21년 6월 평가원
3. $\pi < \theta < \dfrac{3}{2}\pi$인 $\theta$에 대하여 $\tan\theta =\dfrac{12}{5}$일 때, $\sin\theta +\cos\theta$의 값은? [3점]
① $-\frac{17}{13}$
② $-\frac{7}{13}$
③ $0$
④ $\frac{7}{13}$
⑤ $\frac{17}{13}$
4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.
$\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to 2+}f(x)$의 값은? [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
6. 곡선 $y=3x^{2}-x$와 직선 $y=5x$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
7. 첫째항이 $2$인 등차수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하자. $$a_{6}= 2(S_{3}-S_{2})$$ 일 때, $S_{10}$의 값은? [3점]
① $100$
② $110$
③ $120$
④ $130$
⑤ $140$
8. 함수 $$f(x)=\begin{cases} -2x+6&(x< a)\\ 2x-a&(x\ge a) \end{cases}$$ 에 대하여 함수 $\{f(x)\}^{2}$이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 $a$의 값의 합은? [3점]
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
④
함수 $f(x)$가 $x=a$를 제외한 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $\{f(x)\}^{2}$이 $x=a$에서 연속이면 함수 $\{f(x)\}^{2}$은 실수 전체의 집합에서 연속이다.
함수 $\{f(x)\}^{2}$이 $x=a$에서 연속이려면
$\displaystyle\lim_{x\to a+}\{f(x)\}^{2}=\displaystyle\lim_{x\to a-}\{f(x)\}^{2}=\{f(a)\}^{2}$
이어야 한다.
$\{f(x)\}^{2}=\begin{cases}
(2x-a)^{2}&(x\ge a)\\
(-2x+6)^{2}&(x< a)
\end{cases}$이므로
$\displaystyle\lim_{x\to a+}\{f(x)\}^{2}=\displaystyle\lim_{x\to a+}(2x-a)^{2}=a^{2}$
$\displaystyle\lim_{x\to a-}\{f(x)\}^{2}=\displaystyle\lim_{x\to a-}(-2x+6)^{2}=(-2a+6)^{2}$
$\{f(a)\}^{2}=(2a-a)^{2}=a^{2}$
$a^{2}=(-2a+6)^{2}$에서 $3(a-2)(a-6)=0$
$a=2$ 또는 $a=6$
따라서 모든 상수 $a$의 값의 합은 $2+6=8$
9. 수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1}=\begin{cases} \dfrac{1}{a_{n}}&(n \textbf{ 이 홀수인 경우})\\ \\ 8a_{n}&(n \textbf{ 이 짝수인 경우}) \end{cases}$$ 이고 $a_{12}=\dfrac{1}{2}$일 때, $a_{1}+a_{4}$의 값은? [4점]
① $\frac{3}{4}$
② $\frac{9}{4}$
③ $\frac{5}{2}$
④ $\frac{17}{4}$
⑤ $\frac{9}{2}$
⑤
$a_{1}=k$라고 하면 $a_{2}=\frac{1}{k}$, $a_{3}=\frac{8}{k}$, $a_{4}=\frac{k}{8}$이고 $a_{5}=k$이다.
$a_{1}=a_{5}$이고 $1$과 $5$는 모두 홀수이므로 수열 $\left\{a_{n}\right\}$은 $k$, $\frac{1}{k}$, $\frac{8}{k}$, $\frac{k}{8}$ 이 계속 순서대로 반복되는 수열이다.
$a_{12}=a_{4}=\frac{k}{8}$에서 $\frac{k}{8}=\frac{1}{2}$이고 $k=4$이다.
따라서 $a_{1}+a_{4}=k +\dfrac{k}{8}=4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$
$a_{12}=\dfrac{1}{2}$이고 $a_{12}=\dfrac{1}{a_{11}}$이므로 $a_{11}=2$
$a_{11}=8a_{10}$이므로 $a_{10}=\dfrac{1}{4}$
$a_{10}=\dfrac{1}{a_{9}}$이므로 $a_{9}=4$
$a_{9}= 8a_{8}$이므로 $a_{8}=\dfrac{1}{2}$
$a_{8}=\dfrac{1}{a_{7}}$이므로 $a_{7}=2$
$a_{7}= 8a_{6}$이므로 $a_{6}=\dfrac{1}{4}$
$a_{6}=\dfrac{1}{a_{5}}$이므로 $a_{5}=4$
$a_{5}= 8a_{4}$이므로 $a_{4}=\dfrac{1}{2}$
$a_{4}=\dfrac{1}{a_{3}}$이므로 $a_{3}=2$
$a_{3}= 8a_{2}$이므로 $a_{2}=\dfrac{1}{4}$
$a_{2}=\dfrac{1}{a_{1}}$이므로 $a_{1}=4$
따라서 $a_{1}+a_{4}= 4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$
10. $n\ge 2$인 자연수 $n$에 대하여 두 곡선 $$y=\log_{n}x,\, y= -\log_{n}(x+3)+1$$ 이 만나는 점의 $x$좌표가 $1$보다 크고 $2$보다 작도록 하는 모든 $n$의 값의 합은? [4점]
① $30$
② $35$
③ $40$
④ $45$
⑤ $50$
②
두 곡선이 만나는 점의 $x$좌표를 구하는 방정식 $\log_{n}x=-\log_{n}(x+3)+1$을 정리하면 $\log_{n}x(x+3)=1$에서 $x(x+3)=n$이고, 이 방정식이 $1< x < 2$에서 실근을 가지면 된다.
$f(x)=x(x+3)$이라 하면 $y=f(x)$와 $y=n$이 만나는 점이 $1< x < 2$에 존재하면 된다.
$1< x < 2$에서 $f(x)$는 증가하므로 $f(1)< n < f(2)$이 성립하면 된다.
따라서 $n$의 범위는 $4< n < 10$이므로 구하는 $n$의 합은 $5+6+7+8+9=35$이다.
진수 조건에서 $x>0$ 이고
$-\log_{n}(x+3)+1=\log_{n}\dfrac{n}{x+3}$이므로
$\log_{n}x=\log_{n}\dfrac{n}{x+3}$에서 $x=\dfrac{n}{x+3}$
$x^{2}+3x-n=0$
$f(x)= x^{2}+3x-n$이라 하면
$f(1)< 0$, $f(2)>0$이어야 한다.
$f(1)=4-n< 0$ 에서 $n >4$
$f(2)=10-n>0$ 에서 $n< 10$
따라서 $4< n< 10$ 이므로 $n$의 값은 $5,\:6,\:7,\:8,\:9$ 이고,
그 합은 $5+6+7+8+9=35$
11. 닫힌구간 $[0,\:1]$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $$f(0)=0$, $f(1)=1, \: \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx =\dfrac{1}{6}$$ 을 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle\int_{-3}^{2}g(x)dx$의 값은? [4점]
(가) $g(x)=\begin{cases}
-f(x+1)+1&(-1< x< 0)\\
f(x)&(0\le x\le 1)
\end{cases}$
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x+2)=g(x)$이다.
① $\frac{5}{2}$
② $\frac{17}{6}$
③ $\frac{19}{6}$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $\frac{23}{6}$
②
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx =\dfrac{1}{6}$이므로
$\displaystyle\int_{-1}^{0}g(x)dx$$=\displaystyle\int_{-1}^{0}\{-f(x+1)+1\}dx$
$=-\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x+1)dx +\left[\,x\, \right]_{-1}^{0}$
$=-\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx +1$ $=\dfrac{5}{6}$
$\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)$$=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx$$=\dfrac{1}{6}$
따라서 $\displaystyle\int_{-1}^{1}g(x)dx$$=\displaystyle\int_{-1}^{0}g(x)dx+\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)dx$$=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}=1$
조건 (나)에서 $g(x+2)=g(x)$이므로
$\displaystyle\int_{-3}^{-1}g(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}g(x)dx=1$이고
$\displaystyle\int_{1}^{2}g(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{0}g(x)dx =\dfrac{5}{6}$이다.
