21년 10월 교육청
3. 함수 $y=\tan\left( \pi x + \frac{\pi}{2} \right)$의 주기는? [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{\pi}{4}$
③ $1$
④ $\frac{3}{2}$
⑤ $\frac{\pi}{2}$
4. 공차가 $d$인 등차수열 $\{ a_{n} \}$의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합이 $n^{2}-5n$일 때, $a_{1} + d$의 값은? [3점]
① $-4$
② $-2$
③ $0$
④ $2$
⑤ $4$
5. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.

함수 $(x^{2}+a x + b)f(x)$가 $x=1$ 에서 연속일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 실수이다.) [3점]
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
②
함수 $(x^{2}+a x + b)f(x)$가 $x=1$ 에서 연속이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}(x^{2}+a x + b)f(x)$
그래프에서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}f(x) =1$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}f(x) =3$ 이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $=(1+a+b) \times 1 = 1+a+b$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+}(x^{2}+a x + b)f(x)$ $=(1+a+b) \times 3 = 3(1+a+b)$
에서
$1+a+b= 3(1+a+b)$
따라서 $a+b = -1$
6. 곡선 $y=6^{-x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A}(a, \, 6^{-a})$, $\mathrm{B}(a+1, \, 6^{-a-1})$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$는 한 변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선이다. $6^{-a}$의 값은? [3점]
① $\frac{6}{5}$
② $\frac{7}{5}$
③ $\frac{8}{5}$
④ $\frac{9}{5}$
⑤ $2$
7. 두 함수 $f(x)=|\, x+3 \,|$, $g(x)=2 x + a$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a$의 값은? [3점]
① $2$
② $4$
③ $6$
④ $8$
⑤ $10$
③
$f(x)g(x)= \begin{cases} -(x+3)(2x+a) & (x < -3) \\ (x+3)(2x+a) & (x \geq -3)\end{cases}$
함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = -3$ 에서 미분가능하다. 즉,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3-} \frac{f(x)g(x) – f(-3)g(-3)}{x+3}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3+} \frac{f(x)g(x) – f(-3)g(-3)}{x+3}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3-} (-2x-a)$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3+} (2x+a)$
따라서 $6 – a = -6+a$ 에서 $a=6$
8. $2$ 보다 큰 상수 $k$에 대하여 두 곡선 $y=| \log_{2}(-x+k)|$, $y=| \log_{2}x|$가 만나는 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ 의 좌표를 각각 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$이라 하자. $x_{3} - x_{1} = 2 \sqrt{3}$일 때, $x_{1}+x_{3}$의 값은? (단, $x_{1} < x_{2} < x_{3}$) [3점]
① $\frac{7}{2}$
② $\frac{15}{4}$
③ $4$
④ $\frac{17}{4}$
⑤ $\frac{9}{2}$

③
점 $\mathrm{P}$ 는 두 곡선 $y=\log_{2}(-x+k)$, $y=- \log_{2}x$ 의 교점이므로
$\log_{2}(-x_{1}+k) =- \log_{2}x_{1}$,
$- x_{1} + k = \frac{1}{x_{1}}$
즉, $x_{1}^{2}-k x_{1} +1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠
점 $\mathrm{R}$ 는 두 곡선 $y= – \log_{2}(-x+k)$, $y= \log_{2}x$ 의 교점이므로
$- \log_{2}(-x_{3}+k) = \log_{2}x_{3}$,
$\frac{1}{- x_{3}+k} = x_{3}$
즉, $x_{3}^{2}-k x_{3} +1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에 의해 $x_{1}$, $x_{3}$ 은 이차방정식 $x^{2}-k x +1 = 0$ 의 서로 다른 두 실근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 $x_{1}x_{3} =1$
그러므로 $x_{3} – x_{1} = 2 \sqrt{3}$ 에서
$(x_{1}+x_{3})^{2} $
$= (x_{3}-x_{1})^{2} + 4x_{1}x_{3}$
$=(2 \sqrt{3})^{2}+4 \times 1 = 16$
따라서 $x_{1}+x_{3} = 4$
9. 수열 $\{ a_{n} \}$이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n} + a_{n+1} = 2 n$$ 을 만족시킬 때, $a_{1} + a_{22} $의 값은? [4점]
① $18$
② $19$
③ $20$
④ $21$
⑤ $22$
⑤
자연수 $k$ 에 대하여
(ⅰ) $n=2k-1$일 때, $a_{2k-1}+a_{2k} = 2(2k-1) = 4k-2$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{22} a_{n}$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^{11} (a_{2k-1}+a_{2k})$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^{11} (4k-2)$
$=4 \times \frac{11 \times 12}{2} – 2 \times 11$ $=242$
(ⅱ) $n=2k$일 때, $a_{2k}+a_{2k+1} = 2 \times 2k = 4k$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=2}^{21} a_{n}$ $= \displaystyle \sum_{k=1}^{10} (a_{2k}+a_{2k+1})$
$= \displaystyle \sum_{k=1}^{10} 4k$
$=4 \times \frac{10 \times 11}{2} $ $=220$
따라서 $a_{1}+a_{22}$ $= \displaystyle \sum_{n=1}^{22} a_{n} – \displaystyle \sum_{n=2}^{21} a_{n}$ $=242-220 = 22$
자연수 $k$ 에 대하여
$a_{2k}+a_{2k+1} = 4k$, $a_{2k-1}+a_{2k} = 4k -2 $ 이므로 $a_{2k+1} – a_{2k-1} = 2$ 즉, 수열 $\{ a_{2k-1} \}$ 은 공차가 $2$ 인 등차수열이다.
그러므로 $a_{2k-1} =a_{1} + (k-1) \times 2$ $\cdots \cdots$ ㉠
㉠에 $k=11$ 을 대입하면 $a_{21} =a_{1} + 20$ $\cdots \cdots$ ㉡
모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} + a_{n+1} = 2n$ 이므로
$n=21$ 을 대입하면 $a_{21} + a_{22} = 42$ $\cdots \cdots$ ㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
$(a_{1} + 20) + a_{22} = 42$
따라서 $a_{1} + a_{22} = 22$
10. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$와 $3$ 보다 작은 실수 $a$에 대하여 함수 $g(x) = |\, (x-a)f(x) \,|$가 $x=3$에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$의 극댓값이 $32$일 때, $f(4)$의 값은? [4점]
① $7$
② $9$
③ $11$
④ $13$
⑤ $15$
①
함수 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 미분가능하고 $g(a)=0$ 이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{g(x)}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{g(x)}{x-a}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{|(x-a)f(x)|}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{|(x-a)f(x)|}{x-a}$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-} \frac{-(x-a)|f(x)|}{x-a}$ $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a+} \frac{(x-a)|f(x)|}{x-a}$
그러므로 $-|f(a)| = |f(a)|$에서 $f(a)=0$
$f(x) = (x-a)(x-k)$ ($k$ 는 상수)라 하면 함수 $g(x) = |\, (x-a)(x-k) \,|$가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않으므로 $k=3$ 이다.
그러므로 $g(x) = |\, (x-a)^{2}(x-3) \,|$
$h(x) = (x-a)^{2}(x-3)$이라 하면 $a<3$이고 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 이므로 함수 $h(x)$ 의 극솟값은 $-32$ 이다.
$h^{\prime}(x) = 2(x-a)(x-3) + (x-a)^{2}$ $=(x-a)(3x-6-a) = 0$
함수 $h(x)$ 는 $x= \frac{6+a}{3}$에서 극솟값 $-32$ 를 갖는다.
$h \left( \frac{6+a}{3} \right)$ $=\left( \frac{6+a}{3} -a\right)^{2}\left( \frac{6+a}{3} -3\right)$ $= -4\left(1 – \frac{a}{3}\right)^{3} = -32$
$\left(1 – \frac{a}{3}\right)^{3} = 8$이므로 $1 – \frac{a}{3} = 2$에서 $a = -3$
따라서 $f(x) =(x+3)(x-3)$에서
$f(4)=7$
11. 닫힌구간 $[0,\, 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $$ f(x)=\begin{cases} \sin x & \left(0 \leq x \leq \frac{k}{6}\pi \right) \\ \\ 2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) - \sin x & \left( \frac{k}{6}\pi < x \leq 2 \pi \right) \end{cases} $$ 이다. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 교점의 개수를 $a_{k}$라 할 때, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$의 값은? [4점]
① $6$
② $7$
③ $8$
④ $9$
⑤ $10$
④





곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 교점의 개수는 방정식 $f(x)=\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,
(ⅰ) $0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$ 일 때,
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
(ⅱ) $\frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$ 일 때,
$2 \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) – \sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$ 에서 $\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$
그러므로 교점의 개수는 구간 $[0,\, 2 \pi]$ 에서 방정식
$\sin x = \sin \left( \frac{k}{6}\pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
$k=1$, $k=5$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{1}{2}$ 이므로 $\sin x = \frac{1}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=2$, $k=4$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$ 이다.
