률의 뜻과 기본 성질
1. 시행과 사건
(1) 시행
같은 조건에서 반복할 수 있고 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다.
(2) 표본공간
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라고 합니다.
(3) 사건
표본공간의 부분집합을 사건이라고 합니다.
(4) 근원사건
한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 합니다.
(5) 포본공간 $S$의 두 사건 $A$, $B\,$에 대하여
① 합사건: $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건을 $A$와 $B$의 합사건이라 하고 $A \cup B\,$와 같이 나타냅니다.
② 곱사건: $A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건을 $A$와 $B$의 곱사건이라 하고 $A \cap B\,$와 같이 나타냅니다.
③ 배반사건: $A$와 $B$가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 $A \cap B = \varnothing$일 때, $A$와 $B$는 서로 배반사건이라 합니다.
④ 여사건: $A$가 일어나지 않는 사건을 $A$의 여사건이라 하고, $A^{c}\,$와 같이 나타냅니다.
2. 수학적 확률과 통계적 확률
(1) 확률
어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 기호로 $\mathrm{P}(A)$와 같이 나타냅니다.
(2) 수하적 확률
어떤 시행에서 표본공간 $S$의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 $A$기 일어날 확률 $\mathrm{P}(A)$를 $$\mathrm{P}(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$로 정의하고, 이를 사건 $A$가 일어날 수학적 확률이라 합니다.
(3) 통계적 확률
같은 시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 일어난 횟수를 $r_{n}$이라 하면 $n$이 충분히 커짐에 따라 상대도수 $\dfrac{r_n}{n}$이 일정한 값 $p$에 가까워진다고 알려져 있습니다. 이때 $p$를 사건 $A$의 통계적 확률이라 합니다.
3. 확률의 기본 성질
표본공간이 $S$인 어떤 시행에서
① 임의의 사건 $A$에 대하여 $0 \le \mathrm{P}(A) \le 1$
② 반드시 일어나는 사건 $S$에 대하여 $\mathrm{P}(S) = 1$
③ 절대로 일어나지 않는 사건 $\varnothing$에 대하여 $\mathrm{P}(\varnothing) = 0$
확률의 덧셈정리와 여사건의 확률
1. 확률의 덧셈정리
표본공간 $S$의 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) -\, \mathrm{P}(A \cap B)$$이때 두 사건 $A$, $B$가 서로 배반사건이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$
2. 여사건의 확률
표본공간 $S$의 사건 $A$와 그 여사건 $A^{c}$에 대하여 $$\mathrm{P}(A^{c}) = 1 -\, \mathrm{P}(A)$$
① ‘적어도 ~인’, ‘~가 아닌’, ‘~ 이상인’, ‘~ 이하인’ 사건의 확률을 구할 때 여사건의 확률을 이용하면 더 편리할 수 있습니다.
② $\mathrm{P}(A^{c} \cap B^{c}) = 1 -\, \mathrm{P}(A \cup B)$
$\mathrm{P}(A^{c} \cup B^{c}) = 1 -\, \mathrm{P}(A \cap B)$
조건부확률
1. 조건부확률
(1) 조건부확률
확률이 $0$이 아닌사건 $A$가 일어났다고 가정할 때 사건 $B$가 일어날 확률을 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$의 조건부확률이라 하고, 기호로 $\mathrm{P}(B\,| A)$와 같이 나타냅니다.
(2) 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$의 조건부확률은 $$\mathrm{P}(B\,| A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} \:\: (\textbf{단, }\mathrm{P}(A) \ne 0)$$
① 일반적으로 $\mathrm{P}(B\,| A) \ne \mathrm{P}(A\,| B)$입니다.
② $\mathrm{P}(A \cap B)$는 표본공간 $S$에서 사건 $A \cap B$가 일어날 확률이고, $\mathrm{P}(B\,| A)$는 사건 $A$를 표본공간으로 축소해서 생각할 때 사건 $A \cap B$가 일어날 확률입니다.
2. 확률의 곱셈정리
두 사건 $A$, $B$에 대하여
① $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B\,| A)$ (단, $\mathrm{P}(A) \ne 0$)
② $\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\,| B)$ (단, $\mathrm{P}(B) \ne 0$)
사건의 독립과 종속
1. 사건의 독립과 종속
(1) 사건의 독립
두 사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 것이 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 즉 $$\mathrm{P}(B\, | A) = \mathrm{P}(B)$$일 때, 두 사건 $A$와 $B$는 서로 독립이라고 합니다.
(2) 사건의 종속
두 사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이 아닐 때, 즉 $$\mathrm{P}(B\, | A) \ne \mathrm{P}(B)$$일 때, 두 사건 $A$와 $B$는 서로 종속이라 합니다.
(3) 두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $$\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\:\:(\textbf{단}\text{, }\mathrm{P}(A) \ne 0, \,\mathrm{P}(B) \ne 0\,)$$
2. 독립시행의 확률
(1) 독립시행
동일한 시행을 반복하는 경우에 각 시행에서 일어나는 사건이 서로 독립이면 이와 같은 시행을 독립시행이라 합니다.
(2) 독립시행의 확률
어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$ ($0 \lt p \lt 1$)일 때, 이 시행을 $n$회 반복하는 독립시행에서 사건 $A$가 $r$회 일어날 확률은 $${}_{n}\mathrm{C}_{r\,}p^{r}(1 -\,p)^{n-\,r}\:\:(\textbf{단}\text{, }r = 0, 1, 2, \cdots, n)$$