따라서 $\displaystyle\int_{-3}^{2}g(x)dx$
$=\displaystyle\int_{-3}^{-1}g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}g(x)dx+\displaystyle\int_{1}^{2}g(x)dx$
$=2\displaystyle\int_{-1}^{1}g(x)dx+\displaystyle\int_{-1}^{0}g(x)dx$
$=2\times 1+\dfrac{5}{6}$
$=\dfrac{17}{6}$
12. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{AC}} =5$이고 $\cos(\angle\mathrm{BAC})=\dfrac{1}{8}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm{D}$와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 $$\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BDA}=\angle\mathrm{BED}$$ 일 때, 선분 $\mathrm{DE}$의 길이는? [4점]
① $\frac{7}{3}$
② $\frac{5}{2}$
③ $\frac{8}{3}$
④ $\frac{17}{6}$
⑤ $3$
③
삼각형 $\mathrm{ABD}$에서
$\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BDA}$이고 $\overline{\mathrm{AB}}=4$이므로 $\overline{\mathrm{BD}}=4$
이때, 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos(\angle\mathrm{BAC})=4\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$
그러므로 $\overline{\mathrm{AD}}=1$
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서
$\overline{\mathrm{BC}}^{2}$$=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\cos(\angle\mathrm{BAC})$
$=4^{2}+5^{2}-2\times 4\times 5\times\dfrac{1}{8}$
$=36$
이므로 $\overline{\mathrm{BC}}=6$
한편, 삼각형 $\mathrm{BCD}$는 $\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{DC}}=4$인 이등변삼각형이다.
점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}’$이라 하면
$\overline{\mathrm{BH’}}=\dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}=3$
$\overline{\mathrm{DH’}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$
$\sin (\angle \mathrm{DEH’})=\sqrt{1-\left( \dfrac{1}{8} \right)^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$
직각삼각형 $\mathrm{DBH}’$에서 $\sin (\angle \mathrm{DEH’})=\dfrac{\sqrt{7}}{\overline{\mathrm{DE}}}$
따라서 $\overline{\mathrm{DE}}=\dfrac{8}{3}$
삼각형 $\mathrm{ABD}$는 이등변삼각형이고 $\overline{\mathrm{AB}}=4$이므로 $\overline{\mathrm{BD}}=4$
$\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BDA}=\angle\mathrm{BED}=\theta$라 하자.
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙을 적용하면
$\overline{\mathrm{BC}}^{2}$$=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\cos\theta$
$=4^{2}+5^{2}-2\times 4\times 5\times\dfrac{1}{8}$$=36$
이므로
$\overline{\mathrm{BC}}=6$
$\overline{\mathrm{AD}}=2\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta =2\times 4\times\dfrac{1}{8}= 1$이므로 삼각형 $\mathrm{BCD}$는 $\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{DC}}=4$인 이등변삼각형이다.
이등변삼각형 $\mathrm{BCD}$의 높이는 $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$이므로 $\sin(\angle\mathrm{DBC})=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
$\cos\theta =\dfrac{1}{8}$에서 $\sin\theta =\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$
삼각형 $\mathrm{BED}$에서 사인법칙을 적용하면 $\dfrac{\overline{\mathrm{DE}}}{\sin(\angle\mathrm{DBC})}=\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin\theta}$
따라서 $\overline{\mathrm{DE}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\times\dfrac{4}{\dfrac{3\sqrt{7}}{8}}=\dfrac{8}{3}$
13. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 구간 $(0,\:1]$에서 $$f(x)=\begin{cases} 3&(0< x< 1)\\ \\ 1&(x=1) \end{cases}$$ 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+1)=f(x)$를 만족시킨다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{20}\dfrac{k\times f(\sqrt{k})}{3}$의 값은? [4점]
① $150$
② $160$
③ $170$
④ $180$
⑤ $190$
⑤
$k=1,\:4,\:9,\:16$일 때
$f(1)=1$이고 $f(x+1)=f(x)$이므로
$f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=1$에서 $f(\sqrt{k})=1$
$k\ne 1,\:4,\:9,\:16$일 때
$f(\sqrt{k})=3$
즉, $1\le k\le 20$인 정수 $k$에 대하여 $f(\sqrt{k})=\begin{cases}
1&(k=1,\:4,\: 9,\: 16)\\
3&(k\ne 1,\:4,\: 9,\: 16)
\end{cases}$이다.
따라서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{20}k=210$ 이고, $1+4+9+16=30$ 이므로
$\displaystyle\sum_{k=1}^{20}\dfrac{k\times f(\sqrt{k})}{3}$
$=\left( 1+4+9+16 \right) \times \dfrac{1}{3}+\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k-(1+4+9+16) \right) \times \dfrac{3}{3}$
$=10 +(210-30)$ $=190$
14. 두 양수 $p,\: q$와 함수 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-12$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $p+q$의 값은? [4점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $xg(x)= |\, xf(x-p)+qx \,|$이다.
(나) 함수 $g(x)$가 $x=a$에서 미분가능하지 않은 실수 $a$의 개수는 $1$이다.
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
③
$f'(x)$$=3x^{2}-6x-9$$=3(x+1)(x-3)$
$f'(x)=0$ 에서 $x=-1$ 또는 $x=3$
함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 $f(x)$는 $x=-1$에서 극댓값 $f(-1)=-7$을 갖고, $x=3$에서 극솟값 $f(3)=-39$를 갖는다.
조건 (가)에서 $xg(x)= | xf(x-p)+qx |$이므로
$g(x)=\begin{cases}
| f(x-p)+q |&(x>0)\\
g(0)&(x=0)\\
– | f(x-p)+q |&(x< 0)
\end{cases}$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 연속이므로 $| f(-p)+q | =- | f(-p)+q |$
즉, $| f(-p)+q | =0$이어야 한다.
한편, 함수 $y= | f(x-p)+q |$의 그래프는 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동시킨 후, $y< 0$인 부분에 그려진 부분을 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 것이다.
이때, $p,\:q$가 모두 양수이고 조건 (나)에서 함수 $g(x)$가 $x=a$에서 미분가능하지 않은 실수 $a$의 개수가 $1$이므로 $p=1,\:q=7$이어야 한다.
따라서 $p+q=1+7=8$
15. $-1\le t\le 1$인 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $$\left(\sin\dfrac{\pi x}{2}-t\right)\left(\cos\dfrac{\pi x}{2}-t\right)=0$$ 의 실근 중에서 집합 $\{x | 0\le x < 4\}$에 속하는 가장 작은 값을 $\alpha(t)$, 가장 큰 값을 $\beta(t)$라 하자. < 보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. $-1\le t < 0$인 모든 실수 $t$에 대하여 $\alpha(t)+\beta(t)=5$이다.
ㄴ. $\{t |\beta(t)-\alpha(t)=\beta(0)-\alpha(0)\}$ $=\left\{ t \left | 0\le t \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right. \right\}$
ㄷ. $\alpha\left(t_{1}\right)=\alpha\left(t_{2}\right)$인 두 실수 $t_{1}$, $t_{2}$에 대하여
$t_{2}-t_{1}=\dfrac{1}{2}$이면 $t_{1}\times t_{2}=\dfrac{1}{3}$이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
②
방정식 $\left(\sin\dfrac{\pi x}{2}-t\right)\left(\cos\dfrac{\pi x}{2}-t\right)=0$에서 $\sin\dfrac{\pi x}{2}=t$ 또는 $\cos\dfrac{\pi x}{2}=t$
이 방정식의 실근은 두 함수 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2},\:y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$의 그래프와 $y=t$와의 교점의 $x$좌표이다.
한편, 두 함수 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2},\:y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$의 주기가 모두 $4$이므로 다음과 같다.
ㄱ.
$-1\le t< 0$이면 직선 $y=t$와 $\alpha(t),\:\beta(t)$는 다음 그림과 같다.
이때, 함수 $y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$의 그래프는 함수 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2}$의 그래프를 평행이동시키면 겹쳐질 수 있고 함수 $y=\sin\dfrac{\pi x}{2}$의 그래프는 직선 $x=1,\:x=3$에 대하여 대칭이고 점 $(2,\:0)$에 대하여 대칭이다.
그러므로 $\alpha(t)=1+k(0< k\le 1)$로 놓으면 $\beta(t)=4-k$
따라서 $\alpha(t)+\beta(t)=5$ (참)
ㄴ.
실근 $\alpha(t),\:\beta(t)$는 집합 $\{x\vert 0\le x< 4\}$의 원소이므로 $\beta(0)=3,\:\alpha(0)=0$
그러므로 주어진 식은 $\{t\vert \beta(t)-\alpha(t)=\beta(0)-\alpha(0)\}=\{t\vert \beta(t)-\alpha(t)=3\}$
(ⅰ) $0\le t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}$일 때,
$t=0$이면 $\beta(0)-\alpha(0)=3-0=3$
$t\ne 0$이면 다음 그림과 같다.