$k=3$ 일 때, $\sin \left( \frac{k}{6}\pi \right) = 1$ 이므로 $\sin x = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $1$ 이다.
따라서 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ $=2+2+1+2+2=9$
12. 곡선 $y=x^{2}-4$ 위의 점 $\mathrm{P}(t,\, t^{2}-4)$에서 원 $x^{2}+y^{2}=4$에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 $S(t)$, 삼각형 $\mathrm{PBA}$의 넓이를 $T(t)$라 할 때, $$ \lim_{t \rightarrow 2+} \frac{T(t)}{(t-2)S(t)} + \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{T(t)}{(t^{4}-2)S(t)} $$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $t>2$이다.) [4점]
① $1$
② $\frac{5}{4}$
③ $\frac{3}{2}$
④ $\frac{7}{4}$
⑤ $2$

②
두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OP}$ 의 교점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 직선 $\mathrm{OP}$ 는 선분 $\mathrm{AB}$를 수직이등분하므로 직각삼각형 $\mathrm{OAP}$와 직각삼각형 $\mathrm{OMA}$는 서로 닮음이다.
삼각형 $\mathrm{OAP}$와 삼각형 $\mathrm{OMA}$의 닮음비는 $\overline{\mathrm{OP}} : \overline{\mathrm{OA}}$ 이므로
넓이의 비는 ${\overline{\mathrm{OP}}}^{2} : {\overline{\mathrm{OA}}}^{2}$ 이다.
삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\frac{S(t)+T(t)}{2}$, 삼각형 $\mathrm{OMA}$의 넓이는 $\frac{S(t)}{2}$ 이므로
${\overline{\mathrm{OP}}}^{2} : {\overline{\mathrm{OA}}}^{2} = \frac{S(t)+T(t)}{2} : \frac{S(t)}{2}$
${\overline{\mathrm{OA}}}^{2} \times \frac{S(t)+T(t)}{2}$ $= {\overline{\mathrm{OP}}}^{2} \times \frac{S(t)}{2}$,
$\dfrac{T(t)}{S(t)} = \dfrac{{\overline{\mathrm{OP}}}^{2}-{\overline{\mathrm{OA}}}^{2}}{{\overline{\mathrm{OA}}}^{2}}$
$\overline{\mathrm{OA}} = 2$, $\overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{t^{2}+(t^{2}-4)^{2}}$ 이므로
$\dfrac{T(t)}{S(t)} = \dfrac{t^{2}+(t^{2}-4)^{2}-2^{2}}{2^{2}}$ $=\frac{1}{4}(t+2)(t-2)(t^{2}-3)$
따라서
$\displaystyle
\lim_{t \rightarrow 2+} \frac{T(t)}{(t-2)S(t)} + \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{T(t)}{(t^{4}-2)S(t)}
$
$=
\displaystyle \lim_{t \rightarrow 2+} \frac{(t+2)(t^{2}-3)}{4} + \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{(t+2)(t-2)(t^{2}-3)}{4(t^{4}-2))}
$
$= 1+\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$
13. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^{3}+a x^{2} + b x + c$가 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 $x$에 대하여 $2f(x)=g(x) - g(-x)$이다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.) [4점]
ㄱ. $a^{2} \leq 3 b$
ㄴ. 방정식 $f^{\prime}(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 방정식 $f^{\prime}(x)=0$이 실근을 가지면 $g^{\prime}(1)=1$이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
①
ㄱ.
함수 $g(x)$ 의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+ 2ax + b \geq 0$이 성립해야 한다.
그러므로 방정식 $3 x^{2}+ 2ax + b = 0$의 판별식을 $D$ 라 하면
$\dfrac{D}{4} = a^{2} – 3b \leq 0$, $a^{2} \leq 3b$ (참)
ㄴ.
$2f(x)=g(x) – g(-x)$ 에서
$f(x)$ $=\dfrac{g(x) – g(-x)}{2}$
$=\dfrac{(x^{3}+ax^{2}+bx+c)-(-x^{3}+ax^{2}-bx+c)}{2}$
$=x^{3} + bx$
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+b$ 이므로 $f^{\prime}(x)=0$ 에서 이차방정식 $3 x^{2}+b = 0$ 의 판별식을 $D^{\prime}$이라 하면
$D^{\prime} = 0^{2}-4 \times 3 \times b = -12 b$
ㄱ에 의해 $b \geq \frac{a^{2}}{3} \geq 0$ 이므로 $D^{\prime} = -12 b \leq 0$
그러므로 이차방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓)
ㄷ.
방정식 $f^{\prime}(x)=0$ 이 실근을 가지므로 $3 x^{2}+b = 0$의 실근이 존재한다. 즉, $b \leq 0$
또한, ㄱ에 의해 $b \geq 0$ 이므로 $b=0$ 이고 ㄱ에 의해 $a=0$ 이다.
$g^{\prime}(x)=3 x^{2}$ 이므로 $g^{\prime}(1)=3$ (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
14. 모든 자연수 $n$에 대하여 직선 $l : x-2y+ \sqrt{5} = 0$ 위의 점 $\mathrm{P}_{n}$과 $x$축 위의 점 $\mathrm{Q}_{n}$이 다음 조건을 만족시킨다.
$\bullet$ 직선 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}$과 직선 $l$이 서로 수직이다.
$\bullet$ $\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}}$이고 점 $\mathrm{P}_{n+1}$의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{P}_{n}$의 $x$좌표 보다 크다.
다음은 점 $\mathrm{P}_{1}$이 원 $x^{2}+y^{2}=1$과 직선 $l$의 접점일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OQ}_{n}\mathrm{P}_{n}$의 넓이를 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{Q}_{n}$ 을 지나고 직선 $l$과
평행한 직선이 선분 $\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$과 만나는 점을 $\mathrm{R}_{n+1}$이라 하면 사각형 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{P}_{n+1}$은 정사각형이다.
직선 $l$의 기울기가 $\frac{1}{2}$이므로
$\overline{ \mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= \fbox{ ($\textbf{가}$) } \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1} }$
이고
$\overline{ \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= (1+\fbox{ ($\textbf{가}$) }) \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$
이다. 이때,
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1} }= 1$
이므로
$\overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }= \fbox{ ($\textbf{나}$) }$
이다.
그러므로 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} } =\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \overline{ \mathrm{P}_{k}\mathrm{P}_{k+1} }= \fbox{ ($\textbf{다}$) }$
이다.
따라서 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OQ}_{n}\mathrm{P}_{n}$의
넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} } \times \overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} }$ $= \frac{1}{2} \times \fbox{ ($\textbf{나}$) } \times ( \fbox{ ($\textbf{다}$) } )$
이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$, $g(n)$이라 할 때, $f(6p)+g(8p)$의 값은? [4점]
① $3$
② $4$
③ $5$
④ $6$
⑤ $7$
⑤
점 $\mathrm{R}_{n+1}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_{n+1}$이라 하면
직선 $l$ 의 기울기가 $\frac{1}{2}$이므로 직선 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이다.
즉, $\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{H}_{n+1}} : \overline{\mathrm{H}_{n+1}\mathrm{R}_{n+1}} = 2 : 1$
직각삼각형 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$과 직각삼각형 $\mathrm{Q}_{n}\mathrm{H}_{n+1}\mathrm{R}_{n+1}$은 서로 닮음이므로
$\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} : \overline{\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}} = 2 : 1$ 에서
$\overline{\mathrm{R}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} $
$\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{R}_{n+1}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}} $ 이므로 $\fbox{ (가) } = \frac{1}{2}$
$\overline{ \mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1} }= (1+\fbox{ (가) }) \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$ $=\frac{3}{2} \times \overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }$
이고
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1} }= 1$이므로 선분 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}$의 길이는 첫째항이 $1$, 공비가 $\frac{3}{2}$인 등비수열이다.
즉, $\overline{ \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n} }= \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$ 그러므로 $\fbox{ (나) }= \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$
$\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}} = \overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}} $이므로
$\overline{ \mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{n} } =\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \overline{ \mathrm{P}_{k}\mathrm{P}_{k+1} }= \dfrac{1 \times \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}}{\frac{3}{2}-1}$ $=2\left\{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1 \right\}$
그러므로 $\fbox{ (다) }=2 \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}$
따라서 $p=\frac{1}{2}$, $f(n)=\left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$, $g(n)=2 \{ \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} – 1\}$
이므로
$f(6p)+g(8p)$ $=f(3)+g(4)$ $=\frac{9}{4}+\frac{19}{4} = 7$
15. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$ g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt + 5 & \left(x < c \right) \\ \left| \displaystyle \int_{0}^{x}f(t) dt - \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right) \end{cases} $$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$일 때, $g(1)$의 최댓값은? [4점]
① $2$
② $\frac{8}{3}$
③ $\frac{10}{3}$
④ $4$
⑤ $\frac{14}{3}$
⑤
최고차항의 계수가 $4$이고 $f(0)=0$ 이므로
$f(x)=4 x^{3}+ax^{2}+bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=12 x^{2}+2ax+b$에서 $f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $b=0$
즉, $f(x)=4 x^{3}+ax^{2}$ 에서 $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt = x^{4}+\frac{a}{3}x^{3}$ 이므로
$
g(x)=\begin{cases}
\displaystyle x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5 & \left(x < c \right) \\
\left| x^{4}+\dfrac{a}{3}x^{3} – \dfrac{13}{3} \right| & \left( x \geq c \right)
\end{cases}
$
곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3}$ 은 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 를 $y$ 축의 방향으로 $-\frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다.
