26년 6월 평가원
3. 두 수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{5}(2a_{k}+b_{k}) = 19, \:\sum_{k=1}^{5}(a_{k}+b_{k}) = 10$$ 일 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}a_{k}$의 값은? [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
④
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(2a_{k}+b_{k}) = 19$에서
$\displaystyle 2\sum_{k=1}^{5}a_{k}+\sum_{k=1}^{5}b_{k} = 19$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(a_{k}+b_{k}) = 10$에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_{k}+\sum_{k=1}^{5}b_{k} = 10$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠$\,-\,$㉡을 하면
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}a_{k}=9$
4. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.
$\displaystyle \lim_{x \to -1-}f(x)+\lim_{x \to 1+}f(x)$의 값은? [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $2$
⑤ $1$
6. $\frac{3\pi}{2} \lt \theta \lt 2\pi$인 $\theta$에 대하여 $\cos^{2}\theta = \dfrac{1}{10}$일 때, $\tan \theta$의 값은? [3점]
① $-3$
② $-2$
③ $-1$
④ $2$
⑤ $3$
①
$\cos^{2}\theta = \frac{1}{10}$을
$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$에 대입하면
$\sin^{2}\theta = 1-\frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
$\tan^{2}\theta = \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} = \dfrac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}} = 9$
한편 $\frac{3\pi}{2} \lt \theta \lt 2\pi$일 때 $\tan \theta \lt 0$이므로
$\tan \theta = -3$
7. 함수 $f(x) = x^{3}+ax+9$는 $x = -1$에서 극대이다. 함수 $f(x)$의 극솟값은? (단, $a$는 상수이다.) [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
8. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $$\overline{\mathrm{AB}}=4, \: \overline{\mathrm{BC}}=8,\: \cos A = -\frac{1}{4}$$ 일 때, 선분 $\mathrm{AC}$의 길이는? [3점]
① $\frac{9}{2}$
② $5$
③ $\frac{11}{2}$
④ $6$
⑤ $\frac{13}{2}$
9. 시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 있다. 시각 $t$ ($t \ge 0$)일 때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 속도가 각각 $$v_{1}(t) = t^{2}-t, \: v_{2}(t) = t$$ 이다. 출발한 후 시각 $t = k$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같아질 때, 양수 $k$의 값은? [4점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
③
출발한 후 시각 $t = k$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는
$\begin{align}0+\int_{0}^{k}v_{1}(t)dt &= \int_{0}^{k}(t^{2}-t)dt \\ &= \bigg[ \frac{1}{3}t^3 -\frac{1}{2}t^2 \bigg]_{0}^{k} \\ &= \frac{1}{3}k^3 -\frac{1}{2}k^2\end{align}$
출발한 후 시각 $t = k$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치는
$\begin{align}0+\int_{0}^{k}v_{2}(t)dt &= \int_{0}^{k}tdt \\ &= \bigg[ \frac{1}{2}t^2 \bigg]_{0}^{k} \\ &= \frac{1}{2}k^2\end{align}$
$t = k$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같으므로
$\frac{1}{3}k^3 -\frac{1}{2}k^2 = \frac{1}{2}k^2$
$\frac{1}{3}k^3 -k^2 = 0$
$\frac{1}{3}k^{2}(k -3) = 0$
따라서 양수 $k$의 값은 $3$이다.
10. 두 양수 $a$, $b$가 $$\log_{9}a + \log_{3}b = 2, \: \log_{3}a = 8\log_{9}b$$ 를 만족시킬 때, $\dfrac{a}{b}$의 값은? [4점]
① $1$
② $3$
③ $9$
④ $27$
⑤ $81$
③
주어진 식에서 로그의 밑을 $3$으로 변환하면
$\log_{9}a = \frac{1}{2}\log_{3}a$, $\log_{9}b = \frac{1}{2}\log_{3}b$
이므로
$\frac{1}{2}\log_{3}a + \log_{3}b = 2$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\log_{3}a = 4\log_{3}b$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
$\frac{1}{2}\times 4\log_{3}b + \log_{3}b = 2$
에서 $\log_{3}b = \frac{2}{3}$이고
㉡에서 $\log_{3}a = \frac{8}{3}$
이때
$\log_{3}\frac{a}{b} = \log_{3}a -\log_{3}b = \frac{8}{3} -\frac{2}{3} = 2$
이므로
$\frac{a}{b} = 3^2 = 9$
11. 일차함수 $f(x)$에 대하여
$$\lim_{x \to a}\frac{f(x+2)}{f(x)-3}$$
의 값이 $a = 0$일 때 존재하고 $a = 3$일 때 존재하지 않는다.
$f(4)$의 값은? [4점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
①
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$에서
$x \to 0$일 때 (분모)$ \to 0$이고, 극한값이 존재하므로 (분자)$ \to 0$이어야 한다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x+2) = 0$에서 $f(2) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$에서
함수 $f(x)$가 일차함수이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 3}f(x+2) = f(5) = 0$
이때 $\displaystyle \lim_{x \to 3}x(f(x)-3) \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$의 극한값이 존재하므로 $\displaystyle \lim_{x \to 3}x(f(x)-3) = 0$이어야 한다.
즉, $3(f(3) -3) = 0$에서 $f(3) = 3$ $\cdots\cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $f(x) = 3(x-2)$
따라서 $f(4) = 3 \times 2 = 6$
12. 공비가 양수인 등비수열 $\{ a_n \}$이 $$2a_{1}(a_{1}+a_{3}) = 5a_{2}(a_{1}+a_{2}) = 20$$ 을 만족시킬 때, $a_{1}\times a_{6}$의 값은? [4점]
① $\frac{1}{27}$
② $\frac{1}{9}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $1$
⑤ $3$
①
등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하면 $r \gt 0$이고
$a = 0$이면 주어진 식을 만족시키지 못하므로 $a \ne 0$
$2a_{1}(a_{1}+a_{3}) = 5a_{2}(a_{1}+a_{2})$에서
$2a(a+ar^{2}) = 5ar(a+ar)$
$2a^{2}(1+r^{2}) = 5a^{2}r(1+r)$
$2+2r^{2} = 5+5r^{2}$
$3r^{2}+5r-2 = 0$
$(3r-1)(r+2) = 0$
$r \gt 0$이므로 $r = \frac{1}{3}$
$2a(a+ar^{2}) = 20$, $a^{2}(1+r^{2}) = 10$에서
$a^{2} \times (1+\frac{1}{9}) = 10$, $a^{2} = 9$
따라서 $a_{1}\times a_{6} = a^{2}r^{5} = 9\times (\frac{1}{3})^{5}$ $= \dfrac{1}{27}$
13. 두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \gt g(x)$를 만족시키고, $f(1) = g(1)+1$이다.
양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 두 직선 $x = 0$, $x = t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때,
$$S'(t) = t^{2}-2t +a$$
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$는 상수이다.) [4점]
ㄱ. $a = 1$
ㄴ. $S(3) = 6$
ㄷ. 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 두 직선 $x = -2$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S(4)$의 값과 같다.
① ㄴ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ
⑤
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \gt g(x)$이고 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 두 직선 $x = 0$, $x = t$로 둘러 싸인 도형의 넓이가 $S(t)$이므로
$\begin{align}S(t) &= \int_{0}^{t} |f(x)-g(x)|dx \\ &= \int_{0}^{t} (f(x)-g(x))dx \end{align}$
ㄱ.
$S'(t) = f(t)-g(t) = t^{2} -2t +a$
$f(1) = g(1) +1$에서 $f(1) -g(1) = 1$이므로
$S'(1) = f(1) -g(1) = 1 -2+a$
$1 = a-1$
$a = 2$ (거짓)
ㄴ.
$\begin{align}S(3) &= \int_{0}^{3} (f(x)-g(x))dx \\ &= \int_{0}^{3} (x^{2}-2x+2)dx \\
&= \bigg[ \frac{1}{3}x^{3} -x^{2} +2x \bigg]_{0}^{3} \\ & = 6\end{align}$
(참)
ㄷ.