이때, $\alpha(t)=k\left(0< k\le\dfrac{1}{2}\right)$이라 하면 $\beta(t)=3+k$
그러므로 $\beta(t)-\alpha(t)=3$
(ⅱ) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t< 1$일 때,
이때, $\alpha(t)=k\left(0< k< \dfrac{1}{2}\right)$이라 하면 $\beta(t)=4-k$
그러므로 $\beta(t)-\alpha(t)=4-2k(0< 2k< 1)$
(ⅲ) $t=1$일 때,
$\alpha(1)=0,\:\beta(1)=1$이므로 $\beta(1)-\alpha(1)=1$
(ⅳ) $-1\le t< 0$일 때,
$1< \alpha(t)\le 2,\:3\le\beta(t)< 4$이므로 $\beta(t)-\alpha(t)< 3$
따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서
$\{t \left| \beta(t)-\alpha(t)=3 \right. \}=\left\{t \left|\, 0\le t\le\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right. \right\}$ (참)
ㄷ.
$\alpha\left(t_{1}\right)=\alpha\left(t_{2}\right)$이기 위해서는 $0< t_{1}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}< t_{2}$
이때, $\alpha\left(t_{1}\right)=\alpha\left(t_{2}\right)=\alpha$라 하고 $\dfrac{\pi}{2}\alpha = \theta$하면 $t_{1}=\sin\theta ,\:t_{2}=\cos\theta$
이때, $\cos\theta -\sin\theta =\dfrac{1}{2}$
양변을 제곱하면 $\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta -2\sin\theta\cos\theta =\dfrac{1}{4}$
정리하면 $\sin\theta\cos\theta =\dfrac{3}{8}$
따라서 $t_{1}\times t_{2}=\sin\theta\cos\theta =\dfrac{3}{8}$ (거짓)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
18. 모든 항이 양수인 등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$에 대하여 $$a_{2}= 36 ,\: a_{7}=\dfrac{1}{3}a_{5}$$ 일 때, $a_{6}$의 값을 구하시오. [3점]
$4$
등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 공비를 $r$이라고 하면
$a_{2}=36$이고 $a_{7}=\dfrac{1}{3}a_{5}$에서 $36r^{5}=\dfrac{1}{3}\times 36r^{3}$이다.
그러므로 $r^{2}=\dfrac{1}{3}$
$a_{6}=a_{2}r^{4}=36\times\dfrac{1}{9}=4$
등비수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 공비를 $r$, $a_{1}=a$라 하자.
$a_{2}=36$에서 $ar=36\: \cdots\cdots$ ㉠
또, $a_{7}=\dfrac{1}{3}a_{5}$에서 $ar^{6}=\dfrac{1}{3}ar^{4}$
$r^{2}=\dfrac{1}{3}\: \cdots\cdots$ ㉡
따라서 ㉠과 ㉡에서
$a_{6}$$=ar^{5}$
$=ar\times r^{4}$
$=36\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}$
$=4$
19. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ $(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)$가 $$v(t)=3t^{2}-4t+k$$ 이다. 시각 $t=0$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $0$이고, 시각 $t=1$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $-3$이다. 시각 $t=1$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량을 구하시오. (단, $k$는 상수이다.) [3점]
$6$
시각 $t$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치를 $x(t)$라 하면 시각 $t=0$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $0$이므로
$v(t)=3t^{2}-4t+k$ 에서 $x(t)=t^{3}-2t^{2}+kt$
이때 $x(1)= -3$에서 $-1+k = -3$, $k= -2$
따라서 $x(t)=t^{3}-2t^{2}-2t$이고, $x(3)=27-18-6=3$이다.
그러므로 시각 $t=1$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은
$x(3)-x(1)=3-(-3)=6$
$x(1)=x(0)+\int_{0}^{1}v(t)dt$에서 $-3=0+\int_{0}^{1}(3t^{2}-4t+k)dt$
정리하면 $-3=\left[t^{3}-2t^{2}+k\right]_{0}^{1}=1-2+k$
따라서 $k=-2$
$t=1$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$의 위치의 변화량은
$x(3)-x(1)=\int_{1}^{3}v(t)dt=\int_{1}^{3}(3t^{2}-4t-2)dt$ $=\left[t^{3}-2t^{2}-2t\right]_{1}^{3}=6$
20. 실수 $a$와 함수 $f(x)=x^{3}-12x^{2}+45x+3$에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^{4}dt$$ 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 $a$의 값의 합을 구하시오. [4점]
$8$
$f'(x)$ $=3x^{2}-24x+45$ $=3(x-3)(x-5)$이고
$g(x)$ $=\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^{4}dt$
$=f(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt -\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{5}dt$
$g'(x)$ $=f'(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt +\{f(x)\}^{5}-\{f(x)\}^{5}$
$=f'(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt$
$=3(x-3)(x-5)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt$
$h(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt$라 하면 $h(a)=0$이고 $h'(x)=\{f(x)\}^{4}\ge 0$이다.
즉, $h(x)$는 증가함수이므로 방정식 $h(x)=0$의 오직 한 개의 실근은 $x=a$를 갖는다.
함수 $g(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 방정식 $g'(x)=0$은 중근이 아닌 근이 하나만 존재해야 한다.
그러므로 $a=3$ 또는 $a=5$이어야 한다.
따라서 모든 $a$의 값의 합은 $3+5 =8$
$f(x)=x^{3}-12x^{2}+45x+3$에서
$f'(x)$ $=3x^{2}-24x+45$$=3(x-3)(x-5)$
$g(x)$ $=\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^{4}dt$
$=f(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt -\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{5}dt$
$g^{\prime}(x)$ $=f^{\prime}(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt +\{f(x)\}^{5}-\{f(x)\}^{5}$
$=f'(x)\displaystyle\int_{a}^{x}\{f(t)\}^{4}dt$
$g^{\prime}(x)=0$에서 $f^{\prime}(x)=0$ 또는 $x=a$
(ⅰ) $a\ne 3$, $a\ne 5$일 때,
$g'(x)=0$에서 $x=3$ 또는 $x=5$ 또는 $x=a$
함수 $g(x)$는 $x=3$, $x=5$, $x=a$에서 모두 극값을 갖는다.
(ⅱ) $a=3$일 때
$g'(x)=0$에서 $x=3$ 또는 $x=5$
함수 $g(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 $g(x)$는 $x=5$에서만 극값을 갖는다.
(ⅲ) $a=5$일 때
$g'(x)=0$에서 $x=3$ 또는 $x=5$
함수 $g(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 $g(x)$는 $x=3$에서만 극값을 갖는다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 $g(x)$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 값은 $3$ 또는 $5$이다.
따라서 모든 $a$의 값의 합은 $3+5=8$
21. 다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]
(가) $x$에 대한 방정식 $(x^{n}-64)f(x)=0$은
서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다.
(나) 함수 $f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다.
$24$
방정식 $x^{n}-64=0$은 자연수 $n$이 홀수이면 한 개의 실근을, 짝수이면 두 개의 실근을 갖는다.
조건 (가)로부터 자연수 $n$은 짝수이고, 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 두 실근은 방정식 $x^{n}-64=0$의 두 실근 $\pm 2^{\frac{6}{n}}$과 각각 같아야 한다.
즉, $f(x)=\left(x-2^{\frac{6}{n}}\right)\left(x+2^{\frac{6}{n}}\right)=x^{2}-2^{\frac{12}{n}}$
조건 (나)에서 $f(x)$의 최솟값 $-2^{\frac{12}{n}}$이 음의 정수이므로 짝수인 자연수 $n$은 $12$의 약수이어야 한다.
따라서 $n=2$, $4$, $6$, $12$이고, 그 합은 $2+4+6+12 = 24$이다.
함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 최솟값이 음수이므로 방정식 $f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
$n$이 홀수일 때,
방정식 $x^{n}=64$의 실근의 개수는 $1$이다.
그러므로 방정식 $(x^{n}-64)f(x)=0$의 근이 모두 중근일 수 없다.
$n$이 짝수일 때,
방정식 $x^{n}=64$의 실근은 $x=\sqrt[n]{64}$ 또는 $x= -\sqrt[n]{64}$
즉, $x=2^{\frac{6}{n}}$ 또는 $x= -2^{\frac{6}{n}}$
이때, 조건 (가)를 만족하기 위해서는
$f(x)=\left(x-2^{\frac{6}{n}}\right)\left(x+2^{\frac{6}{n}}\right)$ $\cdots\cdots$㉠
한편, 조건 (나)에서 함수 $f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다.