다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ 와 곡선 $y=\left| x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right|$의 개형 중 $c$ 의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.
함수 $g(x)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $c$ 의 개수가 $1$ 이기 위해서는 함수 $y=x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과
함수 $y=-\left(x^{4}+\frac{a}{3}x^{3} – \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이 서로 같아야 한다.
㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f(x)$, $-f(x)$ 이고
$f(x)=x^{2}(4x+a) = 0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=-\frac{a}{4}$ ($a \neq 0$)
㉠, ㉡의 함수는 각각 $x=-\frac{a}{4}$ 에서 극값을 갖고 $c=-\frac{a}{4}$ 이다.
$\left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} + 5$
$=- \{ \left( -\frac{a}{4} \right)^{4} + \frac{a}{3} \left( -\frac{a}{4} \right)^{3} – \frac{13}{3} \}$
이를 정리하여 풀면
$\begin{cases} a=4 \\ c= -1 \end{cases}$ 또는 $\begin{cases} a= -4 \\ c= 1 \end{cases}$
그러므로 $a=4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 + \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = 2$,
$a=-4$ 일 때, $g(1)=\left| 1 – \frac{4}{3} – \frac{13}{3} \right| = \frac{14}{3}$
따라서 $g(1)$ 의 최댓값은 $\dfrac{14}{3}$
17. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ $(t \geq 0)$에서의 속도 $v(t)$가 $v(t) = 12 - 4t$일 때, 시각 $t=0$에서 $t=4$ 까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오. [3점]
$20$
$0 \leq t \leq 3$ 일 때 $v(t) \geq 0$,
$3 \leq t \leq 4$ 일 때 $v(t) \leq 0$ 이므로
시각 $t=0$에서 $t=4$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는
$\displaystyle \int_{0}^{4}| v(t) | dt$ $=\displaystyle \int_{0}^{3}| v(t) | dt + \displaystyle \int_{3}^{4}| v(t) | dt$
$=\displaystyle \int_{0}^{3}(12-4t) dt + \displaystyle \int_{3}^{4}(4t-12) dt$
$= 18 + 2 = 20$
18. 그림과 같이 $3$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 두 곡선 $y=n^{x}$, $y=2^{x}$이 직선 $x=1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 두 곡선 $y=n^{x}$, $y=2^{x}$이 직선 $x=2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ 라 하자. 사다리꼴 $\mathrm{ABDC}$의 넓이가 $18$ 이하가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [3점]

$18$
$\mathrm{A}(1,\, n))$, $\mathrm{B}(1,\, 2))$, $\mathrm{C}(2,\, n^{2}))$, $\mathrm{D}(2,\, 4))$이므로
$\overline{\mathrm{AB}} = n – 2$, $\overline{\mathrm{CD}} = n^{2} – 4$
사다리꼴 $\mathrm{ABDC}$의 넓이는 $18$ 이하이므로
$\frac{1}{2} \times (n-2+n^{2}-4) \times 1 = \frac{1}{2}(n^{2}+n-6) \leq 18$,
$-7 \leq n \leq 6$
그러므로 $3$ 이상의 자연수 $n$의 값은 $3$, $4$, $5$, $6$
따라서 조건을 만족시키는 $n$의 값의 합은 $18$
19. 수열 $\{ a_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_{n+2} = \begin{cases} a_{n} - 3 & (n=1,\, 3) \\ a_{n} + 3 & (n=2,\, 4) \end{cases}$
(나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} = a_{n+6}$이 성립한다.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{32}a_{k} = 112$일 때, $a_{1} + a_{2}$의 값을 구하시오. [3점]
$7$
조건 (가)에서 $a_{3}=a_{1}-3$, $a_{4}=a_{2}+3$,
$a_{5}=a_{3}-3 = a_{1}-6$, $a_{6}=a_{4}+3 = a_{2}+6$ 이므로
$\displaystyle \sum_{k=1}^{6}a_{k} = a_{1} + a_{2} + (a_{1} – 3) + (a_{2} + 3) + (a_{1} – 6) + (a_{2} + 6)$ $=3(a_{1} + a_{2})$
조건 (나)에서
$\displaystyle \sum_{k=1}^{32}a_{k} = 5 \sum_{k=1}^{6}a_{k} + a_{1} + a_{2}$ $=16(a_{1} + a_{2})$
따라서 $16(a_{1} + a_{2}) = 112$ 이므로
$a_{1} + a_{2} = 7$
20. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0)=0$이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(1-x) = -f(1+x)$를 만족시킨다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=-6x^{2}$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 할 때, $4S$ 의 값을 구하시오. [4점]
$2$
$f(1-x) = -f(1+x)$에 $x=0$, $x=1$을 각각 대입하면
$f(1) = -f(1)$ 에서 $f(1)=0$,
$f(0) = -f(2)$ 에서 $f(2)=0$
삼차함수 $f(x)$ 는 $f(0)=f(1)=f(2)=0$ 이고 최고차항의 계수가 $1$ 이므로
$f(x)=x(x-1)(x-2)$
방정식 $f(x)= -6x^{2}$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x = 0$ 이므로
$x(x+1)(x+2)=0$,
$x=0$ 또는 $x= -1$ 또는 $x= -2$
$-2 \leq x \leq -1$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x \geq 0$이고
$-1 \leq x \leq 0$ 에서 $x^{3}+3x^{2}+2x \leq 0$ 이므로
$S = \displaystyle \int_{-2}^{0}| x^{3} +3x^{2} +2x |dx$ $=\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^{3}+3x^{2}+2x)dx + \int_{-1}^{0} \{-(x^{3}+3x^{2}+2x) \}dx$
$=\left[ \dfrac{1}{4}x^{4}+x^{3}+x^{2} \right]_{-2}^{-1} + \left[ -\dfrac{1}{4}x^{4}-x^{3}-x^{2} \right]_{-1}^{0}$
$= \dfrac{1}{2}$
따라서 $4S = 2$
21. $\overline{\mathrm{AB}} =6$, $\overline{\mathrm{AC}} =8$인 예각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원이 만나는 점을 $\mathrm{D}$, 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하자. 선분 $\mathrm{AE}$의 길이를 $k$라 할 때, $12k$의 값을 구하시오. [4점]

$84$
호 $\mathrm{BD}$와 호 $\mathrm{DC}$에 대한 원주각의 크기가 같으므로
$\angle \mathrm{CBD} = \angle \mathrm{CAD} = \angle \mathrm{DAB} = \angle \mathrm{DCB}$
이다. 즉, $\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DC}}$
$\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DC}} = a$, $\overline{\mathrm{AD}} = b$,
$\angle \mathrm{CAD} = \theta$ 라 하면
$\angle \mathrm{DAB} = \theta$이고 $\overline{\mathrm{BD}}^{2} = \overline{\mathrm{DC}}^{2}$이므로
삼각형 $\mathrm{DAB}$와 삼각형 $\mathrm{CAD}$에 각각 코사인법칙을 적용하면
$6^{2}+b^{2}-2 \times 6 \times b \times \cos \theta$
$= b^{2}+8^{2}-2 \times b \times 8 \times \cos \theta$,
$4b\cos \theta = 28$
이므로 직각삼각형 $\mathrm{ADE}$에서 $k = b \cos \theta = 7$
따라서 $12k = 84$
22. 양수 $a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$| x(x-2) | g(x)$ $= x(x-2)(| f(x) | - a)$
이다.
(나) 함수 $g(x)$는 $x=0$과 $x=2$ 에서 미분가능하다.
$g(3a)$의 값을 구하시오. [4점]
$108$
조건 (가)에서 $x \neq 0$, $x \neq 2$ 일 때,
$g(x) = \dfrac{x(x-2)}{| x(x-2) |}(| f(x) | -a)$
$x < 0$ 또는 $x > 2$일 때, $x(x-2) > 0$ 이고
$0 < x < 2$일 때, $x(x-2) < 0$이므로
$g(x) = \begin{cases} | f(x) | -a & (x < 0\, \text{또는}\, x > 2) \\ a-| f(x) | & (0< x < 2) \end{cases}$
조건 (나)에 의해 함수 $g(x)$는 $x=0$, $x=2$에서 미분가능하므로 $x=0$, $x=2$에서 연속이다.