$h(x) = f(x) -g(x)$라 하면 $h(x) = x^{2} -2x +2 = (x-1)^{2}+1$이므로 곡선 $y = h(x)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. $\cdots\cdots$ ㉠
$S(4)$의 값은 곡선 $y = h(x)$와 두 직선 $x = 0$, $x = 4$로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 ㉠에 의해 곡선 $y = h(x)$와 두 직선 $x = -2$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이, 즉 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 두 직선 $x = -2$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
14. 양수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $0 \le x \le 2$일 때 $x$에 대한 방정식 $$\bigg( \cos (b\pi x)-\frac{1}{2} \bigg)\bigg( a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2} \bigg) = 0$$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $15$이다. $a+b$의 값은? [4점]
① $6$
② $\frac{13}{2}$
③ $7$
④ $\frac{15}{2}$
⑤ $8$
③
$(\cos (b\pi x)-\frac{1}{2})(a\cos (b\pi x)+\frac{a+2}{2}) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
방정식 ㉠에서
$\cos (b\pi x) = \frac{1}{2}$ 또는 $\cos (b\pi x) = -(\frac{1}{2}+\frac{a}{2})$
함수 $y = \cos (b\pi x)$의 주기는 $\frac{2\pi}{b\pi} = \frac{2}{b}$이고,
$0 \le x \le \frac{2}{b}$에서 함수 $y = \cos (b\pi x)$의 그래프는 그림과 같다. 
$b$가 자연수이므로 $0 \le x \le 2$에서 함수 $y = \cos (b\pi x)$의 주기가 $b$번 반복됨을 알 수 있고, $a \gt 0$이므로 $a$의 값의 범위에 따라 조건을 만족시키는 자연수 $b$의 값을 구하면 다음과 같다.
(ⅰ) $a \gt 0$일 때,
$\frac{1}{2} \lt \frac{1}{2}+\frac{a}{2} \lt 1$이므로 $0 \le x \le \frac{2}{b}$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다.
그러므로 $0 \le x \le 2$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $4b$이다.
그런데, $4b = 15$를 만족하는 자연수 $b$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅱ) $a = 2$일 때,
$\frac{1}{2}+\frac{a}{2} = 1$이므로 $0 \le x \le \frac{2}{b}$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다.
그러므로 $0 \le x \le 2$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $3b$이다.
즉, $3b = 15$에서 $b = 5$
(ⅲ) $0 \lt a \lt 2$일 때
$\frac{1}{2}+\frac{a}{2} \gt 1$이므로 $0 \le x \le \frac{2}{b}$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.
그러므로 $0 \le x \le 2$에서 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수는 $2b$이다.
그런데, $2b = 15$를 만족하는 자연수 $b$의 값은 존재하지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $a = 2$, $b = 5$
따라서 $a+b = 2+5 = 7$
15. 상수항이 $0$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle \int_{p}^{p+3} |f(x)|dx \ne \bigg| \int_{p}^{p+3} f(x)dx \bigg|$가 되도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 범위는 $0 \lt p \lt 3$이다.
(나) $\displaystyle \int_{0}^{3} |f(x)+q|dx \ne \bigg| \int_{0}^{3} (f(x)+q)dx \bigg|$가 되도록 하는 모든 실수 $q$의 값의 범위는 $0 \lt q \lt 1$이다.
$f(6)$의 값은? [4점]
① $18$
② $21$
③ $24$
④ $27$
⑤ $30$
④
함수 $f(x)$가 $\int_{a}^{b} |f(x)|dx = \big| \int_{a}^{b} f(x)dx \big|$가 성립하려면 닫힌 구간 $[a, b]$에서 함수 $f(x)$는 $f(x) \ge 0$이거나 $f(x) \le 0$이어야 한다.
삼차함수 $f(x)$의 상수항이 $0$이므로
$f(0) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (가)에서 함수 $f(x)$는 열린 구간 $(p, p+3)$에서 부호가 바뀌어야 한다.
즉 $f(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서 부호가 반대인 실수 $a$가 열린구간 $(p, p+3)$에 존재하여야 한다.
$p \lt a \lt p+3$, $a -3 \lt p \lt a$
이때 조건 (가)를 만족시키는 실수 $p$의 범위가 $0 \lt p \lt 3$이므로 두 범위 $a -3 \lt p \lt a$, $0 \lt p \lt 3$은 일치한다.
$a -3 = 0$에서 $a = 3$
즉 $f(3) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉡
한편 $x = 0$에서 함수 $y = f(x)$의 그래프가 접하지 않는다고 하자.
즉 $0$이 닫힌구간 $[p, p+3]$에 포함된다고 하면 $p \lt a \lt p+3$에서 $-3 \le p \le 0$이어야 하므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
즉 함수 $y = f(x)$의 그래프는 $x = 0$인 점 에서 $x$축과 접해야 한다.
$f'(0) = 0$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉠ ㉡ ㉢에서 함수 $f(x)$를 $f(x) ax^{2}(x-3)$ (단, $a$는 상수)라 놓을 수 있다.
또한 조건 (나)에서 함수 $f(x)+q$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 부호가 바뀌어야 한다.
$\begin{align} f'(x) &= 2ax(x-3) + ax^2 \\ &= ax\{ 2(x-3)+x \} \\ &= 3ax(x-2) \end{align}$
이므로 $a$의 부호에 따라 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
(ⅰ) $a \gt 0$일 때, 
함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $f(x) \le 0$이다.
(ⅱ) $a \lt 0$일 때, 
함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[0, 3]$에서 $f(x) \ge 0$이고 $0 \lt q \lt 1$이므로 $f(x)+q$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 $f(x) + q \gt 0$이 되어 조건 (나)를 만족시키지 못한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a \gt 0$
닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x) = ax^{2}(x-3)$는 $x = 2$에서 극소이자 최솟값을 갖고
$f(2) = a \times 2^{2}\times (2-3) = -4a$이므로
$-4a \le f(x) \le 0$, $-4a+q \le f(x)+q \le q$
함수 $f(x)+q$는 닫힌구간 $[0, 3]$에서 부호가 바뀌므로
$-4a+q \lt 0$, $q \gt 0$
즉 $0 \lt q \lt 4a$에서 $4a = 1$, $a = \frac{1}{4}$
따라서 $f(x) = \frac{1}{4}x^{2}(x-3)$이므로
$f(6) = \frac{1}{4}\times 6^{2}\times 3 = 27$
20. 그림과 같이 $1$ 보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x) = b^{x}$과 $g(x) = -\log_{b}x$의 그래프가 제$1$사분면에서 만나는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(\alpha, \beta)$라 하자.
다음은 $\alpha \beta^{3} = 1$일 때, 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha, \beta)$는 두 곡선
$y = f(x)$, $y = g(x)$
위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가
$\beta = b^{\alpha}$, $\beta = -\log_{b}\alpha$
를 만족시킨다.
$\alpha \beta^{3} = 1$이고 $\alpha = \log_{b}\beta$, $\beta = -\log_{b}\alpha$이므로
$3\alpha -\beta = 3\log_{b}\beta + \log_{b}\alpha = \log_{b}(\alpha\beta^{3}) = 0$
이다. 그러므로 $m = \frac{\beta}{\alpha} = \fbox{$\textbf{ (가) }$}$이다.
$\beta^{4} = m\alpha\beta^{3} = m$이므로 $\beta = \fbox{$\textbf{ (나) }$}$이다.
$b = \alpha^{-\frac{1}{\beta}}$이고 $\alpha = \frac{\beta}{m}$이므로
$g(m) = -\log_{b}m = \frac{\beta}{\log_{m}\alpha} = \frac{\beta}{-1+\log_{m}\beta} = \fbox{$\textbf{ (다) }$}$
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$이라 할 때, $(p\times q\times r)^2$의 값을 구하시오. [4점]
$48$
제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha, \beta)$는 두 곡선
$y = f(x)$, $y = g(x)$
위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가
$\beta = b^{\alpha}$, $\beta = -\log_{b}\alpha$
를 만족시킨다.
$\alpha \beta^{3} = 1$이고 $\alpha = \log_{b}\beta$, $\beta = -\log_{b}\alpha$이므로
$3\alpha -\beta = 3\log_{b}\beta + \log_{b}\alpha = \log_{b}(\alpha\beta^{3}) = 0$
이다.
이때 $3\alpha -\beta = 0$에서 $\beta = 3\alpha$이다.
그러므로 $m = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{3\alpha}{\alpha} = \fbox{ 3 }$이다.
$\beta^{4} = m\alpha\beta^{3} = m$이므로
$\beta^{4} = 3$에서 $\beta = \fbox{ $3^{\frac{1}{4}}$ }$이다.
