$91$

등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항이 양수이므로 $a_1 \gt 0$이다.
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$ (단, $r$은 유리수)라 하면 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 수렴하므로 $-1 \lt r \lt 1$이다.
조건 (나)에서 수열 $\{ a_n \}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고 공비가 $-1 \lt r \lt 1$이므로 정수인 세 항은 연속해서 나와야 한다.
즉, 세 항 $a_{m}$, $a_{m+1}$, $a_{m+2}$의 값이 모두 정수인 자연수 $m$이 존재하고,
이때, $|\,a_{m}\,| \gt |\,a_{m+1}\,| \gt |\,a_{m+2}\,|$이다.
$0$이 아닌 실수 $x$에 대하여
$a_{m} = x$, $a_{m+1} = xr$, $a_{m+2} = xr^{2}$이라 하면
조건 (나)에 의해
$a_{m}\times a_{m+1}\times a_{m+2} = 216$ $\cdots\cdots$ ㉠
이므로
$x\times xr\times xr^{2} = 216$이다.
즉, $(xr)^{3} = 216 = 6^{3}$이고, $xr$이 실수이므로 $xr = 6$
㉠에서 $a_{m+1} = xr = 6$이므로
$a_{m}\times 6 \times a_{m+2} = 216$
$a_{m}\times a_{m+2} = 36$
이때, $a_{m}$, $a_{m+2}$가 모두 정수이므로
$|\,a_{m}\,| = 36$, $|\,a_{m+2}\,| = 1$ 또는 $|\,a_{m}\,| = 18$, $|\,a_{m+2}\,| = 2$ 또는 $|\,a_{m}\,| = 12$, $|\,a_{m+2}\,| = 3$ 또는 $|\,a_{m}\,| = 9$, $|\,a_{m+2}\,| = 4$

(ⅰ) $|\,a_{m}\,| = 9$, $|\,a_{m+2}\,| = 4$일 때,
$a_{m+1} = 6$이므로
$\dfrac{|\,a_{m+1}\,|}{|\,a_{m}\,|} = \dfrac{|\,a_{m+2}\,|}{|\,a_{m+1}\,|} = \dfrac{2}{3}$
즉, $|\,r\,| = \frac{2}{3}$ 이므로
$r = \frac{2}{3}$ 또는 $r = -\frac{2}{3}$
① $r = \frac{2}{3}$일 때,
$a_{m} = 9$, $a_{m+1} = 6$, $a_{m+2} = 4$이므로 $a_1$의 최솟값은 $9$이다.
이때 $a_2 = 6$이므로
$a_{1} + a_{2} = 9 + 16 = 15 \gt 10$이다.
즉, 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
② $r = -\frac{2}{3}$일 때,
$a_{m} = -9$, $a_{m+1} = 6$, $a_{m+2} = -4$이고, $a_1 \gt 0$이므로
$a_{2} = -9$일 때 $a_{1}$의 값은 최소이다.
이때 $a_{1} = a_{2} \times (-\frac{3}{2}) = -9 \times (-\frac{3}{2}) = \frac{27}{2}$ 이고,
$a_{1} + a_{2} = \frac{27}{2}+(-9) = \frac{9}{2} \lt 10$
이므로 조건 (가)를 만족시킨다.

(ⅱ) $|\,a_{m}\,| \gt 9$일 때,
$-1 \lt r \lt 1$이고 $a_1 \gt 0$이므로 (ⅰ)과 같은 방법으로 계산해 보면
$a_{1} + a_{2} \ge 10$임을 알 수 있다.
즉, 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $a_{1} = \frac{27}{2}$, $r = -\frac{2}{3}$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \dfrac{\frac{27}{2}}{1-(-\frac{2}{3})} = \dfrac{81}{10}$
따라서 $p = 10$, $q = 81$이므로
$p+q = 10 + 81 = 91$

등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항이 양수이므로 $a_1 \gt 0$
등비수열 $\{ a_n \}$의 공비를 $r$ (단, $r$은 유리수)라 하면 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 수렴하므로 $-1 \lt r \lt 1$이다.
조건 (나)에서 수열 $\{ a_n \}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고 이 세 항의 곱이 $216$이므로 수열 $\{ a_n \}$의 정수인 세 항의 값을 $x$, $y$, $z$ ($|\,x\,| \gt |\,y\,| \gt |\,z\,|$)라 하면 $xyz = 216$이다.
이때, $216 = 2^{3} \times 3^{3}$이고 $|\,x\,| \times |\,y\,| \times |\,z\,| = 216$이므로 $|\,x\,|$의 값의 최솟값은 $9$이다.

(ⅰ) $|\,x\,| = 9$일 때,
$|\,y\,| = 6$, $|\,z\,| = 4$
두 수 $|\,x\,|$, $|\,y\,|$가 등비수열 $\{ a_n \}$의 서로 다른 두 항이므로
$\dfrac{|\,y\,|}{|\,x\,|} = |\,r\,|^{m}$을 만족시키는 자연수 $m$이 존재한다.
$\frac{|\,y\,|}{|\,x\,|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$이므로
$|\,r\,|^{m} = \frac{2}{3}$이고,
공비 $r$이 유리수이어야 하므로
$m = 1$, $|\,r\,| = \frac{2}{3}$이다.
이때, $\frac{|\,z\,|}{|\,y\,|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이므로 세 수 $x$, $y$, $z$는 등비수열 $\{ a_n \}$의 연속된 세 항의 값이다.
한편 $|\,r\,| = \frac{2}{3}$에서 $r = \frac{2}{3}$ 또는 $r = -\frac{2}{3}$
① $r = \frac{2}{3}$일 때,
$a_1$의 최솟값은 $9$이고 이때 $a_{2} = 6$이므로
$a_{1} + a_{2} = 9+6 = 15 \gt 10$이다.
즉, 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
② $r = -\frac{2}{3}$일 때,
$xyz = 216$이고 세 수 $x$, $y$, $z$는 등비수열 $\{ a_n \}$의 연속된 세 항의 값이므로 $x \lt 0$, $y \gt 0$, $z \lt 0$이어야 한다.
즉, $x = -9$, $y = 6$, $z = -4$
이때, $a_1 \gt 0$이므로 $2$보다 큰 자연수 $k$에 대하여 $a_{k} = 9$이면 $a_{1}+a_2 \gt 10$이다.
즉, 조건 (가)를 만족시키지 못한다.
$a_{2} = -9$일 때, $a_{1} = a_{2} \times (-\frac{3}{2}) = -9 \times (-\frac{3}{2})$ $= \frac{27}{2}$이므로
$a_{1} + a_{2} = \frac{27}{2} + (-9) = \frac{9}{2} \lt 10$이다.
즉, 조건 (가)를 만족시킨다.

(ⅱ) $|\,x\,| \gt 9$일 때,
$-1 \lt r \lt 1$이고 $a_1 \gt 0$이므로 (ⅰ)과 같은 방법으로 하면 $a_{1} + a_{2} \ge 10$이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $a_{1} = \frac{27}{2}$, $r = -\frac{2}{3}$이므로
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \dfrac{\frac{27}{2}}{1-(-\frac{2}{3})} = \dfrac{81}{10}$
따라서 $p = 10$, $q = 81$이므로
$p+q = 10 + 81 = 91$