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}g(x) = \lim_{x \rightarrow 0+}g(x)$에서 $| f(0)| – a = a – | f(0) |$
그러므로 $| f(0)| = a$ 에서 $g(0) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}g(x) = 0$
같은 방법으로 $| f(2)| = a$ 에서 $g(2) = 0$
그러므로 $g(x) = \begin{cases} | f(x) | – a & (x < 0\, \text{또는}\, x > 2) \\ a-| f(x) | & (0 \leq x \leq 2) \end{cases}$
함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{g(x)-g(0)}{x}$
즉, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a-|f(x)|}{x}$ $\cdots \cdots$ ㉠
(ⅰ) $f(0) = a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) > 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) > 0$이다. 그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{f(0)-f(x)}{x} = -f^{\prime}(0)$
㉠에서 $f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅱ) $f(0) = -a$인 경우
$f(x)$는 $x=0$에서 연속이고 $f(0) < 0$이므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x) < 0$이다. 그러므로
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{|f(x)|-a}{x} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac{-f(x)+f(0)}{x} =- f^{\prime}(0)$,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{a – |f(x)|}{x} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{-f(0)+f(x)}{x} = f^{\prime}(0)$
㉠에서 $-f^{\prime}(0)=f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(0)=0$
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f^{\prime}(0)=0$이다.
함수 $g(x)$가 $x=2$에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 $f^{\prime}(2)=0$이다.
그러므로 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=2$에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 $1$이므로 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=a$, $x=2$에서 극솟값 $f(2)=-a$를 갖는다.
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+a$ ($p$, $q$ 는 상수)라 하면
$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2px+q$이고 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(2)=0$ 이므로
$p=-3$, $q=0$ 이다. 즉, $f(x)=x^{3}-3x^{2}+a$
$f(2)=2^{3}-3 \times 2^{2}+a = -a$이므로 $a=2$
따라서 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-2$이므로
$g(3a)=g(6)= | f(6) | -2 = | 6^{3}-3 \times 6^{2}+2| – 2 =108$
[참고]
[1] $f(0) = f(2) = a$ 또는 $f(0) = f(2) = -a$인 경우
삼차함수 $f(x)$ 는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.
[2] $f(0)=-a$, $f(2)=a$ 인 경우
삼차함수 $f(x)$ 의 최고차항의 계수가 $1$ 이므로 모순이다.
수학 영역(확률과 통계)
24. 두 사건 $A$와 $B$는 서로 배반사건이고 $$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}, \, \mathrm{P}(A^{c})\mathrm{P}(B) = \frac{1}{6}$$ 일 때, $\mathrm{P}(A \cup B)$의 값은? (단, $A^{c}$은 $A$의 여사건이다.) [3점]
① $\frac{1}{2}$
② $\frac{7}{12}$
③ $\frac{2}{3}$
④ $\frac{3}{4}$
⑤ $\frac{5}{6}$
②
$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$이므로 $\mathrm{P}(A^{c}) =1-\mathrm{P}(A)= \frac{2}{3}$
$\mathrm{P}(A^{c})\mathrm{P}(B) = \frac{2}{3} \times \mathrm{P}(B)=\frac{1}{6}$ 에서 $\mathrm{P}(B)=\frac{1}{4}$
두 사건 $A$와 $B$가 서로 배반사건이므로
$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$ $=\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$
25. 같은 종류의 공책 $10$ 권을 $4$ 명의 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에게 남김없이 나누어 줄 때, $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 각각 $2$ 권 이상의 공책을 받도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 공책을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점]
① $76$
② $80$
③ $84$
④ $88$
⑤ $92$
26. 한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a$, $b$ 라 할 때, 두 수 $a$, $b$ 의 최대공약수가 홀수일 확률은? [3점]
① $\frac{5}{12}$
② $\frac{1}{2}$
③ $\frac{7}{12}$
④ $\frac{2}{3}$
⑤ $\frac{3}{4}$
⑤
한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$
두 수 $a$, $b$ 의 최대공약수가 홀수인 사건을 $A$라 하면 $A$ 의 여사건 $A^{c}$ 은 $a$, $b$ 의 최대공약수가 짝수인 사건이다.
$a$, $b$ 의 최대공약수가 짝수이면 $a$, $b$ 모두 짝수이므로 이 경우의 수는 $3 \times 3 = 9$ 이다.
따라서 $\mathrm{P}(A^{c})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$이므로 구하는 확률은
$\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(A^{c})=1-\frac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
27. 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(8,\,2^{2})$,
확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}(12,\,2^{2})$ 을 따르고,
확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$와 $g(x)$이다.
두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 할 때,
$\mathrm{P}(8 \leq Y \leq a)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]
① $0.1359$
② $0.1587$
③ $0.2417$
④ $0.2857$
⑤ $0.3085$

①
두 확률변수 $X$와 $Y$는 모두 정규분포를 따르고 표준편차가 같으므로 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 함수 $y=g(x)$의 그래프와 일치한다.
따라서 $g(x)=f(x-4)$이다.
두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 만나는 점의 $x$ 좌표가 $a$이므로
$f(a)=g(a)=f(a-4)$
$y=f(x)$의 그래프는 직선 $x=8$에 대하여 대칭이므로
$\frac{a+(a-4)}{2}=8$
$a=10$
$\mathrm{P}(8 \leq Y \leq a)$ $=\mathrm{P}(8 \leq Y \leq 10)$
$=\mathrm{P}\left(\frac{8-12}{2} \leq Z \leq \frac{10-12}{2} \right)$
$=\mathrm{P}(-2 \leq Z \leq -1)$
$=\mathrm{P}(1 \leq Z \leq 2)$
$=\mathrm{P}(0 \leq Z \leq 2) – \mathrm{P}(0 \leq Z \leq 1)$
$=0.4772 – 0,3413$
$=0.1359$
[참고]
28. 집합 $X= \{ x | x \textbf{는 } 8 \textbf{ 이하의 자연수} \}$ 에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 $f$가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(2n-1) < f(2n)$일 때, $f(1)=f(5)$일 확률은? [4점]
① $\frac{1}{7}$
② $\frac{5}{28}$
③ $\frac{3}{14}$
④ $\frac{1}{4}$
⑤ $\frac{2}{7}$
②
선택한 함수 $f$가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(2n-1) < f(2n)$인 사건을 $A$, $f(1)=f(5)$인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P}(B | A)$이다.
$X$에서 $X$로의 모든 함수의 개수는 $8^{8}$이다.
$4$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $f(2n-1) < f(2n)$인 $f(2n-1)$과 $ f(2n)$을 정하는 경우의 수는
${}_{8}\mathrm{C}_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
$4$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(2n-1) < f(2n)$인 경우의 수는 $28^{4}$이므로
$\mathrm{P}(A) = \frac{28^{4}}{8^{8}}$
(ⅰ) $f(1)=f(5)$, $f(2)=f(6)$인 경우
$f(1)=f(5) < f(2)=f(6)$이므로 $f(1)$, $f(2)$, $f(5)$, $f(6)$을 정하는 경우의 수는
${}_{8}\mathrm{C}_{2}$이고,
$f(3)$과 $f(4)$, $f(7)$과 $f(8)$을 정하는 경우의 수는 각각 ${}_{8}\mathrm{C}_{2}$이므로 $f(2)=f(6)$인 경우의 수는 $\left({}_{8}\mathrm{C}_{2}\right)^{3} = 28^{3}$이다.
(ⅱ) $f(1)=f(5)$, $f(2) \neq f(6)$인 경우
$f(1)=f(5) < f(2) < f(6)$ 또는 $f(1)=f(5) < f(6) < f(2)$이므로
$f(1)$, $f(2)$, $f(5)$, $f(6)$ 을 정하는 경우의 수는
$2 \times {}_{8}\mathrm{C}_{3}$ $= 2 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 112$이고,
$f(3)$과 $f(4)$, $f(7)$과 $f(8)$을 정하는 경우의 수는 각각
${}_{8}\mathrm{C}_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$이므로
$f(2) \neq f(6)$인 경우의 수는 $112 \times 28^{2}$이다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의해
$\mathrm{P}(A \cap B)$ $= \frac{28^{3} + 112 \times 28^{2}}{8^{8}}$ $= \frac{140 \times 28^{2}}{8^{8}}$
따라서 구하는 확률은
$\mathrm{P}(B | A)$ $=\dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$
$=\dfrac{\frac{140 \times 28^{2}}{8^{8}}}{\frac{28^{4}}{8^{8}}}$ $=\dfrac{140}{28^{2}}$ $=\dfrac{5}{28}$

29. 숫자 $1$, $2$, $3$ 중에서 모든 숫자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 $6$ 개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 같은 자연수의 개수를 구하시오. [4점]
$150$
일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 $1$일 때, 나머지 네 자리에 $2$와 $3$이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) $1$, $1$, $2$, $3$ 을 나열하는 경우
$4$ 개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2!} = 12$
(ⅱ) $1$, $2$, $2$, $3$ 또는 $1$, $2$, $3$, $3$ 을 나열하는 경우
$4$ 개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 $\frac{4!}{2!} = 12$이므로 (ⅱ)의 경우의 수는 $2 \times 12 = 24$
(ⅲ) $2$, $2$, $2$, $3$ 또는 $2$, $3$, $3$, $3$ 을 나열하는 경우
$4$ 개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 $\frac{4!}{3!} = 4$이므로 (ⅲ)의 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$
(ⅳ) $2$, $2$, $3$, $3$ 을 나열하는 경우
$4$ 개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2! \times 2!} = 6$
(ⅰ)~(ⅳ)에 의해 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 인 경우의 수는
$12 + 24 + 8 + 6 = 50$
일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 $2$인 경우의 수와 $3$인 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 $50$이다.