$b = \alpha^{-\frac{1}{\beta}}$이고 $\alpha = \frac{\beta}{m}$이므로
$g(m) = -\log_{b}m = \frac{\beta}{\log_{m}\alpha} = \frac{\beta}{-1+\log_{m}\beta}$
$= \frac{3^{\frac{1}{4}}}{-1+\log_{3}3^{\frac{1}{4}}} = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{-1+\frac{1}{4}} = \fbox{ $-4\times 3^{-\frac{3}{4}}$ }$
이다.
$p = 3$, $q = 3^{\frac{1}{4}}$, $r = -4\times 3^{-\frac{3}{4}}$이므로
$\begin{align}(p\times q\times r)^{2} &= \big\{ 3\times 3^{\frac{1}{4}}\times (-4\times 3^{-\frac{3}{4}}) \big\}^{2} \\ &= (-4\times 3^{\frac{1}{2}})^{2} \\ &= 48 \end{align}$
21. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 있다.
실수$t$에 대하여
$$f(\alpha) = f'(t) -4t^{2} +4$$
를 만족시키는 실수 $\alpha$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t = 3$에서만 불연속이고 $g(3) = 1$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [4점]
$11$
삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 함수 $f(x)$를
$f(x) = x^{3} +ax^{2} +bx +c$
로 놓을 수 있다.
이때 문제에서 주어진 등식의 우변을 $h(t)$라 하면
$\begin{align}h(t) &= f'(t) -4t^{2} +4 \\ &= (3t^{2} +2at +b) -4t^{2} +4 \\ &= -t^{2} +2at +b +4 \end{align}$
이고, 함수 $y = h(t)$의 그래프는 직선 $t = a$ 에 대하여 대칭인 위로 볼록한 포물선 모양이다.
삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하면 방정식 $f(\alpha) = h(t)$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 최댓값 $g(t)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 즉, 삼차함수 $f(x)$는 극댓값과 극솟값을 갖는다.
함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$로 양수이므로 함수 $g(t)$가 $t = t_1$에서 불연속인 경우는 $h(t_{1})$이 함수 $f(x)$의 극솟값인 경우이다.
$f(x_{1}) = f(x_{2}) = h(t_{1})$ ($x_1 \lt x_2$)라 할 때, 
[그림 1]과 같이 $t_1 \lt a$이면
$\displaystyle \lim_{t \to t_{1}-}g(t) = x_1$, $\displaystyle \lim_{t \to t_{1}+}g(t) = x_2$, $g(t_{1}) = x_2$
이므로 함수 $g(t)$는 $t = t_1$에서 불연속이다. 
[그림 2]와 같이 $t_1 \gt a$이면
$\displaystyle \lim_{t \to t_{1}+}g(t) = x_1$, $\displaystyle \lim_{t \to t_{1}-}g(t) = x_2$, $g(t_{1}) = x_2$
이므로 함수 $g(t)$는 $t = t_1$에서 불연속이다.
이때 함수 $h(t)$는 직선 $t = a$에 대하여 대칭이므로 만약 $a \ne 3$이면 함수 $g(t)$는 $t = 3$과 $t = 2a -3$에서 불연속이다.
문제에서 함수 $g(t)$는 $t = 3$에서만 불연속이므로 [그림 3]과 같이 $a = 3$이어야
하고, $h(3)$이 함수 $f(x)$의 극솟값과 같아야 한다.
이때 $f(x_{1}) = f(x_{2}) = h(3)$ ($x_1 \lt x_2$)라 하면
$\displaystyle \lim_{t \to 3-}g(t) = x_1$, $\displaystyle \lim_{t \to 3+}g(t) = x_2$, $g(3) = x_2$
로 실제로 함수 $g(t)$는 $t = 3$에서만 불연속이다.
$g(3) = 1$이므로 $x_2 = 1$
$f(x)$가 $x = 1$에서 극솟값을 가지므로
$f'(1) = 3 +2a + b = 9 + b = 0$, $b = -9$
$f(1) = h(3)$이므로
$f(1) = 1 +a +b +c = 1 +3 -9 +c = c -5$
$h(3) = -9 +6a +b +4 = -9 +18 -9 +4 = 4$
에서 $c -5 = 4$, $c = 9$
따라서 $f(x) = x^{3} +3x^{2} -9x +9$이므로
$f(2) = 8 +12 -18 +9 = 11$
22. 수열 $\{ a_n \}$은 $a_1 = 1$, $a_3 = 4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{2n} = a_{n}+1, \:a_{4n+3} = a_{4n+1} = a_{n}+4$$ 를 만족시킨다. $a_{k} = 10$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수를 구하시오. [4점]
$32$
$a_{32} = a_{16}+1 = 6$, $a_{64} = a_{32}+1 = 7$, $a_{128} = a_{64}+1 = 8$, $\cdots$
$n \ge 17$이고 $n = 32$일 때 $a_{n} \gt 6$이다.
(ⅰ) $k$가 홀수일 때
$k$는 $4n+1$ 또는 $4n+3$의 꼴이다.
$a_n = 6$인 $n$의 값은
$9$, $10$, $11$, $12$, $14$, $32$
의 $6$개이고 이때 각각의 $n$ 마다 $a_{4n+3} = a_{4n+1} = 10$이다.
따라서 (ⅰ)에서 구하는 $k$의 개수는
$6 \times 2 = 12$
(ⅱ) $k$가 짝수일 때
ⓐ $k = 4m$이면
$a_{k} = a_{4m} = a_{2m}+1 = a_{m}+1+1 = a_{m}+2$
$a_{m}+2 = 10$에서 $a_{m} = 8$
$a_{m} = 8$인 $m$의 개수를 구해보자.
ⓐ-① $m$이 홀수일 때
$m = 4n+1$ 또는 $m = 4n+3$의 꼴이다.
$a_n = 4$인 $n$의 값은 $3$, $8$의 $2$개이고 이때 각각의 $n$ 마다 $a_{4n+1} = a_{4n+3} = 8$이다.
즉 $a_{m} = 8$인 홀수 $m$의 개수는 $2 \times 2 = 4$
ⓐ-② $m$이 짝수일 때
$m = 4n$이면
$a_{m} = a_{4n} = a_{2n}+1 = a_{n}+2 = 8$에서
$a_{n} = 6$
$a_{n} = 6$인 $n$의 개수는 $6$
$m = 8n+2$ 또는 $m = 8n+6$이면
$a_{8n+2} = a_{4n+1}+1 = a_{n}+4+1 = a_{n}+5$,
$a_{8n+6} = a_{4n+3}+1 = a_{n}+4+1 = a_{n}+5$
이다.
$a_{n}+5 = 8$에서 $a_{n} = 3$이고,
$a_{n} = 3$인 $n$의 개수는 $1$
즉 $a_{m} = 8$인 짝수 $m$의 개수는
$6+2\times 1 = 8$
ⓐ에서 구하는 $k$의 개수는 $4+8 = 12$
ⓑ $k = 8n+2$ 또는 $k = 8n+6$이면
$a_{8n+2} = a_{4n+1}+1 = a_{n}+4+1 = a_{n}+5$,
$a_{8n+6} = a_{4n+3}+1 = a_{n}+4+1 = a_{n}+5$
이다.
$a_{n}+5 = 10$에서 $a_n = 5$이고,
$a_n = 5$인 $n$의 값은 $5$, $6$, $7$, $16$의 $4$개다.
ⓑ에서 구하는 $k$의 개수는 $2 \times 4 = 8$
따라서 (ⅱ)에서 구하는 $k$의 개수는 $12 + 8 = 20$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 $k$의 개수는
$12 + 20 = 32$
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $$\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{3}, \:\mathrm{P}(A \cap B^{c}) = \frac{3}{8}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A^{c})$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{4}$
② $\frac{7}{24}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{3}{8}$
⑤ $\frac{5}{12}$
25. 다항식 $(x+4)^{6}(3x+2)$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [3점]
① $74$
② $78$
③ $82$
④ $86$
⑤ $90$
①
$(x+4)^{6}$의 전개식의 일반항은
${}_{6}\mathrm{C}_{r}\times x^{r}\times 4^{6-r}$ (단, $r = 0, 1, 2, \cdots, 6$)
(ⅰ) $(x+4)^{6}$의 전개식에서 $x^5$항과 $3x+2$에서 $3x$를 곱하는 경우
$r = 5$인 경우이므로
${}_{6}\mathrm{C}_{5}\times x^{5}\times 4^{6-5} \times 3x = 6\times 4\times 3\times x^6 = 72x^6$
(ⅱ) $(x+4)^{6}$의 전개식에서 $x^6$항과 $3x+2$에서 $2$를 곱하는 경우
$r=6$인 경우이므로
${}_{6}\mathrm{C}_{6}\times x^{6}\times 4^{6-6} \times 2 = 1\times 1\times 2\times x^6 = 2x^6$
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 계수는 $72+2 = 74$
26. 주머니에 $1$부터 $10$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $4$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 네 자연수의 곱이 $5$의 배수일 확률은? [3점]
① $\frac{2}{5}$
② $\frac{7}{15}$
③ $\frac{8}{15}$
④ $\frac{3}{5}$
⑤ $\frac{2}{3}$
⑤
주머니의 $10$개의 공에서 임의로 $4$개를 택하는 경우의 수는
${}_{10}\mathrm{C}_{4} = \frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1} = 210$
꺼낸 공에 적혀 있는 네 자연수의 곱이 $5$의 배수가 되려면 $4$개의 공에 $5$나 $10$이 적힌 공이 적어도 한 개 있어야 한다.