㉠에서 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 최솟값을 갖고 그 값은 $-2^{\frac{6}{n}}\times 2^{\frac{6}{n}}= -2^{\frac{12}{n}}$
이 값이 음의 정수이기 위해서는 짝수 $n$의 값은 $2$, $4$, $6$, $12$
따라서 모든 $n$의 값의 합은 $2+4+6+12 = 24$이다.
22. 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.
(나) 방정식 $f(x-f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.
$f(1)=4$, $f'(1)=1$, $f'(0)>1$일 때, $f(0)=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$61$
조건 (가)에서 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $f(x)=k(x-\alpha)^{2}(x-\beta)$ 로 놓을 수 있다.
조건 (나)에서 $x-f(x)=\alpha$ 또는 $x-f(x)=\beta$를 만족시키는 서로 다른 $x$의 값의 개수가 $3$이어야 한다.
즉, $f(x)=x-\alpha$ 또는 $f(x)=x-\beta$에서 곡선 $y=f(x)$와 두 직선 $y=x-\alpha$, $y=x-\beta$ 가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이어야 한다.
한편, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, 4)$에서의 접선의 기울기가 $1$이므로 접선의 방정식은 $y=x+3$ 이다.
그런데 $f(0)>0$, $f'(0)>1$이므로 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x+3$는 그림과 같다.
$f(x)-(x+3)=k(x+3)(x-1)^{2}$이므로 $f(x)=k(x+3)(x-1)^{2}+x+3$ 이고,
$f'(x)=k(x-1)^{2}+k(x+3)\times 2(x-1) + 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
이때, $f'(-3)=0$이므로 ㉠에 $x=-3$을 대입하면
$0=k \times 16 + 1$에서 $k=-\dfrac{1}{16}$
이때, $f(x)=-\frac{1}{16}(x+3)(x-1)^{2}+x+3$이므로
$f(0)=-\frac{1}{16} \times3\times1 + 3 = \dfrac{45}{16}$
따라서 $p+q=16+45=61$
수학 영역(확률과 통계)
23. 다항식 $(2x+1)^{5}$의 전개식에서 $x^{3}$의 계수는? [2점]
① $20$
② $40$
③ $60$
④ $80$
⑤ $100$
24. 어느 동아리의 학생 $20$명을 대상으로 진로활동 $\mathrm{A}$와 진로활동 $\mathrm{B}$에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 진로활동 $\mathrm{A}$와 진로활동 $\mathrm{B}$ 중 하나를 선택하였고, 각각의 진로활동을 선택한 학생 수는 다음과 같다.
이 조사에 참여한 학생 $20$명 중에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 학생일 때, 이 학생이 $1$학년일 확률은? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{5}{9}$
③ $\frac{3}{5}$
④ $\frac{7}{11}$
⑤ $\frac{2}{3}$
②
이 조사에 참여한 학생 중에서 한 명을 선택하는 경우의 수는 $20$
이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 학생인 사건을 $B$, $1$학년 학생인 사건을 $E$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(E | B)$이다.
이때 $\mathrm{P}(B)=\dfrac{9}{20}$이고, 사건 $E\cap B$는 진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 $1$학년 학생을 선택하는 사건이므로
$\mathrm{P}(E\cap B)=\dfrac{5}{20}$
따라서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(E | B)$$=\dfrac{\mathrm{P}(E\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$ $=\dfrac{\frac{5}{20}}{\frac{9}{20}}=\dfrac{5}{9}$
이 조사에 참여한 학생 $20$명 중에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 학생이라는 것은, 진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 학생 중에서 임의로 한 명을 선택하는 것과 같다.
진로활동 $\mathrm{B}$를 선택한 학생 $9$명 중에 $1$학년 학생이 $5$명 있으므로 구하는 확률은 $\dfrac{5}{9}$이다.
25. 숫자 $1,\:2,\:3,\:4,\:5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 선택할 때, 선택한 수가 $3500$보다 클 확률은? [3점]
① $\frac{9}{25}$
② $\frac{2}{5}$
③ $\frac{11}{25}$
④ $\frac{12}{25}$
⑤ $\frac{13}{25}$
③
숫자 $1,\:2,\:3,\:4,\:5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수의 개수는 ${}_{5}\Pi_{4}= 5^{4}$
이 중에서 $3500$보다 큰 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) 천의 자리의 숫자가 $3$, 백의 자리의 숫자가 $5$인 경우
십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 ${}_{5}\Pi_{2}= 5^{2}$
(ⅱ) 천의 자리의 숫자가 $4$ 또는 $5$인 경우
천의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 $2$ 이고,
이 각각에 대하여 나머지 세 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 ${}_{5}\Pi_{3}= 5^{3}$이므로 이 경우의 수는 $2\times 5^{3}$
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $3500$보다 큰 자연수의 개수는 $5^{2}+ 2\times 5^{3}$
따라서 구하는 확률은 $\dfrac{5^{2}+2\times 5^{3}}{5^{4}}=\dfrac{11}{25}$
26. 빨간색 카드 $4$장, 파란색 카드 $2$장, 노란색 카드 $1$장이 있다. 이 $7$장의 카드를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, $3$가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 있도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않고, 카드를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점]
① $78$
② $84$
③ $90$
④ $96$
⑤ $102$
③
(ⅰ) $3$가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생에게는 노란색 카드 $1$장을 반드시 주어야 한다.
노란색 카드 $1$장을 받을 학생을 선택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1}= 3$
(ⅱ) (ⅰ)의 각 경우에 대하여 노란색 카드 $1$장을 받은 학생에게 파란색 카드 $1$장을 먼저 준 후 나머지 파란색 카드 $1$장을 줄 학생을 선택하는 경우의 수는 ${}_{3}\mathrm{C}_{1}=3$
(ⅲ) (ⅰ), (ⅱ)의 각 경우에 대하여 노란색 카드 $1$장을 받은 학생에게 빨간색 카드 $1$장도 먼저 준 후 나머지 빨간색 카드 $3$장을 나누어 줄 학생을 선택하는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{H}_{3}={}_{3+3-1}\mathrm{C}_{3}={}_{5}\mathrm{C}_{3}={}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$
따라서 구하는 경우의 수는 $3\times 3\times 10 =90$
27. 주사위 $2$개와 동전 $4$개를 동시에 던질 때, 나오는 주사위의 눈의 수의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같을 확률은? [3점]
① $\frac{3}{64}$
② $\frac{5}{96}$
③ $\frac{11}{192}$
④ $\frac{1}{16}$
⑤ $\frac{13}{192}$
①
주사위 $2$개와 동전 $4$개를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $6^{2}\times 2^{4}$
(ⅰ) 앞면이 나온 동전의 개수가 $1$인 경우의 수는 ${}_{4}\mathrm{C}_{1}=4$
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 $(1,\:1)$이어야 하므로 이 경우의 수는 $4\times 1=4$
(ⅱ) 앞면이 나온 동전의 개수가 $2$인 경우의 수는 ${}_{4}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{4\times 3}{2}=6$
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 $(1,\:2)$ 또는 $(2,\:1)$이어야 하므로 이 경우의 수는 $6\times 2=12$
(ⅲ) 앞면이 나온 동전의 개수가 $3$인 경우의 수는 ${}_{4}\mathrm{C}_{3}={}_{4}\mathrm{C}_{1}=4$
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 $(1,\:3)$ 또는 $(3,\:1)$이어야 하므로 이 경우의 수는 $4\times 2=8$
(ⅳ) 앞면이 나온 동전의 개수가 $4$인 경우의 수는 ${}_{4}\mathrm{C}_{4}=1$
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 $(1,\:4)$ 또는 $(2,\:2)$ 또는 $(4,\:1)$이어야 하므로 이 경우의 수는 $1\times 3=3$
(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 경우의 수는
$4+12+8+3=27$
따라서 구하는 확률은 $\dfrac{27}{6^{2} \times 2^{4}} = \dfrac{3}{64}$
28. 한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 $4$ 이상이면 $0$점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 $a,\: b,\: c,\: d$라 할 때, 얻는 네 점수의 합이 $4$가 되는 모든 순서쌍 $(a,\: b,\: c,\: d)$의 개수는? [4점]
① $187$
② $190$
③ $193$
④ $196$
⑤ $199$
⑤
이 주사위를 네 번 던질 떄 나온 눈의 수가 $4$이상인 경우의 수에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) 나온 눈의 수가 $4$ 이상인 경우의 수가 $0$인 경우
$1$의 눈만 네 번 나와야 하므로 이 경우의 수는 $1$
(ⅱ) 나온 눈의 수가 $4$ 이상인 경우의 수가 $1$인 경우
$1$의 눈이 두 번, $2$의 눈이 한 번 나와야 하므로 점수 $0,\: 1,\: 1,\: 2$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\dfrac{4!}{2!}=12$
이 각각에 대하여 $4$ 이상의 눈이 한 번 나오는 경우의 수는 $3$이므로 이 경우의 수는 $12\times 3=36$
(ⅲ) 나온 눈의 수가 $4$ 이상인 경우의 수가 $2$인 경우
㉠ $1$의 눈이 한 번, $3$의 눈이 한번 나올 때, 점수 $0,\: 0,\: 1,\: 3$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\dfrac{4!}{2!}=12$
㉡ $2$의 눈이 두 번 나올 때, 점수 $0,\: 0,\: 2,\: 2$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\dfrac{4!}{2!2!}=6$
㉠,㉡ 각각에 대하여 $4$ 이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 $3\times 3=9$이므로 이 경우의 수는
$(12+6)\times 9=162$
(ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는
$1+36+162=199$
29. $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$개의 의자가 있다. 이 $6$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다) [4점]
$48$
$6$개의 의자를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(6-1)! =5! = 120$
이때 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다.