따라서 구하는 자연수의 개수는 $3 \times 50 = 150$
30. 주머니에 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$ 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 $4$ 개의 수의 합을 확률변수 $X$라 할 때, 확률변수 $X$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\mathrm{P}(X=4)$ $=16 \times \mathrm{P}(X=16)=\dfrac{1}{81}$
(나) $\mathrm{E}(X) = 9$
$\mathrm{V}(X) = \dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
$23$
주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $Y$라 할 때, 확률변수 $Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
$X=4$인 경우는 $4$개의 수가 모두 $1$이어야 하므로
$\mathrm{P}(X=4) = a^{4}$
$a^{4} = \frac{1}{81}$에서 $0 \leq a \leq 1$이므로 $a = \frac{1}{3}$이므로
$X=16$인 경우는 $4$ 개의 수가 모두 $4$이어야 하므로
$\mathrm{P}(X=16) = d^{4}$
$16d^{4} = \frac{1}{81}$에서 $0 \leq d \leq 1$이므로 $d = \frac{1}{6}$
$a+b+c+d = 1$이므로
$b+c = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠
확인한 $4$개의 수의 표본평균을 $\overline{Y}$라 하면 $X = 4\overline{Y}$이다.
$\mathrm{E}(X)$ $=\mathrm{E}(4 \overline{Y})$ $=4 \mathrm{E}(\overline{Y})$
$= 4 \mathrm{E}(Y)$ $= 4 \left( \frac{1}{3} + 2b + 3c + \frac{4}{6} \right)$
$= 4(1+2b+3c)$
$\mathrm{E}(X) = 9$에서 $4(1+2b+3c)=9$이므로
$2b + 3c = \frac{5}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 $b = \frac{1}{4}$, $c = \frac{1}{4}$
$\mathrm{V}(X)$ $= \mathrm{V}(4 \overline{Y})$ $= 16 \mathrm{V}(\overline{Y})$
$= 4 \mathrm{V}(Y)$
$= 4 \left[ \mathrm{E}(Y^{2}) – \{ \mathrm{E}(Y) \}^{2} \right]$
$= 4 \{ \left( \frac{1}{3} + \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{6} \right) – \left(\frac{9}{4} \right)^{2} \}$
$= 4 \left( \frac{25}{4} – \frac{81}{16} \right)$
$= \dfrac{19}{4}$
따라서 $p = 4$, $q = 19$이므로 $p + q = 23$
수학 영역(미적분)
24. 수열 $\{ a_{n} \}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}-4n}{n} = 1$일 때, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{5n + a_{n}}{3n - 1}$의 값은? [3점]
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
③
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}-4n}{n} = 1$
이므로
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-4n}{n}$ $= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a_{n}}{n} – 4 \right) = 0$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n} $
$= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \left( \frac{a_{n}}{n} – 4\right) +4 \right\}$
$= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a_{n}}{n} – 4 \right) + \lim_{n \rightarrow \infty} 4$ $= 0 + 4 = 4$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{5n + a_{n}}{3n – 1}$ $=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{5 + \frac{a_{n}}{n}}{3 – \frac{1}{n}}$ $= \dfrac{5 + 4}{3 – 0} = 3$
25. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($t > 2$)에서의 위치 $(x,\, y)$가 $$x = t \ln t,\: y = \frac{4t}{\ln t}$$ 이다. 시각 $t = e^{2}$에서 점 $\mathrm{P}$의 속력은? [3점]
① $\sqrt{7}$
② $2 \sqrt{2}$
③ $3$
④ $\sqrt{10}$
⑤ $\sqrt{11}$
④
$\frac{dx}{dt} = \ln t + 1$, $\frac{dy}{dt} = \frac{4 \ln t -4}{(\ln t )^{2}}$
이므로
시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 속력은
$\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right)^{2}}$ $= \sqrt{\left( \ln t + 1 \right)^{2} + \left\{ \frac{4 \ln t – 4}{(\ln t)^{2}} \right\}^{2}}$
따라서 시각 $t = e^{2}$에서 점 $\mathrm{P}$의 속력은
$= \sqrt{\left( \ln e^{2} + 1 \right)^{2} + \left\{ \frac{4 \ln e^{2} – 4}{(\ln e^{2})^{2}} \right\}^{2}}$ $= \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$
$= \sqrt{10}$
26. 그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{A_{1}B}$를 지름으로 하는 반원 $O_{1}$이 있다. 호 $\mathrm{BA_{1}}$ 위에 점 $\mathrm{C_{1}}$을 $\angle \mathrm{BA_{1}C_{1}} = \frac{\pi}{6}$가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{A_{2}B}$를 지름으로 하는 반원 $O_{2}$가 선분 $\mathrm{A_{1}C_{1}}$과 접하도록 선분 $\mathrm{A_{1}B}$ 위에 점 $\mathrm{A_{2}}$를 잡는다. 반원 $O_{2}$와 선분 $\mathrm{A_{1}C_{1}}$의 접점을 $\mathrm{D_{1}}$이라 할 때, 두 선분 $\mathrm{A_{1}A_{2}}$, $\mathrm{A_{1}D_{1}}$과 호 $\mathrm{D_{1}A_{2}}$로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{C_{1}D_{1}}$과 두 호 $\mathrm{BC_{1}}$, $\mathrm{BD_{1}}$로 둘러싸인 부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{1}$이라 하자.
그림 $R_{1}$에서 호 $\mathrm{BA_{2}}$ 위에 점 $\mathrm{C_{2}}$를 $\angle \mathrm{BA_{2}C_{2}} = \frac{\pi}{6}$가 되도록 잡고, 선분 $\mathrm{A_{3}B}$를 지름으로 하는 반원 $O_{3}$이 선분 $\mathrm{A_{2}C_{2}}$와 접하도록 선분 $\mathrm{A_{2}B}$ 위에 점 $\mathrm{A_{3}}$을 잡는다. 반원 $O_{3}$과 선분 $\mathrm{A_{2}C_{2}}$의 접점을 $\mathrm{D_{2}}$라 할 때, 두 선분 $\mathrm{A_{2}A_{3}}$, $\mathrm{A_{2}D_{2}}$와 호 $\mathrm{D_{2}A_{3}}$으로 둘러싸인 부분과 선분 $\mathrm{C_{2}D_{2}}$와 두 호 $\mathrm{BC_{2}}$, $\mathrm{BD_{2}}$로 둘러싸인 부분인
모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_{2}$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$의 값은? [3점]

① $\frac{4 \sqrt{3} – \pi}{10}$
② $\frac{9 \sqrt{3} – 2 \pi}{20}$
③ $\frac{8 \sqrt{3} – \pi}{20}$
④ $\frac{5 \sqrt{3} – \pi}{10}$
⑤ $\frac{9 \sqrt{3} – \pi}{20}$
②
반원 $O_{n}$의 중심을 $\mathrm{O}_{n}$, 반지름을 $r_{n}$이라 하자.삼각형 $\mathrm{O_{n+1}A_{n}D_{n}}$은 $\angle \mathrm{O_{n+1}A_{n}D_{n}} = \frac{\pi}{6}$인 직각삼각형이므로
$\sin (\angle \mathrm{O_{n+1}A_{n}D_{n}}) = \frac{1}{2}$
$\frac{ \overline{\mathrm{D_{n}O_{n+1}}} }{ \overline{\mathrm{A_{n}O_{n+1}}} } = \frac{1}{2}$, $\frac{r_{n+1} }{ 2r_{n} – r_{n+1} } = \frac{1}{2}$
$r_{n+1} = \dfrac{2}{3}r_{n}$ $\cdots \cdots$ ㉠
$r_{1} = 1$이므로 $r_{2} = \frac{2}{3}$
$\angle \mathrm{A_{1}O_{1}C_{1}} = \frac{2}{3} \pi$, $\overline{\mathrm{A_{1}O_{1}}} = \overline{\mathrm{C_{1}O_{1}}} =1$이므로 삼각형 $\mathrm{A_{1}O_{1}C_{1}}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A_{1}O_{1}}} \times \overline{\mathrm{C_{1}O_{1}}} \times \sin \frac{2}{3}\pi$ $= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\angle \mathrm{BO_{1}C_{1}} = \frac{\pi}{3}$, $\overline{\mathrm{C_{1}O_{1}}} = \overline{\mathrm{BO_{1}}} =1$ 이므로
부채꼴 $\mathrm{O_{1}BC_{1}}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$
반원 $O_{2}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times (r_{2})^{2} \times \pi$ $= \frac{1}{2} \times \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \times \pi$ $= \frac{2}{9} \pi$
$S_{1} =\, $(삼각형 $\mathrm{A_{1}O_{1}C_{1}}$의 넓이)$
+ $(부채꼴 $\mathrm{O_{1}BC_{1}}$의 넓이)$ – $(반원 $O_{2}$의 넓이)
$= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} – \frac{2 \pi}{9}$ $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} – \dfrac{\pi}{18}$ $\cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 수열 $\{ S_{n} \}$은 첫째항이 $\frac{\sqrt{3}}{4} – \frac{\pi}{18}$이고
공비가 $\left( \frac{2}{3} \right)^{2} = \frac{4}{9}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이다.