꺼낸 $4$개의 공에 적혀 있는 네 자연수의 곱이 $5$의 배수인 사건을 $A$라 하면 $A$의 여사건은 $4$개의 공에 $5$와 $10$이 적힌 공이 모두 포함되어 있지 않은 경우이다.
즉, $5$와 $10$이 적힌 공을 제외한 $8$개의 공에서 $4$개의 공을 꺼내는 사건이므로
그 경우의 수는
${}_{8}\mathrm{C}_{4} = \frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1} = 70$
이고
$\mathrm{P}(A^{c}) = \frac{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}} = \frac{70}{210} = \frac{1}{3}$
따라서 $\mathrm{P}(A) = 1-\mathrm{P}(A^{c}) = 1-\frac{1}{3}$ $= \dfrac{2}{3}$
27. 두 집합 $X = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$, $Y = \{ 1, 2, 3 \}$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$ 중 $f(1) \times f(2) \ne 4$를 만족시키는 함수 $f$의 개수는? [3점]
① $189$
② $198$
③ $207$
④ $216$
⑤ $225$
④
주어진 함수에서 $f(1) \times f(2) = 4$를 만족시키는 경우는 $f(1) = f(2) = 2$인 경우뿐이므로 구하는 함수의 개수는 전체 함수의 개수에서 $f(1) \times f(2) = 2$를 만족시키는 함수의 개수를 빼면 된다.
집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수의 개수는
${}_{3}\Pi_{5} = 3^{5} = 243$
이 중 $f(1) \times f(2) = 2$를 만족시키는 함수의 개수는 집합 $\{ 3, 4, 5 \}$에서 집합 $\{ 1, 2, 3 \}$으로의 함수의 개수와 같으므로
${}_{3}\Pi_{3} = 3^{3} = 27$
따라서 구하는 함수의 개수는 $243-27 = 216$
28. 앞면에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이 하나씩 적혀 있는 카드 $6$장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다. 이 $6$장의 카드가 다음과 같이 놓여 있다.
숫자 $1$, $6$이 적혀 있는 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고,
숫자 $2$, $3$, $4$, $5$가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다.
이 $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k$가 홀수이면 $k$ 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고,
$k$가 짝수이면 $k$ 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 $6$장의 카드가 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점]
① $\frac{19}{162}$
② $\frac{13}{108}$
③ $\frac{10}{81}$
④ $\frac{41}{324}$
⑤ $\frac{7}{54}$
③
주사위를 $4$번 던질 때 나오는 경우의 수는 $6^4$이다.
$4$번의 시행에서 $1$, $1$은 홀수 번 뒤집고, $2$, $3$, $4$, $5$는 뒤집지 않거나 짝수 번 뒤집어야 모두 앞면이 보이게 된다.
$1$은 주사위의 눈의 수가 홀수일 때 뒤집고, $6$은 주사위의 눈의 수가 짝수일 때 뒤집으므로 홀수의 눈이 홀수 번, 짝수의 눈이 홀수 번 나와야 한다.
또 $1$과 $6$이 한 번씩 나오면 모두 앞면이 되고, $2$와 $5$가 한 번씩 나오면 모두 앞
면이 되므로 이 경우 나머지 $2$번의 시행에서 같은 수가 나오면 된다.
$1$과 $6$이 한 번씩 나오지 않거나 $2$와 $5$가 한 번씩 나오지 않으면 모두 다른 수
가 나와야 한다.
(i) $4$번의 시행에서 $1$과 $6$만 나오거나 $2$와 $5$만 나오는 경우
$(1, 1, 1, 6)$, $(1, 6, 6, 6)$, $(2, 2, 2, 5)$, $(2, 5, 5, 5)$
와 같은 수로 구성이 되어있는 경우이므로 이 경우의 수는
$\frac{4!}{3!}\times 4 = 16$
(ii) $4$번의 시행에서 $1$과 $6$이 한 번씩 나오거나 $2$와 $5$가 한 번씩 나오고 다른
수 $1$개가 $2$번 나오는 경우
$(1, 6, 2, 2)$, $(1, 6, 3, 3)$, $(1, 6, 4, 4)$, $(1, 6, 5, 5)$,
$(2, 5, 1, 1)$, $(2, 5, 3, 3)$, $(2, 5, 4, 4)$, $(2, 5, 6, 6)$
과 같은 수로 구성이 되어 있는 경우이므로 이 경우의 수는
$\frac{4!}{2!}\times 8 = 96$
(iii) $1$과 $6$이 한 번씩 나오지 않거나 $2$와 $5$가 한 번씩 나오지 않는 경우
같은 수가 나오지 않는 경우이고, 홀수 $1$, $3$, $5$가 한 번씩 나오면 짝수 $4$가 나와야 하고, 짝수 $2$, $4$, $6$이 한 번씩 나오면 홀수 $3$이 나와야 한다.
즉 $(1, 3, 5, 4)$, $(2, 4, 6, 3)$과 같은 수로 구성이 되어 있는 경우이므로 이 경우의 수는
$4!\times 2 = 48$
(i), (ii), (iii)에서 구하는 확률은
$\frac{16+96+48}{6^4} = \frac{160}{6^4} = \dfrac{10}{81}$
29. 서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 $15$일 확률은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$98$
서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수인 사건을 $A$, 눈의 수의 합이 $15$인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B | A)$이다.
다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 다섯 개의 눈이 모두 홀수인 경우이고 한 번 던졌을 때 홀수가 나오는 경우의 수가 $3$이므로
$\mathrm{P}(A) = (\frac{3}{6})^{5}$
사건 $A \cap B$는 다섯 개의 눈의 수가 모두 홀수이고, 합이 $15$인 경우이므로 그 경
우의 수는
$3$, $3$, $3$, $3$, $3$을 일렬로 나열하는 경우
또는
$1$, $1$, $3$, $5$, $5$를 일렬로 나열하는 경우
또는
$1$, $3$, $3$, $3$, $5$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다.
(ⅰ) $3$, $3$, $3$, $3$, $3$을 일렬로 나열하는 경우의 수는
$1$
(ⅱ) $1$, $1$, $3$, $5$, $5$를 일렬로 나열하는 경우의 수는
$\frac{5!}{2!2!} = 5\times 3\times 2 = 30$
(ⅲ) $1$, $3$, $3$, $3$, $5$를 일렬로 나열하는 경우의 수는
$\frac{5!}{3!} = 5\times 4 = 20$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{51}{6^5}$
따라서
$\mathrm{P}(B | A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \dfrac{\frac{51}{6^5}}{(\frac{3}{6})^{5}}$ $= \dfrac{17}{81}$
에서 $p = 81$, $q = 17$이므로
$p+q = 98$
30. 노란색 공 $4$개, 보라색 공 $4$개, 검은색 공 $4$개가 있다.
이 $12$개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]
$780$
검은 공을 먼저 나열하고 검은 공 사이나 양 끝에 노란색 공이나 보라색 공을 한 가지 색의 공만 오도록 나열하면 된다.
즉
(A) 검 (B) 검 (C) 검 (D) 검 (E)
위의 배열에서 A, B, C, D, E의 자리에 노란색 공 또는 보라색 공이 한 가지 색만 있도록 나열하는 경우이다.