(ⅰ) $2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우
$2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자를 $1$개로 생각하여 의자 $5$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(5-1)! =4! =24$
이 각각에 대하여 $2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 $2! =2$
그러므로 $2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우의 수는 $24\times 2=48$
(ⅱ) $3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우
$3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자를 $1$개로 생각하여 의자$5$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(5-1)! =4! =24$
이 각각에 대하여 $3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 $2! =2$
그러므로 $3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우의 수는 $24\times 2=48$
(ⅲ) $2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우
$2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자를 $1$개로 생각하고 $3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자를 $1$개로 생각하여 의자 $4$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(4-1)! =3! =6$
이 각각에 대하여 $2,\: 6$이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸고 $3,\: 4$가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 $2!\times 2! =4$
그러므로 $2,\: 6$가 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우의 수는 $6\times 4=24$
(ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 서로 이웃한 $2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우의 수는 $48+48-24=72$
따라서 구하는 경우의 수는 $120-72=48$
30. 숫자 $1,\: 2,\: 3$이 하나씩 적혀 있는 $3$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다.
이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다) [4점]
$47$
$3$개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 $5$번 반복할 때 나오는 모든 경우의 수는 $3^{5}$
이때 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수가 아닌 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) 한 개의 숫자만 나오는 경우
이 경우의 수는 $3$
(ⅱ) 두 개의 숫자가 나오는 경우
$1,\: 2$가 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는 $2^{5}-2=30$
$1,\: 3$이 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는 $2^{5}-2=30$
그러므로 이 경우의 수는 $30+30=60$
(ⅰ),(ⅱ) 에 의하여 확인한 $5$개의 수의 곱이 $6$의 배수가 아닌 경우의 수는 $3+60=63$
따라서 구하는 확률은
$1-\dfrac{63}{3^{5}}=1-\dfrac{7}{27}=\dfrac{20}{27}$
이므로
$p+q=27+20=47$
$5$개의 수의 곱이 $6$의 배수이려면 $2$와 $3$이 각각 적어도 한 번 나와야 한다.
전체 경우의 수는 $3^{5}=243$
$2$가 나오지 않는 경우의 수는 $2^{5}=32$
$3$가 나오지 않는 경우의 수는 $2^{5}=32$
$2$와 $3$이 나오지 않는 경우의 수는 $1^{5}=1$
그러므로 $5$번 중 $2$와 $3$이 각각 적어도 한 번이상 나오는 경우의 수는
$243-32-32+1=180$
구하는 확률은 $\dfrac{180}{243}=\dfrac{20}{27}$이다.
따라서 $p+q=27+20=47$
수학 영역(미적분)
23. $\displaystyle\lim_{n\to \infty}$$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}-n}$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
24. 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $$x= e^{t}+\cos t,\:y=\sin t$$ 에서 $t=0$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$
25. 원점에서 곡선 $y=e^{| x |}$에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\tan\theta$의 값은? [3점]
① $\frac{e}{e^{2}+1}$
② $\frac{e}{e^{2}-1}$
③ $\frac{2e}{e^{2}+1}$
④ $\frac{2e}{e^{2}-1}$
⑤ $1$
④
곡선 $y=e^{| x |}$는 $y$축에 대하여 대칭이다.
$x\ge 0$일 때 $y=e^{x}$이고 접점을 $(t,\: e^{t})$이라 하면 $y’=e^{x}$이므로 접선의 방정식은 $y-e^{t}=e^{t}(x-t)$
이 접선이 원점을 지나므로 $-e^{t}=e^{t}(-t),\: t=1$
따라서 접선의 기울기는 $e$이고 이 접선과 $y$축에 대하여 대칭인 접선의 기울기는 $-e$이다.
$\tan\theta =\dfrac{-e-e}{1+(-e)\times e}=\dfrac{-2e}{1-e^{2}}=\dfrac{2e}{e^{2}-1}$
곡선 $y=e^{| x |}$는 $y$축에 대하여 대칭이고, 원점도 $y$축 위의 점이므로 두 접선도 $y$축에 대하여 대칭이다. $x\ge 0$일 때 $y=e^{x}$이고 접점을 $(t,\: e^{t})$이라 하면 $\dfrac{e^{t}-0}{t-0}=e^{t}$이므로 $t=1$이다.
두 접선의 기울기는 $e$와 $-e$이므로
$\tan\theta =\left |\dfrac{e-(-e)}{1+e\times(-e)}\right | =\dfrac{2e}{e^{2}-1}$이다.
26. 그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_{1}$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\frac{5\pi}{12}$인 부채꼴 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{1}\mathrm{O}_{2}$가 있다. 호 $\mathrm{A}_{1}\mathrm{O}_{2}$ 위에 점 $\mathrm{B}_{1}$을 $\angle\mathrm{A}_{1}\mathrm{O}_{1}\mathrm{B}_{1}=\frac{\pi}{4}$가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{1}$이라 하자.
그림 $R_{1}$에서 점 $\mathrm{O}_{2}$를 지나고 선분 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{1}$에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{B}_{1}$과 만나는 점을 $\mathrm{A}_{2}$라 하자. 중심이 $\mathrm{O}_{2}$이고 중심각의 크기가 $\frac{5\pi}{12}$인 부채꼴 $\mathrm{O}_{2}\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}_{3}$을 부채꼴 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}$과 겹치지 않도록 그린다. 호 $\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}_{3}$ 위에 점 $\mathrm{B}_{2}$를 $\angle\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}_{2}\mathrm{B}_{2}=\frac{\pi}{4}$가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O}_{2}\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{2}$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}S_{n}$의 값은? [3점]
① $\frac{3\pi}{16}$
② $\frac{7\pi}{32}$
③ $\frac{\pi}{4}$
④ $\frac{9\pi}{32}$
⑤ $\frac{5\pi}{16}$
③
$S_{1}=\frac{1}{2}\times 1^{2}\times\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$
$\angle\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}_{2}=\frac{\pi}{4}$이므로
삼각형 $\mathrm{O}_{1}\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}_{2}$에서 사인법칙에 의하여
$\overline{\dfrac{\mathrm{O}_{2} \mathrm{A}_{2}}{\sin\frac{\pi}{6}}}=\overline{\dfrac{\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}}{\sin\frac{\pi}{4}}}$ 에서 $\overline{\dfrac{\mathrm{O}_{2} \mathrm{A}_{2}}{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$이고,
정리하면 $\overline{\mathrm{O_{2}A_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
따라서 닮음비는 $1 :\frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 넓이의 비는 $1 :\frac{1}{2}$이다.