따라서 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4} – \frac{\pi}{18}}{1 – \frac{4}{9}}$ $= \dfrac{9 \sqrt{3} – 2 \pi}{20}$
27. 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $x_{1} \lt x_{2}$인 임의의 두 실수 $x_{1}$, $x_{2}$에 대하여 $f(x_{1}) \gt f(x_{2})$이다.
(나) 닫힌구간 $[-1,\,3]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $1$이고 최솟값은 $-2$이다.
$\displaystyle \int_{-1}^{3}f(x)dx = 3$일 때, $\displaystyle \int_{-2}^{1}f^{-1}(x)dx$의 값은? [3점]
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
⑤
조건 (가)에 의해 함수 $f(x)$는 감소한다.
그러므로 조건 (나)에 의해
$f(-1) = 1$, $f(3) = -2$ 즉 $f^{-1}(1) = -1$, $f^{-1}(-2) = 3$
$\int_{-2}^{1}f^{-1}(x)dx$에서 $f^{-1}(x) = t$로 놓으면
$x = -2$일 때 $t = 3$, $x = 1$일 때 $t = -1$이고,
$x = f(t)$에서 $\frac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)$이므로
$\int_{-2}^{1}f^{-1}(x)dx$ $= \int_{3}^{-1}tf^{\prime}(t)dt$
$= \left[\, tf(t)\, \right]_{3}^{-1} – \int_{3}^{-1}f(t)dt$
$= -f(-1)-3f(3) + \int_{-1}^{3}f(t)dt$
$= -1+6+3 = 8$
28. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=1$, $\overline{\mathrm{BC}}=2$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하고, 점 $\mathrm{M}$을 지나고 선분 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이 두 직선 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{DM}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. $\angle \mathrm{CBA}=\theta$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{DFC}$의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+}\frac{g(\theta)}{\theta^{2} \times f(\theta)}$의 값은? (단, $0 < \theta < \pi$) [4점]

① $\frac{1}{8}$
② $\frac{1}{4}$
③ $\frac{1}{2}$
④ $1$
⑤ $2$
③
삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여
$\overline{\mathrm{AC}}^{2}=1^{2} + 2^{2} – 2 \times 1\times 2 \times \cos \theta$ $= 5 – 4 \cos \theta$이므로
$\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{5 – 4 \cos \theta}$
직선 $\mathrm{AE}$ 가 $\angle \mathrm{BAC}$의 이등분선이므로
$\overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}}$ $= 1 : \sqrt{5 – 4 \cos \theta}$
에서
$\overline{\mathrm{BE}} = \frac{1}{1 + \sqrt{5 – 4 \cos \theta}} \times \overline{\mathrm{BC}}$ $= \frac{2}{1 + \sqrt{5 – 4 \cos \theta}}$
그러므로
$f(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BE}} \times \sin (\angle \mathrm{CBA})$
$= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{1 + \sqrt{5 – 4 \cos \theta}} \times \sin \theta$ $= \dfrac{ \sin \theta }{1 + \sqrt{5 – 4 \cos \theta}}$
두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{DM}$이 서로 평행하므로
$\angle \mathrm{CDM} = \theta$, $\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{DFE}$
이다.
이때 $\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{FAC}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{AMF}$는 이등변삼각형이다. 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로
$\overline{\mathrm{FM}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AC}}$ $= \frac{ \sqrt{5 – 4 \cos \theta} }{2}$
이고
$\overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{CD}} = 1$, $\overline{\mathrm{DM}} = \frac{1}{2}$
그러므로
$\overline{\mathrm{DF}} = \overline{\mathrm{FM}} – \overline{\mathrm{DM}}$ $= \frac{\sqrt{5 – 4 \cos \theta} – 1}{2}$
$ \angle \mathrm{FDC} = \pi – \angle \mathrm{CDM} = \pi – \theta$
이므로
$g(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{CD}} \times \overline{\mathrm{DF}} \times \sin (\angle \mathrm{FDC})$
$= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{5 – 4 \cos \theta} – 1}{2} \times \sin (\pi – \theta)$
$= \frac{\sqrt{5 – 4 \cos \theta} – 1}{4} \times \sin \theta$
따라서
$\displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+}\frac{g(\theta)}{\theta^{2} \times f(\theta)}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{\frac{ \sin \theta}{4} \left(\sqrt{5 – 4 \cos \theta}-1\right) } {\theta^{2} \times \frac{ \sin \theta }{1 + \sqrt{5 – 4 \cos \theta}}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{ \left(\sqrt{5 – 4 \cos \theta}-1\right)\left(\sqrt{5 – 4 \cos \theta}+1\right)} {4 \theta^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{ (5 – 4 \cos \theta) – 1 } {4 \theta^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{ 1 – \cos \theta } {\theta^{2}}$
$= \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{ (1 – \cos \theta)(1 + \cos \theta) } {\theta^{2}(1 + \cos \theta)}$
$=\frac{1}{2} \times \displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0+} \frac{\sin^{2} \theta}{\theta^{2}}$
$=\dfrac{1}{2}$

29. 함수 $f(x) = \sin (ax)$ ($a \neq 0$)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오. [4점]
(가) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}f(x) dx \geq \frac{1}{2}$
(나) $0 < t < 1$인 모든 실수 $t$에 대하여
$\displaystyle \int_{0}^{3 \pi} | f(x) + t | dx$ $=\displaystyle \int_{0}^{3 \pi} | f(x) - t | dx$
이다.
$14$
조건 (가)에서
$\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}f(x) dx$ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\sin(ax) dx$
$= \left[ – \frac{1}{a} \cos (ax) \right]_{0}^{\frac{\pi}{a}} = \frac{2}{a}$
$\frac{2}{a} \geq \frac{1}{2}$
이므로 $0 \leq a \leq 4$ $\cdots \cdots$ ㉠
조건 (나)에서
$\int_{0}^{3 \pi} \{ | f(x) + t | – | f(x) – t |\}dx = 0$
$g(x) = | f(x) + t | – | f(x) – t | $라 하면
$g(x) = \begin{cases} -2t & (-1 \leq \sin(ax) < -t) \\ 2 \sin(ax) & (-t \leq \sin(ax) < t) \\ \: 2t & (t \leq \sin(ax) \leq 1) \end{cases}$함수 $y=g(x)$의 그래프가 그림과 같으므로 $0 < k < \frac{2 \pi}{a}$인 모든 실수 $k$에 대하여 $\int_{0}^{k}g(x) dx > 0$이고, $\int_{0}^{\frac{2 \pi}{a}}g(x) dx = 0$이다.
함수 $g(x)$는 주기가 $\frac{2 \pi}{a}$이고 $\int_{0}^{3 \pi}g(x) dx = 0$이므로
$3 \pi = \frac{2 \pi}{a} \times n$ ($n$은 자연수), $a = \frac{2}{3}n$
㉠에서 $0 < \frac{2}{3} n \leq 4$
따라서 구하는 모든 실수 $a$의 값은 $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{3}$, $2$, $\frac{8}{3}$, $\frac{10}{3}$, $4$이므로 그 합은 $14$ 이다.
30. 서로 다른 두 양수 $a,$, $b$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = - \frac{ax^{3} + bx}{x^{2} + 1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime}(x) \neq 0$ 이고, 두 함수 $g(x) = f(x) - f^{-1}(x)$, $h(x) = (g \circ f)(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $g(2) = h(0)$
(나) $g^{\prime}(2) = -5h^{\prime}(2)$
$4(b-a)$의 값을 구하시오. [4점]
$10$
$f(x) = – \frac{ax^{3} + bx}{x^{2} + 1}$
에서
$f^{\prime}(x) = – \frac{ (3ax^{2}+b)(x^{2}+1)-(ax^{3} + bx)(2x) }{ (x^{2} + 1)^{2} }$
이므로
$f^{\prime}(x) = – \frac{ ax^{4} +(3a-b)x^{2}+b }{ (x^{2} + 1)^{2} }$ $\cdots \cdots$ ㉠
모든 실수 $x$에 대하여 $x^{2}+1 \neq 0$이므로 함수 $f^{\prime}(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime}(x) \neq 0$이고 $f^{\prime}(0) = -b < 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime}(x) < 0$이다.