노란색 공이 들어갈 자리에 따라 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) 노란색 공을 $1$자리에 나열하는 경우
노란색 공이 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{C}_{1} = 5$
나머지 $4$자리에 보라색 공을 나열하는 경우의 수는
${}_{4}\mathrm{H}_{4} = {}_{7}\mathrm{C}_{4} = {}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35$
이때의 경우의 수는
$5 \times 35 = 175$
(ⅱ) 노란색 공을 $2$자리에 나열하는 경우
노란색 공이 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10$
선택된 $2$자리에 먼저 노란색 공을 하나씩 나열하고 나머지 $2$개를 나열하는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{2} = {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3$
나머지 $3$자리에 보라색 공을 나열하는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{2} = 15$
이때의 경우의 수는
$10\times 3\times 15 =450$
(ⅲ) 노란색 공을 $3$자리에 나열하는 경우
노란색 공이 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10$
선택된 자리에 먼저 노란색 공을 하나씩 나열하고 나머지 $1$개를 나열하는 경우의 수는
${}_{3}\mathrm{H}_{1} = {}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3$
나머지 $2$자리에 보라색 공을 나열하는 경우의 수는
${}_{2}\mathrm{H}_{4} = {}_{5}\mathrm{C}_{4} = 5$
이때의 경우의 수는
$10\times 3\times 5 =150$
(ⅳ) 노란색 공을 $4$자리에 나열하는 경우
노란색 공이 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수는
${}_{5}\mathrm{C}_{4} = 5$
선택된 $4$자리에 노란색 공을 하나씩 나열하는 경우의 수는
$1$
나머지 $1$자리에 보라색 공을 나열하는 경우의 수는
$1$
이때의 경우의 수는
$5\times 1\times 1 =5$
(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는
$175 + 450 + 150 + 5 = 780$
수학 영역(미적분)
23. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4\times 5^{n}+2^{n+1}}{5^{n}+2^{n}}$의 값은? [2점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
24. 곡선 $2x+\sqrt{y} = xy$ 위의 점 $(-1, 1)$에서의 접선의 기울기는? [3점]
① $-\frac{1}{3}$
② $-\frac{1}{2}$
③ $-\frac{2}{3}$
④ $-\frac{5}{6}$
⑤ $-1$
③
$2x+\sqrt{y} = xy$에서 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$2+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = y+x\frac{dy}{dx}$
$(x -\frac{1}{2\sqrt{y}})\frac{dy}{dx} = 2 -y$
$\frac{dy}{dx} = \dfrac{2 -y}{x -\frac{1}{2\sqrt{y}}}$ (단, $x -\frac{1}{2\sqrt{y}} \ne 0$)
곡선 $2x+\sqrt{y} = xy$ 위의 점 $(-1, 1)$에서의 접선의 기울기는 $x = -1$, $y = 1$일 때의 $\frac{dy}{dx}$의 값이므로 구하는 값은
$\dfrac{2 -1}{-1 -\frac{1}{2\sqrt{1}}} = -\dfrac{2}{3}$
25. 공차가 $3$인 두 등차수열 $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$의 첫째항이 각각 $4$, $7$일 때, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}b_n}$의 값은? [3점]
① $\frac{1}{24}$
② $\frac{1}{12}$
③ $\frac{1}{8}$
④ $\frac{1}{6}$
⑤ $\frac{5}{24}$
②
등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항이 $4$, 공차가 $3$이므로
$a_n = 4+3(n-1) = 3n+1$
등차수열 $\{ b_n \}$의 첫째항이 $7$, 공차가 $3$이므로
$b_n = 7+3(n-1) = 3n+4$
따라서
$\begin{align} \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}b_n} &= \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3}\sum_{k = 1}^{n}\bigg(\frac{1}{3k+1}-\frac{1}{3k+4} \bigg) \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{3n+4} \bigg) \\ &= \frac{1}{12} \end{align}$
26. 곡선 $y = \sin x$ ($0 \lt x \lt \pi$)와 직선 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이 만나는 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 곡선 $y = \sin x$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 곡선 $y = \sin x$ 위의 점 $\mathrm{B}$에서의 접선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\tan \theta$의 값은? [3점]
① $\frac{2}{3}$
② $\frac{5}{6}$
③ $1$
④ $\frac{7}{6}$
⑤ $\frac{4}{3}$
⑤
방정식 $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ($0 \lt x \lt \pi$)의 해는
$x = \frac{\pi}{3}$ 또는 $x = \frac{2}{3}\pi$
이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 각각 $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2}{3}\pi$ 또는 $\frac{2}{3}\pi$, $\frac{\pi}{3}$이다.
두 경우 모두 $\theta$의 값이 같으므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를
$\mathrm{A}(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $\mathrm{B}(\frac{2}{3}\pi, \frac{\sqrt{3}}{2})$
라 하자.
$y = \sin x$에서 $y’ = \cos x$이므로 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 기울기는
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
점 $\mathrm{B}$에서의 접선의 기울기는
$\cos \frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$
좌표평면에서 두 직선의 기울기가 각각 $m$, $m’$일 때, 두 직선이 이루는 예각의
크기 $\alpha$에 대하여
$\tan \alpha = \bigg| \dfrac{m -m’}{1+m\times m’} \bigg|$
이므로
구하는 값은
$\tan \theta = \bigg| \dfrac{\frac{1}{2} -(-\frac{1}{2})}{1+\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})} \bigg|$ $= \bigg| \dfrac{1}{1-\frac{1}{4}} \bigg|$ $= \dfrac{4}{3}$
27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다.
시각 $t$ $\bigg( \dfrac{\pi}{2} \lt t \lt \dfrac{3\pi}{2} \bigg)$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치 $(x, y)$가
$$x = at+ \tan t, \:y = 1+ \sec t$$
이다. 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t = \dfrac{3\pi}{4}$에서의 속력이 $t = \pi$에서의 속력과 같을 때, 실수 $a$의 값은? [3점]
① $-\frac{5}{2}$
② $-\frac{3}{2}$
③ $-\frac{1}{2}$
④ $\frac{1}{2}$
⑤ $\frac{3}{2}$
①
시각 $t$ $( \frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{3\pi}{2} )$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치 $(x, y)$가
$x = at+ \tan t$, $y = 1+ \sec t$
이므로
$\frac{dx}{dt} = a + \sec^{2}t$, $\frac{dy}{dt} = \sec t \tan t$
이다.
$t = \frac{3\pi}{4}$일 때
$\frac{dx}{dt} = a + (-\sqrt{2})^{2} = a+2$,
$\frac{dy}{dt} = (-\sqrt{2})\times (-1) = \sqrt{2}$
이므로
$t = \frac{3\pi}{4}$일 때의 속력은
$\sqrt{(a+2)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{a^{2}+4a+6}$ $\cdots\cdots$ ㉠
$t = \pi$일 때
$\frac{dx}{dt} = a + (-1)^{2} = a+1$,
$\frac{dy}{dt} = (-1)\times 0 = 0$
이므로
$t = \pi$일 때의 속력은
$\sqrt{(a+1)^{2}+0^{2}} = \sqrt{a^{2}+2a+1}$ $\cdots\cdots$ ㉡
두 시각 $t = \frac{3\pi}{4}$, $t = \pi$에서의 속력이 같으므로 ㉠, ㉡에서
$\sqrt{a^{2}+4a+6} = \sqrt{a^{2}+2a+1}$
$a^{2}+4a+6 = a^{2}+2a+1$
$2a = -5$, $a = -\dfrac{5}{2}$
28. 좌표평면에서 양수 $t$에 대하여 직선 $y = t$가 두 곡선 $y = e^{2x}-e^{-x}+1$, $y = e^{2x}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = e^{2x}$과 만나는 점의 $y$좌표를 $f(t)$, 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y = e^{2x}-e^{-x}+1$과 만나는 점의 $y$좌표를 $g(t)$라 할 때, 두 함수 $f(t)$, $g(t)$는 구간 $(0, \infty)$에서 미분가능한 함수이다.