즉, 구하는 극한값은 첫째항이 $\frac{\pi}{8}$이고, 공비가 $\frac{1}{2}$인 등비급수의 합이므로
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}S_{n}=\dfrac{\frac{\pi}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\pi}{4}$
27. 두 함수 $$f(x)=e^{x},\: g(x)=k\sin x$$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$일 때, 양수 $k$의 값은? [3점]
① $\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{2}}$
② $\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}}$
③ $\sqrt{2}e^{2\pi}$
④ $\sqrt{2}e^{\frac{9\pi}{4}}$
⑤ $\sqrt{2}e^{\frac{5\pi}{2}}$
④
방정식 $f(x)=g(x)$의 서로 다른 양의 실근의 개수는
$e^{x}= k\sin x$에서 $e^{-x}\sin x =\dfrac{1}{k}$$\cdots\cdots$ ㉠의 양의 실근의 개수와 같다.
$h(x)=e^{-x}\sin x$라 하면
$h'(x)=-e^{-x}\sin x +e^{-x}\cos x =e^{-x}(\cos x -\sin x)$
따라서 $x>0$에서 $h'(x)=0$을 만족시키는 $x$의 값은
$x=\dfrac{\pi}{4},\:\dfrac{5}{4}\pi ,\:\dfrac{9}{4}\pi ,\:\cdots$
이므로 함수 $y=h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
이때 ㉠의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$이기 위해서는 그림과 같이 직선 $y=\frac{1}{k}$이 $x=\frac{9}{4}\pi$에서 곡선 $y=h(x)$ 와 접해야 하고 $h\left(\frac{9}{4}\pi\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}e^{\frac{9}{4}\pi}}$이므로 $\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{\sqrt{2}e^{\frac{9}{4}\pi}}$이다.
따라서 $k=\sqrt{2}e^{\frac{9}{4}\pi}$
28. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{O}$라 할 때, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선이 직선 $\mathrm{OP}$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, $\angle\mathrm{OQB}$의 이등분선이 직선 $\mathrm{AP}$와 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자. $\angle\mathrm{OAP}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$\displaystyle\lim_{\theta\rightarrow 0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^{4}\times f(\theta)}$의 값은? (단, $0< \theta < \dfrac{\pi}{4}$) [4점]
① $2$
② $\dfrac{5}{2}$
③ $3$
④ $\dfrac{7}{2}$
⑤ $4$
①
$f(\theta)=\dfrac{1}{2}\times 1\times 1\times\sin(\pi -2\theta)=\dfrac{\sin 2\theta}{2}$
또한, $\angle\mathrm{APO}=\angle\mathrm{QPR}=\theta$ 이므로 점 $\mathrm{P}$에서 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BQ}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{S},\:\mathrm{T}$라 하면 $\angle\mathrm{QPT}=2\theta$
즉, 점 $\mathrm{R}$은 삼각형 $\mathrm{PTQ}$의 내심이다.
이때, $\overline{\mathrm{OS}}=\cos 2\theta ,\:\overline{\mathrm{PS}}=\sin 2\theta ,\:\overline{\mathrm{BQ}}=\tan 2\theta$이므로
$\overline{\mathrm{PT}}=1-\cos 2\theta$
$\overline{\mathrm{QT}}=\tan 2\theta -\sin 2\theta =\tan 2\theta(1 -\cos 2\theta)$이고
$\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{1}{\cos 2\theta}-1=\dfrac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta}$
따라서 삼각형 $\mathrm{PTQ}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면
$\dfrac{1}{2}\times(1-\cos 2\theta)\times\tan 2\theta(1-\cos 2\theta)$
$=\dfrac{1}{2}\times r\times\left\{\dfrac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta}+1-\cos 2\theta +\tan 2\theta(1-\cos 2\theta)\right\}$
에서
$r =\dfrac{(1-\cos 2\theta)\sin 2\theta}{1+\sin 2\theta +\cos 2\theta}$이다.
그러므로
$g(\theta)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta}\times\dfrac{(1-\cos 2\theta)\sin 2\theta}{1+\sin 2\theta +\cos 2\theta}$
$=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(1-\cos 2\theta)^{2}\sin 2\theta}{\cos 2\theta(1+\sin 2\theta +\cos 2\theta)}$
$=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sin^{4}2\theta\times\sin 2\theta}{\cos 2\theta(1+\sin 2\theta +\cos 2\theta)(1+\cos 2\theta)^{2}}$
따라서
$\displaystyle\lim_{\theta\rightarrow 0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^{4}\times f(\theta)}$
$ =\displaystyle\lim_{\theta\rightarrow 0+}\left\{\left(\dfrac{\sin 2\theta}{2\theta}\right)^{4}\times 16\times\dfrac{1}{\cos 2\theta(1+\sin 2\theta +\cos 2\theta)(1+\cos 2\theta)^{2}}\right\}$
$=1^{4}\times 16\times\dfrac{1}{8}=2$
29. $t >2e$인 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)=t(\ln x)^{2}-x^{2}$ 이 $x=k$에서 극대일 때, 실수 $k$의 값을 $g(t)$라 하면
$g(t)$는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^{2}$ 인 실수 $\alpha$에 대하여 $\alpha\times\{g'(\alpha)\}^{2}=\dfrac{q}{p}$일 때,
$p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$17$
$f'(x)=\dfrac{2t\ln x}{x}-2x=\dfrac{2t\ln x-2x^{2}}{x}$이고
$f(x)$는 $x=k$에서 극대이므로 $2t\ln k-2k^{2}=0,\:t\ln k=k^{2}$
이때 실수 $k$의 값을 $g(t)$라 했으므로
$t\ln g(t)=\{g(t)\}^{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
그런데 $g(\alpha)=e^{2}$이므로 ㉠에 $t=\alpha$를 대입하면 $\alpha\ln g(\alpha)=\{g(\alpha)\}^{2}$
$2\alpha =e^{4},\:\alpha =\dfrac{e^{4}}{2}$
또한, ㉠의 양변을 $t$에 대하여 미분하면
$\ln g(t)+t\times\dfrac{g'(t)}{g(t)}=2 g(t)\times g'(t)$
이 식에 $t=\alpha$를 대입하면
$\ln g(\alpha)+\alpha\times\dfrac{g'(\alpha)}{g(\alpha)}=2 g(\alpha)\times g'(\alpha)$
$2+\dfrac{e^{4}}{2}\times\dfrac{g'(\alpha)}{e^{2}}=2 e^{2}\times g'(\alpha)$
$\dfrac{3}{2}e^{2}\times g'(\alpha)=2$
$g'(\alpha)=\dfrac{4}{3e^{2}}$
$\alpha\{g'(\alpha)\}^{2}=\dfrac{e^{4}}{2}\times\dfrac{16}{9e^{4}}=\dfrac{8}{9}$
따라서 $p=9,\:q=8$ 이므로 $p+q=17$
30. $t >\dfrac{1}{2}\ln 2$인 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})$과 직선 $y=x+t$가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, $f'(\ln 2)=\dfrac{q}{p}\sqrt{2}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$11$
곡선 $y=\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})$과 직선 $y=x+t$가 만나는 두 점을
$\mathrm{P}(\alpha ,\:\alpha +\mathrm{t}),\:\mathrm{Q}(\beta ,\:\beta +\mathrm{t})(\alpha < \beta)$로 놓으면
$f(t)=\sqrt{(\beta -\alpha)^{2}+(\beta -\alpha)^{2}}=\sqrt{2}(\beta -\alpha)$
이때, $\alpha ,\:\beta$는 방정식 $\ln(1+e^{2x}-e^{-2t})=x+t$의 서로 다른 두 실근이므로
$1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t}$로 놓으면 $e^{2x}-e^{t}\times e^{x}+1-e^{-2t}=0$
$e^{x}=k(k>0)$ 로 놓으면 $k^{2}-e^{t}k +1-e^{-2t}=0$
$k^{2}-e^{t}k+e^{-t}\left(e^{t}-e^{-t}\right)=0$
$\left(k-e^{^{-t}}\right)\left(k-e^{t}+e^{-t}\right)=0$ 이므로
$k=e^{-t}$또는 $k =e^{t}-e^{-t}$ 이고 $t >\dfrac{1}{2}\ln 2$이므로 $e^{-t}< e^{t}-e^{-t}$
즉, $\alpha =\ln e^{-t}=-t$이고 $\beta =\ln\left(e^{t}-e^{-t}\right)$이다.