$h(x) = g(f(x)) = f(f(x)) – x$이므로
$h(0) = f(f(0)) – 0 =f(0) = 0$이다.
조건 (가)에서 $g(2) = f(2) – f^{-1}(2) = h(0) = 0$ 이므로
$f(2) = f^{-1}(2) = t$ ($t$는 상수)라 하면 $f(t) = 2$이다.
모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$이므로
$f(-2) = -f(2) = -t$이다.
즉 두 점 $(t,\, 2)$, $(-2, -t)$는 함수 $y=f(x)$의 그래프 위에 있다.
$t \neq -2$일 때, 두 점 $(t,\, 2)$, $(-2, -t)$ 를 지나는 직선의 기울기는
$\frac{2-(-t)}{t-(-2)} =1$이므로 평균값 정리에 의하여 $f^{\prime}(c) = 1$인 상수 $c$가 존재한다.
그러나 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime}(x) < 0$이므로 모순이다. 즉 $t = -2$
$f(2) = -2$에서 $-\frac{8a+2b}{5} = -2$
그러므로 $4a+b = 5$ $\cdots \cdots$ ㉡
$f^{-1}(2) = -2$이므로 역함수의 미분법에 의하여
$g^{\prime}(2) = f^{\prime}(2) – (f^{-1})^{\prime}(2)$ $= f^{\prime}(2) – \frac{1}{f^{\prime}(2)}$
㉠에서 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ 이므로 $f^{\prime}(-2) = f^{\prime}(2)$이다.
즉 $g^{\prime}(2) = f^{\prime}(2) – \frac{1}{f^{\prime}(2)}$
$h(x) = f(f(x)) – x$에서
$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x) – 1$이므로
$h^{\prime}(2) = f^{\prime}(f(2))f^{\prime}(2) – 1$ $= f^{\prime}(-2)f^{\prime}(2) – 1$
$= \{ f^{\prime}(2) \}^{2} – 1$
조건 (나)에서 $g^{\prime}(2) = -5h^{\prime}(2)$이므로
$f^{\prime}(2) – \frac{1}{f^{\prime}(2)}$ $= -5 \{ f^{\prime}(2) \}^{2} + 5$
$5 \{ f^{\prime}(2) \}^{3} + \{ f^{\prime}(2) \}^{2} -5 f^{\prime}(2) -1 = 0$
$\{ 5f^{\prime}(2)+1 \}\{ f^{\prime}(2)+1 \}\{ f^{\prime}(2)-1 \} = 0$
$f^{\prime}(x) < 0$이므로 $f^{\prime}(2) = -\frac{1}{5}$ 또는 $f^{\prime}(2) = -1$이다.
㉠에서 $f^{\prime}(2) = – \frac{ 16a +4(3a-b)+b }{ (4 + 1)^{2} }$ $= – \frac{ 28a -3b }{ 25}$
(ⅰ) $f^{\prime}(2) = -\frac{1}{5}$일 때,
$- \frac{ 28a -3b }{ 25} = -\frac{1}{5}$이므로
$28a – 3b = 5$ $\cdots \cdots$ ㉢
㉡, ㉢을 연립하면 $a= \frac{1}{2}$, $b = 3$이다.
(ⅱ) $f^{\prime}(2) = -1$일 때,
$- \frac{ 28a -3b }{ 25} = -1$이므로
$28a – 3b = 25$ $\cdots \cdots$ ㉣
㉡, ㉣을 연립하면 $a= 1$, $b = 1$ 이므로 모순이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
$4(b-a) = 4 \times \left( 3 – \dfrac{1}{2} \right) = 10$
수학 영역(기하)
24. 좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(-1,\, 1,\, -2)$, $\mathrm{B}(2,\, 4,\, 1)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$가 $xy$ 평면과 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는? [3점]
① $2\sqrt{3}$
② $\sqrt{13}$
③ $\sqrt{14}$
④ $\sqrt{15}$
⑤ $4$
①
점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $m : n$으로 내분하는 점이므로
점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( \frac{2m-n}{m+n} , \frac{4m+n}{m+n} , \frac{m-2n}{m+n} \right)$이다.
$xy$평면 위의 점 $\mathrm{P}$의 $z$좌표는 $0$이므로
$m-2n = 0$, $m=2n$
그러므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(1,\, 3,\, 0)$이다.
따라서 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는
$\sqrt{ \{ 1-(-1) \}^{2} + (3-1)^{2} + \{ 0-(-2) \}^{2}} = 2\sqrt{3}$
25. 양수 $a$에 대하여 기울기가 $\dfrac{1}{2}$인 직선이 타원 $\dfrac{x^{2}}{36} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$과 포물선 $y^{2} = ax$에 동시에 접할 때, 포물선 $y^{2} = ax$의 초점의 $x$좌표는? [3점]
① $2$
② $\frac{5}{2}$
③ $3$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $4$
②
타원 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$에 접하고 기울기가 $\frac{1}{2}$인 접선의 방정식은
$y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{ 36 \times \frac{1}{4} + 16 }$, $y = \frac{1}{2}x \pm 5$
포물선 $y^{2} = ax$에 접하고 기울기가 $\frac{1}{2}$인 접선의 방정식은
$y = \frac{1}{2}x + \dfrac{ \frac{a}{4} }{ \frac{1}{2} }$, $y=\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$
$a$가 양수이므로 $\frac{a}{2} = 5$, $a=10$
따라서 포물선 $y^{2} = ax$의 초점의 $x$좌표는 $\dfrac{a}{4} = \dfrac{5}{2}$
26. 그림과 같이 변 $\mathrm{AD}$가 변 $\mathrm{BC}$와 평행하고 $\angle \mathrm{CBA} = \angle \mathrm{DCB}$인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$가 있다. $$| \overrightarrow{\mathrm{AD}} | = 2,\: | \overrightarrow{\mathrm{BC}} | = 4,\: | \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}| = 2\sqrt{5}$$ 일 때, $| \overrightarrow{\mathrm{BD}} |$의 값은? [3점]

① $\sqrt{10}$
② $\sqrt{11}$
③ $2\sqrt{3}$
④ $\sqrt{13}$
⑤ $\sqrt{14}$
④
선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\dfrac{ \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}} }{2} = \overrightarrow{\mathrm{AM}}$이다.
$| \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}}| = 2\sqrt{5}$이므로 $| \overrightarrow{\mathrm{AM}}| = \sqrt{5}$
$\overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{BM}} = \overline{\mathrm{CM}}$이고 변 $\mathrm{AD}$와 변 $\mathrm{BC}$가 평행하므로 사각형 $\mathrm{ABMD}$와 사각형 $\mathrm{AMCD}$는 평행사변형이다.
평행사변형 $\mathrm{AMCD}$에서 $\overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{5}$
사각형 $\mathrm{ABMD}$가 평행사변형이므로
$\angle \mathrm{MBA} = \angle \mathrm{CMD} = \angle \mathrm{DCM}$
즉 삼각형 $\mathrm{DMC}$ 는 이등변삼각형이므로 $\overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{5}$
점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
$\overline{\mathrm{CM}} = 2$ 이므로 $\overline{\mathrm{HM}} = \overline{\mathrm{CH}} = 1$
직각삼각형 $\mathrm{DMH}$에서
$\overline{\mathrm{DH}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{DM}}^{2} – \overline{\mathrm{HM}}^{2} }$ $= \sqrt{5-1} = 2$
$\overline{\mathrm{BH}} = \overline{\mathrm{BM}} + \overline{\mathrm{HM}} = 2 + 1 = 3 $
직각삼각형 $\mathrm{DBH}$에서
$| \overrightarrow{\mathrm{BD}} |^{2} = | \overrightarrow{\mathrm{BH}} |^{2}+| \overrightarrow{\mathrm{DH}} |^{2}$ $= 3^{2} + 2^{2} = 13$
따라서 $| \overrightarrow{\mathrm{BD}} | = \sqrt{13}$
27. 좌표공간에 $\overline{\mathrm{OA}} = 7$인 점 $\mathrm{A}$가 있다. 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $8$인 구 $S$와 $xy$평면이 만나서 생기는 원의 넓이가 $25\pi$이다. 구 $S$와 $z$축이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 할 때, 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [3점]
① $2\sqrt{46}$
② $8\sqrt{3}$
③ $10\sqrt{2}$
④ $4\sqrt{13}$
⑤ $6\sqrt{6}$
⑤
좌표공간의 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $(a,\, b,\, c)$라 하면
$\overline{\mathrm{OA}} = 7$이므로 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = 7$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 49$ $\cdots \cdots$ ㉠
구 $S$의 방정식은
$(x-a)^{2} + (y-b)^{2} + (z-c)^{2} = 64$
$xy$평면 위의 모든 점의 $z$좌표는 $0$이므로 구 $S$와 $xy$평면이 만나서 생기는 원 $C$의 반지름의 길이는
$\sqrt{64 – c^{2}}$이다. 원 $C$의 넓이가 $25\pi$이므로
$64 – c^{2} = 25$, $c^{2} = 39$
㉠에서 $a^{2} + b^{2} = 49 – c^{2} = 49 – 39 = 10$
점 $\mathrm{A}$에서 $z$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면
점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $(0,\, 0,\, c)$이다.