$\displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}$의 값은? [4점]
① $1$
② $3$
③ $5$
④ $7$
⑤ $9$
③
점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $p(t)$라 하면
$e^{2p(t)}-e^{-p(t)}+1 = t$ $\cdots\cdots$ ㉠
양변을 $t$에 대하여 미분하면
$2p'(t)e^{2p(t)}+p'(t)e^{-p(t)} = 1$
$p'(t) = \frac{1}{2e^{2p(t)}+e^{-p(t)}}$
$f(t) = e^{2p(t)}$에서
$f'(t) = 2p'(t)e^{2p(t)}$
$= \frac{2e^{2p(t)}}{2e^{2p(t)}+e^{-p(t)}}$ $\cdots\cdots$ ㉡
점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $q(t)$라 하면
$e^{2q(t)} = t$
$e^{-q(t)} = t^{-\frac{1}{2}}$이므로
$g(t) = e^{2q(t)}-e^{-q(t)}+1$에서
$g(t) = t-t^{-\frac{1}{2}}+1$
$g'(t) = 1+\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉠의 양변에 $t = 1$을 대입하면
$e^{2p(1)}-e^{-p(1)}+1 = 1$, $(e^{p(1)})^{3} = 1$
$e^{p(1)} = 1$
㉡에서
$f'(1) = = \frac{2e^{2p(1)}}{2e^{2p(1)}+e^{-p(1)}} = \frac{2}{3}$
㉢에서
$g'(1) = 1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}$
$\displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1} = \lim_{t \to 1}\frac{(9f'(t)-6)-(4g'(t)-6)}{t-1}$
$t \to 1$일 때, $p(t) \to 0$이고
㉠에서 $t-1 = e^{2p(t)}-e^{-p(t)}$이므로
㉡에 의하여
$\displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{9f'(t)-6}{t-1}$
$= \displaystyle \lim_{p(t) \to 0}\frac{\frac{9\times 2e^{2p(t)}}{2e^{2p(t)}+e^{-p(t)}}-6}{2e^{2p(t)}-e^{-p(t)}}$
$= \displaystyle \lim_{p(t) \to 0}\frac{6(e^{2p(t)}-e^{-p(t)})}{(e^{2p(t)}-e^{-p(t)})(2e^{2p(t)}+e^{-p(t)})}$
$= \displaystyle \lim_{p(t) \to 0}\frac{6}{2e^{2p(t)}+e^{-p(t)}}$
$= \dfrac{6}{2+1} = 2$
㉢에서
$g”(t) = -\frac{3}{4}t^{-\frac{5}{2}}$이므로
$\displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{4g'(t)-6}{t-1}$
$= \displaystyle 4\lim_{t \to 1}\frac{g'(t)-\frac{3}{2}}{t-1}$
$= \displaystyle 4\lim_{t \to 1}\frac{g'(t)-g'(1)}{t-1}$
$= 4g”(1)$
$= 4 \times (-\frac{3}{4}) = -3$
따라서
$\displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}$
$= \displaystyle \lim_{t \to 1}\frac{9f'(t)-6}{t-1} -\lim_{t \to 1}\frac{4g'(t)-6}{t-1}$
$= 2 -(-3) = 5$
29. 모든 항이 정수인 등차수열 $\{ a_n \}$과 모든 항이 양수인 등비수열 $\{ b_n \}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_1 = b_1$, $a_4 = b_2$
(나) 어떤 자연수 $k$에 대하여 $a_k = b_3$이다.
급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 수렴할 때, $\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$의 최솟값을 $m$이라 하자. $10 \times m$의 값을 구하시오. [4점]
$54$
등차수열 $\{ a_n \}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$ ($a$, $d$는 정수)라 하자.
등비수열 $\{ b_n \}$의 공비를 $r$이라 하면 이 수열의 모든 항이 양수이므로 $r \gt 0$이고 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$이 수렴하므로
$0 \lt r \lt 1$ $\cdots\cdots$ ㉠
조건 (가)에서 $a_1 = b_1$이므로 등비수열 $\{ b_n \}$의 첫째항이 $a$이고 $a$는 자연수이다.
$a_4 = b_2$에서 $a+3d = ar$
$3d = a(r-1)$ $\cdots\cdots$ ㉡
$a$는 자연수이고 ㉠에서 $r-1 \lt 0$이므로 $d$는 음의 정수이다.
조건 (나)에서 $a_k = b_3$이므로 $a+(k-1)d = ar^2$
$(k-1)d = a(r-1)(r+1)$
이 식에 ㉡을 대입하면 $(k-1)d = 3d(r+1)$
$k-1 = 3(r+1)$
$k = 3r+4$ $\cdots\cdots$ ㉢
㉠에서 $4 \lt 3r+4 \lt 7$
즉, $4 \lt k \lt 7$이고 $k$는 자연수이므로
$k = 5$ 또는 $k = 6$
(ⅰ) $k = 5$인 경우
㉢에서 $r = \frac{k-4}{3} = \frac{1}{3}$
㉡에서 $3d = -\frac{2}{3}a$, $d = -\frac{2}{9}a$
$d$가 음의 정수이므로 $a = 9t$ ($t$는 자연수)라 하자.
$a_n = a+(n-1)\times (-\frac{2}{9}a) = -2tn + 11t$
$b_n = a(\frac{1}{3})^{n-1} = 9t(\frac{1}{3})^{n-1}$
$\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{9t\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \cos (-2tn\pi + 11t\pi)\bigg\} \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{9t\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \cos (11t\pi)\bigg\} \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle 9t \cos (11t\pi)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \bigg|$
$= 9t \times \dfrac{1}{1-\frac{1}{3}} = \dfrac{27}{2}t$
(ⅱ) $k = 6$인 경우
㉢에서 $r = \frac{k-4}{3} = \frac{2}{3}$
㉡에서 $3d = -\frac{a}{3}$, $d = -\frac{a}{9}$
$d$가 음의 정수이므로 $a = 9t$ ($t$는 자연수)라 하자.
$a_n = a+(n-1)\times (-\frac{a}{9}) = -tn+10t$
$b_n = a(\frac{2}{3})^{n-1} = 9t(\frac{2}{3})^{n-1}$
$\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{9t\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cos (-tn\pi + 10t\pi)\bigg\} \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{9t\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cos (tn\pi)\bigg\} \bigg|$
ⓐ $t=2s$ ($s$는 자연수)이면
$\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{18s\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cos (2sn\pi)\bigg\} \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle 18s\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \bigg|$
$= 18s \times \dfrac{1}{1-\frac{2}{3}}$
$= 54s
ⓑ $t=2s -1$ ($s$는 자연수)이면
$\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg\{9(2s-1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cos (2sn\pi -n\pi)\bigg\} \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle 9(2s-1)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cos (n\pi) \bigg|$
$= \bigg| \displaystyle -9(2s-1)\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} \bigg|$
$= 9(2s-1) \times \dfrac{1}{1+\frac{2}{3}}$
$= \dfrac{27}{5}(2s -1)$
(ⅰ), (ⅱ)에서 $\bigg| \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_{n} \cos (a_{n}\pi)) \bigg|$의 값이 최소가 되기 위해서는 $r = \frac{2}{3}$, $t = 2s -1$ ($s$는 자연수)이고 인 경우이다.
따라서 구하는 최솟값 $m$은
$m = \frac{27}{5}(2\times 1 -1) = \frac{27}{5}$
이므로
$10 \times m = 10 \times \frac{27}{5} = 54$
30. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 $$g(x) = \sqrt[3]{x(f(x))^{2}}$$ 이다. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $x = \dfrac{19}{7}$와 $x = 3$에서 극값을 가질 때, $f(5)$의 값을 구하시오. [4점]
$20$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하므로
$\begin{align} g'(0) &= \lim_{x \to 0}\frac{g(x) -g(0)}{x -0} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{ \sqrt[3]{x}\times \sqrt[3]{(f(x))^{2}}}{x} \end{align}$
의 값이 존재해야 한다.
이때 $f(0) \ne 0$이면 위의 극한은 발산하므로 함수 $g(x)$가 $x = 0$에서 미분가능하지 않다.
그러므로 $f(0) = 0$이고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 $f(x) = x \times p(x)$ (단, $p(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차식)으로 놓을 수 있다.
(ⅰ) 방정식 $p(x) = 0$이 서로 다른 두 실근 $x = \alpha$, $x = \beta$를 갖는 경우
$f(x) = x(x-\alpha)(x-\beta)$이므로
$\begin{align} g(x) &= \sqrt[3]{x^{3}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}} \\ &= x\times \sqrt[3]{(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}} \end{align}$
이때
$\begin{align} g'(\alpha) &= \lim_{x \to 0}\frac{g(x) -g(\alpha)}{x -\alpha} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{x\times \sqrt[3]{(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}}}{x -\alpha} \\ &= \lim_{x \to 0}x\times \frac{\sqrt[3]{(x-\beta)^{2}}}{\sqrt[3]{x-\alpha}} \end{align}$
이고 이 극한값은 존재하지 않으므로 함수 $g(x)$가 $x = \alpha$에서 미분가능하지 않다.