$\beta -\alpha =\ln\left(e^{t}-e^{-t}\right)+t =\ln\left(e^{2t}-1\right)$
$f(t)=\sqrt{2}\ln\left(e^{2t}-1\right)$이고 $f'(t)=\sqrt{2}\dfrac{2e^{2t}}{e^{2t}-1}$
$f'(\ln 2)=\sqrt{2}\times\dfrac{2\times 4}{4-1}=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}$이므로 $p=3$, $q=8$
따라서 $p+q=11$
수학 영역(기하)
23. 두 벡터 $\overrightarrow{a}=(k+3,\: 3k-1)$과 $\overrightarrow{b}=(1,\: 1)$이 서로 평행할 때, 실수 $k$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
25. 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1,\: 2)$, $\mathrm{B}(-3,\: 5)$에 대하여
$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$$
를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 길이는?
(단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]
① $10\pi$
② $12\pi$
③ $14\pi$
④ $16\pi$
⑤ $18\pi$
①
$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$에서 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
이때 $\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(-3-1)^{2}+(5-2)^{2}}=5$이므로 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| =5$
따라서 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형은 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$인 원이므로 그 길이는 $10\pi$이다.
26. 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$에서 $|\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$의 값은? [3점]
① $\sqrt{6}$
② $\sqrt{7}$
③ $2\sqrt{2}$
④ $3$
⑤ $\sqrt{10}$
②
두 선분 $\mathrm{AD}$와 $\mathrm{BE}$의 교점을 $\mathrm{O}$라 하고 선분 $\mathrm{OE}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{AO}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ $\cdots\cdots$ ㉠
삼각형 $\mathrm{AOM}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{AM}}^{2}$$=\overline{\mathrm{AO}}^{2}+\overline{\mathrm{OM}}^{2}-2\times\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{OM}}\times\cos 120^{\circ}$
$=1^{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-2\times 1\times\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$=\dfrac{7}{4}$
$\overline{\mathrm{AM}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$이므로 ㉠에서
$|\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}| =2\overline{\mathrm{AM}}=2\times\dfrac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$
27. 그림과 같이 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 점 $\mathrm{P}(4,\: k)$ $(k >0)$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자. 점 $\mathrm{S}(4,\: 0)$에 대하여 삼각형 $\mathrm{QOR}$의 넓이를 $A_{1}$, 삼각형 $\mathrm{PRS}$의 넓이를 $A_{2}$라 하자. $A_{1}:A_{2}=9:4$일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $a$와 $b$는 상수이다.) [3점]
① $2\sqrt{10}$
② $2\sqrt{11}$
③ $4\sqrt{3}$
④ $2\sqrt{13}$
⑤ $2\sqrt{14}$
③
점 $\mathrm{P}(4,\: k)$는 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$위의 점이므로 $\dfrac{16}{a^{2}}-\dfrac{k^{2}}{b^{2}}=1$ $\cdots\cdots$ ㉠
점 $\mathrm{P}$에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식은 $\dfrac{4x}{a^{2}}-\dfrac{ky}{b^{2}}=1$이므로 두 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{R}$의 좌표는 각각 $\left .\mathrm{Q}\left(\dfrac{a^{2}}{4},\: 0\right)\right .$, $\mathrm{R}\left(0,\: -\dfrac{b^{2}}{k}\right)$
따라서 삼각형 $\mathrm{QOR}$의 넓이는
$A_{1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{a^{2}}{4}\times\left | -\dfrac{b^{2}}{k}\right | =\dfrac{a^{2}b^{2}}{8k}$
삼각형 $\mathrm{PRS}$의 넓이는 $A_{2}=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{PS}}\times\overline{\mathrm{OS}}=\dfrac{1}{2}\times k\times 4=2k$이므로
$A_{1}:A_{2}=9:4$에서 $\dfrac{a^{2}b^{2}}{8k}:2k=9:4$
$36k^{2}=a^{2}b^{2}$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
$\dfrac{16}{a^{2}}-\dfrac{k^{2}}{\frac{36k^{2}}{a^{2}}}=1$, 즉 $\dfrac{16}{a^{2}}-\dfrac{a^{2}}{36}=1$
$a^{4}+36a^{2}-16\times 36=0$
$(a^{2}-12)(a^{2}+48)=0$
$a^{2}=12$에서 $a=2\sqrt{3}$이므로
주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a=4\sqrt{3}$이다.
28. 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$이고 장축의 길이가 $2a$인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$의 값은? [4점]
① $\frac{\sqrt{2}}{2}$
② $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
③ $\sqrt{3}-1$
④ $2\sqrt{2}-2$
⑤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
③
그림과 같이 타원의 중심을 원점으로 하고 장축이 $x$축 위에 놓이도록 좌표축을 설정하자.
이때 타원의 장축의 길이가 $2a$이므로 타원의 방정식을 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b>0)$라 하면 두 초점의 좌표는 $\mathrm{F}'(-\sqrt{a^{2}-b^{2}},\: 0)$, $\mathrm{F}(\sqrt{a^{2}-b^{2}},\: 0)$이다.
주어진 타원이 음의 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 양의 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $A(-a,\:0)$, $B(0,\: b)$ 이다.
점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{F}$를 지나는 원의 반지름의 길이는 $1$이므로
$\overline{\mathrm{AB}}=1$에서 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=1$
$b^{2}=1-a^{2}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overline{\mathrm{AF}}=1$에서 $\sqrt{a^{2}-b^{2}}+a=1$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $\sqrt{a^{2}-(1-a^{2})}=1-a$
이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $2a^{2}-1=1-2a+a^{2}$
$a^{2}+2a-2=0$
따라서 $a=-1+\sqrt{3}$ $(a>0)$
29. 포물선 $y^{2}= 8x$와 직선 $y = 2x - 4$가 만나는 점 중 제 $1$사분면 위에 있는 점을 $\mathrm{A}$라 하자. 양수 $a$에 대하여 포물선 $(y-2a)^{2}= 8(x- a)$가 점 $\mathrm{A}$를 지날 때, 직선 $y = 2x - 4$와 포물선 $(y-2a)^{2}= 8(x-a)$가 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $x = -2$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 할 때, $\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{BD}}-\overline{\mathrm{AB}}= k$이다. $k^{2}$의 값을 구하시오. [4점]
$80$
직선 $y = 2x – 4$가 포물선 $y^{2}= 8x$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{E}$, $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 점 $\mathrm{E}$에서 직선 $x = -2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.
또 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{HE}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자.
점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(2,\:0)$이므로 포물선 $y^{2}= 8x$의 초점과 일치한다. 따라서 $\overline{\mathrm{AF}} = p$, $\overline{\mathrm{EF}} = q$라 하면 포물선의 정의에 의하여 $\overline{\mathrm{AC}} = p$, $\overline{\mathrm{EH}} = q$
이때 포물선의 준선의 방정식이 $x = -2$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 각각 $p-2$, $q-2$이다.
선분 $\mathrm{AI}$와 $x$축의 교점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{E}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하면 $\overline{\mathrm{FP}} = p-4$, $\overline{\mathrm{FQ}} = 4- q$ 이므로 두 직각삼각형 $\mathrm{AFP}$, $\mathrm{EFQ}$에서 $p=\sqrt{5}(p-4)$, $q=\sqrt{5}(4-q)$
따라서
$p=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}(\sqrt{5+}1)=5+\sqrt{5}$
$q=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)=5-\sqrt{5}$
이므로
$\overline{\mathrm{EI}} = p- q = 2\sqrt{5}$
한편 포물선 $(y-2a)^{2}= 8(x- a)$는 포물선 $y^{2}= 8x$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 $y$축의 방향으로 $2a$만큼 평행이동한 것이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 각각 두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{A}$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 $y$축의 방향으로 $2a$만큼 평행이동한 것이다.
따라서 $\overline{\mathrm{AB}} =\overline{\mathrm{AE}}$이다.
포물선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{BD}}-\overline{\mathrm{AB}}$$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -\overline{\mathrm{AE}}$
$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -(\overline{\mathrm{AF}} +\overline{\mathrm{EF}})$
$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -(\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{EH}})$
$=\overline{\mathrm{BD}} -\overline{\mathrm{EH}}$
$=\overline{\mathrm{EJ}}$$= 2\times\overline{\mathrm{EI}}$$= 2\times 2\sqrt{5}= 4\sqrt{5}$
따라서 $k = 4\sqrt{5}$이므로 $k^{2}= 80$
직선 $y = 2x – 4$가 포물선 $y^{2}= 8x$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{E}$, $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 점 $\mathrm{E}$에서 직선 $x = -2$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 또 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{HE}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자. 점 $\mathrm{F}$의 좌표는 $(2,\:0)$이므로 포물선 $y^{2}= 8x$의 초점과 일치한다.