$\overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}+(c-c)^{2}}$ $= \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{10}$
점 $\mathrm{B}$는 구 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{AB}} = 8$
직각삼각형 $\mathrm{ABH}$에서
$\overline{\mathrm{BH}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{AB}}^{2} – \overline{\mathrm{AH}}^{2} }$ $= \sqrt{64-10} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
따라서 $\overline{\mathrm{BC}} = 2 \times \overline{\mathrm{BH}}$ $= 2 \times 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$
28. 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부의 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}} = 0$, $\dfrac{| \overrightarrow{\mathrm{PA}} |}{| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |} = 3$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$ $= - \dfrac{\sqrt{2}}{2}| \overrightarrow{\mathrm{PB}} || \overrightarrow{\mathrm{PC}} | = -2| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |^{2}$
직선 $\mathrm{AP}$와 선분 $\mathrm{BC}$의 교점을 $\mathrm{D}$라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{AD}} = k \overrightarrow{\mathrm{PD}}$이다. 실수 $k$의 값은? [4점]
① $\frac{11}{2}$
② $6$
③ $\frac{13}{2}$
④ $7$
⑤ $\frac{15}{2}$
①
$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}} = 0$ 이므로 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{PC}}$가 이루는 각의 크기는 $90^{\circ}$이다.
$\frac{| \overrightarrow{\mathrm{PA}} |}{| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |} = 3$ 에서
$| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |= t$ ($t > 0$)이라 하면 $| \overrightarrow{\mathrm{PA}} |= 3t$
두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{PC}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면
$\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}} = | \overrightarrow{\mathrm{PB}} || \overrightarrow{\mathrm{PC}} | \cos \theta$ $= -\frac{\sqrt{2}}{2} | \overrightarrow{\mathrm{PB}} || \overrightarrow{\mathrm{PC}} |$이므로
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\theta = 135^{\circ}$
$-\frac{\sqrt{2}}{2} | \overrightarrow{\mathrm{PB}} || \overrightarrow{\mathrm{PC}} | = -2| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |^{2}$에서
$| \overrightarrow{\mathrm{PB}} | = 2\sqrt{2}| \overrightarrow{\mathrm{PC}} |$ 이므로 $| \overrightarrow{\mathrm{PB}} | = 2\sqrt{2}t $
$\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{BPC} = 135^{\circ}$, $\angle \mathrm{CPA} = 90^{\circ}$이므로
세 삼각형 $\mathrm{ABP}$, $\mathrm{BCP}$, $\mathrm{CAP}$ 의 넓이를 각각 $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ 이라 하면
$S_{1} : S_{2} : S_{3} = 3t^{2} : t^{2} : \frac{3}{2}t^{2}$ $=6 : 2 : 3$
직선 $\mathrm{AP}$와 변 $\mathrm{BC}$의 교점이 $\mathrm{D}$이므로
$\overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{DP}} = (S_{1}+S_{2}+S_{3}) : S_{2} = 11 : 2$
따라서 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \frac{11}{2} \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ 이므로 $k = \dfrac{11}{2}$

29. 그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}^{\prime}$인 쌍곡선 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{16} = 1$이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 점 $\mathrm{F}$에서 선분 $\mathrm{PF^{\prime}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하고, $\angle \mathrm{FQP}$의 이등분선이 선분 $\mathrm{PF}$와 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자. $4\overline{\mathrm{PR}} = 3\overline{\mathrm{RF}}$일 때, 삼각형 $\mathrm{PF^{\prime}F}$의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표는 양수이고, $\angle \mathrm{F^{\prime}PF} < 90^{\circ}$이다.) [4점]

$32$
직선 $\mathrm{QR}$가 $\angle \mathrm{FQP}$를 이등분하므로
$\overline{\mathrm{PQ}} : \overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{PR}} : \overline{\mathrm{RF}}$
이때 $4\overline{\mathrm{PR}} = 3\overline{\mathrm{RF}}$이므로 $\overline{\mathrm{PQ}} : \overline{\mathrm{QF}} = 3 : 4$
$\overline{\mathrm{PQ}} = 3k$ ($k > 0$)이라 하면 $\overline{\mathrm{QF}} = 4k$이고
$\angle \mathrm{PQF} = 90^{\circ}$이므로
삼각형 $\mathrm{PQF}$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = 5k$
쌍곡선의 정의에 의하여 $\overline{\mathrm{PF^{\prime}}} – \overline{\mathrm{PF}} = 2$ 이므로
$\overline{\mathrm{PF^{\prime}}} = 5k + 2$,
$\overline{\mathrm{QF^{\prime}}} = \overline{\mathrm{PF^{\prime}}} – \overline{\mathrm{PQ}}$ $= (5k+2) – 3k = 2k + 2$
$\mathrm{F}(\sqrt{17},\, 0)$, $\mathrm{F^{\prime}}(-\sqrt{17},\, 0)$ 이므로 직각삼각형 $\mathrm{QF^{\prime}F}$에서
$\overline{\mathrm{FF^{\prime}}}^{2} = \overline{\mathrm{QF}}^{2} + \overline{\mathrm{QF^{\prime}}}^{2}$, $(2\sqrt{17})^{2} = (4k)^{2} + (2k+2)^{2}$
$5k^{2}+2k-16=0$, $(5k-8)(k+2) = 0$, $k = \frac{8}{5}$ ($k > 0$)
따라서 삼각형 $\mathrm{PF^{\prime}F}$의 넓이는
$\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{PF^{\prime}}} \times \overline{\mathrm{QF}}$ $= \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{32}{5}$ $= 32$
30. 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$를 한 면으로 하는 사면체 $\mathrm{ABCD}$의 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 점 $\mathrm{H}$는 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 내부에 놓여 있다. 직선 $\mathrm{DH}$가 선분 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 할 때, 점 $\mathrm{E}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\angle \mathrm{AEH} = \angle \mathrm{DAH}$
(나) 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\mathrm{DE}} = 4$이다.
삼각형 $\mathrm{AHD}$의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$7$
조건 (나)에서 $\angle \mathrm{CED} = 90^{\circ}$이므로 두 직선 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{DE}$는 서로 수직이다.
삼수선의 정리에 의하여
$\overline{\mathrm{AH}} \perp$ (평면 $\mathrm{BCD}$), $\overline{\mathrm{HE}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $\overline{\mathrm{AE}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$
즉 직선 $\mathrm{BC}$와 평면 $\mathrm{AED}$는 서로 수직이므로
두 직선 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AD}$도 서로 수직이다. $\cdots \cdots$ ㉠
조건 (가)에서 두 삼각형 $\mathrm{AEH}$, $\mathrm{DAH}$는 닮음이므로
$\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{EAH} + \angle \mathrm{HAD} = 90^{\circ}$
그러므로 두 직선 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{AE}$는 서로 수직이다. $\cdots \cdots$ ㉡
㉠, ㉡에서 직선 $\mathrm{AD}$는 평면 $\mathrm{ABC}$와 서로 수직이다.
정삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AE}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이므로 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{BC}$의 중점이다. 즉 $\overline{\mathrm{AE}} = 2 \sqrt{3}$
직각삼각형 $\mathrm{AED}$에서
$\overline{\mathrm{AD}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{DE}}^{2} – \overline{\mathrm{AE}}^{2} }$ $= \sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}} = 2$
직각삼각형 $\mathrm{AED}$에서
$\overline{\mathrm{AE}} \times \overline{\mathrm{AD}}$ $= \overline{\mathrm{AH}} \times \overline{\mathrm{DE}}$이므로
$2 \sqrt{3} \times 2 = \overline{\mathrm{AH}} \times 4$, $\overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{3}$
직각삼각형 $\mathrm{AHD}$에서
$\overline{\mathrm{DH}} = \sqrt{ \overline{\mathrm{AD}}^{2} – \overline{\mathrm{AH}}^{2} }$ $= \sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 1$
삼각형 $\mathrm{AHD}$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
두 평면 $\mathrm{ABD}$, $\mathrm{AHD}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 하면
$\theta = \angle \mathrm{BAE} = 30^{\circ}$이므로 구하는 정사영의 넓이는
$\frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos 30^{\circ} = \dfrac{3}{4}$
따라서 $p=4$, $q=3$ 이므로 $p+q=4+3=7$