(ⅱ) 방정식 $p(x)$이 중근 $x = \alpha$를 갖는 경우
$f(x) = x(x-\alpha)^2$이므로
$\begin{align} g(x) &= \sqrt[3]{x^{3}(x-\alpha)^{4}} \\ &= x\times \sqrt[3]{(x-\alpha)^{4}} \end{align}$
이때
$\begin{align} g'(x) &= \sqrt[3]{(x-\alpha)^{4}}+\frac{4}{3}x\sqrt[3]{x-\alpha} \\ &= \sqrt[3]{x-\alpha} \,\bigg\{ (x -\alpha)+\frac{4}{3}x \bigg\} \\ &= \sqrt[3]{x-\alpha} \,\bigg( \frac{7}{3}x -\alpha \bigg) \end{align}$
이므로
$g'(x) = 0$에서 $x = \alpha$ 또는 $x = \frac{3}{7}\alpha$
$g(x)$가 $x = \frac{17}{9}$와 $x = 3$에서 극값을 가지므로 $\{ \alpha, \frac{3}{7}\alpha \} = \{ \frac{17}{9}, 3 \}$이어야 한다.
그러나 이를 만족시키는 실수 $alpha$는 존재하지 않는다.
(ⅲ) 방정식 $p(x) = 0$이 실근을 갖지 않는 경우
모든 실수 $x$에 대하여 $p(x) \gt 0$이다.
$p(x) = x^{2}+ax+b$ (a^{2} -4b \lt 0)라 하면
$g(x) = \sqrt[3]{x^{3}(x^{2}+ax+b)^2} = x(x^{2}+ax+b)^{\frac{2}{3}}$
이다.
$\begin{align}g'(x) &= (x^{2}+ax+b)^{\frac{2}{3}} + x\bigg\{ \frac{2}{3}(x^{2}+ax+b)^{-\frac{1}{3}}(2x+a) \bigg\} \\ &= \frac{3(x^{2}+ax+b)+2x(2x+a)}{3(x^{2}+ax+b)^{\frac{1}{3}}} \\ &= \frac{7x^{2}+5ax+3b}{3(x^{2}+ax+b)^{\frac{1}{3}}} \end{align}$
함수 $g(x)$가 $x = \frac{19}{7}$와 $x = 3$에서 극값을 가지므로
이차방정식 $7x^{2}+5ax+3b = 0$의 두 근이 $\frac{19}{7}$와 $3$이 되어야 한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
$-\frac{5a}{7} = \frac{19}{7} + 3 = \frac{40}{7}$, $a = -8$
$\frac{3b}{7} = \frac{19}{7} \times 3 = \frac{57}{7}$, $a = 19$
즉, $p(x) = x^{2} -8x + 19$이고,
실제로 이차방정식 $x^{2} -8x + 19 = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$\frac{D}{4} = (-4)^{2} -19 = -3 \lt 0$이므로 실근을 갖지 않는다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f(x) = x(x^{2} -8x + 19)$이고,
모든 실수 $x$에 대하여 $p(x) \gt 0$이므로 함수
$g(x) = x(x^{2} -8x + 19)^{\frac{2}{3}}$은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
따라서 $f(5) = 5 \times (5^{2} -8\times 5 + 19) = 20$
수학 영역(기하)
25. 좌표평면에 방향벡터 $(1 5)$인 직선 $l_1$과 직선 $l_2 : \dfrac{x-5}{3} = \dfrac{y+1}{2}$이 있다. 두 직선 $l_1$, $l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은? [3점]
① $\frac{\sqrt{2}}{3}$
② $\frac{5\sqrt{2}}{12}$
③ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
④ $\frac{7\sqrt{2}}{12}$
⑤ $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
③
직선 $l_1$의 방향벡터를 $\overrightarrow{u_1}$이라 하면
$\overrightarrow{u_1} = (1, 5)$
직선 $l_2 : \frac{x-5}{3} = \frac{y+1}{2}$의 방향벡터를 $\overrightarrow{u_2}$라 하면
$\overrightarrow{u_2} = (3, 2)$
따라서
$\begin{align} \cos \theta &= \frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|} \\ &= \frac{|(1, 5)\cdot(3, 2)|}{\sqrt{1^2 + 5^2}\sqrt{3^2 + 2^2}} \\ &= \frac{13}{\sqrt{26}\sqrt{13}} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$
26. 타원 $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{8} = 1$ 위의 점 $(a, 2)$에서의 접선의 $x$절편은? (단, $a$는 양수이다.) [3점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
27. 마름모 $\mathrm{OABC}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}$라 하자. $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 4$이고 두 벡터 $\vec{b} -\vec{c}$와 $\vec{b} +t\vec{c}$가 서로 수직일 때, 실수 $t$의 값은? [3점]
① $\frac{5}{21}$
② $\frac{2}{7}$
③ $\frac{1}{3}$
④ $\frac{8}{21}$
⑤ $\frac{3}{7}$
②
마름모 $\mathrm{OABC}$에서 두 대각선이 서로를 수직이등분하므로 두 선분 $\mathrm{OB}$, $\mathrm{AC}$가 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 하면
$|\overrightarrow{\mathrm{OM}}| = \frac{1}{2}|\vec{b}| = \frac{1}{2}\times 4 = 2$
$\vec{c} = |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 6$이고,
두 벡터 $\vec{b}$, $\vec{c}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 직각 삼각형 $\mathrm{OMC}$에서
$\cos \theta = \frac{\overline{\mathrm{OM}}}{\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
그러므로
$\begin{align} \vec{b}\cdot \vec{c} &= |\vec{b}||\vec{c}|\cos \theta \\ &= 4\times 6\times \frac{1}{3} = 8 \end{align}$
두 벡터 $\vec{b} -\vec{c}$, $\vec{b} +t\vec{c}$가 서로 수직이므로
$(\vec{b} -\vec{c})\cdot(\vec{b} +t\vec{c}) = 0$
$|\vec{b}|^{2}+(t-1)\vec{b}\cdot\vec{c} -t|\vec{c}|^{2} = 0$
$4^{2}+(t-1)\times 8 -t\times 6^{2} = 0$
$8 -28t = 0$, $28t = 8$
따라서 $t = \dfrac{2}{7}$
마름모 $\mathrm{OABC}$에서 두 대각선이 서로를 수직이등분하므로
$\vec{b} = \vec{a}+\vec{c}$
그러므로
$|\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{c})\cdot (\vec{a}+\vec{c})$
$|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 +2\vec{a}\cdot \vec{c}+|\vec{c}|^2$
$4^2 = 6^2 +2\vec{a}\cdot \vec{c}+6^2$
$2\vec{a}\cdot \vec{c} = -56$, $\vec{a}\cdot \vec{c} = -28$
두 벡터 $\vec{b} -\vec{c}$, $\vec{b} +t\vec{c}$가 서로 수직이므로
$(\vec{b} -\vec{c})\cdot(\vec{b} +t\vec{c}) = 0$
즉, $\vec{a}\cdot \{ \vec{a}+(t+1)\vec{c} \} = 0$에서
$|\vec{a}|^2 + (t+1)\vec{a}\cdot \vec{c} = 0$
$6^2 + (t+1)\times (-28) = 0$, $t+1 = \frac{9}{7}$
따라서 $t = \dfrac{2}{7}$
28. 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ ($c \gt 0$)인 타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$이 있다. 이 타원 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$와 이 타원 위에 있는 제$4$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 점 $\mathrm{F}$가 선분 $\mathrm{PQ}$ 위에 있고 $$\frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{QF}}} = \dfrac{1}{2}, \:\frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{FF'}}} = \dfrac{\sqrt{6}}{16}$$ 이다. 삼각형 $\mathrm{FF'Q}$의 넓이가 $4\sqrt{5}$일 때, $b^2$의 값은? (단, $a$와 $b$는 양수이다.) [4점]
① $\frac{13}{2}$
② $7$
③ $\frac{15}{2}$
④ $8$
⑤ $\frac{17}{2}$
④
$\overline{\mathrm{PF}} = k$라 하면 $\overline{\mathrm{QF}} = 2k$, $\overline{\mathrm{FF’}} = \frac{16}{\sqrt{6}}k$
타원의 정의로부터
$\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF’}} = 2a$, $\overline{\mathrm{QF}}+\overline{\mathrm{QF’}} = 2a$
이므로
$\overline{\mathrm{PF’}} = 2a -k$, $\overline{\mathrm{QF’}} = 2a -k$
$\angle \mathrm{PFF’} = \theta$라 하면
삼각형 $\mathrm{PF’F}$에서
$\begin{align} \cos \theta &= \frac{\overline{\mathrm{PF}}^{ 2}+\overline{\mathrm{FF’}}^{ 2}-\overline{\mathrm{PF’}}^{ 2}}{2\times \overline{\mathrm{PF}}\times \overline{\mathrm{PF’}}} \\ &= \frac{k^{2}+(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}-(2a-k)^2}{2\times k\times \frac{16}{\sqrt{6}}k} \end{align}$
$\angle \mathrm{QFF’} = \pi -\theta$이므로
$\begin{align} \cos (\pi-\theta) &= \frac{\overline{\mathrm{QF}}^{ 2}+\overline{\mathrm{FF’}}^{ 2}-\overline{\mathrm{QF’}}^{ 2}}{2\times \overline{\mathrm{QF}}\times \overline{\mathrm{QF’}}} \\ &= \frac{(2k)^{2}+(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}-(2a-2k)^2}{2\times 2k\times \frac{16}{\sqrt{6}}k} \end{align}$
이때 $\cos (\pi-\theta) = -\cos \theta$이므로
$\dfrac{k^{2}+(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}-(2a-k)^2}{2\times k\times \frac{16}{\sqrt{6}}k} = \dfrac{(2a-2k)^{2}-(2k)^{2}-(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}}{2\times 2k\times \frac{16}{\sqrt{6}}k}$