이때 연립방정식 $\begin{cases}
y^{2}=8x\\
y=2x-4
\end{cases}$의 해는 $y^{2}= 4(y+ 4)$ 즉, $y^{2}- 4y – 16 = 0$에서 $y=2\pm 2\sqrt{5}$
$y=2+2\sqrt{5}$이면 $x=3+\sqrt{5}$,
$y=2-2\sqrt{5}$이면 $x=3-\sqrt{5}$이므로
두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{E}$의 좌표는 각각 $\mathrm{A}(3+\sqrt{5},\:2+2\sqrt{5})$, $\mathrm{E}(3-\sqrt{5},\:2-2\sqrt{5})$이다.
포물선 $(y-2a)^{2}= 8(x- a)$은 포물선 $y^{2}= 8x$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 $y$축의 방향으로 $2a$만큼 평행이동한 것이므로 $\overline{\mathrm{AB}} =\overline{\mathrm{AE}}$
따라서 포물선의 정의에 의해
$\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{BD}}-\overline{\mathrm{AB}}$$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -\overline{\mathrm{AE}}$
$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -(\overline{\mathrm{AF}} +\overline{\mathrm{EF}})$
$=\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{BD}} -(\overline{\mathrm{AC}} +\overline{\mathrm{EH}})$
$=\overline{\mathrm{BD}} -\overline{\mathrm{EH}}$
$=\overline{\mathrm{EJ}}$$= 2\times\overline{\mathrm{EI}}$
$=2\times\{(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})\}$$=4\sqrt{5}$
$k=4\sqrt{5}$이므로 $k^{2}= 80$
30. 좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A}(2,\: 0)$, $\mathrm{B}(0,\: 2)$, $\mathrm{C}(-2,\: 0)$, $\mathrm{D}(0,\: -2)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 변 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}})(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}})= 0$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge -2$ 이고, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge 0$이다.
(다) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\ge -2$ 이고, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\le 0$이다.
점 $\mathrm{R}(4,\: 4)$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
$48$
조건 (가)에서 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$ 또는 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}} = 0$이므로 다음과 같이 두 가지의 경우로 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0$, 즉 $\overline{\mathrm{PQ}}\bot\overline{\mathrm{AB}}$인 경우
두 조건 (나)와 (다)에서 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge 0$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\le 0$이므로
점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$위의 점이고 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{CD}$ 위의 점이다.
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P}=(a ,\: 2-a)$ ($0\le a\le 2$)라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q}(a-2 ,\: -a)$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge -2$에서 $(2,\: 0)\cdot(a ,\: 2- a)= 2a\ge -2$이므로
$a\ge -1$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge 0$에서
$(0,\:2)\cdot(a,\: 2-a)= 2(2-a)\ge 0$이므로
$a\le 2$ $\cdots\cdots$ ㉡
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\ge -2$에서
$(2,\: 0)\cdot(a-2 ,\: – a)= 2(a- 2)\ge – 2$이므로
$a\ge 1$ $\cdots\cdots$ ㉢
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\le 0$에서
$(0,\:2)\cdot(a-2,\: – a)= -2a\le 0$이므로
$a\ge 0$ $\cdots\cdots$ ㉣
㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서
$1\le a\le 2$ $\cdots\cdots$ ㉤
한편 점 $\mathrm{R}(4,\: 4)$에 대하여
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$$=\overrightarrow{\mathrm{OP}} -\overrightarrow{\mathrm{OR}}$
$=(a,\: 2-a)-(4,\: 4)$ $=(a-4 ,\: -a -2)$
$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} -\overrightarrow{\mathrm{OR}}$
$=(a-2 ,\: -a)-(4,\: 4)$ $=(a-6 ,\: -a -4)$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=(a-4 ,\: -a -2)\cdot(a-6,\: -a-4)$
$=(a-4)(a-6)+(a+2)(a+4)$
$= 2a^{2}- 4a + 32$
$= 2(a-1)^{2}+ 30$
㉤에서
$30\le\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\le 32$
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}} = 0$, 즉 $\overline{\mathrm{PQ}}\bot\overline{\mathrm{AD}}$인 경우
두 조건 (나)와 (다)에서 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge 0$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\le 0$
이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{BC}$위의 점이고 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AD}$위의 점이다.
점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P}(a ,\: a+2)$ ($-2\le a\le 0$)라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q}(a+2 ,\: a)$
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge -2$에서 $(2,\:0)\cdot(a,\:a+2)=2a\ge -2$이므로
$a\ge -1$ $\cdots\cdots$ ㉥
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ge 0$에서
$(0,\:2)\cdot(a,\: a+2)= 2(a+2)\ge 0$이므로
$a\ge -2$ $\cdots\cdots$ ㉦
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\ge -2$에서
$(2,\: 0)\cdot(a+2 ,\: a)= 2(a+ 2)\ge – 2$이므로
$a\ge -3$ $\cdots\cdots$ ㉧
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\le 0$에서
$(0,\:2)\cdot(a+2,\: a)= 2a\le 0$이므로
$a\le 0$ $\cdots\cdots$ ㉨
㉥, ㉦, ㉧, ㉨에서 $-1\le a\le 0$ $\cdots\cdots$ ㉩
한편 점 $\mathrm{R}(4,\: 4)$에 대하여
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$$=\overrightarrow{\mathrm{OP}} -\overrightarrow{\mathrm{OR}}$
$=(a,\: a+2)-(4,\: 4)$ $=(a-4 ,\: a -2)$
$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} -\overrightarrow{\mathrm{OR}}$
$=(a+2 ,\: a)-(4,\: 4)$ $=(a-2 ,\: a -4)$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=(a-4 ,\: a -2)\cdot(a-2,\: a-4)$
$= 2(a-4)(a-2)$
$= 2\left(a^{2}- 6a + 8\right)$
$= 2(a-3)^{2}-2$
㉩에서 $16\le\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\le 30$
(ⅰ), (ⅱ)에서
$16\le\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\le 32$
따라서 $\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 최댓값은 $M = 32$, 최솟값은 $m = 16$이므로 $M + m = 48$
위의 풀이에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 지나는 영역은 다음 그림의 굵은 선분 위이다.
선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 하면 조건 (가)에 의하여
$\overrightarrow{\mathrm{NP}} +\overrightarrow{\mathrm{NQ}} =\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NQ}}= |\overrightarrow{\mathrm{NP}}| |\overrightarrow{\mathrm{NQ}}|\cos\pi = -\overline{\mathrm{NP}}^{2}$
이므로
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=(\overrightarrow{\mathrm{RN}} +\overrightarrow{\mathrm{NP}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{RN}} +\overrightarrow{\mathrm{NQ}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{RN}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RN}} +\overrightarrow{\mathrm{RN}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NQ}} +\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RN}} +\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NQ}}$
$= |\overrightarrow{\mathrm{RN}} |^{2}+\overrightarrow{\mathrm{RN}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{NQ}} +\overrightarrow{\mathrm{NP}})+\overrightarrow{\mathrm{NP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NQ}}$
$=\overline{\mathrm{RN}}^{2}+0 -\overline{\mathrm{NP}}^{2}$
이때 항상 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}$이므로 $\overline{\mathrm{NP}} =\dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{PQ}} =\sqrt{2}$
따라서 $\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$$=\overline{\mathrm{RN}}^{2}-2$이다.
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 최댓값과 최솟값은 $\overline{\mathrm{RN}}$의 최댓값과 최솟값에 의하여 결정된다.
$\overline{\mathrm{RN}}$이 최대일 때의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 각각 $(2,\: 0)$, $(0,\: -2)$이므로 $\mathrm{N}(1,\: -1)$
따라서 $\overline{\mathrm{RN}} =\sqrt{(4-1)^{2}+(4+1)^{2}}=\sqrt{34}$
이므로 $\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 최댓값은 $M=(\sqrt{34})^{2}- 2 = 32$
$\overline{\mathrm{RN}}$이 최소일 때의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 각각 $(0,\: 2)$, $(2,\: 0)$이므로 $\mathrm{N}(1,\: 1)$
따라서 $\overline{\mathrm{RN}} =\sqrt{(4-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{18}$ 이므로
$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$의 최솟값은 $m=(\sqrt{18})^{2}- 2 = 16$
이상에서 $M + m = 32+ 16 = 48$