에서
$2k^{2}+2\times (\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}-2(2a-k)^2 = (2a-2k)^{2} -(2k)^{2} -(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}$
$3a^{2} -4ak -32k^{2} = 0$
$(a-4k)(3a+8k) = 0$
$a = 4k$ ($\because a \gt 0$, $k \gt 0$)
이때
$\cos \theta = \frac{k^{2}+(\frac{16}{\sqrt{6}}k)^{2}-(7k)^2}{2\times k\times \frac{16}{\sqrt{6}}k} = -\frac{\sqrt{6}}{6}$
$\sin \theta = \sqrt{1-(-\frac{\sqrt{6}}{6})^2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$
삼각형 $\mathrm{FF’Q}$의 넓이가 $4\sqrt{5}$이므로
$\frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{FF’}}\times \overline{\mathrm{QF}}\times \sin (\angle \mathrm{F’FQ})$ $= \frac{1}{2}\times \frac{16}{\sqrt{6}}k\times 2k\times \frac{\sqrt{30}}{6} = 4\sqrt{5}$
$k^2 = \frac{3}{2}$이므로 $k = \frac{\sqrt{6}}{2}$
$2a = \overline{\mathrm{PF’}}+\overline{\mathrm{PF}} = 7k+k = 8k = 4\sqrt{6}$
에서
$a = 2\sqrt{6}$
$c = \frac{1}{2}\overline{\mathrm{FF’}} = \frac{8k}{\sqrt{6}} = 4$
$b^2 = a^2 -c^2 = (2\sqrt{6})^2 -4^2 = 24 -16 = 8$
29. 두 초점이 $\mathrm{F}(3, 0)$, $\mathrm{F'}(-3, 0)$인 쌍곡선 $C_1$이 있다. 쌍곡선 $C_1$의 두 꼭짓점 중 $x$좌표가 음수인 점을 $\mathrm{A}(-a, 0)$ ($a \gt 0$)이라 하고, 초점이 $\mathrm{F}$이고 꼭짓점이 $\mathrm{A}$인 포물선을 $C_2$, 이 포물선의 준선을 $l$이라 하자. 쌍곡선 $C_1$과 포물선 $C_2$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점의 $y$좌표와 쌍곡선 $C_1$과 직선 $l$이 만나는 점 중 제$2$사분면 위의 점의 $y$좌표가 같을 때, $a^2$의 값이 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$14$
쌍곡선 $C_1$과 포물선 $C_2$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, 쌍곡선 $C_1$과
직선 $l$이 만나는 점 중 제$2$사분면 위의 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$라 하자.
포물선의 정의에 의하여 $\overline{\mathrm{FA}} = \overline{\mathrm{AI}}$이므로 점 $\mathrm{I}$의 좌표는 $(-2a-3, 0)$
두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 쌍곡선 $C_1$ 위의 점이고 두 점의 $y$좌표가 같으므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 $y$축에 대하여 대칭이다.
그러므로 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $(2a+3), 0$
포물선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PQ}} = 4a+6$
쌍곡선 $C_1$의 주축의 길이가 $2a$이므로 쌍곡선의 정의에 의하여
$\overline{\mathrm{PF’}} -\overline{\mathrm{PF}} = 2a$
그러므로
$\overline{\mathrm{PF’}} = \overline{\mathrm{PF}} +2a$ $= (4a+6)+2a = 6a+6$
직각삼각형 $\mathrm{PF’H}$에서
$\overline{\mathrm{F’H}} = (2a+3)-(-3) = 2a+6$
이므로
$\begin{align}\overline{\mathrm{PH}}^{2} &= (6a+6)^{2}-(2a+6)^{2} \\ &= 32a^{2}+48a \qquad \cdots\cdots \text{ ㉠ }\end{align}$
또, $\overline{\mathrm{FH}} = (2a+3)-(3) = 2a$이므로
직각삼각형 $\mathrm{PFH}$에서
$\begin{align}\overline{\mathrm{PH}}^{2} &= (4a+6)^{2}-(2a)^{2} \\ &= 12a^{2}+48a+36 \qquad \cdots\cdots \text{ ㉡ }\end{align}$
㉠, ㉡에서
$32a^{2}+48a = 12a^{2}+48a+36$
$20a^2 = 36$, $a^2 = \frac{9}{5}$
따라서 $p = 5$, $q = 9$이므로
$p + q = 5+9 = 14$
30. 좌표평면에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 2$, $\angle \mathrm{CAB} \gt \dfrac{\pi}{2}$인 이등변삼각형의 세 꼭짓점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$와 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점 $\mathrm{D}$가 $$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}, \:\,2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}}$$ 를 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{DX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $|M \times m| = \dfrac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단 $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$29$
원과 선분 $\mathrm{BC}$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하고, 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자.
$\angle \mathrm{CAB} = \frac{\pi}{2}$이므로
$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = |\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}|\times |\cdot\overrightarrow{\mathrm{BE}}|$
점 $\mathrm{D}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}} = |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|\times |\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$
또는
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}} = -|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|\times |\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$
$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이므로
$|\overrightarrow{\mathrm{BE}}| = |\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$
따라서 점 $\mathrm{H}$는 점 $\mathrm{E}$이다.
$2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}} = 2|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|\times |\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$
$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}} = |\overrightarrow{\mathrm{DA}}|\times |\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$
$2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}}$이므로
$2|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| = |\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$
$|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| = k$라 하면 $|\overrightarrow{\mathrm{DE}}| = 2k$
삼각형 $\mathrm{ABE}$와 삼각형 $\mathrm{ADO}$는 닮음이므로
$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{AO}}$
$2 : k = 3k : 1$
$3k^2 = 2$에서 $k = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$\overline{\mathrm{BE}} = \sqrt{2^{2}-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$
$\overline{\mathrm{BC}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$
점 $\mathrm{O}$를 지나고 직선 $\mathrm{BC}$에 평행한 직선이 원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하고 (단, $\overline{\mathrm{CP}} \gt \overline{\mathrm{CQ}}$), 직선 $\mathrm{AD}$와 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하면
$\overline{\mathrm{OR}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$
$\overrightarrow{\mathrm{DX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 최댓값은 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{Q}$일 때이고 $M = \overline{\mathrm{BC}}\times \overline{\mathrm{QR}}$
$\overrightarrow{\mathrm{DX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 최솟값은 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{P}$일 때이고 $m = -\overline{\mathrm{BC}}\times \overline{\mathrm{PR}}$
따라서
$\begin{align} |M \times m| &= (\overline{\mathrm{BC}})^{2}\times \overline{\mathrm{QR}} \times \overline{\mathrm{PR}} \\ &= \bigg( \frac{2\sqrt{30}}{3} \bigg)^{2}\times \bigg( 1-\frac{\sqrt{30}}{6} \bigg) \times \bigg( 1+\frac{\sqrt{30}}{6} \bigg) \\ &= \frac{4\times 30}{9}\times \bigg( 1-\frac{30}{36} \bigg) \\ &= \frac{4\times 30}{9}\times \frac{1}{6} \\ &= \frac{20}{9} \end{align}$
$p = 9$, $q = 20$이므로 $p + q = 29$